logica proposicional

LÓGICA PROPOSICIONAL

Miguel Valverde Morales Página 1

Lectura motivadora

GEORGE BOOLE

(1815 - 1864)

(2 de noviembre de 1815 - 8 de diciembre de 1864) fue un matemático y filósofo británico.

Como inventor del álgebra de Boole, la base de la aritmética computacional moderna, Boole es considerado como uno de los fundadores del campo de las Ciencias de la Computación. En 1854 publicó "An Investigation of the Laws of Thought" en él desarrollaba un sistema de reglas que le permitía expresar, manipular y simplificar, problemas lógicos y filosóficos cuyos argumentos admiten dos estados (verdadero o falso) por procedimientos matemáticos.

JUICIO – PROPOSICIÓN

APRENDIZAJES ESPERADOS

Distingue proposiciones dentro de un grupo de enunciados

Clasifica proposiciones por su cantidad

Clasifica proposiciones por su calidad

Clasifica proposiciones por su modalidad

Clasifica proposiciones por su complejidad

NOTITA IMPORTANTE

El Tractatus es un texto complejo que se presta a diversas lecturas. A primera vista, se presenta como un libro

que pretende explicar el funcionamiento de la Lógica (desarrollada previamente por Frege y por Russell entre otros), tratando de mostrar al mismo tiempo que la Lógica es el andamiaje o la estructura sobre la cual se levanta nuestro lenguaje descriptivo (nuestra ciencia) y nuestro mundo (que es aquello que nuestro lenguaje o nuestra ciencia describe). La tesis fundamental del Tractatus es esta estrecha vinculación estructural (o formal) entre lenguaje y mundo, hasta tal punto que: «los límites de mi lenguaje son los límites de mi mundo». En efecto, aquello que comparten el mundo, el lenguaje y el pensamiento es la forma lógica [logische Form], gracias a la cual podemos hacer figuras del mundo para describirlo.



FUNDAMENTACION TEORICA

1. CANTIDAD DE LAS PROPOSICIONES

1) Universales. Se refieren a todos los elementos del sujeto. Ejemplos: Todos los félidos son carniceros; Ningún vegetal es heterótrofo; etc.

2) Particulares. Se refieren a algunos elementos del sujeto. Ejemplos: Muchos médicos son cirujanos; Varios ingenieros no desarrollan su profesión; etc.

3) Individuales. Cuando el sujeto se refiere a un solo elemento. Ejemplos: El río Amazonas desemboca en el Océano Atlántico; El Perú tiene muchas tipos de microclimas; etc.

2. CALIDAD DE LAS PROPOSICIONES.

1) Afirmativas. Su contenido da por cierto algo. Ejemplos: Es cierto que Saturno tiene 30 satélites conocidos; Rea es un satélite de Saturno; etc.

2) Negativas. Su contenido da por falso algo. Ejemplos: Es mentira que la Tierra tiene un sistema de anillos; La Luna no es un satélite de Urano; etc.

3. MODALIDAD DE LAS PROPOSICIONES

1) Asertóricas. Llamadas también sintéticas, empíricas o contingentes. Cuando su valor de verdad es contextual. Ejemplos: Trujillo es una ciudad norteña; El Perú integra el Mercosur; etc.

2) Necesarias. Llamadas también apodícticas o forzosas. Cuando su valor de verdad es universal. Ejemplos: El cuantor es un operador lógico; El triángulo equilátero es un polígono regular; etc.

3) Problemáticas. Llamadas también plausibles o probables. Cuando su valor de verdad es posible. Ejemplos: Es posible que el hombre llegue a Marte antes del 2015; La selección clasificará al mundial 2010; etc.

4. COMPLEJIDAD DE LAS PROPO-SICIONES

Los Operadores Lógicos

1) Definición.

Son conceptos sin categorema cuya función es modificar el valor de verdad o la estructura de una proposición.

2) Clasificación.

Se les clasifica de acuerdo al área de la Lógica.; por ejemplo existen operadores modales (operador de necesidad, operador de posibilidad, etc.); operadores difusos (fusificador, defusificador, etc.); operadores cuantificacionales (universalizador, existencializador, etc.); Operadores proposicionales (negador, conjuntor, etc.); etc.



Los Operadores Proposicionales

OPERADOR SÍMBOLOS

Nombre Estructura lógica

Negador (Inversor) “no” -

Conjuntor (Compatibilizador) “... y ...” . &

Disyuntor Incluyente (Alternador)

“... o ...” +

Disyuntor Excluyente (Exclusor) “o ... o .... “ V >< <-/->

Implicador (Condicionador) “si ... entonces ...”

Replicador (Contraimplicador) “... porque ...”

Biimplicador (Equivalorador) “ ... si y sólo sí ...”

Daga de Shefer (Inalternador) “ni ... ni .... “

Barra de Nicod (Incompatibilizador)

“no ... o no ....” /

Traducciones verbales de los operadores proposicionales.

