circunferencia - parÁbola...la ecuación de cualquier circunferencia particular puede obtenerse...

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Equipo de Matemática 390

INTRODUCCIÓN:

Una cónica puede considerarse como el resultado de cortar una superficie cónica con un plano; o como el lugar geométrico de los puntos del plano tal que la razón de sus distancias a un punto y a una recta es constante; o bien puede darse de ella una definición específica, que es lo que se va a desarrollar en este tema. Circunferencia: Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro. CIRCUNFERENCIA - ECUACIONES: 1. Ecuación de la Circunferencia (Forma Ordinaria):

Con centro el origen de coordenadas C (0 ; 0) y radio = “r”.

2. Ecuación de la Circunferencia (Forma Ordinaria): Con centro C (h, k) y radio = “r”.

“CIRCUNFERENCIA - PARÁBOLA”

2 2 2x +y =r

x2 + y2 = r2

(1)

∁: (x – h)2 + (y – k)2 = 𝒓𝟐 (2)

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3. Forma General de la Ecuación de la Circunferencia:

De la ecuación ordinaria de la circunferencia, se tiene (x – h)2 + (y – k)2 = r2

x2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = r2 x2 + y2 – 2hx – 2ky + h2 + k2 – r2 = 0

Haciendo D = -2h, E = -2k y F = h2 + k2 – r2, se tiene: Observación.- Se presenta ahora el problema de determinar si toda ecuación de la forma (3) representa a una circunferencia. Para solucionar el problema planteado procedemos de la siguiente manera: De la ecuación (3)

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 x2 + Dx + y2 + Ey + F = 0

Completando cuadrados

222

222

2

E

2

EEyy

2

D

2

DDxx = -F

F4

E

4

D

2

Ey

2

Dx

2222

4

F4ED

2

Ey

2

Dx

2222

(4)

Comparando las ecuaciones (1) y (4) se tiene que (4) hay tres casos posibles por considerar:

∁: x2 + y2 + D x + E y + F = 0 (3)

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a) Si D2 + E2 – 4F > 0, la ecuación (4) representa a una circunferencia

de centro el punto

C(-2

D, -

2

E) y radio r = F4ED

2

1 22 .

b) Si D2 + E2 – 4F = 0, la ecuación (4) representa a una circunferencia

de radio cero, se tiene también que es una circunferencia punto y

la ecuación representa al punto C(-2

D, -

2

E).

c) Si D2 + E2 – 4F < 0, la ecuación (4) representa a una circunferencia

imaginaria, siendo en este caso su lugar geométrico el conjunto vacío.

4. Determinación de una Circunferencia Sujeta a Tres Ecuaciones:

En la ecuación ordinaria de la circunferencia (x – h)2 + (y – k)2 = r2 hay tres constantes arbitrarias independientes h, k y r. De manera semejante en forma general, de la ecuación de la circunferencia

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

hay tres constantes arbitrarias independientes D, E y F. La ecuación de cualquier circunferencia particular puede obtenerse determinando los valores de tres constantes. Por lo tanto, la ecuación de una circunferencia se determina completamente a partir de tres condiciones independientes.

Ejemplo : La ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(5, 3), B(6, 2) y C(3, -1) es: Resolución: De la ecuación general x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 reemplazando las coordenadas de los puntos se obtienen las ecuaciones:

A(5, 3) 25 + 9 + 5D + 3E + F = 0

B(6, 2) 36 + 4 + 6D + 2E + F = 0

C(3, -1) 9 + 1 + 3D – E + F = 0 Resolviendo el sistema

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5D + 3E + F = -34 6D + 2E + F = -40 3D – E + F = -10

Se obtiene D = -8, E = -2 y F = 12 Reemplazando, en la ecuación general se tiene

x2 + y2 – 8x – 2y + 12 = 0

5. Ecuación de la Circunferencia en Forma de Determinante: La ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos dados no colineales P1(x1, y1), P2(x2, y2) y P3(x3, y3) está dada por el determinante.

