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Definición: Es el lugar geométrico de un punto que se mueve de forma tal, que la

distancia de ese punto fijo llamado centro, a cualquier punto de la circunferencia

se le denomina radio de la misma.

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

Una circunferencia puede expresarse en forma ordinaria con centro en el origen

C(0,0) con radio r y en forma canónica y general con centro C(h,k) y radio r.

Ordinaria • 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐

Canónica • (𝒙 − 𝒉)𝟐 + (𝒚 − 𝒌)𝟐 = 𝒓𝟐

General • 𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 + 𝑪𝒙 + 𝑫𝒚 + 𝑬 = 𝟎

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Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia dados el centro y el radio. Dibuje

la circunferencia que se forma para cada caso.

) 𝑪(𝟎 𝟎) 𝒓 = 𝟐

Solución:

Como la circunferencia tiene centro en el origen

utilizamos la ecuación ordinaria de la

circunferencia:

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐

+ = ( )

+ =

) 𝑪(𝟎 𝟎) 𝒓 = √

Solución:

Como tiene centro en el origen, utilizamos la

ecuación ordinaria de la circunferencia:

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐

+ = (√ )

+ =

) 𝑪(−𝟐 ) 𝒓 =

Solución: Como la circunferencia tiene centro distinto del origen debemos de

encontrar la ecuación canónica y general.

CANÓNICA

(𝒙− 𝒉)𝟐 + (𝒚− 𝒌)𝟐 = 𝒓𝟐

(𝒙− (−𝟐))𝟐 + (𝒚− 𝟑)𝟐 = (𝟒)𝟐

(𝒙+ 𝟐)𝟐 + (𝒚− 𝟑)𝟐 = 𝟏𝟔

GENERAL

(𝒙+ 𝟐)𝟐 + (𝒚− 𝟑)𝟐 = 𝟏𝟔

(𝒙)𝟐 + 𝟐(𝒙)(𝟐) + (𝟐)𝟐 + (𝒚)𝟐 − 𝟐(𝒚)(𝟑) + (𝟑)𝟐 = 𝟏𝟔

𝒙𝟐 + 𝟒𝒙+ 𝟒+ 𝒚𝟐 − 𝟔𝒚+ 𝟗 = 𝟏𝟔

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝒙− 𝟔𝒚+ 𝟒+ 𝟗− 𝟏𝟔 = 𝟎

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝒙− 𝟔𝒚− 𝟑 = 𝟎

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Gráfica del ejemplo C:

𝒅) 𝑪(−𝟏 −𝟒) 𝒓 = √𝟓

Solución: Resolvemos de igual forma que el ejemplo anterior buscando la

ecuación canónica y general:

ECUACIÓN CANÓNICA ECUACIÓN GENERAL

(𝒙− 𝒉)𝟐 + (𝒚− 𝒌)𝟐 = 𝒓𝟐

(𝒙− (−𝟏))𝟐 + (𝒚− (−𝟒))𝟐 = (√𝟓)𝟐

(𝒙+ 𝟏)𝟐 + (𝒚+ 𝟒)𝟐 = 𝟓

(𝒙+ 𝟏)𝟐 + (𝒚+ 𝟒)𝟐 = 𝟓

(𝑥) + (𝑥)(1) + (1) + (𝑦) + (𝑦)( ) + ( ) = 5

𝑥 + 𝑥 + 1 + 𝑦 + 8𝑦 + 16 = 5

𝑥 +𝑦 + 𝑥 + 8𝑦 + 1 + 16 − 5 = 0

𝑥 + 𝑦 + 𝑥 + 8𝑦 + 1 = 0

𝒆) 𝑬𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒏𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑪(−𝟏 −𝟑)

𝒚 𝒑𝒂𝒔𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑴(𝟑 𝟏)

Solución: Necesitamos encontrar el radio de la circunferencia. Para ello partimos

de la fórmula:

(𝒙− 𝒉)𝟐 + (𝒚− 𝒌)𝟐= 𝒓𝟐

⇒ (𝑥 − ℎ) + (𝑦 − 𝑘) = 𝑟

⇒ (𝑥 − ℎ) + (𝑦 − 𝑘) = 𝑟

⇒ ( − (−1)) + (1 − (− )) = 𝑟

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⇒ ( + 1) + (1 + ) = 𝑟

⇒ ( ) + ( ) = 𝑟

⇒ √16 + 16 = 𝑟

⇒ 𝒓 = √𝟑𝟐 = 𝟒√𝟐

Ahora remplazamos los valores en la ecuación de la circunferencia:

