Mg. Samuel Oporto Díaz Lima, 2 de Julio 2005

Lógica Proposicional

INTELIGENCIA ARTIFICIAL

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Tabla de Contenido

1. Lógica Proposicional.

2. Sintaxis

3. Semántica

4. Bibliografía

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Objetivos

• Presentar los conceptos básicos de la lógica proposicional.

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LOGICA PROPOSICIONAL

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Lógica Proposicional• Llamada de lógica de enunciados o lógica de orden 0, no

tiene, por sí misma, mucha utilidad para la representación del conocimiento.

• Es la lógica más sencilla de la lógica simbólica.

• Trata de la verdad o falsedad de una o varias proposiciones.

• Desde el punto de vista teórico es una forma restringida de la lógica de predicados de primer orden.

• Desde el punto de vista práctico es la base de los sistemas basados en reglas con triplas objeto-atributo-valor.

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Proposición• Una proposición es una sentencia (oración)

correctamente formada que puede ser verdadera o falsa

• Es una sentencia declarativa.

• Representa un hecho de la realidad.• Es una oración del lenguaje que consta de un sujeto y

un predicado, tiene un valor afirmativo.• Las oraciones interrogativas, exclamativas, imperativas,

no afirman nada y no pueden ser considerados enunciados.

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Ejemplos

Oraciones Luis y Marta van de pesca. Luis llamó a Marta para salir. El autobús pasa a las seis Mañana lloverá. χ ¡siéntate!

χ ¿cuándo sale el autobús?

χ ¿fueron a pescar Luis y Marta finalmente?

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Aplicaciones

• Análisis de circuitos• Análisis y confiabilidad de sistemas mediante

árboles lógicos.• Aplicaciones de satisfactibilidad a problemas de

planeación.

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Sintaxis y Semántica

Sintaxis

• Conjunción (Λ).

• Disyunción (V)• Implicación• Premisas• Conclusión.

• Equivalencia

• Negación.• Sentencias Atómicas• Sentencias Completas

Semántica

• Tabla de verdad.• Validez e inferencia• Modelos• Reglas de inferencia

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SINTAXIS

∨⇔⇒

¬ ∧

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Símbolos• Los símbolos usados en la lógica propositiva son:

– Las constantes lógicas Verdadero y Falso.– Los símbolos de proposiciones tales como P y Q.– Los conectivos lógicos ∧, ∨, ⇔, ⇒, y ¬ y paréntesis ().– Todas las oraciones se forman combinando los símbolos

anteriores mediante ciertas reglas.

• Las constantes lógicas Verdadero y Falso constituyen oraciones en sí mismas

• Un símbolo propositivo como P o Q es una oración en sí misma.

• Encerrar entre paréntesis una oración produce también una oración, por ejemplo (P ∧ Q).

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Sintaxis• Conjunción (Λ) (y). A la oración cuyo conector principal

es ∧ (y) se le llama conjunción, y a sus partes se les llama coyuntos.

• Disyunción (V) (o). A la oración cuyo conector principal es ∨ (o) se le llama disyunción, y a sus partes se les llama disyuntos.

• Implicación (⇒). Una oración como P ⇒ R se conoce como implicación (o condicional), su premisa o antecedente es P y su conclusión o consecuente es Q. A las implicaciones también se les llama reglas o aseveraciones si-entonces.

• Premisas. Son los antecedentes de una implicación.Premisa1: Si un libro es sobre ordenadores entonces es terriblemente aburrido Premisa2: Éste es un libro sobre ordenadores Conclusión: Este libro es terriblemente aburrido

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Sintaxis• Conclusión.

– Corresponden al consecuente de una implicación

• Equivalencia.– Dos sentencias α y β son equivalentes lógicamente si es que

son verdaderas con el mismo conjunto de hechos.

• Negación ¬ (no).– A una oración como ¬P se le llama negación de P. ¬ es el único

de los conectores que funcionan como una sola oración.

• Sentencias Atómicas.– Verdadero, falso, P, Q, R, S

• Sentencias Completas.– Sentencia | Conectivos | Sentencias� ¬ Sentencia

Premisa1: A ⇒ BPremisa2: AConclusión: B

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Ejercicios• Formaliza las siguientes proposiciones:

1. No es cierto que no me guste bailar

2. Me gusta bailar y leer libros de ciencia-ficción.

3. Si los gatos de mi hermana no soltaran tanto pelo me gustaría acariciarlos.

4. Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creería que hay vida extraterrestre.