1yxyx

1yxyx

1yxyx

1yxyx

332

32

3

222

22

2

112

12

1

22

= 0 (5)

Nota: La forma (5) es usada para determinar si cuatro puntos dados están o no están sobre una circunferencia. Ejemplo : Si el centro de la circunferencia está situado en la recta L: x – 3y – 11 = 0 y la circunferencia pasa por los puntos P(2, 3) y Q(-1, 1) , entonces su ecuación es:

Resolución: Sea C(h, k) las coordenadas del centro de la circunferencia. Como C(h, k) debe equidistar de los puntos P (2, 3) y Q (-1, 1) d(C, P) = d(C, Q)

22 )3k()2h( = 22 )1k()1h(

Elevando al cuadrado y simplificando se tiene

6h + 4k = 11 El centro C(h, k) debe estar sobre la recta x – 3y – 11 = 0, se tiene: h – 3k = 11. Del sistema

6h + 4k = 11 h – 3k = 11

Se tiene h = 7/2 y k = -5/2

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Luego, las coordenadas del centro son C (2

7,

2

5 )

r =

22

12

51

2

7

= 130

2

1

Por tanto, la ecuación de la circunferencia es

22

2

5y

2

7x

=

4

130

Ejemplo :Sea 4x2 + 4y2 -16x +20y +25 = 0, la ecuación de una circunferencia. La ecuación de la circunferencia concéntrica que es tangente a la recta 5x -12y =1 es: Resolución: 4x2 + 4y2 -16x +20y +25 = 0 (dividiendo entre 4) x2 + y2 - 4x + 5y + 25/4 = 0 ( x2 - 4x + ) + ( y2 + 5y + ) = - 25/4 Completamos cuadrados: ( x2 - 4x + 4 ) + ( y2 + 5y + 25/4 ) = - 25/4 + 4 + 25/4 ( x - 2 )2 + ( y + 5/2 )2 = 4 C ( 2 ; -5/2) y r = 2 Ahora calculamos el radio de la circunferencia tangente a la recta “L” y concéntrica a la circunferencia dada.

Luego r = d(c, L) =

22 125

1)2

5)(12()2(5

= 3

Por lo tanto la ecuación concéntrica es: (x -2)2+(y+5/2)2 = 9

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MÉTODO PARA RECONOCER SI UNA RECTA ES TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA Sea la recta L: A x + B y + C = 0 y la circunferencia

C: x2 + y2 + D x + E y + F = 0

Se resuelve simultáneamente las ecuaciones para determinar sus intersecciones:

1er Paso: se despeja “y” en la ecuación de la recta. 2do Paso: se reemplaza “y” en la ecuación de la circunferencia

3er Paso: se obtiene una ecuación de la forma:ax 2 + by + c = 0 4to Paso: sus raíces están dadas por:

X = a

acbb

2

42

La naturaleza de las raíces depende de la discriminante:

Δ = b2 – 4 ac

Casos

1. Δ < 0

2. Δ > 0

3. Δ = 0 (tangencial)

No existe intersección

Existen 2 puntos de intersección

Un punto de intersección

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LA PARABOLA

1. Definición: Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta.

2. Elementos de la Parábola:

3. Ecuaciones de la Parábola:

a) Ecuación de la Parábola de Vértice en el origen y el eje focal el eje “x”.

𝐲𝟐 = 𝟒 𝐩 𝐱

L E

C

N

P

V F

B

D

M

1. Foco (F) 2. Directriz: recta L 3. Eje focal: recta que

pasa por F y es perpendicular a la directriz.

4. Vértice (V): punto de intersección de la parábola con su eje.

5. Cuerda (BC) 6. Cuerda focal (DE) 7. Lado recto: MN cuerda

focal perpendicular al eje focal

𝑑(𝑃, 𝐿) = 𝑑(𝑝, 𝐹)

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dPFPA

d

Vértice : V ( 0 ; 0 ) ; Foco : F (p ; 0 ) Lado Recto : LR : 4 p ; Ecuación Directriz : x = - p

si p > 0 la parábola tiene abertura hacia la derecha

si p < 0 la parábola tiene abertura hacia la izquierda

b) Ecuación de la Parábola de Vértice en el origen y el eje focal el eje “y”.

