Unidad 2 : logica proposicional

Profesor: William Jiménez López

Materia: Matemáticas discretas

Carrera: Ingeniería en Tic’s

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE IZTAPALAPA II

Irving Enrique De Los Santos González

Miércoles 11 de mayo del 2011

Lógica formal

Parte del conocimiento cuyo objeto es investigar y desarrollar y establecer los métodos adecuados para poder reconocer razonamiento (argumentos) correcto de lo incorrecto.

Estudia la estructura de las proposiciones y el razonamiento deductivo atreves de un proceso que hace abstracción del contenido de las proposiciones consideradas, referir enlace solo a su forma lógica.

Proposiciones y conectivos lógicos

Proposición o proposiciones.

Una proposición es una oración declarativa la cual es verdad (V, 1) o falsa (F, 0) pero no ambas.

Ejemplos.

a) México está en América = V ¿hoy es viernes? pregunta b) El sol es una estrella = V ¡vámonos¡ ordenc) 17 + 38 = 21= F

NOTA:

Se dice que las proposiciones son oraciones declarativas (No interrogativas ni exclamativas), y que por lo tanto tiene un valor veritativo es decir, que son verdaderas (V, 1), o falsas (F, 0), pero no ambas a la vez.

Proposiciones simples y compuestas

Se dice que una proposición es simple (o atómica) si no contiene un conectivo lógico.

Ejemplo:

La tierra es plana. Hoy es jueves.

Cuando una o más proposiciones están afectadas o combinadas por uno o más conectivos lógicos, se dice que estas forman una proposición compuesta o molecular.

Ejemplo:

Mañana es miércoles o viernes. No está soleado ni está nublado.

Conectivos lógicos

Las palabras o términos mediante los cuales “se afectan combina una o mas proposiciones, se llaman términos de enlaces de conectivos lógicos”, estos son:

Negación, conjunción, disyunción, condicional o implicación, bicondicional y la disyunción exclusiva.

NOTA:

“Orden de prioridad de los conectivos lógicos, se usara generalmente un paréntesis para especificar el orden en que se aplicara los operadores lógicos en una proposición compuesta.”

Nombre Símbolo Lectura Jerarquía o dominancia

Negación ~,¬ No, o no es cierto que …

Mínima

Conjunción o producto lógico

ʌ ,∩, & …y… Baja

Disyunción o suma lógica

V, u …o… Baja

Condicional o implicación

⇒ Si…entonces… Media

Bicondicional ⇔ …si y solo si… Alta

Disyunción exclusiva

v O…o… Baja

(P V Q) ∧ (¬ R),

Es la conjunción de p o q y negación de r.

No obstante para evitar el uso excesivo del paréntesis, se adopta un orden de prioridad para los operadores lógicos, dado como sigue:

1) El operador de negación (¬) tiene la prioridad sobre todos los conectivos lógicos (operadores lógicos).

De esta manera ¬ p ∧ q significa (¬ p) ∧ q pero no ¬ (p ∧q)

2) El operador de conjunción (∧) tiene prioridad sobre todos los otros operadores de disyunción (V); así p ∧ q V r significa (P∧Q) U r pero no p∧ (p v q).

3) Los operadores condicionales ( ), bicondicional (⇒ ⇔), tienen menor prioridad que otros operadores; entre ellos, la condicional (⇒), tienen prioridad sobre la bicondicional (⇔).

(p ⇒ q) ⇔ r

Hipótesis o premisa

p ⇒ q Conclusión o consecuencia.

[(¬ R) ⇒ [p v(a ∧ r)]] ⇔ H

Simbolización de proposiciones

En matemáticas literales como x, y, z denotan variable; las cuales pueden ser sustituidas por números reales. Estas pueden ser combinados entre si mediante las operaciones ordinarias (+, -, x, /) y lógica, las letras del alfabeto castellano (a, b, c…..z) (A, B, C…..Z) escritas con mayúsculas o minúsculas, denotan variables proposicionales o componentes lógicos, y son utilizados para representar simbólicamente una proposición. Las proposiciones a su vez, pueden sr combinadas entre si, mediante los conectivos lógicos para formar otras proposiciones.

Por ejemplo:

La informática nos permite automatizar los procesos en el manejo de la información.

Simbolizado como variable A que contiene toda la oración.

A=”la informática que nos permite automatizar los procesos en manejo de la información”

Ejemplo 2:

La paz favorece el desarrollo de las ciencias y de las artes.

Simbólicamente:

P=”la paz favorece el desarrollo de las ciencias”

Q=”de las artes”

Esto es igual a:

P ∧ Q

1) Si x=3 y y=5 entonces x-y= 14+k

P= “x=3”, Q=”y=5”, R=”x-y=14+k”

Su representación es:

P∧Q ⇒ R

2) O triunfa un partido en el poder o triunfa un partido de oposición.

