logica proposicional y teoria de conjuntos

ESCUELA SUPERIOR DE FORMACIÓN ARTÍSTICA PÚBLICA-

ANCASH

MATEMÁTICA BÁSICA I

EDUCACIÓN ARTÍSTICA

CICLO I

L I C . R O N D Ó N R A M Í R E Z C A R L O S V Í C T O R

2011

MATEMATICA I Matemática básica ESFAP - A

L O G I C A P R O P O S I C I O N A L

INTRODUCCIÓN

La lógica estudia los procesos validos del razonamiento humano. Es una disciplina que se utiliza para determinar si un argumento es válido, tiene aplicación en todos los campos del saber; como en la filosofía, para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones; sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. Los matemáticos usan la lógica, para demostrar teoremas e inferir resultados que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación, para revisar programas y crear sus algoritmos, es utilizada en el diseño de computadoras. Existen circuitos integrados que realizan operaciones lógicas con los bits, gracias a estos se ha desarrollado las telecomunicaciones (telefonía móvil, internet,...)Existen dos tipos de razonamiento: Inductivo y Deductivo.Razonamiento Inductivo es el razonamiento por el cual una persona en base a sus experiencias especificas, decide aceptar como valida un principio general.Razonamiento Deductivo es, en cambio, el medio según el cual dicha persona utiliza el principio general aceptado previamente para decidir sobre la validez de una idea, que a su vez habrá de determinar el curso de su acción.Lo que veremos es la lógica proposicional, a través del uso y manejo de una simbología adecuada.

ELEMENTOS DE LA LÓGICA SIMBÓLICA

I. ENUNCIADO: Es cualquier frase u oración que expresa una idea.

PROPOSICIÓN (enunciado cerrado).- Son oraciones aseverativas que se pueden calificar como verdaderas o falsas. Se representan con las letras minúsculas del abecedario: p; q; r; s.

Ejemplos: Túpac Amaru murió decapitado.* 9 < 10 * 45 = 3 – 2 x2+y2≤ 4 El perro es un pez

Expresiones no Proposicionales.- Son aquellos enunciados a los que no se les puede asignar un valor de verdad. Entre ellos tenemos a los exclamativos, interrogativos o imperativos.

Ejemplos: ¿Cómo te llamas? Prohibido pasar Borra la pizarra ¿Qué hora es? ¡Viva el Perú! Por favor mátame con pasión

OBSERVACIÓN: Toda proposición es un enunciado, pero no todo enunciado es una proposición.

Lic. RONDÓN RAMÍREZ Carlos Víctor Página 2


II. ENUNCIADO ABIERTO: Son enunciados que pueden tomar cualquiera de los 2 valores de verdad.

Ejemplo: Si en la proposición: "cinco es mayor que tres" (en símbolos: 5 > 3) reemplazamos al número 5 por la letra x, se obtiene la expresión "x es mayor que tres" (x > 3), y si convenimos que x no represente necesariamente al número 5, sino a un número cualquiera, entonces al enunciado x > 3 se le denomina enunciado abierto.

Ejemplo: Si :

Se cumple que: Es verdadero Es falso

El valor de verdad de P(x) depende del valor de x, también, se le conoce como función proposicional.

III. VARIABLE: Es una cantidad susceptible de variar en un determinado campo o recorrido a las variables representamos por las letras minúsculas x, y ,z, t, u, v, y son denominados variables indeterminados.Ejemplo:Se tiene un numero real y=√x−5 , si “x”, entonces “x” puede ser un número mayor o igual que 5 y su campo o recorrido es x5

PROPOSICIONES LOGICASEs todo enunciado abierto que puede ser calificado como verdadero o falso, sin ambigüedad. Las proposiciones lógicas están representadas por letras minúsculas: p, q, r, t, …etc. A la veracidad o falsedad de una proposición se le llama valor de verdad.

Ejemplos: p: Huaraz es la capital de Ancash ………………….Verdadero ( V ) q: 120+400=20 …………………………………….. Falso ( F )

VALOR DE VERDAD.- Son dos valores posibles: Verdadero o Falso, y pueden esquematizarse en una tabla en la forma:

p

V

F

CLASES DE PROPOSICIONES:

1. Proposición Simple o Atómica.- Son aquellas que no tienen oraciones componentes afectadas por negaciones ("no") o términos de enlace como conjunciones ("y"), disyunciones ("o") o implicaciones ("si . . . entonces"). Pueden aparecer términos de enlace en el sujeto o en el predicado, pero no entre oraciones.


6x:)x(P

69:)9(P 62:)2(P


Ejemplo: * Cincuenta es múltiplo de diez.* 8 es par* Carlos es muy bello* El hombre es bueno

2. Proposición Compuesta o molecular: Formada por dos o más proposiciones simples unidas por conectivos lógicos o por el adverbio de negación.

Ejemplo: * 29 es un número primo y 5 es impar.* Samuel es artista plástico o músico* Hoy llueve y ayer hizo sol* Juan no es deportista

Ejemplos Ensayemos una lista clasificada y luego algunas aclaraciones:1. Vincent Van Gogh es un pintor. (Simple) 2. Sen 30° no es un número mayor que 1. (Compuesta) 3. El 14 y el 7 son factores del 42. (Simple) 4. El 14 es factor del 42 y el 7 también es factor del 42. (Compuesta) 5. El 2 o el 3 son divisores de 48. (Simple) 6. El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48. (Compuesta) 7. Si x es número primo, entonces x impar. (Compuesta) 8. Si x > 10, entonces 2x - 3 > 16. (Compuesta) 9. No todos los números primos son impares. (Compuesta) Algunas aclaraciones a) No obstante que los ejemplos 3) y 4) gramaticalmente significan lo mismo, operativamente

se consideran distintos. Similarmente 5) y 6). b) A veces proposiciones como la 8), aparecen escritas de la forma: 2x - 3 > 16, si x > 10.

CONECTIVOS LÓGICOS.- Son símbolos que enlazan dos o más proposiciones simples para formar una proposición compuesta. Los conectores lógicos que usaremos son:

OBS: La negación es un conector monádico ("no", "no es cierto que...") , afecta solamente a una proposición.Ejemplo: p; [(p*q) > r]; “yo no estudié”



OPERACIONES LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD

La validez de una proposición compuesta depende de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen y se determina mediante una tabla de verdad.

1. Conjunción: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico "y". (Pero, también, sin embargo, además, tal como, no obstante, aunque, a la vez,…)

Diagrama de Gant

Simbólicamente se representa: & o Ejemplo:Juan está aquí y Erika ha salido

Para llegar a una solución:Se divide la proposición molecular y se simboliza cada Proposición.Así: A= Juan está aquí

B= Erika ha salidoSe identifica el conector lógico y se sustituye por su símbolo: A & B ó A ^ B.

Tabla de Verdad

FFF

FVF

FFV

VVV

qpqp

Ejemplo:Si p: 14+5>15 y q: 8 es número par. Calcular el valor de verdad de p qSolución

p q pq

V V V

2. Disyunción (débil o inclusiva): Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico "o".



Diagrama de GantSimbólicamente se representa:

Ejemplo:Jessica está con Lemus o está con Argelia

Se divide la proposición molecular y se simboliza cada proposición.Así: A= Jessica está con Lemus

B= Jessica está con ArgeliaSe identifica el conector lógico y se sustituye por su símbolo: A B

Tabla de Verdad

FFF

VVF

VFV

VVV

qpqp

Ejemplo:Calcular el valor de verdad de p q. Si p: 5 >15 ; q: 8 es menor que 1. Solución

p q pq

F F F

3. Disyunción Exclusiva o fuerte: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico "o ..........., o .............".