𝐱𝟐 = 𝟒 𝐩 𝐲 Vértice : V ( 0 ; 0 ) ; Foco : F (0 ; p ) Lado Recto : LR : 4 p ; Ecuación directriz : y = - p

Si p > 0, la parábola tiene abertura hacia arriba.

Si p < 0. la parábola tiene abertura hacia abajo

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c) Ecuación de la Parábola de Vértice V (h ; k ) y eje focal paralelo al Eje “x”.

Foco: F ( h + p ; k ) ; LR = 4p Vértice : V (h ; k) Parámetro : p Foco : F (h + p ; k)

Lado recto : LR = p4

Ecuación de la directriz : x = h - p Si p>0 la parábola se abre hacia la derecha; si p<0 la parábola se abre hacia la izquierda.

d) Ecuación de la Parábola de Vértice V(h, k) y Eje Paralelo al Eje “y”.

𝑷: (y – k)2 = 4p(x – h)

𝑷: (x – h)2 = 4p (y – k)

Y D

y = k

O

(h; k)V

h X

F(h+p,k)

x = h – p

p

k X´

P (x; y)

p

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Vértice : V (h ; k) Parámetro : p Foco : F (h; k + p)

Lado recto : LR = p4

Ecuación de la directriz : y = k - p

Si p>0 la parábola se abre hacia arriba; si p<0 la parábola se abre hacia abajo.

4. Ecuación General de la Parábola: a) Si el eje de la parábola es paralelo al eje X y su vértice es V(h, k), su ecuación es de la forma:

b) Si el eje de la parábola es paralelo al eje Y y su vértice es V(h, k), su ecuación es de la forma:

𝑃: y2 + D x + E y + F = 0

𝑃: x2 + D x + E y + F = 0

Y

y = k – p

O

V(h, k) D

X

F(h, k+p)

x = h

Y´

k p

p

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5. Ecuación de la Tangente a una Parábola: Teorema 1: La tangente a la parábola y2 = 4px en cualquier punto P1(x1, y1) de la curva tiene por ecuación

Teorema 2: La tangente de pendiente “m” a la parábola y2 = 4px tiene por ecuación

6. Propiedad Focal de la Parábola: Teorema 3: La normal a la parábola en un punto P1(x1, y1) cualquiera de la parábola forma ángulos iguales con el radio vector de P1 y la recta que pasa por P1 y es paralelo al eje de la parábola.

Ejemplo : Si el centro de la circunferencia está situado en la recta L: x – 3y – 11 = 0 y la circunferencia pasa por los puntos P (2, 3) y

Q (-1, 1) , entonces su ecuación es: Resolución:

Sea C(h, k) las coordenadas del centro de la circunferencia. Como C(h, k) debe equidistar de los puntos P (2, 3) y Q (-1, 1) d(C, P) = d(C, Q)

22 )3k()2h( = 22 )1k()1h(

Elevando al cuadrado y simplificando se tiene 6h + 4k = 11

El centro C(h, k) debe estar sobre la recta x – 3y – 11 = 0, se tiene: h – 3k = 11. Del sistema

6h + 4k = 11 h – 3k = 11

Se tiene h = 7/2 y k = -5/2

Luego, las coordenadas del centro son C(2

7,

2

5 )

y1y = 2p (x + x1)

y = mx + m

p (m 0)

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r =

22

12

51

2

7

= 130

2

1

Por tanto, la ecuación de la circunferencia es 22

2

5y

2

7x

=

4

130

Ejemplo : Si el vértice y foco de la parábola son los puntos (3, 3) y (3, 1), respectivamente. Hallar su ecuación ; la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto. Resolución:

La ecuación es (x – 3)2 = -8 (y – 3) En este caso h=2, k= -2, p= -4 La ecuación de su directriz es y = 5.

La longitud de su lado recto es: /4p/ = /4(-4) / = 8

Y y = 5

O

V(3, 3)

X

F(3, 1)

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Ejemplo: Si los puntos (-4, 3) y (-1, 3) representan el vértice y foco de la parábola, respectivamente. Hallar la ecuación de la parábola, así como las ecuaciones de su directriz y su eje. Resolución:

p = 3 La ecuación de la parábola es: (y – 3)2 = 12 (x + 4) La ecuación de su directriz es x = -7. La ecuación de su eje es: y = 3.