NEGACIÓN CONJUNCIÓN DISYUNCIÓN INCLUYENTE

Carece de todo sentido que A De ninguna forma se da que A En absoluto se da que A En modo alguno se da que A Es absurdo que A Es falso que A Es imposible que A Es inaceptable que A Es inadmisible que A Es incierto que A Es incorrecto que A Es inverosímil que A Es mentira que A Es imposible que A Es negable A Es objetable que A Jamás se da que A No es cierto que A No es el caso que A No es verdad que A No ocurre que A Nunca jamás A Nunca se da que A Se rechaza que A

A además B A a la vez B A al igual que B A al mismo tiempo B A a pesar que B A así como B A aún cuando B A aunque B A de la misma forma B A empero B A es compatible con B A incluso B A no obstante B A pero B A simultáneamente B A sin embargo B A tal como B A también B A tanto como B A y B A y también B Conjuntamente A con B No sólo A también B Tanto A como B

A a menos que B A a no ser que B A excepto que B A o B A o en todo caso B A o incluso B A o también B A salvo que B A salvo que también B A y bien, o también B A ya bien, o incluso B A y/o B

DISYUNCIÓN EXCLUYENTE

A o B (pero no ambos) A salvo que sólo B A salvo que únicamente B A o solamente B A o sólo B A o tan sólo B A o únicamente B O A o B. A es diferente que B O sólo A o sólo B Salvo que A o B



IMPLICACIÓN (DIRECTA) REPLICACIÓN (IMPLICACIÓN INVERSA)

BIIMPLICACIÓN

a condición de que A, B

A de ahí que B

A en consecuencia B

A es suficiente para B

A implica B.

A luego B

A por consiguiente B

A por lo tanto B

A sólo si B

Cada vez que A, B

Con tal que A es obvio que B

Cuando A, B

Cuando A así pues B

Dado A por eso B

De A concluimos en B

En cuanto A por tanto B

En el caso que A así pues B

Es suficiente A para B

Para A es necesario B

Porque A, B

Puesto que A, así pues B

Se supone A para B.

Si A, B

Si A entonces B

Siempre que A por tanto B

Ya que A entonces B

Ya que A es evidente que B

A a condición de que B

A cada vez que B

A dado que B

A esta implicado por B

A es una condición necesaria para B

A porque B

A puesto que B

A se concluye de B

A, si B

A, siempre que B

A supone que B

A ya que B

Es una condición necesaria A para B

Para A es suficiente B

Para A es una condición suficiente B

Solo si A, B

Tan solo si A, B

Una condición suficiente para A es B

A cada vez que y sólo si B

A cuando y sólo cuando B

A entonces y sólo entonces B

A equivale a B

A equivale lógicamente a B

A es necesaria y suficiente para B

A es suficiente y necesario para B

A es equipolente a B

A es equivalente a B

A implica y esta implicado en B

A por lo cual y según lo cual B

A se define como B

A se define lógicamente como B

A según lo cual y por lo cual B

A si de la forma B

A siempre y cuando B

A siempre que y sólo cuando B

A sí y sólo si B



1) Simples o Atómicas. Cuando no tienen operadores proposicionales. Son indivisibles. Se subdividen en:

a) Predicativas. Cuando tienen un solo sujeto. Ejemplos: Carlos estudia medicina; El Perú es un país considerado tercermundista; etc.

b) Relacionales. Cuando tienen dos o más sujetos. Ejemplos: Sissy es mayor que Mónica; Francia está entre Alemania y España; etc.

2) Compuestas o Moleculares. Cuando tienen operadores proposicionales. Se les puede descomponer en proposiciones más simples. Se clasifican de acuerdo al operador principal en negativas, conjuntivas, disyuntivas incluyentes, etc.

EJERCICIOS DESARROLLADOS

01. De los enunciados:

1. ¡Cuidado con el perro! 2. José estudia medicina en la UNT 3. Todo peruano es inocente hasta que se demuestre lo contrario 4. Milagros dijo estar enamorada de Enrique 5. Romy estuvo de paseo por Cuba

Corresponden a proposiciones: a) 1, 2 y 5 b) 2, 3, 4 y 5 c) sólo2, 4 y 5 d) sólo 2 y 5 e) sólo 3, 4 y 5 Resolución Proposiciones: Tienen sentido completo, valor de

verdad y referente real objetivo. 1. Expresiva X

2. 3 Precepto constitucional X

4. (… dijo… se puede comprobar)

5.

CLAVE “C” 02. De los enunciados:

1. Anoche soñé que estaba bailando con Jennifer 2. “Llama” es un término polisémico 3. Urano es un planeta que tiene sistema de anillos 4. Zeus fue el rey de los dioses 5. Gokú llegó a ser súper sayayín de nivel IV

No corresponden a proposiciones: a) 1, 4 y 5 b) 2, 3 y 5 c) 1, 2 y 4 d) 1, 3 y 5 e) 2, 3 y 4

Resolución Idem 1

1. … soñé… X

2.

3. 4. Mitología X 5. Ficción X CLAVE “A”

03. De los enunciados: 1. Constitución Política del Perú 2. Con los años que tengo aún no sé si estoy

enamorado 3. Ayer conocí a Rosario, hoy conocí a su

hermana 4. Ninguna de las hermanas de Andrea postula a

Derecho 5. Flor blanca de geranio serrano

Corresponden a proposiciones: a) 1 y 2 b) 2 y 3 c) 3 y 4 d) 4 y 5 e) 1 y 5

Resolución Idem 1

1. Concepto X 2. … no sé… (subjetivo) X

3.

4. 5. Concepto X

CLAVE “C” <

04. De los enunciados: 1. Antonio y Alberto están casados. 2. Una posible causa de la desnutrición es el

maltrato infantil. 3. Cualquier reptil es vertebrado. 4. Ni lo uno ni lo otro sino todo lo contrario. 5. Juicio aseverativo.