Se presenta cuando sólo uno de sus miembros puede ser aceptado, el otro invalidado.Simbólicamente se presenta: Tabla de Verdad



FFF

VVF

VFV

FVV

qpqp

Ejemplo:Sea p: k es par y q: k es impar. Calcular el valor de verdad de p q. Solución

Si k es par, si puede ser impar (si p es V ; q es F)

Si k es impar, no puede ser par (si p es F ; q es V)

p q pq

V F V

F V V

Ejemplo: Nací en Huaraz o nací en Lima

4. Condicional o Implicativa: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico: "Si............, entonces..............”Directas: si…entonces…., si…….por lo tanto……, conclusión, luego. pq Indirectas: Después de las palabras “cuando, si, …, va el antecedente. (Cuando, si, cada vez que, ya que, debido a que, puesto que, a menos que no, porque, dado que, siempre que) qp.

Diagrama de Gant

Simbólicamente se representa: Ejemplo:Cinthya está enfadada entonces Argelia llego tarde.

Se divide la proposición molecular y se simboliza cada ProposiciónA= Cinthya está enfadada



B= Argelia llegó tardeSe identifica el conector lógico y se sustituye por su símbolo: A B

Tabla de Verdad

FFF

VVF

FFV

VVV

qpqp

V

La proposición “p” es llamado antecedente y la proposición “q” es llamado consecuente.

Ejemplo:Sea p: Alan García es presidente del Perú ; q: 9 < 1. Hallar el valor de verdad de pqSoluciónp: Alan García es presidente del Perú ……………… ( V )q: 9 < 1 ……………………………………………... ( F )

p q pq

V F F

5. Bicondicional o doble implicancia: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico: ".............. si y sólo si .............." (si solamente si, cuando y sólo cuando, entonces y sólo entonces)

Tabla de Verdad

VFF

FVF

FFV

VVV

qpqp

Ejemplo:

Abigail es feliz si solo si Alejandro está con ella

Se divide la proposición molecular y se simboliza cada ProposiciónA= Abigail es felizB= Alejandro está con ella



Se identifica el conector lógico y se sustituye por su símbolo: A B

6. Negación: Afecta a una sola proposición. Es un operador monádico que cambia el valor de verdad de una proposición.

Libre: Cuando afecta a proposiciones compuestas. (Es falso que, no es cierto que, es imposible que)Ejemplo: No es cierto que juegues y bailes: (p q)

Binegación: Negación conjunta, es decir conjunción de negaciones y se identifica con el término “ni”.Ejemplo: Ni atiende, ni estudia: p q

Diagrama de Gant

Ejemplo:Leonardo no ganó la competencia.

Debido a que una proposición debe ser siempre afirmativa, "no" dentro de la oración es incorrecto. Para hacer que una proposición sea negativa se realiza lo siguiente:1. Se escribe la proposición de manera afirmativa.2. Se antepone el símbolo: ¬; ; no.

Ejemplo:Paris no está en Francia.a). Se escribe la proposición de manera afirmativa: Paris está en Francia.b). Se simboliza la proposición: G= París está en Francia.c). Se niega la proposición: ¬ G.Por lo que se concluye: ¬ G= París no está en Francia.

Tabla de Verdad



V

F

p~

F

V

p

Ejemplo: 2 es primo; su negación es: 2 no es número primo.

OBSERVACIÓN: La cantidad de filas en una tabla es:

# filas = 2 n

Donde n es la cantidad de proposiciones simples.

IMPORTANTE:

* Cuando los valores del operador principal son todos verdaderos se dice que el esquema molecular es TAUTOLÓGICO.

* Se dirá que el esquema molecular es CONTRADICCIÓN si los valores del operador principal son todos falsos.

* Si los valores del operador principal tiene por lo menos una verdad y una falsedad se dice que es CONTINGENCIA O CONSISTENTE.

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. De los siguientes enunciados:* Qué rico durazno. * 7 + 15 > 50

* 25yx 22

¿Qué alternativa es correcta?

a) Una es proposición. b) Dos son enunciados abiertos. c) Dos son expresiones no proposicionales. d) Dos son proposiciones. e) Todas son proposiciones.

02. ¿Cuántas de las siguientes expresiones son proposiciones? * ¡Dios mío .... se murió!* El calor es la energía en tránsito. * Baila a menos que estés triste. * Siempre que estudio, me siento feliz. * El delfín es un cetáceo, ya que es un mamífero marino. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

03. Dadas las siguientes expresiones:



* El átomo no se ve, pero existe. * Los tigres no son paquidermos, tampoco las nutrias. * Toma una decisión rápida. * Hay 900 números naturales que se representan con tres cifras. * La Matemática es ciencia fáctica. * Es imposible que el año no tenga 12 meses. ¿Cuántas no son proposiciones simples? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

04. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: )1127()523(

)8102()314(

)512()1073(

23

211212

a) VVFV b) VFVV c) VVVV d) VVVF e) FVVV

05. Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: I. Si: 3 + 1 = 7, entonces: 4 + 4 = 8 II. No es verdad que: 2 + 2 = 5 si y solo si 4 + 4 = 10.III. Madrid está en España o Londres está en Francia. a) VFV b) VVV c) VFF d) FVF e) FFF

06. Si : r)q~p( ; es falsa, determinar los valores de verdad de "p", "q" y "r". a) VVF b) VFF c) VVV d) VFV e) FFF

07. Si la proposición: )sr(~)q~p( es falsa, deducir el valor de verdad de:

p~)q~p(~ a) V b) F c) V o F. d) No se puede determinar. e) Es V si p es F.

09. Si la proposición compuesta:

)tr()qp(

Es falsa. Indicar las proposiciones que son verdaderas: a) p ; r b) p ; q c) r ; t d) q ; t e) p ; r ; t

10. Si la proposición:

)rq()qp( Es falsa, hallar el valor de verdad de las siguientes fórmulas:

I. )qp()rp(~

II. )qr(~)q~p(

III. )r~p()]r~q()qp[(

a) VVF b) VFV c) VVV d) VFF e) FVV

11. Indicar el valor de verdad de:



I. )qp(p

II. )qp()qp(

III. ]p)qp[(~

a) VVV b) VFV c) VVF d) FVF e) FVV

12. Indicar el valor de verdad de:

I. ]p)qp[(~

II. p)qp(

III. )qp()qp(

IV. )qp(p

a) VFVF b) VVVF c) FVFV d) VFFV e) FVVV

13. Sean p, q y r las proposiciones siguientes:p: "está lloviendo"q: "el sol esta brillando"r: "hay nubes en el cielo"Traducir las siguientes oraciones a notación simbólica utilizando las letras asignadas y los conectivos lógicos:

