logica proposicional

UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA

DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN GENERAL ÁREA DE MATEMÁTICA Página 1

PRESENTACIÓN

Este módulo preparado por el equipo de docentes del Área de Matemática,

del Departamento de Formación General de la Universidad César Vallejo – Piura

tiene como propósito ayudarte a mejorar tus habiliades lógico matemáticas.

El contenido está dividido en 8 capítulos los cuales son : Lógica

Proposicional, Introducción al Algebra, Ecuaciones, Inecuaciones, Razones y

Proporciones, Conjuntos, Relaciones y Funciones e Introducción a la Geometría

Analítica, se desarrollarán en las sesiones de aprendizaje de acuerdo al sílabo

correspondiente. Cada uno de los temas desarrollados contiene ejemplos

desarrollados paso a paso, así como problemas de aplicación, talleres de

ejercicios, talleres de problemas que serán desarrollados en clase y las

actividades te servirán para afianzar tu aprendiazaje.

Si al terminar cada tema no has logrado comprender el material, revísalo

nuevamente hasta que logres afianzar tus conocimientos, puedes consultar a tu

profesor, de esta manera podrás reafirmar o complementar la comprensión de

algún tema.

Ten presente que estos contenidos sirven particularmente para garantizar el

éxito indispensable en el estudio de las matemáticas enseñadas en el nivel

universitario, por eso se te exhorta a estudiar y resolver los talleres y actividades

de cada capítulo.

Los autores.



ÍNDICE

PRESENTACIÓN 01

CAPÍTULO 01: LÓGICA PROPOSICIONAL

El interruptor 08

ELEMENTOS DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL 09

Introducción 09

1.1 La lógica como ciencia 10

1.2 La lógica proposicional 11

Taller de ejercicios 23

Actividad 26

FORMALIZACIÓN PROPOSICIONAL 30

Introducción 30

1.3 Casos especiales de formalización 32


Actividad 36

VERDAD FORMAL 39

Introducción 39

1.4 Esquemas moleculares 39

1.5 Tablas de verdad 39

1.6 Evaluación de esquemas moleculares 41

1.6.1 Mediante tablas de verdad 42

1.6.2 Mediante método abreviado 44


Actividad 48

EQUIVALENCIAS LÓGICAS 51

Introducción 51

1.7 Leyes de equivalencia 51

1.8 Simplificación de esquemas moleculares 54


Bibliografía 56

CAPÍTULO 02: INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA

¿En qué se aplica el álgebra? 58

OPERACIONES COMBINADAS EN 59

Introducción 59

2.1 Operaciones combinadas con números naturales 59

2.2 Operaciones combinadas con números enteros 59

2.3 Operaciones combinadas con números racionales 61


Actividad 62

CONCEPTOS BÁSICOS DEL ÁLGEBRA 64

Introducción 64

2.4 Teoría de exponentes 64


Actividad 67

PRODUCTOS NOTABLES 68



Introducción 68

2.5 Productos notables 69


Actividad 71

FACTORIZACIÓN 72

Introducción 72

2.6 Factor común monomio 72

2.7 Factor común polinomio 72

2.8 Trinomio cuadrado perfecto 73

2.9 Aspa simple 74

2.10 Diferencia de cuadrados 74

2.11 Suma o diferencia de cubos 74

2.12 Método de los divisores comunes 75


Actividad 77

FRACCIONES ALGEBRAICAS 78

Introducción 78

2.13 Fracción algebraica 78

2.14 Simplificación de fracciones algébricas 78

2.15 Operaciones con fraciones algebraicas 79

2.15.1. Adición y sustracción de fracciones algebraicas 79 2.15.2. Multiplicación y división de fracciones algebraicas 79 2.15.3. Operaciones combinadas de fracciones algebraicas 80 Taller de ejercicios 80

Actividad 81

Bibliografía

CAPÍTULO 03: ECUACIONES

¿Por qué utilizamos la letra “x” para representar un valor desconocido? 82

ECUACIONES 84

Introducción

3.1 Ecuaciones de primer grado con una incógnita 85

3.1.1 Ecuaciones de primer grado con coeficientes enteros 85 Taller de ejercicios 86

3.1.2 Ecuaciones de primer grado con coeficientes fraccionarios 87 Taller de ejercicios 88

3.1.3 Ecuaciones de primer grado con denominadores compuestos 88 Taller de ejercicios 90

3.2 Sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas 91

3.2.1 Métodos de resolución 91 a) Método de reducción o de sumas y restas. 91

Taller de ejercicios 92 b) Método de sustitución. 93


Actividad 95

3.3 Ecuaciones de segundo grado 97

3.3.1 Ecuación de segundo grado incompleta 97 Taller de ejercicios 98

3.3.2 Ecuación de segundo grado completa 98 3.3.2.1 Solución de ecuaciones de segundo grado por factorización 98


3.3.2.2 Solución de ecuaciones de segundo grado por fórmula general 99



Taller de ejercicios. 100

3.3.2.3 Solución de ecuaciones de segundo grado

completando cuadrados 101


Actividad 103

3.4 Problemas con ecuaciones de primer grado 104

Taller de problemas 105

Actividad 107

3.5 Problemas con ecuaciones de segundo grado 109


Actividad 111

3.6 Ecuaciones polinómicas 112

3.6.1 Ecuaciones polinómicas de grado superior a dos 112 3.6.2 Regla de Rufiini 114 Taller de ejercicios 114

Actividad 115

Bibliografía 116

CAPÍTULO 04: INECUACIONES

Las tres cajas de caramelos 118

INTERVALOS 119

Introducción 119

4.1 Desigualdades 119

4.2 La notación de intervalo 119

4.3 Operaciones entre intervalos 121


INECUACIONES DE PRIMER GRADO 126

Introducción

4.4 Inecuaciones de primer grado 126


Actividad 127

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 129

Introducción 129

4.5 Inecuaciones de segundo grado 129

APLICACIONES DE LAS INECUACIONES


Actividad 133

INECUACIONES POLINÓMICAS 135

Introdución 135

4.6 Inecuaciones polinómicas 135

4.6.1 Método de los puntos críticos para resolver problemas 135 4.6.2 Inecuaciones con factores cuadráticos irreductibles 139 Taller de ejercicios 140 Actividad 141

Bibliografía 141

CAPITULO 05: RAZONES Y PROPORCIONES Las proporciones del hombre 143 Introducción 144 5.1 Razón 144



5.2 Serie de razones geométricas equivalentes 145

5.3 Propiedades de las razones geométricas 145

5.4 Problemas resueltos 146

5.5 Proporción 147

5.6 Propiedades de las proporciones 148


Actividad 150

CAPÍTULO 06: CONJUNTOS

¿Por qué agrupamos? 153

CONJUNTOS 154

Introdución 154

6.1 Idea intuitiva de conjunto 154

6.2 Notación de un conjunto 154

6.3 Relación de conjuntos 154

6.3.1 Relación de pertenencia 154 6.3.2 Realción de inclusión 155 6.3.3 Relación de igualdad 155

6.4 Clases de conjuntos 157

6.4.1 Conjunto universal 157 6.4.2 Conjunto vacio o nulo 157 6.4.3 Conjunto unitario 157 6.4.4 Conjunto finito 157 6.4.5 Conjunto infinito 157

6.5 Conjunto potencia 158

6.5.1 Propiedades del conjunto potencia 158 Taller de ejercicios 159

6.6 Operaciones con conjuntos 160

6.6.1 Intersección 160 6.6.2 Unión 161 6.6.3 Diferencia 163 6.6.4 Diferencia simétrica 164 6.6.5 Complemento de A 165 Taller de ejercicios 166

6.7 Problemas de aplicación de conjuntos 167


Actividad 170

CAPÍTULO 07: RELACIONES Y FUNCIONES

El problemas de la señora Benitez 173

RELACIONES 174

Introducción 174

7.1 Preliminares 175

7.2 Relación 176

7.3 Relaciones de en 177


FUNCIONES 184

Introducción 184

7.4 Dominio y rango de una función real 186

7.5 Función lineal 187

7.6 Función cuadrática 189

7.6.1 Cálculo del rango de la función cuadrática 189 7.6.2 Gráfica de una función cuadrática 189

7.7 Función exponencial 191



7.7.1 Gráfica de una función exponencial 192 7.8 Función logarítmica 194

7.8.1 Gráfica de una función logarítmica 197 Actividad 197

Bibliografía 200

CAPÍTULO 08: INTRODUCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

¿Qué es la geometría analítica? 202

GEOMETRÍA ANALÍTICA 203

Introducción 203

8.1 Fórmula de la distancia entre dos puntos 203

8.2 Fórmula del punto medio 204

8.3 Pendiente de una recta 205


LA RECTA 207

Introdución 207

8.4 Formas de la ecuación de una recta 207

8.4.1 Forma punto pendiente 208 8.4.2 Forma de dos puntos 208 8.4.3 Forma pendiente ordenada al origen 208 8.4.4 Forma coordenadas al origen 208 8.4.5 Ecuación de una recta vertical 209 8.4.6 Forma general de la ecuación de una recta 209

8.5 Distancia de un punto a una recta 210

8.6 Relación entre dos rectas en el plano 210



LA PARÁBOLA 214

Introducción 214

8.8 Elementos de la parábola 214

8.9 Formas de la ecuación de la parábola 215

8.9.1 Forma canónica 215 8.9.2 Forma ordinaria 217 8.9.3 Forma general de la recta 219



Actividad 222

LA CIRCUNFERENCIA 223

Introducción 223

8.11 Elementos de la circunferencia 223

8.12 Formas de la ecuación de una circunferencia 224

8.12.1 Forma canónica 224 8.12.2 Forma ordinaria 224 8.12.3 Ecuación general de la circunferencia 224



Actividad 228

Bibliografía 228



LÓGICA

PROPOSICIONAL



El interruptor

En el interior de una habitación hay una bombilla. Fuera

hay tres interruptores, y sólo uno de ellos enciende la

bombilla. Nosotros estamos fuera y sólo podemos entrar una

vez a la habitación. ¿Cómo averiguar el interruptor que

enciende la bombilla?



ELEMENTOS DE LÓGICA PROPOSICIONAL

La historia hace a los hombres sabios; la poesía, ingeniosos;

las matemáticas, sutiles; la filosofía natural, profundos;

la moral, graves; la lógica y retórica, hábiles para la lucha.

FRANCIS BACON

Introducción

Cuando escuchamos la palabra “Lógica” inmediatamente la asociamos, al menos a la

mayoría de personas les pasa esto, con la idea o noción de razonamiento. Aunque esta

relación nos puede servir de primera aproximación, hoy en día esto puede ser

considerado desbordado por la enorme extensión y diversidad que ha alcanzado esta

disciplina, sobre todo en la tecnología e informática.

Lo cierto es que uno puede razonar correctamente sin ni siquiera haber estudiado

lógica. Y esto no es un caso aislado. Por ejemplo, en el mundo deportivo se ejecutan

maniobras difíciles, a veces increíbles, sin que los atletas sepan de las leyes físicas que

les permiten ejecutar dichas maniobras. Algo similar ocurre en lógica. Entonces, ¿por

qué estudiar lógica?... Básicamente por dos razones que expongo a continuación:

Primero, porque un estudio adecuado de ésta la enfocará tanto como una ciencia y

como un arte. Esto significa que es menester aplicar las técnicas y criterios aprendidos a

nuestros propios razonamientos, lo cual a su vez nos da una menor posibilidad de

cometer errores que aquella persona que nunca ha estudiado lógica. Esta posibilidad

disminuye aún más cuando estudiamos y analizamos los métodos incorrectos de

razonamiento, las llamadas falacias, pues su conocimiento nos ayuda efectivamente a

evitarlas y nos ayuda a conocer, con sólo escuchar, lo que pasa en realidad en la otra

persona.

