geometrÍa analÍtica la circunferencia
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GEOMETRÍA ANALÍTICA: LAS CÓNICAS
En este tema vamos a intentar responder a las siguientes preguntas:
¿Qué son las cónicas?
¿Porqué se llaman así?
¿Cómo se clasifican?
¿Cuales son sus características: Geométricas y analíticas?
¿Qué aplicaciones tienen?
Es posible que se respondan algunas más.
¿Qué dice el DRAE acerca de las cónicas?
Cónico, ca. (Del gr, konicoV) adj. Geom. Perteneciente al cono.// 2 Geom. v. sección cónica: Geom. Cualquiera de las curvas que resultan de cortar la superficie de un cono circular por un plano; pueden ser círculos, elipses, hipérbolas y parábolas.
¿Qué conceptos se barajan en esta definición?
- Las cónicas son curvas:
- Se generan por la intersección o corte de un plano con la superficie de un cono circular.
De la definición se desprende una primera clasificación; esto es, las cónicas pueden ser: - Círculos, elipses, hipérbolas y parábolas.
El DRAE en la definición matiza diciendo que se trata de "la superficie de un cono circular", por lo que conviene ver que dice de esto:
Cono circular: Geom. El de base circular.
Esta definición parece que ayuda poco.
Cono. Geom. Sólido generado por un triángulo rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados.
Definición imprecisa. Si gira alrededor de uno de los catetos, lados del triángulo rectángulo, genera sendos conos, pero si gira alrededor de la hipotenusa, otro de los lados del triángulo rectángulo, genera dos conos distintos unidos por sus bases. Tampoco nos ayuda mucho.
Veamos lo que dice de la superficie cónica: Geom. la generada por una recta que pasa por un punto fijo, llamado vértice y recorre una curva dada.
De acuerdo con esto "la superficie de un cono circular" será aquella generada por una recta que pasa por un punto fijo, llamado vértice y recorre una circunferencia.
En razón de ello al cortar el plano la superficie cónica circular genera líneas no regiones. Es así que el círculo es una región plana, el concepto círculo no está bien reseñado en la clasificación del DRAE; en su lugar debería decir: circunferencia.En el mismo DRAE así lo reconoce: Círculo: Geom. área o superficie plana contenida dentro de la circunferencia.
Por tanto el círculo es la región y la circunferencia el "borde" de esa región.
De acuerdo con lo anterior, la clasificación del DRAE la rectificamos dejándola así:
Las cónicas pueden ser: Circunferencias, elipses, hipérbolas y parábolas.
¿Y el DICMAT?
Cónicas: conjunto de curvas que se obtienen al cortar con planos un cono circular formando diferentes ángulos. Son elipse, hipérbola y parábola.
Cualquier lector atento percibe que no parece muy brillante tal redacción. No se sabe quienes forman los ángulos ni con quien.
Hay que volver a insistir que se trata de un ¡Diccionario de Matemáticas!
¿Y el CIRLEC?
Cónica: Geom. Curva plana, lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo (foco) y a una recta fija (directriz) están en relación constante (excentricidad). si la excentricidad es igual a 1, la _ es una parábola; si es mayor que 1, una hipérbola; si es menor que 1, una elipse. Las pueden obtenerse cortando un cono por un plano que no pasa por el vértice.
El CIRLEC introduce conceptos que dispersarían nuestra atención en este momento. Nos quedamos con la parte común a los tres textos: considerar las cónicas como intersección de planos con las superficies cónicas. Lo demás será considerado más adelante.
NOTA: Impropiamente el CIRLEC habla de "cortar un cono" cuando debería decir "superficie cónica" ya que "cono" es un cuerpo. Al cortar un cuerpo por un plano determina una región no una línea.
Síntesis de lo anterior
De acuerdo con lo escrito anteriormente las cónicas son líneas curvas planas generadas por la intersección de un plano con una
superficie cónica de revolución y se clasifican en:
Circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.
Es evidente que al originarse la cónica en la intersección del plano con la superficie cónica, la mayor o menor inclinación del plano respecto al eje o la generatriz del cono influirá en la naturaleza de la cónica. Es lo que de modo impreciso señalaba el DICMAT.
Si el plano corta perpendicularmente al eje de la superficie cónica. la curva resultante es una circunferencia.
Si el plano no corta perpendicularmente al eje de la superficie cónica, ni es paralelo al eje o la generatriz, la curva resultante es una elipse.
Si el plano es paralelo al eje de la superficie cónica. la curva resultante es una hipérbola.
Si el plano es paralelo a la generatriz de la superficie cónica. la curva resultante es una parábola.
Ver figuras: (Tomadas de Geometría Métrica. Puig Adam. Madrid 1956) Del esquema que se reproduce más abajo, Lo relativo a la Geometría analítica, del punto y de la recta se ha desarrollado en los enlaces indicados y en otras cuestiones . Lo que se va a desarrollar en estos temas de las cónicas es la parte correspondiente del esquema que sería el inserto a continuación.
ESQUEMA DEL DESARROLLO
ESQUEMA DE LAS CÓNICAS
En la exposición de las distintas cónicas que aparecen en el esquema utilizaremos aquellos conceptos elementales que sean precisos definiéndolos y desarrollándolos conforme vayan siendo necesarios.
