i.sistemas de coordenadas ii. gráfica de una ecuación y lugares geométricos iii. la línea recta...
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Geometría
Analítica Plana
I.Sistemas de coordenadas
II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
III. La línea recta
IV. Ecuación de la circunferencia
V. Transformación de coordenadas
VI. La parábola
VII. La elipse
VIII. La hipérbola
Geometría Analítica Plana
http://www.licimep.org/geometriaanalitica.htm
Página WEB del curso
http://www.licimep.org/MateFisica.htm
Problemas resueltos de Matemáticas y de
Física
• En particular, hay una sección dedicada a Geometría Analítica, que tiene 81 problemas resueltos
• En esa sección hay problemas del Lehmann.Del capítulo II hay 15 problemas resueltos
¿Qué es la Geometría Analítica?
Es el estudio de la geometría
usando los principios del
álgebra.
Es la unión de la geometría
y el álgebra
¿Qué es la Geometría Analítica?
Ecuaciones en dos
variables
Figuras geométricas en el plano
Gracias al sistema
coordenado, al plano
cartesiano
Que establece una correspondencia biunívoca, uno a
uno, entre los puntos del plano y
los pares ordenados de
números reales
Abscisa
Ordenada
Plano cartesiano
,x y
x
y
Ecuaciones en x e y
Figuras en el
plano
4 2 5x y
4 2 5 x y
5 3 23 4 2 5x y xy x y
5 3 23 4 2 5x y xy x y
2 23 4 2 7 0x y xy x y
2 23 4 2 7 0x y xy x y
2 27 3 2 7x y x y
2 27 3 2 7x y x y
En este curso, de
Geometría Analítica Plana,
nos limitaremos a:Las líneas rectas
y a las secciones cónicas, que son:La elipse (y la circunferencia
como caso especial)La parábolaLa hipérbola
Las ecuaciones lineales en dos variables.
Es decir, todas las ecuaciones de la forma
0
donde , y son números reales y 0 ó 0
ax by c
a b c a b
Las líneas rectas en el plano
2 2
Las ecuaciones de segundo grado en dos variables.
Es decir, todas las ecuaciones de la forma
0
donde , , , , y son números reales y
alguno de los numeros , , es distinto de
Ax Bxy Cy Dx Ey F
A B C D E F
A B C
cero.
Las cónicas o casos degenerados
de ellas en el plano
¡No toda ecuación de
segundo grado en dos
variables tiene asociada
una curva!
Más adelante veremos
algunos ejemplos.
¡No toda ecuación de
segundo grado en dos
variables tiene asociada
una curva!
2 2 1 0x y
I.Sistemas de coordenadas
II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
III. La línea recta
IV. Ecuación de la circunferencia
V. Transformación de coordenadas
VI. La parábola
VII. La elipse
VIII. La hipérbola
Geometría Analítica Plana
http://www.licimep.org/MateFisica.htm
Problemas resueltos de Matemáticas y de
Física
• En particular, hay una sección dedicada a Geometría Analítica, que tiene 81 problemas resueltos
• En esa sección hay problemas del Lehmann,. En particular, del capítulo II hay 15 problemas resueltos
Gráfica de una ecuación y
lugares geométricos
Dos problemas fundamentales de la geometría analítica
Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación
Intersección con los ejes Simetría Extensión de la curva Asíntotas Construcción de curvas Ecuaciones factorizables Intersecciones de curvas Segundo problema fundamental Ecuación de un lugar geométrico
Geometría Analítica PlanaGráfica de una ecuación y lugares geométricos
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica
En este capítulo haremos un estudio preliminar de dos
problemas fundamentales de la Geometría Analítica.
I . Dada una ecuación interpretarla geométricamente;
es decir, construir la gráfica correspondiente .
II. Dada una figura geométrica, o la condición que
deben cumplir los puntos de la misma, determinar
su ecuación.
Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica
Dada una ecuación,
interpretarla geométricam
ente
Dada un figura geométrica,
determinar su ecuación
Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica
I . Dada una ecuación interpretarla geométricamente; es decir,
construir la gráfica correspondiente .
II. Dada una figura geométrica, o la condición que deben cumplir
los puntos de la misma, determinar su ecuación.
Estos problemas son esencialmente inversos entre si.
Estrictamente hablando, sin embargo, ambos problemas
están tan estrechamente relacionados que constituyen
juntos el problema fundamental de toda la Geometría
Analítica.
Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica
I . Dada una ecuación interpretarla geométricamente;
es decir, construir la gráfica correspondiente .
II. Dada una figura geométrica, o la condición que deben
cumplir los puntos de la misma, determinar su ecuación.
Por ejemplo, veremos más adelante, que después de
obtener la ecuación para una condición geométrica dada,
frecuentemente es posible determinar, por un estudio de
esta ecuación, posteriores caracteristicas geométricas y
propiedades para la condición dada.
El propósito al considerar inicialmente separados los dos,
es de conveniencia; de esta manera tenemos que enfocar
nuestra atención sobre un número menor de ideas a la vez.
Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
Primer problema fundamental: La gráfica de una
ecuación
Supongamos que se nos da una ecuación en dos variables,
e , que podemos escribir en la forma
, =0
En general, hay un número infinito de pares de valores de
e que satisfacen esta ecuación. Cada un
x y
f x y
x y o de tales pares
de valores reales se toma como las coordenadas ( , ) de
un punto en el plano.
x y
Primer problema fundamental: La gráfica de una ecuación
Definición 1: El conjunto de los puntos,
y solamente de aquellos puntos, cuyas
coordenadas s
gráfica de la e
atisfagan una ecuación
, =0
se llama o, bien,
su
cuación
lugar geométr co .i
f x y
Primer problema fundamental:
La gráfica de una ecuación
Definición 2: Cualquier punto cuyas
coordenadas satisfacen la ecuación
, =0
pertenece a la gráfica de la ecuación.
f x y
Primer problema fundamental:
La gráfica de una ecuación
Debe insistirse mucho en que solamente aquellos
puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación
pertenecen a su lugar geométrico.
Lo importante es que si las coordenadas de un punto
satisfacen una ecuación, ese punto pertenece a la
gráfica de esa ecuación y , reciprocamente , si un
punto está sobre la gráfica de una ecuación, sus
coordenadas satisfacen la ecuación.
Primer problema fundamental:La gráfica de una ecuación
Lo importante es que si las coordenadas de un punto
satisfacen una ecuación, ese punto pertenece a la
gráfica de esa ecuación y , reciprocamente , si un
punto está sobre la gráfica de una ecuación, sus
coordenadas satisfacen la ecuación.
Primer problema fundamental:La gráfica de una ecuación
Este es un caso típico de una condición
necesaria y suficiente.
Como las coordenadas de los puntos de un
lugar geométrico están restringidas por su
ecuación, tales puntos estarán localizados,
en general, en posiciones tales que, tomadas
en conjunto, formen un trazo bien definido
llamado curva, gráfica o lugar geométrico.
Primer problema fundamental:La gráfica de una ecuación
2 5 3y x x
5 3 27 3 2 10 0x y x x y
En Álgebra se estudia el trazado de gráficas del tipo
, =0
El procedimiento consiste en trazar un cierto
número de puntos y dibujar una linea continua
que pase por todos ellos, tal como mostramos en
las
f x y
transparencias anteriores.
Primer problema fundamental:
La gráfica de una ecuación
Pero, a1 hacer esto, se supone que la gráfica entre
dos puntos sucesivos cualesquiera tiene la forma de
la curva continua que se dibuja uniendo los puntos.
Aunque esto es verdadero para algunas gráficas, no
es verdadero para las gráficas de todas las
ecuaciones.
Primer problema fundamental: La gráfica de una ecuación
En Álgebra se estudia el trazado de gráficas del tipo
, =0
El procedimiento consiste en trazar un cierto número de puntos
y dibujar una linea continua que pase por todos ellos.
f x y
Para evitar errores de este tipo , debemos hacer
una investigación preliminar de la ecuación para
ciertas caracteristicas antes de proceder al
trazado de la curva. Esto se llama discutir la
ecuación y se describe en los artículos que siguen
inmediatamente al presente.
Primer problema fundamental:La gráfica de una ecuación
Aunque esto es verdadero para algunas ecuaciones,
no es verdadero para las gráficas de todas las ecuaciones.
¡Atención!
No toda ecuación del tipo
, 0
tiene, necesariamente,
una gráfica.
f x y
Primer problema fundamental:La gráfica de una ecuación
2 2
La ecuación
4 0
se satisface para un número infinito de pares de valores de
e , pero en ningun caso son ambos valores números reales.
Por esto no se puede trazar ningun punto cuyas coordenadas
sat
x y
x y
2 2
isfagan esta ecuación, ya que estamos restringidos a puntos
cuyas coordenadas sean ambas números reales. Decimos
entonces que 4 0 no tiene gráfica en el sistema
coordenado rectangular real que esta
x y
mos empleando.
No toda ecuación del tipo , 0 tiene una gráfica.f x y
2 2
La ecuación
0
se satisface solamente para
0, 0.
En este caso la "gráfica" asociada
a esta ecuación se reduce a un
solo punto, el origen.
x y
x y
No toda ecuación del tipo , 0 tiene una gráfica.f x y
Primer caso: Construir una gráfica a partir de
una ecuación.Definición: El conjunto de puntos
cuyas coordenadas satisfagan u
gráfica de la
ecuación
na
ecuación, se llama
lugar geomét ó rico.
Para trazar una gráfica
Se necesitaPlano
cartesiano
Ecuación
Pares ordenados de puntos
Lugar geométrico ó gráfica de la
ecuación
Características de la ecuación
Al menos una de las variables debe
de estar en función de la otra.
Características de la ecuación
Es decir, en la ecuación original
, 0
debemos despejar una de las variables,
digamos , y obtener la ecuación
f x y
y
y F x
Al menos una de las variables debe
de estar en función de la otra.
Características de la ecuación
El conjunto solución de la ecuación,
formado por los puntos ordenados,
debe pertenecer al conjunto de los
números reales.
Características de la ecuación El conjunto solución de la ecuación,
formado por los puntos ordenados,
debe pertenecer al conjunto de los
números reales.
,Es decir, y x F x x y R
Primer caso:Construir una
gráfica a partir de una ecuación.
Ejemplos
¿Qué figura geométrica
representa la ecuación
2 3 0?x y
Primer caso: Construir una gráfica a partir de una ecuación
Ejemplos
2 3 0x y
Esta ecuación está en la forma implícita:
, 0F x y
Debemos ponerla en forma explícita
despejando alguna de las variables.
Elegimos despejar , y tenemos 2 3
y f x
y y x
x y0 -3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
0
5
10
15
2 3 0
2 3
x y
y x
x y0 -31 -1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
0
5
10
15
2 3 0x y
x y0 -31 -1-1 -5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
0
5
10
15
2 3 0x y
x y0 -31 -1-1 -52 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
0
5
10
15
2 3 0x y
x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -7 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
0
5
10
15
2 3 0x y
x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -73 3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
0
5
10
15
2 3 0x y
x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -73 3-3 -9
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
0
5
10
15
2 3 0x y
x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -73 3-3 -94 5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
0
5
10
15
2 3 0x y
x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -73 3-3 -94 5-4 -11
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
0
5
10
15
2 3 0x y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
0
5
10
15
2 3 0x y
2
¿Qué figura geométrica
representa la ecuación
5 3 0?y x x
Primer caso: Construir una gráfica a partir de una ecuación
Ejemplos
2 5 3y x x x y0 3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x y0 31 -1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
2 5 3y x x
x y0 31 -2-1 9
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
0
5
10
15
2 5 3y x x
x y0 31 -2-1 92 -3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
0
5
10
15
2 5 3y x x
x y0 31 -2-1 92 -3-2 1
7-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
0
5
10
15
20
2 5 3y x x
x y0 31 -2-1 92 -3-2 1
73 -3 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
0
5
10
15
20
2 5 3y x x
x y0 31 -2-1 92 -3-2 1
73 -34 -1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
0
5
10
15
20
2 5 3y x x
x y0 31 -2-1 92 -3-2 1
73 -34 -1-4 3
9
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
0
5
10
15
20
2 5 3y x x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-10
0
10
20
30
40
50
2 5 3y x x
3 2
¿Qué figura geométrica
representa la ecuación
8 15 ?y x x x
Primer caso: Construir una gráfica a partir de una ecuación
Ejemplos
x y-1.00 -24.003 28 15y x x x
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17
3 28 15y x x x
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63
3 28 15y x x x
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.27
3 28 15y x x x
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.00
3 28 15y x x x
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.27
3 28 15y x x x
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.63
3 28 15y x x x
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.17
3 28 15y x x x
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.00
3 28 15y x x x
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.20
3 28 15y x x x
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.88
3 28 15y x x x
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.11
3 28 15y x x x
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.00
3 28 15y x x x
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.64
3 28 15y x x x
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.13
3 28 15y x x x
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.132.75 1.55
3 28 15y x x x
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.132.75 1.553.00 0.00
3 28 15y x x x
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.132.75 1.553.00 0.003.25 -1.42
3 28 15y x x x
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.132.75 1.553.00 0.003.25 -1.423.50 -2.63
3 28 15y x x x
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.132.75 1.553.00 0.003.25 -1.423.50 -2.633.75 -3.52
3 28 15y x x x
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.132.75 1.553.00 0.003.25 -1.423.50 -2.633.75 -3.524.00 -4.00
3 28 15y x x x
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.132.75 1.553.00 0.003.25 -1.423.50 -2.633.75 -3.524.00 -4.004.25 -3.98
3 28 15y x x x
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.132.75 1.553.00 0.003.25 -1.423.50 -2.633.75 -3.524.00 -4.004.25 -3.984.50 -3.38
3 28 15y x x x
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.132.75 1.553.00 0.003.25 -1.423.50 -2.633.75 -3.524.00 -4.004.25 -3.984.50 -3.384.75 -2.08
3 28 15y x x x
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.132.75 1.553.00 0.003.25 -1.423.50 -2.633.75 -3.524.00 -4.004.25 -3.984.50 -3.384.75 -2.085.00 0.00
3 28 15y x x x
-1.0
0-0
.50
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
4.50
5.00
5.50
6.00
-25.00
-15.00
-5.00
5.00
15.00
3 28 15y x x x
¿Qué figura geométrica
representa la ecuación
1?