La otra razón tiene que ver con nuestra

necesidad tecnológica. Todos sabemos, por

ejemplo, que cuando una plancha se está

calentando demasiado debemos bajarle la

graduación. Y no necesitamos que se nos

diga qué entendemos por “calentando

demasiado” (basta con acercar un poco la

mano, si es que la ropa no huele ya ha

quemado) o cuál es esa temperatura. Hasta

aquí no hay problema. Pero como humanos

que somos, no nos quedamos contentos con

eso. Para no estar tan pendientes de que si

la plancha está muy caliente o no, es mejor

tener una que automáticamente baje su

temperatura cuando ésta se está elevando

demasiado y la eleve cuando baja más de lo necesario. Aquí la situación cambia. Ahora

necesitamos precisar lo que antes era obvio para nosotros y “traducirlo” de alguna forma

en un “lenguaje” en que la plancha nos entienda. Es aquí donde se hace imprescindible

el uso de las ciencias formales (la lógica y la matemática) y naturales. Parece un tanto

extraño que se deba recurrir a una ciencia formal como la lógica, pero lo cierto es que las



instrucciones se dan naturalmente en su lenguaje. Si no conocemos ese lenguaje, no

podremos conseguir nuestro objetivo. Claro que aún queda otro camino: esperar que

otro lo haga y luego comprársela. Esa ha sido, en general, la tendencia de nuestro país.

Si queremos cambiar y generar nuestra propia tecnología, el estudio de la lógica, entre

otras ciencias, es fundamental.

Por supuesto que para lograr lo anterior se requiere de una lógica más potente que la

lógica proposicional, que es la que se expone en este módulo. Pero aunque ya de por sí

ésta nos permite comprender los procesos informáticos en los que tiene aplicación, su

estudio nos facilita la comprensión de lógicas más avanzadas, como la lógica borrosa por

ejemplo, y nos proporciona ideas para la generalización de conceptos y técnicas a esas

lógicas.

Y todo este emocionante viaje empieza aquí, con la lógica proposicional.

1.1 La lógica como ciencia

Si reparamos en las ciencias que la humanidad ha creado y cultivado,

advertimos que presentan cinco características invariables:

Aunque pueden interrelacionarse, lo que distingue a una ciencia de otra (lo que

me permite decir: “yo soy matemático y tú abogado”) es básicamente el objeto de

estudio. Basándose en este criterio, Mario Bunge [Bu] clasifica a las ciencias en dos

grandes grupos: Fácticas (su objeto de estudio está en la realidad física o social) y

Formales (cuyo objeto de estudio es ideal o abstracto)

CIENCIA

Conjunto Ordenado y Sistematizado de Conocimientos

Conocimientos de Validez Universal

Objeto Propio de Estudio

Método de Estudio

Leyes Propias

Figura 1.1 Características de una ciencia



De lo anterior, podemos decir que la lógica es una ciencia formal, cuyo objeto de

estudio son los métodos y los principios usados para determinar la validez o

invalidez de los argumentos1.

1.2 La lógica proposicional

La lógica proposicional es una rama de la lógica clásica que estudia las

proposiciones, sus posibles valores de verdad y en el caso ideal, su nivel absoluto

de verdad.

Definición 1.1 Enunciado

Es toda frase u oración.

Ejemplo 1.1

(a) Lima es la capital del Perú

(b) El doble de 3 es 5

(c) ¿Qué hora es?

(d) ¡Auxilio!

(e) x 2 7

(f) 2x 2

Dentro de los enunciados podemos distinguir los siguientes tipos

Definición 1.2 Enunciado abierto

Es aquel enunciado que presenta variables2 y que en sí mismo no es ni

verdadero ni falso, pero que al asignarle un valor a aquellas, resulta ser verdadero o

falso, pero no ambos. Se abrevia por E.A.

1 ARGUMENTOS: representaciones mentales que relacionan conceptos y juicios (premisas) de

modo que permiten derivar otros juicios (conclusiones).

2 El término “variable” abarca los pronombres en tercera persona (él,ella,ellos,ellas)(*)

Entes Ideales

(Matemáticas, Lógica)

Fenómenos Sociales

(Sociología, Derecho,…)

CIENCIAS

FORMALES

CIENCIAS

SOCIALES

Fenómenos Naturales

(Física, Química, Geología,…)

CIENCIAS

NATURALES

O

B

J

E

T

O

D

E

E

S

T

U

D

I

O

CIENCIAS FÁCTICAS

Figura 1.2. Clasificación de las ciencias según su objeto de estudio



Otra forma de caracterizar a los enunciados abiertos es considerarlos como

aquellos enunciados que admiten la posibilidad de convertirse en una proposición

(en el sentido de la definición 1.4) cuando cada variable asume un valor

determinado. Ésa es la razón por la que también se conocen como funciones

proposicionales.

Un enunciado será verdadero (o falso) si lo que afirma coincide (o no) con la

realidad.

Ejemplo 1.2

(a) Él se fue a Lima

Es un E.A pues no se se indica quién es él. En este caso, el pronombre “Él”

actúa como variable. Si por ejemplo, hacemos que “Él” se refiera a Luis, el

enunciado sería “Luis se fue a Lima”, enunciado del cual se puede hablar de

que sea verdadero o falso dependiendo si Luis se ha ido a Lima o no

(b) x 2y 7

Es un E.A pues si x 2 y y 3 el enunciado se convierte en la proposición

2 2 3 7 la cual es, en los números reales, falsa

Definición 1.3 Enunciado cerrado

Es toda definición3, por lo que su valor de verdad es siempre verdadero, pues así

se ha convenido. Se admiten también como enunciados cerrados a aquellos

enunciados cuya verdad se aceptan sin demostración.

Ejemplo 1.3

(a) El seno de un ángulo agudo es el cociente entre el cateto opuesto y la

hipotenusa..

Enunciado cerrado.

(b) El triángulo no es un polígono de tres lados.

No es un enunciado cerrado por dos razones: No es una definición y no es

una proposición simple.

(c) El triángulo es un polígono de tres lados

Enunciado cerrado. Se trata de la definición de triángulo.

Definición 1.4 Proposición

Es el significado de un enunciado que tenga la propiedad de ser verdadero o

falso, pero no ambas.

Ejemplo 1.4

(a) Todos los peruanos son demócratas

Es una proposición universal (debido al artículo todos) y afirmativa (el verbo

está afirmado).

(b) Algunos osos comen carne

3 Recuerde que una definición siempre tiene sentido positivo, es decir, siempre es de la forma: “El

objeto tal es …”, no de la forma “El objeto tal no es …”



Es una proposición particular (artículo algunos) y afirmativa (el oso panda es

hervíboro).

(c) Miguel Grau murió en el combate de Abtao

Es una proposición singular (Miguel Grau es nombre propio) y afirmativa.

(d) Io es una satélite de Júpiter

Es una proposición singular y afirmativa.

(e) La Luna no es un planeta

Proposición singular (la Luna es el nombre del satélite terrestre. Aquí “la” no

funciona como artículo) y negativa.

(f) El 28 de Julio de 1821 se proclamó la independencia del Perú

Proposición singular (se refiere sólo al 28 de julio de 1821 y no a otro 28 de

julio) y afirmativa.

(g) Los mamíferos no son vertebrados

Proposición universal (artículo definido “los”) y negativa.

Específicamente hablando, no se consideran como proposiciones a los deseos,

dudas, interjecciones, preguntas, pedidos, súplicas, órdenes, las doxas o

enunciados de opinión o valoración (por ejemplo, “los mejores jugadores son de la

UCV”), los enunciados que usan personajes ficticios4 (por ejemplo, Romeo se

suicidó por Julieta), los refranes, los proverbios, los enunciados abiertos, las

pseudoproposiciones (oraciones declarativas sin sentido), las descripciones

definidas, las supersticiones, mitos y los filosofemas o enunciados filosóficos. El

porqué de estas exclusiones debe quedar claro al tener en cuenta la función del

lenguaje que predomina en ellos. De la definición 1.3, todo enunciado cerrado es

una proposición simple, con valor de verdad siempre verdadero, pero no lo

recíprocamente.

Ejemplo 1.5

(a) La Virgen de la Puerta es milagrosa

A pesar de ser una oración declarativa, es sólo un enunciado

(b) El río suena cuando piedras trae

Es un enunciado (refrán)

(c) El gato negro trae mala suerte

Enunciado (Superstición)

(d) ¿Qué es la lógica?

Enunciado. Es una pregunta.

(e) Debemos honrar a nuestros héroes.

Enunciado. Según el contexto, puede ser una oración imperativa o

exhortativa.

4 No así los enunciados que se refieren a personajes ficticios desde el punto de vista real. Por

ejemplo: ‘Romeo’ es un personaje de una obra literaria o los duendes son personajes ficticios.

Éstas son proposiciones.



(f) Sea en hora buena

Enunciado. Oración desiderativa

En el lenguaje común, las oraciones se combinan para formar otras más

complejas. Es natural esperar que lo mismo ocurra con las proposiciones. Para

realizar estas combinaciones, definimos lo siguiente.

Definición 1.5 Términos de enlace o conectores

Son aquellos términos que sirven para enlazar una o más proposiciones y así

formar otras más complejas.

Básicamente son 7 los conectores empleados. En la siguiente tabla aparecen

sus nombres y la forma “más pura” como aparecen en el lenguaje.

NOMBRE FORMA BÁSICA

1. El Negador “…no…”

2. El Conjuntor “...y…”

3. El Disyuntor incluyente “…o…”

4. El Disyuntor excluyente “…o…o…”

5. El Implicador “…si…entonces…”

6. El Replicador “…si…”

7. El Biimplicador “…si y sólo si…”

Obviamente, dada la diversidad de nuestro lenguaje, hay varios sinónimos para

los conectores mostrados en la tabla 1.1. Las tablas 1.2 a 1.8 muestran algunos

sinónimos empleados para referirse a cada uno de éstos. P y Q son proposiciones.

Negadores Internos

No P

Nunca P

Jamás P

Tampoco P

Negadores Externos

Es absurdo que P

Es inconcebible que

P

Es innegable que no

P

No es el caso que P

Es imposible que P

Es mentira que P

Es incorrecto que P

De ninguna forma se da P

Es incierto que P

No es inobjetable que P

En modo alguno P

No ocurre que P

No es innegable que P

Es refutable P

Es negable que P

Es inadmisible que

P

No acaece que P

No acontece que

P.

