UNIVERSIDAD SAN PEDRO FACULTAD DE INGENIEÍA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

Cajamarca Dr. Sc. Maximiliano Cóndor Huamán

Proposiciones Lógicas

La lógica proposicional estudia las leyes lógicas que existe entre las proposiciones a través de ciertos operadores proposicionales. Es imposible no hablar de las proposiciones lógicas en la lógica moderna; veamos algunos conceptos básicos de este tema. I) Noción de Proposición.- Es una expresión lingüística, con

sentido completo que se puede determinar si son verdaderos o falsos.

Una proposición lógica es enunciada mediante oraciones aseverativas que pone de manifiesto la función informativa del lenguaje.

Esto trae como consecuencia lo siguiente: 1. Son proposiciones lógicas:

- Las fórmulas científicas ya demostradas. Ejemplo:

(a + b)2

=a2+2ab+b

2 ; a ,b R

- Las leyes o hipótesis científicas aceptadas. Ejemplo:

“Todo cuerpo ejerce una fuerza de atracción sobre otro”

- Los enunciados cerrados o definidos. Ejemplo:

+ + = 180° , si , y = s internos de un mismo triángulo.

x + y = 50 ; si x = 10 , y = 30

- Las oraciones informativas. Ejemplo:

“Toda materia posee masa”

- Las oraciones descriptivas. Ejemplo:

“Los caballos poseen una cola y 4 patas”

- Las oraciones explicativas. Ejemplo:

“Si comienza a llover, entonces las calles se mojarán”

2. No son proposiciones lógicas:

- Las creencias, mitos o leyendas. Ejemplo:

“Dios es un ser misericordioso”

“Manco Cápac y Mama Ocllo fueron enviados por el sol”

- Las metáforas o refranes. Ejemplo:

“El Perú es un mendigo sentado en un banco de oro”

“Has el bien, sin mirar a quién” - Las supersticiones. Ejemplo:

“Hoy día me irá muy mal por ser Martes 13”

- Los hechos de la literatura o personajes ficticios. Ejemplo:

“Romeo y Julieta murieron por amor”

Superman es muy valiente.

- Hechos discutibles : La moral, la belleza, los valores. Ejemplo:

La sinceridad es lo más valiosos de un hombre.

Las canciones de “Alejandro Saenz” son muy bonitas

El es digno de este trabajo

- Los enunciados abiertos o indefinidos. Ejemplo:

+ + = 180°

x = y si y solo si x = 2

- Las oraciones exclamativas. Ejemplo:

“Hoy es un día maravilloso”

- Las oraciones desiderativas. Ejemplo:

Quisiera viajar este año a Europa.

- Las oraciones dubitativas. Ejemplo:

Posiblemente este año ingrese a la universidad.

- Las oraciones interrogativas. Ejemplo:

¿Cuántos años tienes?

- Las oraciones imperativas : ordenes, súplicas, prohibiciones, consejos. Ejemplo:

Soldado Pérez ...... Venga rápidamente

Por favor; ¿Podrías prestarme dinero?

Levántate y sigue adelante, nunca mires atrás. II. Estructura de una Proposición:

Sujeto – verbo – predicado Observaciones:

1) El verbo o cópula generalmente es el verbo ser o estar en cualquiera de sus tiempos.

Ejemplo: “Roxana es una deportista disciplinada” “Chimbote está entre Trujillo y Casma” “José estudia incansablemente” (Verbo implícito; es como

decir: José está estudiando incansablemente) 2) El algunas proposiciones no aparece el sujeto; pero éste

queda implícito en la oración (recordar que una proposición es sólo significado).

Ejemplo: “Actualmente estoy preparándome en la Academia

Integralclass” ..... sujeto: Yo “Amanece” ...... sujeto: Hoy

III. Propiedades de una Proposición:

1. Según su cantidad:

Universal: Si el sujeto está acompañado de la

palabra “todos” Ejemplo: “Todos los alumnos son estudiantes”

- 2 - SAN PEDRO

“Todo hombre es honesto “ “Todos los historiadores son investigadores” “Todo medico es cirujano” Particular: Si el sujeto está acompañado de la palabra

“algunos”

Ejemplo: “Algunos actores son cómicos” “Algunas personas honestas son políticas “ “Algunos estudiantes son universitarios” “algunos niños son intranquilos” Singular (Individual): Si el sujeto adopta un nombre

propio.

Ejemplo: “Trujillo es llamado la Capital de la Primavera”

“M. Grau es el héroe del combate de Angamos”

“G. Mendel es el padre de la Genética” 2. Según su calidad:

Afirmativo: Si el verbo está afirmado. Ejemplo: “La lógica es una ciencia formal” Negativo: Si el verbo se encuentra negado. Ejemplo: “El saber no es propio de todo ser humano”. 3. Por su Modalidad:

Asertórico: Cuando expresan un grado de certeza; su valor de verdad se puede determinar comparándolo con la realidad inmediata. Son enunciados que describen hechos.

Ejemplo: “Cristóbal Colón descubrió el continente Americano”. “Los insectos carecen de huesos”. Apodíctico: Expresan un grado muy fuerte de certeza o

de seguridad; de carácter obligatorio o necesario, su valor de verdad se puede determinar por el análisis lógico de la proposición.

Ejemplo: “Todo niño tiene que ser ingenuo”

“si a = b a + c = b + c”

“p q - q - p” Problemática: Expresa un grado débil de certeza, su

verdad no se puede determinar de manera inmediata, requiere de cierto tiempo o circunstancias.

Ejemplo: “Mañana posiblemente será un día nublado”. “Existe vida en otras galaxias”.

IV. Clases de Proposiciones 1. Proposiciones Simples o Atómicas: Carecen de conector

lógico, y pueden ser:

A. Predicativas: Cuando se le atribuye alguna cualidad al sujeto (utiliza el verbo SER en cualquiera de sus tiempos)

Ejemplos: Carlos Marx fue el creador del Materialismo Dialéctico. Gregorio Mendel es el padre de la Genética. B. Relacionales: Cuando se compara un sujeto con otro

mediante una relación que puede ser de orden, tiempo, espacio, parentesco, acción, etc.

Ejemplo:

La selección Peruana jugó un partido intenso con su similar de Argentina. relación de acción.

Vallejo y Mariátegui fueron contemporáneos.

relación de tiempo. José es el hermano mayor de Juan.

relación de parentesco. 2. Proposiciones Compuestas o Moleculares (Coligativas):

se caracterizan principalmente porque poseen conectores lógicos.

A. El Conector Lógico: Es un término que sirve de enlace

entre proposiciones o le cambian el sentido de verdad.

B. Principales Conectores Lógicos: El negador: “ ............ no .............. “ El conjuntor: “ ............ y .............. “ El disyuntor: “ ............ o .............. “ El condicional: “Si ....... entonces .........“ El bicondicional: “.......... si y sólo si ..........“ El inalterador: “ ni ............ ni .............. “ El Incompatibilizador: “ no ............ o no .............. “

EJERCICIOS RESUELTOS

01. Los siguientes enunciados son proposiciones lógicas

1) ¡Silencio por favor! 2) ¡Siéntate ahora! 3) Regresaré pronto 4) Ojalá apruebe matemática 5) ¡Ay!

Son correctas :

A) 1,2,3 B) 2,3,4 C) 3,4,5

D) Todas E) N.A.

SOLUCIÓN

1) No es una proposición lógica ya que se trata de una

oración interrogativa.

2) No es una proposición lógica ya que se trata de

una orden.

3) No es una proposición lógica ya que se trata de un

enunciado informativo.