1y
x
Primer caso: Construir una gráfica a partir de una ecuación
Ejemplos
1
1y
x
x y-10 -0.09
-9 -0.10-8 -0.11-7 -0.13-6 -0.14-5 -0.17-4 -0.20-3 -0.25-2 -0.33-1 -0.500 -1.0012 1.003 0.504 0.335 0.256 0.207 0.178 0.149 0.13
10 0.11
1
1y
x
1
1y
x
x y0.00 -1.000.05 -1.050.10 -1.110.15 -1.180.20 -1.250.25 -1.330.30 -1.430.35 -1.540.40 -1.670.45 -1.820.50 -2.000.55 -2.220.60 -2.500.65 -2.860.70 -3.330.75 -4.000.80 -5.000.85 -6.670.90 -10.000.95 -20.00
1
1y
x
x y1.05 20.001.10 10.001.15 6.671.20 5.001.25 4.001.30 3.331.35 2.861.40 2.501.45 2.221.50 2.001.55 1.821.60 1.671.65 1.541.70 1.431.75 1.331.80 1.251.85 1.181.90 1.111.95 1.052.00 1.00
1
1y
x
1
1y
x
-2.00-1.70-1.40-1.10-0.80-0.50-0.20 0.10 0.40 0.70 1.14 1.44 1.74 2.04 2.34 2.64 2.94
-15.00
-10.00
-5.00
0.00
5.00
10.00
15.00
1
1y
x
Intersección con los
ejes
Construcción de la
curva
Extensión de la curva
Asíntotas
Simetría
Criterios
Cálculo de
coordenadas
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricosIntersección
con los ejes coordenados
Intersección con el eje X
La intersección de la curva con
el eje , es la abscisa del punto
de intersección de la curva con
el eje.
La abscisa al origen es ,0 .
X
f x
Intersección con el eje X
Para encontrar la intersección
con el eje :
Se hace y = 0 en la ecuación
y se encuentran las raíces de
la ecuación resultante.
X
Hacemos 0
La ecuación que resulta es 2 3 0
La resolvemo
La curva intersecta al eje en la
a
s
bs
3 /
ci
2
sa 3 / 2
X
x
y
x
x
Intersección con el eje X. Ejemplo 1 2 3 0x y
2 3y x
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
0
5
10
153
,02
2
Hacemos 0.
La ecuación que resulta es
5 3 0
y
x x
Intersección con el eje X. Ejemplo 2
2 5 3 0y x x
¿Cómo se resuelve una ecuación de segundo
grado?2
2
La forma general de la ecuación de segundo grado es:
0
La solución general de la ecuación de segundo grado
es:
4
2
ax bx c
b b acx
a
¿Cómo se resuelve una ecuación de segundo
grado? Ejemplo
2
2
Resolver la ecuación de segundo grado:
5 3 0
Usando la fórmula tenemos
5 5 4 1 3 5 25 12 5 13
2 1 2 2
5 13
2
x x
x
x
2
1 2
Hacemos 0
La ecuación que resulta es 5 3 0
5 25 12 5
La curva intersecta
13La r
al eje en la
5 13 5 13abscisa y en
2 2
esolvemos 2 2
X
x
y
x
x
x
x
Intersección con el eje X. Ejemplo 22 5 3 0y x x
2 5 3y x x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-10
0
10
20
30
40
50
5 13,0
2
5 13,0
2
3 2
Hacemos 0
La ecuación que resulta es
8 15 0
y
x x x
Intersección con el eje X. Ejemplo 3
3 28 15y x x x
2
3 2
2
2
El polinomio se factoriza.
Primero factorizamos la ,
8 15
El polinomio que nos queda 8 15
es del tipo "Dos binomios con un término
en común", así que se factoriza c
8 15
8 5 5
omo
1
x x
x
x x x
x x
x x x
x
3 2
3
Finalmente
8 15 5 3
x
x x x x x x
Intersección con el eje X. Ejemplo 3
1 2
3 2
1 2 1
1
Hacemos 0
La ecuación que resulta es 8 15 0
ó sea 3 5 0
La resolvemos
La curva intersecta al eje en las
0, 3,
abscisas 0, 3, 5
5
y
x x x
x x x
x
X
x x
x
x
x
Intersección con el eje X. Ejemplo 33 28 15y x x x
3 28 15
3 5
Las raices son: 0, 3, 5
y x x x
y x x x
0,0 3,0
5,0
Hacemos 0
1La ecuación que resulta es 0
1que n
La curva no
o tien
inter
e soluc
secta al eje
n
ió
y
X
x
Intersección con el eje X. Ejemplo 41
1y
x
f(x)=1/(x-1)
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-15
-10
-5
5
10
15
x
y
1
1y
x
Intersección con el eje Y
La intersección de la curva con
el eje , es la ordenada del punto
de intersección de la curva con
el eje.
La ordenada al origen es 0, .
Y
f y
Intersección con el eje Y
Para encontrar la intersección
con el eje Y:
Se hace 0 en la ecuación
y se encuentran las raíces de
la ecuación resultante.
x
Hacemos 0
La ecuación que resulta es 3 0
La resolvemo
La curva intersecta al eje en la
ordenad
3
a 3
s,
x
Y
y
y
y
Intersección con el eje Y. Ejemplo 1 2 3 0x y
2 3y x
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
0
5
10
15
0, 3
Hacemos 0
La ecuación que resulta es 3 0
La resolvem
La curva intersecta al eje en la
o
o
s,
rd
3
enada 3
x
y
y
Y
y
Intersección con el eje Y. Ejemplo 2
2 5 3 0y x x
2 5 3y x x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-10
0
10
20
30
40
50
0,3
La cur
Hacemo
va int
s 0
La ecua
ersecta al
ción que resulta es
eje en la
ordenad
0
a 0
y
y
x
Y
Intersección con el eje Y. Ejemplo 3
3 28 15y x x x
3 28 15
0 0
La raíz es: 0
y x x x
x y
0,0
La cur
Hacemo
va int
s 0
La ecua
ersecta al
ción que resulta es
eje en la
ordenad
1
a 1
y
Y
y
x
Intersección con el eje Y. Ejemplo 4
1
1y
x
f(x)=1/(x-1)
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-15
-10
-5
5
10
15
x
y
1
1y
x
0, 1
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
Simetría
SimetríaEl segundo punto a considerar, en
relación con la discusión de una
ecuación, es la simetría de la curva
que representa, con respecto a los
ejes coordenados y con respecto a1
origen.
SimetríaSe dice que dos puntos son
si la recta es
perpendicular al seg
simétricos
con respecto a una recta
mento que los une
en su punto medio.
l
l
A B
La recta con respecto a la cual
son simétricos los dos puntos se
ll eje de simetama ría.
Se dice que dos puntos son simétricos con respecto a una recta si la
recta es perpendicular al segmento que los une en su punto medio.
Simetría
l
A B
En la figura, los dos puntos y
son simétricos con respecto a1
eje de simetría , si la recta es
perpendicular a1 segmento ,
exacto en su punto medio.
A B
l l
AB##############
Se dice que dos puntos son simétricos con respecto a una recta si la
recta es perpendicular al segmento que los une en su punto medio.
Simetría
l
A B
Simetría simétricos
respecto a un pun
Se dice que dos puntos son
, si es el punto
medio del segmento que los e
to
un .
O O
A BO
Simetría
A BO
Se dice que dos puntos son simétricos respecto a un punto ,
si es el punto medio del segmento que los une.
O
O
El punto se llama centro de simetría.O
Simetría
A BO
Se dice que dos puntos son simétricos respecto a un punto ,
si es el punto medio del segmento que los une.
O
O
En la figura los dos puntos y son simétricos
con respecto a1 centro de simetría siempre
que sea el punto medio del segmento .
A B
O
O AB##############
y
x
O
P(x, y)
P’(a, b)
M(x, 0)
SimetríaSe dice que una curva es
cuando para cada punto de la curva
hay un punto
correspondiente,
también de la curva,
tal que e
simétrica con respecto a un
ej
stos
dos puntos
son simétricos
r
e de simetrí
espect
a
o al eje.
24 9 36y x
SimetríaSe dice que una curva es
,
cuando para cada punto de la curva hay
un punto correspondiente, también de
la curv
simétrica con
respecto a un
a, tal que dos puntos son
s
centro de s
imétricos re
ime
spe
tría
a
cto
O
.O
2 29 4 36x y
Ahora interpretaremos estas definiciones
Todas las definiciones anteriores son
puramente geométricas .
, usando los ejes coordenados
como ejes de simetria y el origen como
centr
analiticament
o de si
e
metria.
Simetría
Sea , un punto cualquiera de una curva.
de la definición 3
se deduce que debe
haber otro punto
Si esta curva es simétrica con respecto al e
' , sobre la curva,
tal que el segmento '
queda b c
e
is
j
e
,
P x y
P a b
PP
X
tado
perpendicularmente por
el eje .X
Sea el punto medio de ';
sus coordenadas son,
evidentemente, ( ,0).
M PP
x
Simetría con respecto al eje X
Entonces, por las fórmulas del punto medio,
dadas en el corolario del teorema 3,
artículo 7, tenemos
y 02 2
de donde
y
a x y bx
a x b y
Sea el punto medio de '; sus coordenadas son ( ,0)M PP x
Simetría con respecto al eje X
Por tanto, las coordenadas de ' son ,P x y
Simetría con respecto al eje X
Pero como ' está sobre la curva,
sus coordenadas deben de satisfacer la
ecuación de la curva. Es decir , una ecuación
, 0 que sí se satisface para las
coordenadas , de se satisface tambien
para las
P
f x y
x y P
coordenadas , de '.x y P
Simetría con respecto al eje X
Simetría con respecto al eje XSi la ecuación de una curva
no se altera
cuando la variable es
reemplazada por – ,
la curva es simétrica
respecto al eje .
El recíproco también es verdadero.
y
y
X
x y y0.0 0.0 0.01.0 1.0 -1.02.0 1.4 -1.43.0 1.7 -1.74.0 2.0 -2.05.0 2.2 -2.26.0 2.4 -2.47.0 2.6 -2.68.0 2.8 -2.89.0 3.0 -3.0
10.0 3.2 -3.211.0 3.3 -3.312.0 3.5 -3.513.0 3.6 -3.614.0 3.7 -3.715.0 3.9 -3.916.0 4.0 -4.017.0 4.1 -4.118.0 4.2 -4.219.0 4.4 -4.420.0 4.5 -4.5
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.010
.011
.012
.013
.014
.015
.016
.017
.018
.019
.020
.0
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
2y x
Simetría con respecto al eje YSi la ecuación de una curva
no se altera
cuando la variable es
reemplazada por – ,
la curva es simétrica
respecto al eje .
El recíproco también es verdadero.
x
x
Y
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110
20
40
60
80
100
120
140x y
-10 100-9 81-8 64-7 49-6 36-5 25-4 16-3 9-2 4-1 10 01 12 43 94 165 256 367 498 649 81
10 10011 121
2y x
Simetría con respecto al origenSi la ecuación de una curva
no se altera
cuando las variables y
son reemplazadas por – y
la curva es simétrica
respecto al origen .
El recíproco también es verdadero.
x y
x y
O
-10
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500x y-10 -1000-9 -729-8 -512-7 -343-6 -216-5 -125-4 -64-3 -27-2 -8-1 -10 01 12 83 274 645 1256 2167 3438 5129 729
10 100011 1331
3y x
NOTA. Si comparamos los teoremas 1, 2 y 3
veremos que, si una curva es simétrica con
respecto a ambos ejes coordenados, es también
simétrica con respecto al origen.
Pero el reciproco no es necesariamente verdadero.