Es sofisma que P

No es verdad que

P

Es erróneo que P

Tabla 1.1. Tipos de Conectores o Términos de Enlace

Tabla 1.2. Sinónimos del Negador



El Conjuntor

P y Q

P incluso Q

P pero Q

P aunque Q

P al igual que Q

P tal como Q

P tanto que Q

Cierto que P lo

mismo que Q

Simultáneamente P

con Q

P más aún Q

Siempre ambos P

con Q

P también Q

P así como Q

P vemos que también

Q

P al mismo tiempo que

Q

P sin embargo Q

P es compatible con Q

P aún cuando Q

Sin que P tampoco Q

P además Q

P igualmente Q

Tanto P como cuanto Q

P al mismo modo Q

P de la misma

manera Q

P no obstante Q

P sino Q

No sólo P sino

también Q

P asimismo Q

P a pesar de que Q

P a la vez que Q

P aún cuando Q

P a la par que Q

El Disyuntor Incluyente

P o Q

P a menos que Q

A menos que P, Q

P salvo que Q

P y bien, o también

Q

P ya bien Q

P, de lo contrario

también Q

P o también Q

P a no ser Q

P o sino Q

P o en todo caso Q

P y/o Q

P a no ser que Q

O P o Q o ambos

P excepto que Q

P o incluso Q

P o a la vez Q

En sentido incluyente

P alternativamente

Q

P o bien Q

Como mínimo P o

Q

El Disyuntor Excluyente

o P o Q

o bien P o bien Q

P o Q (en sentidos

excluyentes)

P o solamente Q

P o únicamente Q

P salvo que

unicamente Q

P o sólo Q

P a menos que

solamente Q

P no es equivalente a

Q

No es equivalente P

con Q

P no biimplica a Q

En sentido excluyente

P excepto que solo

Q

P a menos que solo

Q

P salvo Q

P alternativamente

Q

P o bien

necesariamente Q

Tabla 1.3. Sinónimos del Conjuntor

Tabla 1.4. Sinónimos del Disyuntor incluyente

Tabla 1.5. Sinónimos del Disyuntor Excluyente



El Implicador

Si P entonces Q

Siempre que P por

consiguiente Q

Ya que P bien se ve

que Q

Con tal P es obvio

que Q

Cuando P así pues

Q

Toda vez que P es

consecuente Q

Excepto que P, Q

Para P es condición

necesaria Q

En cuanto P por tanto Q

Cada vez que P

consiguientemente Q

Ya que P es evidente Q

De P derivamos Q

P implica Q

Si P, Q

Dado P por eso Q

Como quiera que P por

lo cual Q

P es condición suficiente

para Q

P impone a Q

Cuando P, Q

Como P, Q

De P, Q

Suponiendo que P,

Q

P sólo si Q

Sólo P si Q

P es condición

suficiente de Q

Una condición

necesaria para P es

Q

En el caso de que P

en tal sentido Q

El Replicador

Sólo si P, Q

P si Q

P porque Q

P siempre que Q

Es condición

necesaria P para

Q

No P a menos

que Q

P para Q

Para P es suficiente Q

P puesto que Q

P dado que Q

P supone que Q

P es suficiente para Q

P en tanto Q

P pues Q

P en vista de Q

P como Q

P por cuanto Q

P debido a que Q

P cada vez que Q

P en razón de Q

El Biimplicador

P si y sólo si Q

P siempre y

cuando Q

P se define

lógicamente

como Q

P es igual que Q

P es idéntica a Q

P es condición

necesaria y suficiente

para Q

P es equivalente a Q

Sólo si P entonces Q

P siempre que y

sólo cuando Q

P porque y sólo

porque Q

P entonces y sólo

entonces Q

Tabla 1.6. Sinónimos del Implicador

Tabla 1.7. Sinónimos del Replicador

Tabla 1.8. Sinónimos del Biimplicador



Definición 1.6 Proposiciones Simples y Compuestas

Una proposición es simple o atómica si no tiene conectivos lógicos en su

estructura. Si los presenta, se denomina compuesta o molecular.

El siguiente gráfico muestra las relaciones entre enunciado, enunciado abierto ,

enunciado cerrado y proposición.

ENUNCIADO

ENUNCIADO

ABIERTO

ENUNCIADO

CERRADO

PROPOSICIÓN

PROPOSICIÓN

COMPUESTA

PROPOSICIÓN

SIMPLE

Las proposiciones simples pueden ser:

a) Predicativas

Si al sujeto se le atribuye una cualidad o descripción, es decir, se afirma una

característica respecto a él.

b) Relacionales

Establecen una relación entre dos o más sujetos que tienen una misma

categoría gramatical. Al sujeto se le compara con otro mediante términos

relacionales

La siguiente tabla muestra algunos términos relacionales.

TÉRMINOS RELACIONALES

Igual Vecino de Amigo de Siamés

Semejante a Amar Juntos Compadre de

Contemporáneo de Compañero de Similar a Hermano de

Gemelo de Correligionario de Camarada de Tio de

Mayor que Menor que Colega de Sobrino de

Interrelacionados Mellizo de Unidos Más … que…

Figura 1.3. Relación entre enunciado, enunciado abierto, enunciado cerrado y proposición

Tabla 1.9. Algunos términos relacionales



Ejemplo 1.6

(a) Lima es la capital del Perú.

Proposición simple predicativa

(b) El Perú es más rico que Bolivia

Proposición simple relacional (Relación comercial)

(c) Los felinos son más carnívoros que los primates.

Relación simple relacional (Relación alimenticia)

(d) Vallejo fue contemporáneo de Mariátegui.

Relación simple relacional (Relación temporal)

(e) Ica está al sur de Lambayeque.

Relación simple relacional (Relación espacial)

(f) Rebeca y José obsequian una bicicleta a su sobrino.

Relación simple relacional (ambos le han obsequiado)

(g) Juan y Sara se aman.

Relación simple relacional (Relación afectiva)

A su vez, las proposiciones compuestas se clasifican en:

a) Negativas

Si tienen al conector monádico “no”. Decimos monádico pues sólo necesita de

una proposición para ser una expresión bien formada. Pueden ser:

a.1 Simples

Si presenta negador interno, es decir, la negación va en el verbo. (ver tabla

1.2)

a.2 Compleja

Si tiene negador externo, es decir, la negación va al inicio de una

proposición simple o compuesta. Se construye con sinónimos de “no” (ver

tabla 1.2)

a.3 Por prefijo

Si el término predicado va antecedido por un prefijo que indica negación

La siguiente tabla muestra los prefijos que indican negación

Prefijo Ejemplo

a – apolítico

des – desarreglar

dis – disconforme

(p) seudo – (p) seudoprofeta



i –

in –

im –

injusto

ilógico

Ejemplo 1.7

(a) Los felinos no son herbívoros

Es una proposición compuesta negativa simple. Negador interno “no”.

(b) Es mentira que en el Perú hay democracia.

Es una proposición compuesta negativa compleja. Negador externo “Es

mentira que”.

(c) Es absurdo que Juan sea amigo de Luis

Es una proposición compuesta negativa compleja. Negador externo “Es

mentira que”.

(d) Alejandro es un amoral

Es una proposición compuesta negativa por prefijo. Prefijo que indica

negación “…amoral”.

(e) Este libro está desactualizado

Es una proposición compuesta negativa por prefijo. Prefijo que indica

negación “…desactualizado”.

b) Conjuntivas

Si tienen el conector diádico “…y…”. Diádico pues necesita de dos proposiciones

para tener sentido.

Las comas ( , ) y los puntos seguidos ( . ) significan muchas veces una

conjunción.

Ejemplo 1.8

(a) Aravis es médico y Juan es abogado

Es una proposición compuesta conjuntiva.

(b) Perú y Brasil son países sudamericanos.

Es una proposición compuesta conjuntiva. La oración puede ser reescrita

como: “Perú es un país sudamericano y Brasil es país sudamericano”.

Observa la redundancia.

(c) Los mamíferos y los reptiles son vertebrados y hervíboros


como: “Los mamíferos son vertebrados y los mamíferos son herbívoros y los

reptiles son vertebrados y los reptiles son herbívoros ”. Nota la gran

redundancia que existe. No obstante, éste es el realmente el significado de la

oración. Cabe resaltar que hay en realidad cuatro proposiciones simples.

(d) Vallejo fue escritor, poeta y revolucionario.


como “Vallejo fue escritor y Vallejo fue poeta y Vallejo fue revolucionario”

Tabla 1.10. Prefijos que indican negación



(e) Los claveles y los pájaros son flores y animales respectivamente.

Es una proposición compuesta conjuntiva. Puede ser reescrita como “Los

claveles son flores y los pájaros son animales”

c) Disyuntivas incluyentes o débiles

Si tienen el conector diádico “…o…” en sentido incluyente, esto es, cuando

ambas proposiciones pueden ser ciertas a la vez, es decir, al menos una es

cierta. Se clasifican en:

Las comas ( , ) a veces significan disyunción. El contexto aclarará si se trata

de una conjunción o de una disyunción.

Ejemplo 1.9

(a) La ingeniería es una ciencia o la medicina es un arte.

Es una proposición compuesta disyuntiva incluyente.

(b) La matemática o la biología son ciencias exactas.

Es una proposición compuesta disyuntiva incluyente. La oración puede ser

reescrita como: “La matemática es una ciencia exacta o la biología es una

ciencia exacta”.

(c) Los hongos son causantes de enfermedades o ayudan en el metabolismo.

Es una proposición compuesta disyuntiva incluyente. Se puede reescribir

como: “Los hongos son causantes de enfermedades o los hongos ayudan en

el metabolismo”

(d) Los peruanos o los ecuatorianos son pacifistas o buscan el desarrollo.

Es una proposición compuesta disyuntiva incluyente. Al reescribirla como:

“Los peruanos son pacifistas o los ecuatorianos son pacifistas o los peruanos

buscan el desarrollo o los ecuatorianos buscan el dearrollo”. Se observa que

hay en realidad cuatro proposiciones simples.

d) Disyuntivas excluyentes o fuertes

Si tienen el conector diádico “…o…” en sentido excluyente, es decir, cuando

ambas proposiciones no pueden ser ciertas al mismo tiempo. Pueden ser

reconocidas por las siguientes características:

d.1 Por su forma

Se presentan los siguientes casos:

d.1.1 La forma

“o…o…”

Esta forma incluye el caso cuando la segunda “o” es reemplazada por

un sinónimo de la “o” inclusiva, es decir, con alguno de los sinónimos

de la tabla 1.5.(ejemplos 1.9 – (a) y 1.9 – (c))

d.1.2 La forma

“… o + término modificador… ”

Algunos términos modificadores son sólo, únicamente, solamente,

exclusivamente, prioritariamente, …(ejemplo 1.9 – (b))



Antecedente Razón Suficiente Condición Suficiente Proposición Condicionadora Prótasis

Consecuente Razón Necesaria Condición Necesaria Proposición Condicionada Apódosis

Antecedente Razón Suficiente Condición Suficiente

Consecuente Razón Necesaria Condición Necesaria

d.2 Por su contenido

Si las proposiciones no pueden ser verdaderas a la vez (ejemplo 1.9 – (d))

Ejemplo 1.10

(a) O la ingeniería es una ciencia o es una técnica.

(b) David es ingeniero o únicamente es político.

(c) Marleny es actriz salvo que solamente sea médico.

(d) Perú está en América o Europa.

e) Implicativas5 o proposiciones hipotéticas

Si tienen el conector diádico “si…entonces…”. La proposiciones entre estos

términos reciben nombres especiales.

Si entonces

Observemos ahora el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1.11

(a) Si todos los hombres son mortales y Sócrates es hombre, entonces Sócrates

es mortal.

(b) Si Kai es soltero, entonces no está casado.

(c) Si coloco en un ácido papel de tornasol azul, entonces el papel de tornasol se

volverá rojo.

(d) Si nuestro equipo pierde el partido, entonces te entrego mil soles.

Existen otros términos linguísticos para representar a la proposición implicativa.

Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1.12

(a) Porque la oferta aumenta, por eso los precios disminuyen.

(b) La demanda aumenta únicamente porque los precios aumentan.

(c) Es suficiente construir la democracia para respetar la constitución.

(d) Condición necesaria para construir la democracia es respetar la constitución

f) Replicativas

Si tienen el conector diádico “…si…”. La proposiciones a ambos lados del si

reciben nombres análogos a los de las implicativas.

si

Ejemplo 1.13

Las siguientes proposiciones son replicativas

5 Algunos autores las llaman condicionales para distinguirlas de aquellas, a las que denominan

implicativas, donde el antecedente se relaciona lógicamente con el consecuente. A éstas estamos

llamando argumentos.



(a) No hay tuberculosis, puesto que no hay infección de bacilos.

(b) Para matricularse es suficiente tener dinero.

(c) Es necesario matricularse para tener dinero.

(d) Condición suficiente para matricularse es tener dinero.

g) Biimplicativas

Si tienen el conector diádico “…si y sólo si…”. Se pueden usar los sinónimos de

la tabla 1.8. También se consideran biimplicativas las proposiciones de la forma “

Para … es condición necesaria y suficiente…”

Ejemplo 1.14

(a) Para ser profesional es suficiente y necesario ser buen estudiante.