1 Está lloviendo y el Sol brillando2 Si está lloviendo, entonces hay nubes en el cielo

3Si no está lloviendo, entonces el Sol no está brillando y hay nubes en el cielo

4 El Sol está brillando si, y sólo si, no está lloviendo

5Si no hay nubes en el cielo, entonces el Sol está brillando

6 O está lloviendo o el sol está brillando 14. Sean p, q y r del ejercicio 13. Traducir las siguientes proposiciones simbólicas a oraciones en

español:

15. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:a) si : 2+4≠5 entonces 1+1=2 ó 3>5b) Si 5>2 entonces 4+2=6 y 3+1≠4c) No es verdad que: si -2<-3 entonces 4>2 o 1>2d) Si 5+2 ≠8 entonces no es verdad que: 4+6≠10 ó 5+3=8d) Si 6+1<5+2 entonces 6<5 y 1<2

LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL


http://www.monografias.com/trabajos5/oriespa/oriespa.shtml

http://www.monografias.com/trabajos12/sol/sol.shtml#sol


Las formulas lógicas resultan ser siempre verdaderas, no importa la combinación de los valores veritativos de sus componentes, son tautológicas o leyes lógicas. En el cálculo proposicional existen algunas tautologías especialmente útiles cuya demostración se reduce a la confección de su correspondiente tabla de verdad, a saber:

INVOLUCIÓN O DOBLE NEGACION

(p) p

IDEMPOTENCIA pp p pp p

LEYES DE De MORGAN

(pq) pq (pq) pq

LEY DE ABSORCION

p(pq) p p(pq)p p(pq)pq p(pq)pq

CONMUTATIVIDAD pqqp pqqp pqqp

ASOCIATIVIDAD p(qr)(pq)r p(qr)(p q)r p(qr)(pq)r

DISTRIBUTIVIDAD p(qr)(pq) (pr) p(qr)(pq) (pr) p(qr)(pq)(pr)

LEY CONDICIONAL

pqpq (pq)pq

LEY BICONDICIONAL

pq(pq)(qp) pq(pq)(pq)

Elementos Neutros para la Conjunción y Disyunción

pVp, V

neutro de la conjunción

pVV

pFp, F

neutro de la disyunción

pFF

EQUIVALENCIA NATURAL O MATERIAL

pq(pq)(qp)

También (pq)(pq)p (pq)(pq)p

Estas leyes son muy importantes para poder simplificar algunos problemas, puesto que es válido para reemplazar a una proposición por su equivalente sin alterar el resultado.



PROBLEMAS1. Simplificar la siguiente expresión, aplicando las leyes lógicas: (pq)qp

Solución(pq)qp …………………….Ley condicional[(pq)q]p ……………………Ley de De Morgan[(pq)q]p …………………...Asociatividad[(pq)][ pq] …………………Ley de tercio excluidopq

2. Simplificar: A=[(qp)p](qp)SoluciónA[(qp)p](qp)………………….Ley condicionalA[(qp)p](qp)……………….…Ley condicionalA[(qp)p](qp)…………………….Doble negaciónA[(qp)p](qp)………………….…..D’MorganA[(qp)p](pq)……………………...ConmutativaA{[(qp)p]p}q………………….….AsociativaApq……………………………………….Ley de AbsorciónApq………………………………………..Condicional

3. Simplificar: M=(pr){[(pq)(qr)](rp)}SoluciónM=(pr){[(pq)(qr)](rp)}………………….CondicionalM=(pr){[(pq)(qr)](rp)}…………….…...CondicionalM=(pr){ (pq)(qr)(rp)}……………........D’MorganM=(pr){ (pq)(qr)(rp)}……………...…......D’MorganM=(pr){ [(pq) p][(qr) r]}……………..…..AsociativaM=(pr){ p r}…………………………………….…AbsorciónM=(pr){ r p }……………………………………..ConmutativaM=(pr){ r p }………………………………….…..CondicionalM=pr ……………………………………………………Equivalencia natural

PROBLEMAS1. Simplificar D={([pq][(rs)(pq)])(pq)}q2. Simplificar la siguiente expresión, aplicando las leyes lógicas: (pq)qp3. Simplificar la siguiente expresión: (pq)(pq)4. Simplificar la siguiente expresión: (pq)p5. Simplificar la siguiente expresión: p(pq)6. Simplificar la siguiente expresión: [p(qp)]q7. Simplificar a su mínima expresión: {[(pq)(pq)]}8. Verificar si el siguiente argumento es válido:

*Todos los perros tienen dos patas*Todos los animales de dos patas son carnívoros.*Por lo tanto, todos los perros son carnívoros.

9. Verificar si el siguiente argumento es válido:*Todos los vehículos tienen cuatro ruedas.*Una bicicleta es un vehículo.*Por lo tanto, una bicicleta tiene cuatro ruedas.

10. Analiza los siguientes enunciados o proposiciones:



1 Llueve y hace sol, las brujas se peinanSimbolizamos:

"Llueve" = p , "Hace sol" = q, "Las brujas se peinan" = r

2 No es cierto que si llueve y hace sol las brujas se peinan

3 Las brujas se peinan únicamente si llueve y hace sol

4 Cuando las brujas no se peinan, no llueve o no hace sol

5Llueve y las brujas no se peinan o bien hace sol y las brujas no se peinan

¿Cuál es la formalización adecuada?

(pq) r r(pq) ¬r( ¬p¬q) ¬[(pq) r] (p¬r) (q¬r)


1Si las estrellas emiten luz, entonces los planetas la reflejan y giran alrededor de ellas

Simbolizamos:

"Las estrellas emiten luz" = p ; "Los planetas reflejan la luz = q ; "Los planetas giran alrededor de las estrellas" = r

2Las estrellas emiten luz o los planetas la reflejan y, por otra parte, los planetas giran alrededor de ellas

3Los planetas reflejan luz si y sólo si las estrellas la emiten y los planetas giran alrededor de ellas

4Si no es cierto que las estrellas emiten luz y que los planetas la reflejan, entonces éstos no giran alrededor de ellas


p (qr) ¬(pq) ¬r (p v qr q (p r)


1Si Pablo no atiende en clase o no estudia en casa, fracasará en los exámenes y no será aplaudido

Simbolizamos:

"Pablo atiende en clase" = p ; " Pablo estudia en casa = q; "Pablo fracasa en los exámenes" = r ; "Pablo es aplaudido" = s ;

2Si no es el caso que Pablo atiende en clase y estudia en casa, entonces fracasará en los exámenes o no será aplaudido

3Pablo atiende en clase y estudia en casa o, por otra parte, fracasa en los exámenes y no es aplaudido

4Únicamente si Pablo atiende en clase y estudia en casa, no se dará que fracase en los exámenes y no sea aplaudido


(pq) v (r¬s) (pq) ¬(r¬s) (¬pv¬q(r¬s) ¬(pq) (rv¬s)

CIRCUITOS LOGICOSEs la que permite el paso de corriente eléctrica o la interrupción. Para estos casos se dice que es circuito cerrado cuando hay paso de corriente y cuando hay interrupción será falso a esta se denomina circuito abierto.



Para diseñar los circuitos eléctricos, se usa las siguientes notaciones:a) El 1 indica que pasa corriente eléctrica; por lo que se considera Vb) El 0 indica que no pasa corriente eléctrica; por lo que se considera FEn el diseño de esquemas de circuitos eléctricos para representar a proposiciones compuestas y viceversa se considera dos clases de instalaciones: en serie y en paralela.1) DISEÑO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN SERIE

Consideremos los interruptores (proposiciones) p y q conectados en serie.