4) No es una proposición ya que se una oración

desiderativa

5) No es una proposición ya que se trata de una

oración exclamativa

CLAVE “E”

02. Son proposiciones simples:

- 3 - SAN PEDRO

1) Si llegas temprano haremos fiesta. 2) Trabajas o juegas. 3) O tienes sed o tienes hambre. 4) La lluvia moja la pista. 5) La uva es cereal.

Son incorrectas :

A) 1,2,3 B) 2,3,4 C) 3,4,5

D) 1,3,5 E) N.A.

SOLUCIÓN

Formalizando las proposiciones :

1) A B .... (Proposición molecular).

2) A B .... (Proposición molecular).

3) A B .... (Proposición molecular).

4) A .... (Proposición simple)

5) A .... (Proposición simple)

CLAVE”A”

03. Son proposiciones los siguientes enunciados:

1) Cinco es un número par. 2) Dios mío, ayúdame. 3) Ojalá ingrese a la “U” 4) Fujimori es presidente. 5) 8 + 5 = 12

Son correctas:

A) 1,2,3 B) 2,3,4 C) 3,4,5

D) 1,3,4 E) 1,4,5

SOLUCIÓN

1) Sí es proposición ya que es un enunciado

matemático

2) No es proposición ya que es una oración

interrogativa

3) No es una proposición ya que es una oración

desiderativa

4) Sí es una proposición ya que es un enunciado

informativo

5) Sí es una proposición ya que es un enunciado

matemático

CLAVE “E”

04. Son proposiciones individuales:

1) La Luna tiene desiertos. 2) La Tierra es estrella vieja. 3) El sol es un planeta. 4) Lima es capital de Chile. 5) Santiago es capital del Perú.

Son incorrectas:

A) 1,2,3 B) 2,3,4 C) 3,4,5

D) Todas E) N.A.

SOLUCIÓN

Las proposiciones individuales son las proposiciones

simples:

Formalizando las proposiciones:

1) A 2) A 3) A

4) A 5) A

Si nos damos cuentas las proposiciones son simples o

llamadas también individuales.

CLAVE”E”

05. Son proposiciones moleculares:

1) No solamente río, sino también lloro. 2) Al llover, la cosecha será muy buena. 3) Si hay oro, seremos millonarios. 4) Siempre que haya producción, habrá empleo. 5) O bien postulo a la “U” o bien trabajo.

Son correctas:

A) 1,2,3 B) 2,3,4 C) 3,4,5

D) Todas E) N.A.

SOLUCIÓN

Formalizando las proposiciones:

1) A B .... (Proposición molecular).

2) A B .... (Proposición molecular).

3) A B .... (Proposición molecular).

4) A B .... (Proposición molecular).

5) A B .... (Proposición molecular).

CLAVE “D”

06. Son términos dependientes:

- 4 - SAN PEDRO

1) Los, luego, entonces 2) Siempre, obvio, de allí que 3) Salvo que, o en todo caso 4) También, incluso. 5) Se contrapone, es equivalente.

Son incorrectas:

A) 1,2,3 B) 2,3,4 C) 3,4,5

D) Todas E) N.A.

SOLUCIÓN

Los términos dependientes son aquellos que para tener

significado necesitan estar acompañados de un

concepto.

Entre los términos dependientes tenemos a los

conectores.

Por lo tanto son términos dependientes : Los, luego,

entonces, siempre, obvio, de allí que, salvo que, o en

todo caso, también, incluso, se contrapone, es

equivalente.

CLAVE “D”

07. Son términos independientes:

1) Si, luego, entonces 2) Mujer, carro, avión 3) Al, de, siempre 4) Sol, nido, tierra 5) Jarra, casa, lobo

Son correctamente incorrectas, salvo:

A) 1,2,3 B) 2,3,4 C) 3,4,5

D) 1,3,5 E) 2,4,5

SOLUCIÓN

Los términos independientes son aquellos que tienen

significado propio por sí solos.

Entre los términos independientes están los conceptos.

Por lo tanto son términos independientes : Mujer, carro,

avión, sol, nido, tierra, jarra, casa, lobo

CLAVE “E”

08. Son proposiciones atómicas:

1) El Nilo es río americano. 2) El Amazonas es río africano también americano. 3) El Misti es un nevado incluso un volcán. 4) La Universidad Nacional de Trujillo es institución

pública. 5) El Instituto Nacional de Cultura es institución

privada.

Es absurdamente falsas:

A) 1,2,3 B) 2,3,4 C) 1,4,5

D) 1,3,5 E) 3,4,5

SOLUCIÓN

Formalizando las proposiciones:

1) A .... (Proposición atómica).

2) A B .... (Proposición molecular).

3) A B .... (Proposición molecular).

4) A .... (Proposición atómica).

5) A .... (Proposición atómica).

CLAVE “C”

09. Son proposiciones moleculares:

1) 2 es un número y representa dos unidades. 2) La palabra “lima” tiene varios significados. 3) 5 es un número primo e impar. 4) Al ser hoy día jueves, el viernes será mañana. 5) Los institutos son instituciones de educación

superior.

No son correctas, excepto:

A) 1,2,3 B) 2,3,4 C) 3,4,5

D) 1,3,4 E) 2,4,5

SOLUCIÓN Formalizando las proposiciones :

1) A B .... (Proposición molecular). 2) A .... (Proposición atómica).

3) A B .... (Proposición molecular).

4) A B .... (Proposición molecular). 5) A .... (Proposición atómica).

CLAVE “D” 10. Son proposiciones conjuntivas. 1) Los alumnos del colegio Integral son muy estudiosos y

dedicados. 2) Los peruanos son ciudadanos civilizados. 3) Los animales vertebrados son carnívoros y ovíparos. 4) Es falso que los estudiantes de la UNT son negligentes. 5) No solamente el mercurio es un metal sino también el

bromo. Son ciertas :

- 5 - SAN PEDRO

a) 1, 3 y 5 b) Sólo 1 y 3 c) 3, 4 y 5 d) 1, 2 y 3 e) Todas SOLUCIÓN Formalizando las proposiciones :

1) A B ….( Proposición conjuntiva) 2) A …. ( Proposición simple)

3) A B ….( Proposición conjuntiva)

4) A … ( Proposición negativa)

5) A B ….( Proposición conjuntiva)

CLAVE “ A “

PRACTICA DE CLASE 01. Las proposiciones: 1. Tienen carácter bivalente 2. Son mandatos u ordenes 3. Tienen sentido completo 4. Algunas son informaciones completamente falsas 5. Son los enunciados abiertos Son ciertas: a) 1,2,3 b) 2,3,4 c) 3,4,5 d) 1,3,4 e) 1,2,4 02. Todas proposición lógica puede ser: 1. Oración Interrogativa 2. Oración Aseverativa 3. Fórmula Científica 4. Enunciado Indefinido 5. Oración Informativa

Son ciertas:

a) 1,2,3 b) 3,4,5 c) 1,2,5 d) 2,3,5 e) 1,4 03. De las siguientes oraciones, son proposiciones lógicas: 1. Einsten es el creador de la Física Clásica 2. Rocinante es el caballo de Don Quijote 3. Francisco Pizarro fue natural de Inglaterra 4. ¿Ingresaré a la Universidad? 5. Ningún número par es divisible por dos.