Proposición compuesta biimplicativa

La siguiente figura resume los tipos de proposiciones simples y compuestas que

aparecen en nuestro lenguaje.

Figura 1.4. Tipos de Proposiciones

Compuestas

Simples

Predicativas

Relacionales

Negativas

Conjuntivas

Disyuntivas Incluyentes

Disyuntivas Excluyentes

Implicativas

Replicativas

Biimplicativas



19/01/2012

Subtítulo

TALLER DE EJERCICIOS

1. Clasifica los siguientes enunciados. Para aquellos que sean proposiciones, indica su valor de verdad. 1.1. El almanaque “Bristol” es una publicación anual. 1.2. El Perú es un país austral y occidental. 1.3. Recoge ese lápiz

1.4. x y 5

1.5. 2 5 6

1.6. Hola que tal

1.7. 2x 1 10

1.8. Sócrates nació en Atenas

1.9. x 2 5y , para y 2 .

1.10. x 2 5 , para x 2 .

1.11. 2 2Sen x Cos x 1

1.12. x 3 9 , si x 5

1.13. x y z , si x 3, y 4

1.14. La raíz cuadrada de -1 es un número imaginario. 1.15. Cuzco es una ciudad arqueológica. 1.16. El símbolo del oro es Au

1.17. 2 2x y 5 es la ecuación de una circunferencia de radio 5.

1.18. Marte es el dios de la guerra. 1.19. Romeo amó a Julieta. 1.20. Según la mitología griega, “Bóreas” es el dios del viento del Norte. 1.21. Vete a comprar pan 1.22. Centauro es una constelación austral. 1.23. Atardece. 1.24. Carlos Marx es autor de la Iliada. 1.25. 7 es número primo. 1.26. Cristóbal Colón conquistó el Perú 1.27. Anochece 1.28. ¡Hace mucho calor! 1.29. La radio es un medio de información. 1.30. La matemática es una ciencia.

2. Clasifica las siguientes proposiciones, si lo fuesen, en simples o moleculares

2.1. Fobos es un satélite de Marte. 2.2. Andrómeda y la Vía Láctea son galaxias. 2.3. Julio C. Tello descubrió el Señor de Sipán. 2.4. Los dos grandes aportes de los romanos fueron el derecho y el cristianismo. 2.5. Los videos no son pruebas judiciales. 2.6. Si se calientan las aguas de la costa central y meridional entonces se

producirá el fenómeno del Niño. 2.7. La filosofía es una forma de pensamiento propio del hombre. 2.8. Tarapoto pertenece a Loreto. 2.9. El cerebro y el corazón son órganos vitales 2.10. Irán y Libia elevan el precio del petróleo. 2.11. Londres es la capital de Inglaterra. 2.12. Juan y María serán elegidos miembros de la asamblea. 2.13. No es cierto que Amanda sea economista. 2.14. Si hace frío entonces nos enfermamos 2.15. La uretra no se extiende desde la vejiga al exterior del organismo.



2.16. Los riñones son los mayores órganos excretores del cuerpo. 2.17. La uretra es más larga en los hombres que en las mujeres. 2.18. Las nebrinas son unos tubos microscópicos que filtran la sangre. 2.19. Cada riñón está compuesto de millones de nebrinas. 2.20. El término “honrado” es igual a “honesto”.

3. Indica cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones simples predicativas o

relacionales 3.1. Los átomos tienen núcleo. 3.2. La Tierra gira sobre su eje. 3.3. Los sapos son peces. 3.4. La Luna es un planeta. 3.5. Es falso que el lobo sea animal. 3.6. Los vertebrados son mamíferos a no ser que sean cuadrúpedos. 3.7. Caín fue filicida y Edipo parricida. 3.8. El hombre perdurará en este mundo. 3.9. Sócrates o Platón escribieron los Diálogos. 3.10. Sócrates fue maestro de Aristóteles. 3.11. Perú tiene la mayor tasa de analfabetos en Latinoamérica. 3.12. Máncora es un balneario que pertenece al departamento de Piura. 3.13. Piura está al sur de Tumbes. 3.14. Piura es un departamento rico en fosfatos. 3.15. Huanca y Hueso, ambos fueron perros de Simón Robles.

3.16. 5x 8x 12 , donde x 4 .

3.17. El dios Osiris representa al Sol. 3.18. La hormona vasoperina sube la presión arterial. 3.19. Pedro nació en Lima 3.20. Piura está al noroeste de Iquitos

4. Indica cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones negativas

4.1. No ocurre que haga frío, o el viento es caliente. 4.2. No iré al cine o no vendrás a la casa. 4.3. El 10101 nunca será divisible por 2. 4.4. Juan y Carlos no son condiscípulos 4.5. Rubén y Luís son inmorales 4.6. No se da el caso que estudias medicina e ingeniería 4.7. Carlos no fue a trabajar y no visitó a Maria. 4.8. Es falso que, Carlos fue a trabajar y visitó a Maria. 4.9. No es cierto que, Carlos trabaja, y María estudia. 4.10. Si Carlos fue a trabajar entonces no visitó a María. 4.11. De ninguna forma, Pedro es matemático

4.12. No ocurre que 2 1.73 .

4.13. Juan es menor que Pablo, no obstante 2 8

4.14. No sólo los gases son invisibles sino también inodoros. 4.15. Es sofisma que, el latón es un metal.

5. Indica cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones conjuntivas

5.1. x

A B

C

yz es una potencia par, n ; pero n3 es una potencia impar, n .

5.2. Javier no es piadoso ya que no paga sus deudas. 5.3. Sólo si la Luna se ve blanca, retiene la luz solar. 5.4. Alfonso Ugarte ni corrió ni se entrego frente al enemigo del sur. 5.5. Carlos tiene vocación de filósofo aunque no aprecie a los pensadores griegos. 5.6. Maria ama a Juan empero Juan ama a Rosa. 5.7. Tritón es satélite del planeta Neptuno. 5.8. Derecho, Hotelería e Ingeniería son algunas escuelas de la UCV – Piura. 5.9. José Santos Chocano nació en Lima el 14 de mayo de 1875 y murió en

Santiago de Chile el 13 de diciembre de 1934.



5.10. De ninguna manera se firmará el TLC con Estados Unidos. 5.11. No es cierto que garúe y que luego llueva. 5.12. Juan es menor que Jorge sin embargo Jorge es mayor que Luís. 5.13. Julio César y Marco Antonio fueron contemporáneos. 5.14. Platón y Aristóteles fueron discípulos de Sócrates. 5.15. Los montes Urales separan Europa de Asia pero África se separa de Asia

por el canal de Suez.

6. Indica cuáles de las siguientes enunciados son proposiciones disyuntivas incluyentes

6.1. Estudio pero no aprendo 6.2. Carlos o Juan pero no ambos 6.3. Hace frío ya que llueve 6.4. No es posible que cante o baile 6.5. Juan estudia o trabaja. 6.6. En los anfibios, el padre y la madre custodian los huevos. 6.7. Los anfibios son vivíparos u ovíparos 6.8. Los animales son vertebrados o invertebrados. 6.9. Los carnívoros son omnívoros o sólo herbívoros. 6.10. La sal de mesa o cloruro de sodio.

7. Indica cuáles de las siguientes enunciados son proposiciones disyuntivas

excluyentes

7.1. Luís es futbolista o tenista. 7.2. La ventana del aula es triangular o cuadrangular. 7.3. Ingresarán a la UCV los que aprueben el examen de ingreso o únicamente

los que estén exonerados de él. 7.4. Recibirás el dinero o la casa pero no ambas cosas. 7.5. Javier es futbolista o voleybolista

8. Indica cuáles de las siguientes enunciados son proposiciones implicativas

8.1. Iré a Cajamarca sólo si salgo de vacaciones. 8.2. Si la aritmética es consistente, la geometría también lo es. 8.3. El hoyo de la capa de ozono seguirá creciendo si seguimos contaminando

nuestro medio ambiente. 8.4. La contaminación favoreció la aparición de seres complejos, pero es

perjudicial para la vida humana. 8.5. Las escuelas fueran creadas por Carlomagno para educar a los privilegiados. 8.6. María será buena estudiante si no memoriza las preguntas. 8.7. Juan puede cursar Matemática Aplicada a la Seguridad de Redes

Informáticas sólo si está en tercer curso de carrera.

9. Indica cuáles de las siguientes enunciados son proposiciones replicativas

9.1. Si hay gasolina en el tanque, mi automóvil funciona. 9.2. Mi automóvil sólo funciona si hay gasolina en el tanque. 9.3. Si hay gasolina en el tanque, es suficiente para que mi automóvil funcione. 9.4. Para que el automóvil funcione es necesario que haya gasolina en el tanque. 9.5. Qué haya gasolina en el tanque implica que mi auto funcione.

10. Indica cuáles de las siguientes enunciados son proposiciones biimplicativas

10.1. Si hay anabolismo, hay catabolismo. 10.2. Sólo si hay anabolismo, hay catabolismo. 10.3. Hay anabolismo si y sólo si hay catabolismo. 10.4. Hay catabolismo siempre y cuando hay anabolismo 10.5. Hay anabolismo es equivalente decir a que hay catabolismo.



10.6. Abel estudia siempre y cuando Luis trabaje 10.7. El que llueva es condición suficiente para obtener buenas cosechas 10.8. Hace calor equivale a decir que aumentó la temperatura 10.9. Es aniversario patrio si y sólo si es 28 de julio. 10.10. El que transpire es condición necesaria de que camine.

1. Clasifica los siguientes enunciados. Para aquellos que sean proposiciones, indica su valor de verdad. 1.1. Amanece. 1.2. Él tiene mucha hambre. 1.3. Ama a tú prójimo como a ti mismo. 1.4. El hijo de Carlos V. 1.5. El hijo primogénito de Luis VIII 1.6. Las águilas de América del Norte son carnívoras. 1.7. 9

3.

1.8. ¿Cuántos alumnos tiene la UCV filial Piura? 1.9. ¡No puedo creer que campeone Alianza Lima! 1.10. El creador indiscutible de la lógica matemática fue el inglés George Boole. 1.11. Romeo amó a Julieta según la obra literaria. 1.12. Ven ahora. 1.13. Nunca debo olvidar el ayer. 1.14. Mañana la veré. 1.15. Mañana es viernes. 1.16. El amor es hermoso. 1.17. Mi anhelo es ver al Perú como un país exportador. 1.18. El Perú es un país eminentemente agrario. 1.19. El actual presidente del Perú 1.20. Ella ama a Luís 1.21. El caballero Carmelo 1.22. La esposa de Túpac Amarú fue fusilada 1.23. ¡Ojalá regreses el próximo año!

1.24. 2 2 2a b a 2ab b .

1.25. Hace frío. 1.26. Esta tiza es de color negro. 1.27. Alcánzame el libro de Historia. 1.28. Él ganó la maratón. 1.29. El hombre es inmortal. 1.30. Ella, Carmen, es comerciante

2. Clasifica las siguientes proposiciones, si lo fuesen, en simples o moleculares

2.1. El Perú es un país rico en petróleo y en minerales. 2.2. Si trabajas en las minas es obvio que tendrás mejor nivel de vida. 2.3. La economía ecuatoriana no está dolarizada. 2.4. Juan y Raúl son socios. 2.5. Edgar y Alex son poetas. 2.6. El Huascarán es un nevado. 2.7. Yungay pertenece a Ancash. 2.8. Juan y Carlos no son condiscípulos 2.9. Harry Potter es un pequeño mago.



2.10. García Márquez escribió cien años de soledad. 2.11. Juan y María ambos serán elegidos miembros de la asamblea. 2.12. La boca es el acceso al tubo digestivo. 2.13. La dentadura es la encargada de triturar los alimentos. 2.14. La deglución es el acto de tragar. 2.15. Dalila mató a Sansón. 2.16. Juan Velasco derrocó a Belaúnde. 2.17. Las capas de la tierra son tres: corteza, manto y núcleo. 2.18. El régimen de los ríos es variable y está condicionado por la escasez o la

abundancia de agua. 2.19. Los distintos climas de la tierra son: ecuatorial, tropical, desértico, templado y

polar. 2.20. La agricultura es extensiva o intensiva.