Cuando los dos interruptores p y q están cerradas, esta admite corriente eléctrica, en cualquier otro caso no hay corriente; es decir esta situación corresponde a la tabla de verdad de la Conjunción p q.

p q pq1100

1010

1000

En la tabla de verdad se observa que basta que uno de los interruptores esté abierto “0” para que no circule la corriente en todo el circuito.

A la expresión p q se le llama la “Función Booleana del circuito en serie”

2) DISEÑO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN PARALELOConsideremos los interruptores (proposiciones) p y q conectados en paralelo.

Se observa en el circuito para que circule corriente es suficiente que alguno de los interruptores o ambos p o q esté cerrado “1” y no hay paso de corriente si ambos interruptores están abiertos (ambos con el valor “0”).Este circuito corresponde a la tabla de verdad de la Disyunción p q.

p q pq110

101

111



0 0 0

A la expresión p q se denomina la función booleana del circuito en paralelo.

NOTA: A un interruptor p representaremos simplemente como:

Ejemplo:

Ejemplos:1) Construir el circuito lógico de las funciones Booleanas.

a) p qSoluciónpqpq ( paralelo)

b) (p q ) rSolución

c) Describir simbólicamente el circuito.

Solución p ( r q ) q r )



LÓGICA CUANTIFICACIONAL

FUNCION PROPOSICIONAL A todo enunciado abierto de la forma P(x) se denomina función proposicional la cual tiene la propiedad de convertirse en una proposición al ser sustituido la variable “x” por una constante “a” especifica, al conjunto de todos los valores convenidos para la variable “x” se denomina dominio de la variable.La función proposicional sobre D es toda expresión P(x) donde P(a) es verdadero o falso para todo a D.Ejemplo: P(x)=x+1<9, si “x” pertenece al conjunto de los enteros, entonces P(x) es una

función proposicional cuyo dominio es los enteros.SoluciónSi: x= -2 Z, -2+1< 9 es verdadero

x=10 Z, 10+1< 9 es falsoPor lo tanto P(x) es una función proposicional.

CUANTIFICADOR EXISTENCIAL

En el lenguaje de predicados en lógica matemática, se usa el símbolo: , llamado cuantificador existencial, antepuesto a una variable para decir que "existe" al menos un elemento del conjunto al que hace referencia la variable, que cumple la proposición escrita a continuación.Normalmente, en lógica, el conjunto al que se hace referencia es el universo o dominio de referencia, que está formado por todas las constantes.

Ejemplo

Si tenemos dos conjuntos diferentes A y B, y A es un subconjunto de B:

Existe al menos un elemento x de B que pertenece a A:

Al afirmar que existe al menos un x que pertenece a B y pertenece a A, quiere decir que no todos los elementos de B pertenecen a A, al ser A y B conjuntos distintos, existe al menos un elemento y de B que no pertenece a A:


http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Conjuntos_04.svg


Que podemos leer: existe al menos un elemento y en B, y este elemento y no pertenece a A.CUANTIFICADOR UNIVERSAL

En lógica matemática, se usa el símbolo , denominado cuantificador universal, antepuesto a una variable para decir que "para todo" elemento de un cierto conjunto se cumple la proposición dada a continuación. En texto se puede representar con el carácter ∀.Normalmente, en lógica, el conjunto al que se refiere es el universo o dominio de referencia, en el cual aparecen todas las constantes.

Ejemplo

Si tenemos dos conjuntos diferentes A y B, y A es un subconjunto de B:

Todo elemento x de A pertenece a B:

Al ser A y B conjuntos diferentes como indica el diagrama, podemos decir que no todos los elementos y de B pertenecen a A, siendo esto una garantía suficiente para que dos conjuntos cualesquiera puedan ser diferentes:

Es decir, que no para todo elemento y de B tenemos que o implica que y también pertenezca a A.

RELACIÓN CUANTIFICADOR UNIVERSAL Y EL CUANTIFICADOR EXISTENCIALDada una expresión P(x), según el cuantificador universal se puede transformar en otra equivalente con el cuantificador existencial:

Que podríamos leer: si para todo x se cumple P(x) no existe un x que no cumpla P(x).Según el ejemplo anterior:

Para todo x que pertenece a A implica que x pertenece a B, que podemos expresar:


http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Conjuntos_04.svg


No existe un x de B por tanto x no esté en a A.

Ejemplo: Expresar “todos los gatos tienen cola” en calculo de predicados.

SoluciónHallar primero el ámbito del cuantificador Universal, que es:“Si “x” es un gato, entonces “x” tiene cola”Gx x es un gatoCx x tiene colaPor tanto: (x) Gx Cx

LEYES DE INTERCAMBIO DE CUANTIFICADORES

PROPOSICION LA NEGACIÓNx: P(x)

x: P(x)

xA: P(x)

xA: P(x)

[x:P(x)]x: P(x)

[x: P(x)x: P(x)

[xA: P(x)xA: P(x)

[xA: P(x)xA:P(x)

Según lo anterior, se tiene que la negación de una proposición existencial es equivalente a la afirmación de un cuantificador universal cuya función proposicional es la negación de la primera.También, decir que (xPxes falsa significa entonces (xPxes verdadera y por lo tanto, lo es ( x Px. Este resultado es la base de una regla lógica útil para demostrar que un enunciado es falso. Esta regla se llama regla del contraejemplo y dice así: Si: ( x Px es verdadera, entonces (xPxes falso.

Un cuantificador es una expresión que permite determinar cantidad en una proposición.Por ejemplo, en la proposición todos los animales mamíferos son vivíparos, la expresión todos determina la cantidad de mamíferos que son vivíparos.En matemáticas se utilizan como cuantificadores las expresiones todos, algunos, ninguno, no todo, sólo uno.La expresión para todo se denomina cuantificador universal.La expresión existe algún se denomina cuantificador existencial.

Ejemplo: La afirmación "todos los números primos son impares" es falso porque, "existe un número primo que no es impar". A dicho número, el dos, se le llama un contraejemplo.

Ejemplo: Negar la proposición, xN/x+3>5Solución[xN/x+3>5]xN/x+35

EJEMPLOS APLICATIVOS

“x protege el circuito de luces”



SoluciónPara cada “x”, x protege el circuito de luces.En este caso utiliza “x” para afirmar que cada elemento del universo tiene una cierta propiedad.Wx x protege el circuito de lucesPor tanto: (x) Wx Esta operación no tiene límites en el número de veces que pueden aplicarse especificaciones a la misma proposición universal.

“Solamente todas las personas de la ciudad de Huaraz dicen que existen los Ichic kollcos”SoluciónDel enunciado anterior vamos a sacar dos predicados:P(x): x es de la ciudad de Huaraz.D(x): x dice que existen los Ichic kollcos.Esto se puede traducir: x: P(x) D(x)*Para toda persona, si es de la ciudad de Huaraz, entonces dice que existen los Ichic kollcos.Para todo x, si no P(x) no D(x)*Para toda persona, si no es de Huaraz, entonces no dice que existen los Ichic kollcos.