Son correctas: a) 1,2,3 b) 2,3,5 c) 1,3,5 d) 2,3,4 e) 1,4,5 04. De las siguientes expresiones ,son proposiciones logicas: 1. “EE.UU. se encuentra entre Francia y España” 2. “Macondo fue la ciudad donde vivió Aureliano Buendía” 3. “Ojalá pudiese ingresar a la Universidad” 4. “Simón Bolívar fue el héroe de Arica” 5. “La educación Peruana es bonita” Son ciertas: a) Todas b) 1,2,4 y 5 c) 1,4 y 5 d) 1 y 4 e) N.a. 05. (UNT. 1998) De las siguientes expresiones:

1. El mundo es ancho y ajeno 2. A rincón quita calzón 3. Acércate 4. Rezando cambiará tu suerte 5. Bésame No son proposiciones lógicas: a) Sólo 1 y 2 b) Todas c) Sólo 4 d) Sólo 3 y 5 e) N.a 06. “Si como mucho entonces engordaré”, cumple la función : a) Descriptiva b) Dubitativa c) Explicativa d) Exclamativa e)Directiva 07. Dados los sgtes. enunciados: 1. En tus ojos veo mi futuro 2. Mas vale pájaro en mano que ciento volando 3. El Coronel Aureliano murió en una profunda soledad 4. Todas los caminos conducen a Roma 5. Espero algún día llegar a conocerte mejor Son proposiciones lógicas: a) 1,2,3 b) 2,3,4 c) 4,5,1 d) 3,4,5 e) N.a. 08. De los siguientes enunciados, no representan a una

proposición lógica: a) George Boole fue el creador del Lenguaje simbólico b) Aristóteles fue el autor de la obra “Organón” c) Isaac Newton era una persona maravillosa d) Carlos Marx fue un representante del Materialismo

Dialéctico e) N.a. 09. Es una proposición simple : a) Javier y Enrique estudian en la Universidad b) Verónica es vecina de Carlos y Rodolfo c) Perú no clasifico al Mundial de Francia 98 d) Jenny y Flor son compañeras de carpeta e) N.a. 10. De las siguientes proposiciones son compuestas: 1. Melissa, Blanca y Carol son estudiantes 2. Todo átomo no puede ser indivisible 3. Perú y Bolivia son países vecinos 4. Ayer trabaje. Hoy descanso 5. Te amo en cuerpo y alma Son innegablemente inciertas: a) 1,2,4 b) 2,5 c) 2,3,5 d) 3,5 e) N.a. 11. Las expresiones : (UNT. 1998) 1. ¿Por qué existen tantos postulantes a la UNT? 2. Soldado Pérez, ¡Cuadrase! 3. El sol es amarillo, además es anaranjado 4. Amar es nunca tener que pedir perdón No son proposiciones lógicas simples: a) Sólo 1,3 y 4 b) Sólo 2,3 y 4 c) Sólo 1, 3

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d) Sólo 1,2,4 e) Todas 12. No representa a una proposición relacional: a) Víctor y Carmen son novios b) Carla, Elissa y Erika estudian juntas c) Perú esta entre Ecuador y Chile d) La matemática es ciencia formal así como la lógica

también lo es. e) Todas 13. Son proposiciones lógicas simples 1. La radio es un medio de comunicación y distracción 2. Venus y Marte son planetas de nuestro Sistema Solar 3. El Perú es un mendigo sentado en un banco de oro 4. La Historia es una ciencia Fáctica 5. “Lo Fatal” es un poema de Rubén Darío Son correctas, excepto: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 14. (UNT 1995) De las proposiciones siguientes es relacional: a) Ellas son extranjeras b) Mireya come una manzana c) Nosotros somos Peruanos d) Juana es Chimbotana e) Lee y escribe 15. Una proposición ........................... se caracteriza porque

.................................... a) Sencilla - siempre es relacional b) Lógica - es expresiva c) Coligativa - posee conectores lógicos d) Atómica - se puede separar e) N.a. 16. La expresión : ¿Algún día lograré ingresar a la Universidad?,

es: 1. Una proposición lógica 2. Oración informativa 3. No es proposición lógica 4. Oración indefinida 5. Oración Directiva Son ciertas: a) 2,3 y 5 b) 1,3 y 4 c) 2,4 y 5 d) 3 y 5 e) Sólo 3 17. De los siguientes enunciados, es una proposición lógica:

a) ¡Mira que hermoso país! b) A mal tiempo buena cara. c) La razón es una facultad humana. d) Riñe al perro. e) Espero que ingreses a la Universidad.

18. Las siguientes expresiones:

1. Alejandro Toledoi es presidente del Perú.

2. 22OH es la fórmula del agua oxigenada.

3. El día de ayer llovió en Trujillo. 4. ¡Dios mío! que pobreza. 5. Caperucita Roja se escapó del lobo.

No son proposiciones lógicas, excepto: a) 1,2,3 b) 1,3,4 c) 2,3,5 d) 3,4,5 e) 2,3,4

19. Son proposiciones compuestas:

1. Egipto pertenece al continente africano. 2. Leonardo Da Vinci fue físico y pintor. 3. Si corro, transpiro. 4. José Carlos Mariátegui es el mejor ensayista del Perú 5. Si llueve, las casas se mojan. Son ciertos: a) 2,4,5 b) 1,2,3 c) 3,4,5

d) 1,3,5 e) 2,3,5 20. De las siguientes oraciones:

1. El producto de potencia igual base es otra potencia de la misma base.

2. La chilindrina es un excelente personaje del Chavo del Ocho”.

3. Solución es una institución financiera. 4. ¿Recuperaré mi dinero? 5. Ningún número primo es divisible por cinco” Son proposiciones lógicas, excepto: a) 1,2,3 b) 2,3,5 c) 2 y 4

d) 1,3,5 e) 1,3,4 21. La proposición: “Si Grau es peruano necesariamente es

americano”. Es: 1. Problemática 2. Apodíctica 3. Compuesta 4. Individual 5. Asertórica

De las anteriores afirmaciones son ciertas: a) 1,2,3 b) 1,3,5 c) 2,3,4 d) 2,4,5 e) 3,4,5

22. Dados los siguientes enunciados:

1. Cuando el río suena es porque piedras trae. 2. Sólo Dios sabe cuánto te quiero. 3. Aquella noche me la llevé al río creyendo que era

mozuela. 4. Algún día llegaré a ser un gran profesional. 5. Robin es el compañero inseparable de Batman. No son proposiciones lógicas: a) 1,2,3 b) 2,3,4 c) 3,4,5 d) Todas e) Ninguna

23. Analizando los enunciados: I. x = y si x = 2

II. x > 0 , x N

III. p q - q - p Podemos decir que:

1. Hay dos proposiciones lógicas 2. II es un enunciado abierto 3. I es una proposición compuesta 4. III es una proposición relacional

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5. Sólo hay una proposición lógica Son ciertas: a) 1 y 2 b) 2 y 4 c) 2 y 5

d) 4 y 5 e) 1 y 4 24. No representa a una proposición lógica: a) Giovana es una mujer supersticiosa b) Ella es supersticiosa en el amor c) Es supersticiosa desde su niñez d) Las supersticiones no son proposiciones lógicas e) N.A. 25. Son proposiciones lógicas

1. 222 b 2ab a b)(a

2. Todo S es P

3. 222 b a c ; c=hipotenusa a, b = catetos )

4. x Z , x > 0

5. a + b = 50 siempre y cuando a, b R x No son inciertas: a) 1,3,4 b) 1,2,3 c) 2,3,5

d) 1 y 4 e) todas 26. ¿Cuál de las siguientes expresiones es una proposición

molecular?

a) “El sol es el centro del sistema planetario” b) “Las aves trinan al atardecer en primavera” c) “Oh, mi amor. ¡cuánto te quiero! d) “Romeo amo apasionadamente a Julieta” e) “Si se estudia lógica, se ingresa a la universidad”