3. Indica cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones simples predicativas o

relacionales 3.1. El bronquio derecho se divide en tres ramas. 3.2. La biología es una ciencia práctica. 3.3. El aire entra a los pulmones y proporciona oxígeno a las células del

organismo. 3.4. Los hongos tienen pared celular o capilar. 3.5. El aire expulsado de los pulmones elimina el dióxido de carbono del

organismo. 3.6. Los dos huesos más delgados de la parte inferior de la pierna se conoce

como tibia y peroné. 3.7. Los huesos fusionados del cráneo encierran en su interior el encéfalo. 3.8. La pared del intestino delgado tiene muchas proyecciones pequeñas

llamadas vellosidades. 3.9. El hígado puede convertir glucosa en glucógeno. 3.10. Lima es una de las ciudades más modernas de América. 3.11. El estómago es la parte del sistema digestivo. 3.12. Bolivia está entre Brasil y Uruguay. 3.13. Simón Bolívar fue el héroe de Arica. 3.14. El agua y el aceite se mezclan.

3.15. 2 225 3 4

3.16. El agua se evapora por el calor. 3.17. 18 es un número par. 3.18. El carbono y el hidrógeno son elementos químicos. 3.19. Grau y Bolognesi son héroes. 3.20. George Washington y Thomas Jefferson fueron presidentes de EE.UU 3.21. Víctor Raúl Haya de la Torre y Oscar Benavides fueron antagonistas políticos. 3.22. Benito Mussolini y el Fascismo. 3.23. En 1936 Alemania y Japón firmaron un pacto anticomunista. 3.24. La Segunda Guerra Mundial la ganaron la URSS, Gran Bretaña, EE.UU. y

Francia. 3.25. El área lateral de un cilindro de revolución se obtiene multiplicando la

longitud de la circunferencia por la altura del cilindro.

4. Indica cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones negativas

4.1. No ocurre que, las aguas de la corriente peruana sean calientes 4.2. Es falso que, lo dicho por los políticos es verdad 4.3. José Evaristo es infiel 4.4. Indudablemente la ciencia es útil a la sociedad

4.5. Absurdo es que 2 5

4.6. En forma alguna Deysi estudia Ingeniería.

4.7. Es mentira que 5 3

4.8. La mayoría de buitres no tienen garras. 4.9. Es falso que los buitres tienen picos muy fuertes. 4.10. Es mentira que los buitres esperan que la putrefacción ablande un cadáver.



4.11. Brasil no venció a Perú en vóley 4.12. No es cierto que Perú venció a Brasil en vóley 4.13. Perú no venció a Brasil en vóley 4.14. No es cierto que, Brasil venció a Perú en vóley. 4.15. El cilindro es una figura del espacio formado por líneas curvas asimismo por

líneas rectas.

5. Indica cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones conjuntivas

5.1. El avión es un medio de transporte seguro, aunque sus accidentes son fatales.

5.2. El Perú es libre y soberano para tomar sus decisiones 5.3. Andrés es callado, aunque divertido. 5.4. El león es animal acuático y/o mamífero. 5.5. El pez es acuático al igual que el elefante es terrestre. 5.6. No sólo Colón es descubridor sino también Magallanes lo fue. 5.7. Marte es planeta a no ser que Júpiter también lo es. 5.8. El sistema inmunológico utiliza mecanismos de defensa: la inmunidad innata

así como la inmunidad adquirida. 5.9. Si José mejora su economía, podrá inscribirse al instituto. 5.10. Trabajo sin embargo estudio. 5.11. Viajaré a España si obtengo visa de estudio. 5.12. Termino la secundaria y postulo a la universidad

6. Indica cuáles de las siguientes enunciados son proposiciones disyuntivas incluyentes

6.1. Pedro es responsable a menos que Juan también lo sea. 6.2. Juan es responsable excepto que Pedro también lo sea. 6.3. Salvo que Pedro sea responsable, Juan, lo es. 6.4. Juan no es responsable o Pedro es responsable. 6.5. Pedro es responsable a la vez Juan no es responsable.

7. Indica cuáles de las siguientes enunciados son proposiciones disyuntivas excluyentes

7.1. El libro de álgebra es voluminoso o interesante 7.2. Luis es alto o bajo 7.3. O aceptas el aumento o te vas del trabajo 7.4. Juan trabaja o estudia. 7.5. Juan trabaja o sólo estudia. 7.6. El Huascarán se encuentra en la Cordillera Oriental de los Andes o se

encuentra en la Cordillera Occidental. 7.7. O bien la lactosa se encuentra en la leche o bien se encuentre en el vino. 7.8. Paty es casada o es soltera 7.9. El movimiento de rotación de la tierra lo hace a 28 km por minuto o lo hace a

30 km por segundo 7.10. O el Perú hace la guerra o Ecuador es pacifista

8. Indica cuáles de las siguientes enunciados son proposiciones implicativas

8.1. Una condición suficiente para que Julio visite Cuenca es que visite las Casas Colgantes.

8.2. Si se estudia lógica, mejorará nuestra forma de razonar. 8.3. Sólo si vas a la Iglesia, eres creyente 8.4. Un número es par si es divisible por 2 8.5. Una figura es un triángulo siempre que tenga exactamente 3 lados 8.6. El sol es 1 300 000 veces más grande que la Tierra. 8.7. Cuando la Luna está en conjunción, entonces ocurre un eclipse de sol. 8.8. Estudiaré en Ia Cepre Vallejo por lo tanto ingresaré a la UCV.



9. Indica cuáles de las siguientes enunciados son proposiciones replicativas

9.1. Se prohíbe usar celular en clase porque atenta contra la disciplina 9.2. Si el avestruz tiene mayor tamaño pero es un ave, no vuela. 9.3. La pena de muerte está justificada porque se están cometiendo atrocidades. 9.4. El cuadrado de 3 ó 16.

9.5. Es imposible que 3 7 si 5 9 .

9.6. Luis es profesor y trabaja en la UCV.

10. Indica cuáles de las siguientes enunciados son proposiciones biimplicativas

10.11. Abel estudia siempre y cuando Luis trabaje 10.12. El que llueva es condición suficiente para obtener buenas cosechas 10.13. Hace calor equivale a decir que aumentó la temperatura 10.14. Es aniversario patrio si y sólo si es 28 de julio. 10.15. El que transpire es condición necesaria de que camine.



FORMALIZACIÓN PROPOSICIONAL

La matematica

es el desarrollo de todos

los tipos de razonamiento formal,

necesario y deductivo”.

ALFRED NORTHWHITEHEAD

Introducción

En esta sección, aprenderemos a traducir un argumento expresado en palabras de

nuestro lenguaje a el lenguaje formal de la lógica.

Este enfoque no es nuevo. Desde que se descubrieron las estructuras del

pensamiento, el desarrollo de la ciencia ha experimentado un crecimiento notable.

Tómese el siguiente ejemplo:

“La ley de la gravedad de Newton nos dice también que cuanto más separados estén

los cuerpos menor será la fuerza gravitatoria entre ellos. La ley de la gravedad de

Newton establece que la atracción gravitatoria producida por una estrella a una cierta

distancia es exactamente la cuarta parte de la que produciría una estrella similar a la

mitad de distancia. Esta ley predice con gran precisión las órbitas de la Tierra, la Luna y

los planetas.”6

Estas 77 palabras pueden ser resumidas en la siguiente expresión:

1 2

2

m mF G

d

Obviamente, para poder entender ésta última fórmula, debemos conocer el lenguaje

formal en la que está planteada así como su contenido semántico. Pero la ventaja es que

esta fórmula se entiende en cualquier idioma.

6 Tomado de “Historia del Tiempo” de S. Hawking



En este apartado, uniremos los conceptos de proposición y conectivos lógicos con

sus homónimos formales.

Definición 1.7 Formalización proposicional

Es el proceso mediante el cual se identifican proposiciones simples y estructuras

lógicas proposicionales, asignándoles un símbolo del lenguaje formal de la lógica

proposicional y organizándolos con los signos auxiliares de dicho lenguaje

La asignación de la que habla la definición anterior es la siguiente:

La relación entre conectivos lógicos y conectores es la siguiente:

Nombre Forma Símbolos

Negador “no” N

Conjuntor “... y ...” . & K

Disyuntor

Incluyente “… o …” A

Disyuntor

Excluyente “o … o …”

J

Implicador “si … entonces …” C

Replicador “… porque …”

Biimplicador “… si y sólo si …” E

Si al formalizar no queda claro cuál es el conectivo dominante, se debe utilizar la

siguiente convención:

Menor jerarquía

Mayor jerarquía

,

,

,

Veamos un ejemplo de formalización

Tabla 1.11. Conectivos lógicos y su significado semántico

Figura 1.5. Jerarquía de conectivos lógicos



Ejemplo 1.15

“La Teoría de la Comunicación interviene en diversas ciencias del hombre y en la

tecnología; ya que se debe a que haya sido propuesta para servir de campo

unificador de las ciencias sociales, ofreciendo a éstas tanto un lenguaje como una

problemática común”

Solución:

Paso 1: Identificar las proposiciones simples y asignarles variables

p : La Teoría de la Comunicación interviene en diversas ciencias del hombre

q : La Teoría de la Comunicación interviene en la tecnología

r : La Teoría de la Comunicación ha sido propuesta para servir de campo

unificador de las ciencias sociales

s : La Teoría de la Comunicación ofrece a las ciencias sociales un lenguaje

común

t : La Teoría de la Comunicación ofrece a las ciencias sociales una

problemática común

Paso 2: Identificar los conectivos lógicos presentes

“La Teoría de la Comunicación interviene en diversas ciencias del hombre y en la

tecnología; ya que se debe a que haya sido propuesta para servir de campo

unificador de las ciencias sociales , ofreciendo a éstas tanto un lenguaje como una

problemática común”

La forma es:

“… y …; ya que se debe a que …, … tanto … como …”

Paso 3: Escribir la fórmula lógica correspondiente

p q r s t

1.3 Casos especiales de formalización

Como regla general, la formalización debe ser literal, es decir, tal y como está

escrito. No valen las equivalencias.

Hay casos especiales con los siguientes conectivos

1.3.1 El negador

La doble negación de una proposición simple la convierte en una compuesta.

Los negadores externos no necesitan de la presencia de una coma para

indicar a qué proposiciones afectan.

Las expresiones lingüísticas de doble negación (innegable, inobjetable, no es

inadmisible, no es mentira que,…) se formalizan como tales.

Las expresiones con prefijos de negación se formalizan.

Ejemplo 1.16

(a) Es mentira que Lucy no es profesora

p : Lucy es profesora

Formalización: p



Observa que Es mentira que… es un negador externo. Dado que es

unario, cuando no hay confusión, se suelen obviar los paréntesis. Según esto,

lo anterior se escribe p

(b) No es falso que si Luís no compra un automóvil entonces no podrá ir a

Máncora además no abrazará a su novia.

p : Luis compra un automóvil

q : Luis va a Máncora

r : Luis abrazará a su novia.

Formalización: p q r

Observa que el negador externo de doble negación No es falso que… se

formaliza como tal. Además, como no hay signos de puntuación en el interior

de la oración, afecta a toda ella, por lo que es el conectivo dominante. Dado

que tiene mayor jerarquía que el , es el conectivo dominante dentro del

corchete.

(c) Es imposible que llueva hoy, ya que hace tiempo no hay sequía.

p : Llueve hoy

q : Hace tiempo que hay sequía

Formalización: p q

Observa que el negador externo Es imposible que… afecta a toda la parte de

la oración hasta antes de la coma.