"todas las hormigas son insectos"Solución Para toda x, si x es hormiga entonces x es insecto que se puede simbolizar de la manera siguiente: (∀x)(Hx→ Ix)

Donde Hx simboliza la expresión: " x es hormiga", e Ix simboliza la expresión "x es insecto".

"hay animales carnívoros"

Solución Se observa que se puede escribir como: "existe al menos un x, tal que x es animal y x es carnívoro" que se puede simbolizar como: (∃ x)(Ax ∧ Cx).

Expresar “todos los gatos tienen cola” en cálculo de predicados. Solución: Hallar primero el ámbito del cuantificador universal, que es “Si x es un gato, entonces x tiene cola” y se define como Gx↔ x es un gato Cx↔ x tiene cola∴ (∀x) Gx→ Cx

Leer las siguientes proposiciones cuantificadas. Luego, explicar el significado de cada una y dar su valor de verdad.a. Todas las plantas son medicinales

Significa que no hay plantas que no sean medicinales. Esta expresión es una proposición en la cual se utiliza el cuantificador universal y su valor de verdad es falso.

b. Algunos números son pares.Significa que hay otros números que no son pares. Esta es una proposición en la cual se utiliza el cuantificador existencial y su valor de verdad es verdadero.

c. Sólo en la tierra hay vida.Significa que no existe otro planeta en el cual haya vida. Esta expresión es una proposición en la cual se usa el cuantificador existencial y su valor de verdad es verdadero.

d. Uno de los mamíferos es la vaca.



Significa que hay otros mamíferos. Esta es una proposición con cuantificador existencial y su valor de verdad es verdadero.

e. Unos peces viven en el agua.Significa que hay otros peces que no viven en el agua. En esta proposición se utiliza el cuantificador existencial y su valor de verdad es falso.

f. Ningún estudiante tiene más de 18 años.Significa que todos los estudiantes tienen menos de 18 años. Esta es una proposición en la cual se utiliza el cuantificador universal y su valor de verdad es falso.

Negar las siguientes proposiciones cuantificadas:Luego, simbolizar la proposición y la negación.a. Todos los números naturales son impares

Negación: Existe por lo menos un números natural que no es impar.b. Existe un número par que no es múltiplo de 4.

Negación: Todos los números pares son múltiplos de 4

PROBLEMAS PROPUESTOS

1) Simbolizar, utilizando el cuantificador existencial las siguientes expresiones. Todos aprobamos el curso y disfrutamos las vacaciones. Todo cetáceo es un pez. Toda hormiga es un insecto.

2) Simbolizar, utilizando el cuantificador universal, las siguientes expresiones. Existe al menos una montaña. Hay cisnes negros. Existen animales carnívoros. Hay números perfectos.

3) Simbolizar los siguientes enunciados: Todo es perecedero. Hay marcianos. Alguien no es perfecto. No hay cosas sólidas. Si todo es rojo, hay algo rojo. Nada se mueve. No todo es perecedero. Nada es perecedero. Algunos números negativos no son enteros. Algunos gobiernos no respetan la libertad.

4) Determinar los circuitos lógicos que representan a los siguientes esquemas moleculares:a) (p)(pq)b) p (q p)c) [{rq)p}r]qd) [(pq)p][(pq)p]e) (pq)[(pq)(pq)]

5) Representar mediante funciones booleanas los siguientes argumentos:



a)

b)

c)

6) Determinar la menor expresión que representa al circuito dado:

7) simplificar los siguientes circuitos lógicos:

8) Dado el circuito lógico, hallar el circuito lógico más simple posible.



9) Simbolizar los siguientes enunciados: 1) Hay cisnes negros. 2) Existen animales carnívoros.3) Hay números perfectos.4) Existen ciudades de clima frío.5) Todos los nevados son peruanos.6) Hay cetáceos que son peces.

10) Simbolizar, utilizando el cuantificador existencial las siguientes expresiones. Todos aprobamos el curso y disfrutamos las vacaciones. Todo cetáceo es un pez. Toda hormiga es un insecto.

11) Simbolizar, utilizando el cuantificador universal, las siguientes expresiones. *Existe al menos una montaña.*Hay cisnes negros.*Existen animales carnívoros.*Hay números perfectos.

12) Verificar que la negación de:a) x: y: z: (x+y)=z es x:y: z: (x+y z)b) y: x: (xy2) es y: x: (xy>2)c) x: [p(x) q (y)] es x: [p(x)q(y)]d) x: y: [p(x)yx] es x: y: [p(x)y>x]

13) Negar y hallar el equivalente de la siguiente proposición: “Es de día y toda la gente se ha levantado”.



T E O R I A D E C O N J U N T O S

Tiene un concepto primitivo, se acepta sin definición. Pero por su importancia en todas las ramas de la matemática aceptamos la siguiente definición: “Es toda agrupación, colección o reunión de objetos de cualquier especie siempre que exista un criterio preciso que nos permita que un objeto pertenece o no a dicha agrupación”. Los objetos que pertenecen a un conjunto se llaman elementos.Notación: Se representan con letras mayúsculas: A, B, C,…; y a los elementos con letras

minúsculas: a, b, c,…RELACION DE PERTENENCIA ()Es un símbolo que relaciona a los elementos de un conjunto con el mismo conjunto. Notación: x A se lee: “x pertenece al conjunto A”

La negación de: x A es x A y se lee: “x no pertenece al conjunto A”Si la proposición x A es VERDADERA, entonces la proposición x A es FALSA o viceversa.OBSERVACIONES Sea M el conjunto formado por las letras: a; b; c; d; e. del mismo modo podemos escribir:

aM; bM; cM; dM; eM; fM.Representación: M= {a; b ;c ;d ;e }

Sea M el conjunto formado por las menciones artísticas: pintura, música, escultura, cerámica. Del mismo modo podemos escribir: pinturaM; músicaM; esculturaM; cerámicaM; DerechoM; ContabilidadM.Representación: : M= {pintura ,mú sica , escultura, cer á mica }

Ejemplo: sean los conjuntos: M= {x∈R /x2−4=0} ; R={x∈R /ax+1=1}DIAGRAMA DE VENN EULER (John Venn, matemático y filósofo británico)Para facilitar la resolución de problemas se usa los diagramas de VENN, estos pueden ser curvas, cerradas, etc.

DETERMINACION DE CONJUNTOSUn conjunto está bien determinado, cuando se conoce con exactitud qué elementos pertenecen o no al conjunto.Un conjunto puede determinarse de dos formas: por extensión y por comprensión.POR EXTENSIÓN: Un conjunto se designa por extensión, cuando es posible indicar

explícitamente sus elementos de dicho conjunto, señalándolo uno a continuación del otro.


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cc/Syllogism-Set-Diagrams.jpg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/df/VennDiagram.svg


Ejemplo: M= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 } se lee: M es el conjunto formado por los números consecutivos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

POR COMPRENSION: Un conjunto se designa por comprensión, cuando los elementos del conjunto pueden expresarse mediante una propiedad característica única y común a ellos.

Ejemplo: N= {x∈Z /0<x<12 } se lee: N es el conjunto de las “x” pertenecientes a los números enteros, tales que, los “x” sean mayores que 0 y menores que 12.