27. De las siguientes proposiciones lógicas:

1. “San Martín y Bolívar son contemporáneos” 2. “Algunos animales no poseen extremidades” 3. “Carlos es estudioso y respetuoso” 4. “Roxana y Edith se escriben” 5. “Sócrates y Platón son filósofos” Son atómicas :

a) 1 y 4 b) 1,4 y 5 c) 2,3 y 5

d) Solo 4 e) 4 y 5 28. No son proposiciones:

1. Aureliano Buendía fue contemporáneo de Francisco Bolognesi.

2. Augusto B. Leguía fue hermano menor de José Gálvez. 3. Los cocodrilos son mamíferos. 4. Los centauros fueron carnívoros. 5. Los albatros realizan vuelos migratorios. Son no ciertas: a) 1,3,4 b) 2,3,5 c) 1,2,3

d) Todas e) 2,4,5 29. Son proposiciones:

1. El caballo de Troya tuvo un elevado costo marginal

2. El Huáscar fue hundido el 12 de Octubre de 1879 3. El Apolo XI alunizó el año 1969 por primera vez 4. Las culturas preterrícolas sufrieron grandes hecatombes 5. Las culturas prehispánicas conocieron la orfebrería. Son ciertas: a) 1,2,3 b) 2,3,5 c) 1,4,5

d) 3,4,5 e) Ninguna 30. No son proposiciones simples:

1. Alemania y Japón son países fronterizos 2. Estados Unidos y Francia son potencias económicas 3. Los osos polares viven en los trópicos 4. Sus componentes son hidrógeno y oxígeno 5. Los virus son inmortales Son ciertas: a) 1,2,3 b) 2,4,5 c) 1,3,5

d) 2,3,5 e) N.A.

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN 01. Representa a una proposición lógica:

a) Espera algún día estar cerca de ti. b) El amor es el más sublime sentimiento. c) Del odio al amor hay un solo paso. d) El que no ama no ha conocido a Dios, por que Dios es

amor. e) El amor es una facultad humana.

02. Son características de las proposiciones: 1. Pueden ser válidas o no válidas 2. Son aseveraciones 3. Es independiente del lenguaje 4. Transmiten información 5. Es la idea o mensaje que transmite una oración Son inciertas: a) 1 y 2 b) 2 y 3 c) 3 y 4 d) sólo 1 e) sólo 5 03. Una proposición lógica no puede ser: 1. Oración Imperativa 2. Oración Indefinida 3. Oración Declarativa 4. Oración Descriptiva 5. Oración Expresiva Son inciertas: a) 1,2,5 b) 2 y 4 c) 3 y 5 d) 3 y 4 e) 1,3,4 04. El enunciado: “Para todo x real, este es siempre negativo”. 1. Es proposición 2. No es proposición 3. Enunciado abierto 4. Oración informativa 5. Puede ser verdadero o falso Son ciertas: a) 2,3,5 b) 2,3,4 c) 1 y 4 d) 4 y 5 e) 2 y 5

05. Es una proposición relacional:

a) La materia es equivalente a la energía.

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b) Arturo, Miguel y César estudian Ingeniería Industrial

c) El Perú es un país no desarrollado. d) Carla y Elisa ingresaron a la misma facultad e) El espíritu y el alma son la misma cosa.

06. Representa a una proposición predicativa:

a) Los felinos son más carnívoros que los primates. b) Trujillo es una ciudad maravillosa. c) Amén es un término que significa así sea. d) Tener un buen amigo es el ideal de todo hombre. e) N.A.

07. Es una proposición coligativa:

a) Nunca jamás osaré tocarte. b) Antonio y Andrea se escriben por internet c) El peso de los cuerpos es equivalente a la fuerza de

atracción d) Te amo en cuerpo y alma e) N.A.

08. Representa a una proposición compuesta:

1. Ayer trabajé. Hoy descanso. 2. Es divertido cantar así como bailar. 3. El que yo te mire no significa que yo te quiera. 4. Alex es el hijo de Percy con Flor 5. Los opositores y oficialistas del gobierno nunca se ponen

de acuerdo.

Son ciertas: a) 1,2,3,5 b) 1,4,5 c) 1,3,5 d) Todas e) N.A. 09. Las proposiciones ......... son aquellas que ...................... 1. Lógicas – pueden ser verdaderas o falsas 2. Coligativas – carecen de conectores 3. Sencillas – no tienen conectores 4. Simples – tienen conectores 5. Lógicas – siempre tienen sujeto explícito Son correctas: a) 1 y 5 b) 2 y 4 c) 3 y 1 d) 1 y 5 e) 3 y 5 10. Representa a una proposición simple:

a) Mi anhelo es trabajar por el Perú b) La selección nacional de fútbol no clasificó al mundial

c) El amor es el más sublime sentimiento d) Todas e) N.A.

11. Es una proposición relacional: a) Nunca podré dejar de amarte. b) Violeta es una joven muy hermosa. c) Vanessa y Aida se sientan juntas. d) Javier y Fernando estudian en la UNT. e) N.A.

12. Es una proposición atómica: a) Perú y Ecuador son países sudamericanos. b) Así como llueve así también nieva. c) Soy pobre pero feliz. d) Pizarro y Almagro fueron conquistadores

e) N.A. 13. La oración: “Algunos Universitarios son necesariamente

profesionales”, será:

1. Particular 2. Asertórica 3. Apodíctica 4. Indefinida 5. Problemática Son ciertas: a) 1 y 2 b) 1 y 3 c) 1 y 5 d) 1 y 4 e) N.A.

14. Si: a = b a + c = b + c es un enunciado:

a) Asertórico b) Apodíctico c) Indefinido d) Problemático e) N.A. 15.”Existe vida en otras galaxias”, será:

a) Asertórica b) Problemática c) Apodíctica d) Universal e) Indefinida

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Formalización de Proposiciones Lógicas El análisis del pensamiento formuladas en castellano o en cualquier otra lengua natural son difíciles de evaluar, debido a la ambigüedad que a veces sufre nuestro lenguaje. El pensamiento es imperceptible por nuestros sentidos, de allí la dificultad de estudiarlos; para ello es necesario crear un Lenguaje Simbólico Artificial (formalización) el mismo que represente perfectamente el enunciado en cuestión (traducción). Es Aristóteles quien por primera vez hace uso de ciertas abreviaturas para facilitar su labor al proponer la Teoría del Silogismo, desarrollando la lógica formal; hecho que permitió se le considerara como "El padre de la Lógica Formal Antigua”. La formalización consiste en representar simbólicamente la relación que existe entre las diferentes formas del pensamiento mediante el uso de variables y constantes; las mismas que fueron descubiertas más adelante por Gotlob Frege. I. Símbolos usados en la formalización 1. Variables proposicionales

Letras minúsculas que representan a una proposición simple (p, q, r, ...).

Ejemplo: Alfredo es profesor de Raz. Lógico: p Cristóbal Colón descubrió América: q

2. Variables Metalingüísticas

Letras mayúsculas que son usadas en la representación de fórmulas u operaciones lógicas (A, B, C, ...)

Ejemplo:

A B – A v B

(A v A) A 3. Constantes u operadores lógicos

Símbolos que representan y detallan la relación que hay entre las proposiciones, regulan la construcción de una fórmula lógica, por ejemplo: “si los cuerpos se calientan entonces dichos cuerpos se dilatan”.

Su estructura lógica es: si ............ entonces ..........

El operador lógico es: () Las proposiciones son: p = los cuerpos se calientan. q = los cuerpos se dilatan La relación entre las proposiciones: causa – efecto.