Son proposiciones: a) 1, 2 y 3 b) 2, 3 y 4 c) 3, 4 y 5 d) 1, 4 y 5 e) 1, 2 y 5

Resolución Idem 1

1.

2.

3. 4. Sin sentido X 5. Concepto X

CLAVE “A”

05. De los enunciados: 1. Los polígonos tienen raíz cuadrada. 2. Los números tienen área superficial. 3. Todos los números naturales son mayores que

5. 4. Algunos números naturales son mayores que 5. 5. No hay números naturales mayores que 5.


Resolución Idem 1 1. Sin sentido X 2. Sin sentido X



3. Proposición falsa 4. Proposición verdadera 5. Proposición falsa

CLAVE “C”

PRÁCTICA

01. De los enunciados:

1 a + b = b + a; a, b R

2. a + b > a; a, b N 3. a + 5 = 1954

4. a2 + b2 = c2; a, b, c R

5. a + 5 = b + 40 Son proposiciones: a) 1, 2 y 5 b) 2, 3 y 4 c) 1, 3 y 5 d) 1, 2 y 4 e) 3, 4 y 5 02. De los enunciados:

1. a2 + b2 = c2; representa a la expresión del

Teorema de Pitágoras

2. x2 + 2x + 1

3. x + y > 5, x, y N

4. Si x>n entonces x > (n – 1); x, n N

5. x > 10 ó x < 10 ó x = 10; x N Son proposiciones: a) 1, 2 y 3 b) 2, 3 y 4 c) 3, 4 y 5 d) 1, 4 y 5 e) 1, 2 y 5 03. De los enunciados:

1. A Dios rogando y con el mazo dando 2. Luz dijo estar sorprendida por la actitud que

tomó su hermano al evadirse de clase 3. La lora de mi vecina está enferma 4. Ricardo abrió su pollería llamada “El pollo

futbolista” 5. El Perú es considerado destino turístico

internacional. Son proposiciones: a) 2, 4 y 5 b) 2, 3 y 4 c) 3, 4 y 5 d) 1, 2 y 3 e) sólo 2 y 4 04. De los enunciados:

1. Muchos peces son eurihalinos 2. Muchos reptiles son ácidos 3. Muchos herbívoros son rumiantes 4. Muchos carnívoros son polinomiales 5. Muchas sustancias no son puras


05. De los enunciados, son proposiciones: 1. Es la esposa del ex presidente Paniagua.

2. El lenguaje tiene naturaleza dual. 3. –30+20=–10 equivale –40+30=–10 4. El carbono tiene valencia 4. 5. El Corán es un libro religioso.

Son ciertas, excepto a) sólo 3 y 4 b) 1 y 2 c) 2, 3 y 4 d) 1, 3 y 5 e) 4 y 5 06. Son proposiciones atómicas:

1. Cualquier ingeniero es profesional. 2. Lucila Godoy o “Gabriela Mistral” escribió el

libro de poemas “Tala” 3. Raúl y Ricardo no son primos. 4. Universalizador equivale a cuantificador

universal. 5. Muchos militares son profesionales.

Son ciertas: a) sólo 1,2y4 b) ninguna c)sólo2 d) 1, 2, 4 y 5 e) todas 07. Son proposiciones simples relacionales:

1. El enlace iónico es de carácter electrostático. 2. El Canal de Panamá está entre los océanos

Atlántico y Pacífico.

3. (a*b)n = an * bn

4. Chile no comparte frontera con Ecuador. 5. El rió Amazonas fluye por territorio peruano

Son ciertas: a) 2, 3 y 5 b) sólo 2 y 3 c) sólo 3 y 5 d) sólo 2 y 5 e) 1, 4 y 5 08. De los siguientes enunciados:

1. Magaly y Gisela se casarán la próxima semana 2. No hay nada mejor que un buen helado

napolitano 3. Otorongo tiene cuatro vocales 4. Es imposible que la materia se destruya por

procesos físicos 5. El soporte tipo DVD tiene más capacidad de

almacenamiento que el CD-R


09. De los siguientes enunciados:

1. p q 2. Cualquiera que sea S es obviamente P 3. Si x > 5 luego x > 4

4. Si x > y luego x N; y N

5. x N; x > 2004 Son proposiciones: a) 1 y 3 b) 3 y 5 c) 2 y 4 d) 1 y 4 e) 2 y 5



10. De los siguientes enunciados: 1. En modo alguno es posible que los félidos sean

rumiantes. 2. Es imposible que el hidrógeno sea sólido. 3. Las aves son vivíparas. 4. Es inadmisible que las rosas sean heterótrofas. 5. Los seres humanos son intelectuales.

