CalculoÁngulos en la circunferencia

1) Del gráfico, calcule m∢BAP, siendo T y P puntos de tangencia TB = 4 y r =5

Resolución: Como P y T son puntos de tangencia, entonces: OP ⊥ PA y OT ⊥ TA, además OT = OP = r =5 (DATO)

En el ⊿POH (NOTABLE)

m∢OPH=53 ° m∢BPA=37 °

2) si O es el centro del cuadrado ABCD y PA=AD=8

Como ABCD es cuadrado el lado del cuadrado es 8, AH=HD=4. Como O es centro

OH=4. Luego m∢OPH=372

BC se ubica el

punto P, tal que AP BC, luego se traza PH perpendicular a AC en H.

3) Según el grafico AB=1 BC=CD=2 además B, C y T son puntos de tangencia. Calcule x

f

Sea m∢ATC=α⇒mTC=2α como T y C son puntos de tangencia

PA=3x 8=3x X=8/3

4) Del grafico P y T son puntos de tangencia, además R=3r. Calcule mPT

Del gráfico, como TA=R=3r AO=2R. Luego m∢TOP=120 °→m TC=120°

5) Del grafico, calcule la diferencia entre las medidas del mayor y menor

AB

BCE=2x⇒∢BAE=x como ABCD es un

paraleleogramo⇒∢c=x Luego ⊿BCD es equilatero x=60°

Área sombreada

1) Halle el área de la región sombreada si el lado del cuadrado es 20m

L2

2− L2

4=L2

4=20

2

4=100m2

a2+b2=r2

ARS=a2+b2

ARS=r2=42

ARS=16m2

2) Calcule el area de la region sombreada

AB=2√2ARS=π

4D2

ARS=π4

¿

3) Halle el área de la región sombreada, si MN=2u

22=2 R ¿(2 r )

ARS=12¿

¿ π2

¿

4) La figura muestra un cuadrado de lado L. Hallar el área de la región sombreada, si M y N son puntos medios

S= L2

2−L2

8−2=( L212 )

S= 524

L2

5) Si ABCD es un rectángulo de área 36

cm2. Calcule el área de la región sombreada

A+B=3S

A+B=¿

S=3

¿ A+B+4S=75=7 (3 )=21m2

Distancia entre dos puntos

1) Calcular la distancia entre los puntos A(7,5) y B(4,1)

d=√¿¿d=√¿¿d=√9+16d=√25=5unidades

2) Hallat la distancia al oringen de la recta r=3x - 4y – 25 = 0

d (O ,r )= |−25|√32+¿¿¿

d (r , s)=d (P , s)

3) Calcula la distancia del punto P(2,-1) a la recta r de ecuación 3x+4y=0

d (P , r )=|3.2+4. (−1 )|

√32+42=25

d (O ,r )=|C|

√A2+B2

4) Hallar la distancia entre r=3x - 4y+4=0 y s=9x-12- 4=0

3−4

= 9−12 / −36=−36

3.0−4 y+4=0 / y=1

P (0,1 ) ϵ r

d (P , s )=|9.0−12.1−4|√92+122

=1615

Hallar la distancia entre r=3x-4y+4=0 y s=9x-12 y-4=0

5) Hallar la distancia entre las rectas r=x=2−3k

Y=1+kr=x+3 y−5=0

d (R , s )= |18+5|√12+32

= 13√10

S= x+3−3

= y+51

S= x+3 y+18=0

Punto medio

1) Calcular las coordenadas del punto P que es encuentra entre A y B, si se sabe que A=(1,2) y B=(9, 7)

El punto medio está ubicado en P= (5,4.5)

Punto A: X1 = 1, Y1 = 2

Punto B: X2 = 9, Y2 = 7

Remplazando estos datos tenemos:

p=( 1+92 ,2+72 )

p=( 102 ,92 )

p= (5 , 4.5 )

2) Calcula la distancia que hay entre los puntos A(8,10) y B(-2,-14)

Distancia

( A ,B )=√¿¿

( A ,B )=√102+242

( A ,B )=√100+576

( A ,B )=√676=26

3) Halla la distancia entre los puntos P(6, -2) y Q(0, 6)

(P ,Q )=√¿¿

(P ,Q )=√62+82(P ,Q )=√36+64=√100=10

4) Representa los puntos A(3, 1), B(–5, 3), C(1, 2), D(–1, –2), E(–2, –3),F(5, 0) y halla las coordenadas del punto medio de los segmentos , y AB ,CD y EF

M AB=(3−52 ,1+32 )=(−1 ,2 )

MCD=( 1−12 ,2−22 )=(0,0 )

MEF=(−2+52 ,−3+02 )=( 32 ,−32 )

5) Si los puntos (–6, 2), (–2, 6) y (2, 2) son vértices de un cuadrado, ¿cuálEs el cuarto vértice?

P(−2 ,2)

Pendiente

1) Halla la ecuación de las rectas que pasan por los puntos que se indican y represéntalas:

(2, 3) y (7, 0) (–2, 5) y por el origen de

coordenadas (–3, 2) y (3, 2) (0, 4) y (4, 0)

a) m=0−37−2

=−35

→ y=−35

( x−7 )

b) m=−52

=−35

→ y=−52

x

c) m=2−23+3

=0→ y=2

d) m=0−44−0

=−1→ y=−x+4

2) Halla la pendiente de cada una de las rectas dibujadas

f (x)→1

g ( x )→−12

h ( x )→−33) Halla gráficamente la pendiente de

las rectas que pasan por los siguientes puntos

(2, 4) y (-1, -2) (-3, 5) y (3, -1) (-3, 5) y (2, 1) (3, 2) y (5, 2)