Así pues las cónicas pueden estudiarse de acuerdo con el esquema siguiente:
El primer apartado, Las cónicas como secciones de un plano con una superficie de
revolución se estudiará en la Geometría métrica. Aquí se han reseñado simplemente con carácter informativo utilizando la forma clásica de generarlas, nombrarlas y clasificarlas, como ilustración.
En lo que sigue, al tratarse de Geometría Analítica usaremos el concepto de lugar geométrico apuntado en la definición del CIRLEC.
Lugar geométrico:
¿Qué dice el DRAE acerca del lugar geométrico?
Lugar geométrico: Línea o superficie cuyos puntos tienen una propiedad común: como la circunferencia , cuyos puntos equidistan de otro llamado centro.
Estudiaremos las cónicas: Circunferencia, elipse, hipérbola y parábola como lugares geométricos.
NOTA: Obsérvese que en las definiciones del CIRLEC y el DICMAT, no aparece la circunferencia como cónica. La explicación la veremos más adelante ya que puede considerarse la circunferencia como un caso particular de la elipse o la elipse como proyección de la circunferencia sobre un plano no paralelo al que la contiene.:
GEOMETRÍA ANALÍTICA: LA CIRCUNFERENCIA
En este tema vamos a intentar responder a las siguientes preguntas:
¿Qué es una circunferencia?
¿Qué propiedades tiene?
¿Cuales son sus características: Geométricas y analíticas?
¿Qué aplicaciones tiene?
Es posible que se respondan algunas más. ¿Qué dice el DRAE acerca de la circunferencia? Circunferencia. Geom. Curva plana cerrada. cuyos puntos equidistan de otro, situado en el mismo plano. 2// Contorno de una superficie, territorio, mar, etc. ¿Qué conceptos se barajan en esta definición? - La circunferencia es una curva plana y cerrada. - Los puntos de la circunferencia equidistan de otro del mismo plano llamado centro.
¿Y el DICMAT?
Circunferencia: Límite del círculo.
¿Y el CIRLEC?
Circunferencia: Curva plana, lugar geométrico de los puntos equidistantes de un punto del plano llamado centro. Límite de la superficie plana llamada círculo. La distancia entre cualquier punto de la _ y el centro se llama radio; su duplo se llama diámetro.
El CIRLEC introduce conceptos que dispersarían nuestra atención en este momento.
Síntesis de lo anterior De acuerdo con lo escrito anteriormente la circunferencia es una curva plana cerrada con una propiedad que sirve para definirla: Todos sus puntos equidistan de otro llamado centro. Los puntos de la circunferencia tienen una propiedad común a todos ellos. Según dijimos en Las conicas, el conjunto de puntos que tienen una propiedad común se llama lugar geométrico de ahí que el CIRLEC lo defina así. Hasta ahora nos hemos circunscrito a la definición de la circunferencia. La Geometría Analítica ha de expresar en forma de ecuación las propiedades que hemos definido para lo cual partimos de las propiedades y las expresamos con ecuaciones. Sea un sistema cartesiano y en él trazamos una circunferencia con centro en C(a b) y de radio r NOTA: Recuérdese que (a b) son las coordenadas del centro. Sea P(x y) las coordenadas de un punto genérico de la circunferencia. Para que P pertenezca a la circunferencia su distancia a C tiene que ser constante e igual a r . Ver figura
Tracemos por C una paralela a OX y por P una paralela a OY. Ambas rectas se cortan en A de coordenadas A(x b). El triángulo CAP, es rectángulo al ser sus catetos paralelos a los ejes y tiene por hipotenusa a r y por catetos: (x -a) el horizontal e (y - b) el vertical. Ver figura
Aplicando el teorema de Pitágoras resultará (x -a)2 + (y - b)2 = r2 (1) Que es la ecuación de la circunferencia de Centro C(a b) y de radio r.Ejemplo: Escribir la ecuación de una circunferencia cuyo radio es 1 y su centro se haya situado en el punto C(2,3) Sustituyendo los valores en la ecuación (1) obtendremos: (x -2)2 + (y - 3)2 = 12 Desarrollando la ecuación resultaría:
x2 -4x + 4 + y2 - 6y + 9 = 1 ⇒ x2 - 4x + y2 - 6y + 9 + 4 - 1 = 0
⇒
⇒ x2 + y2 - 4x - 6y + 12 = 0 Obsérvese que se trata de una ecuación de segundo grado en x e y que no tiene términos en xy De forma general la ecuación anterior podría expresarse así: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 (2) que recibe el nombre de ecuación general de la circunferencia Estas dos formas de expresar, analíticamente, la circunferencia nos sugiere dos problemas: 1) Dadas las coordenadas del centro y el radio de una circunferencia, escribir su ecuación. 2) Dada la ecuación general de una circunferencia determinar su centro y su radio. El problema 1) es el que hemos resuelto El 2) se resolvería así: La ecuación (1) (x -a)2 + (y - b)2 = r2 desarrollada se escribiría así: x2 + y2 - 2ax - - 2by + a2 + b2 - r2 = 0 Comparándola con la ecuación (2)x2 + y2 + Ax + By + C = 0 al ser expresiones idénticas se ha de cumplir que:
- 2a = A ⇒ a = - A/2 - 2b = B ⇒ b = - B/2 C = a2 + b2 -
r2 ⇒ r2 = a2 + b2 - C Se trata de resolver las tres ecuaciones precedentes. En el ejemplo anterior sea la ecuación general de la circunferencia; x2 + y2 - 4x - 6y + 12 = 0 Determinar las coordenadas del centro y su radio Comparándola con la ecuación general tendremos: A = - 4 luego -2 a = - 4 a = 2 B = -6 luego -2 b = - 6 b = 3 C = 12 luego r2 = a2 + b2 - C r2 = 4 + 9 - 12 = 1