Son proposiciones negativas: a) 1, 2 y 4 b) 1, 4 y 5 c) 2, 3 y 5 d) 1, 3 y 5 e) 2, 3 y 4

11. De los siguientes enunciados: 1. No sólo el Perú compite por un cupo al

mundial 2006 sino también Brasil 2. George estudia ingeniería no obstante práctica

fútbol 3. Aunque Mary estudie enfermería, trabaja como

secretaria 4. Inés y Raúl son compadres de Lady 5. El cloro es un no metal aunque sea reactivo

Son proposiciones conjuntivas: a) sólo 1, 2 y 3 b) sólo 2, 3 y 4 c) sólo 3, 4 y 5 d) sólo 1, 4 y 5 e) todas

12. De los siguientes enunciados: 1. Maura comió pescado y se ahogo 2. Ni Teresa ni Carol son trujillanas 3. Lawrence y Silvia no son abogados 4. El que me divierta es igual a que trabaje 5. Me divierto al igual que trabajo

Son proposiciones conjuntivas: a) 1, 2 y 4 b) 2, 3 y 5 c) 1, 4 y 5 d) 1, 2 y 3 e) 3, 4 y 5

13. De los siguientes enunciados: 1. Ni Erika ni Karen son médicos 2. Lilibeth no estudia o no trabaja 3. El calor no equivale a la velocidad 4. El azúcar y el aceite no reaccionan 5. Lourdes no deja de estudiar

Son proposiciones negativas: a) sólo 1, 2 y 3 b) sólo 2, 3 y 4 c) sólo 3, 4 y 5 d) sólo 1, 4 y 5 e) todas 14. De los siguientes enunciados:

1. El que Manuel vaya a la universidad no implica que sea alumno

2. Es imposible que los alcanos y los alquinos reaccionen

3. Perú y Chile no son productores de ébano 4. Leslie y Milagros no son hermanas 5. De seguro ocurre que el agua y el aceite si se

mezclan

No son proposiciones negativas: a) 1 y 3 b) 1 y 4 c) 2 y 5 d) 2 y 4 e) 3 y 5

15. De las siguientes proposiciones: 1. Cuando una PC falla, se debe al software o sólo

al hardware. 2. Es falso que el agua o sólo el aceite sean

solventes universales. 3. Glenn viajará a Holanda o sólo a Francia. 4. El que trabaje es diferente a que vaya a la

discoteca. 5. O se da que Pamela visite Egipto a no ser que

vaya al Tíbet. Son disyuntivas excluyentes: a) sólo 1, 2 y 3 b) sólo 2, 3 y 4 c) sólo 3, 4 y 5 d) sólo 1, 4 y 5 e) todas



FORMALIZACIÓN APRENDIZAJES ESPERADOS

Identifica constantes y variables proposicionales

Hace uso del lenguaje lógico formal

Formaliza proposiciones lógicas

Formaliza reglas y leyes de las ciencias NOTITA IMPORTANTE

En matemáticas, lógica, y ciencias de la computación, un lenguaje formal es un conjunto de palabras (cadenas de caracteres) de longitud finita en los casos más simples o expresiones válidas (formuladas por palabras) formadas a partir de un alfabeto (conjunto de caracteres) finito. El nombre lenguaje se justifica porque las estructuras que con este se forman tienen reglas de buena formación (gramática) e interpretación semántica (significado) en una forma muy similar a los lenguajes hablados.

FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA 1. CONSTANTES Y VARIABLES

Formalizar es trasladar (traducir) una expresión escrita con un lenguaje verbal a un lenguaje formal. En nuestro caso, debemos traducir una expresión con lenguaje verbal al lenguaje lógico formal proposicional.

Constantes: Son los operadores proposicionales. Ejemplos: conjuntor, implicador, negador, etc.

Variables. Son las letras que representan a proposiciones. Ejemplos: A, B, C, D, E, etc.; o también, p, q, r, s, t, etc.

2. FORMAS BÁSICAS. Formas negativas. 1. Es mentira que el oro sea líquido 2. No ocurre que, el oro y la plata sean gases 3. Es falso que si trabajo luego estudio 4. Denisse no postula a derecho 5. El agua no disuelve al oro 6. Raúl es un profesional inexperto 7. El calor es incompatible con la materia Formas conjuntivas. 1. El oro y la plata son metales 2. El oro y la plata no son halógenos 3. El bromo es un gas además es halógeno

4. El cloro y el flúor son gases y reaccionan con el sodio

5. Es falso que el dólar se cotice a 3,5 nuevos soles pero también es falso que el euro se cotice a 4 nuevos soles

6. Aunque el helio sea un gas, se ioniza 7. No sólo el oro es un metal sino que también es

altamente dúctil 8. El agua pura es un compuesto químico

inorgánico no obstante tiene muchos usos en la industria

Formas disyuntivas incluyentes. 1. El cobre conduce el calor o la electricidad 2. La plata es un metal noble o también actúa

como catalizador 3. Trujillo es el nombre de una ciudad peruana

y/o de una ciudad española

4. En Trujillo se fabrican zapatos salvo que también casacas de cuero

5. Noelia estudia lógica y bien o también matemática Formas disyuntivas incluyentes. 1. La plata tiene número atómico 47 ó 54 2. Trujillo es una ciudad peruana o únicamente

ecuatoriana 3. O el petróleo es un energético o es materia

prima de productos farmacéuticos 4. Trujillo exporta zapatos o sólo algodón 5. O Noelia postula a medicina o postula a

contabilidad

Formas implicativas. 1. Si el cobre es un metal entonces conduce la

electricidad 2. Si el oro conduce la electricidad, no es aislante

eléctrico 3. Porque el otorongo es un félido, es carnívoro 4. El otorongo es félido por lo tanto es ágil 5. Los tigres son félidos consecuentemente tienen