P=”triunfa un partido en el poder”Q=”triunfa un partido de oposición”

Su representación es:

P v Q

3) No es cierto que 5 es un número par

P=”5 es un numero par”

Su representación es:

¬ p

Ejemplos:

1) Si no estudio me va a ir mal en el examen y sacare mala calificación.

P=”estudio”

Q=”me va a ir bien en el examen” ¬P ⇒ ¬Q ∧ ¬RR=”sacare buena calificación”

2) Si me enseñas entonces aprenderé y lo demostrare o definitivamente no lo are.

M=”me enseñas”

N=”aprenderé” M ⇒ N∧ O V ¬PO=”lo demostrare”P=”definitivamente lo haré”

3) Si una estrella muere entonces deja de brillar y muere y suele apagarse.

P=”una estrella muere”

Q=”deja de brillar” P ⇒ Q ∧ P V CR=”suele apagarse”

4) Si las estrellas emiten luz, entonces los planetas la reflejan y giran alrededor de ellas.

P=”las estrellas emiten luz”

Q=”los planetas la reflejan” P ⇒ Q ∧ R

R=”los planetas giran alrededor de ellas”

Tablas de verdad de los conectivos lógicos (TAREA)

Tabla de negación ¬ p (no)

P ¬ P V F F V

Los valores que hay verdaderos se cambian a falso y los falsos a verdaderos.

Tabla de disyunción P v Q (O)

P Q P v QF F FF V VV F VV V V

Ambas variables deben ser falsas para que el resultado sea falso.

Tabla de conjunción P∧ Q (Y)

P Q P ∧ Q F F F F V F V F F V V V

Ambas variables deberán ser verdaderas para que el resultado sea verdadero.

Tabla condicional (P ⇒ Q) (Si entonces)

P Q P ⇒ QF F VF V VV F F

V V V

El antecedente debe ser verdadero y el consecuente falso para que el resultado sea falso.

Tabla bicondicional (P⇔ Q) (Si y solo si)

P Q P ⇔ QF F VF V FV F FV V V

Ambas variables deben de tener el mismo valor de verdad para que el resultado sea verdadero.

Cuando ambas variables sean iguales F, F el valor es verdadero y viceversa.

Números binarios (TAREA)

El sistema binario, en matemáticas e informática, es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es el que se utiliza en las computadoras, debido a que trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).

En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números.De acuerdo con estas reglas, el número binario 1011 tiene un valor que se calcula así:

1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20, es decir:

8 + 0 + 2 + 1 = 11Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo escribimos así:

10112 = 1110

Conversión entre números decimales y binariosConvertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido obtenidos.Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número 7710 haremos una serie de divisiones que arrojarán los restos siguientes:

77: 2 = 38 Resto: 138: 2 = 19 Resto: 019: 2 = 9 Resto: 19: 2 = 4 Resto: 14: 2 = 2 Resto: 02: 2 = 1 Resto: 01: 2 = 0 Resto: 1

y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:

7710 = 10011012

128 64 32 16 8 4 2 1 decimal1 0 0 1 0 1 1 0 1501 1 0 1 1 0 1 0 901 1 1 0 0 1 0 0 1001 1 1 1 1 1 1 1 255

8 4 2 1 decimal0 0 0 0 00 0 0 1 10 0 1 0 20 0 1 1 30 1 0 0 40 1 0 1 50 1 1 0 60 1 1 1 71 0 0 0 81 0 0 1 9

2n = 23 = 8

2n = 24 = 16

Ejemplos

¬ [P ∧ (Q ⇒ R)]

P Q R ¬ P ∧ Q ⇒ R0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 1 1 0 0 0 1 10 1 0 1 0 0 1 0 00 1 1 1 0 0 1 1 11 0 0 0 1 1 0 1 01 0 1 0 1 1 0 1 11 1 0 0 1 0 1 0 01 1 11 0 1 1 1 1 1

3 paso 2 paso 1 paso

Ejemplo (REV)

¬ P ∧ Q ⇒ R 2n = 23 = 8

P Q R ¬ P ∧ Q ⇒ R0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 1 1 0 0 0 1 10 1 0 1 0 0 1 0 00 1 1 1 0 0 1 1 11 0 0 0 1 0 0 1 01 0 1 0 1 0 0 1 11 1 0 0 1 1 1 0 01 1 1 0 1 1 1 1 1

1 paso 2 paso 3 paso

Tarea

1) ¬ (P ∧ ¬ Q)

P Q ¬Q P∧Q ¬(P∧¬Q)0 0 1 0 10 1 0 0 11 0 1 1 01 1 0 0 1

2) ¬P∧¬Q

P Q ¬P ¬Q ¬P ∧ ¬Q0 0 1 1 10 1 1 0 01 0 0 1 01 1 0 0 0

3) (P⇒Q) ⇒ (Q ⇒ P)