⇒ r = ± √1
Como el radio tiene una longitud positiva la solución será r = 1 y el centro C(2 3) como tenía que ser. Ecuaciones de la circunferencia que tienen una posición particular: ¿Cuai es la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen de coordenadas O(0 0)? si en la ecuación (1) (x -a)2 + (y - b)2 = r2 sustituimos a y b por sus valores (0 0) resultará:
x2 + y2 = r2
que se llama también ecuación reducida o ecuación canónica de la circunferencia Ver figura
¿Cual es la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el eje de abscisas? Si la circunferencia tiene su centro en el eje de abscisas, de coordenadas O(a 0) en la ecuación (1) (x -a)2 + (y - b)2 = r2
sustituimos a y b por sus valore (a 0) resultará: (x -a)2 + y 2 = r2 operando tendremos x2 + y2 -2ax + a2 - r2
= 0 Ver figura
¿Cual es la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el eje de ordenadas? Si la circunferencia tiene su centro en el eje de ordenadas, de coordenadas O(0 b) en la ecuación (1) (x -a)2 + (y - b)2 = r2
sustituimos a y b por sus valore (0 b) resultará: (x -0)2 + (y - b) 2 = r2 operando tendremos x2 + y2 -2ay + b2 - r2 = 0 Ver figura
¿Cual es la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas? Si la circunferencia pasa por el origen de coordenadas, la ecuación
(1) (x -a)2 + (y - b)2 = r2 debe cumplirse para las coordenadas (0 0) del punto de la circunferencia: Si sustituimos x e y por sus valore (0 0) resultará: (0 -a)2 + (0 - b) 2 = r2 operando tendremos a2 + b2 - r2 = 0 si en la ecuación (1) desarrollada x2 + y2 - 2ax - - 2ay + a2 + b2
- r2 = 0 sustituimos a2 + b2 - r2 por su valor 0 resultará la ecuación
x2 + y2 - 2ax - - 2ay = 0 Una circunferencia que pase por el origen de coordenadas. su ecuación carece de término independiente. Ver figura
Problema que combina, ecuaciones de la recta con las propiedades de ellas, el concepto de lugar geométrico y la circunferencia.
Rodrigo es un joven lector de mi página que me ha brindado, con su generosidad, ocasiones para enriquecerla enviándome problemas sumamente interesantes. El que se desarrolla a continuación me ha parecido conveniente incluirlo aquí, más que en "Mensajes cruzados".
Me decía el 16-04-07:
Por favor te pido ayuda para que me resuelvas este ejercicio que no entiendo yo trate de hacer algo y GRÁFICAMENTE ME SALE QUE EL LUGAR GEOMÉTRICO ES UNA CIRCUNFERENCIA PERO REALMENTE NO ENTIENDO QUÉ NECESITA EL PROBLEMA PARA QUE ESTE COMPLETO.
Lo enunciaba así:
Por A=(4,3) pasa un haz de rectas; desde B=(-2,-5) se traza una perpendicular a cada recta o rayo del haz que pasa por A. determinar el lugar geométrico de las intersecciones de los rayos y sus perpendiculares. Por favor respóndeme y ayúdame lo antes posible muchas gracias de ante mano.
Respuesta del 17-04-07
Rodrigo me dice lo transcrito más arriba: Respuesta. Estimado Rodrigo: Muchas gracias por volverme a preguntar. Supongo que la consulta que sobre inducción me hiciste te serviría, cuando, amablemente vuelves a consultarme. Espero corresponder a tus expectativas. Una sugerencia. Lo que escribas hazlo de forma meditada cuidando las formas. Una forma precipitada, desordenada y mal expresada no dice mucho en favor del que lo escribe. Te adjunto la cuestión resuelta desde dos perspectivas. Una geométrica y otra analítica. Espero que te sirva. Un cordial saludo de MR A continuación la resolución: Problema: Lugar geométrico de los puntos de un plano intersección de las perpendiculares trazadas desde un punto del plano al haz de rectas trazado por otro punto de ese plano.
Solución geométrica: Sea A, el punto de intersección del haz y B el punto desde el que se trazan las perpendiculares al haz. Sea P uno de los planos que contiene a A y B. Cada recta del haz que concurre en A del plano P, con su perpendicular trazada desde B forma un ángulo recto de vértice X. El punto de intersección de ambas rectas, la del haz y su perpendicular es el vértice X del ángulo recto. El lugar geométrico de esos puntos de intersección, X, será el arco capaz del ángulo recto que pasa por A y B. (1) Una semicircunferencia. Por simetría la otra semicircunferencia. Por tanto: El lugar geométrico de los puntos de un plano intersección de las perpendiculares trazadas desde un punto del plano al haz de rectas trazado por otro punto de ese plano será una circunferencia de diámetro AB. Recíprocamente. Sea una circunferencia de diámetro A y B. Sea X un punto cualquiera de la circunferencia. Si trazamos por X, sendas rectas que pasen por A y B son perpendiculares. (Medida del ángulo inscrito es igual a la mitad del arco que abarcan sus lados. En esta caso 90º, mitad de 180º, arco central de una semicircunferencia). Gráficamente:
(1) Nota agregada para la página:
Aunque esta cuestión corresponde a la Geometría, no desarrollada aún, parece aconsejable hacer una breve exposición del concepto: Arco capaz de un ángulo que se define como el lugar
geométrico de todos los puntos del plano desde el que se ve un segmento bajo el mismo ángulo. Ese lugar geométrico es un arco de circunferencia que pasa por los extremos A y B del segmento.