Su formalización correcta: p q. Nota: Cabe aclarar que cada parte de la lógica formal trabaja con sus propios operadores lógicos; así por ejemplo, la Lógica Proposicional emplea los “Conectores Lógicos”. 4. Jerarquía de los conectores lógicos

Una fórmula proposicional adopta el nombre del conector de mayor jerarquía. Ejemplo:

- p q - r ..... fórmula condicional

- p q r -s ..... fórmula bicondicional Nota: La jerarquía de conectores pierden fuerza cuando aparecen los signos auxiliares de agrupación: ( ), [ ], { }.

LOS CONECTORES LÓGICOS I. El Negador

1. Símbolos: - A, A, A, A 2. Se lee: “no” 3. Tipos de Negadores: A) Negador Interno: “No, nunca, jamás” se le caracteriza

fundamentalmente por su carácter débil, sólo afecta a la proposición simple más cercana.

B) Negador Externo: “No es cierto que, es mentira que, es

objetable que” son de carácter más fuerte que los negadores internos; generalmente se encuentran adelante de la oración, es por ello que su representación queda indicada explícitamente fuera de un paréntesis.

Nota: - Si un término es antecedido por un prefijo de sentido

negativo; éste se le considera como un negador interno.

Ejemplo: Pablo es una persona desleal: - p Carlos Manrique es un empresario inmoral: -q

- Las expresiones lingüísticas de doble negación (inobjetable,

innegable, no es inconcebible) se formalizan como tal. Ejemplo:

Carmen inobjetablemente es profesora: p

No es mentira que Constantino fuese emperador Romano:

q.

El Negador : – A

– No A, nunca A, jamás (A) (*) – Es incompatible que A – Es inconcebible que A – No ocurre que A – No es verdad que A – No es el caso que A – No acaece que A – Es mentira que A – Es inadmisible que A – De ninguna forma se da A – En forma alguna A – Carece de todo sentido A – De ningún modo A – En modo alguno A – Es incorrecto que A – Es incierto que A – Nadie que sea A – Es objetable que A

operadores

de la lógica proposicional.

(v)

(v)

- 10 - SAN PEDRO

– Es absurdo que A – El falso que A – Es refutable que A – Es falaz que A (*) Negador Interno II. El Conjuntor

A) Símbolos: A B, A B, A x B, A.B, AB B) Se lee: “ ................. y .................. “ C) Forma de Identificarlo: Al conjuntor también se le llama

“Compatibilizador” porque une a las proposiciones en un mismo contexto; es decir ambas proposiciones se cumplen simultáneamente.

Ejemplo:

Perú así como Ecuador son países demócratas:

p q

El átomo posee neutrones, protones también electrones: p

q r

Roxana estudia al mismo tiempo que escucha música: p q Nota: Existen algunos términos de conjunción que merecen una mención particular: - No sólo la matemática es precisa sino también universal:

p q

- El ser Leninista es compatible con el ser Marxista: p q - La luna es un satélite no obstante gira alrededor de la tierra:

p q

El Conjuntor : A B

– A y B – A aunque B – A pero B – A sin embargo B – A incluso B – A es compatible con B – A así como B – A del mismo modo B – A aún cuando B – A también B – A de la misma forma que B – A al igual que B – Tanto A como B – Siempre ambos A con B – A no obstante B – No sólo A sino también B – A así mismo B – A al igual que B – A a pesar de B – A a la vez B – A más B – A con B los dos a la vez III. El Disyuntor Débil (Incluyente) A) Símbolos: A v B, A + B. B) Se lee: “ ....... o ...... “ (en sentido incluyente). C) Forma de Identificarlo: Al inclusor se le reconoce porque el

término nos sugiere aceptar una de las dos proposiciones. Sin embargo la posibilidad que una compatibilidad queda aceptada o admitida.

Ejemplo:

- Perú y Ecuador se pondrán de acuerdo salvo que intervenga EE.UU. : p v q

- Mañana estudiaremos Química o sino estudiaremos Física: p v q

Nota: Cuando aparece una disyunción al lado de un conjuntor o viceversa, la fórmula lógica será un Disyuntor débil. Ejemplo:

Las aves poseen pico excepto que también alas: p v q Los números son reales y/o complejos: p v q.

El Disyuntor Incluyente: A B

– A o B (sentido incluyente) – A a menos que B – Amenos que A, B – A salvo que B – A excepto que B – A o también B – A o en todo caso B – A o bien B – A a no ser que B – A o incluso B – A y bien o también B – Al menos uno de los dos A o B – A o sino B – A alternativamente B – A y/o B IV. El Disyuntor Fuerte (Excluyente)

A) Símbolos: A V B, A B, A B, A B, A B

B) Se lee: “ ....... o ....... “ (en sentido excluyente) “o ............ o ............ “ C) Forma de Identificarlo: Al exclusor o bidisyuntor se le

identifica por que acepta una y solo una de las dos proposiciones, nunca ambas a la vez; es decir la compatibilidad queda excluida o descartada.

Ejemplo:

- Eres campeón o subcampeón: p v q - O estudias o trabajas: p v q Nota: Algunos disyuntores incluyentes pueden venir acompañados de las palabras: sólo, únicamente, solamente. Dando mayor fuerza al inclusor transformándola en exclusor Ejemplo. - Este año viajaré al extranjero salvo que sólo viaje a Lima: p

v q - A menos que solamente seas Ingeniero, serás

matemático: p v q

El Disyuntor excluyente: A v B

– A o B (sentido excluyente) – O bien A o bien B – O solo A o solo B – O A o B – A a menos que solamente B – A salvo que únicamente B – A excepto que sólo B – Amenos que sólo A, B

- 11 - SAN PEDRO

– A o bien necesariamente B – A o exclusivamente B – A no es equivalente a B – A no es idéntico a B – Salvo que A o B – A no es lo mismo que B – A o tan solo B V. El Condicional

A) Símbolos: A B , A B B) Se lee: “ Si .............. entonces ............. “ C) Forma de Identificarlo: Una proposición condicional se

caracteriza porque presenta una causa y un efecto; las mismas que pueden estar en cualquier orden: La causa puede ir primero (Implicador) o tal vez puede ir en segunda instancia (replicador).

Nota: El sentido del operador lógico es de causa a efecto. Ejemplo:

El Implicador:

A B (Implicación Directa)

– Si A entonces B – Siempre que A por consiguiente B – Ya que A bien se ve que B – Dado que A por eso B – En cuanto A por tanto B – Porque A por eso B – Como A es evidente B – a condición de que A , B – A de manera que B – A de modo que B – A es suficiente para B – A por lo tanto B – Cada vez que A,B – Con la condición de A esto trae consigo B – Cuando A , B – Es una condición suficiente A para B – Para A es necesario B – Porque A,B – Si A ,B – Siempre que A por tanto B – Una condición necesaria para A es B – Con tal que A es obvio que B – Toda vez que A en consecuencia B – A consiguientemente B – Dado que A por lo cual B – En la medida que A de allí B – En virtud de que A entonces B

– A implica a B – A es innecesario para B – A es condición suficiente para B – A sólo si B – A luego B – A trae como consecuencia a B – De A deviene B – Partiendo de A llegamos a B – De A inferimos, deducimos, coligamos B – Para A es condición necesaria B – A sólo cuando B – Es suficiente A y B necesario – En el caso que A en tal sentido B

El Replicador:

A B (implicación inversa)

– Sólo si A, B – Sólo cuando A, B – Solamente porque A, B – A si B – A porque B – A dado que B – A ya que B – A siempre que B – A cada vez que B – A a condición de que B – Es una condición necesaria A para B – Una condición suficiente para A es B – Solo si A , B – A dado que B – A se concluye de B – A , si B – A supone que B – A ya que B – Para A es suficiente B – A puesto que B – A deviene de B – A es condición necesaria para B – A es insuficiente para B – Es necesario A para B – Es insuficiente A para B – A cada vez que B – A está implicado por B – A con la condición de que B – Si solamente A cada vez que B – A debido a que B – A depende de B – A sigue de B – Únicamente si A, B VI. El Bicondicional

A) Símbolos: A B , A B , A B. B) Se lee: “ .............. si y sólo si ............. “ C) Forma de Identificarlo: Este término de enlace no solo señala

una consecuencia en doble sentido; sino también informa una equivalencia existente entre las dos proposiciones.