Por ejemplo, la curva cuya ecuación es 1
es simétrica con respecto a1 origen, pero no es
simétrica con respecto a ninguno de los ejes
coordenados.
xy
Simetría
Simetría
1xy
Geometría
Analítica Plana
I.Sistemas de coordenadas
II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
III. La línea recta
IV. Ecuación de la circunferencia
V. Transformación de coordenadas
VI. La parábola
VII. La elipse
VIII. La hipérbola
Geometría Analítica Plana
http://www.licimep.org/MateFisica.htm
Problemas resueltos de Matemáticas y de
Física
• En particular, hay una sección dedicada a Geometría Analítica, que tiene 81 problemas resueltos
• En esa sección hay problemas del Lehmann,. En particular, del capítulo II hay 15 problemas resueltos
http://speckle.inaoep.mx/~jjbaezr/
Página del doctor Javier Baez. Donde
están las presentaciones
¿Qué es la Geometría Analítica?
Es el estudio de la geometría
usando los principios del
álgebra y viceversa.
Es la unión de la geometría
y el álgebra
¿Qué es la Geometría Analítica?
Ecuaciones en dos
variables
Figuras geométricas en el plano
Ecuaciones en x e y
Figuras en el
plano
Gracias al sistema
coordenado, al plano
cartesiano
Que establece una correspondencia biunívoca, uno a
uno, entre los puntos del plano y
los pares ordenados de
números reales
Abscisa
Ordenada
Plano cartesiano
,x y
x
y
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica
En este capítulo haremos un estudio preliminar de dos
problemas fundamentales de la Geometría Analítica.
I . Dada una ecuación interpretarla geométricamente;
es decir, construir la gráfica correspondiente .
II. Dada una figura geométrica, o la condición que
deben cumplir los puntos de la misma, determinar
su ecuación.
Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica
Dada una ecuación,
interpretarla geométricam
ente
Dada un figura geométrica,
determinar su ecuación
Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
Primer problema fundamental: La gráfica de una
ecuación
Supongamos que se nos da una ecuación en dos variables,
e , que podemos escribir en la forma
, =0
En general, hay un número infinito de pares de valores de
e que satisfacen esta ecuación. Cada un
x y
f x y
x y o de tales pares
de valores reales se toma como las coordenadas ( , ) de
un punto en el plano.
x y
Primer problema fundamental: La gráfica de una ecuación
Definición 1: El conjunto de los puntos,
y solamente de aquellos puntos, cuyas
coordenadas s
gráfica de la e
atisfagan una ecuación
, =0
se llama o, bien,
su
cuación
lugar geométr co .i
f x y
Primer problema fundamental:
La gráfica de una ecuación
Definición 2: Cualquier punto cuyas
coordenadas satisfacen la ecuación
, =0
pertenece a la gráfica de la ecuación.
f x y
Primer problema fundamental:
La gráfica de una ecuación
Características de la ecuación
El conjunto solución de la ecuación,
formado por los puntos ordenados,
debe pertenecer al conjunto de los
números reales.
Intersección con los
ejes
Construcción de la
curva
Extensión de la curva
Asíntotas
Simetría
Cálculo de
coordenadas
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
Extensión de la curva
Extensión de una curva
La extensión de una curva
son los intervalos de variación
para los cuales los valores de
e son valores reales.x y
Extensión de una curvaLa extensión de una curva son los intervalos de variación
para los cuales los valores de e son valores reales.x y
Es útil, porque:
Da la localización general de la curva en el plano
Indica si la curva es cerrada o
si es de extensión indefinida.
Extensión de una curvaLos intervalos para los cuales
los valores de e son reales
se determinan resolviendo la
ecuación dada
para en términos de ,
y para en términos de .
x y
y x
x y
2 2 4 0x y
Extensión de una curva. Ejemplo 1
No existen números reales, y ,
que satisfaga la ecuación.
La extensión es el conjunto vacío.
x y
2 2 0x y
Extensión de una curva. Ejemplo 2
La extensión de esta ecuación se
reduce a un único punto, el 0,0 .
2 3 4 0x y
Extensión de una curva. Ejemplo 3
2 3 4 0x y Extensión de una curva.
Ejemplo 3
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
2 3 4 0x y
Extensión de una curva. Ejemplo 3
La extensión es todo el plano; es decir,
puede tomar cualquier valor real, y
también puede tomar cualquier valor real.
x
y
2y xExtensión de una curva.
Ejemplo 4
-1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y2y x
Extensión de una curva. Ejemplo 4
2y x
y x
Extensión de una curva. Ejemplo 4
Es claro que no puede ser negativo.
Sólo puede ser positivo o cero.
La extensión es el intervalo [0, ).
x
2
2
y x
x y
Extensión de una curva. Ejemplo 4
Es claro que puede tomar cualquier valor real.
No hay ninguna restricción.
La extensión en es toda la recta real, es , .
y
y
-1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y2y x
Extensión de una curva. Ejemplo 4
2 29 4 36x y Extensión de una curva.
Ejemplo 5
2 29 4 36x y
2 2
2 2
2 2 2
2
9 4 36
4 36 9
9 99 4
4 43
42
Por tanto, 2,2
x y
x
y x
y x x
y x
2 29 4 36 2,2x y x
2 29 4 36x y
2 2
2 2
2 2 2
2
9 4 36
9 36 4
4 44 9
9 92
93
Por tanto, 3,3
x y
y
x y
x y y
x y
2 29 4 36 3,3x y y
2 29 4 36; 2,2 , 3,3x y x y
2 3 0y x
Extensión de una curva. Ejemplo 6
2 3
3
0
Por t
0
anto
y x
y
x
x
2 3 0y x
2 3
23
0
Por tan o
t
x
y
y x
y
R
2 3 0y x
Extensión de una curva en x
1. Se despejan en función de
2. Se analiza qué valores de son
posibles en la ecuación.
3. Esos valores de constituyen
la extensión en de la curva.
y x
x
x
X
Extensión de una curva en y
1. Se despejan en función de
2. Se analiza qué valores de son
posibles en la ecuación.
3. Esos valores de constituyen
la extensión en de la curva.
x y
y
y
Y
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
Asíntotas
Asíntotas Si para una curva dada, existe una
recta tal que, a medida que un punto
de la curva se aleja indefinidamente
del origen, la distancia de ese punto
a la recta decrece continuamente y
tiende a cero, dicha recta se llama
asíntota de la curva.
Asíntotas. Ejemplo 1
1
2y
x
1
2y
x
2x
Asíntotas. Ejemplo 1
1
2y
x
2x
Asíntotas. Ejemplo 1
1
2y
x
2x
Asíntotas. Ejemplo 1
1
2y
x
2x
Asíntotas. Ejemplo 1
1
2y
x
Asíntotas. Ejemplo 1
24 5 15=
2 3
x xy
x
Asíntotas. Ejemplo 2
24 5 15=
2 3
x xy
x
2 5y x
Asíntotas. Ejemplo 2
24 5 15=
2 3
x xy
x
2 5y x
Asíntotas. Ejemplo 2
24 5 15=
2 3
x xy
x
2 5y x
Asíntotas. Ejemplo 2
Asíntotas Esta definición implica dos cosas:
1) Una curva que tiene una asíntota
no es cerrada o de extensión finita,
sino que se extiende indefinidamente.
2) Una curva se aproxima a la asíntota
más y más a medida que se extiende
más y más en el plano coordenado.
Asíntotas Siendo la asíntota una línea recta, puede tener
una cualquiera de tres posiciones particulares.
Si es
asíntota horizo
paralela o coincide con el eje , se llama
.
Si es paralela o coincide con el eje
ntal
X
Y,
.
Si no es paralela a ninguno de los ejes
coordenados,
asíntota vertical
asíntota obl .icua
Asíntotas
Consideraremos solamente la
determinación de asíntotas
verticales y horizontales.
Asíntotas
Posteriormente veremos la
determinación de asíntotas
oblicuas para la hipérbola.
Asíntotas Hay muchas curvas que
no tienen asíntotas
Asíntotas Una curva puede tener
una o más asíntotas.
Asíntotas Las asíntotas son un
importante auxiliar en
el trazado de curvas.
Asíntotas Las asíntotas son
líneas rectas.
Asíntotas Aquí consideraremos solamente la
determinación de asíntotas verticales
y horizontales.
Posteriormente veremos la determinación
de asíntotas oblicuas para una curva
particular conocida con el nombre de
hipérbola.
Asíntotas Se debe tener presente que una curva no tiene
necesariamente una o más asíntotas. Hay
muchas curvas que no tienen asíntotas. Sin
embargo , si una curva tiene asíntotas, su
determinación será, como veremos, una gran
ayuda para construir su gráfica.
Asíntotas En el capitulo siguiente haremos un estudio
detallado de la ecuación general de la recta.
Pero ahora tenemos necesidad de hallar
ecuaciones de asíntotas verticales y
horizontales.
Sea una recta
cualquiera
paralela a1 eje
y que dista
unidades del eje.
l
Y
k
Recta paralela al eje Y
Todo punto de ,
cualquiera que sea el valor
de su ordenada , tiene una
abscisa igual a .
l
k
Recta paralela al eje YSea una recta cualquiera
paralela a1 eje y que dista
unidades del eje.
l
Y
k
Las coordenadas de todos los
puntos de satisfacen , por tanto
la ecuación es
,
.
l
x k
Recta paralela al eje YSea una recta cualquiera
paralela a1 eje y que dista
unidades del eje. Todo punto
de , cualquiera que sea el valor
de su ordenada , tiene una
abscisa igual a .
l
Y
k
l
k
Recíprocamente, cualquier punto
cuyas coordenadas satisfacen esta
ecuación es un punto cuya abscisa
es y situado, por tanto, a una
distancia de unidades del eje ,
y, en consecuencia , está sobre
la rec
k
k Y
ta .l
Recta paralela al eje Y
Recta paralela al eje Y
La ecuación de una recta
paralela al eje es:
donde es la distancia
de la recta al eje .
x
k
k
Y
Y
Recta paralela al eje XLa ecuación de una recta
paralela al eje es:
donde es la distancia
de la recta al eje .
y
k
k
X
X
Recta paralela al eje X
2y
2
Asíntotas Vimos que se puede determinar la extensión
de una curva despejando en función de
y en función de . Para obtener las asintotas
verticales y horizontales, usaremos estas
mismas ecuaciones en las que
y x
x y
aparecen
despejadas las variables.
Asíntotas verticales Para obtener las ecuaciones de las
asíntotas verticales, resuelvase la
ecuación dada para en función
de e igualese a cero cada uno de
los factores lineales del denominador.
y
x
Asíntotas horizontales Análogamente, para obtener las ecuaciones
de las asíntotas horizontales, resuelvase la
ecuación dada para en funcion de e
igualese a cero cada uno de los factores
lineales del denominador.
x y
Asíntotas. Ejemplo 1 Encontrar las asíntotas de la
gráfica de la ecuación
1 0xy y
Asíntotas. Ejemplo 1
Encontrar las asíntotas de la
gráfica de la ecuación
1 0xy y
Asíntotas. Ejemplo 1 Encontrar las asíntotas de la gráfica
de la ecuación 1 0xy y
1) Despejar en función de
1 0
1
1 1
1
1
y x
xy y
xy y
y x
yx
Asíntotas. Ejemplo 1 Encontrar las asíntotas de la gráfica
1de la ecuación 1 0 ó
1xy y y
x
2) Hacemos cero los factores lineales
del denominador; es decir,
1 0
ó sea que la asíntota tiene como ecuación:
1
x
x
Asíntotas. Ejemplo 1 Encontrar las asíntotas de la gráfica
de la ecuación 1 0xy y
1) Despejar en función de
1 0
1
1
x y
xy y
xy y
yx
y
Asíntotas. Ejemplo 1 Encontrar las asíntotas de la gráfica
1de la ecuación 1 0 ó
1xy y y
x
2) Hacemos cero los factores lineales
del denominador
0
ó sea que la asíntota tiene como ecuaci
0
ón:
y
y
Asíntotas. Ejemplo 1
1x
0y
Asíntotas. Ejemplo 2
2
2
Encontrar las asíntotas de la
gráfica de la ecuación
1
xy
x
Asíntotas. Ejemplo 2 2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
1
xy
x
2
2
1) Despejar en función de
Ya está despejada, entonces tenemos 1
pero debemos escribir el denominador como
factores lineales. Es fácil, factorizando :
y x
xy
x
2 2
2 1 1 1
a b a b a b
x x x
Diferencia de cuadrados
Asíntotas. Ejemplo 2 2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
1
xy
x
2
2
2 2
2
1) Despejar en función de
Ya está despejada, entonces tenemos 1
pero debemos escribir el denominador como
factores lineales. Es fácil, factorizando; tenemos
1 1 1
y x
xy
x
x xy
x x x
Asíntotas. Ejemplo 2
2) Hacemos cero los factores lineales
del denominador; es decir,
1 0 y 1 0
ó sea que tenemos dos asíntotas verticale
1 1
s:
y x
x
x
x
2 2
2
Encontrar las asíntotas de la gráfica
de la ecuación 1 1 1
x xy
x x x
Asíntotas. Ejemplo 2
2) Hacemos cero los factores lineales
del denominador; es decir,
1 0 y 1 0
ó sea que tenemos dos asíntotas verticale
1 1
s:
y x
x
x
x
2 2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
1 1 1
x xy
x x x
¡Hay dos
asíntotas!
