LOGICA PROPOSICIONAL

La lógica proposicional también llamada “Simbólica” o “Matemática”, es aquella parte de la lógica que estudia las proposiciones y símbolos utilizados en la formación de nuevas proposiciones que podrán ser verdaderas o falsas, señaladas por reglas formales.La lógica es la ciencia que estudia los métodos y las leyes para determinar cuando la inferencia es válida. La inferencia es una estructura de proposiciones que consiste en pasar de unas proposiciones llamadas premisas a otra proposición llamada conclusión.

I. Enunciado .- Es toda frase u oración que señala alguna idea. Ejemplos:

Tú eres lo máximo El cuaderno es azul 7 – 3 = 4 José y Manuel son niños ¿Cuál es tu nombre? ¡ Viva el Perú !

1.1. Clases de enunciado.- Pueden ser: A. Enunciado cerrado o proposición lógica.- Es una expresión coherente que se

caracteriza por el hecho de poseer un único valor de verdad (V) o falsedad (F) sin ambigüedad; en un determinado contexto.Ejemplos:

Toledo es Huaracino (V) -2 < -3 (F) x + 1= 1 + x (V) 3 + 2 = 5 (V)

B. Enunciado Abierto.- Es aquel en el cual intervienen una o más variables, que admiten la posibilidad de convertirse en una proposición lógica, cuando cada variable asume un determinado valor, también se le conoce como función proposicional.

Ejemplos:

x2 – 5 > 4 x + 5 = 10 x2 – 3 = 2

II. Proposición.- Es aquel enunciado aseverativo (afirma algo) del cual se puede señalar si es verdadero o falso; pero no ambos a la vez, con respecto a una realidad.Ejemplos:

El Perú está en Sudamérica (-2)2 = 22

Yo ingresé y ella se casó Lima es capital del Perú

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Conectivo u Operador lógico.- Llamados también “constantes lógicas”,“estructuras lógicas”,“Términos de enlace”,“Funcktores”, etc. Son todos aquellos términos, palabras o símbolos que enlazan proposiciones sin formar parte de ellas. Las proposiciones se denotan con letras minúsculas, como p, q, r, s, t, etc.Sean las proposiciones p y q ; los conectivos más conocidos son :

a) El negador : “no” ; ; no pb) El conjuntor: “y” ; p q; p y qc) El disyuntor incluyente: “o” ; p q; p o qd) El disyuntor excluyente: “o … o” ; p v q; o p o qe) El implicador: “Si … entonces … ” ; p q; Si p entonces qf) El biimplicador: “sí y sólo sí” ; p q; p sí y sólo sí qg) El inalternador: “ni … ni … “ ; p q; ni p ni qh) El incompatibilizador: “no … o no … “ ; p q; no p o no q

2.1. Clases de proposiciones:

A) Proposición simple o atómica.- Aquella que tiene un sujeto y un predicado (no llevan conectivos lógicos). Se les llama también monádicas o monarias. Ejemplos:

Napoleón nació en Córcega Lima es capital del Perú Beto es Tío de Ana Colón descubrió América en 1492 Los felinos son más carnívoros que los primates Julio trabaja en el taller Ana, Rosa y Patty son hermanas El diccionario es nuevo Ciertos niños son más educados Todos los hombres son mortales Algunos libros son de Historia

B) Proposiciones Compuestas.- Llamadas moleculares, son aquellos que están constituidas por las proposiciones simples; enlazadas entre sí por conectivos lógicos.Ejemplos:

Carlos es ingeniero y Luís es médico. Si Juan trabaja entonces no ve Televisión. Jaime ganó el partido o está enfermo. Nací en el Perú o en el Ecuador. Ingresas si y solo si estudias. Mabel estudia o trabaja. Yo no estudié. No es cierto que juegues o bailes : ~ ( p v q ) La democracia es incorruptible. Es mentira que en el Perú hay democracia. Los universitarios no son científicos.

OPERACIONES LÓGICAS2

Son operaciones que utilizan proposiciones para transformarlas en otras usando los conectivos lógicos.

1. Conjunción (Λ).- Es aquella operación que vincula dos proposiciones mediante el conectivo “y”, o alguna expresión equivalente.

Ejemplos:

Carlos esta enfermo y Ana prepara el almuerzo. Carlos es médico y María es profesora. En Cuba no hay democracia, sin embargo el pueblo apoya a Fidel. La Lógica es una ciencia pero la Astrología no lo es. El Perú y Chile son países con democracia. Los mamíferos son vertebrados y carnívoros.

Observación: Los signos de puntuación como el punto seguido (.) y las comas (,) muchas veces hacen de conjunción.

Ejemplos:

Vallejo fue poeta, escritor y revolucionario. Diana estudia medicina. Juan trabaja en un hospital.

Sinónimos de “y”:

Pero También Sin embargo Además Tal como Incluso No obstante Aunque A la vez Igualmente Tanto como Así como Por supuesto

Ejemplos:

Tu libro es azul aunque mi libro es rojo. Ana barre el piso sin embargo el cuarto está limpio. Juan llegó tarde al colegio igualmente llegó tarde a la casa.

2. Disyunción.- Es aquella operación que vincula dos proposiciones mediante el conectivo “o”. Esta operación puede ser:

2.1. Disyunción Débil (v).- Llamada también “inclusiva”, la proposición formada es verdadera si alguna de las proposiciones que los forman es verdadera o ambas son verdaderas.