(d) Es innegable que los vertebrados son reptiles

p : Los vertebrados son reptiles.

Formalización: p

(e) Ender es infeliz

p : Ender es feliz.

Formalización: p

1.3.2 El conjuntor

Cuando se usan comas y el último conector es “ y ”, las comas se formalizan

como conjunciones.

Una excepción a la regla anterior: Cuando una oración usa términos

relacionales, aún cuando aparezca el término “y”, se formaliza como una

proposición simple.

No se formaliza cuando la relación es del tipo causal y temporal.

Ejemplo 1.17

(a) Pinino y Minily son amigos

p : Pinino y Minily son amigos

Formalización: p

(b) Leonardo Da Vinci fue ingeniero, escritor y pintor.

p : Leonardo Da Vinci fue ingeniero.

q : Leonardo Da Vinci fue escritor.

r : Leonardo Da Vinci fue pintor.




1.3.3 El disyuntor

Cuando se usan comas y el último conector es “ o ”, las comas se formalizan

como disyunciones.

Ejemplo 1.18

Leonardo Da Vinci fue ingeniero, escritor o pintor .

p : Leonardo Da Vinci fue ingeniero.

q : Leonardo Da Vinci fue escritor.

r : Leonardo Da Vinci fue pintor.


19/01/2012

Subtítulo


Realiza lo indicado:

1. Formalizar el enunciado: “El hígado es la glándula más grande del cuerpo humano además depura la sangre”.

2. Formalizar: “Alguien, nadie, alguno, algo y cualquiera son pronombres indefinidos”. 3. Formalizar: “De que una figura geométrica tenga cuatro lados iguales se deriva que

es un cuadrado o un rombo, pero si la figura geométrica tiene cuatro lados iguales así como cuatro ángulos rectos es obvio que es un cuadrado”

4. La proposición: “Es absurdo que la caja toráxica este formada por menos de 11

pares de costillas dado que éstas se unen por delante al esternón”. Se formaliza:

5. El siguiente esquema: r p q no es la formalización de:

(a) La sangre es un liquido de color rojo, puesto que no esta constituido por plasma incluso por hematíes.

(b) Los dientes caninos nunca tienen la corona aplanada sin embargo la tienen en forma de pirámide cuadrangular por lo tanto su función es desgarrar los alimentos.

(c) Las neuronas jamás son unidades funcionales del corazón aun cuando lo sean del riñón por lo tanto actúan como un filtro.

(d) El 12 es numero par dado que no es divisible por 5 además es un número compuesto.

6. Formalizar: “El coseno y la secante juntas son razones inversas, a menos que su

producto no sea igual a uno”. 7. Formalizar: “La progresión geométrica no es creciente si su razón esta entre 0 y 1,

salvo que su razón es mayor que 1, por consiguiente es creciente” 8. Formalizar la proposición: “Cuando el Perú firme el tratado de libre comercio así

pues exportará sus productos al extranjero a pesar de que los congresistas se oponen, excepto que exporte sus productos al extranjero”.



9. Formalizar: “Dado que la magnitud que caracteriza al movimiento es la velocidad por eso la cinemática estudia al movimiento, además hay movimiento rectilíneo al igual que circular”

10. Formalizar: “Si el agua pasa de estado líquido a sólido entonces se solidifica,

asimismo si pasa de estado gaseoso a líquido implica que se condensa” 11. “Toda vez que un catión es un átomo que nunca ha perdido electrones, por

consiguiente posee un número de cargos positivas siempre y cuando el catión es un átomo que ha perdido electrones”. Hallar su fórmula lógica.

12. Formalizar: “Si la pendiente del ángulo de inclinación de una recta es positiva, es

evidente que el ángulo es agudo debido a que si no es positiva, derivamos que el ángulo es obtuso”:

13. El siguiente esquema p q r es la formalización de:

(a) Hablas o callas en tu defensa, a pesar de que eres inocente. (b) El ángulo es agudo u obtuso, o también el ángulo es recto. (c) Viajas a Puno o Tumbes, al mismo tiempo que sales de vacaciones. (d) La mesa es redonda o cuadrada, tanto que es de madera. Dar como respuesta las inobjetablemente inciertas. 14. Formalizar: “El diámetro de una circunferencia no es menor que cualquier cuerda

sólo si mide dos radios igualmente el radio es la distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia”

15. Formalizar la proposición: “Es inadmisible que la energía eólica aprovecha la fuerza

del viento de la misma manera que la energía solar utiliza las radiaciones solares”. 16. Formalizar: “El transporte puede ser terrestre, marítimo y aéreo, además requiere de

infraestructura siempre que y sólo cuando el gobierno se encargue de la construcción y no del mantenimiento de la infraestructura”.

17. Formalizar: “Las hienas o los buitres se alimentan de presas muertas por eso los

necrófagos no contribuyen a la contaminación del medio ambiente al igual que es innegable que los buitres se alimenten de presas muertas”.

18. Formalizar la proposición: “Los meteoritos son de composición rocosa o metálica,

igualmente los cometas están formados de polvo cósmico” . 19. Formalizar: “Raúl postula al pedagógico o a la UCV dado que se preparó en la

Cepre, pero ni postula al pedagógico ni a la UCV es evidente que no se preparó en la Cepre”.

20. Hallar la fórmula de: “La sacarosa y la lactosa son glúcidos implica que los glucidos

contienen azúcares, salvo que ni la sacarosa ni la lactosa son glúcidos, por eso los glucidos jamás contienen azucares”.

21. Formalizar: “Ni el occipital ni el frontal son músculos del tórax porque y solo porque

ambos son músculos cutáneo del cráneo”. 22. Formalizar: “El hueso calcáneo y astrágalo juntos pertenecen al tarso del pie” 23. Formalizar la proposición “El duodeno no forma parte del intestino grueso en vista

que pertenece al intestino delgado igualmente el yeyuno pertenece al intestino delgado”.

24. Formalizar el argumento: “O Juan es arquitecto o Maria es enfermera; aún cuando,

es absurdo que Maria sea enfermera”.



25. Formalizar: “Si llegas temprano o tarde, de todas maneras no juegas y te vas a entrenar. Si te vas a entrenar así pues tu madre se molestará”.

26. Formalizar la proposición: “Si estudias en el colegio Harvard y en la Cepre Vallejo,

ingresarás a la UCV. Pero si no estudias en el colegio Havard ni en la Cepre Vallejo, no ingresarás a la UCV. Por lo tanto ingresarás a la UCV”.

27. Formalizar el argumento: “La Arena, la Unión y Sechura son el medio Piura, sin

embargo son zonas arrozeras”. 28. “Si te preparas a conciencia, serás un buen alumno; pero si no estudias y pierdes

tiempo, tus resultados serán malos”. Hallar su fórmula lógica 29. “Si en el Perú aumentan las exportaciones, por consiguiente aumentan los puestos

de trabajo. Sin embargo en el Perú no aumentan las exportaciones”. Se formaliza: 30. Simbolizar la proposición: “Gerardo no trabaja o sólo se preocupa por su salario, a

menos que trabaja si gana más de S/. 750 mensuales”

Realiza lo indicado:

1. Formalizar: “Si Juan va al estadio, pierde tiempo y dinero. Si no va al estadio

entonces irá al cine. Por lo tanto pierde dinero”. 2. Simbolizar la siguiente proposición: “Cuando obtenga mi titulo pedagógico entonces

ingreso a la carrera magisterial, pero no ingreso a la carrera magisterial; en consecuencia, no obtuve mi titulo pedagógico”.

3. Simbolizar la siguiente proposición: “Si los alumnos estudian y no hay paros, el ciclo

terminará en la fecha señalada y los alumnos podrán trabajar”. 4. Formalizar: “Si el chofer estaba embriagado, entonces no es cierto que la empresa

controla a su personal o que lo somete a una cuidadosa selección”. 5. Dada la siguiente proposición: “Piura no es una ciudad limpia ni ordenada,

porque sus habitantes no tienen cultura higiénica además la policía municipal no colabora”. Hallar su fórmula lógica.

6. Al formalizar: “Si Luis obtiene buenas notas en la Cepre Vallejo, entonces no es

cierto que alcanza una beca o se cambia a otra academia”. Se obtiene una proposición molecular del tipo:

7. Formalizar la siguiente proposición: “Si aumenta el caudal del río Rímac, entonces,

Simbolizar: “Es absurdo que los estudiantes son aplicados si y sólo si se dedican a estudiar, pero si no se dedican a estudiar en consecuencia no son aplicados”.

8. Formalizar la siguiente lectura: “Aprendo una parte de la música de Mozart ya que

estudio su música. Por lo tanto, aprendo una parte importante de la música clásica”.



9. Formalizar la siguiente oración: “Si la gente no piensa en la crisis, entonces el deporte la distrae. Si el fútbol es una distracción de masas, entonces puede ser propiciado por los beneficiados de la crisis”.

10. Formalizar: “Si Amanda contesta ésta pregunta, será una pregunta fácil; sin

embargo ésta pregunta es fácil y engañosa dado que Amanda no la contestó”. 11. Formalizar: “Es imposible que llueva hoy, ya que hace tiempo no hay

precipitaciones”. 12. Formalizar: “Si en Marte no hay agua, entonces no hay vida; en consecuencia, no

hay oxigeno ni agua”. 13. Formalizar: “No es falso que si Jorge no compra un yate entonces no podrá ir a la

isla Galápagos además no encontarará a su familia”. 14. Formalizar: “O bien Irán eleva el precio del petróleo y Egipto disminuye sus

aprovisionamientos o no es el caso que Jordania pida más ayuda norteamericana y Arabia Saudita compre otros quinientos aviones de guerra”.

15. Formalizar: “A menos que Chile convoque a una reunión de países

latinoamericanos, Brasil protesta ante la ONU”. 16. Formaliza la proposición: “José es empresario de la misma manera que María es

secretaria”. 17. Formalizar: “En modo alguno Perú clasifica al próximo mundial de fútbol”. 18. Formalizar: “O viajamos a España a trabajar o no viajamos a Francia a pasear“. 19. Formalizar: “Es condición suficiente que hace calor para ir a la playa. Aunque para ir

a la playa es condición necesaria que necesitemos dinero” 20. Formalizar: “Luisa es hábil a menos que domina la computadora“. 21. Formalizar la proposición “De ninguna forma se da que el gobierno de Caracas

interviene en otros países americanos”. 22. Formalizar la proposición “Para esperarte en el cine es condición necesaria que

llegaremos tarde a cenar. Por eso te espero en el trabajo” 23. Formalizar: “Javier ni es responsable, ni es activo. En consecuencia Javier no

encuentra trabajo” 24. Formalizar: “No acontece que, llueve hoy sólo si mañana estará nublado”. 25. Formalizar: “Es absolutamente incierto que, si el dólar sube entonces los precios no

suben” 26. Formalizar la proposición “Tanto los gobiernos de Chile como de Ecuador no acatan

los tratados internacionales” 27. Dada la proposición “Los protones tiene carga eléctrica positiva o únicamente

negativa”, hallar su fórmula lógica. 28. Formalizar la proposición “La lógica no es una ciencia exacta es compatible que la

matemática es una ciencia exacta”



29. Formalizar: “Es absurdo que, sea condición necesaria que Bertha sea una representante de ventas para que sea profesora universitaria a dedicación exclusiva”

30. Formalizar: “Una condición necesaria para 7 3 10 es 5 x 2 10 ”

31. Formalizar: “Es absurdo que si ayer no fuimos a la biblioteca es obvio que no

conseguimos el libro de química” 32. Formalizar la proposición: “No es verdad que, sea absurdo que, no acontece que

Mario estudia sistemas en la UCV”. 33. Formalizar la siguiente proposición: “No es verdad que el óxido no resulta de la

combinación de un metal con el oxígeno, y no pertenece a las funciones químicas orgánicas”.