(𝒙− 𝒉)𝟐 + (𝒚− 𝒌)𝟐 = 𝒓𝟐

(𝑥 − (−1)) + (𝑦 − (− )) = ( √ )

(𝑥 + 1) + (𝑦 + ) = 16( )

(𝑥 + 1) + (𝑦 + ) =

𝟏) 𝐶(0 0) 𝑟 = 1 𝟐) 𝐶(− −1) 𝑟 = 𝟑) 𝐶( − ) 𝑟 = 6

𝟒) 𝐶(−1 ) 𝑟 = 𝟓) 𝐶( ) 𝑟 = 𝟔) 𝐶 5

1

𝑟 =

Asignación N° 1

I) Encontrar la ecuación de la circunferencia de acuerdo con las condiciones dadas.

Trazar la gráfica.

II) Encontrar la ecuación de la circunferencia

𝐶𝑜𝑛 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (− − ) 𝑦 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (5 )

𝐶𝑜𝑛 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (−5 − ) 𝑦 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (−1 0)

𝐶𝑜𝑛 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (5 − ) 𝑦 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (−1 5)

𝐶𝑜𝑛 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 ( 1) 𝑦 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (5 − )

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Centro y Radio de una circunferencia en su forma canónica

Dada la ecuación general de una circunferencia, se pueden obtener las

coordenadas del centro y la longitud del radio utilizando el método de completar el

cuadrado. De esta manera obtenemos la ecuación cartesiana para encontrar el

centro y el radio.

𝑬

𝒓 𝒓 𝒚 𝒓 𝒓 𝒓 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒙 − 𝟐𝒚 − = 𝟎

Solución:

Primeramente ordenamos la expresión de la siguiente forma:

𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒚 =

Ahora completamos el cuadrado en X e Y:

𝒙𝟐 − 𝒙 + (−

𝟐)𝟐

+ 𝒚𝟐 − 𝟐𝒚 + (−𝟐

𝟐)𝟐

= + (−

𝟐)𝟐

+ (−𝟐

𝟐)𝟐

(𝒙𝟐 − 𝒙 + ) + (𝒚𝟐 − 𝟐𝒚 + ) = + +

(𝒙𝟐 − 𝒙 + ) + (𝒚𝟐 − 𝟐𝒚 + ) =

(𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 − )𝟐 = ⇒ Ecuación Canónica de la circunferencia.

Luego de la ecuación anterior podemos

concluir que el centro es 𝑪(𝟐 ) 𝒚 𝒓 =

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Ejemplo N°2:

Hallar el centro y el radio de la circunferencia 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝒚 − = 𝟎

Solución:

Primeramente dividimos por 3 de tal forma que los coeficientes de sean

ambos 1:

+

+1

−18

−6

= 0

+ + − 6 − = 0

( + ) + ( − 6 ) =

+ + (

)

+ − 6 + (−6

)

= + (

)

+ (−6

)

( + + ) + ( − 6 + ) = + +

( + + ) + ( − 6 + ) = 15

(𝒙 + 𝟐)𝟐 + (𝒚 − )𝟐 = ⇒ Ecuación Canónica de la Circunferencia.

Luego de la ecuación anterior obtenemos que 𝑪(−𝟐 ) 𝒚 𝒓 = √

Ejemplo N° 3.

Hallar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒙 = 𝟎

Solución: Primeramente agrupamos los términos:

( + ) + ( ) = 0

+ + (

)

+ = 0 + (

)

( + + ) + = 0 +

( + ) + = 𝑪(−𝟐 𝟎) 𝒓 = 𝟐

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Asignación N° 2

Encuentre el centro y el radio de las siguientes circunferencias:

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒙 + 𝒚 = 𝟎

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒙 + 𝒚 = 𝟎

− + 𝟎𝒙 − 𝟎𝒚 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 = 𝟎

𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 − 𝒙 + 𝒚 + = 𝟎

−𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟐 = 𝟎

Exprese en forma canónica las siguientes circunferencias:

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒙 − 𝟎𝒚 − = 𝟎

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟎𝒙 + 𝟐 𝒚 = 𝟎

𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 + = 𝟎

Exprese en forma general las siguientes circunferencias:

(𝒙 − )𝟐 + (𝒚 − 𝟐)𝟐 =

(𝒙 + )𝟐 + (𝒚 − )𝟐 =

(𝒙 − )𝟐 + (𝒚 + )𝟐 = 𝟐

(𝒙 − )𝟐 + (𝒚 − 𝟐)𝟐 =

𝑪( ) 𝒓 =