Ejemplo:

Los cuerpos chocan porque y solo porque existe una fuerza

que los atrae: p q.

El que yo te sonría es lo mismo que yo te enamore: p q.

hay inversión interna entonces mejorará nuestra economía .

condición

causa

antecedente

efecto

consecuente

condición

suficiente necesaria

Si

Siempre que llueva

las cosechas: p q (implicador).

Mejorarán las cosechas siempre que llueva:

p q (replicador).

entonces mejorarán

- 12 - SAN PEDRO

El Biimplicador: A B

– A si y sólo si B – A por lo cual y según lo cual B – A cuando y sólo cuando B – A cada vez que y sólo si B – Si y sólo si A, B – A se define lógicamente como B – A si de la forma B – Porque y solamente porque A, B – Es suficiente A para que suficientemente B – Es necesario A para que necesariamente B – A es condición suficiente y necesaria para B – A siempre que y sólo cuando B – Siempre que A y siempre que B – A es equivalente a B – A es lo mismo que B – A es idéntico a B – A implica y está implicado por B

El Inalternador: A B

– Ni A ni B – No A y no B El Incompatibilizador: A / B

– No A o no B

EJERCICIOS RESUELTOS 01. La proposición: “la lima, naranja, limón no es cierto que sean

cítricos”, se simboliza:

a) – (p q r) b) (p q - r)

c) (- p - q - r) d) [(- p - q) v – r] e) n.a. SOLUCIÓN Desdoblando las proposiciones simples tenemos: * la lima no es cierto que sea cítrico … (- p) * la naranja no es cierto que sea cítrico …(- q) * el limón no es cierto que sea cítrico … (- r) Uniendo las tres proposiciones simples mediante el conector

conjuntor:

(- p - q - r)

CLAVE “C” 02. “o bien inexiste igualdad económica a no ser que únicamente

haya globalización, virtualización tanto como robotización del proceso productivo”, se formaliza:

a) [-p v (q r s)] b) [- p v (q r s)]

c) [p v (q r s)] d) p v (q r s) e) N.a. SOLUCIÓN Definiendo las variables de la proposición establecida : *inexiste igualdad económica …(-p) *hay globalización del proceso productivo… (q) * hay virtualización del proceso productivo… (r) * hay robotización del proceso productivo … (s) Uniendo las proposiciones simples mediante los conectores

del disyuntor excluyente e incluyente y del conjuntor:

[- p v (q r s)]

CLAVE “B”

03. “Jamás en invierno hace calor, aún cuando en verano

llueve al igual que hay eclipse asimismo hay evaporación de agua tal como no hay granizo”, se simboliza:

a) (- p - q - r - s - t)

b) (- p q r - s - t)

c) (- p q r - s)

d) (- p q r s - t) e) N.A. SOLUCIÓN

Definiendo las variables de las proposiciones simples:

* Jamás en invierno hace calor : (-p) * En verano llueve : (q) * Hay eclipse : (r) * Hay evaporación de agua : (s) * No hay granizo : (-t)

Uniendo las proposiciones mediante los conectores de la conjunción :

(- p q r s - t)

CLAVE “D”

04. “En modo alguno sucede que, no haya aumentado la

producción armamentista excepto que también sea absurdo que los países latinos hayan empobrecido más”, se formaliza:

a) (- p v – q) b) – (- p v – q) c) –(p v – q)

d) –(- p v q) e) N.A. SOLUCIÓN

Defiendo las variables de las proposiciones simples :

* No hay aumento de la producción armamentista : (-

p)

* Es absurdo que los países latinos hayan

empobrecido más : (-q)

Uniendo las proposiciones simples mediante en disyuntor incluyente y además tiene un conector externo : – (- p v – q)

CLAVE “B”

05.La fórmula: - (- p - q r) ; se traduce:

a) Es falso que, ni la pulga ni el chinche ni los piojos

sean insectos. b) No es veraz que, la pulga también el chinche no

sean insectos pero también lo son los piojos. c) Es innegable que, ni la pulga ni el chinche son

insectos pero sí lo es el piojo. d) Todas

- 13 - SAN PEDRO

e) B y C

SOLUCIÓN

Formalizando cada una de las alternativas que tiene

proposiciones:

a) - (- p - q -r)

b) - (- p - q r)

c) - - (- p - q r)

Por lo tanto la alternativa que tiene la traducción

correcta es la alternativa “ B “

CLAVE “B”

06. “El Perú es considerado un país económicamente

marginal al igual que el más deficiente en competencia

matemática, y bien o también el penúltimo en

competencia de lenguaje”, se formaliza:

a) (A B C) b) (A B) v C

c) A (B v C) d) (A - B) v C

e) N.A.

SOLUCIÓN

Definiendo las variables de las proposiciones simples:

* El Perú es considerado un país económicamente

marginal : A

* El Perú es considerado el más deficiente en

competencia matemática : B

* El Perú es considerado el penúltimo en

competencia de lenguaje : C

Uniendo las tres proposiciones simples mediante los

conectores del conjuntor y del disyuntor : (A B) v C

CLAVE “B”

07. “Puesto que hay globalización se deduce que tanto hay

países altamente tecnologizados cuanto países bastantes atrasados en ciencia” Se formaliza:

a) p (q r) b) p (q r)

c) p (q r) d) p (q r) e) N.A. SOLUCIÓN Definiendo las variables de las proposiciones simples : * Hay globalización : (p) * Hay países altamente tecnologizados : (q) * Hay países bastante atrasados en ciencia : (r)

Uniendo las tres proposiciones simples mediante los

conectores condicional y conjuntor : p (q r)

CLAVE “C”

08. “Siempre que y sólo cuando deje de haber movimiento

de traslación entonces es mentira que habrá movimiento de rotación de la Tierra”, se formaliza:

a) – A - B b) – A - B

c) A - B d) A (B - C) e) N.A. SOLUCIÓN Definiendo las variables de las proposiciones simples : * Deje de haber movimiento de traslación:

(-A) * Es mentira que habrá movimiento de rotación de la Tierra :

(-B) Uniendo las proposiciones simples mediante el conector

bicondicional : – A - B CLAVE “B”

09. “Debido que los escritores son imaginativos, creativos

al igual que persistentes; en tal sentido son famosos e iconoclastas”, se simboliza:

a) (A B C) (D E)

b) (A B C) (D v E)

c) [(p q) r] (s t)

d) (p v q r) (s t) e) N.A.

SOLUCIÓN Definiendo las variables de las proposiciones simples : * Los escritores son imaginativos : (A) * Los escritores son creativos : (B) * Los escritores son persistentes : (C) * Los escritores son famosos : (D) * Los escritores son iconoclastas : (E) Uniendo las cinco proposiciones simples mediante los

conectores del conjuntor y del condicional :

(A B C) (D E)

CLAVE “A”

10. “La fórmula: (B A), se traduce como:

1. Porque las aves tienen alas, vuelan. 2. Siempre que haya huracanes, habrá devastación. 3. Ya que el hombre es sensible luego llora. 4. De la existencia de ADN deviene la vida. 5. En el caso que el dólar suba, se encarecerán los

precios de los productos. Son falsas: a) 1,2,3 b) 2,3,4 c) 3,4,5 d) Todas e) N.A. SOLUCIÓN

- 14 - SAN PEDRO

Formalizamos las proposiciones dadas en el problema:

1) (A B) 2) (A B) 3) (A B)

4) (A B) 5) (A B)

Nos damos cuenta que todas las proposiciones son condicionales directas. Por lo tanto ninguna se traduce a la fórmula establecida.