En efecto: El punto X al recorrer el arco de circunferencia siempre marca el mismo ángulo por ser inscrito a la circunferencia..
La solución no es única. Otro arco de circunferencia simétrico del anterior respecto al segmento AB cumpliría la definición de arco capaz. Por tanto la figura representativa sería la siguiente:
Solución analítica:
Sean A(a, b) y B (c, d) las coordenadas de los puntos A y B. Toda recta r que pase por A tiene de ecuación y - b = m(x – a) (1). Esta es la ecuación del haz que pasa por A. Para cada valor del parámetro m, pendiente de la recta, nos dará una recta que pasará por A.
Toda recta r’ que pase B tiene de ecuación y - d = m’(x – c) (2). Esta es la ecuación del haz que pasa por B. Para cada valor del parámetro m’, pendiente de la recta, nos dará una recta que pasará por B.
La condición del problema exige que r y r’ sean perpendiculares luego sus pendientes han de ser recíprocas y opuestas esto es: m = - 1/m’ (3)
Despejando m’ en (2) sustituyendo en (3) y luego en (1) tendremos
y – d x - cm’ = ------ sustituyendo en (3) resultará m = - ------ x – c y – d x - csustituyendo en (1) tendremos y - b = - -------(x – a) (4) y – d
El punto de intersección de las rectas del haz que pasa por A y las perpendiculares a ellas que pasan por B, han de cumplir la ecuación (4)
Efectuando las operaciones indicadas nos resultará, finalmente:
x2 + y2 + x(-a – c) + y(-b – d) + ac + bd = 0 (5)
Ecuación de una circunferencia de la forma:
x2 + y2 + Ax + By + C = 0; en la que:
A = - (a +c) B = - (b + d) C = ac + bd
Como las coordenadas del centro O son (-A/2, - B/2) y el radio ha de cumplir la condición:
C = a2 + b2 - r2
a + c b + dTendremos que – A/2 = ------ y - B/2 = -------- 2 2 r2 = a2 + b2 – (ac + bd) El centro de la circunferencia está en el punto medio del segmento AB, al ser sus coordenadas las medias aritméticas de las coordenadas de esos puntos. Los puntos A y B pertenecen a la circunferencia por cuanto sus coordenadas satisfacen la ecuación (5)
NOTA FINAL: Es un problema muy bonito que hemos resuelto con elegancia. Vale.
Posiciones de una recta y una circunferencia
Desde el punto de vista métrico una recta y una circunferencia en el mismo plano pueden adoptar estas posiciones: Ser exterior, tangente o secante. En el primer caso, ser exterior, la circunferencia y la recta no tienen ningún punto común. En el segundo caso, ser tangente, la circunferencia y la recta tienen un punto común. En el tercer caso, ser secante, la circunferencia y la recta tienen dos puntos comunes. Ver figuras más abajo. ¿Cómo resolvemos el problema desde el punto de vista analítico? Recordemos que en Geometría Analítica no hay figuras, solo ecuaciones. Así Una circunferencia se expresa por su ecuación: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Una recta se expresa por su ecuación A'x + B'y + C' = 0 Resolviendo el sistema de segundo grado formado por ambas ecuaciones nos dará dos soluciones que, según sean, significarán su posición relativa: Así: Si las raíces de la ecuación son reales y distintas la recta y la circunferencia se cortan Si las raíces de la ecuación son reales e iguales la recta y la circunferencia son tangentes. Si las raíces de la ecuación son imaginarias la recta y la circunferencia son exteriores. Desde un punto de vista teórico quizá resultara más rigurosa la solución del sistema propuesto que nos llevaría a expresiones largas y complejas. Entiendo que resolviendo algún ejemplo será más asequible al lector. Ejemplo 1 Determinar la posición relativa de la circunferencia x2 + y2 - 4x - 6y + 12 = 0 y la recta de ecuación x + y + 1 = 0 Para resolver el sistema aplicamos el método de sustitución para lo cual despejamos la y en la recta y se sustituye en la circunferencia. Así y = -x -1 sustituyendo en la circunferencia tendremos x2 + (-x -1)2 - 4x - 6(-x -1) + 12 = 0 desarrollando
x2 + x2 + 2x + 12 - 4x + 6x + 6 + 12 = 0 reduciendo términos semejantes 2x2 - 4x + 19 = 0 Resolviendo la ecuación Tendremos: _______ _______ _____ 4 ± √16 - 152 4 ± √16 - 152 4 ± √- 136x = ----------------------- = -------------------- = -------------------- 4 4 4 como las raíces son imaginarias la recta y la circunferencia son exteriores. Ver figura.