34. Formalizar la proposición: “Un kilómetro no equivale a 1000 metros, no obstante si

voy muy rápido por la autopista implica que me accidentaré”. 35. Formalizar: “Es absurdo que, si la tarde está nublada entonces lloverá, sin embargo

el clima ni está favorable para el patinaje ni la pista está preparada para el partido de fútbol”.

36. Hallar la formalización correcta de: “La filosofía no es equivalente a la ontología, sin

embargo basan sus estudios en el pensamiento”. 37. Formalizar: “Para que Javier tenga estudios de maestría en Gestión empresarial es

condición necesaria que no sea economista de profesión”. 38. Formalizar:“Aunque llueva iré a visitarte. Pero no llueve” 39. Formalizar la proposición: “Condición suficiente para que los gases al igual que los

líquidos no sean dúctiles ni maleables, es que no sean fluidos” 40. Formalizar la proposición: “Es absurdo que, José no sepa tocar el arpa y no

componga melodías; puesto que es un músico excelente”.



VERDAD FORMAL

Cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas;

cuando son ciertas, no se refieren a la realidad.

ALBERT EINSTEIN

Introducción

Los razonamientos formulados en el lenguaje cotidiano son a menudo difíciles de

evaluar debido a la naturaleza vaga y equívoca de las palabras usadas, a la anfibología

de su construcción, a los modismos engañosos que pueden contener, a su estilo

metafórico posiblemente confuso y al elemento de distracción derivado de cualquier

significación emotiva que se les pueda atribuir. Aún cuando puedan resolverse estas

dificultades, subsiste el problema de determinar la validez o invalidez de los argumentos.

Para soslayar esas dificultades, es conveniente crear un lenguaje simbólico artificial libre

de esos defectos, al cual puedan traducirse los enunciados y argumentos del lenguaje

natural. El primer paso para esto es la formalización de argumentos (y todo lo que

implica). Lo que sigue es desarrollar métodos para resolver el problema de su validez.

1.4 Esquemas moleculares Definición 1.8 Esquema molecular

La combinación de variables y conectivos lógicos por medio de los signos de agrupación se denomina esquema molecular.

En cada esquema molecular solo uno de los conectivos es el de mayor jerarquía

y es el que le da nombre a dicho esquema.

Ejemplo 1.19

(a) p q r

El conectivo de mayor jerarquía es , por lo que es un esquema molecular

condicional.

(b) p q r p

El conectivo dominante es , es un esquema molecular bicondicional.

(c) p q p r

Al ser exterior, el conectivo dominante es , por lo tanto, es un esquema molecular negativo.

Como se aprecia en los ejemplos anteriores, el conectivo dominante es aquél

que carece de paréntesis externos.

1.5 Tablas de verdad

Una vez que hemos formalizado a las proposiciones conviene tener una manera

precisa de saber cuándo sus fórmulas que los representan son verdaderas.

Recordemos que de la misma definición de proposición, éstas pueden ser o bien

verdaderas o bien falsas, pero no ambas. Si tomamos dos o más proposiciones, el

valor de verdad de la proposición compuesta dependerá del valor de verdad de las

proposiciones que la conforman. Una forma sencilla de determinar esta

dependencia es utilizar las llamadas tablas de verdad.



Definición 1.9 Tabla de verdad

La tabla de verdad es un arreglo en filas y columnas (matriz) que permite

determinar el valor de verdad de una proposición compuesta mediante la evaluación

de todas las combinaciones posibles de los valores de verdad de las proposiciones

simples que la conforman.

La tabla de verdad tiene la siguiente estructura:

Fórmula CompuestaFórmulas

Simples

( fórmulas)

Matriz de valores

de verdad de las

fórmulas simples

( filas)

Matriz de valores de

Verdad

n

n2

Para representar los valores de verdad utilizaremos los símbolos V y F , los

cuales provienen de las palabras verdadero y falso respectivamente. Una

modificación de esta convención, que es bastante útil para las aplicaciones, es

colocar “1” en vez de V y “0” en lugar de F .

Nota

Si hay n proposiciones simples en una fórmula compuesta, entonces la tabla de

verdad correspondiente a ésta tiene n2 filas.

Dado que toda fórmula compuesta utiliza los conectivos de la tabla 1.16, es

suficiente disponer de las tablas de verdad de éstos.

Empecemos con el negador. Lo interpretaremos como un cambio en el valor de

verdad de una proposición. Por consiguiente su tabla de verdad es la siguiente:

p p

V F

F V

p p

1 0

0 1

Esto sugiere la siguiente tabla de verdad para la conjunción(en el sentido de la

lógica proposicional):

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Figura 1.6. Estructura de una tabla de verdad

Tabla 1.12. Tabla de verdad del negador

Tabla 1.13. Tabla de verdad de la conjunción



La siguiente tabla de verdad generaliza estas circunstancias:

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

p q p q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Podemos entonces definir la siguiente tabla de verdad para la disyunción fuerte.

p q p q

V V F

V F V

F V V

F F F

p q p q

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0

La tabla de verdad para la implicación es la siguiente:

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

La biimplicación tiene el sentido de equivalencia. La elaboración de su tabla de

verdad es sencilla y obvia:

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Así, la biimplicación será verdadera cuando ambas proposiciones componentes

tengan el mismo valor de verdad.

1.6 Evaluación de esquemas moleculares

Hay varios métodos para evaluar el valor de verdad de un esquema molecular

dado. Analicemos el primero de ellos.

Tabla 1.14. Tabla de verdad de la disyunción débil

Tabla 1.15. Tabla de verdad de la disyunción fuerte

Tabla 1.16. Tabla de verdad de la implicación.

Tabla 1.17. Tabla de verdad de la biimplicación.



1

2 2

3

4

4

1.6.1 Mediante tablas de verdad

Consiste en evaluar el valor de verdad del esquema a partir de los valores de

verdad de sus fórmulas simples. Aunque es un método sencillo y mecánico, como

establece el teorema 1.1, tiene la desventaja de aumentar exponencialmente su

número de columnas a medida que crece el número de fórmulas simples.

Definición 1.10 Matriz principal de un esquema molecular

Es la matriz formada por una sola columna que indica los valores de verdad del

esquema. Su ubicación en la matriz de valores de verdad es debajo del conectivo

dominante.

Ejemplo 1.20

Hallar la matriz principal del siguiente esquema: p q p q

Solución:

p q p q p q

1 1 0 1 1 0 1 1

1 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 0

El orden en que se llenan las columnas de la tabla de verdad es el siguiente

(desde el conector más interno hasta el más externo):

: Negación de p

: Simultáneamente, la conjunción entre p y q junto con la

disyunción entre p y q

: La implicación entre las dos columnas obtenidas en

: La negación de la columna obtenida en

En este caso, el esquema es negativo, por lo que la matriz principal del esquema

es la matriz columna obtenida en

Observemos que para rellenar preliminarmente las otras columnas, hacemos uso

de las tablas de verdad de los conectivos lógicos antes expuestos.

Según los valores de verdad que tenga su matriz principal, los esquemas se

clasifican como sigue:

1

2

3

4

2

3



2 2

3

1 1

1

2 2

3

4

Definición 1.11 Esquema tautológico, contradictorio, contingente y

consistente

Un esquema molecular es tautológico si su matriz principal sólo contiene

valores 1. Se llama contradictorio si sólo presenta 0’s y se llama contingente si

presenta 0’s y 1’s. Si presenta al menos un 1 en su matriz principal, el esquema se

llama consistente. Los esquemas tautológicos y contingentes son consistentes.

Ejemplo 1.21

(a) p q p q

p q p q p q

1 1 0 0 0 0 1

1 0 0 0 1 1 0

0 1 1 0 0 1 0

0 0 1 1 1 0 0

Los números indican el orden en que se rellenan las columnas de la matriz de

valores de la tabla de verdad.

El esquema es contingente, luego es consistente.

(b) p q q p

p q p q q p

1 1 1 0 0 1 0

1 0 0 0 1 1 0

0 1 1 0 0 1 1

0 0 1 1 1 1 1

El esquema es tautológico, luego es consistente.

(c) p q p q q



1

2 2

3

4

1 1

5

p q p q p q q

1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0

1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1

2 2 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0

3 3 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1

El esquema es contradictorio.

1.6.2 Mediante el método abreviado

Este método se basa en la definición de los conectivos mediante su tabla de

verdad. Usualmente se usa para evaluar esquemas implicativos, así que funciona

como un método para determinar la validez de un argumento. Recordemos que

nuestro objetivo es determinar la validez o invalidez de argumentos deductivos.

Debido a las limitaciones de este texto, no entraremos en detalles en la inferencia

lógica, pero lo que sí será posible realizar con lo desarrollado hasta ahora es esto:

una vez formalizado el argumento, procederemos a determinar su validez mediante

la evaluación de su matriz de verdad. Si es una tautología, el argumento será válido.

Basta que aparezca un 0 y el argumento será inválido. Te darás cuenta que aunque

siempre va a funcionar, no siempre es lo más práctico, pues si el número de

fórmulas smmples es elevado, el número de filas aún más. En estos casos lo más

práctico es utilizar el método abreviado. Aunque casi siempre se emplean con

implicaciones, esto no es una restricción. Si al encontrar los valores de verdad

individuales de las variables no obtenemos contradicciones, el esquema es válido,

de lo contrario será inválido. Los siguientes ejemplos aclaran esto.

Ejemplo 1.22

(a) El siguiente esquema p q q r p r .es falso, hallar el valor

de verdad de p r q

Se tiene que:

F FV FVV

F

V

V

p q q r p r F

.

Analiza por qué se colocan de esa manera los valores V y F . Todo está

basado en sus tablas de verdad. Observamos que no hay contradicción en

los valores de verdad encontrados para ,p q y r . Si este esquema fuera la

formalización de un argumento, dicho argumento sería válido. Además, nos

ahorramos una matriz de 8 filas.



Luego p r q F F V V .

(b) Si p F, q V, r F , hallar el valor de verdad del esquema

p q r p r

Sólo basta evaluar los valores de verdad y no construir toda la tabla y ubicar

la fila donde las variables tengan esos valores. Entonces tendremos lo

siguiente: p q r p r F V F V F F V V

(c) Si la proposición p s q r es verdadera. Hallar el valor de

verdad de:

q r p s y q r p s p

Se tiene que:

V V

p s q r V

.

Entonces q r p s q r p s F F V

Además

V

q r p s p q r p s p

q r p s p F p s p V

19/01/2012

Subtítulo


1. Sean las proposiciones 3p(x) x es un número par.

q(y) y es un número primo.

r(z) z es divisor de 60.

Indicar los valores de verdad de las siguientes proposiciones:

(a) p(1) r(7)

(b) q(11) p(1) r(2)

2. Si la proposición p q r s es falsa. Indicar el valor de verdad de las

siguientes proposiciones:

(a) p q r

(b) s p

(c) q r r



3. Al resolver la tabla de verdad de: p q p q , indicar el resultado de la

matriz principal.

4. De: p q p r q r , se afirma que es Tautológico, contradictorio,

contingente.

5. Si la proposición compuesta: p r r q es verdadera, hallar el valor

de verdad de r , p y q respectivamente.

6. Si la proposición p q q r es verdadera. ¿Cuáles de las siguientes

afirmaciones son ciertas?

(a) p q es verdadera.

(b) r q es falsa

(c) p r es falsa.

7. Si p q p p r s q es verdadera. ¿Cuáles son los valores de p

, q , r y s respectivamente?

8. Si p q es falsa, m n es falsa y r x x es falsa. Determinar los

valores de verdad de:

(a) p q

(b) m n

(c) r p q

9. El siguiente esquema p p p q tiene como características:

(a) No es tautológico. (b) No es contradictorio. (c) Su matriz principal es 0111. (d) Su matriz principal no es 0011.