Asíntotas. Ejemplo 2
2
2
2 2
2 2
2
1) Despejar en función de
1
1
0
1 0
x y
xy
x
y x x
yx x y
y x y
2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
1
xy
x
2
2
0
4
2
ax bx c
b b acx
a
Ecuación de segundo grado
Asíntotas. Ejemplo 2
2
2
1) Despejar en función de
1 0
0 0 4 1 4 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1
1
x y
y x y
y y y y y yx
y y y
y yx
y
2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
1
xy
x
Asíntotas. Ejemplo 2
2
2
2
1) Despejar en función de
1 0
1
1
1
x y
y x y
y x y
yx
y
yx
y
2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
1
xy
x
Asíntotas. Ejemplo 2
2
2
2
1) Despejar en función de
1 0
1
1
1
x y
y x y
y x y
yx
y
yx
y
2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
1
xy
x
1
1
y yx
y
Asíntotas. Ejemplo 2 2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
1
xy
x
2
1
1
1 1
11
11
yx
y
yyx
y y
y yy yx
yy
Asíntotas. Ejemplo 2 2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
1
xy
x
2
1
1
1 1
11
11
yx
y
yyx
y y
y yy yx
yy
1
1
y yx
y
Asíntotas. Ejemplo 2
2) Hacemos cero los factores lineales
del denominador: 1 0
ó sea que la asíntota tiene como ecuación
1
:
y
y
2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
1
xy
x
2
2 1
xy
x
2
2 1
xy
x
1
1
1
x
x
y
Asíntotas. Ejemplo 3
La tangente Mostrar las asíntotas
de la tangente
Asíntotas. Ejemplo 3, La tangente
Las rectas
y 2 2
son asíntotas.
x x
Asíntotas. Ejemplo 3, La tangente
Una curva puede tener más de una
asintota vertical u horizontal.
Asi, la curva cuya ecuación es
1
1 2
tiene dos asintotas verticales,
1 y 2.
yx x
x x
Asíntotas. Notas
Para muchas ecuaciones en las variables e ,
veremos que frecuentemente es ventajoso
investigar el comportamiento de una de las
variables cuando a la otra se le dan valores
cada vez mas grandes en valor
x y
absoluto.
Esto es particularmente útil para la
determinación de las asíntotas.
Asíntotas. Notas
1Así, para la ecuación , si damos
1valores a cada vez más grandes, en
valor absoluto, el valor de se aproxima
cada vez más a cero.
yx
x
y
Asíntotas. Notas
Es decir, a medida que el punto sobre la curva
se aleja indefinidamente del origen, ya sea hacia
la derecha o hacia la izquierda, la curva se
aproxima a la recta 0 que, por lo tanto, es
una asintota h
y orizontal.
Asíntotas. Notas 1
Así, para la ecuación , si damos valores1
a cada vez más grandes, en valor absoluto, el
valor de se aproxima a cero.
yx
x
y
Asíntotas. Ejemplo 1
1x
0y
Asíntotas. Ejemplo 1 Encontrar las asíntotas de la gráfica
de la ecuación 1 0xy y
1) Despejar en función de
1 0
1
1 1 11
x y
xy y
xy y
y yx
y y y y
Análogamente, si escribimos la
ecuación en la forma
11
vemos que, a medida que toma
valores cada vez mayores en valor
absoluto se aproxima a 1.
Por tanto, 1 es una asíntota vertícal.
xy
y
x
x
Asíntotas. Notas
Es una gran ventaja usar las asintotas
de una curva, cuando existen, en el
trazado de la misma.
Las asíntotas actúan como lineas
guía de la gráfica.
Asíntotas. Notas
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricosConstrucc
ión de curvas
La discusión de una ecuación y
su representación gráfica constituyen,
en conjunto, un problema de tan gran
importancia en todas las ramas de las
Matemáticas y sus aplicaciones,
que se le ha dado el nombre especial
de construcción de curvas.
Construcción de curvas
El trazado de una curva consta de los seis puntos siguientes :
1 . Determinación de las intersecciones con los ejes coordenados .
2. Determinación de la simetría de la curva con respecto a los
ejes coordenados y a1 origen .
3. Deteminación de la extensión de la curva.
4. Determinación de las ecuaciones de las asíntotas verticales u
horizontales que la curva puede tener .
5 . Cálculo de las coordenadas de un número suficiente de puntos
para obtener una gráfica adecuada .
6. Trazado de la curva .
Construcción de curvas
4 2
Construir la curva
cuya ecuación es
4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
Ejercicio 8, grupo 6, página 46
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
1. Intersecciones con los ejes.
a) Con el
Hacemos 0 en la ecuación 4 0
X
y x x y
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
4 2
1. Intersecciones con los ejes.
a) Con el
Hacemos 0 en la ecuación
4 0
lo que nos lleva a la ecuación
4 0
X
y
x x y
x x
4 24 0x x
2
2 2
es un factor común,
así que queda
4 0
x
x x
4 2 2 24 0 4 0x x x x
2
2
4 0
y
0
x
x
4 2 2 24 0 4 0x x x x
2 2 24 2
es una diferencia de cuadrados
x x
2 2
2 1 1 1
a b a b a b
x x x
Diferencia de cuadrados
4 2 2 24 0 4 0x x x x
2 2 2
2
4 2
es una diferencia de cuadrados
y se factoriza entonces como
4 2 2
x x
x x x
4 2
2 2
2
4 0
4 0
2 2 0
x x
x x
x x x
4 2 24 0 2 2x x x x x
Por tanto, las raices son
0 dos veces, 2 y 2
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
4 2
2 2 2
1 2 3 4
1. Intersecciones con los ejes.
a) Con el
Hacemos 0 en la ecuación 4 0
lo que nos lleva a 4 0
que se factoriza como 4 2 2 0
Tenemos por tanto cuatro raices:
2, 0, 0,
X
y x x y
x x
x x x x x
x x x x
2
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
1. Intersecciones con los ejes.
a) Con el
La gráfica intersecta al eje en
2, 0 y 2
X
X
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
1. Intersecciones con los ejes.
b) Con el
Hacemos 0 en la ecuación 4 0
lo que nos lleva a 0
Tenemos una raíz:
0
Y
x x x y
y
y
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
1. Intersecciones con los ejes.
b) Con el
La gráfica intersecta al eje en
0
Y
Y
y
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
-1.0
-0.5
0.5
1.0
x
y
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
4 2
2. Simetrías
a) Con respecto al eje
La ecuación 4 0
cambia a la ecuación
4 0
cuando intercambiamos por .
Por lo t LA GRÁFICA NO ES
SIMÉTRI
ant
CA RESPEC
o,
.TO AL EJE
X
x x
X
y
x x y
y y
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
4 2
2. Simetrías
b) Con respecto al eje
La ecuación 4 0
cambia a la ecuación (que es la misma)
4 0
cuando intercambiamos por .
Por lo LA GRÁFICA SÍ ES
SIMÉTR
tanto,
ICA RE
SPECTO AL EJ .E
Y
x x y
x x
x x
Y
y
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
4 2
2. Simetrías
c) Con respecto al origen
La ecuación 4 0
cambia a la ecuación
4 0
cuando intercambiamos por
y por .
Por lo LA GRÁFICA NO ES
SIMÉT
tan
RIC
to,
A RESPECTO AL O .R
IGEN
x x y
x x y
x x
y y
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
2. Simetrías
La única simetría que tiene esta gráfica
es respecto al eje .
No es simétrica ni respecto al eje ,
ni respecto al origen.
Y
X
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
4 2
cualquier valor de es posible
3. Extensión
a) En el eje
Despejando de la ecuación
4 0 tenemos
4
Por ta .nto,
X
y
x x y
x
y x x
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
3. Extensión
b) En el eje
Despejando de la ecuación
4 0
Y
x
x x y
2
2
0
4
2
ax bx c
b b acx
a
Ecuación de segundo grado
4 2
22 2
2
2
2
4 0
4 0
4 4 4 1
2 1
4 4 44 16 4 4 2 4
2 2 2
2 4
2 4
x x y
x x y
yx
yy
x
y
y
y
2 2 4
2 4
x y
x y
2 2 4x y
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
3. Extensión
b) En el eje
Despejando de la ecuación
4 0 tenemos
2 4
Por lo tanto, necesa 4riamente
Y
y
x
x x y
x y
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
3. Extensión
La variable puede tomar cualquier
valor real.
La variable tiene que ser mayor o
igual a menos 4.
Es decir,
e 4
x
y
y
x R
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
4. Asíntotas
4
2 4
Por lo tanto, esta curva
no tiene asíntotas.
y x x
x y
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
5. Cálculo de las coordenadas de algunos puntos
Construcción de curvas. Ejemplo 1
x y0.00 0.00
0.25 -0.25
0.50 -0.94
0.75 -1.93
1.00 -3.00
1.25 -3.81
1.50 -3.94
1.75 -2.87
2.00 0.00
2.25 5.38
2.50 14.06
4 26. Construcción de la curva 4 0x x y
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50
-5.00
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00 4 26. Construcción de la curva 4 0x x y
4 26. Construcción de la curva 4 0x x y
2 2
Construir la curva
cuya ecuación es
3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
Ejercicio 21, parágrafo 19, página 47
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2
1. Intersecciones con los ejes.
a) Con el
Hacemos 0 en la ecuación
3 2
lo que nos lleva a
3 2
X
y
x y x xy x
x x
2 2 3 2x y x xy x
2 3 2x x
¡Hay que resolver esta ecuación de segundo grado!
2 3 2x x
2
2
2
2
¡Hay que resolver esta
ecuación de segundo grado!
3 2
3 2
0 2 3
3 2 0
x x
x x
x x
x x
2 23 2 3 2 0x x x x
¡Hay que resolver esta
ecuación de segundo grado!
a) Se puede hacer mediante la fórmula
general de la ecuación de segundo grado.
b) Se puede hacer mediante factorización
2
2
2
0
4
2
3 2 0
ax bx c
b b acx
a
x x
Ecuación de segundo grado
22 4
3 2 0 2
b b acx x x
a
2
1
2
2
1
2
3 2 0
3 3 4 1 2
2 1
3 9 8 3 1 3 1
2 2 23 1 4 3 1 2
2 ;
2
12 2 ;
2 1
2
x x
x
x x
x x
2
2
2
1 2
3 2 0
3 2 2 1 0
2 0 1 0
2 1
x a x b x a b x ab
x x
x x x x
x x
x x
El producto de dos binomios con un
término en común
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2
2
1 2
1. Intersecciones con los ejes.
a) Con el
Hacemos 0 en la ecuación 3 2
lo que nos lleva a 3 2
ó bien 3 2 0
que se factoriza como 2 1 0
Tenemos por tanto dos raices:
1, 2
X
y x y x xy x
x x
x x
x x
x x
2 2 3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
1. Intersecciones con los ejes.
a) Con el
La gráfica intersecta al eje en 1 y 2
X
X
2 2 3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
1. Intersecciones con los ejes.
b) Con el
Hacemos 0 en la ecuación
3 2
lo que nos lleva a 0 2 que no
se satisface para ningún va
Por tanto, la gráfica n
lor de .
o intersecta al eje .
Y
x
x y x xy x
y
Y
2 2 3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
1. Intersecciones con los ejes.
b) Con el
La gráfica no intersecta al eje .
Y
Y
2 2 3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2
2 2
2
2. Simetrías
a) Con respecto al eje . Cambiar
La ecuación 3 2
cambia a la ecuación
3 2
cuando intercambiamos por
3 2
:
X y y
x y x xy x
x y x
x
x y x
y y
y x xy x
2 2 3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2 2
2. Simetrías
a) Con respecto al eje . Cambiar
La ecuación 3 2
cambia a la ecuación
3 2
Por lo tan LA GRÁFICA NO ES
SIMÉTRICA RESPECTO AL
to,
.EJE
X y y
x y x xy x
x y x xy x
X
2 2 3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2 2
2 2
2. Simetrías
a) Con respecto al eje :
La ecuación 3 2
cambia a la ecuación
3 2
o se
3 2
a
Y x x
x y x xy x
x y x x y x
x y x xy x
2 2 3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2 2
2. Simetrías
a) Con respecto al eje :
La ecuación 3 2
cambia a la ecuació
LA GRÁFICA NO ES
SIMÉTRICA RESPE
n
3 2
cuando intercambiamos por .
Por lo
CTO AL EJE .
tanto,
Y x x
x y x xy x
x y x xy
y y
Y
x
2 2 3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2 2
2 2
2. Simetrías
c) Con respecto al origen
La ecuación 3 2 cambia a la ecuación
3 2
3 2
cuando intercambiamos por y po
LA GRÁFICA NO ES
SIMÉTRI
r .
Por lo tanto,
x y x xy x
x y x x y x
x y x xy x
x x y y
CA RESPECTO AL ORIGEN.
2 2 3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2. Simetrías
La gráfica no tiene ninguna simetría.