Ejemplo 2 Determinar la posición relativa de la circunferencia x2 + y2 - 4x - 6y + 12 = 0 y la recta de ecuación y = x + 1 Para resolver el sistema aplicamos el método de sustitución para lo cual como y está despejada en la recta y se sustituye en la circunferencia. Así sustituyendo en la circunferencia tendremos x2 + (x + 1)2 - 4x - 6(x + 1) + 12 = 0 desarrollando x2 + x2 + 2x + 1 - 4x - 6x - 6 + 12 = 0 reduciendo términos semejantes 2x2 - 8x + 7 = 0 Resolviendo la ecuación después de hacer las operaciones oportunas y simplificar tendremos: _______ __ __ __ 8 ± √64 - 56 8 ± √ 8 8 ± 2√ 2 4 ± √ 2
x = ----------------------- = ------------ = --------------- = ----------- 4 4 4 2 Como tiene dos raíces reales la recta y la circunferencia son secantes. Ver figura
De forma semejante sería el ejemplo de la recta y la circunferencia cuya posición sean tangentes dando origen a la figura siguiente:
PROPIEDADES MÉTRICAS DE LA CIRCUNFERENCIA: POTENCIA Y SUS DERIVADOS
En este tema vamos a intentar responder a las siguientes preguntas
¿Además de las reseñadas qué propiedades tiene la circunferencia?
¿Cuales son sus características: Geométricas y analíticas?
¿Qué aplicaciones tiene?
Es posible que se respondan algunas más. Aunque el tema es de Geometría Analítica de la circunferencia, para situarse, parece aconsejable tratarlo desde un punto de vista de la Geometría Métrica y luego considerarlo desde el punto de vista analítico. Potencia de un punto respecto de una circunferencia: ¿Qué dice el DRAE acerca de este concepto? No se refiere para nada a la Geometría, sí a la potencia de números que no nos sirve para nuestro objeto. También dice en su acepción: Potencia: Capacidad generativa.
¿Y el DICMAT?
Potencia de un punto respecto a un círculo: Dados tres puntos alineados P, A y B, se llama potencia de P respecto al círculo el producto de PA x PB e incluye el siguiente gráfico:
Antes de continuar merece la pena hacer un comentario sobre lo que dice el DICMAT que no olvidemos se trata de un Diccionario de matemáticas.
1º La potencia del punto es respecto de la circunferencia y no del círculo. Para este diccionario parece que circunferencia y círculo son una misma cosa.
2º La potencia es respecto de y no respecto a
3º No sé que pinta el ángulo recto cual si fuera un sistema de coordenadas cartesianas sin referenciar y la colocación del punto P en el propio lado vertical del ángulo.
Todo ello mueve a confusión a un lector poco avezado.
¿Y el CIRLEC?
Una de sus acepciones dice: _ de un punto respecto a una circunferencia. Dado una circunferencia de radio r y un punto P de su plano, es la constante que resulta de multiplicar las distancias existentes desde P a cada uno de los dos puntos en que una recta que pasa por P corta a la circunferencia. El valor de la constante es d2 - r2. ¿Y una Geometría? (Puig Adam, Geometría Métrica 1º tomo Madrid 1956)
Potencia de un punto respecto de una circunferencia: Si desde un punto del plano de una circunferencia se trazan secantes a la misma, el producto de distancias de dicho punto a los de intersección de cada secante es una constante. Reunamos todo lo dicho en la siguiente matriz:
Fuente TextoDRAE No dice nada relevante para lo que nos ocupaDICMAT Potencia de un punto respecto a un círculo: Dados tres puntos
alineados P, A y B, se llama potencia de P respecto al círculo el producto de PA x PB e incluye el siguiente gráfico
CIRLEC La potencia de un punto respecto a una circunferencia. Dado una circunferencia de radio r y un punto P de su plano, es la constante que resulta de multiplicar las distancias existentes desde P a cada uno de los dos puntos en que una recta que pasa por P corta a la circunferencia; el valor de la constante es d2 - r2.
LIBRO DE GEOMETRÍA
Si desde un punto del plano de una circunferencia se trazan secantes a la misma, el producto de distancias de dicho punto a los de intersección de cada secante es una constante.
¿Qué conceptos se barajan en lo que dice el DRAE? :
Nada se puede decir al respecto, por cuanto no aparece en el texto.
¿Qué conceptos se barajan en lo que dice el DICMAT? :
- Tener tres puntos alineados
- Un círculo. El gráfico que incluye sitúa a los puntos A y B en la periferia del círculo
- La potencia del punto respecto del círculo se determina como producto de las distancias PA x PB
¿Qué conceptos se barajan en lo que dice CIRLEC?:
- Tener un punto y una circunferencia en el mismo plano.
- Una recta que, partiendo del punto, corta a la circunferencia en dos puntos. limitando dos segmentos entre el punto y los dos en que la recta corta a la circunferencia.
- La potencia del punto respecto de la circunferencia es una constante, cuyo valor es d2 - r2.
No dice nada del significado de los valores d y r.
¿Qué conceptos se barajan en lo que dice el libro de Geometría?
- Tener un punto y una circunferencia en el mismo plano.
- Trazar secantes desde el punto a la circunferencia.
- Tales secantes delimitan dos segmentos en cada una
- La potencia del punto respecto de la circunferencia que se obtiene multiplicando las longitudes de los segmentos determinados por cada secantes es constante.