P Q P ⇒ Q Q ⇒ P (P ⇒ Q) ⇒(Q ⇒ P)0 0 1 1 10 1 1 0 01 0 0 1 11 1 1 1 1

4) Q ⇒ ¬P ⇒ (P ⇔ Q)

P Q ¬P Q ⇒ ¬P P ⇒ Q Q ⇒ ¬P ⇒ (P ⇔ Q)0 0 1 1 1 10 1 1 1 1 11 0 0 1 0 01 1 0 0 1 0

5) (Q ⇒ ¬ P) ⇔ (P ⇔ Q)

P Q ¬P Q ⇒ ¬ P P ⇔ Q (P ⇒ ¬ P) ⇔ (P ⇔ Q)0 0 1 1 1 10 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 1 0 0 1 0

6) (P ⇔ Q) ⇔ [(P∧Q) V (¬P∧¬Q)]

P Q P ∧ Q ¬ P ¬ Q ¬ P ∧ ¬ Q V P ⇔ Q ⇔0 0 0 1 1 1 1 1 00 1 0 1 0 0 0 0 11 0 0 0 1 0 0 0 11 1 1 0 0 0 1 1 1

7) (¬P ⇔ ¬ Q) ⇔ (P ⇔ Q)

P Q ¬ P ¬ Q ¬ P ⇔ ¬ Q P ⇔ Q ( ¬ P ⇔ ¬ Q) ⇔ (P ⇔ Q)

0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 0 0 11 0 0 1 0 0 11 1 0 0 1 1 1

8) ¬ P ⇒ ¬ Q ⇔ P ⇔ Q

P Q ¬ P ¬ Q ¬ P ⇒ ¬ Q P ⇔ Q ⇔0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 0 0 11 0 0 1 1 0 01 1 0 0 1 1 1

(REV)

1) P ∧ (P ⇒ Q) ⇒ R

2) ¬ [(P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R) ⇒ (P ⇒ R)]

P Q R P ⇒ Q Q ⇒ R (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R) P ⇒ R ⇒ ¬0 0 0 1 1 1 1 1 00 0 1 1 1 1 1 1 00 1 0 1 0 0 1 1 00 1 1 1 1 1 1 1 01 0 0 0 1 0 0 1 01 0 1 0 1 0 1 1 01 1 0 1 0 0 0 1 01 1 1 1 1 1 1 1 0

3) (P v Q) ∧ (P ⇒ R) ∧ (Q ⇒ S) ⇔ (R v S)

P Q R S P v Q P ⇒ R ∧ Q ⇒ S ∧ R v S ⇔0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 10 0 0 1 0 1 0 1 0 1 00 0 1 0 0 1 0 1 0 1 00 0 1 1 0 1 0 1 0 1 00 1 0 0 1 1 1 0 0 0 10 1 0 1 1 1 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 1 0 0 1 00 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 0 0 1 0 0 11 0 0 1 1 0 0 1 0 1 01 0 1 0 1 1 1 1 1 1 11 0 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 0 0 1 0 0 0 0 0 11 1 0 1 1 0 0 1 0 1 01 1 1 0 1 1 1 0 0 1 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

P Q R P ⇒ Q P ∧ (P ⇒ Q) P ∧ (P ⇒ Q) ⇒ R0 0 0 1 0 10 0 1 1 0 10 1 0 1 0 10 1 1 1 0 11 0 0 0 0 11 0 1 0 0 11 1 0 1 1 01 1 1 1 1 1

4) (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R) ⇒ (P ⇒ R)

P Q R P ⇒ Q Q ⇒ R ∧ P ⇒ R ⇒0 0 0 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 10 1 0 1 0 0 1 10 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 0 0 11 0 1 0 1 0 1 11 1 0 1 0 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1

5) A ∧ B ⇔ ¬ (¬ A v ¬ B)

A B A ∧ B ¬ A ¬ B ¬ A v ¬ B ¬ ⇔0 0 0 1 1 1 0 10 1 0 1 0 1 0 11 0 0 0 1 1 0 11 1 1 0 0 0 1 1

6) A∧Y ⇔ (P v Q) ⇒ R

A P Q R Y A∧YP v Q (P v Q) ⇒ R ⇔

0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 1 0 0 1 00 0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 1 1 0 0 1 00 0 1 0 0 0 1 0 10 0 1 0 1 0 1 0 10 0 1 1 0 0 1 1 00 0 1 1 1 0 1 1 00 1 0 0 0 0 1 0 10 1 0 0 1 0 1 0 10 1 0 1 0 0 1 1 00 1 0 1 1 0 1 1 00 1 1 0 0 0 1 0 10 1 1 0 1 0 1 0 10 1 1 1 0 0 1 1 00 1 1 1 1 0 1 1 01 0 0 0 0 0 0 1 01 0 0 0 1 1 0 1 11 0 0 1 0 0 0 1 01 0 0 1 1 1 0 1 11 0 1 0 0 0 1 0 11 0 1 0 1 1 1 0 01 0 1 1 0 0 1 1 01 0 1 1 1 1 1 1 11 1 0 0 0 0 1 0 11 1 0 0 1 1 1 0 01 1 0 1 0 0 1 1 01 1 0 1 1 1 1 1 11 1 1 0 0 0 1 0 01 1 1 0 1 1 1 0 01 1 1 1 0 0 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1