cuerpo ágil 6. Es suficiente que un cuerpo se caliente para

que se dilate 7. Para que haya recesión en el Perú es necesario

que haya inflación

Formas replicativas. 1. Hay calentamiento de las aguas del mar porque

aumentó la temperatura global 2. Sólo si aumentó el ingreso de divisas al Perú,

aumentó el índice de las exportaciones 3. Sube el precio de la mayoría de productos

cuando sube el precio del petróleo 4. La capa de ozono está siendo afectada por la

contaminación en vista que se emiten muchos gases industriales



5. Para que un alumno ingrese a la universidad es suficiente que responda poco más de la mitad del examen

6. Es necesario que los clavos de hierro se dilaten para que sean calentados

Formas biimplicativas. 1. Que haya alta temperatura equivale a que haya

humedad ambiental 2. Aumentará el empleo en el Perú si y sólo si el

gobierno aplica políticas de estabilización económica

3. La producción de conservas tiene valor agregado luego y sólo luego su fabricación aumenta el ingreso de los peruanos

4. Los rumiantes son herbívoros siempre y cuando sean mamíferos

3. RECOMENDACIONES. Uso de signos ortográficos.

1. O Eliana trabaja y estudia o se dedica al deporte, luego se dedica a la artesanía; pero es imposible que se dedique a la artesanía. Luego, Eliana trabaja y/o se dedica al deporte

2. Si estudio, trabajo; además, si trabajo, progreso. Luego, si estudio, progreso; salvo que me dedique al arte

3. El trigo y el arroz son cereales, salvo que el maíz sea una gramínea; luego, en el Perú se consume trigo y cebada, además arroz

4. Multiplicidad de variables. 5. José, Esteban y Paola estudian en Cepunt,

además, postulan a derecho 6. Luisa, Angélica y Blanca postulan a la UNT,

pero ninguna estudia biología 7. Buenaventura, Yanacocha y Southern Perú son

empresas mineras que no exportan estaño ni cinc

Distinción Término – Proposición. 1. Calor equivale a traba.o. 2. La matemática es necesaria para la filosofía. 3. Que traba.e es incompatible con que estudie. 4. Que Ysela y Luisa sean hermanas equivale a

que sean parientes en segundo grado. Orden en las traducciones verbales.

1. No sólo es falso que si traba.o, estudio; sino que si es falso que traba.o, progreso.

2. Es necesario que sea suficiente que via.e a Lima para llegar al Cuzco, para que sea suficiente para llegar a Tru.illo que via.e a Lima.

3. O no sólo es falso que estudio lógica y matemática sino que practico deporte, o es falso que no sólo practico deporte sino que estudio inglés y francés.


01. O bien el asma afecta a los pulmones o bien al corazón y a los huesos; pero no es el caso que afecte al corazón del mismo modo a los pulmones.

Se formaliza: ……………………………….

Resolución

[p (q r)] - (q p)

02. Existe movimiento material cada vez que y sólo cuando existe movimiento energético; pero si no existe movimiento material, existe movimiento; del mismo modo si existe movimiento material, no hay movimiento energético.


Resolución

(p q) (- p r) (p - q)

03. O bien Andrómeda es una constelación o bien es una galaxia y está cerca de la tierra; aunque es absurdo pensar que Andrómeda sea una constelación. En consecuencia Andrómeda es una galaxia así como está cerca de la tierra.


Resolución

{[p (q r)] - p} (q r)

04. Estudiaré en la universidad, salvo que solamente postule al instituto e ingrese a la universidad; pero es absurdo que no postule al instituto o no ingrese a la Universidad. Por lo tanto no estudiaré en la universidad.


Resolución

{[p ((q r)] - (- q - r)]} - p 05. La lógica es general, formal y matemática. Es la

lógica general porque estudia al intelecto en su búsqueda de la verdad y es formal porque estudia la estructura de las inferencias. A la vez es matemática porque demuestra la validez de la inferencia.


Resolución

(p q r) [(p s) (q t) (r u)]

06. Es absurdo pensar que, si suben los precios, habrá bienestar social; pero no es el caso que si hay bienestar social entonces no suben los precios.


Resolución

– (p q) - (q - p)



07. Es necesario que haga frío para que llueva, inclusive es suficiente que sea invierno para que haga frío. Si llueve entonces es falso que haga frío. Por tanto estamos en invierno.


Resolución

{[(p q) (r p)] (q - p)} r

08. En Virú se cultiva maíz, ciruela, espárrago al igual

que yuca; sin embargo el cultivo de espárrago produce mayores dividendos que el cultivo conjunto de los otros tres productos.


Resolución

(p q r s) t 09. El cloro y el hidrógeno son gases a temperatura

ambiente, aunque no están juntos en la tabla periódica. Además son los únicos componentes del ácido clorhídrico pero no están unidos por enlace metálico.


Resolución

[(p q) - r] (s - t) 10. Manuel no tiene la misma edad que Gerónimo

pero estudian juntos aunque, no son vecinos no obstante tienen la misma afición por el deporte.


Resolución

(- p q) (- r s)

PRÁCTICA DE CLASE 01. “No es cierto que, Mozart no sepa tocar el piano y

no componga melodías, ya que es egresado de la Escuela de Música”. Se formaliza como:

a) (pq)(rp) b) (pq) r

c) (pq) r d) (p q) r e) N.a. 02. “Subirán los intereses bancarios porque subirá la

cotización del dólar, en vista de que, subirá la cotización del dólar sólo si el gobierno no puede controlar la inflación”. Es una proposición cuya formalización correcta es:

a) (pq)(qr) b) (pq)(qr)

c) (pq)(qr) d) (pq)(qr) e) N.a.