No es simétrica
ni con respecto al eje ,
ni con respecto al eje ,
ni con respecto al origen .
X
Y
O
2 2 3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
3. Extensión
a) En el eje
Debemos despejar a como función de ,
en la ecuación
3 2
X
y x
x y x xy x
2 2 3 2x y x xy x
2 2
2 2
2 2
2
2
3 2
3 2
3 2
3 2
x y x xy x
x y xy x x
y x x x x
x xy
x x
2
2
3 2
2 1
1
x xy
x x
x xy
x x
2 2 3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
3. Extensión
a) En el eje
Despejando de la ecuación 3 2
2 1tenem
cualquier valor de es posible menos
os 1
Por tanto,
0
y .1
X
y x y x xy x
x xy
x x
x
2 2 3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
3. Extensión
b) En el eje
Debemos despejar como función de
en la ecuación
3 2
Y
x y
x y x xy x
2 2 3 2x y x xy x
2 2
2
3 2
1 3 2 0
1
x y x xy x
y x y x
y
2
2
2
0
4
2
1 3 2 0
ax bx c
b b acx
a
y x y x
Ecuación de segundo grado
2
2 2
2
2
2
2
3 2
1 3 2 0
3 3 4 1 2
2 1
3 6 9 8 1
2 1
3 6 9 8 8
2
3 14 1
2 11
x y x xy x
y x y x
y y yx
y
y y
y y
y y
y
y y y y
y
y
y
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2
3. Extensión
b) En el eje
Despejando de la ecuación
3 2
tenemos
3 14 1 si 1
2 1
Y
x
x y x xy x
y y yx y
y
2 2 3 2x y x xy x
23 14 1
si 12 1
y y yx y
y
2 14 1 0y y
2
2
14 1 0
14 14 4 1 1 14 196 4
2 1 2
14 192
2
y y
y
192 2
96 2
48 2
24 2
12 2
6 2
3 3
1
192 2
96 2
48 2
24 2
12 2
6 2
3 3
1
66 322 3 2 3 2 3 8 3
23 14 1
si 12 1
y y yx y
y
2 14 1 0y y
2
2
14 1 0
14 14 4 1 1 14 196 4
2 1 2
14 192 14 8 37 4 3
2 2
y y
y
23 14 1
si 12 1
y y yx y
y
2 14 1 0y y
2
1 2
1 2
14 1 0
7 4 3 7 4 3
0.072 13.928
y y
y y
y y
2
2 2
1 2
1 2
3 14 1 si 1
2 1
14 1 0 14 1 0
7 4 3 7 4 3
0.072 13.928
y y yx y
y
y y y y
y y
y y
210 14 10 1 100 140 1 39 0
-20 121 0 1-19 96 1 16-18 73 2 33-17 52 3 52-16 33 4 73-15 16 5 96-14 1 6 121-13 -12 7 148-12 -23 8 177-11 -32 9 208-10 -39 10 241
-9 -44 11 276-8 -47 12 313-7 -48 13 352-6 -47 14 393-5 -44 15 436-4 -39 16 481-3 -32 17 528-2 -23 18 577-1 -12 19 628
2 14 1y y
-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4
-40
-20
20
40
60
80
100
120
y
y
2 14 1y y
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2
2
3. Extensión
b) En el eje
3 14 1Despejando tenemos
2 1
Así que sólo son posibles los valores de que hacen que
14 1 0.
Esos son lo , 7 4 3 7s 4 3, y
Y
y y yx x
y
y
y y
2 2 3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
3. Extensión
b) En el eje
En el caso de 1 tenemos que la ecuación
3 2
se transforma en
4 2
1ó sea y es posible el valor 1
2
Y
y
x y x xy x
x
x y
2 2 3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
3. Extensión
La extensión de la curva es
,
, 7 4 3 7 4 3,
x
y
2 2 3 2x y x xy x
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-20
-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
x
y
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
4. Asíntotas
a) Asíntotas verticales
Despejando de la ecuación 3 2
2 1tenemos
1
Es claro de lo que ya hemos es tenemos
dos asíntotas verticales
tudiado que
0 y 1.
y x y x xy x
x xy
x x
x x
2 2 3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2
4. Asíntotas
a) Asíntotas horizontales
Despejando de la ecuación 3 2
tenemos
3 14 1
2 1
Por lo tanto, es claro que tenemos
una asíntota horizon l 1.ta
x x y x xy x
y y yx
y
y
2 2 3 2x y x xy x
5. Cálculo de las coordenadas de algunos puntos
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2
3 2
3 2
1
x y x xy x
x xy
x x
x y X Y x y x y-10.00 1.47 -5.00 2.10 0.00 NO 5.00 0.40
-9.75 1.48 -4.75 2.18 0.25 4.20 5.25 0.42-9.50 1.50 -4.50 2.27 0.50 1.00 5.50 0.44-9.25 1.51 -4.25 2.38 0.75 0.24 5.75 0.46-9.00 1.53 -4.00 2.50 1.00 0.00 6.00 0.48-8.75 1.55 -3.75 2.65 1.25 -0.07 6.25 0.49-8.50 1.56 -3.50 2.83 1.50 -0.07 6.50 0.51-8.25 1.59 -3.25 3.05 1.75 -0.04 6.75 0.52-8.00 1.61 -3.00 3.33 2.00 0.00 7.00 0.54-7.75 1.63 -2.75 3.70 2.25 0.04 7.25 0.55-7.50 1.66 -2.50 4.20 2.50 0.09 7.50 0.56-7.25 1.68 -2.25 4.91 2.75 0.13 7.75 0.57-7.00 1.71 -2.00 6.00 3.00 0.17 8.00 0.58-6.75 1.75 -1.75 7.86 3.25 0.20 8.25 0.59-6.50 1.78 -1.50 11.67 3.50 0.24 8.50 0.60-6.25 1.82 -1.25 23.40 3.75 0.27 8.75 0.61-6.00 1.87 -1.00 NO 4.00 0.30 9.00 0.62-5.75 1.92 -0.75 -25.67 4.25 0.33 9.25 0.63-5.50 1.97 -0.50 -15.00 4.50 0.35 9.50 0.64-5.25 2.03 -0.25 -15.00 4.75 0.38 9.75 0.65
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
6. Construcción de la curva
3 2x y x xy x
2 2 3 2x y x xy x
2 2 3 2x y x xy x
2 2 3 2x y x xy x
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
y
2 2 2 2
Construir la curva
cuya ecuación es
4 4 0x y x y
Construcción de curvas. Ejemplo 3
Ejercicio 23, parágrafo 19, página 47
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
Construcción de curvas. Ejemplo 3
2 2 2 2
2
1. Intersecciones con los ejes.
a) Con el
Hacemos 0 en la ecuación 4 4 0
lo que nos lleva a 4 0.
Por tanto, la curva intersecta al eje únicamente
en el origen; es decir, en 0.
X
y x y x y
x
X
x
Construcción de curvas. Ejemplo 3
1. Intersecciones con los ejes.
a) Con el
La gráfica intersecta al eje en 0
X
X
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
Construcción de curvas. Ejemplo 3
2 2 2 2
2
1. Intersecciones con los ejes.
b) Con el
Hacemos 0 en la ecuación 4 4 0
lo que nos lleva a 4 0
Tenemos una raíz: 0
Por lo tanto, la curva intersecta al eje
únicamente en el origen.
Y
x x y x y
y
y
Y
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
Construcción de curvas. Ejemplo 3
1. Intersecciones con los ejes.
b) Con el
La gráfica intersecta al eje en 0
Y
Y
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
Construcción de curvas. Ejemplo 3
2 2 2 2
2 22 2
2 2 2 2
2. Simetrías
a) Con respecto al eje : por .
La ecuación 4 4 0 queda
4 4 0
ó sea
4 4 0
X y y
x y x y
x y x y
x y x y
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
Construcción de curvas. Ejemplo 3
2 2 2 2
2. Simetrías
a) Con respecto al eje
La ecuación 4 4 0
no cambia cuando in
L
tercambiamos
por .
Por lo tanto, A GRÁFICA SÍ ES
SIMÉTRICA RESPECTO AL .EJE
X
x y x y
y y
X
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
Construcción de curvas. Ejemplo 3
2 2 2 2
2 22 2
2 2 2 2
2. Simetrías
b) Con respecto al eje : por .
La ecuación 4 4 0 cambia a
4 4 0
que da
4 4 0
Y x x
x y x y
x y x y
x y x y
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
Construcción de curvas. Ejemplo 3
2 2 2 2
2. Simetrías
b) Con respecto al eje
La ecuación 4 4 0
NO cambia cuando intercambiamos
por .
Por lo tanto, LA GRÁFICA ES
SIMÉTRICA RESPECTO AL EJ
E .
Y
x y x
x x
Y
y
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
Construcción de curvas. Ejemplo 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2. Simetrías
c) Con respecto al origen : por e por .
La ecuación 4 4 0
cambia a la ecuación
4 4 0
que da
4 4 0
x x y y
x y x y
x y x y
x y x y
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
Construcción de curvas. Ejemplo 3
2 2 2 2
2. Simetrías
c) Con respecto al origen
La ecuación 4 4 0
NO cambia cuando intercambiamos
por e por .
Por lo tant LA GRÁFICA ES
SIMÉTRICA RESP
o,
ECTO AL ORIGEN
.
x y x y
x x y y
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
Construcción de curvas. Ejemplo 3
2. Simetrías
La curva es simétrica respecto
al eje , respecto al eje y
respecto al origen .
X Y
O
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
Construcción de curvas. Ejemplo 3
2 2 2 2
3. Extensión
a) En el eje
Debemos despejar
como función de
en la ecuación
4 4 0
X
y x
x y x y
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
2 2 2 2
2
4 4 0
Si 0, queda
4 0
por t
¡El valor 0 sí es perm
anto
i id
0
t o!x
x y x y
x
y
y
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
22
2
2
2
2
4 4 0
2
4 4
4
4
4
4
4
4
4
x y x y
x y y x
x y x
xy
x
xy
xx
yx
Si 0 x
Construcción de curvas. Ejemplo 3
2 2 2 2
2
2
3. Extensión
a) En el eje
De la ecuación 4 4 0 tenemos
2
4
Sólo las tales que 4 0
X
x y x y
xy
x
x x
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
2
2
4 0
4
2 y 2
x
x
x x
Construcción de curvas. Ejemplo 3
3. Extensión
a) En el eje
2 y 2
, 2 2,
X
x x
x
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
Construcción de curvas. Ejemplo 3
2 2 2 2
3. Extensión
b) En el eje
Debemos despejar de la ecuación
4 4 0
Y
x
x y x y
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
2 2 2 2
2
4 4 0
Si 0, queda
4 0
por t
¡El valor 0 sí es perm
anto
i id
0
t o!y
x y x y
y
x
x
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2
2
2
2
22
2
2
4
4 4 0
4 4
4 4
4
4
4
4
x y x y
x y x y
x y y
yx
y
yx
y
yx
y
Si 0 y
Construcción de curvas. Ejemplo 3
2 2 2 2
2
2
3. Extensión
a) En el eje
De la ecuación 4 4 0 tenemos
2
4
Sólo las tales que 4 0
Y
x y x y
yx
y
y y
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
2
2
4 0
4
2 y 2
y
y
y y
Construcción de curvas. Ejemplo 3
3. Extensión
a) En el eje
2 y 2
, 2 2,
Y
y y
y
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
Construcción de curvas. Ejemplo 3
2
4. Asíntotas verticales
Primero notamos que
2 2
2 24
Aunque los factores en el denominador no son
lineales (están dentro de la raíz), intuimos que
las rectas 2 y 2 son asíntotas verticales.
x xy
x xx
x x
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
2
2 2
2 2
2 24
2 22
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 22 2
x xy
x xx
x xx
x x x x
x x x x x x
x xx x
Construcción de curvas. Ejemplo 3
4. Asíntotas verticales
2 2 2
2 2
La recta 2 es una asíntota.
Efectivamente, conforme se
aproxima al número 2 por la
derecha, crece sin límite.
x x xy
x x
x
x
y
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
Construcción de curvas. Ejemplo 3
4. Asíntotas verticales
2
2 2
La recta 2 es una asíntota.
Efectivamente, conforme se
aproxima al número 2 por la
derecha, crece sin límite.
xy
x x
x
x
y
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
Construcción de curvas. Ejemplo 3
2
4. Asíntotas horizontales
Primero notamos que
2 2 22 2
2 22 24
Aunque los factores en el denominador no son
lineales (están dentro de la raíz), intuimos que
las rectas 2 y 2 son asínto
y y yy yx
y yy yy
y y
tas horizontales.
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
Construcción de curvas. Ejemplo 3
4. Asíntotas verticales
2
2 2
La recta 2 es una asíntota.
Efectivamente, conforme se
aproxima al número 2 por la
derecha, crece sin límite.
yx
y y
y
y
x
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
Construcción de curvas. Ejemplo 3
4. Asíntotas verticales
2
2 2
La recta 2 es una asíntota.