Concepto de potencia
Examinadas detenidamente las definiciones anteriores se observa que para definir el concepto nos hace falta:
Una circunferencia y un punto. Nada dicen de la posición del punto respecto de la circunferencia, si es exterior, pertenece a ella o es interior. La omisión de este detalle nos induce a pensar que cualquiera que sea su posición podrá calcularse su potencia.
Desde el punto se traza una recta secante en dos puntos con la circunferencia.
Los tres puntos determinan dos segmentos en uno de cuyos extremos ha de estar el punto dado del cual se define la potencia.
Que puede trazarse más de una recta secante que cortara a la circunferencia en puntos distintos y alineados con el punto dado. Los tres puntos de cada secante determinan sendos segmentos en uno de cuyos extremos ha de estar el punto dado del cual se define la potencia.
El valor de la potencia constante y se calcula mediante la fórmula d2 - r2. sin definir que simbolizan d y r
NOTA: No tenemos en cuenta lo del círculo del DICMAT que debe considerarse como circunferencia y que por error lo ha transcrito como círculo.
Tenemos los elementos suficientes para adentrarnos en el concepto desde un punto de vista de la geometría métrica y después lo trasladaremos a la Geometría Analítica.
Sea el punto P, exterior a la circunferencia, desde el que se traza una secante a la circunferencia que la corta en los puntos A y B. Ver figura.
Los tres puntos determinan los segmentos PA y PB y su producto PA x PB constituye, por definición, la potencia del punto P respecto de la circunferencia. Como se trata de un producto de dos longitudes. de aquí en adelante llamaré a la potencia k2
Potencia de P = k2 = PA x PB
La constancia del valor de la potencia exige que cualquiera que sea la secante dará el mismo resultado. Esto es, si desde P trazamos otra secante a la circunferencia que la corta en los puntos A' y B'. ver figura. se ha de cumplir: Potencia de P = k2 = PA x PB = PA' x PB'
Hemos de probar esa propiedad para lo cual utilizamos algunas propiedades de los ángulos de la circunferencia y la semejanza de triángulos. Supuesta trazadas las dos secantes se unen los puntos A con B' y A' con B. Ver figura siguiente.
Con este trazado se han construido dos triángulos el PA'B y el PAB' que tienen las siguientes propiedades: - El ángulo P es común a ambos triángulos - Los ángulos PA'B y PAB', al tener el mismo suplemento son iguales ya que:
Ángulo BA'B' = Ángulo BAB' , suplementos respectivos de los ángulos PA'B y PAB', son iguales por ser inscritos en la circunferencia. Al tener los dos triángulos PA'B y PAB' dos ángulos respectivos iguales, son semejantes, luego sus lados homólogos son proporcionales; esto es: PA PB'------ = ----- de donde PA x PB = PA' x PB' PA' PB Como las rectas PAB y PA'B' son arbitrarias, ese valor es constante cualquiera que sean el par de rectas que se elijan y corten a la circunferencia, luego: Potencia de un punto P respecto de una circunferencia k2 = PA x PB Hemos repetido que las rectas son arbitrarias y secantes con la circunferencia ¿Y si son tangentes? Ver figura
A partir de P se han trazado dos semirrectas PT y PT' que coinciden. De acuerdo con la definición la potencia se calcularía:
k2 = PT x PT' y al coincidir T con T', PT = PT' = PT2 He dicho más arriba, extraído de la definición del CIRLEC que el valor de la potencia, constante, se calcula mediante la fórmula d2 - r2. sin definir que simbolizan d y r. Vayamos a ello. Las rectas que parten de P y cortan a la circunferencia son arbitrarias. (Arbitraria quiere decir, la que se quiera). Una de ellas puede ser la que pasa por el centro O de la
circunferencia y otra, para ligarlo con lo anterior tangente. Ver figura.
Llamamos d = PO, distancia entre el punto P y el centro O de la circunferencia y r a su radio La potencia de P respecto de la circunferencia de centro O será: k2 = PA x PB (1) AT= OB = r PA = PO -AO = d - r y PB = PO + OB = d + r Sustituyendo en (1) tendremos: k2 = PA x PB = (d - r)(d + r) = d2 - r2 (2) Ya se ha justificado la expresión contenida en la definición del CIRLEC que el valor de la potencia, constante, se calcula mediante la fórmula d2 - r2. Asimismo hemos definido lo que simbolizan d distancia entre el punto y el centro de la circunferencia y r, su radio. Como el triángulo PTO es rectángulo ya que la tangente y el radio son perpendiculares en el punto de tangencia, (propiedad de las tangentes a la circunferencia), le es de aplicación el teorema de Pitágoras. PT es un cateto. PO = d la hipotenusa y TO = r luego: PT2 = d2 - r2 = k2 Valor constante Posición de un punto respecto de una circunferencia:
Siempre hemos considerado a P exterior a la circunferencia pero ¿Qué ocurre si P es interior? ¿Y si pertenece a la circunferencia? Veámoslo: Si el punto P es exterior, d > r y d2 > r2 y d2 - r2 > 0 en ese caso la potencia es positiva. Si el punto P es interior, d < r y d2 < r2 y d2 - r2 < 0 en ese caso la potencia es negativa. Si el punto pertenece a la circunferencia, d = r y d2 = r2 y d2 - r2 = 0 en ese caso la potencia es nula Conclusión: Un punto P es exterior, interior o pertenece a la circunferencia según que su potencia sea mayor, menor o igual a cero Eje radical de dos circunferencias: Supongamos un punto P y dos circunferencias de centros O1 y O2 y radios respectivos r1 y r2 llamemos k1p y k2p a sus respectivas potencias. (Por razones de comodidad operativa prescindo del cuadrado de k). Puede ocurrir que k1p sea >,<, = que k2p prescindamos del >,<, y pensemos sobre la igualdad; esto es, un punto que cumpla que sus potencias respectivas respecto de ambas circunferencias sean iguales esto es k1p = k2p
Supongamos otro punto Q cuyas potencias respecto de las dos circunferencias sean k1q y k2q y cumplan la condición de que sus valores sean iguales; esto es, k1q = k2q
Los puntos P y Q determinan una recta que se llama eje radical de las circunferencias y se define como el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuyas potencias sen iguales respecto de dos circunferencias dadas. Ver figura.