03. La proposición: "No es el caso que, si César Vallejo no estudiaba educación no habría podido escribir sus obras. Dado que, César Vallejo no pudo escribir sus obras porque enseñaba en el Colegio". Se formaliza:

a) q r p q

b) p q q r

c) p q) q r

d) p q q r e) N.a. 04. “Chile y Argentina no son productores de hojas de

coca”. Se formaliza como en:

1. p q 2. p q 3. pq

4. p q 5. p q Son ciertas: a) 1 y 4 b) 2 y 5 c) 4 y 5 d) 3 y 4 e) 2 y 4 05. La proposición: "O bien el guepardo es un felino o

bien es un animal doméstico. Sin embargo, el arenque es acuático salvo que los monotremas sean mamíferos". Se formaliza:

a) (p q) (r s) b) (p q) (r s)

c) (p q) (r p) d) (p r) s e) T. a. 06. La proposición: “Porque los gases al igual que los

líquidos, no son dúctiles ni maleables, obviamente que son fluidos”. Se formaliza:

a) [(p q) (r q)] (t u)

b) [(p q) (r s)] t

c) [(p q) (r s)] (t u)

d) (p q) r e) N. a. 07. “Sólo si un gas es sometido a altas temperaturas,

genera trabajo mecánico; sin embargo, es suficiente que algunos fluidos reaccionen para que generen energía”. Se formaliza:

a) (p q) (r s) b) (p q) (p r)

c) (p q) (p s) d) (p q) (r s)

e) (p q) (r s) 08. La proposición: “Sólo si un negocio es

económicamente rentable entonces los costos que representa son bajos, o bien y también, tiene gran demanda comercial”. Se formaliza como:

a) (p q) r b) (p q) r c) (p q) r

d) (p q) r e) n. a.



09. La proposición: "La negación es formalizada lógicamente siempre que y sólo cuando corresponda a un operador lógico". Se formaliza como:

a) p q b) p q c) p q

d) p (q r) e) p (q r) 10. La proposición: "Los hermanos Artidoro, Luis y

Róger Cáceres son congresistas y bien o también son socios comerciales de la empresa Importaciones Juliaca". Se formaliza:


d) p(qr) e) (p q) r 11. "Bolivia y Brasil no son los países de mayor y

menor riqueza mundial, respectivamente". Se formaliza como:


d) (p q) (r s) e) p q 12. La proposición: “De ninguna manera se da que, la

oferta favorezca al productor excepto que la demanda no favorezca al consumidor”. Se formaliza como:

a) (p q) b) (p q) c) (p q)

d) (p q) e) (p q) 13. La proposición: “Porque la luz tiene naturaleza

dual, se transmite en el vacío. Sin embargo, el sonido no se transmite en el vacío porque tiene naturaleza ondulatoria” Se formaliza como:

a) (A B) (B C)

b) (A B) (C D)

c) (A B) (B C)

d) (A B) (C D)

e) (A B) (C D) 14. La proposición: “Que la política sea social es una

condición suficiente y necesaria para que la política no sea económica” Se formaliza como:

a) A B b) A B c) A B

d) A B e) (A B) 15. La proposición: “Es falso que si canto me alegro o

bien es mentira que siempre que alegro canto” Se formaliza como:

a) A B b) (A B) (B A)

c) A B d) (A B) (B A)

e) A B

VERDAD FORMAL

APRENDIZAJES ESPERADOS

Conoce las reglas de los conectores lógicos

Utiliza la tabla de verdad

Aplica los criterios de verdad a diferentes modelos formales

Distingue esquemas tautológicos, contradictorios y contingentes

NOTITA IMPORTANTE

Jan Łukasiewicz (21 de diciembre, 1878 - 13 de febrero, 1956) matemático polaco que nació en Lwów, Galicia (ahora Leópolis, Ucrania). Su trabajo matemático se centró en la lógica matemática. Él pensó innovar en la tradicional lógica preposicional, el principio de no contradicción y el principio del tercero excluso. Łukasiewicz trabajó en lógica polivalente, incluyendo su propio cálculo de tres valores, la primera lógica de cálculo no clásica.

FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA

1. REGLAS DE LOS CONECTORES LÓGICOS

Negador. Si es V, luego –V = F

Conjuntor.

VV = V; otros = F <

Disyuntor incluyente:

FF = F; otros = V Daga de Shefer:

FF = V; otros = F Barra de Nicod:

VV = F; otros = V Implicador:

VF = F; otros = V

Replicador:

F V = F; otros = V Biimplicador:

VV=V ó FF=V; otros=F Disyuntor excluyente:

VF = V ó FV = V; otros = F



p q –p –q pq pq pq

V V F F V V V

V F F V F V F

F V V F F V V

F F V V F F V

p q pq pq pq pq pq

V V V F V F F

V F V V F F V

F V F V F F V

F F V F V V V

p q p–q –pq –pp –pp

V V F F F V

V F V F F V

F V F V F V

F F F F F V

2. LA TABLA DE VERDAD

2) Variables 1) Fórmula molecular

3) Arreglos 4) Cálculo matricial

1) Fórmula molecular. En ese lugar va la fórmula a la que se le quiere determinar el valor de verdad 2) Variables. En este cuadrante va una de cada una de las variables en orden alfabético. Por ejemplo: AB