Efectivamente, conforme se
aproxima al número 2 por la
derecha, crece sin límite.
yx
y y
y
y
x
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
5. Cálculo de las coordenadas de algunos puntosx y
2.001 63.27 2.002 44.75 2.003 36.56 2.004 31.67 2.005 28.34 2.006 25.88 2.007 23.97 2.008 22.43 2.009 21.15 2.010 20.07 2.011 19.15 2.012 18.34 2.013 17.63 2.014 16.99 2.015 16.42 2.016 15.91 2.017 15.44 2.018 15.01 2.019 14.61 2.020 14.25
-
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
2.00
1 2.
002
2.00
3 2.
004
2.00
5 2.
006
2.00
7 2.
008
2.00
9 2.
010
2.01
1 2.
012
2.01
3 2.
014
2.01
5 2.
016
2.01
7 2.
018
2.01
9 2.
020
5. Cálculo de las coordenadas de algunos puntosx y
2.02 14.25 2.03 11.68 2.04 10.15 2.05 9.11 2.06 8.35 2.07 7.76 2.08 7.28 2.09 6.89 2.10 6.56 2.11 6.28 2.12 6.03 2.13 5.81 2.14 5.62 2.15 5.45 2.16 5.30 2.17 5.15 2.18 5.03 2.19 4.91 2.20 4.80 2.21 4.70
-
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
14.00
16.00
2.02
2.
03
2.04
2.
05
2.06
2.
07
2.08
2.
09
2.10
2.
11
2.12
2.
13
2.14
2.
15
2.16
2.
17
2.18
2.
19
2.20
2.
21
5. Cálculo de las coordenadas de algunos puntosx y
2.3 4.05 2.4 3.62 2.5 3.33 2.6 3.13 2.7 2.98 2.8 2.86 2.9 2.76 3.0 2.68 3.1 2.62 3.2 2.56 3.3 2.51 3.4 2.47 3.5 2.44 3.6 2.41 3.7 2.38 3.8 2.35 3.9 2.33 4.0 2.31 4.1 2.29 4.2 2.27
-
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
4.50
2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2
2 2 2 26. Construcción de la curva 4 4 0x y x y
-
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00 2.
100
3.10
0 4.
100
5.10
0 6.
100
7.10
0 8.
100
9.10
0 10
.100
11
.100
12
.100
13
.100
14
.100
15
.100
16
.100
17
.100
18
.100
19
.100
20
.100
21
.100
22
.100
23
.100
24
.100
25
.100
26
.100
27
.100
28
.100
29
.100
30
.100
2 2 2 26. Construcción de la curva 4 4 0x y x y
2 2 2 26. Construcción de la curva 4 4 0x y x y
3 2 2
Construir la curva
cuya ecuación es
2 0x xy y
Construcción de curvas. Ejemplo 4
Ejercicio 24, parágrafo 19, página 47
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3 2 2
3
1. Intersecciones con los ejes.
a) Con el
Hacemos 0 en la ecuación 2 0
lo que nos lleva a 0.
Por tanto, la curva intersecta al eje únicamente
en el origen; es decir, en 0.
X
y x xy y
x
X
x
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
Construcción de curvas. Ejemplo 4
1. Intersecciones con los ejes.
a) Con el
La gráfica intersecta al eje en 0
X
X
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3 2 2
2
1. Intersecciones con los ejes.
b) Con el
Hacemos 0 en la ecuación 2 0
lo que nos lleva a 2 0
Tenemos una raíz: 0
Por lo tanto, la curva intersecta al eje
únicamente en el origen.
Y
x x xy y
y
y
Y
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
Construcción de curvas. Ejemplo 4
1. Intersecciones con los ejes.
b) Con el
La gráfica intersecta al eje en 0
Y
Y
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3 2 2
2 23
3 2 2
2. Simetrías
a) Con respecto al eje : por .
La ecuación 2 0 queda
2 0
ó sea
2 0.
X y y
x xy y
x x y y
x xy y
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3 2 2
2. Simetrías
a) Con respecto al eje
La ecuación 2 0
no cambia cuando int
LA
ercambiamos
por .
Por lo tanto GRÁFICA SÍ ES
SIMÉTRICA RESPECTO AL EJE
,
.
X
x xy y
y
X
y
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3 2 2
3 2 2
3 2 2
2. Simetrías
b) Con respecto al eje : por .
La ecuación 2 0 cambia a
2 0
que da
2 0.
Y x x
x xy y
x x y y
x xy y
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3 2 2
3 2 2
2. Simetrías
b) Con respecto al eje
La ecuación 2 0
cambia a la ecuación
2 0
cuando intercambiamos por .
Por lo LA GRÁFICA NO ES
SIMÉTRICA RESPECTO AL EJ
tanto
.E
,
Y
x xy y
x xy y
x
Y
x
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3 2 2
3 2 2
3 2 2
2. Simetrías
c) Con respecto al origen : por e por .
La ecuación 2 0
cambia a la ecuación
2 0
que da
2 0
x x y y
x xy y
x x y y
x xy y
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3 2 2
3 2 2
2. Simetrías
c) Con respecto al origen
La ecuación 2 0
cambia a la ecuación
2 0
cuando intercambiamos por e por .
Por LA GRÁFICA NO ES
SIMÉTRICA RESPECTO AL ORI
lo tanto,
GEN.
x xy y
x xy y
x x y y
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
Construcción de curvas. Ejemplo 4
2. Simetrías
La única simetría que tiene esta
gráfica es respecto al eje .
No es simétrica ni respecto al eje ,
ni respecto al origen .
X
Y
O
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3 2 2
3. Extensión
a) En el eje
Debemos despejar
como función de
en la ecuación
2 0
X
y x
x xy y
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
3 2 2
2
2 0
Si 0, queda
2 0
por ta
¡El valor 0 sí es per
nto
m ti
0
i do!x
x xy y
x
y
y
3 2 2
3
2 0
Si 2, queda
0
por t
¡El valor 2 NO es permitido!
anto
x xy y
x
x
x
3 2 2
3 2
3 2
3
32
3
2 0
2 0
2
2
2
2
x xy y
x y x
x y x
xy
x
x
x
x
xy
y
Si 0
y
2
x
x
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3 2 2
3 2 2 2
3
3. Extensión
a) En el eje
De la ecuación 2 0 tenemos
2 2
Si 2 y 0, podemos despejar y tenemos
2Por tanto, no puede tener ningún valor entre
0 y 2, excluyendo el 0 (el
X
x xy y
x xy y x y
x x y
xy
xx
0 si es permitido).
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3 2 2
2 2
3. Extensión
a) En el eje
Si en la ecuación 2 0 hacemos 2,
tenemos
8 2 2 0
ó sea
8 0
que obviamente es un absurdo.
Por tanto, el valor 2 no debe ser considerado.
X
x xy y x
y y
x
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3. Extensión
a) En el eje
Resumiendo
, 0 2,
X
x
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3 2 2
3. Extensión
b) En el eje
Debemos despejar de la ecuación
2 0
Y
x
x xy y
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
3 2
2 3
2 3
3
La ecuación cúbica
0
tiene las soluciones
3 3donde
2 9 ,
3 27
y 2 4 27
x ax bx c
p ax u
u
a a abp b q c
q q pu
Solución de la ecuación cúbica
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3 2 2
Despejar en la ecuación
2 0
es muy complicado, y en realidad
no es necesario, dado que se sabe
que toda ecuación cúbica tiene al
menos una raíz real.
x
x xy y
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3 2 2
Dicho de otra manera, independientemente
del valor que tome , existe una real que
resuelve la ecuación
2 0
y x
x xy y
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3. Extensión
b) En el eje
Por lo tanto puede tomar
cualquier valor.
Y
y
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3. Extensión
Tenemos entonces que
,0 2,
y
,
x
y
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3
4. Asíntotas
Ya despejamos a como función de ,
y obtuvimos
2
y x
xy
x
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
3 3 3
33
2
3
21
2 2 2 2
22
2 2 2
2
2
x x x xy
x x x x
x xx x
x x x
x x
x
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3
4. Asíntotas
Primero notamos que
2
2
Haciendo cero los factores lineales del
denominador, encontramos la asíntota vertical
2
x xy
x
x
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3
4. Asíntotas
2
2
La recta 2 es una asíntota.
Efectivamente, conforme se
aproxima al número 2 por la
derecha, crece sin límite.
x xy
x
x
x
y
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
Construcción de curvas. Ejemplo 4
4. Asíntotas
No existe ninguna asíntota horizontal.
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3 2 2 2 2 2 2
4. Asíntotas
Sin embargo, puede existir asíntotas oblicuas.
Para analizar esa posibilidad escribimos
2 2 2
Vemos que si fijamos , y dejamos crecer tanto como se
quiera, el té
x xy y x x y y x x y x y y
y x
2rmino 2 puede ser "despreciado" y obtenemos
lo cual nos hace pensar que las rectas
0 y 0
sean asíntotas
y
x x y x y
x y x y
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
5. Cálculo de las coordenadas de algunos puntos
3 2 22 0x xy y x y2.01 28.502.02 20.302.03 16.702.04 14.572.05 13.132.06 12.072.07 11.262.08 10.612.09 10.072.10 9.622.11 9.242.12 8.912.13 8.622.14 8.372.15 8.142.16 7.942.17 7.752.18 7.592.19 7.442.20 7.302.21 7.172.22 7.052.23 6.942.24 6.84
5. Cálculo de las coordenadas de algunos puntos
3 2 22 0x xy y
5. Cálculo de las coordenadas de algunos puntos
3 2 22 0x xy y
3 2 26. Construcción de la curva 2 0x xy y
3 2 26. Construcción de la curva 2 0x xy y
3 2 26. Construcción de la curva 2 0x xy y
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
Ecuaciones
factorizables
El trazado de curvas se puede simplificar
considerablemente para ciertos tipos de
ecuaciones a las que llamaremos ecuaciones
factorizables; es decir , aquellas que pueden
escribirse en forma del producto de dos o
más factores variables igualado a cero .
Ecuaciones factorizables
En general, si la ecuación
, =0
es factorizable; es decir, si , puede
escribirse como el producto de dos o más
factores variables, la gráfica de ,
constará de las gráficas de las ecuaciones
obtenida
f x y
f x y
f x y
s a1 igualar a cero cada uno de estos
factores.
Ecuaciones factorizables
3 3
Trazar la gráfica correspondiente
a la ecuación
, 0f x y x y
Ecuaciones factorizables.
Ejemplo 1
3 3Trazar la gráfica correspondiente a la ecuación ,f x y x y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
3 3
2 2
La ecuación
, 0
se factoriza trivialmente como
, 0
f x y x y
f x y x y x xy y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
3 3
Así que, por lo que acabamos de ver,
la gráfica de será la grafica
de las ecuaciones que resultan al hacer
cada uno de los factores igual a cero.
x y
3 3 2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x xy y
3 3 2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x xy y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
¿La gráfica de 0?x y
3 3 2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x xy y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
¿La gráfica de 0?x y Toda ecuación del tipo
0
es una línea recta.
ax by c
3 3 2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x xy y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
¿La gráfica de 0?x y X y
0 01 -1-1 1
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
0x y
3 3 2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x xy y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
La gráfica de
0
es una recta que pasa por el origen
con pendiente 1; es decir, es una
recta que pasa por el origen y que
hace un ángulo de 135 grados con
el eje .
x y
X
3 3 2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x xy y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
2 2
¿Cuál es la gráfica de
la ecuación
0 ?x xy y
2 2¿Cuál es la gráfica de la ecuación ?x xy y
2
1. Intersecciones.
a) Con el eje X: 0.
Si 0 0 0
Intersecta al eje en 0.
y
y x x
X
2 2¿Cuál es la gráfica de la ecuación ?x xy y
2
1. Intersecciones.
b) Con el eje Y: 0.
Si 0 0 0
Intersecta al eje en 0.
x
x y y
Y
2 2¿Cuál es la gráfica de la ecuación ?x xy y
1. Intersecciones.
La única intersección con
los ejes es el punto 0,0
2 2¿Cuál es la gráfica de la ecuación ?x xy y
22 2 2
2 2
2. Simetrías.
a) Simetría respecto al eje :
0
No es simétrica respecto al eje .
X y y
x xy y x x y y
x xy y
X
2 2¿Cuál es la gráfica de la ecuación ?x xy y
22 2 2
2 2
2. Simetrías.
b) Simetría respecto al eje :
0
No es simétrica respecto al eje .
Y x x
x xy y x x y y
x xy y
Y
2 2¿Cuál es la gráfica de la ecuación ?x xy y
2 22 2
2 2
2. Simetrías.
c) Simetría respecto al eje : y
0
Sí es simétrica respecto al origen .
O x x y y
x xy y x x y y
x xy y
O
2 2¿Cuál es la gráfica de la ecuación ?x xy y
3. Extensión.
a) En el eje
Despejamos como función de .
X
y x
2 2
2 2
2
2 2 2 2
2
0
0
4
2
4 1 4
2 1 2
3 3 1 3
2 2 2
x xy y
y xy x
b b acy
a
x x x x x xy
x x x xx
2 2¿Cuál es la gráfica de la ecuación ?x xy y
3. Extensión.
a) En el eje
Despejamos como función de .