CLAVE”D”

PRACTICA DE CLASE

01. La formalización de la proposición: “No es cierto, que el Perú

no sea democrático y sea autoritario”, es:

a) – (A B) b) - - A B c) - (- A B)

d) - B - - A e) N.A. 02. La proposición: “En cuanto la teoría de la relatividad sostiene

que la gravedad y el movimiento acelerado son equivalentes, consecuentemente se niega todo movimiento absoluto”. Se formaliza:

a) (A B) C b) (A B) C

c) (A B) - C d) A - B e) N.A. 03. La proposición: “Sólo si es falso que la oferta favorece a la

demanda, la calidad del producto tendrá que mejorar. Sin embargo bajamos el precio a menos que solamente mejoremos la calidad del producto”. Se formaliza:

a) – (A B) (C V B)

b) – (A B) (C V B)

c) (-A B) (C V B)

d) (-A B) (C V B) e) N.a. 04. Si la verruga apareció en el último siglo, su descubridor ni fue

Alcides Carrión ni Luna Pizarro”.

a) A ( B C ) b) A ( B C )

c) A ( B C ) d) A ( B C )

e) A B C 05. La proposición: “Es indudable que los Diagramas de Venn se

usan en Lógica de Predicados excepto que se usen en Lógica Proposicional”.

Se formaliza como :

a) (p q) b) (p q)

c) (p q) d) (p q)

e) (p q) 06. “O bien el asma afecta a los pulmones o bien afecta al

corazón; pero no es el caso que afecte al corazón del mismo modo a los pulmones”. Se formaliza :

a) ( A B ) - ( B A )

b) ( A B ) ( A B )

c) ( A B ) ( A - B )

d) ( B A ) ( A - B )

e) ( A b ) ( A B ) 07. La formalización correcta de: “Es inconcebible pensar que,

Benito cometió este crimen a no ser que sea por despecho. Sin embargo nunca tuvo problemas con su esposa dado que ella fue una mujer trabajadora” es:

a) – (p v q) (- C D)

b) – (p q) (- C D)

c) – (p v q) (C D)

d) – (p v q) (- C D) e) N.A. 08. La proposición: “Es inobjetable que sea necesario tener

experiencia para mejorar la calidad. Pero es suficiente mejorar la calidad para que las ventas puedan aumentar”. Se formaliza:

a) (A B) – (B C)

b) - - (A B) – (B C)

c) - - (A B) (B C)

d) - - (A B) (B C)

e) - - (A B) – (B C) 10. La proposición: “Como Jenny, Antonio y Enrique son

hermanos es evidente que viven en la misma casa. No obstante solo si existe un cuarto habitante, este es el hermano menor”. Se formaliza como:

a) (p q) (r s)

b) (p q) - (r s)

c) [(p q r) s] (t u)

d) [(p q r) s] (t u) e) N.A. 11. La proposición: “Dado que si la lógica es una ciencia formal,

estudia la validez del razonamiento; en consecuencia es útil para la sociedad además para la comunidad científica”. Se formaliza:

a) (p q) (r s)

b) (p q) (r v s)

c) (p q) (r s)

d) (p q) (r s)

e) (p q) (r s) 12. La proposición: “Dado que la materia así como la energía, no

se crea ni se destruye; es obvio que ambos solo sufren transformación”. Se formaliza:

a) ( A B) C

b) (A B) C

c) [( A B) ( C D)] (E F)

d) [( A B) ( C D)] E e) N.A. 13. La correcta formalización de la proposición: “Es innecesario

estudiar Razonamiento Lógico para necesariamente ingresar a la Universidad. Sin embargo dominar aptitud es condición suficiente para tener un buen porcentaje de preguntas aseguradas. Pero sólo si tienes un buen porcentaje de preguntas aseguradas, estudiarás Raz. Lógico”.

a) [(A B) (C D)] (D A)

b) [(A B) (C D)] (D A)

c) [(A B) (C D)] (D A)

d) [(A B) (C D)] (D A)

e) [(A B) (C D)] (D A)

14. La proposición: “Siempre y solo cuando las proposiciones no puedan ser enunciados abiertos, diremos que las supersticiones tampoco lo serán, sin embargo es falso decir que nunca las creencias serán proposiciones dado que no admiten demostración científica. Por lo tanto, si las creencias fueran demostrables científicamente, las supersticiones serían consideradas como proposiciones lógicas”. Se formaliza:

- 15 - SAN PEDRO

a) [(- A – B) (- D C)] (D B)

b) [(- A – B) (C - D)] (D E)

c) [- ( A – B) (C - D)] (D B)

d) [(- A – B) - (- C - D)] (D B)

e) [(- A – B) - (- C - D)] (D E) 15. La proposición lógica : “Existe movimiento material cada vez

que y sólo cuando existe movimiento energético; pero si no existe movimiento material, existe el energético, asimismo, si existe movimiento material, no hay el energético”. Se formaliza:

a) ( A B ) ( A B ) C

b) ( A B ) ( -A B ) ( A -B )

c) ( A B ) ( -A -B ) ( -A B )

d) ( A B ) ( -A B ) ( A - B ) e) N.A. 16. La formalización de : “Si trae la caja blanca, traes la negra.

Pero si traes la azul, traes la negra. Empero es no cierto que las tres juntas. Por lo tanto, traerás sólo una de las tres” es :

a) ( p q ) (r p) - (p q r) (p q r )

b) (p q) ( r q) - (p q r ) (p qr)

c) (p q) (r q) -(p q r) (p q r)

d) ( p q r ) ( p q r ) ( p q r ) e) N.A. 17. “O bien Andrómeda es una constelación o bien es una galaxia

y está cerca de la tierra; aunque es absurdo pensar que Andrómeda sea una constelación. En consecuencia Andrómeda es una galaxia así como está cerca de la tierra”. Su formalización correcta es :

a) A B ( C -A ) B C

b) A ( B C ) - ( A ) ( B C )

c) A ( B C ) - A B C

d) A B C -A B C e) N.A.

18. La proposición “Si el primer nativo es un

político, el tercer nativo dice la verdad. Si el

tercer nativo no dice la verdad, el primer

nativo no es un político. Por consiguiente el

primer nativo es un político porque el tercer

nativo no es un político”. Se formaliza como:

a) [(p q) (-q -p)] (p -r)

b) [(p q) (-q -p)] (p -q)

c) [(p q) (-q -p)] (p -r)

d) [(p q) (-q -p)] (p -q)

e) [(p q) (-q -p)] (p -r)

19. La proposición: “Es falso que sea

indisciplinado y ocioso, porque estudio en la

Universidad. Pero soy ocioso; en

consecuencia nunca seré profesional”. Se

formaliza como:

a) {[(- -p q) r] q} –s

b) {[(- -p q) r] q} s

c) {[(- p q) r] q} –s

d) {[- ( -p q) r] q} –s

e) {[-(p q) r] q} –s

20. La proposición: “sólo si existe dedicación

docente, la institución adquiere prestigio; no

obstante, es suficiente que los alumnos

ingresen para tener trabajo”. Se formaliza

como:

a) (p q) (r s) b) (p q) (r s)

c) (p q) (r s) d) (p q) -(r s)

e) (p q) (r s)

21. La proposición: “El Perú es subdesarrollado

porque la economía es deprimente. Además,

los salarios aumentan sólo si hay voluntad del

gobierno”. Se formaliza como:

a) (p q) (r s) b) (p q) (r s)

c) (p q) (r s) d) (p q) (r s)

e) (p q) (r s)

22. La proposición: “Sólo si los caracoles son

moluscos, los calamares también lo son; a no

ser que, los peces son vertebrados al igual

que los batracios”. Se formaliza como:

a) (p q) (r s) b) (p q) (r s)

c) (p q) (r s) d) (p q) (r s)

e) (p q) (r s)

23. Dada la proposición: “Pedro y Janet son

esposos o primos hermanos. Pero no son

esposos, en consecuencia son primos

hermanos”. Se formaliza como:

a) {[(p q) r] -(p q)} r

b) [(p q) -p] q

c) [(p q) -p] q

d) [(p q) -p] q e) N. A.