3) Arreglos. O combinaciones de verdad Se determina con la fórmula: 2n Donde “n” es el número de variables 4) Cálculo matricial. Es la determinación de la matriz principal de una fórmula molecular basándose en las reglas de los

operadores

3. TIPOS DE MATRIZ PRINCIPAL

Tautológica Sólo valores V (1) Contradictoria (Cortocircuito, inconsistente) Sólo valores F (0) Contingente Al menos un V (1) y al menos un F (0)




01. La matriz principal de: [A (–B A)] B Es: a) 0011 b) 1110 c) 0010 d) 0100 e) 1101

Resolución

02. La matriz principal de: (A –B) (A B) Es: a) 0111 b) 1100 c) 1010 d) 0000 e) 1111 Resolución

03. La matriz principal de: A [–B (A B) Es: a) 1100 b) 0010 c) 0001 d) 0111 e) 1001 Resolución



04. La matriz principal de: [(A –B) –A] B Es: a) 1111 b) 1110 c) 0010 d) 0100 e) 0000

05. La matriz principal de: [(A B) (–A B)] A Es: a) 0011 b) 1110 c) 0010 d) 0100 e) 1101 Resolución

06. La matriz principal de: [(A –B) –A] B Es: a) 0011 b) 1110 c) 0010 d) 0100 e) 1101 Resolución



PRÁCTICA DE CLASE Con la siguiente información:

p: F q: V r: F s: V t: F u: V

Resuelva los siguientes ítemes: 01. Los valores de verdad de las fórmulas:

1. (–q u) (p –s)

2. [– (u s) r] –p

3. q – [–t (p q)] Son: a) 111 b) 110 c) 100 d) 101 e) 011 02. Los valores de verdad de las fórmulas:

1. (–p) [(p –t) r]

2. (p –q) (–r s)

3. –{– [– (–p q) s] t} u Son: a) 111 b) 110 c) 100 d) 101 e) 011 03. Los valores de verdad de las fórmulas:

1. p {–q [p – (t –u)]}

2. (–p s) (t u)

3. (–p & t) (s –q) Son: a) 010 b) 001 c) 000 d) 101 e) 011 04. Los valores de verdad de las fórmulas:

1. –u [–p (–t s)]

2. [–p (q –s)] (–t (p s)]

3. (–p s) [t + – (–q u)] Son: a) 111 b) 110 c) 100 d) 101 e) 011 05. Dado el siguiente esquema:

[(A B) (A C)] Verdadero Los valores de las variables son: a) FVV b) VVF c) FVF d) VFV e) VVV

06. Dado el siguiente esquema:

(A) [(B C) D] Falso

Los valores de las variables son: a) VVFF b) FFVV c) VVVV d) FFFF e) VFVF


(A B) (A C) Verdadero Los valores de las variables son: a) FFF b) VVV c) VFV d) FVF e) VVF


(B A) (C D) Verdadero Los valores de las variables son: a) VFVF b) FVFV c) FFFV d) VVVF e) VVFF 08. Los valores de verdad de las fórmulas:

1. (–p) [(p –t) r]

2. (p –q) (–r s)

3. –{– [– (–p q) s] t} u Son: a) 111 b) 110 c) 100 d) 101 e) 011 09. Dado el siguiente esquema:

[(A B) (C D)] Verdadero Los valores de las variables son: a) FFFV b) FVFV c) VVFV d) FVFF e) FFVV 10. Dado el siguiente esquema:

(A B) {[(C E) D] A} Verdadero Los valores de las variables son: a) 11011 b) 10101 c) 00100 d) 01010 e) 10011

AUTOEVALUACIÓN Nº 02 CAPACIDAD: Razonamiento y demostración. 01. Son proposiciones:

1. El conjuntor es un operador proposicional 2. No es tan fácil aprenderse las traducciones

verbales. 3. Si no estamos atentos a la clase, jamás

aprenderemos. 4. La lógica formal estudia la validez del

razonamiento. 5. La lógica proposicional es una rama de la lógica

formal.

Son ciertas: a) 1, 3 y 4 b) 2, 3 y 5 c) 1, 2 y 5 d) 1, 4 y 5 e) 2, 3 y 4



02. Son proposiciones:

1. Wittgenstein es considerado uno de los filósofos más notables del siglo XX.

2. A Gottlob Frege se le valora después de muerto. 3. Russell recibió más galardones que G. Frege. 4. K. Gödel fue compatriota con Wittgenstein 5. G. Frege fue respetado por B. Russell y por K.