CONJUNTOS NUMÉRICOSEn matemática los conjuntos numéricos característicos que se estudian son: N , Z , Q, I , R y C.a) CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES (N )

Los números naturales expresan valores referentes a cosas enteras, no partidas, los números naturales van de uno en uno desde el 0, no admiten la partición de las unidades, y solamente expresan valores positivos.N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... ... ..., n,..}Nota: algunos autores consideran los números naturales a partir del 1 y no del cero.

b) CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS (Z)En ciertas ocasiones necesitamos expresar valores que están antes o por debajo del valor que consideramos punto de partida o valor cero. Ha sido necesario ampliar el conjunto de los números incluyendo también los negativos, para ello añadimos al número natural un signo + o - .De esta manera han surgido los números enteros, que expresan valores que van de uno en uno, pero permiten expresar valores positivos y también valores negativos.Z={... ... ... -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, ... ... ...}

c) CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES (Q)Es un número de la forma a/b en donde “b” es diferente de 0 y se encuentran ubicados dentro de los números reales.

Q={mn /m∈Z⋀ n∈Z , n≠ 0}d) CONJUNTO DE LOS NUMEROS IRRACIONALES (I)

Son aquellos que se escriben mediante una expresión decimal con infinitas cifras y no periódicas. Dicho conjunto lo denotamos por "I"I={x / x tiene representaci óndecimal infinitano peri ódica }

e) CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES (R ¿Por número real llamaremos a un número que puede ser racional o irracional, por consiguiente, el conjunto de los números reales es la unión del conjunto de números racionales y el conjunto de números irracionales. El conjunto de los números reales es el conjunto de todos los números que corresponden a los puntos de la recta:



R=N⋃ Z⋃Q⋃ I

f) CONJUNTO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS (C ¿C={a+bi /a∈R∧b∈ R ,i=√−1 }

A toda expresión de la forma a + bi donde a y b son números reales e “i” es la unidad imaginaria

( ) recibe el nombre de Número Complejo. x>0Se designan a los números complejos con la letra C ; así: C = a + bi (aR)Se llama PARTE REAL a la primera componente "a" y se indica de esta forma: Re(C) = aY a la segunda parte de la componente "b" se llamará PARTE IMAGINARIA. Im(C) = b¿Cuando un número complejo se dice imaginario puro?Si la parte real "a" es 0 se dice que el complejo 0 + bi es un Número Imaginario Puro. Es decir, es un Número Imaginario Puro, Cuando su parte real vale 0.Ejemplo: x2 + 16 = 0x2 = - 16

x= ± x= ± 4ix1= 4i; x2 = - 4i

CONJUNTO FINITOEs el conjunto que está formado por un número limitado de elementos.Ejemplos: A={x /x esuna vocal }; B= {x∈N /5 ≤ x≤ 12 }; etc.CONJUNTO INFINITOEs el conjunto que está formado por un número infinito de elementos.Ejemplos:A={x∈Z / x es impar }; B= {x / x esun n ú meronatural }; etc.RELACIONES ENTRE CONJUNTOSa) INCLUSION DE CONJUNTOS (SUBCONJUNTOS).- Se dice que el conjunto A es un

subconjunto B, o que A esta contenido en B o que A es parte de B, si todos los elementos de A pertenece al conjunto B. La relación se da de Conjunto a Conjunto.Notación: A⊂BSe lee: A esta incluido en B

A esta contenido en BA es parte de B

Definición Simbólica: A⊂B⟺ {∀ x∈ A ; x∈ A⟹x∈B }Ejemplo: Sean los conjuntos: A={2,4,6,8}; B={2,4,6,8,10,12}; M={a,b,c,d,e}; N={b,c,d,m,n}, podemos afirmar que:i) A⊂B, porque todos los elementos de A está en B.ii) M⊄N , porque algunos elementos de M no están en N.REPRESENTACION GRAFICA:



b) SUBCONJUNTO PROPIO.- Diremos que A es subconjunto propio de B, si A⊂B AB

Notación: se lee: “A es subconjunto propio de B” ó “A es una parte propia de B”Ejemplo: Sea el conjunto R={1,2,3} es un subconjunto de P={1,2,3,4,5,6}, puesto que RP además 4P, 5P, 6P tal que 4R, 5R, 6RPROPIEDADESa) AA …………………………….…(Propiedad reflexiva)b) Si AB BD AD....………..(Propiedad Transitiva)c) Si: AB BA A=B ………... (Propiedad Antisimetrica)d) A.…………………………….. (∀ conjunto A, donde es el conjunto vacio)

c) IGUALDAD DE CONJUNTOS.- Dos conjuntos A y B se dice que son iguales si y solo si AB y BA.Definición simbólica: A=B [ AB BA]PROPIEDADESa) A=A, ∀ A ………………………..(Propiedad reflexiva)b) A=B y B=C A = C ………….. (Propiedad transitiva)c) A=B B=A …………………… (Propiedad de simetría)

d) CONJUNTO POTENCIA DE UN CONJUNTO.- Dado un conjunto A, definimos el conjunto potencia de un conjunto formado por todos los subconjuntos de A.

Notación: P(A ) o por 2A se lee: el conjunto potencia de A ó el conjunto de partes de A.

Definición simbólica: 2A={x / x⊆ A } se lee: el conjunto potencia de A, es igual conjunto de

los elementos x, tales que, los x son subconjuntos de A.Además, si el número de elementos de A es “k”, “kN , entonces el número de elementos de 2A es 2k.Ejemplo: Hallar el conjunto potencia de: M = {1,2}.SoluciónSabemos que: n(M)=2 y n(2M)=22=4Luego se tiene: M={{1},{2}, {1,2},}, cuatro subconjuntos.Ejemplo: Hallar el conjunto potencia de: N={a, {1,b},c}.SoluciónSe tiene: n(N)=3 y n(2N)= 23=8Luego los subconjuntos son: N={{a},{{1,b}},{c},{a,{1,b}},{a,c},{{1,b},c},,N}Ejemplo: Hallar el conjunto potencia de: P={1,{n,m},a,{b}}.

CONJUNTOS ESPECIALES1. CONJUNTO VACIO.- Es el conjunto que no tiene elementos y se representa simbólicamente

por: (phi), se define por: ={x/x x} se lee: para cualquier numero x tal que, x es diferente de x, no se satisface para algún elemento.



Ejemplo: Sea C={xN / 8<x<9}, es un conjunto vacio, porque no existe un número natural que sea mayor que 8 y menor que 9, luego C=

2. CONJUNTO UNIVERSAL (U).-Es el conjunto tomado como base o conjunto fijo, para la determinación de otros conjuntos y se denota por U.También se denomina conjunto referencial para el estudio de una situación particular, que contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto.Ejemplo: U={x/x es una fruta} , A={x/x es una pera}Gráficamente se representa:

3. CONJUNTO UNITARIO O SINGLETON.-Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

Ejemplo: R={x/x es presidente de la República del Perú}M={xZ/ 25<x<27}T={2,2,2,2,…}

4. CONJUNTO DE CONJUNTO O FAMILIA DE CONJUNTOS.- Es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos.Ejemplo: S= {{2},{5,6},{2,6,8}}, F={, {4},{4,5}}

5. CONJUNTOS DISJUNTOS.- Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen ningún elemento en común.En general se expresa: A es disjunto con B si y solo si, ∄ x/x A xB.Ejemplo: Sea S={1,2,3} y T={8,9,10,11} son conjuntos disjuntos.