7) (P∧Q) ⇒ (R v S) ⇔ T

P Q R S T P∧Q R v S ⇒ ⇔ T0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 1 0 0 1 10 0 0 1 0 0 1 1 00 0 0 1 1 0 1 1 10 0 1 0 0 0 1 1 00 0 1 0 1 0 1 1 10 0 1 1 0 0 1 1 00 0 1 1 1 0 1 1 10 1 0 0 0 0 0 1 00 1 0 0 1 0 0 1 10 1 0 1 0 0 1 1 00 1 0 1 1 0 1 1 10 1 1 0 0 0 1 1 00 1 1 0 1 0 1 1 10 1 1 1 0 0 1 1 00 1 1 1 1 0 1 1 11 0 0 0 0 0 0 1 01 0 0 0 1 0 0 1 11 0 0 1 0 0 1 1 01 0 0 1 1 0 1 1 11 0 1 0 0 0 1 1 01 0 1 0 1 0 1 1 11 0 1 1 0 0 1 1 01 0 1 1 1 0 1 1 11 1 0 0 0 1 0 0 11 1 0 0 1 1 0 0 01 1 0 1 0 1 1 1 01 1 0 1 1 1 1 1 11 1 1 0 0 1 1 1 01 1 1 0 1 1 1 1 11 1 1 1 0 1 1 1 0

Investigación

Tautología: es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos los valores de verdad de sus variables. Que en las tautologías para todos los valores de verdad el resultado de la proposición es siempre 1.

Contradicción: es aquella proposición que siempre es falsa para todos los valores de verdad.

Contingencias lógicas (verdaderas y falsas)

Implicación lógica: (⇒ (tautología)

Equivalencia lógica (⇔ (tautología) verdad)

Ejemplos

Calcular la tabla de verdad de los siguientes ejercicios.

1) P ∧ (P ⇒ Q) ⇒ Q Implicacion lógica

P Q P ⇒ Q P ∧ (P ⇒ Q) P ∧ (P ⇒ Q) ⇒ Q 0 0 1 0 10 1 1 1 11 0 0 0 11 1 1 1 1

2) ¬ [(P⇒Q) ∧ (Q⇒R) ⇒ (P⇒R)] contradicción

P Q R P⇒Q Q⇒R P⇒R (P⇒Q) ∧ (Q⇒R) ¬[(P⇒Q)∧(Q⇒R) ⇒(P⇒R)]

0 0 0 1 1 1 1 00 0 1 1 1 1 1 00 1 0 1 0 1 0 00 1 1 1 1 1 1 01 0 0 0 1 0 0 01 0 1 0 1 1 0 01 1 0 1 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 0

3) (P⇒Q) ∧ (Q⇒R) ⇒ (P⇒R)

P Q R P⇒Q Q⇒R P⇒R (P⇒Q)∧(Q⇒R) (P⇒Q)∧(Q⇒R) ⇒(P⇒R)

0 0 0 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 10 1 0 1 0 1 1 10 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 0 0 11 0 1 0 1 1 1 11 1 0 1 0 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1

4) A∧B↔⌐ (⌐A v ¬B)

A B A∧B⌐Aˇ¬B ⌐ (⌐Aˇ¬B) A∧B↔⌐ (⌐Aˇ¬B)

0 0 0 1 0 10 1 0 1 0 11 0 0 1 0 11 1 1 0 1 1

5) (P v Q) ∧ (P⇒R) ∧ (Q⇒S) ↔ (R v S)

P Q R S P⇒R (P v Q)∧ (P⇒R) Q⇒S (P v Q)∧ (P⇒R)∧ (Q⇒S) R v S ↔0 0 0 0 1 0 1 0 0 10 0 0 1 1 0 1 0 1 00 0 1 0 1 0 1 0 1 00 0 1 1 1 0 1 0 1 00 1 0 0 1 1 0 0 0 10 1 0 1 1 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 0 0 1 00 1 1 1 0 1 1 1 1 11 0 0 0 0 0 1 0 0 11 0 0 1 1 0 1 0 1 01 0 1 0 1 1 1 1 1 11 0 1 1 0 1 1 1 1 11 1 0 0 0 0 0 0 0 11 1 0 1 1 0 1 0 1 01 1 1 0 1 1 0 0 1 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Determina cuáles de las siguientes proposiciones son tautología, contradicción, contingencia lógica, equivalencia lógica e implicación lógica.