1 3
2
X
y x
y x
2 2¿Cuál es la gráfica de la ecuación ?x xy y
3. Extensión.
a) En el eje
1 3
2Por tanto, únicamente el valor 0
hace posible la ecuacíon anterior y
la extensión en se reduce a 0.
X
y x
x
X x
3 3 2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x xy y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
Efectivamente el punto 0,0 está
ene la gráfica de la ecuación, pero
unicamente ese punto.
La gráfica de la ecuación se reduce
a un único punto, el origen.
3 3 2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x xy y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
3 3
Por tanto, la gráfica de la ecuación
0
es la de la línea recta
0
x y
x y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
3 3 0x y
2 2
Trazar la gráfica correspondiente
a la ecuación
, 0f x y x y
Ecuaciones factorizables.
Ejemplo 2
2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
2 2
La ecuación
, 0
se factoriza como
, 0
f x y x y
f x y x y x y
2 2
Así que, por lo que acabamos de ver,
la gráfica de será la grafica de
las ecuaciones que resultan al hacer
cada uno de los factores igual a cero.
x y
2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
¿La gráfica de 0?x y
2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
¿La gráfica de 0?x y Toda ecuación del tipo
0
es una línea recta.
ax by c
2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
¿La gráfica de 0?x y X y
0 01 -1-1 1
2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
0x y
2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x y
La gráfica de
0
es una recta que pasa por el origen con
pendiente 1; es decir, es una recta
que pasa por el origen y que hace un
ángulo de 135 grados con el eje .
x y
X
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
¿La gráfica de 0?x y
2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
¿La gráfica de 0?x y Toda ecuación del tipo
0
es una línea recta.
ax by c
2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
¿La gráfica de 0?x y X y
0 01 1-1 -1
2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
0x y
2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
La gráfica de
0
es una recta que pasa por el origen con
pendiente 1; es decir, es una recta que
pasa por el origen y que hace un
ángulo de 45 grados con el eje .
x y
X
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
2 2
Por tanto,
la gráfica de la ecuación
0
son dos líneas rectas.
x y
2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
2 2
Por tanto, la gráfica de la ecuación
0
son dos líneas rectas.
Ambas pasan por el origen,
una hace con el eje un ángulo de 135 grados
y la otra hace con el eje un ángulo de 45 grados
x y
X
X
2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
2 2 0x y
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
Intersección de curvas
Considere un sistema de dos
ecuaciones independientes
, 0 , 0f x y g x y
Intersección de curvas
Si sus gráficas se cortan en
uno ó más puntos, cada uno
de estos puntos se llama
punto de intersección.
Considere un sistema de dos ecuaciones independientes
, 0 , 0f x y g x y
Intersección de curvas
La interpretación analítica de un punto de intersección de las dos gráficas, es que es un punto cuyas coordenadas representan una solución común a las dos ecuaciones
Considere un sistema de dos ecuaciones independientes
, 0 , 0f x y g x y
Intersección de curvas
2 1
3 9
x y
x y
2 1
3 9
5 10
x y
x y
x
2 1 3 9
5 1010
25
x y x y
x
x
2 1 3 9
5 1010
25
2 1 2 2 1 3
x y x y
x
x
y x
2 1 3 9
2 3
x y x y
x y
Encontrar la intersección de las curvas
y 3 92 1x y x y
Intersección de curvas. Ejemplo 1
Ejercicio 11, parágrafo 21, página 49.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
2 1x y
Intersección de curvas. Ejemplo 1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
3 9x y
Intersección de curvas. Ejemplo 1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
3
2 1
9x y
x y
Intersección de curvas. Ejemplo 1
2,3
2 2 2
Encontrar la intersección de las curvas
y 8 2y xx y
Intersección de curvas. Ejemplo 2
Ejercicio 17, parágrafo 21, página 49
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y2 2 8x y
Intersección de curvas. Ejemplo 2
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y2 2y x
Intersección de curvas. Ejemplo 2
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y2 2
2
8
2
x y
y x
Intersección de curvas. Ejemplo 2
2,2
2, 2
2 2 2
Encontrar la intersección de las curvas
y
Hay dos puntos de intersección:
2,2 y
8
2,
2
2
y xx y
Intersección de curvas. Ejemplo 2
Ejercicio 17, parágrafo 21, página 49
2
2
1 2
2 8
2 8 0
2 4 4 1 8 2 36 2 6
2 2 2
2 4
x x
x x
x
x x
Intersección de curvas. Ejemplo 2
2 2 2
Encontrar la intersección de las curvas y 8 2y xx y
1 2
1
2
2 4
2
2 2 4 2
8 No existe
x x
y x
y
y
Intersección de curvas. Ejemplo 2
2 2 2
Encontrar la intersección de las curvas y 8 2y xx y
1 1
2 2
2 2
2 2
x y
x y
Intersección de curvas. Ejemplo 2
2 2 2
Encontrar la intersección de las curvas y 8 2y xx y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y2 2
2
8
2
x y
y x
Intersección de curvas. Ejemplo 2
2,2
2, 2
2 2 22
Encontrar la intersección de las curvas
y 1 4x yx y
Intersección de curvas. Ejemplo 3
Ejercicio 18,parágrafo 21,página 49
2 2 2 21 y 4x y x y
Para encontrar la intersección de
estas dos curvas debemos resolver
las ecuaciones simultaneamente
Intersección de curvas. Ejemplo 3
2 2 2 2
2
1 y 4
Sumando las dos ecuaciones, obtenemos
2 5
5y por tanto,
2
x y x y
x
x
2 2 2 21 y 4x y x y
Intersección de curvas. Ejemplo 3
2 2 2 2
2
1 y 4
5Sustituyendo en la primera
25
obtenemos 12
5 3que nos da 1
2 2que no existe en los números reales.
x y x y
x
y
y
2 2 2 21 y 4x y x y
Intersección de curvas. Ejemplo 3
Las dos curvas
no se intersectan,
como es evidente
de sus gráficas.
2 2 2 21 y 4x y x y
Intersección de curvas. Ejemplo 3
2
Encontrar la intersección de las curvas
y 4 0 4 02 yx y x
Intersección de curvas. Ejemplo 0
22 4 0 y 4 0x y y x
Para encontrar la intersección de
estas dos curvas debemos resolver
las ecuaciones simultaneamente
Intersección de curvas. Ejemplo 0
2
2
1 2
Despejando en la primera: 4 2
Sustituyendo en la segunda: 4 2 4 0
Desarrollando: 4 20 16 0
Factorizando: 4 4 1 0
Tenemos dos soluciones, 1 y 4
y y x
x x
x x
x x
x x
22 4 0 y 4 0x y y x
Intersección de curvas. Ejemplo 0
1
2
De la primera, 4 2
Sustituyendo los valores de
4 2 1 2
y
4 2 4 4
y x
x
y
y
2
1 2
2 4 0 y 4 0
1 y 4
x y y x
x x
Intersección de curvas. Ejemplo 0
Por tanto,
los puntos de intersección son:
1,2 y 4, 4
22 4 0 y 4 0x y y x
Intersección de curvas. Ejemplo 0
22 4 0 y 4 0x y y x
4, 4
1,2
Intersección de curvas. Ejemplo 0
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricosSegundo problema
fundamental: Encontrar la
ecuación de un lugar geométrico
En este capítulo haremos un estudio preliminar
de dos problemas fundamentales de la
Geometría Analítica.
I . Dada una ecuación interpretarla geométricamente;
es decir, construir la gráfica correspondiente .
II. Dada una figura geométrica, o la condición que
deben cumplir los puntos de la misma, determinar
su ecuación.
Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica
Consideremos ahora el segundo
problema fundamental de la
Geometría Analítica:
Dada una figura geométrica,
o la condición que deben cumplir
los puntos de la misma, determinar
su ecuación.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
Una figura geométrica ,
tal como una curva ,
generalmente se da
por su definición.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
Por definición de un objeto entendemos
una descripción de ese objeto, de tal
naturaleza que sea posible identificarlo
de una manera definida entre todos los
demás objetos de su clase.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
Debemos observar cuidadosamente lo que
implica este enunciado: expresa una
condición necesaria y suficiente para la
existencia del objeto definido.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométricoPor definición de un objeto entendemos una descripción de
ese objeto, de tal naturaleza que sea posible identificarlo de
una manera definida entre todos los demás objetos de su clase.
Así , consideremos que estamos definiendo una
curva plana del tipo por medio de una
propiedad , que únicamente posee . Entonces,
entre todas las curvas planas, una curva es del
tipo si y solamente s
C
P C
C i posee la propiedad .P
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométricoEste enunciado expresa una condición necesaria y
suficiente para la existencia del objeto definido.
Como un ejemplo especifico, consideremos una
curva plana muy conocida: la circunferencia.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
Definimos una circunferencia como una
curva plana que posee la propiedad única ,
que todos sus puntos están a igual distancia
de un punto fijo en su plano.
P
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométricoComo un ejemplo especifico, consideremos una
curva plana muy conocida: la circunferencia.
Esto significa que toda circunferencia
tiene la propiedad , y reciprocamente,
toda curva plana que tenga la
propiedad es una circunferencia.
P
P
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométricoDefinimos una circunferencia como una curva plana
que posee la propiedad única , que todos sus puntos
están a igual distancia de un punto fijo en su plano.
P
Para una curva , dar la condición que
deben cumplir sus puntos es dar una
ley a la cual deben obedecer todos
los puntos de la curva.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
Esto significa que todo punto de la
curva debe satisfacer la ley particular
de la curva.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométricoPara una curva , dar la condición que deben
cumplir sus puntos es, dar una ley a la cual
deben obedecer todos los puntos de la curva.
De acuerdo con esto se define
frecuentemente una curva como
el lugar geométrico descrito por
un punto que se mueve siguiendo
una ley específica.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
Así, una circunferencia puede definirse como
el lugar geométrico de un punto que se mueve
en un plano de tal manera que su distancia a
un punto fijo de ese plano es constante.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométricoDe acuerdo con esto se define frecuentemente una
curva como el lugar geométrico descrito por un
punto que se mueve siguiendo una ley específica.
Un lugar geométrico no debe satisfacer
necesariamente una sola condición;
puede satisfacer dos ó más condiciones.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
Podemos tener una curva que sea el lugar
geométrico de un punto que se mueve de
tal manera que:
1 ) Pasa por un punto dado.
2) Se conserva siempre a una distancia
constante de una recta dada.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
Definición:
Una curva es el lugar geométrico de
todos aquellos puntos, y solamente de
aquellos puntos, que satisfacen una o
más condiciones geométricas dadas.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
i) Se debe observar que esta definición implica
que la condición o condiciones dadas sean
necesarias y suficientes para la existencia de
la curva.
ii) Esta definición debe también compararse
con la definición 1 del artículo 14, que
presentamos a continuación:
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
Definición 1: El conjunto de los puntos,
y solamente de aquellos puntos, cuyas
coordenadas s
gráfica de la e
atisfagan una ecuación
, =0
se llama o,
bien, su
cuación
lugar geométr co .i
f x y
Primer problema fundamental: La gráfica de
una ecuación
En este articulo hemos estudiado
el problema desde un punto
de vista puramente geométrico.
En el siguiente, consideraremos la
interpretación analítica.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
Ecuación de un lugar
geométrico
Ecuación de un lugar geométrico
Estudiaremos ahora el problema de la
determinación de la ecuación de un
lugar geometrico en el caso que la
interpretación analítica de la condición
o condiciones geometricas definen el
lugar geométrico.
Ecuación de un lugar geométrico
El método es el indicado claramente
por las dos definiciones previas
siguientes:
Definición 1: El conjunto de los puntos,
y solamente de aquellos puntos, cuyas
coordenadas s
gráfica de la e
atisfagan una ecuación
, =0
se llama o,
bien, su
cuación
lugar geométr co .i
f x y
Primer problema fundamental: La gráfica de
una ecuación
Definición:
Una curva es el lugar geométrico de
todos aquellos puntos, y solamente
de aquellos puntos, que satisfacen
una o más condiciones geométricas
dadas.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
Ecuación de un lugar geométrico
Combinando estas dos definiciones
tenemos una nueva:
Definición:
Se llama ecuación de un lugar geométrico plano a una
ecuación de la forma
, 0
cuyas soluciones reales para valores correspondientes
de e son todas coordenadas de aquellos puntos,
y solam
f x y
x y
ente de aquellos puntos, que satisfacen la
condición o condiciones geométricas dadas que
definen el lugar geométrico.
Ecuación de un lugar geométrico
Ecuación de un lugar geométrico
Nótese que esta definición expresa una
condición necesaria y suficiente
para que , 0 sea la ecuación de un
lugar geométrico.
f x y
Ecuación de un lugar geométrico
De acuerdo con esto, el procedimiento
para obtener la ecuación de un lugar
geométrico es esencialmente como sigue :
Definición:
Se llama ecuación de un lugar geométrico plano a una ecuación de la forma
, 0
cuyas soluciones reales para valores correspondientes de e son todas
coordenadas de aquellos puntos, y s
f x y
x y
olamente de aquellos puntos, que
satisfacen la condición o condiciones geométricas dadas que definen el
lugar geométrico.