El eje radical tiene la propiedad de ser perpendicular a la línea que une los centros de la circunferencia. Si las circunferencias son tangentes, el punto de tangencia, por pertenecer a ambas circunferencias, tiene potencia nula respecto de las dos circunferencias. El eje radical de dos circunferencias tangentes sería la perpendicular trazada a la línea de centros en el punto de tangencia. Ver figura.
Lo mismo ocurre si las tangentes son interiores. Ver figura
Si las circunferencias son secantes se cortarán en dos puntos que por pertenecer a ambas circunferencias tienen potencia nula
respecto de las dos circunferencia. El eje radical de dos circunferencias secantes sería la recta que une ambos puntos de intersección. Ver figura.
¿Y si las circunferencias son interiores? Pueden ocurrir dos casos: 1º Que sean concéntricas. En ese caso no existe ningún punto que cumpla la condición del eje radical, Por tanto, dos circunferencias interiores concéntricas carecen de eje radical. 2º Que sean interiores no concéntricas. su construcción sería como sigue: Sean dos circunferencias interiores de centros O1 y O2 . Se traza una circunferencia auxiliar de centro O3 que corte a las circunferencias dadas y cuyo centro no esté alineado con los centros de esas circunferencias. Se trazan los ejes radicales de O1 y O3 y O2 y O3 que se cortará en un punto P que por pertenecer a ambos ejes radicales pertenecerá al eje radical de O1 y O2 Desde P se traza la perpendicular a la línea que une los centros y se habrá construido el eje radical pedido. Ver figura.
Centro radical de tres circunferencias: Sean tres circunferencias de centros respectivos O1, O2 y O3 con ejes radicales e1, el de O1, O2, e2 el de O1, O3 y e3 el de O2, O3 Se llama Centro radical al su punto de intersección de los tres ejes radicales de las circunferencias que signamos con C. El Centro radical goza de la propiedad de tener la misma potencia respecto de las tres circunferencias ya que pertenece a todos los ejes radicales. Ver figura.
EXPRESIONES ANALÍTICAS DE LA PROPIEDADES MÉTRICAS DE
LA CIRCUNFERENCIA: POTENCIA Y SUS DERIVADOS
En este tema vamos a intentar responder a las siguientes preguntas
¿Cuales son las expresiones analíticas de las propiedades métricas estudiadas?
¿Cuales son sus expresiones algebraicas?
¿Qué aplicaciones tiene?
Es posible que se respondan algunas más. Para su desarrollo utilizaremos las propiedades métricas enunciadas en este enlace. Potencia de un punto respecto de una circunferencia: En este enlace. se definió la potencia del punto P respecto de la circunferencia de esta manera:
Potencia de P = k2 = PA x PB = d2 - r2
Siendo r el radio de la circunferencia y d la distancia del punto al centro de la circunferencia.
Se trata de expresar en forma de ecuación la potencia de un punto P(x1 y1) respecto de la circunferencia de centro O(x0 y0) cuya ecuación es: (x - x0)2 + (y - y0)2 - r2 = 0 (1) La distancia d, entre el punto P(x1 y1) y el centro O(x0 y0) se expresa así: d2 = (x1 - x0)2 + (y1 - y0)2
Si en la fórmula de la potencia k2 = d2 - r2 sustituimos d, distancia entre el punto y el centro de la circunferencia por su valor tendremos: Si Potencia del punto P = k2 = (x1 - x0)2 + (y1 - y0)2 - r2 (2) Si comparamos (1) con (2) se observa que la potencia de un punto P respecto de una circunferencia se determina sustituyendo las coordenadas del punto P en la ecuación de la circunferencia. El valor así determinado será la potencia. NOTA: Como hemos visto aquí, la ecuación de la circunferencia puede escribirse también así: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 y la potencia de un punto P(x1 y1) se puede escribir así:
Potencia del punto P = k2 = x12 + y1
2 + Ax1 + By1 + C
Posición de un punto respecto de una circunferencia: Como vimos en las propiedades métricas enunciadas en este enlace el punto P puede ser exterior, interior o pertenece a la circunferencia. Si el punto P es exterior, k2 > 0 en ese caso la potencia es positiva. Si el punto P es interior, k2 < 0 en ese caso la potencia es negativa. Si el punto pertenece a la circunferencia, k2 = 0 en ese caso la potencia es nula Conclusión: Un punto P es exterior, interior o pertenece a la circunferencia según que su potencia sea mayor, menor o igual a cero Eje radical de dos circunferencias: Supongamos un punto P y dos circunferencias de centros O1 y O2 y radios respectivos r1 y r2 llamemos k1p y k2p a sus respectivas potencias. (Por razones de comodidad operativa prescindo del cuadrado de k). Puede ocurrir que k1p sea >,<, = que k2p Prescindamos de la valores >,<, y pensemos sobre la igualdad; esto es, un punto que cumpla que sus potencias respectivas respecto de ambas circunferencias sean iguales esto es k1p = k2p
Supongamos otro punto Q cuyas potencias respecto de las dos circunferencias sean k1q y k2q y cumplan la condición de que sus valores sean iguales; esto es, k1q = k2q
Los puntos P y Q determinan una recta que se llama eje radical de las circunferencias y se define como el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuyas potencias sen iguales respecto de dos circunferencias dadas. Ver figura.