a) P v Q ⇒ P ∧ Q Contingencia logica

P Q P v Q P∧Q P v Q ⇒ P ∧ Q0 0 0 0 10 1 0 0 01 0 0 0 01 1 1 1 1

b) (P ⇒ Q) ⇒ (Q ⇒ P) Contingencia logica

P Q P ⇒ Q Q ⇒ P (P ⇒ Q) ⇒ (Q ⇒ P)0 0 1 1 10 1 1 0 01 0 0 1 11 1 1 1 1

c) Q ⇒ ¬ P ↔ (P ⇔ Q) Contingencia logica

P Q ¬ P Q ⇒ ¬ P P ⇔ Q Q ⇒ ¬ P ⇔ (P ⇔ Q)0 0 1 1 1 10 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 1 0 0 1 0

d) (p⇔q) ⇔ p∧q ∨ ¬p ∧ ¬q equivalencia lógica

p q (p⇔q) p∧q ¬p ¬q ¬p ∧ ¬q p∧q ∨ ¬p ∧ ¬q

(p⇔q) ⇔ p∧q ∨ ¬p ∧ ¬q

0 1 1 0 1 1 1 1 10 0 0 0 1 0 0 0 11 1 0 0 0 1 0 0 11 0 1 1 0 0 0 1 1

e) (¬p⇔¬p) ⇔ (p⇔q) contingencia lógica

p q ¬p ¬p (¬p⇔¬p) (p⇔q) (¬p⇔¬p) ⇔ (p⇔q) 0 0 0 0 1 1 10 1 0 0 1 0 0

1 0 1 1 1 0 01 1 1 1 1 1 1

f) [p⇒ (q⇒r)] ⇒ [(p⇒q) ⇒ (p⇒r)] implicación lógica

p q r (q⇒r) [p⇒ (q⇒r)] (p⇒q)

(p⇒r) [(p⇒q) ⇒ (p⇒r)]

⇒0 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 1 10 1 0 0 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1 1 1 11 0 0 1 1 0 0 1 11 0 1 1 1 0 1 1 11 1 0 0 0 1 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1 1

g) ¬ [p ∨ (q∧r)] ⇔ [(p∧q) ∧ (p⇒r)] contingencia lógica

p q R (q∧r) [p ∨ (q∧r)]

¬ [p ∨ (q∧r)]

(p∧q) (p⇒r) [(p∧q) ∧ (p⇒r)] ⇔0 0 0 0 0 1 0 1 0 00 0 1 0 0 1 0 1 0 00 1 0 0 0 1 1 1 1 10 1 1 1 1 0 1 1 1 01 0 0 0 1 0 1 0 0 11 0 1 0 1 0 1 1 1 01 1 0 0 1 0 1 0 0 11 1 1 1 1 0 1 1 1 0

h) (¬p ⇔ ¬q) ⇔ (q⇔r) contingencia lógica

p q r ¬p ¬q (¬p ⇔ ¬q)

(q⇔r) (¬p ⇔ ¬q) ⇔ (q⇔r)

0 0 0 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 0 00 1 0 1 0 0 0 10 1 1 1 0 0 1 01 0 0 0 1 0 1 01 0 1 0 1 0 0 11 1 0 0 0 1 0 01 1 1 0 0 1 1 1

i) [p⇒ (q⇒r) ∧ (¬ r∨p) ∧ q] contingencia lógica

p q r (q⇒r) p⇒ (q⇒r) ¬ r (¬ r∨p) (¬ r∨p) ∧ q] [p⇒ (q⇒r) ∧ (¬ r∨p) ∧ q]

0 0 0 1 1 1 1 0 00 0 1 1 1 0 0 0 00 1 0 0 1 1 1 1 10 1 1 1 1 0 0 0 01 0 0 1 1 1 1 0 01 0 1 1 1 0 1 0 01 1 0 0 0 1 1 1 01 1 1 1 1 0 1 1 1

j) [(p⇒q) ⇒ r] ⇒ s contingencia lógica

p q r s (p⇒q) [(p⇒q) ⇒ r] [(p⇒q) ⇒ r] ⇒ s0 0 0 0 0 0 10 0 0 1 0 0 00 0 1 0 1 1 10 0 1 1 1 1 10 1 0 0 0 0 10 1 0 1 0 0 00 1 1 0 1 1 10 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 11 0 0 1 1 1 11 0 1 0 1 1 11 0 1 1 1 1 11 1 0 0 0 0 11 1 0 1 0 0 01 1 1 0 1 1 11 1 1 1 1 1 1

k) ¬ q ∧ (p⇒q) ⇒ ¬p implicación tautológica

p q ¬ q (p⇒q) ¬ q∧ (p⇒q)

¬p ¬ q∧ (p⇒q) ⇒ ¬p

0 0 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 0 11 1 0 1 0 0 1

l) [(p⇒q) ∧ (q⇒r)] ⇒ (p⇒r) implicación tautológica

p q r (p⇒q) (q⇒r) [(p⇒q) ∧ (q⇒r)]