10. Si

x : número de valores verdaderos en la matriz principal de A. y : número de valores falsos en la matriz principal de A.

Siendo A: p q q p

Hallar 2 2 3x y. x y x

11. Si p q es falso y q r es verdadera, se puede afirmar que:

(a) p q r es verdadero.

(b) q r p q es falso.

(c) r q p es falso

12. Del siguiente diagrama:



x

A B

C

yz

p : x A C

q : y A B C

r : z A B C

Hallar los valores de verdad de:

(a) p q r

(b) p q r

(c) p q p r

13. Evaluar el siguiente esquema molecular y diga cuántos 1’s tiene su matriz principal:

p q r r q p

14. Sean p,q,r y s proposiciones tales que: p q es verdadera, q es falsa.

Encontrar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

(a) p q r s

(b) q p r r s

(c) p q r s r s s

15. Si la proposición: p q r s es falsa, el valor de verdad de las

proposiciones p,q,r y s es:



1. Dadas las proposiciones: r,s,w y la proposición compuesta: p q t q que

es verdadera. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?

(a) t s w q w

(b) p t s q w s

(c) t q r p q

2. De la falsedad de: p q r s , hallar los valores veritativos de p,q,r y s .

3. Si p q F , q t F . ¿Cuáles de las siguientes proposiciones compuestas tienen

el valor verdadero?

(a) p t s

(b) p q p p q t

(c) p q t p q q t

4. Sean las proposiciones:

p : 2x 1 es un término algebraico

q :El grado de 2x 1 es dos

Determinar el valor veritativo:

(a) p q q p

(b) p q q p

5. Sabiendo que p es verdadero y la proposición p s q r p r es

verdadera, hallar los valores de s y p s r .

6. Si el siguiente esquema es falso q p s r p r , hallar los valores de

p,q y r respectivamente.

7. Dados los siguientes esquemas verdaderos: p q p r , p q

Calcule los valores veritativos de p,q y r

8. Sabiendo que: p q F y q r F

Da el valor de verdad de:

(a) p r q r q

(b) p q r s

(c) p r q s q

9. Si la expresión: p q r q es falsa, las siguientes proposiciones son:



(a) p s p q

(b) r t p q

(c) r p q p

10. De la falsedad de: p q r s , halle el valor de los siguientes esquemas:

(a) q s p

(b) r s p q

11. Si la expresión: p q r p es falsa, las siguientes proposiciones son:

(a) p s p q

(b) r t p q

12. Un esquema molecular es tautología cuando su matriz está constituida:

a) Sólo por valores falsos. b) Sólo por valores posibles. c) Sólo por valores verdaderos. d) Por valores falsos y verdaderos. e) Por valores necesarios y falsos.

13. Si la proposición: p q q p q r es falsa. Determine el valor

de verdad de las siguientes proposiciones:

(a) p q q p q r

(b) p q r q

(c) p r q r

14. En relación a la proposición compuesta: S: p q r p q r , se

puede afirmar que: S es una contradicción. S es una contingencia. S es una tautología.

15. Deducir el valor de verdad de p, q y r en el siguiente esquema:

p q r q si es falso.

16. Sean p,q y r proposiciones tal que: r q r p sea falsa.

Hallar los valores de:

(a) p q r q

(b) q p r p r s

17. Si 2p x : x 16 0 ; q x : x 12 0 ; 2r x x 9

Hallar el valor de verdad de:

(a) p 2 q 2 r 4

(b) p 4 r 5 q 4

(c) p(1) p(3) r(2) p(3) p(2) q(2)



18. Si 3p x : x 27 ; 2q x : x 9 ; r x : x 10

Hallar el valor de verdad de:

(a) p 1 q 12 r 3 r 3

(b) p 0 q 1 r 5 r 6 r 0

(c) p(3) p(2) r 2 q 3 q(3) p( 3)

19. Admitiendo la falsedad de: p q r s t u . Hallar el valor de verdad de:

(a) p s q t u

(b) p q q s r u

(c) (p q) (r w) ( q u) p q q s

20. Si p 0 , q 1 , r V

Evaluar: r s q p s p



EQUIVALENCIAS LÓGICAS

Las matemáticas pueden ser definidas como aquel tema

del cual no sabemos nunca lo que decimos

ni si lo que decimos es verdadero.

BERTRAND RUSSELL

Introducción

Todos los números naturales pueden ser escritos empleando únicamente el 1. Por

ejemplo, si queremos escribir el 9, sólo tenemos que escribir 1+1+1+1+1+1+1+1+1.

Claramente salta a la vista el hecho de que esto no es práctico para números muy

grandes. Felizmente, para nosotros, nuestra sistema de numeración contempla

abreviaturas de estas sumas. Así, 2 = 1+1, 5 = 1+1+1+1+1 y así sucesivamente.

Algo similar sucede en lógica. Una de las reglas de formalización era colocar la fórmula

tal y como aparece en el lenguaje. Así, una doble negación como p debe ser escrita

como tal, aunque intuitivamente veamos que esto equivale a una afirmación. Queda no

obstante una duda válida: y ¿si esa equivalencia que intuimos no es válida para alguna

proposición p ? Es ahí donde sirven de mucha utilidad las tablas de verdad. De eso nos

ocuparemos en esta sección.

1.7 Leyes de Equivalencia

La equivalencia lógica entre fórmulas lógicas se refiere a la igualdad entre los

valores de verdad finales de su matriz principal. Todas las equivalencias son del tipo

tautológico.

Las leyes de equivalencia son esquemas con una estructura característica que

permiten simplificar esquemas más complejos sin recurrir a la comprobación por

tablas de verdad. Cada equivalencia recibe un nombre particular. En la tabla 1.18 se

enlista cada una. Los conectivos que aparecen al costado del nombre de la ley,

indica los conectores a los que se aplica dicha ley. Si no aparece ninguno, la ley es

aplicable a aquellos conectivos que aparecen en la definición.



Observemos la definición del implicador p q . Es verdadera si y sólo si la

disyunción p q también lo es, es decir, si p q es falsa. Relacionemos

esto con la implicación material: es falso que el antecedente sea verdadero y el

consecuente falso.

La ley de complemento A A V se denomina la ley del tercio excluido:

una proposición es verdadera o falsa, pero debe ser una de ellas.

Nombre de la

equivalencia DEFINICIÓN

01 Doble

Negación

A A

A A

A A

A A

02 Leyes de

Morgan

A B A B

A B A B

A B A B

A B A B

03 Conmutación

, , ,

A B B A

A B B A

A B B A

A B B A

04 Contraposición

, , ,

A B B A

A B B A

A B B A

A B B A

05 Asociación

, , ,

A B C A B C A B C

A B C A B C A B C

A B C D A B C D

A B C D A B C D

06 Distribución

A B C A B A C

A B C A B A C

A B C A B B A

A B C A B B A

07 Absorción A B A A

A B A A B

A B A A

A B A A B

08 Definición del

Implicador A B A B A B A B

09 Definición del

Biimplicador

A B A B B A

A B A B A B

A B A B

A B A B

A B A B

A B A B

10

Definición del

disyuntor

excluyente

A B A B A B

A B A B

11 Exportación A B C A B C

12 Mutación A B C B A C



13 Idempotencia A A A A A A

14 Complemento A A F A A V

15 Identidad A V A

A F F

A V V

A F A

16 Ley de

Expansión

p p s s

p q p p q

p p t t

p q q p q

Ejemplo 1.23

(a) Dado el esquema molecular p q , el esquema equivalente es:

a.1 p q q p

a.2 p q q p

a.3 p q q p

a.4 p q q p

a.5 p q q p

Aplicamos la siguientes leyes lógicas:

p q p q Definición de la disyunción

excluyente

p q q p Definición del biimplicador

p q q p Definición del implicador

p q q p Ley de Morgan

Por lo tanto a.2 sería equivalente a p q

(b) Hallar un equivalente a proposición: “Dado que la combinación de colores

influye en el comportamiento es obvio que, si los niños pasan muchas horas

mirando la televisión entonces tendrá un comportamiento autista”.

p :La combinación de colores influye en el comportamiento

q :Los niños pasan muchas horas mirando la televisión

r : Los niños tendrán un comportamiento autista

Dado que…………..es obvio que, si……………entonces……….

Fórmula lógica: p q r

Aplicando la ley de mutación, obtenemos el equivalente

q p r

Que traducido al lenguaje natural es:

“Puesto que los niños pasan muchas horas mirando la televisión se infiere

que , si la combinación de colores influye en el comportamiento entonces los

niños tendrán un comportamiento autista”.

Tabla 1.18. Leyes de equivalencia lógica.



2 2

3

1 1

(c) Demostrar que la ley exportación es una ley de equivalencia

Lo haremos por los dos métodos

Método de tablas de verdad

p q r p q r p q r

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 1 1 1 1

0 1 1 0 1 1 1 0 1 1

0 1 0 0 1 0 1 0 1 0

0 0 1 0 1 1 1 0 1 1

0 0 0 0 1 0 1 0 1 1

La fórmula es una tautología, por lo tanto es una ley de equivalencia lógica.

Método abreviado

Para esto, suponemos que la fórmula es falsa. Este método también se

conoce como reducción al absurdo (aplicado a las implicaciones por

supuesto). Procedemos a calcular los valores de verdad de las variables.

0 011 1

0

0

01

0

1

1

p q r p q r

Observamos que al suponer la falsedad de la fórmula, obtenemos en el lado

izquierdo los valores v p v q 1,v r 0 , pero estos valores generan

una contradicción en el lado derecho. Por lo tanto, no puede ser falsa, en

consecuencia es verdadera.

1.8 Simplificación de esquemas moleculares

Las leyes de equivalencia demuestran su utilidad al simplificar expresiones

extensas.

Ejemplo 1.24

(a) Simplificar

p q q q p p q



p q q q p p q

p q q p q Absorción

p q q p q Asociativa

p q q Absorción

q Absorción

(b) Simplificar p q q p

p q q p

p q q p Definición del implicador

p q q p Doble negación

p q Idempotencia

q p

Definición del implicador

19/01/2012

Subtítulo


1. Relaciona correctamente los números con las letras respectivas:

1. p q q p A. Asociativa.

2. p q r p q r B. Conmutativa.

3. p q r p q r C. Ley de Involución.

4. p p D. Ley distributiva.

5. p q r p q p r E. Exportación.

2. Simplificar la siguiente fórmula: p q p

3. Simplificar: q r p p

4. Simplificar la siguiente fórmula: p q q p

5. Evaluar el esquema siguiente: p q p q

6. Simplificar la fórmula siguiente: p q p q p

7. De la proposición “ p q ”, señalar podemos afirmar que.

a) La proposición recíproca es “ q p ”

b) La proposición contradirecta es “ q p ”

c) La recíproca de la contradirecta es “ p q ”

d) La contrarecíproca es “ q p ”



8. Simplificar: p q r q p r

9. La proposición: p q q r equivale a:

10. ¿Cuántas falsas y cuántas verdaderas tiene el resultado de la tabla de verdad de:

p q r p p , después de simplificarlo?.

11. Simplificar: p q r q r p r r p

12. Reducir al máximo la siguiente proposición:

p q p q p p q

13. Reducir a su mínima expresión: p q q p

14. Simplificar: p q p q p q q p

15. La fórmula: p q q r r p ; equivale a:

16. Simplificar: p q r p q r

17. Simplificar: p q r q p p q r p q

18. El siguiente esquema molecular: p p q equivale a:

19. El esquema formal: p q q p . tiene como fórmula equivalente a:

Bibliografía

Bunge, M. (1997). La Ciencia su método y su filosofía.Buenos Aires: Sudamericana.

Copi, I. y Cohen, C.(1999). Introducción a la lógica. Mexico: Limusa.

Copi, I. (1968). Introducción a la lógica. Argentina:EUDEBA

logica proposicional

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