5. Una de dos: o salgo a dar un paseo, o me pongo a estudiar como un energúmeno.

6. Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy como una regadera y dejaría que me internaran en un psiquiátrico.

7. Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para ello y no tengo que ir a trabajar.

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Solución1. [B me gusta bailar]. ¬(¬B)

2. [B me gusta bailar. C me gusta leer libros de ciencia ficción]. B C∧

3. [G los gatos de mi hermana sueltan pelo. A me gusta acariciar los gatos ]. ¬G→A

4. [M ver un marciano con mis propios ojos. E creer en los extraterrestres ]. M E⇔

5. [P salir a dar un paseo. E estudiar como un energúmeno]. P V E

6. [V los elefantes vuelan. T los elefantes tocan él acordeón. L estar loco. P internar en un psiquiátrico ]. ( V V T ) →( l P)∧

7. [ V ir de vacaciones. N no hacer nada. T tener tiempo. I ir a trabajar]. (T ¬I ) →(V V N )∧

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Ejercicios• Formaliza la siguientes proposición:

Si tuvieran que justificarse ciertos hechos por su enorme tradición entonces, si estos hechos son inofensivos y respetan a todo ser viviente y al medio ambiente, no habría ningún problema. Pero si los hechos son bárbaros o no respetuosos con los seres vivientes o el medio ambiente, entonces habría que dejar de justificarlos o no podríamos considerarnos dignos de nuestro tiempo.

J. Justificar hechos

T. Enorme tradición.

I. hechos inofensivos y respetan a todo ser vivo y al medio ambiente

N. no hay problema

D. dignos de nuestro tiempo

[(J Λ T) (I N)] Λ [(-I -J) V D]

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Ejercicios• Formaliza la siguientes proposición:

Mary puede escribir el programa en Fortran o Pascal o de plano no escribirlo. Si no escribe el programa sacará cero y reprobará el curso. Si reprueba el curso será puesta en el padrón de jalados y si se saca cero su novio la dejará. Si Mary escribe el programa en Fortran reprobará el curso pero si lo escribe en Pascal pasará.

P: Mary escribe el programa en PascalQ: Mary escribe el programa en FortranR: Mary no escribe el programaS: Mary saca un ceroT: Mary reprueba el cursoU: Mary es puesta en el padrón de jaladosV: El novio de Mary la deja.

(PvQvR) ^ (PvQ¬R) Λ(R(S ^ T) ^ (TU) ^ (QT) ^ (P¬T)

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SEMÁNTICA

βα

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Semántica• Tablas de Verdad.

P Q ¬P P ∧ Q P ∨ Q P ⇒ Q P ⇔ Q

F F V F F V V

F V V F V V F

V F F F V F F

V V F V V V V

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Semántica• Validez e inferencia

– Se puede obtener la validez de una oración compleja de la siguiente manera:

P H P ∨ H (P ∨ H) ∧ ¬P ((P ∨ H) ∧ ¬P ) ⇒ P

F F F F V

F V V F V

V F V V V

V V V F V

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Semántica• Modelo

– Un mundo en el que una oración es verdadera de acuerdo con determinada interpretación se denomina modelo de dicha oración bajo tal interpretación.

– Los modelos son muy importantes para la lógica, puesto que una oración α es implicación de una base de conocimientos BC cuando los modelos de BC también son todos modelos de α.

– Siendo este el caso, siempre que BC sea verdadera, también α será verdadera.

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Reglas de Inferencia• La inferencia lógica es un proceso mediante el que se

implanta la relación de implicación que existe entre dos oraciones.

• Existen ciertos patrones de inferencia que se presentan una y otra vez, lo que permite establecer de una vez por todas su confiabilidad.

• La regla permite evitar pasar por las tablas de verdad.

• α |= β, que significa que β se puede obtener desde α mediante inferencia.

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Reglas de Inferencia• Modus Ponens

• Y-Eliminación

• Y-Introducción.• O-Introducción.• Doble Negación Eliminación.• Resolución Unitaria

• Resolución.

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Bibliografía• AIMA. Capítulo 6, primera edición.

• AIMA. Chapter 7, second edition.

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PREGUNTAS