(p⇒r) [(p⇒q) ∧ (q⇒r)] ⇒ (p⇒r)

0 0 0 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 10 1 0 1 0 0 1 10 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 0 0 11 0 1 0 1 0 1 11 1 0 1 0 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1

m) ¬ (q⇒r) ∧r∧ (p⇒q) contradicción

p q r (q⇒r) ¬ (q⇒r) ¬ (q⇒r) ∧r (p⇒q) ¬ (q⇒r) ∧r∧ (p⇒q)

0 0 0 1 0 0 1 00 0 1 1 0 0 1 00 1 0 0 1 0 1 00 1 1 1 0 0 1 01 0 0 1 0 0 0 01 0 1 1 0 0 0 01 1 0 0 1 0 1 01 1 1 1 0 0 1 0

n) [(p∨q) ∧ (p⇒r) ∧ (q⇒r)] ⇒r contingencia lógica

p q r (p∨q) (p⇒r) (p∨q) ∧ (p⇒r) (q⇒r) [(p∨q) ∧ (p⇒r) ∧ (q⇒r)]

⇒r

0 0 0 0 1 0 1 1 00 0 1 0 1 0 1 1 10 1 0 1 1 1 0 0 10 1 1 1 1 1 1 1 11 0 0 1 0 0 1 1 0

1 0 1 1 0 0 1 1 11 1 0 1 1 1 0 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1

Sean p, q, y r las proposiciones siguientes (REV)

p= “está lloviendo”

q=”el sol esta brillando”

r= “hay nubes en el cielo”

1) traducir las siguientes oraciones a notación simbólica utilizando las letras asignadas y los conectivos lógicos.

a) Está lloviendo y el sol brillando

p ∧ q contingencia lógica

p q p ∧ q0 0 00 1 01 0 01 1 1

b) si está lloviendo, entonces hay nubes en el cielo.

p ⇒ r contingencia lógica

p r p ⇒ r 0 0 10 1 11 0 01 1 1

c) si está lloviendo, entonces el sol no está brillando y hay nubes en el cielo.

p ⇒ ¬ q ∧ r implicación tautológica

p q r ¬ q ¬ q ∧ r p ⇒ ¬ q ∧ r 0 0 0 1 0 10 0 1 1 1 10 1 0 0 0 10 1 1 0 1 11 0 0 1 0 11 0 1 1 1 11 1 0 0 0 11 1 1 0 0 1

d) si no hay nubes en el cielo, entonces el sol esta brillando.

¬ p ⇒ q contingencia logica

r q ¬ p ¬ p ⇒ q 0 0 1 00 1 0 11 0 1 01 1 0 1

e) ¡no le entendí ¡

2) sean p, q, r del ejercicio 1 traducir las siguientes proposiciones a oración en español.

a) (p ∧ q) ⇒ r =”si está lloviendo y el sol esta brillando entonces hay nubes en el cielo” .

p q r (p ∧ q) (p ∧ q) ⇒ r0 0 0 0 10 0 1 0 10 1 0 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 0 1 0 11 1 0 1 01 1 1 1 1

b) ¬ p ⇔ q ∨ r = “no está lloviendo, si y solo si, el sol esta brillando o hay nubes en el cielo”.

p q r ¬ p q ∨ r ¬ p ⇔ q ∨ r0 0 0 1 0 00 0 1 1 1 10 1 0 1 1 1

0 1 1 1 1 11 0 0 0 0 11 0 1 0 1 01 1 0 0 1 01 1 1 0 1 0

c) ¬ (p ∨ q) ∧ r = “no está lloviendo o el sol no está brillando y hay nubes en el cielo”

p q r (p ∨ q) ¬ (p ∨ q) ¬ (p ∨ q) ∧ r0 0 0 0 1 00 0 1 0 1 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 0 01 1 0 1 0 01 1 1 1 0 0

d) (p ⇒ r) ⇒ q= “si está lloviendo entonces hay nubes en el cielo, entonces el sol esta brillando”.

p q r (p ⇒ r) (p ⇒ r) ⇒ q0 0 0 1 00 0 1 1 00 1 0 1 10 1 1 1 11 0 0 0 11 0 1 1 01 1 0 0 11 1 1 1 1

e) ¬ [p ⇔ (q ∧ r)] = “no está lloviendo si y solo si , el sol no está brillando y no hay nubes en el cielo”.

p q r (q ∧ r) p ⇔ (q ∧ r) ¬ [p ⇔ (q ∧ r)]

0 0 0 0 1 00 0 1 0 0 10 1 0 0 1 00 1 1 1 1 01 0 0 0 1 01 0 1 0 0 11 1 0 0 1 01 1 1 1 1 0

Representar de manera simbólica y realizar la tabla de verdad para las siguientes oraciones.