Gödel. Son ciertas: a) 1, 3 y 4 b) 2, 3 y 5 c) 1, 2 y 5 d) 1, 4 y 5 e) 2, 3 y 4 03. El enunciado: “El Rey Carlos III intentó gobernar de

manera práctica al igual que eficaz, puesto que no sólo redujo la burocracia noble sino también la sustituyó por la ilustrada”

Se formaliza:

a) (p q) (r & s) b) (p & q) (-r & s)

c) (p & q) (r & s) d) (p & q) (r & s)

e) (p & q) (-r & -s) 04. Si se cumple que: A = Falso B = Verdadero Las fórmulas verdaderas son: 1. B (A A) 2. ~A B

3. (~B A) A

4. (A B) B

5. ~(~A B) [~(A B) B] Son ciertas: a) Sólo 1, 2 y 3 b) Sólo 3, 4 y 5 c) Sólo 1, 3 y 5 d) Sólo 2, 3 y 4 e) Todas 05. Sean las proposiciones: A= El Sol no es una estrella de neutrones B= Marte tiene anillos planetarios C= Deimos es un satélite natural de la Tierra Los valores finales de las formulas:

I. (A B) ~C

II. [(A B) A] (B ~B)

III. [(A ~B) ~C] (A ~B)

Son respectivamente: a) 111 b) 000 c)010 d) 011 e) 001 CAPACIDAD: Comunicación matemática 01. Son proposiciones: 1. La Libertad es el departamento que lidera las

exportaciones agroindustriales en el Perú.

2. Uno de los principales destinos de las exportaciones libértelas es Estados Unidos.

3. También Colombia. 4. El crecimiento económico liberteño permitirá

que los trujillanos vivan mejor. 5. La alcachofa, al igual que el espárrago, es uno

de los principales productos de exportación en La Libertad.

Son ciertas: a) 1, 3 y 4 b) 2, 3 y 5 c) 1, 2 y 5 d) 1, 4 y 5 e) 2, 3 y 4 02. La proposición: “No sólo es falso que no sólo viva

en Francia sino que también tengo visa para EE.UU., sino que, no sólo es falso que vivo en España sino que es veraz que viajé a Italia”; se formaliza:

a) (p q) (r s) b) [(p q) (r s)]

c) [(p q) (r s)] d) (p q) (r s)

e) (p q) (r s) 03. La expresión: “Es absurdo que; cada vez que Juan y

Juana visitan a Mayra obviamente le llevan regalos. No obstante, a ninguno de los tres les visita Mario”. Se formaliza:

a) [(p q) (r s)] (t u v)

b) [(p q) (r s)] t

c) [(p q) (r s)] (t u v)

d) [(p q) r] (s t u)

e) [(p q) r] s 04. Dadas las proposiciones verdaderas: p = El evento de Tungska ocurrió en 1908 q = El Experimento Filadelfia fue llevado a cabo

en 1943 r = La Materia Exótica no se encuentra en el

Sistema Solar El valor final de las fórmulas:

I. p (q r)

II. p (q r)

III. p (r q) Es, respectivamente: a) 100 b) 011 c) 111 d) 000 e) 101 05. Si se cumple que: p = 0 ; q = 0 ; r = 1 ; s = 1 El valor final de las fórmulas:

I. (p q) (r s)

II. (r p) (q p)

III. (p s) (r q)



Es, respectivamente: a) 100 b) 110 c) 001 d) 010 e) 000 CAPACIDAD: Resolución de problemas 01. Son proposiciones: 1. Es mejor ahorrar en euros que en dólares

americanos por la estabilidad de la Unión Europea

2. El dólar es más caro que la rupia, de la India, y que el yuan, de la China.

3. La India tiene más de mil millones de habitantes, sin embargo, China es el país más poblado del mundo

4. Si sigue creciendo la población mundial a este ritmo, pronto será insostenible la vida en la

Tierra 5. El ingreso per cápita peruano es mayor que el

ingreso per cápita de la República Popular China

Son ciertas: a) 1, 3 y 4 b) 2, 3 y 5 c) 1,2 y 5 d) 1, 4 y 5 e) 2, 3 y 4 02. Son proposiciones: 1. Los Moches fueron una civilización ejemplar en

el antiguo Perú 2. El hombre de Guitarrero vivió

aproximadamente hace 13000 años a.C., a orillas del río Santa

3. Las culturas Chavín y Cupisnique se desarrollaron en el período conocido como Horizonte Temprano

4. Se le denomina Sra. de Cao a la momia perteneciente a una gobernante de la cultura Mochica

5. La manera como fue conservada la Sra. de Cao es impresionante

Son ciertas: a) 1, 3 y 4 b) 2, 3 y 5 c) 1, 2 y 5 d) 1, 4 y 5 e) 2, 3 y 4 03. La proposición: “La lógica es necesaria para la

ciencia porque la ciencia tiene aplicaciones en la técnica; todo lo anterior implica y está implicado por el hecho que la lógica es necesaria para la técnica”.

Se formaliza:

a) [(pq)r] (ps)

b) (pq)r

c) [(pq)r] (st)

d) (pq)r

e) [(p q) r] (p s)

04. La matriz principal de: “Bolivia exporta petróleo y

gas natural a Chile, porque dispone de recursos naturales” Tiene:

1. 3 valores falsos en su matriz principal 2. Todos los valores verdaderos 3. Al menos un valor verdadero 4. Al menos un valor falso 5. 5 valores de verdad en su matriz principal

Son ciertas: a) 1, 2 y 5 b) 2, 4 y 5 c) 1, 3 y 4 d) 2, 3 y 5 e) 1, 3 y 5

05. Si se cumple: p @ q = q

La matriz final de:(p @ q) @ (p @ q) Es:

a) 1100 b) 0011 c)0101 d) 1010 e) 1001

SOLUCIONARIO

Nº ALTERNATIVA

01. D

02. A

03. D

04. E

05. D

06. C

07. E

08. C

09. E

10. E

11. B

12. E

13. B

14. C

15. C

logica proposicional

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