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Ejemplos:

Juan es deportista o estudia inglés. Ana trabaja o estudia. La Química o la Biología son ciencias exactas. Se aprende estudiando, de lo contrario también haciendo.

Sinónimos de “o”:

Salve que. Excepto que. De lo contrario también. A menos que.

2.2. Disyunción fuerte (v).- Llamada también “exclusiva”, lo proposición formada es verdadera si sólo una de las proposiciones que lo forman es verdadera. En este caso sólo uno de sus miembros puede ser aceptado y no ambos a la vez.

Ejemplos:

O la lógica es una ciencia o es una técnica. O Carlos está en Lima o esta en Ica. O Marco es abogado excepto que sea comerciante. Carlos es profesor o sólo es abogado. Toledo es economista o únicamente es político.

3. Negación (~).- Es una operación que afecta a una proposición cambiándole su valor de verdad. Utiliza el adverbio “no”.

Ejemplos:

Ana no viaja a Lima. Es falso que Carlos canta. Juan no estudió.

Sinónimos de la negación:

Es falso que No ocurre que No es cierto que No es verdad que No es el caso que

4. Condicional. (→ ) .- Es aquella operación que toma dos proposiciones, llamando a la primera antecedente y a la segunda consecuente uniéndolas a través del conectivo “Si … entonces …” o expresiones equivalentes. También se le llama implicador.

Ejemplos:

Si José viajó entonces conoce Chiclayo.4

Si estudias entonces ingresas. Si hay inflación entonces hay desempleo. Si María se enfermó, dejó de ir al colegio. Ya que Janet es profesional, tiene su propia empresa.

Sinónimos de “Si” Sinónimos de “Entonces”

Porque Ya que Puesto que Dado que Siempre que Basta que En el caso de que Cuando Cada vez que Con la condición de que Con tal de que Pues Es implicado por

En consecuente Consecuentemente Luego Por lo tanto Se infiere Se deduce Implica Por eso Es obvio Por consiguiente De allí que Por ello Bien se ve Es condición suficiente para Es condición necesaria para

Ejemplos:

María dejó de ir al colegio cuando se enfermo Porque la oferta aumenta, por eso los precios disminuyen

Al antecedente también se le conoce como condición suficiente o simplemente proposición condicionadora.Al consecuente también se le conoce como condición necesaria o simplemente proposición condicionada.

5. Bicondicional (↔) .- Llamado también biimplicador. Es aquella que vincula dos proposiciones mediante el conectivo “ Si y sólo sí” o expresiones equivalentes.

Ejemplos

Carlos estudia ingles si y sólo sí viaja al extranjero. Existe estado de derecho si y sólo sí se respeta la Constitución. Iré al cine siempre y cuando vaya contigo.

Sinónimos:

Cuándo y sólo cuando Entonces y sólo entonces Siempre y cuando Si solamente si Es suficiente y necesario

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Ejemplo:

Para ser profesional es suficiente y necesario ser buen estudiante.

6. Barra de Shaffer, de incompatibilidad o de negación alterna.- ( | ) . Para dos proposiciones señala que la primera es incompatible con la segunda, esto es si las dos son verdaderas, la proposición negativa alterna es falsa.

Ejemplo:

José es hijo de Luís es incompatible con que Luís es menor que José.

Simbólicamente:

p : José es hijo de Luís q : Luís es menor que José

Entonces p | q “p es incompatible con q”La negación alterna es la negación de la conjunción:p | q ~ (p Λ q) ~p v ~q

7. Flecha de Nicod o de negación conjunta ( ) .- Para dos proposiciones, niega a la primera y a la segunda, mediante el conectivo “ni…. ni……”. Se llama también inalternador. La proposición resultante es verdadera si las proposiciones que lo forman son falsas.

Ejemplo:

Ni Carlos trabaja ni José estudia.

Simbólicamente:

p: Carlos trabajaq: José estudia

Entonces p ↓ q “ni p ni q”La negación conjunta es la negación de la disyunción débil.p ↓ q ~ (p v q) ~p Λ ~q

Representación de proposiciones compuestas

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Las proposiciones compuestas se representan mediante letras mayúsculas: P, Q, R, S, T , U , etc.Ejemplo:

P: José estudia en el día y trabaja en la noche.Se observa que P es una proposición molecular conjuntiva; simbolizando las proposiciones simples:

q : José estudia en el díar : José trabaja en la noche.

Se obtiene: P: q Λ r

Nótese que P depende de las variables proposicionales q y r, lo cual se puede señalar: P(q,r): q Λ rEjemplo:

a)b)c)

Jerarquía de conectores

Existe la siguiente jerarquía de conectores:De mayor jerarquía a menor jerarquía:

Esquemas Moleculares

Los esquemas moleculares son la combinación de variables y operadores proposicionales. También se le llama formula proposicional.Verdad Formal.- Es aquella que se obtiene evaluando esquemas moleculares haciendo uso de reglas de conectores lógicos y tablas de verdad.

I.- Clases de esquemas moleculares.- Tenemos:1.1. Esquemas moleculares por el conector de mayor jerarquía.- Si tenemos en cuenta

este criterio los esquemas moleculares son fórmulas compuestas por variables, operadores lógicos y en algunos casos signos de agrupación. El nombre del esquema molecular, lo determina el conector de mayor jerarquía. Para ello tenemos en cuenta lo siguiente: Ejemplos:

a) : esquema molecular condicional.b) : esquema molecular disyuntivo.c) : esquema molecular bicondicional.

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