1- Debemos filosofar o no debemos hacerlo y si debemos hacerlo, entonces debemos hacerlos, y si no debemos hacerlo entonces no debemos hacerlo. Por consiguiente en cualquier caso debemos filosofar. (Aristóteles) [(P v ¬ P) ^ (P ⇒ P) ^ (¬ P ⇒ ¬ P)] ⇒ P

2- Si no está en la mañana ni el ayer escrito, entonces no está el mañana escrito. ¬ (P ^Q) ⇒ ¬ P

3- Si no está el mañana y el ayer escrito, entonces el mañana no está el ayer escrito.

4- Cuando no se tiene imaginación la muerte es poca cosa; cuando se tiene es demasiado.(¬ P ⇒ ¬ Q) ^ (P ⇒ Q)

5- Me matan si no trabajo y si trabajo me matan. Me matan siempre me matan. [(¬ Q ⇒ P) ^ (Q ⇒ P)] ⇒ P

6- Puedes estudiar o trabajar. Si estudias te amenazara el paro, y si trabajas también. Por consiguiente te amenazara el paro.[(P ∨ Q) ^ (Q ⇒ R) ^ (Q⇒R)] ⇒ R

7- Si te llame por teléfono entonces revisaste mi llamada y no es cierto que te avise del peligro que corrías por consiguiente como te llame es cierto que te avise del peligro que corrías. [P ⇒ (Q ^ ¬ ¬ R)] ⇒ (P ⇒ R)

8- Si no hay control en nacimientos entonces la población crece ilimitadamente, pero si, la población crece ilimitadamente, aumentara el índice de pobreza. Por consiguiente, si no hay control de nacimientos aumentara el índice de pobreza. [(¬ P ⇒ Q) ^ (Q ⇒ R) ⇒ (¬ P ⇒ R)

9- Si se piensa que todo es sustancia pensante, entonces si vemos que todo es sustancia extensa. Entonces, todo debería ser inextensa por consiguiente, si se piensa que todo es sustancia pensante y vemos que todo es sustancia extensa entonces en realidad, todo debería ser inextensa. P ⇒ [(Q ⇒ R) ⇒ (P ^ S)] ⇒ P

10-Si el vehículo queda inmovilizado durante 48hrs y las reparaciones ande durar durante 8hrs la compañía de seguros pone a disposición de cada uno de los asegurados en el vehículo (un billete de tren primera clase o de avión clase turista).(P ^ Q) ⇒ R ∨ S

11-Si acepto el mundo que me ofrecen y soy feliz así entonces comienzo a cavar mi propia sepultura; o bien si no soy feliz así y veo pocas posibilidades de cambiar este mundo , en prendo así mismo mi auto enterramiento. [(P ^ Q) ⇒ R)] ⇒ ^ [(¬ P ^ S) ⇒ R]

12-Ni contigo y sin ti tiene mis males remedio; contigo porque me matas; y sin ti porque me muero.[(P ∨ ¬ P) ⇒ Q] ∨ [P ⇒ R] ^ [¬ P ⇒ R]

Investigación

Inducción matemática

El principio de Inducción Matemática es un método que se utiliza para demostrar propiedades, formulas, validarlas y probar que son verdaderas. Es un método simple que consta de tres pasos fundamentales en los cuales se debe demostrar la propiedad reemplazando su incógnita por 1, luego por k y finalmente por k+1.El Principio de Inducción Matemática se utiliza para demostrar propiedades, formulas, validarlas y probar que son verdaderas, usualmente en el conjunto de los números enteros positivos. Muchas propiedades que incluyen la definición de de factorial se pueden probar por Inducción Matemática, como el Teorema del Binomio de Newton, el Triángulo de Pascal y algunas propiedades de combinatoria que involucran combinaciones y permutaciones. Otra forma de utilizarla es para proporcionar definiciones y formalizar conceptos.

Nomenclatura de Inducción Matemática.

(B) se llama Caso Base o caso inicial

(I) se llama Paso de Inducción

K e S se llama Hipótesis de Inducción

Y como ya se mencionó todo junto se llama Principio de Inducción Matemática.

Reglas de inferencia

En lógica, especialmente en lógica matemática, una regla de inferencia es un esquema para construir inferencias válidas. Estos esquemas establecen relaciones sintácticas entre un conjunto de fórmulas llamados premisas y una aserción llamada conclusión.

Estas relaciones sintácticas son usadas en el proceso de inferencia, por el que se llega a nuevas aserciones verdaderas a partir de otras ya conocidas. Las reglas también se aplican a la lógica informal y a las discusiones, pero la formulación es mucho más difícil y polémica.

Como se mencionó, la aplicación de una regla de inferencia es un procedimiento puramente sintáctico. Sin embargo, debe también ser el válido, o mejor dicho, preservar la validez. Para que el requisito de preservación de la validez tenga sentido, es necesaria una cierta forma semántica para las aserciones de las reglas de inferencia y las reglas de inferencia en sí mismas. Reglas de inferencia clásicas Algunas de las reglas de inferencia más conocidas son: En la lógica proposicional:

Modus ponendo ponens, Modus ponendo tollens, Modus tollendo ponens, Modus tollendo tollens, Silogismo hipotético.