OBSERVACION: Los subconjuntos propios de A son aquellos subconjuntos diferentes al conjunto A.

EJERCICIOS PROPUESTOS1. Determinar por extensión los siguientes conjuntos:

a) A={xN / x≤3 5<x<7}b) F={x/ x2>0 x2<0}c) B={x/6x2-5x+1=0}d) R={x/ 2x3-7x2+7x-2=0}e) M={x/x5+3x4-7x3-21x2+12x+36=0}

2. Hallar el conjunto solución del siguiente conjunto:A={x/64x3+24x2-6x-1=0}

3. Determinar los elementos de cada conjunto:a) A={Números naturales x que satisfacen x2=16}b) C={xN/ 2x+3=15}c) D={xQ/ (2x-1)(x-2)=0}d) E={xN/5<x<12}e) F={xZ/x2-2x-3=0}

4. Determinar por comprensión el siguiente conjunto:a) G={2,4,6,8,10,…}b) R={2,3,6,11,18,…}



c) S={-1,1,2}d) P={bonito, pejerrey, jurel, caballa, anchoveta, …}

5. Si A={2,3,5,7}, diga cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.a) 5Ab) 3Ac) {7}Ad) {3,5}A

6. Dados los siguientes conjuntos: A={7x+2/xZ}, B={7x-26/xB}, C={4x+1/xZ} y D={2x+1/xZ}, analizar y justificar debidamente su conclusión en los siguientes casos.a) A=Bb) C=D

7. Cuantos de los siguientes conjuntos son vacías:a) A={xU/xU}b) B={xZ/x3=3}

c) C={xR/ 1xR}

d) D={xN/x2+1=0}e) E={xQ/x2-x=2}a) F={ x/x es un entero par y x2=9}

8. Dado A y B determinar si A=B en los siguientes ejercicios:a) A={-2,0,2} y B={xZ/x3-4x=0}b) A={xZ+/1≤x≤6} y B={1,2,13,4,5,6}

9. Si: A, B y C son conjuntos tal que ABC. ¿Cuál es la relación entre A-C y C-A?10. Si: A={1,2,3,4,5}, B={2,3,4}, C={2,4}, ¿Cuál de las siguientes proposiciones son

verdaderas?a) ABb) ADc) CAd) BAe) BCf) DBg) AAh) BCi) DA

11. Sea U={1,2,3,4,5,9} el conjunto universal, si A={x2/xU}, hallar A y A’ por extensión.

12. Sea: A={x+12/ x∈Z /0<x<4 } y B={x2−1

2/ x∈Z ,−2≤ x≤ 3}, determinar cuál de las

relaciones se cumplen AB, BA, A=B.13. Si: A={4,{5},{4,5},6}. ¿Cuántas proposiciones son verdaderas?

* 4A * {5}A *5A *7A*{4}A *{{5}}A *{{4,5}A *{{5},6}A*{6}A *A



OPERACIONES CON CONJUNTOSI. UNION Ó REUNION.- La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por la

agrupación de todos los elementos A con todos los elementos BNotación: AB (A o B)Simbólicamente se define como: A∪B= {x / x∈ A∨ x∈B }Grafica:

OBSERVACIÓN: Si: BA AB=APROPIEDADES:a) AB=BA Conmutativab) A(BC)=(AB) C Asociativac) AA=A Idempotenciad) AU=Ue) A=A Elemento neutro

II. INTERSECCIÓN.- La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez.Notación: AB (A y B)Simbólicamente se define: A ∩ B= {x / x∈ A∧ x∈B }Grafica:

OBSERVACION: Si: BA AB=B

Si: A y B son conjuntos disjuntos AB=PROPIEDADES:a) AB=BA Conmutativab) A (BC)=(AB) C Asociativac) AA=A Idempotenciad) AU=Ue) A=A Elemento neutroPROPIEDADES COMPLEMENTARIAS:f) A(BC)=(AB)(AC)g) A(BC)=(AB)(AC)LEY DE ABSORCIONh) A(AB)=Ai) A(AB)=A



j) (AB)CAC y BCk) Si: AB y CD (AC)(BD)

III. DIFERENCIA.- Es aquel conjunto cuyos elementos pertenecen a “A” pero no al conjunto “B”.Notación: A –BSe lee: A pero no B; solo ASimbólicamente se define: A−B={x / x∈ A∧ x∉B }Grafica:

OBSERVACIONES: Si: BA B – A = Si: A y B son conjuntos disjuntos A-B=A; B-A=B

IV. DIFERENCIA SIMETRICA.- La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a “A” o “B” pero no a ambos.Notación: A BSimbólicamente se define: A△B=¿ A△B={x /(x∈ A∨ x∈B)∧ x∉ A⋂B }También: A△B=(A−B )∪(B−A)Grafica:

OBSERVACIONES: Si: BA B A = A – B Si: A y B son conjuntos disjuntos A B= A BPROPIEDADESa) A B=(A-B)(B-A)b) A B=(AB)-(AB)c) A A=d) A =A

V. COMPLEMENTO.- El complemento de A, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal U pero no a “A”.Notación: A; A’; Ac; CA.Simbólicamente se define: A={x /x∈U ∧ x∉ A }= U-AGrafica:



NÚMERO CARDINAL.-Representa la cantidad de elementos que tiene un conjunto. Ejemplo: M={2,3,5} n(M)=3

Para la resolución de algunos problemas también se usa las siguientes formulas:UNIÓN DE CONJUNTOS: a) Caso I: n(AB)=n(A)+n(B)-n(AB)

n(U)=n(AB)+n(D)b) Caso II: n(ABC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AB)-n(AC)-n(BC)+n(ABC)

PROBLEMAS PROPUESTOS

1) Se encuentra a cierto número de personas sobre la presencia de tres periodos A, B y C.

¿Cuántas personas leen sólo un periódico? ¿Cuántas personas leen dos periódicos solamente? ¿Cuántas personas leen los tres periodos? ¿Cuántas personas leen el periódico A? ¿Cuántas personas leen sólo A? ¿Cuántas personas leen A y B pero no C?¿Cuántas personas leen A o B pero no C? ¿Cuántas personas no leen ninguno de los periódicos? ¿Cuántas personas leen como mínimo dos periódicos? ¿Cuántas personas leen como máximo dos periódicos?¿Cuántas personas leen B pero no A ó C? a) {1; 2; 3}; {4; 5; 6}; {7}; {1, 4, 5, 7}; {1}; {5}; {1, 5, 2}; {8}; {4, 5, 6, 7};

{1, 2,3, 4, 5, 6}; {2}b) {1; 2}; {4; 5; 6}; {7}; {1, 4, 7}; {1}; {5}; {1, 5, 2}; {8}; {4, 5, 6, 7};

{1, 2,3,5, 6}; {3}c) {1; 2; 3}; {4; 5; 6}; {7}; {1,7}; {1}; {5}; {1,2}; {8}; {4, 6, 7};

{1, 2,3, 4, 5, 6}; {6}d) {2; 3}; {4; 5; 6}; {7}; {5, 7}; {1}; {5}; {1}; {8}; {4, 5, 6, 7};

{6}; {1}e) N.A.