Ejemplo: Si el vértice y foco de la parábola son los puntos (3, 3) y (3, 1), respectivamente. Hallar su ecuación y también la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto. Resolución:

La ecuación es (x – 3)2 = -8 (y – 3) En este caso h=2, k= -2, p= -4 La ecuación de su directriz es y = 5. La longitud de su lado recto es: /4p/ = /4(-4) / = 8.

L Y

O

V(-4, 3)

X

F(-1, 3)

x = –7

Y y = 5

O

V(3, 3)

X

F(3, 1)

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Ejemplo :Las ecuación de las tangentes trazadas desde el punto

(2, -4) a la parábola x2 – 6x – 4y + 17 = 0 son: Resolución:

La ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto (2, -4) es y + 4 = m(x – 2)

en donde “m” es la pendiente de la tangente buscada. y = mx – 3m – 4

Sustituyendo en la ecuación de la parábola x2 – 6x – 4(mx – 3m – 4) + 17 = 0

x2 – (4m + 6)x + (8m + 33) = 0 Por condición de tangencia

(4m + 6)2 – 4(8m + 33) = 0 m = 2, -3

Por lo tanto, las ecuaciones de las tangentes son: 2x – y – 8 = 0 y 3x+ y – 2 = 0

Ejemplo: La ecuación ordinaria de la circunferencia que pasa por (7; -5) y

es tangente a la recta 4 0x y en el punto ( 3; – 1 ).

Resolución:

Vemos que la pendiente de 1TL es m

Entonces, si 3; 1T es punto de tangencia: 1TC

m

Luego: 1

: 13

kCT

h

suur

2 .......k h I

Luego: ; ;d T C d B C

2 2 2 2

3 1 7 5 ....( )h k h k II

De I y II , obtenemos: h=5, k= – 3

Entonces la ecuación es:

2 2

5 3 8x y

C(h; k)

r

T(3;-1)

1 4 0L x y y

x

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Ejemplo: Las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas desde el

punto Q(1; 6) hacia la circunferencia. 2 2: 2 19 0C x y x , son.

Resolución:

Primero escribimos la ecuación ordinaria de la circunferencia:

2 22 2 2 19 0 1 0 20x y x x y

De donde: 20 1; 0r y C

Tenemos el punto Q( 1; 6 ) y planteamos la ecuación de la tangente:

6 1y m x

: 6 0L mx y m , luego tenemos que:

1

22

1 1 0 6; 20

1

m md C L r

m

Resolvemos y tenemos:

1 2

12

2m m

Luego:

1 1

1 16 0 2 11 0

2 2L x y L x y

2 22 6 2 0 2 8 0L x y L x y

Ejemplo: Las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas desde el punto

P(-1; 1) a la parábola: 2 6 5 11 0x x y

Resolución: Si la recta tangente pasa por el punto P( -1; 1), entonces su ecuación

es: 1 1 1 ....( )y m x y mx m I

Al sustituir en la ecuación de la parábola, tenemos:

2 6 5 1 11 0x x mx m

2 5 6 5 6 0x m x m

Por condición de la tangencia, la discriminante debe ser cero: 0V

Q(1; 6)

r

C(-1;0)

MN

L1L2

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2

5 6 4 1 5 6 0m m

5 6 5 10 0m m

62

5m o m

Reemplazando en (I), tenemos:

6 61 6 5 11 0

5 5y x x y

2 2 1 2 3 0y x x y

Ejemplo: Ecuación de la parábola cuyo eje focal es paralela al eje de

las abscisas y que pasa por los puntos 0 ; 0 , 8 ; 4 3 ; 1y

Resolución:

2 0y Dx Ey F

0;0 0 0 0 0 0F F

28;4 4 8 4 0 2 4D E D E

3; 1 1 3 0 3 1D E D E

5 5

1

D

D

Entonces: 2E

Luego la ecuación de la parábola es: 2 2 0y x y

circunferencia - parÁbola...la ecuación de cualquier circunferencia particular puede obtenerse...

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