la circunferencia sus elementos y Ángulos. otros elementos de la circunferencia a b m n recta...
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LA
CIRCUNFERENCIA
SUS ELEMENTOS
Y
ÁNGULOS
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Otros elementos de la circunferencia
A B
M
N
Rectatangente
Rectasecante
Flecha o sagita
T
Punto de tangencia
Q
P
Arco BQ
Cuerda PQ
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PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
01.-Radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente.
R L
LR LR
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02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes).
P
Q
M
N
R
MQ PM PQ R MQ PM PQ R
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Si : AB // CD m AC = m DC
03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas.
A B
C D
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04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes.
A
B
C
D
Cuerdas congruentesArcos congruentes
Las cuerdas equidistan del
centro
mCD mAB CD AB : Si mCD mAB CD AB : Si
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1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la medida del arco que se opone.
A
B
r
r
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A
B
C
2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida del arco opuesto.
2
mBA
2
mBA
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4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es la mitad de la medida del arco opuesto.
A
B
2
mBA
2
mBA
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A
BC
2
mCBA
2
mCBA
4.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de la medida del arco ABC.
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A
C
B
D
5.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la semisuma de las medidas de los arcos opuestos
2
mCDmAB
2
mCDmAB
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A
B
C O
6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:
a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.
+ mBA = 180° + mBA = 180°
2
mBA - mACB
2
mBA - mACB
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A
B
C
O
D
b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.
2
mCD-mAB
2
mCD-mAB
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A
B
C
O
c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.
2
mCB -mBA
2
mCB -mBA
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7.- Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales
7.- Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales
180º
90º
Todos los ángulos inscritos que abarcan un mismo diámetro, son rectos. Teorema de Thales
Todos los ángulos inscritos que abarcan un mismo diámetro, son rectos. Teorema de Thales
Algunas propiedades importantes……..
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50°70º+x
XR
S
Q
140°
2X
X + (X+70) + 50° = 180°
X = 30°X = 30°
Por ángulo semi-inscrito PQS
Problema Nº 01
RESOLUCIÓN
P
xº702
x2º140PQSm
Reemplazando:
En el triángulo PQS:
Resolviendo la ecuación:
PSQ = xSe traza la cuerda SQ 2
mSRQPQSm
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco SR mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la medida del ángulo PSQ.
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20°
70°X
X = 40°X = 40°R
Q
H
En el triángulo rectángulo RHS
140°
Se sabe que:
Por ángulo inscrito
Problema Nº 02
RESOLUCIÓN
P
S
m S = 70º
Resolviendo:
2
mQRº70
mQR = 140°
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco RQ se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular a la cuerda QS, si mHRS=20º; calcule la mQPR.
mQsR = 220°
º402
140º - 220º x º40
2
140º - 220º x
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x130°
A
C
B
DX = 40°X = 40°
2
50 130X
50°
Problema Nº 03
RESOLUCIÓN
PResolviendo:
APD = xMedida del ángulo interior
Medida del ángulo exterior
902
130 mBCmBC = 50°
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida del ángulo APD, si el arco AD mide 130º.
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x
X = 18°X = 18°
2
X 54X
M
N
54°
xx
Problema Nº 04
RESOLUCIÓN
PAB
APN = xSe traza el radio OM:
o
Dato: OM(radio) = PM
Luego triángulo PMO es isósceles
Ángulo central igual al arco
Medida del ángulo exterior
Resolviendo:
En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al radio, si el arco NA mide 54º. Calcule la mAPN.
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x
70°
Medida del ángulo inscrito:
X = 55°X = 55°
2
110X
A
B
C
PQ
R
110°
Problema Nº 05
RESOLUCIÓN
PRQ = x
Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:
Resolviendo:
70° + mPQ = 180° mQP = 110°
En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”, “Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide 70º. Calcule la mPRQ.
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Calcule la medida del ángulo “X”.
Problema Nº 06
70°
B
A
X P
Resolución
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RESOLUCIÓN
Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:
Medida del ángulo inscrito:
70°
B
A
X PC
140º
220º- 140º = x
2Resolviendo: X = 40º
2º70mBA
mBA=140º
220º
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Calcular la medida del ángulo “x”
Problema Nº 07
B
A
X P130º
Resolución
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RESOLUCIÓN
B
A
X P130º C
Medida del ángulo inscrito:
En la circunferencia:
260º
Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:
X = 80º
2
mABº130 mAB = 260º
mACB = 100º
mACB + x = 180º
260º + mACB = 360º
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X
PLANTEAMIENTO
Q
R
S
80º Pa
a
Problema Nº 08
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos QS y SR sean congruentes. Si el arco RQ mide 80º, calcular mQPR .
Resolución
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2a + 80º = 360º a = 140º
Medida del ángulo exterior:
Xa
80
2
140 80
2
º º ºX = 30º
En la circunferencia:
RESOLUCIÓN
X
Q
R
S
80º Pa
a
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