1. Se supone que el punto P, de
coordenadas (x, y), es un punto
cualquiera que satisface la condición
ó condiciones dadas, y, por tanto, un
punto del lugar geométrico.
Pasos para obtener la ecuación de un lugar
geométrico
2. Se expresa, analíticamente, la
condición o condiciones geométricas
dadas, por medio de una ecuación o
ecuaciones en las coordenadas
variables x e y.
Pasos para obtener la ecuación de un lugar
geométrico
3. Se simplifica, si hace falta, la
ecuación obtenida en el paso
anterior (2) de tal manera que tome
la forma
f(x,y)=0
Pasos para obtener la ecuación de un lugar
geométrico
4. Se comprueba el reciproco: sean
(x1, y1) las coordenadas de cualquier
punto que satisfacen f(x.y)=0 de tal
manera que:
f(x1 ,y1 )=0
Pasos para obtener la ecuación de un lugar
geométrico
Pasos para obtener la ecuación de un lugar
geométricoEn la práctica generalmente se omite el paso 4,
ya que la repetición del trabajo del paso 3 al
paso 2 es, generalmente, inmediata.
Nótese que en el paso 1 que al tomar como
un punto cualquiera del lugar
P
geométrico,
estamos considerando todos los puntos de ese
lugar geométrico.
14. Un punto se mueve de tal manera que su
distancia al punto 2,4 es siempre igual a
su distancia al eje aumentada en 3.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico.
A
Y
Ecuación de un lugar geométrico.
Ejemplo1
Ejercicio 14, grupo 8, capítulo II. Página 54
14. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto
2,4 es siempre igual a su distancia al eje aumentada en 3.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico.
A Y
Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo1
Sea , un punto genérico y arbitrario
del lugar geométrico.
La especificación del lugar geométrico se
escribe, en términos algebráicos, como
, , 2,4 , , 3
P x y
d P x y A d P x y Y
14. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto
2,4 es siempre igual a su distancia al eje aumentada en 3.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico.
A Y
Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo1
2 2
Ahora
, , 2,4 , , 3
es
2 4 3
d P x y A d P x y Y
x y x
14. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto
2,4 es siempre igual a su distancia al eje aumentada en 3.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico.
A Y
Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo1
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 4 3
Elevando al cuadrado:
2 4 3
Desarrollando los cuadrados:
4 4 8 16 6 9
Pasando todo al primer miembro:
4 4 8 16 6 9 0
x y x
x y x
x x y y x x
x x y y x x
14. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto
2,4 es siempre igual a su distancia al eje aumentada en 3.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico.
A Y
Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo1
2 2 2
2 22
2
4 4 8 16 6 9 0
Reduciendo términos seme
4
j
4 16 9
ante
6
s:
8 0
8 10 11 0
x
x x y y x x
y y
y y x
xx x
14. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto
2,4 es siempre igual a su distancia al eje aumentada en 3.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico.
A Y
Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo1
2
La ecuación del lugar geométrico es:
8 10 11 0y y x
2 8 10 11 0y y x
Un punto se mueve de tal manera que su distancia
del eje es siempre igual a su distancia del punto
4, 0 . Hallar la ecuación de su lugar geométrico.
Y
Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 2
Sea ( , ) un punto cualquiera del lugar geométrico.
Sea el pie de la perpendicular de al eje ,
según el problema, debe satisfacer lacondición
geométrica
P x y
B P Y
P
PB PA
Un punto se mueve de tal manera que su distancia
del eje es siempre igual a su distancia del punto
4, 0 . Hallar la ecuación de su lugar geométrico.
Y
Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 2
2 2
22 2
2 2 2
2
4
4
8 16
8 16 0
PB PA
x x y
x x y
x x x y
y x
Un punto se mueve de tal manera que su distancia
del eje es siempre igual a su distancia del punto
4, 0 . Hallar la ecuación de su lugar geométrico.
Y
Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 2
2 8 16 0y x
Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 2
1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
y 2 8 16 0y x
Pasos para obtener la ecuación de un lugar
geométrico. Ejemplo 3Hallar la ecuación del lugar geométrico
de un punto que se mueve de tal manera
que siempre equidista de dos puntos
dados ( 1 ,2) y (4, 1 ).A B
Hallar la ecuación del lugar geométrico
de un punto que se mueve de tal manera
que siempre equidista de dos puntos
dados ( 1 ,2) y (4, 1 ).A B
Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo
3
La ecuación buscada es
5 3 6 0x y
Hallar la ecuación del lugar geométrico
de un punto que se mueve de tal manera
que siempre equidista de dos puntos
dados ( 1 ,2) y (4, 1 ).A B
5 3 6 0x y
Pasos para obtener la ecuación de un lugar
geométrico. Ejemplo 5
2
2
( - 3)² ( -1)² ( / 2)
( - 3)² ( -1)² / 4
( - 3)² ( -1)² / 4 0
(3 / 4) ² - 6 ² - 2 10 0
(3 / 4) ² - 6 ² - 2 10 0
x y x
x y x
x y x
x x y y
x x y y
2 3 4 5 6 7
-1
0
1
2
3
x
y(3 / 4) ² - 6 ² - 2 10 0x x y y
Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo
5. Un punto se mueve de tal manera que su
distancia al punto 2,3 es siempre igual a 5.
Hallar la ecuación de su lugar geométrico y
dar una interpretación geométrica.
1. Se supone que el punto P, de coordenadas ( , ) es un
punto cualquzera que satisface la condici6n o condiciones
dadas, y , por tanto, un punto del lu
Sea entonces
gsr geom6tri
, un pu
c
nto genera
o.
l P x y
x y
y arbitrario del
lugar geométrico
. Se expresa , analfticamente , la condici6n o
condiciones geometricas dadas, por medio de
una ecuaci6n o ecuaciones en las coordenadas
variables x y y.
2
En este caso esa condición se escribe
, , 2,3 5d P x y A
2 2
que se expresa como
2 3 5x y
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
3. Se simplifica , si hace falta , la ecuaci6n
obtenida en el paso 2 de tal manera que
tome la forma
En este caso
2 3 5
2 3 25
4 4 6 9 25
4 4 6 9 25
, 0
4 2
0
6 1 0
x y
x y
x x y y
x x
f
y x y
x
x
y
y y
1 14 . Se comprueba el reciproco : sean , las coordenadas de
ctialquier punto que satisfacen (1) de tal manera que la ecuaci6n
es verdadera . Si de (2) se puede deducir la expresi6n analitica de la
cond
x y
2 2
1 1
2 2
1 1
2 21 1 1 1
ici6n o condiciones geometricas dadas, cuando se aplica a1 punto
(XI, yl) , entonces (I) es la ecuaci6
En este caso
n del lugar geo
2 3 5
m6t.rico que se
buscaba
2 3 25
.
4 4 6 9 2
x y
x y
x x y y
2 21 1 1 1
2 21 1 1 1
5
4 4 6 9 25 0
4 6 12 0
x x y y
x y x y
Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 5
2 2
Construir la gráfica de la
ecuación
4 6 12 0x y x y
2 2
2
Intersecciones con los ejes
Eje :
Hacemos 0 en la ecuación
4 6 12 0,
y obtenemos
4 12 0
La factorizamos
6 2 0
Las intersecciones del eje son 6 y 2
X
y
x y x y
x x
x x
X
2 2
2
2
Intersecciones con los ejes
Eje :
Hacemos 0 en la ecuación
4 6 12 0,
y obtenemos
6 12 0,
La resolvemos
6 6 4 1 12 6 36 48
2 1 2
6 84 6 4 21 6 2 213 21
2 2 2
Las intersecciones del eje son 3
Y
x
x y x y
y y
y
Y
21 y 3 21
Simetrías
No tiene
2 2
2 2
2 2
2
Extensión
En el eje :
Despejamos como función de ,
de 4 6 12 0,
6 36 4 4 12 6 4 16 84
2 2
6 4 4 21 6 2 4 21
2 2
3 4 21
X
y x
x y x y
x x x xy
x x x x
y x x
Asíntotas
No tiene
2 2 4 6 12 0x y x y
2,3
Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo
23. Dos de los vértices de un triángulo son
los puntos fijos (-1,3) y (5,1). Hallar la
ecuación del lugar geométrico del tercer
vértice si se mueve de tal manera que la
pendiente del lado es si
A B
C
AC##############
empre el doble
de la del lado .BC##############
1
2
Solución:
Sea ( , ) un punto cualquiera del lugar geométrico.
3La pendiente del lado es
11
La pendiente del lado es 5
Segun el problema, , debe satisfacer la
condición geomé
P x y
yAP m
xy
BP mx
P x y
##############
##############
1 2trica 2m m
23. Dos de los vértices de un triángulo son los puntos fijos (-1,3) y (5,1).
Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice si se mueve de
tal manera que la pendiente del lado es
A B
C
AC##############
siempre el doble de la del lado .BC##############
1 2
La condición geométrica especificada,
que la pendiente del lado es siempre
el doble de la del lado ; es decir, que
2
se expresa analíticamente como
3 1=2
1 5
AP
BP
m m
y y
x x
##############
##############
23. Dos de los vértices de un triángulo son los puntos fijos (-1,3) y (5,1).
Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice si se mueve de
tal manera que la pendiente del lado es
A B
C
AC##############
siempre el doble de la del lado .BC##############
Simplificamos ahora la expresión que
expresa la condición analiticamente,
3 12 0
1 53 5 2 1 1
01 5
3 5 15 2 2 2 20
1 5
y y
x xy x y x
x x
xy x y xy x y
x x
3 1=2
1 5
y y
x x
3 5 15 2 2 2 20
1 5
7
7 17 0
170
1 5
7 17 0
xy x y xy x y
x x
xy x y
x x
x y
xy y
y x
x
3 1=2
1 5
y y
x x
1 1 1
Nos falta comprobar ahora el recíproco, el punto 4
de los pasos que hemos especificado; es decir,
si un punto ( , ) satisface la ecuación
7 17 0
entonces satisface la condición geométrica,
que la
P x y
xy x y
pendiente del lado es siempre el doble de
la del lado .
AP
BP
##############
##############
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
Como el punto ( , ) satisface la ecuación
7 17 0
tenemos
7 17 0
Dividimos ambos lados de la ecuación,
7 170
1 5
P x y
xy x y
x y x y
x y x y
x x
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1 1 1
1
13 3 5 5 15 1
7 170
1 5
Y ahora separamos las fracciones
7 170
1 5
3 5 15 2 2 2 20
1 5
( 5)( 3) 2( 1)( 1)0
1 5
( 5)(
5
x y x y
x x
x y x y
x x
x y x y x y x y
x x
x y y x
x x
x
x y x y x x y y
y
1 1 1
1 1
3) 2( 1)( 1)0
1 5
y x
x x
Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 5
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 2
( 5)( 3) 2( 1)( 1)0
1 5
( 5)( 3) ( 1)( 1)2 0
1 5 1 5
3 12 0
1 5
3 12
5
2
1
m m
x y y x
x x
x y y x
x x x x
y y
x x
y y
x x
Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 5
Construir la gráfica de la
ecuación
7 17 0xy x y
Construir la gráfica de la ecuación 7 17 0xy x y
la curva intersecta al e
Intersecciones con los ejes
je
Eje :
Hacemos 0 en la ecuación 7 17 0,
17 0
ó sea .
Eje :
Hacemos 0 en l
en 17
la cu
a ecuación
rva intersec
7 17 0,
7 17 0
ó ta sea
X x
X
y xy x y
x
Y
x xy x y
y
al eje en 1 7.7 /Y y
Construir la gráfica de la ecuación 7 17 0xy x y
l
S
a
im
c
etrí
urva
as
Respec
no es s
to al eje :
Camb
imétrica respec
iando en la ecuación 7 17 0,
obtenemos 7 17 0
ó sea .
Respecto al eje :
Cambiando en la ecuació
to al eje
n 7 1
X
y y xy x y
xy x y
Y
x x xy x
X
y
7 0,
obtenemos 7 17 0
ó sea .
Respecto al origen:
Cambiando y en la ecuación
la curva no es simétrica respecto al eje
la curva no
7 17 0,
obtenemos
es simé
7 17 0
ó ts ce ri a a
xy x y
x x y y xy x y
xy x
Y
y
respecto al origen.
Construir la gráfica de la ecuación 7 17 0xy x y
puede tomar cualquier valor,
excepto 7
Extensión
En el eje :
Despejamos como función de ,
17
7por lo tanto
En el eje :
Despejamos como función de , 7 17 0,
17 7
1
por lo tanto
.
pued
X
y x
xy
xx
y
Y
x y xy x y
yx
y
e tomar cualquier valor,
excepto 1.
Construir la gráfica de la ecuación 7 17 0xy x y
Asíntotas
Vérticales
17En la expresión
7hacemos cero el denominador lineal, y obtenemos
para la asíntota vertical.
Horizontales
17 7En la expresión
1
hacemos cero el denominador lineal,
7
x
y
x
yx
yx
y obtenemos
para la asíntota horizon a .
1
t l
y