2) Si: A = {5, {2}, 9}; señale la expresión falsa a) {2} A b) {{2}} A c) 9 A d) {5 ,9} A e){5,{2}} A



3) De las siguientes. notaciones determinar cuál de ellas es falsa:a) {2, 5, 3} = {3, 5, 2}b) {4} {{4}, 5}c) {3} {2, 3, 4}d) {3, {4}, 5}e) {3. {4}, 2}

4) Si: U = {x/x Z 0 x < 10}(A ∪ B)' = {0, 6, 9};A B = {1, 2, 7}A – B = {3, 5}¿Cuál es la suma de los elementos de B – A?a) 12 b)11 c)24 d)15 e)16

5) Dado A ={; {}} . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?a) A b) A c) {} A d) {{}} A e){{}}A

6) En una entrevista realizada en el aeropuerto se determino que 49 viajaban al Cuzco, 43 a Tacna, 39 a Arequipa, 19 sólo a Tacna y 21 sólo a Arequipa. Si 16 viajan a Tacna y Arequipa y 5 de ellos viajaban también al Cuzco, determinar cuántas personas viajaban sólo al Cuzco.a)30 b)34 c)14 d)39 e)N.A.

7) De 30 personas que viajan rumbo a Europa, 16 dijeron que visitaran Francia, 16 Inglaterra y 11 Suiza, 5 de los encuestados visitaron Francia y Suiza, y 3 de ellos visitarían también Inglaterra, 5 solo van a Suiza y 8 sólo a Inglaterra. ¿Cuántos visitaron solo Francia?a)3 b)5 c)7 d)9 e)4

8) Si el conjunto E es unitario E = {a + 2b; 3b – a + 2; 11}. Hallar: “a . b” a)12 c)13 c)14 d)15 e)16

9) ¿Qué expresión representa la parte achurada de la figura?

a)(AB)-C b)C(AB)’ c)(AB)-C d)ABC e)N.A.10) A = {a, o, i}; B = {a, o, u} el número de subconjuntos propios de: A ∪ B.

a)12 b)15 c)18 d)20 e)8

11) Si: A ={1, 2, 3,5} B ={2, 3, 4,5}Hallar: [(A B ) ∪ (A B)] - Ba)1 b)2 c)3 d)4 e)5



12) Si: “n” significa el número de elementos, siendo A y B dos conjuntos tales que: n(AB)=30; n(A-B)=12 y n(B-A)=8.Hallar: 5[n(A)] – 4 [n(B)]a)38 b)60 c)48 d)70 e)100

13) De un grupo de postulantes a universidades, se sabe que: 16% postulan a la UNI 42% postulan a San Marcos 58% postulan a Católica 8% postulan a las 3 Universidades El 5% no postulan a ninguna de estas 3 UniversidadesSi 390 estudiantes postularon a por lo menos 2 universidades, diga ¿Cuántos postulantes hubo en total?a)3000 b)1250 c)2458 d)3640 e)N.A.

14) En la edición de un libro hay 120 ejemplares con fallas en el papel, fallas en la impresión y fallas en la encuadernación. Si se sabe que 68 libros tienen la primera falla, 32 tienen la segunda falla, 40 tienen solo la primera falla, 5 tienen la primera y segunda falla somanete, 17 tienen la segunda y tercera falla pero no la primera y 4 ejemplares tienen las tres fallas.A) ¿Cuántos libros tienen solo la tercer falla?B) ¿Cuántos libros tienen la tercera falla por lo menos?a)24 y 64 b)31 y 49 c)36 y 69 d)29 y 69 e)N.A.

15) ¿Cuál de las siguientes relaciones expresa mejor la región achurada?

a) (A ∪ B) C

b) (A B) C

c) A (B C)

d) (A B) – (A B C)

e) N.A.

16) La región sombreada en el diagrama

Representa la operación:a) (A - B) (C B)



b) (B - A) (C B)-(CD)

c) A y B son correctas

d) (B – A) (C - D) (D – C)

e) B y D son correctas

17) De un grupo de 100 universitarios, 49 no estudian Lengua y 53 no estudian Matemáticas. Si 27 no estudian ninguno de los cursos mencionados, ¿Cuántos estudian sólo un curso?a)28 b)38 c)48 d)58 e)18

18) De 40 alumnos de una sección, 15 aprobaron física, 6 probaron física y química. ¿Cuántos alumnos desaprobaron los dos cursos mencionados, si los que aprobaron química fueron 7? a)18 b)15 c)12 d)10 e)6

19) Si: n(A B) = 8 n(A B) =2

Hallar: n(A ∪ B)

a)8 b)9 c)10 d)11 e)N.A.

20) Determine el conjunto “B”: B = {x/x2 – 5x + 6 = 0}a){2;1} b){2;5} c){2;3} d){1;4} e){3;4}

21) Si: a = {3, {5}} ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?a) {3, 5} A b) {5} A c) 5 A d) {{5}} A e){{{5}}} A

22) Del gráfico: ¿Cuál de las siguientes relaciones expresa mejor la siguiente región sombreada achurada?

a) (A - B) ∪ {A ∪ B} b) (A B) ∪ C c) {(A - C) ∩ (B - C)} ∪ C d) {(A ∩ B) – C } ∪ {C – (A ∪ B)} e) N. A

23) Hallar ”x” si el conjunto es unitario: A = {2x – 3, x +2}a)1 b)3 c)5 d)7 e)N.A.

24) ¿Cuál es la alternativa que representa la región achurada?



a) (A B) – C b) (A C) – B c) (A B) Cd) (A ∩ C) ∪ {B – (A ∪ C)} e) N.A.

25) Si A tiene 3 elementos. Hallar n[P(A)]a)2 b)4 c)8 d)16 e) N.A.

26) De 30 personas que viajan rumbo a Europa se obtuvo la siguiente información: 16 dijeron que visitaron Francia. 16 Inglaterra 11 Suiza 5 de los encuestados visitaron Francia y Suiza. 3 de ellos visitaron también Inglaterra. 5 solo van a Suiza. 8 solo a Inglaterra.¿Cuántos visitaron solo Francia?a)5 b)7 c)3 d)4 e)N.A.

27) De un grupo de 70 mujeres: 24 tienen ojos azules pero no tienen 15 años 8 no tienen ojos negros ni azules y son mayores de 18 años. De las que no son mayores de 18 años, 14 no tienen ojos negros ni azules.¿Cuántas quinceañeras tienen ojos azules, si ellas son la tercera parte de todas las que tienen ojos negros?a)4 b)5 c)6 d)7 e)8

28) En los diferentes cursos que ofrece el departamento de Matemática en la Universidad, se han inscrito los siguientes alumnos: 150 en análisis matemático I; 75 en computación; 35 en Algebra moderna; 50 Programación Lineal; 70 en Análisis Matemático I y computación; 40 en análisis matemático I y Programación Lineal; 30 en Análisis I y Algebra M.; 5 en computación y Algebra M.; y 2 en análisis M I, computación y Algebra M. Si cada estudiante toma, cuanto menos un curso, ¿Cuántos estudiantes están inscritos?a)167 b)257 c)247 d)897 e)N.A.


logica proposicional y teoria de conjuntos

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