El eje radical tiene la propiedad de ser perpendicular a la línea que une los centros de la circunferencia. Tal propiedad se demostrará después. ¿Cómo determinamos su ecuación? Veámoslo: Sean dos circunferencias situadas en el mismo plano de centros respectivos O1(x1 y1) y O2 (x2 y2) y radios respectivos r1 y r2 sus ecuaciones serán x2 + y2 + A1x + B1y + C1 = 0 (1)x2 + y2 + A2x + B2y + C2 = 0 (2) Sea el punto genérico P(x y) en el plano de las circunferencias. Llamemos k1p y k2p a sus respectivas potencias. (Por razones de comodidad operativa prescindo del cuadrado de k) El valor de la potencia de ese punto respecto de cada circunferencia será: k1p = x2 + y2 + A1x + B1y + C1
Si k1p = k2p se cumplirá
k2p = x2 + y2 + A2x + B2y + C2
x2 + y2 + A1x + B1y + C1 = x2 + y2 + A2x + B2y + C2
.Simplificando y trasponiendo términos tendremos: (A1 - A2)x + (B1- B2)y + (C1 - C2) = 0 Que es la ecuación de una recta cuyos puntos tienen la misma potencia respecto de las dos circunferencias luego la ecuación del eje radical de dos circunferencias será: (A1 - A2)x + (B1- B2)y + (C1 - C2) = 0 Ecuación del eje radical de dos circunferencias (A1- A2)x + (B1- B2)y + (C1 - C2) = 0 NOTA: Para determinar la ecuación del eje radical de dos circunferencias se escriben las ecuaciones de ambas circunferencias, se restan y la ecuación resultante es la del eje radical. Ejemplo 1: Determinar el eje radical de las circunferencias: x2 + y2 - 4x - 6y + 12 = 0x2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0 Restando miembro a miembro tendremos: 2x + 4y - 11 = 0 Que es la ecuación del eje radical de esas circunferencias. Cualquier punto que pertenezca a esa recta tiene la misma potencia respecto de las dos circunferencias. Otra forma: Si en vez de utilizar la expresión general usamos la forma (1) las potencias k1p y k2p para cada una de las circunferencias serán: k1p = (x - x1)2 + (y - y1)2 - r1
2 = 0 k2p = (x - x2)2 + (y - y2)2 - r2
2 Si desarrollamos y ordenamos ambas ecuaciones tendremos: k1p = x2 + y2 - 2xx1 - 2yy1 + x1
2 + y12 - r1
2 k2p = x2 + y2 - 2xx2 - 2yy2 + x2
2 + y22 - r2
2 Como k1p = k2p si restamos miembro a miembro ambas ecuaciones tendremos:
2x(x2 - x1) + 2y(y2 - y1) + x22 - x1
2 + y22- y1
2 - r22 + r1
2 = 0 Que sería la ecuación del eje radical en función de las coordenadas de los centros y radios de las circunferencias. (x2 - x1)La pendiente del eje radical sería me = - ---------- (*) (y2 - y1) La ecuación de la recta que une los centros O1(x1 y1) y O2 (x2 y2) y - y1 x - x1
Sería: --------- = ---------- y2 - y1 x2 - x1
y2 - y1
Y su pendiente mc = ----------- (**) x2 - x1
Si comparamos (*) con (**) observamos que tienen valores recíprocos y opuestos esto es: mc = - 1/me
Que es la condición de perpendicularidad de dos rectas. Por tanto: El eje radical de dos circunferencias es perpendicular a la línea que une los centros de ambas circunferencias. Repito la NOTA: Para determinar la ecuación del eje radical de dos circunferencias se escriben las ecuaciones de ambas circunferencias, se restan y la ecuación resultante es la del eje radical. Centro radical de tres circunferencias: Como vimos en este enlace tres circunferencias de centros respectivos O1, O2 y O3 con ejes radicales e1, el de O1, O2, e2 el de O1, O3 y e3 el de O2, O3 Se llama Centro radical al punto de intersección de los tres ejes radicales de las circunferencias que signamos con C. El Centro radical goza de la propiedad de tener la misma potencia respecto de las tres circunferencias ya que pertenece a todos los ejes radicales. Ver figura.
Para determinar el centro radical de tres circunferencias se procede como sigue:
Escritas las ecuaciones de las tres circunferencias tomadas dos a dos, se determinan sus ejes radicales. Se resuelve el sistema formado por dos cualesquiera de ellos y la solución dará las coordenadas del Centro radical.
Su cálculo se deja al arbitrio del lector.