Modus ponendo ponens

En lógica, el modus ponendo ponens (en latín, modo que afirmando afirma), también llamado modus ponens y generalmente abreviado MPP o MP, es una regla de inferencia que tiene la siguiente forma:

Si A, entonces BAPor lo tanto, B Por ejemplo, un razonamiento que sigue la forma del modus ponens podría ser:

Si está soleado, entonces es de día.Está soleado.Por lo tanto, es de día.

Otro ejemplo sería

Si Javier tiene rabia, es una nube.Javier tiene rabia.Por lo tanto, Javier es una nube.

Otra manera de presentar el modus ponens con el condicional es:

Modus ponendo tollens

En lógica, el modus ponendo tollens (en latín, modo que afirmando niega) o MPT es una forma válida de argumento que dice:

O bien A, o bien BAPor lo tanto, no B

Por ejemplo, un razonamiento que sigue la forma del modus ponendo tollens podría ser:

O bien es de día, o bien es de noche.Es de día.Por lo tanto, no es de noche.

Otra manera de presentar el modus ponendo tollens es:

Modus tollendo ponens

En lógica, el silogismo disyuntivo, históricamente conocido como modus tollendo ponens (en latín, modo que negando afirma) o MTP, es una forma válida de argumento:

es el caso que A, o es el caso que BNo APor lo tanto, B

o exclusivo:

O es el caso que A, o es el caso que BNo APor lo tanto, B

Por ejemplo, un razonamiento que sigue la forma del silogismo disyuntivo exclusivo podría ser:

O es de día o es de noche.No es de día.Por lo tanto, es de noche.

Otra manera de presentar el silogismo disyuntivo es:

Modus tollendo tollens

En lógica, el modus tollendo tollens (en latín, modo que negando niega), también llamado modus tollens y generalmente abreviado MTT o MT, es una regla de inferencia que tiene la siguiente forma:

Si A entonces BNo BPor lo tanto, no A

Por ejemplo, un razonamiento que sigue la forma del modus tollens podría ser:

Si está soleado entonces es de día.No es de día.Por lo tanto, no está soleado.

Es importante evitar caer en el razonamiento incorrecto de:

Si tiene permiso de conducir entonces es mayor de edadNo tiene permiso de conducirPor lo tanto, no es mayor de edad.

Es incorrecto puesto que podría ser mayor de edad y no tener permiso de conducir, de ahí la importancia de no confundir el condicional (si p, entonces q) con el bicondicional (p si y solo si q).

Otra manera de presentar el modus tollens es:

Silogismo hipotético

En lógica se denomina silogismo hipotético a aquel tipo de silogismo o más bien regla de inferencia que en su expresión plantea un caso hipotético, por lo cual puede tener términos válidos o no. En la lógica proposicional un silogismo hipotético puede expresar una regla de inferencia, mientras que en la historia de la lógica los silogismos hipotéticos han sido una antelación de la teoría de las consecuencias.

En lógica proposicional El silogismo categórico (abreviado S.P.) es un argumento válido si sigue la siguiente forma argumental:

P → Q.Q → R.

Leyes de Morgan

Esta ley permite trasformar una disyunción en una conjunción y viceversa , es decir una conjunción es una disyunción , cuando se pasa de una a otra , se cambia los valores de afirmación y afirmación y de los términos de la disyunción conjunción asi como de la propia operación en conjuntos

Silogismo disyuntivo

Dada las tres premisas dos de ellas implicaciones, la tercera una disyunción cuyos miembros sean antecedentes de las condicionales , podemos concluir es nuestra premisa en una forma de disyunción , cuyos miembros serian los consecuentes de las dos implicaciones lógicamente , si planteamos una elección entre las causas

P q si llueve, entonces las calles se mojan

R s si la tierra tiembla los edificios se caen

P v r llueve ola tierra tiembla

Simplificación disyuntiva (sd)

Si disponemos de dos premisas que corresponden a dos implicaciones con el mismo consecuente y sus antecedentes con los dos miembros de una disyunción podemos concluir

P v q “helado de fresa o vainilla”

P r “si tomas helado de fresa entonces repites”

Q r “si tomas helado de vainilla entonces repites”

R luego repites

La ley de adicción

Dado un enunciado cualquiera es decir como una disyunción acompañada por cualquier otro enunciado

A he comprado manzanas

A v b he comprado manzanas o he comprado peras

Adjunción simplificación

Si ponemos de dos enunciados anunciados como dos premisas utilizando el operador a (conjunción)

P “Juan es cocinero”

Q “Pedro es policía “

P q “Juan es policía y Pedro es cocinero”

Simplificación es una operación inversa de una oración podemos formar dos por separado.