24. La proposición: “Si un hombre es honrado no

tiene problemas personales. Este hombre no

tiene problemas. En consecuencia, es

honrado pero no tiene dinero. Se formaliza

como:

a) [(p -q) -q] (p -r)

b) [(p -q) -q] (p -r)

c) [(p -q) -q] (p -q)

d) [(p -q) -q] (p -r) e) N. A.

25. La proposición: “A menos que tenga dinero,

volaré a Japón o Inglaterra. Pero no tengo

- 16 - SAN PEDRO

dinero. De allí que viajaré a Brasil”. Se

formaliza como:

a) {[p (q r)] -p} s

b) {[p (q r)] -p} s

c) [(p q) -r] s

d) [(p q) -r] s

e) [p (q r)] (-p s)

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN 01. “Una empresa persigue un fin lucrativo porque produce

dividendos o salvo que únicamente persiga un fin mercantil”. Se formaliza como:

a) (AB) v B b) (AB) v A c) (BA) v C

d) (AB) v C e) ( AB) v C 02. “Un juicio apodíctico es analítico, pero también es necesario y

forzoso. Por eso usan lenguajes simbólicos”. Se formaliza como:

a) [Av(AB)]D b) [A (BC)]D

c) [A+(B+C)] D d) [A (AB)]D

e) [A(BC)] D 03. La proposición: “Los mitos al igual que las leyendas no son

proposiciones lógicas, de ello se infiere entonces que sólo son oraciones literarias”.

Su formalización es:

a) (A B) (C D)

b) (A B) (C D)

c) (-A -B) (C D)

d) (-A -B) (C D) e) N.a.

04. La proposición “Si el primer nativo es un

político, el tercer nativo dice la verdad. Si el tercer nativo no dice la verdad, el primer nativo no es un político. Por consiguiente el primer nativo es un político porque el tercer nativo no es un político”. Se formaliza como:

a) [(p q) (-q -p)] (p -r)

b) [(p q) (-q -p)] (p -q)

c) [(p q) (-q -p)] (p -r)

d) [(p q) (-q -p)] (p -q)

e) [(p q) (-q -p)] (p -r)

05. La proposición: “Es falso que sea

indisciplinado y ocioso, porque estudio en la Universidad. Pero soy ocioso; en consecuencia nunca seré profesional”. Se formaliza como:

a) {[(- -p q) r] q} –s

b) {[(- -p q) r] q} s

c) {[(- p q) r] q} –s

d) {[- ( -p q) r] q} –s

e) {[-(p q) r] q} –s

06. La proposición: “Si un hombre es

honrado no tiene problemas personales. Este hombre no tiene problemas. En consecuencia, es honrado pero no tiene dinero. Se formaliza como:

a) [(p -q) -q] (p -r)

b) [(p -q) -q] (p -r)

c) [(p -q) -q] (p -q)

d) [(p -q) -q] (p -r) e) N. A. 07. La proposición: “Es mentira que, si el eje de la Tierra se inclina

cada 27 años, los días serán más cortos. Además, si es mentira que el perímetro ecuatorial de la Tierra se ensancha, las estaciones serán más prolongadas”. Se formaliza como:

a) (p q) ( r s)

b) ( p q) ( r s)

c) {p [ q (r s)] }

d) (p q) (r s)

e) { (p q) ( r s)} 08. La proposición: “El que los razonamientos sean válidos está

implicado por el que su esquema formal es tautológico, sin embargo es suficiente que cumplan con las Reglas de Inferencia para poder demostrar su validez formalmente”.

Tiene como fórmula:

a) (p q) (r s)

b) (p q) (p r)

c) (p q) (p s)

d) (p q) (r s)

e) (p q) (r s) 09. La proposición: “Siempre que el medio sea homogéneo, la luz

se propaga en línea recta; en consecuencia es visible la formación de sombra y penumbra; además la formación de imágenes en la cámara fotoeléctrica. Se formaliza como:

a) (A B) [(C D) v E]

b) (A B) (C v D)

c) (A B) [(C D) E]

d) (A B) [(C v D) E]

e) (A B) [(C D) E] 10. Formalizar: “Si te alimentas, no enfermarás; si no te alimentas,

no enfermarás y faltarás a clase. Por lo tanto si vas a clase no enfermaste “cuadro”. Se formaliza:

a) [(p-q)(-qqr)] (-p r)

b) [(p-q)(-pqr)] (p r)

c) [(p-q)(-pqr)] (-r p)

d) [(p-q)(pqr)] (-r -p)

e) [(p-q)(-p(qr)] (-r -q) 11. La proposición: “Si caigo, me levanto. Si me levanto, camino.

Por tanto ya que caigo bien se ve que camino”. Se formaliza:

a) [ ( p q ) ( q r ] ( p r )

b) [ ( p q ) ( q r ) ] ( p r )

c) [ ( p q ) ( q r ) ] ( p r )

d) [ ( p q ) ( q r ) ] ( p r ) e) N.A. 12. Dada la proposición: “Juan será encontrado culpable, si hoy

rinde su instructiva, por tanto si hoy rinde su instructiva, dirá la verdad. Juan no será encontrado culpable, si no dice la verdad”. La formalización correcta es:

a) [ ( A B ) ( B C ) ] [- C - A]

b) [ ( A B ) ( B C ) ] [ - C - A ]

c) ( A B ) ( B C ) ( - A - C )

d) [(B A) (B C)] [( - C - A)] e) N.A. 13. La proposición: “Siempre que y sólo cuando haya explosión

nuclear, habrá radioactividad. Sin embargo, al haber radioactividad se colige que habrá mutaciones. De allí que la

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explosión nuclear sea condición suficiente para las mutaciones”, se simboliza

a) [ ( A B ) ( B C ) ] ( A C )

b) [ ( A B ) ( B C ) ] ( A C )

c) [ ( A B ) ( B C ) ] ( A C )

d) [ ( A B ) ( B C ) ] ( A C ) e) N.A 14. Postulo a Medicina o bien postulo a Derecho. Siempre que

postule a Medicina, seré buen cirujano y si postulo a Derecho seré un buen penalista, por tanto, postulo a la Universidad.

a) [(A v B) (A C) (B D)] A

b) [(A B) (A C) (B D) ] A

c) [(A v B) (A C) (B D)] E

d) [(A B) (A C) (B D)] E

e) [(A B) (A C) (B D)] E 15. Es necesario que haga frío para que llueva inclusive es

suficiente que sea invierno para que haga frío. Si llueve luego hace frío; por tanto estamos en invierno. Se formaliza como:

a) [(A B) (C A) (B A)] C

b) [(A B) (C v A) (B A)] C

c) [(B A)(C A) (B A)] C

d) [(B A) (C A) (B A)] C

e) [(B A) (C A) (B A)] C