1. UNIVERSIDAD N ACION ALJ O R G E B AS A D R E G R O H M A N NCENTRO PREUNIVERSITARIORazonamiento Lgico Lic. Jorge Lozano Cervera TACNA - PERU

2. Universidad Nacional Jorge Basadre GrohmannLgicaI.LA LGICA PROPOSICIONALLa lgica proposicional tambin llamada simblica o matemtica, es aquella parte de lalgica que estudia las proposiciones y smbolos utilizados en la formacin de nuevasproposiciones que podrn ser verdaderas o falsas, sealadas por reglas formales.1.1. TABLAS DE VERDAD DE LAS OPERACIONES LGICASLa validez de una proposicin se puede demostrar mediante las siguientes tablas:Sean: p y q: dos proposiciones Negacin:Conjuncin: p ~pp qpq V F V V V F V V F F F V F F F F Disyuncin (Debil) Disyuncin (Fuerte) p q pq p qpq V VVV V F V FVV F V F VVF V V F FFF F F Condicional: Bicondicional: p q P q p qPq V VVV V V V FFV F F F VVF V F F FVF F VCentro Pre Universitario 2 3. Universidad Nacional Jorge Basadre GrohmannLgica1.2. EJERCICIOS RESUELTOS1. Si la proposicin: (p ~q) (r ~s) es falsa, el valor de verdad de: q, p, r, s (en ese orden es: a) FVVV b) VFVV c) VVFFd) FVFF e) VVVF Del enunciado tenemos:(p ~q) (r~s) F VF F (p ~q) V(r ~s) FVV VV FF pV rV~q V ~s F qF sV Respuesta: a) FVVV2. De la falsedad de la proposicin: (p ~q) (~r s) se deduce que el valor de verdad de los esquemas moleculares: i. (~p ~q) ~q ii. (~r q) [(~q r) s ] iii. (p q) [(p q) ~q] Son respectivamente a) VFVb) FFF c) VVVd) FFVe) N.A. Del enunciado tenemos:(p ~q) (~r s) FF FF(p ~q) F (~rs) F V F F V FF pV~r V ~q FrF qV sF De las alternativas se obtiene: i.(~p ~q) ~q ii. (~r q) [(~q r) s ] (~V ~V) ~V (~F V) [(~V F) F ] ( F F) F ( V V) [( F F) F ] F F(V) [( F) F ] F (V) [F ]FCentro Pre Universitario3 4. Universidad Nacional Jorge Basadre GrohmannLgica iii.(p q) [(p q) ~q] (V V) [(V V) ~V] (V) [(V) F] (V) [F]FRespuesta: a) FFF3. Si: s y la proposicin: s~(p q) son verdaderas, indique los valores de verdad de las siguientes expresiones: i. ~(p ~q) ii. (p q) ~ s iii. s (q p) a) VVV b) VFV c) VVF d) FFV e) FFF Del enunciado se tiene: sVs~(p q) VV V V~(p q) V ~ F V(p q) F(F F) V pF qF i.~(p ~q) ii.(p q) ~ s iii. s (q p) ~(F ~F)(F F) ~V V (F F) ~(F V) (V) FV (V) ~ (F)V VVRespuesta: a) VVV4. Si: p # q = VVFV. Entonces: p # (p # q) equivale a: a) p q b) p q c) p d) qe) p q Construyendo la tabla de verdad a travs del enunciado tenemos: pq p#qp # (p # q)pqpq p q VVV V V V VV V VFV V V V VF F FVF F V F VF V FFV F F V FF VRespuesta: a) p qCentro Pre Universitario 4 5. Universidad Nacional Jorge Basadre GrohmannLgica5. Si el esquema:[(p ~ q) (r s)](~s r) es falsa, reducir: [(w (p q )] (r s) p a) Vb) Fc) wd) re) w p Del enunciado se tiene: [(p ~ q) (rs)](~s r) F VF F[(p ~ q) (r s)] V (~s r) FV V V(VF) F (p ~ q) V(rs) V~s V (V ~V) V sF(VV) VrF pV ~qV (FF) V qF Al reducir el esquema [(w (p q )] ( r s ) p [(w (V F )] (F F) V [(w ( F ) ] ( V ) V [(w ( F ) ] ( V ) V [ w ] V V Si w = V Si w = F[ V ] V V[ F ] V V V V F V VF En ambos casos el valor obtenido es el mismo valor dado a w Respuesta: c) w6. Si: v(p) = V, q y r dos proposiciones cualesquiera. Hallar el valor de verdad de: i. ~ q (~p ~q) ii. [(r ~ p) (q p)] r iii. [(q (p q))] (q ~p). a) VVFb) VFFc) FVFd) FFFe) VVV.Centro Pre Universitario 5 6. Universidad Nacional Jorge Basadre GrohmannLgica Del enunciado se tiene: i. ~q(~p ~q)ii. [(r ~ p) (q p)] r~q(~V ~q)[(r ~ V) (q V)] r~q(F ~q) [ (r F) (V) ] r [ (r) (V) ] rsi q=V [ r ] r~V (F ~V) F(F F)Si r = V F(F) [V]V=VV Si r = Fsi q=F[F]F=V~F(F ~F) V(F V) V(V)V iii. [(q (p q))] (q ~p)[(q (V q))] (q ~V)[(q (q) ) ] (q F)[(V)] (F ) F Respuesta: a) VVF1.3. EJERCICIOS PROPUESTOS1. Sean las proposiciones: p: 23 + 32 = 17 q: 62 = 36 r: 32 + 43 > 5 Los valores de verdad de los siguientes esquemas moleculares: pq r (p r) q p (q r) Son respectivamente a) FFV b) VVFc) VVVd) FVF e) FFF2. Sea: ~ [(A ~B) (CD)] Verdadera. Luego: i. ~ (A ~B) C ii. ~ (A ~B ) ~ (~C ~D) iii. (~A C) (B ~C)Centro Pre Universitario 6 7. Universidad Nacional Jorge Basadre GrohmannLgica iv. (A B) ~C v. (~A ~B) ~C. Son verdaderas: a) i, ii, iii b) ii, iii, ivc) ii, iii, vd) i, iii, ve) N.A.3. Si: ~[(p q r) s] (~ p s) es falso. Seale el valor de: p, q, r y s. a) VFVF b) VVVF c) VFFVd) VVFF e) FVVF4. Sabiendo que la proposicin p es verdadera, En cules de los siguientes casos es suficiente dicha informacin para determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones? i. (p q) (~p ~q) ii. (p q) (p r) iii. (p q) r a) slo i b) slo ii c) i, iid) i, iiie) todas5. Si (~p ~r) (r q) es falsa, y las proposiciones s y t tienen valores de verdad desconocido, cules de las siguientes proposiciones son verdaderas? i. (p s) q ii. (t q) p iii. (s t) r a) Slo i b) Slo iic) i, iid) ii, iiie) Ninguna6. Sean las proposiciones: p, q, r, s, x, y. Si la proposicin: (p r) (q s) es falsa. Determinar los valores de verdad: i. p[x(rs)] ii.(qry) s iii. (q x) (ys) iv.( s x ) ( y ~r ) a) VFFV b) VVFF c) VFFF d) FVVF e) N.A.Centro Pre Universitario 7 8. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lgica7. Sabiendo que la proposicin p es verdadera. En cuales de los siguientes casos, es suficiente dicha informacin para determinar el valor de verdad de las proposicionesi. (p q) (~p ~q)ii. (p q) ( p r s)iii. (p q) ra) solo ib) solo iic) solo i, iid) Solo ii, iii e) en i, ii, iii8. Los valores de verdad de las siguientes proposiciones:i. (3 + 5 = 8) (5 - 3 = 4)ii.(3 - 5 = 8) (1 - 7 = 6)iii. (3 + 8 = 11) (7 4 > 1)iv.(4 + 6 = 9) (5 - 2 = 4)Son respectivamente:a) VVVVb) VVFVc) VVFFd) VFVF e) N.A.9. Si se sabe que: (p q) y (qt) son falsas. Cules de las siguientes proposiciones son verdaderas?i. ( ~p t ) sii. ~ [p ( ~q ~p ) ]iii. ~p (q ~t)a) solo ib) solo iiic) solo iiid) Todos e) N.A.10. Si: p * q = (-p q) p.Seale el valor de verdad de:i. ( p * q ) qii. ~ ( p * q ) piii. ( p * q ) ( q * p )a) VFV b) VFFc) FFV d) FFFe) VVV11. Si: { ( ~p q ) [( p q ) t]} q, es verdadero. Hallar el valor de:i. p qii. t qCentro Pre Universitario 8 9. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lgicaiii. ~q ( t p )a) VFV b) VVF c) FFVd) FVFe) VVV.12. Si: [(r s)t ] [r (s t)] es falso. Seale la verdad o falsedad de:i. (r s) (s t)ii. (r s) (t s)iii. [(r s) t] [r (s t)]a) VVV b) FVV c) VFVd) VVFe) FVF.Centro Pre Universitario9 10. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann LgicaII.LOS PRINCIPIOS LGICOS Y LEYES LGICASSon esquemas tautolgicos, es decir, son frmulas formalmente verdaderas, ya queestn en funcin al orden de sus componentes y no a los valores de los mismos,constituyndose una de ellas en instrumentos para el anlisis de inferencias (formasinferenciales) y otras se sustituyen por sus equivalentes (formas de equivalencias).Un principio lgico es el fundamento de toda verdad lgica (tautologas). Aqu seubican los principios clsicos. En cambio una frmula es una ley lgica si y solo sicualquiera sea la interpretacin formalmente correcta que se haga de la misma seobtiene como resultado una verdad lgica, mientras que la regla lgica es una formavlida de razonamiento cuyo objetivo es la operatividad, permitiendo efectuaroperaciones para transformar una formula o derivar una consecuencia lgica.2.1. PRINCIPIOS LGICOS CLSICOS1. El principio de identidad: pp;pp2. El principio de no-contradiccin:~(p ~p)3. El tercio excluido:p ~p2.2. LEYES EQUIVALENTES O EQUIVALENCIAS NOTABLES:Permiten transformar y simplificar formulas lgicas:4. Ley de Involucin (doble negacin): ~(~p) p5. La idempotencia: a)p p p;b)p p p;6. Leyes conmutativas:a)pqqpb)pqqpc)ppqp7. Leyes asociativas: a)(p q) r p (q r)b)(p q) r p (q r)c)(p q) r p (q r)8. Leyes distributivas: a)r (p q) (r q) (r q)b)r (p q) (r p) (r q)c)p (q r) (p q) (p r)d)p (q r) (p q) (p r)Centro Pre Universitario 10 11. Universidad Nacional Jorge Basadre GrohmannLgica9. Leyes de Morgana) ~ (p q) (~p ~q)b) ~ (p q) (~p ~q)10. Leyes del Condicional a)p q ~p qb) ~ (p q) p ~q11. Leyes del Bicondicional a) p q (p q) (q p)b) p q (p q) (~p ~q)12. Leyes de la Absorcin a) p (p q) pb) p (~p q) p qc) p (p q) pd) p (~p q) p q13. Leyes de Transposicina) (p q) (~q ~p)b) p q (~q ~p)14. Ley de Exportacin(p q) r p (q r)15. Formas normales:Para la Conjuncin: V V V; V P P;FPFPara la Disyuncin: F F F; F P P;VPV16. Elementos Neutros para la Contradiccin y Tautologa:P C = C;C T = T;P T = T;CT=C donde:T= Tautologa (Verdad), C = Contradiccin (Falso), P = Esquema Molecular Cualquiera2.3. EJERCICIOS RESUELTOS1. Simplificar el esquema: [( ~p q)(s ~s)] ~q a) ~p q b) ~ p c) p ~qd) ~qe) N.A. Del enunciado tenemos:[ ( ~p q) (s ~s) ] ~q [ ( ~p q)( F ) ] ~q [~( ~p q) ( F ) ] ~q [ (p ~q) ( F ) ] ~q [ (p ~q) ] ~q ~q Respuesta: d) ~qCentro Pre Universitario11 12. Universidad Nacional Jorge Basadre GrohmannLgica2. Simplificar: ~ [ ~ ( ~ p q)p] q a) p ~q b) p q c) p d) ~q e) q Del enunciado tenemos: ~ [ ~ ( ~ p q) p] q~ [ ~ {~ ( ~ p q)} p] q~ [ ( ~ p q) p] q~ [ (~ p p) q] q~ [ ( V ) q] q~[ V ]q Fq q Respuesta: e) q3. Si se define p q, por la tabla pq pq V V V V F V F VF F F V Simplificar: (p q) q a) ~p b) ~qc) p ~qd) Ve) p q Del enunciado construimos la tabla de verdad: pqpq(p q) q p ~q VV VV V V V VF VV V F V FV FF F V F FF VV V F VRespuesta: c) p ~q4. Si se define p q, por la tabla p q pq V VF V FV F VF F FV Simplificar: (p ~q) (~p q)p a) ~pb) ~ q c) p d) V e) p qCentro Pre Universitario12 13. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lgica Del enunciado construimos la tabla de verdad: pqpq(p ~q) (~p q) pp VV FV V FVV VF VFVVVV FV FV V FFF FF VFVVFF Respuesta: c) p5. Se define: p q = (p ~q) (q ~p) Simplificar: [(~p q) q] [p (q p)] a) p b) qc) ~pd) V e) F Del enunciado tenemos: [ (~p q) q ] [ p (q p) ] [{(~p ~q) (q p)} q ] [ p {( q ~p) (p ~q)} ] [{~(p q) (q p)} q ] [ p {~ (~q p) (p ~q)} ] [{ V } q ] [ p { V } ] [~{ V } q ] [~p { V } ] [ F q ] [~p V ] [q] [V] ~qV VRespuesta: d) V6. Se define: * , en la tabla siguiente:p q pq p*qV VF FV FV FF VV FF FV V Simplificar: [(p ~q) * p] (q ~p) a) pb) q c) p ~q d) p qe) p ~p Del enunciado construimos la tabla de verdad: pq [(p ~q) * p] (q ~p) p ~p VV V F F V F VF F F F V F FV VF F FF FF VF F VFRespuesta: e) p ~pCentro Pre Universitario 13 14. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lgica2.4. EJERCICIOS PROPUESTOS1. :Simplificar el esquema: [(p ~q) (qp) r] p a) p qb) p q c) pd) ~qe) q2. Simplificar el esquema: p {q [p (~p r )] } a) p ~q b) p q c) pd) ~pe) q3. Si se define p # q, por la tablap q p#qV VFV FVF VFF FF Simplificar: {(~p#q) # ~q} # {(p#q) #~p} a) ~pb) Fc) p ~qd) V e) p q4. Si se define p q, por la tablap q pqV VVV FVF VFF FV Simplificar: M = {[(~p q) p](q p)} a) ~p b) ~ q c) p qd) p q e) pq5. Definimos p # q como una operacin verdadera si p es falsa y q verdadera, y como falsa en todos los casos restantes. Luego ~(p#q) equivale a: a) p qb) p ~ q c) ~p q d) pq e) N.A.Centro Pre Universitario 14 15. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lgica6. Simplificar: [ ( ~ p q)(~ s s ) ] ~q a) pb) ~pc) ~q d) p q e) N.A.7. Simplificar: [ (p q) ~q)~p a) pb) ~pc) Vd) F e) N.A.8. Simplificar el esquema: (~ p q)(q p) a) p qb) ~ p c) p ~q d) ~ q e) ~ (p q)9. Simplificar: [( ~p q) (r ~r)] ~q a) ~p q b) ~ p c) p ~q d) ~ q e) N.A.10. La siguiente proposicin:[(~p q )(p q)] (~p ~q) equivale a: a) ~p q b) ~ p qc) p qd) p ~qe) N.A.11. Simplificar el esquema:[ ~ (pq)~ (q p)] (p q) a) pb)qc) ~ pd) p q e) p q12. Si: p * q ~p qsimplifique:~ [(p q) * (~p)] * [( p q) *q] a) pb) q c) p ~q d) p q e) p q13. Si: p # q = VVFV. Simplificar:{ [p # (p # q)] q }~p a) p qb) q c) p ~q d) pqe) ~ (p q)14. Si se define p * q por la tabla: pq p*q VVF VFF FVV FFFCentro Pre Universitario 15 16. Universidad Nacional Jorge Basadre GrohmannLgica Simplificar:~ [(p * q) p ~ q] a) p b) q c) p qd) p q e) (p q)Centro Pre Universitario16 17. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann LgicaIII.CIRCUITOS LGICOSEntre algunas aplicaciones de la lgica aparece la construccin de circuitos lgicos en laElectrnica y al Ciberntica. Para cualquier formula proposicional podemos construir uncircuito elctrico basndose en 3 conectores u operadores: (, , ~). Los circuitoselctricos estn formados por conmutadores o interruptores que son los rganos queimpiden o dejan pasar la corriente elctrica.Los interruptores tambin llamados conmutadores son los elementos queparticipan en la instalacin elctrica: son de dos tipos: Conmutador cerrado: permite el paso de la corriente elctrica y equivale a undato verdadero que numricamente toma el valor de 1. Conmutador abierto: impide el paso de la corriente y equivale a un dato falsoque numricamente toma el valor de 0.3.1 TIPOS DE CIRCUITOS Circuito en serie: constan de dos o ms interruptores, donde un interruptoresta a continuacin de otro y as sucesivamente, el grafico de un circuito enserie es la representacin de una formula proposicional conjuntiva, cuyaexpresin mas simple es pqSe representa: p q: pqpq pq 111 100 010 000 Circuito en Paralelo, consta de dos o ms interruptores, donde un interruptorest sobre otro o en la otra lnea y as sucesivamente. El grafico de un circuitoen paralelo es la representacin de la frmula proposicional disyuntiva, cuyaexpresin mas simple es: pq. p pq pqSe representa: q: pq111 101 011 000Centro Pre Universitario17 18. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lgica3.2EJERCICIOS RESUELTOS1. Simplificar el siguiente circuito: ~p qq ~q p pa) pb) q c) ~ p d) p q e) ~qDel enunciado tenemos:p { [ ( ~p q ) q ] [ ~q p] }p{ [q ] [ ~q p] }p{ [q ] [ ~q p] }p { ( q ~q ) p }p{(V)p}p{ V }pRespuesta: a) p2. Seale el circuito equivalente a la proposicin:[(p q)p] [~p (~pq)]p pq pq ~p qa)b) c)d)e)Del enunciado tenemos:[(p q) p] [~p (~p q)][(~p q) p] [~p (~ ~ p q)][~ (~p q) p] [~ ~p (~ ~ p q)][~ (~p q) p] [ p ( p q)][(p ~q) p] [ p ( p q)][ p ] [ (p p) q ] p [pq] ppRespuesta: a)3. La proposicin:p{q[p (~p r) ] } equivale al circuito:p q p q qrpq ra)b)c) d)e)Centro Pre Universitario 18 19. Universidad Nacional Jorge Basadre GrohmannLgica Del enunciado tenemos: p { q [ p (~p r) ] }p { q [ ~p (~p r) ] }p { q [ ~p ] }pqpq Respuesta: a)4. El equivalente del siguiente circuito:~p ~qp p p q q ~p Es: a) p qb) p q c) p ~q d) ~p ~qe) p r Del enunciado tenemos: { ( ~p ~q ) ( p q ) } { p [ q ( p ~ p ) }{ [ ( ~p ~q ) p ] q ) } { p [ q V ] }{ [ ~q p ] q } { p [ q ] }{ [ ~q q ] p } { p [ q ] }{[V]p}{pq}{V}{pq} pq Respuesta: a) p q5. El siguiente circuito equivale a las formulas: A~B ~A B i. [(A ~B) A] B ii.[(A B) A] B iii. [(A ~B) ~A] B iv.B [(A ~B) ~ A] v. B [(A ~B) ~A ] son correctas: a) i, ii, iiib) ii, iii, iv c) ii, iii, v d) iii, iv, v e) i, iii, v Del circuito en el enunciado se tiene: (A ~B) ~A BCentro Pre Universitario19 20. Universidad Nacional Jorge Basadre GrohmannLgica Y de las alternativas se obtiene: i. [(A ~B) A] Bii.[(A B) A]B AA~B ~B ~A~A B B iii. [(A ~B) ~A] B iv.B [(A ~B) ~ A]A ~B B~AA~B B~A v. B [(A ~B) ~A ] A~BB~ARespuesta: a) ii, iii, iv6. Se tiene que: ~pp r q qr q r El costo de instalacin de cada interruptor es de S/. 12. en cunto se reducir el costo de la instalacin si se reemplaza este circuito por su equivalente ms simple? a) S/. 48 b) S/. 60 c) S/. 72d) S/. 36e) S/. 24. Del circuito en el enunciado se tiene:[ p (~p q ) r ] [ r ( q r ) q El costo de instalacion inicial:S/ 12 * 8 = S/. 96 Simplificando el circuito[ p (~p q ) r ] [ r ( q r ) q ][(pq)r] [r(q)][(pq)r] [rq][ p ( q r) ] [ r q ][ p ( q r) ] ( r q )rqCentro Pre Universitario 20 21. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann LgicaEl costo de instalacion del circuito simplificado es: S/ 12 * 2 = S/. 24El costo se reduce en :S/. 96 ~ S/. 24 = S/. 72Respuesta: c) S/. 723.3EJERCICIOS PROPUESTOS1. Simplificar el siguiente circuito: p p qq~pa) p q b) ~pq c) qd) ~(pq)e) p ~q2. Reducir el siguiente circuito: ~p ~q q p pq ~p~p pq ~ppq ~qa) b)c)d) e)3. Determinar el circuito equivalente: pq ~q ~p p p ~q ~q q ~pa) p q b) p q c) p ~qd) ~p qe) N.A.Centro Pre Universitario 21 22. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lgica4. Hallar la expresin que representa al circuito equivalente:~ (p q)~ (p q)~q r a) p b) ~p c) qd) ~qe) pq5. Simplificar p q q p ~p qp a) p qb) pq c) p d) qe) N.A.Centro Pre Universitario 22 23. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann LgicaIV.CIRCUITOS CON COMPUERTAS LOGICASLas compuertas lgicas, son los distintos dispositivos que resumen la interconexin deconmutadores para procesar las leyes lgicas y ejecutar clculos.Las Compuertas lgicas son bloques de circuitos que producen seales de salida cuyasentradas solo pueden tomar dos niveles distintos de tensin (1 = verdadero, 0 = falso)Esta teora es la que permite el diseo de las computadoras y utilizaremos el sistemaASA para representar circuitos lgicos mediante compuertas. Las operaciones ofunciones lgicas que participan en el diseo de compuertas son solo tres: La negacin,la conjuncin ( incluyente o excluyente). Las dems formulas proposicionales sonrepresentadas mediante sus equivalencias, y las entradas dependen del numero devariables que participan en la formula directa a disear.Funciones lgicasFormas lgicasSmbolo de compuerta ~p Negacin:p pNO pConjuncin o producto:pq p ANDp.q q Disyuncin (inclusiva) o pq p Suma: OR p+q qpq Disyuncin (exclusiva) o p Suma:pq+p qq XORpq + p qCentro Pre Universitario23 24. Universidad Nacional Jorge Basadre GrohmannLgica pq~(pq) Biimplicacion o negacinp de la disyuncin exclusivap.q + p . q qXNORp.q + pq~ (p q)p.q pNegacin conjuntorNAND q(p . q)~( p q )Negacin disyuntor p p+q NOR q (p + q)4.1. EJERCICIOS RESUELTOS1. El circuito lgico equivalente a: p Es: q a) p b) q rr c) p q d) q r e) N.A. Del circuito se obtiene la expresin: [ ( p q ) r ] ( q r ) Simplificando la expresin por lasSimplificando por el mtodo digital: leyes lgicas [(p.q).r]+(q.r)[(pq)r](qr)[p.(q.r)]+(q.r)[p(qr)](qr)(q.r).[p+1](qr)(q.r).[1] (q.r) Respuesta: b) q rCentro Pre Universitario24 25. Universidad Nacional Jorge Basadre GrohmannLgica2. El circuito: Equivale a:A a) ~ [ ~ B ~ A ] Bb) ~ [ B (A B)]B c) ~ ( ~A B )] Bd) todase) N.A. Del circuito se obtiene: ~(~AB)B De las alternativas tenemos: a) ~ [ ~ B ~A ] B b)~ [ B (A B)]~ [ ~ ~ B ~A ] B ~ [ ~ B (A B)]~ [ B ~A ] B ~ [ ~ B (~ A B)]~ [~A B ] B[ B ~ (~ A B)] ~ (~ A B) B c) ~ ( ~A B )] BRespuesta: d) todas3. La expresin de salida del circuito es:Aa) B(AC)Bb) B(A+C)Cc) B(AC) d) B(AC) e) N.A. Del circuito se obtiene: [ ( A B ~ C ) (B ~ C ) ( ~ A B ) ] Simplificando por el mtodo digital: [ ( A B ~ C ) (B ~ C ) ( ~ A B ) ]A . B . C + B .C + A .BB .[ A . C + C + A ]B .[ C ( A + 1 ) + A ]B .[ C ( 1 ) + A ]B .[ C + A ]B .[ A + C ]B . (A . C) Respuesta: a) B(AC)Centro Pre Universitario 25 26. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lgica4. Dada la compuerta:A Equivale aB a) (A B) (~A B)b) (A B) ( ~ A B)c) ~(~ A B)d) (A B) ~Be) (~A B) Del circuito se obtiene: ( ~A B ) ( A B ) Simplificando la expresin: ( ~A B ) ( A B ) [ ( ~A B ) ( ~ ~A ~ B ) ] ( A B ) [ ( ~A B ) (A ~ B )](AB) Continuando con el mtodo digital de simplificacin: [ ( ~A B ) (A ~ B )](AB) [ A. B + A . B ] . ( A + B ) { [ A. B + A . B ] . A } + { [ A. B + A . B ] . B } { A.B.A + A.B.A } + { A.B.B + A.B.B } { A.A.B + A.A.B } + { A.B.B + A.B.B } { 0.B + A.B } + { A.B + A.0} { 0 + A.B } + { A.B + 0} { A.B } + { A.B} A.B + A.B A.B + A.B Llevando la expresin a la estructura lgica A.B + A.B (~ A B ) ( A ~ B )( ~ A B) Respuesta: e) (~A B)4.2. EJERCICIOS PROPUESTOS1. El circuito: pEquivale a: qa) p rb) qc) p qd) q re) ~pCentro Pre Universitario26 27. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lgica2. El siguiente circuito equivale a: p a) p q q b) 1 r c) p q d) 0 e) N.A.3. Encuentre la expresin de salida (F) en el circuito mostrado: a) BA+CAb) B+BC c) A(BC) d) B(A+C) B F e) B+C+A C4. La expresin de salida del circuito es: x a) (xyz) b) xyzyc) xyz d) xyzze) N.A.5. Simplificar: AAB B a)AB b) C DAB c)AB d) e) N.A.Centro Pre Universitario 27 28. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lgica6. Obtener la expresin E de salida del circuito de la figura: a) A.B.C.D b) (A.B).C.DAc) A.B.C.D d) 0Be) 1CDCentro Pre Universitario 28 29. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann LgicaV.EQUIVALENCIAS LGICAS:La equivalencia lgica es una relacin que existe entre dos frmulas que tienen losmismos valores en su matriz final y si se unen bicondicionamente. El resultado es unaTautologa5.1. EJERCICIOS RESUELTOS1. Cules de las siguientes frmulas son equivalentes a: ~ r~ ( p ~q) i. p (q r ) ii. ~ p (q r) iii. ~ q (~ p r ) a) solo i Ninguna c) ii, iii d) i, iii e) todos Del enunciado se tiene: ~ r ~ ( p ~q)~~ r ~ ( p ~q)r ~ ( p ~q)r ( ~ p q)r ~pq De las alternativas podemos obtener: i: p (q r ) ii: ~ p (q r) iii: ~ q (~ p r )~ p (q r ) (~ p q) (~ p r )~ ~ q (~ p r )r ~pqq (~ p r ) q~pr r ~pq Respuesta: d) i, iii2. La formula: [~ ( p ~q) r ] equivale a: i. [ r (~p q)] ii.[(~ p q) r ] iii. ~ [(~q p) ~ r] iv. ~[~(~p q) ~ r ] v. ~ [~r (~q p)]Centro Pre Universitario29 30. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lgica Son ciertas: a) Todos b) Ningunac) ii, iii, iv d) i, ii, iv e) iii, iv, v Del enunciado se obtiene:[~ ( p ~q) r ]~pqr De los enunciados se obtiene: i.[ r (~p q) ]ii. [(~ p q) r ] r ~p q~pqr ~pqr iii.~ [(~ q p) ~ r] iv. ~[~(~p q) ~ r ] ~ (~ q p) r ~[( p ~ q) ~ r ] (~ ~ q ~ p) r ~ ( p ~ q) r q~pr( ~ p q) r ~pqr~pq r v.~ [~ r ( ~q p )] ~ ~ r ~ ( ~q p ) r ( ~ ~q ~ p ) rq~p ~pqr Respuesta: a) todas3. :Sea el esquema: [(pq) r] sus equivalencias son: i. (~q ~p) r ii.(~q ~p) ~r iii. ~r ~ (p q) iv.~r ~(~q~p) v. ~r ~ (qp) Son ciertas: a) i, iii, v b) ii, v c) i, iii, iv d) ii, iii, iv e) i, ii, iii Del enunciado tenemos: [(p q) r](~ p q ) r~ (~ p q ) r(~ ~ p ~ q ) r(p~q)rCentro Pre Universitario 30 31. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lgica De las alternativas tenemos: i. (~q ~p) rii. (~q ~p) ~ r~ (~q ~p) r~ (~q ~p) ~ r~ (~ ~ q ~p) r ~ (~ ~ q ~p) ~ r~ ( q ~p ) r ~ ( q ~p) ~ r(~q~~p)r (~qp)~r(~qp)r (p~q)~r(p~q)r iii. ~r ~ (p q) iv. ~ r ~(~q ~p)~ ~ r ~ (p q)~ r ~(~ ~ q ~p)r~(p q) ~ r ~( q ~p )r~(~pq)~ ~ r ~ ( q ~p )r(p~q) r ~ ( q ~p )(p~q)r r(~qp) (p~q)r v. ~ r ~ (q p)~ ~ r ~ (q p)r ~ (q p)r ~ ( ~ q p)r ( ~ ~ q ~ p)r ( q ~ p)(~pq)r Respuesta: c) i, iii, iv4. Dadas las proposiciones p y q se establece: p # q p ~ q Cul de las siguientes es equivalente a: p ~ q? a) ~ (p # q) b) ~p # q c) ~ (p # ~q) d) p # ~q e) N.A. Del enunciado tenemos:p#qp~qp ~q~p~q De las alternativas: a) ~ (p # q) ~ ( p ~ q )b)~p # q ~p ~ q~pq c) ~ (p # ~q) ~(p~~q)d)p # ~q (p~~q) ~(pq)(pq) ~p~q Respuesta: c) ~ (p # ~q)Centro Pre Universitario31 32. Universidad Nacional Jorge Basadre GrohmannLgica5. Si: p q se define por (~p) (~q), entonces A cul es equivalente: ~ (p q) ? a) ( ~p q ) ( q p ) b) ( ~p q ) ( ~q p ) c) ( ~p ~q ) ( q p ) d) todos e) N.A. Del enunciado tenemos: p q (~p) (~q)~ (p q) ~ [( p q ) ( ~p ~q ) ~ [( p q ) ( ~p ~q ) ~ ( p q ) ~ ( ~p ~q ) (~p~q)(pq) [(~p~q)p][(~p~q)q] [p~q][~pq] De las alternativas se obtiene: a)(~ p q) (q p) b) (~ p q) (~ q p) (~~p~q)(~q~p) ( ~ ~ p ~ q) (~ ~ q ~ p) (p~q)(~q~p) ( p ~ q) ( q ~ p) (p~q)(~q~p) ( p ~ q) ( q ~ p) c)(~ p ~ q) (q p) (~ ~ p ~ ~ q) (~ q ~ p) ( p q) (~ q ~ p)Respuesta: b) (~ p q) (~ q p)6. Dado el esquema: {[(pq) r] s} t su esquema molecular equivalente es: a) {[(p ~q) r] ~s} t b) {[(p q) r] s} t c){[(~p q) ~r] s} t d) {[(p q) r] s} t e) {[( p q) r] s} t Del enunciado tenemos: { [ (p q) r ] s } t { [ (~ p q) r ] s } t { [ ~ (~ p q) r ] s } t { [ ( p ~ q) r ] s } t { ~ [ ( p ~ q) r ] s } tCentro Pre Universitario32 33. Universidad Nacional Jorge Basadre GrohmannLgica { [ ~ ( p ~ q) ~ r ] s } t { [ (~ p q) ~ r ] s } t ~ { [ (~ p q) ~ r ] s } t { ~ [ (~ p q) ~ r ] ~ s } t { [ ~ (~ p q) r ] ~ s } t { [ (p ~ q) r ] ~ s } tRespuesta: a) {[(p ~q) r] ~s} t5.2. EJERCICIOS PROPUESTOS1. La formula: ~ [(A ~B) C],equivale a: a) ~(A ~B) ~C b) (B ~A) ~C c) ~(~B A) C d) (~A B) ~C e) N.A.2. :La formula: ~(A ~B) ~C, equivale a: a) ~(A B) C b) ~(A ~B) C c) ~(B ~A) ~C d) ~(B A) C e) N.A.3. El esquema lgico: (p q) (p ~p)equivale a las siguientes proposiciones: i. (p ~q) (~q ~p) ii. ~pq iii. ~[~(p q) (p ~p)] iv. ~p p v. (~p q) (~p p) Son ciertas: a) ii, iiib) i, ivc) ii, iv, v d) i, iv, v e) slo v4. Dadas las formulas: i. (~p q) p ii. (p q) (p q)Centro Pre Universitario33 34. Universidad Nacional Jorge Basadre GrohmannLgica iii. (~p q)p Cules son lgicamente equivalentes: a) i, iib) Ningunac) ii, iii d) i, iii e) todos5. Son formulas equivalentes: i. p (pq) ii.p(pq) iii. p (p q) iv.~p~q Se cumple: a) i, iib) iii, ivc) ii, iiid) i, ive) todos6. La proposicin siguiente: ( p ~r ) [ ~q~ (p r ) ]equivale a : a) (p r)~qb) q (p r)c) p (p r) d) r (p q)e) N.A.7. Dados los esquemas lgicos: P = ( p q ) ~ ( ~p q ) R = ~( p q ) Q=~(p~q) Cul de las siguientes relaciones es correcta? a) P R b) R Q c) P Q d) R Qe) N.A.8. La proposicin: ~ (p q) (q ~r) Es equivalente a: a) (p ~q) ~ ( r q)b) (p ~q) ~ r c) (p ~q) ~ ( r q) d) (p ~r) ~ q e) (p q) (r ~q)Centro Pre Universitario34 35. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann LgicaVI.FORMALIZACIN Y TRADUCCIN PROPOSICIONALFormalizacin Proposicional es el procedimiento mediante el cual se identificanproposiciones simples y estructuras lgicas proposicionales, asignndoles a cada uno undeterminado smbolo del lenguaje de lgica proposicional organizndolos con signos deagrupacin.Dentro de los trminos del lenguaje natural que designan operadores proposicionalestenemos: Negador: ~ A Es falso que A Es negable que A Es absurdo que A No ocurre que A Es mentira que A Es inadmisible Es inconcebible que A Es refutable A. Conjuntor: A B A pero B A tambin B A sin embargo B A al igual que B A incluso B No solo A tambin B A tanto como B A no obstante B. A as mismo B Disyuntor: A B A o tambin B A excepto que B A o incluso B A a menos que B A a no ser BA salvo que B A y/o B A alternativamente B A o en todo caso BA o bien B A y bien o tambin B Implicador: AB A implica a B Siempre que A entonces B A por lo tanto B Dado que A entonces B A luego B A solo cuando B A consecuentemente B A es condicin suficiente para B Ya que A entonces B A solo si B.Centro Pre Universitario 35 36. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lgica Puesto que A entonces B Biimplicador: A B A siempre y cuando B A es equivalente a B A es condicin suficiente y A es lo mismo que B necesaria para B A implica y esta implicado por B A porque y solamente B Solo si A entonces B. A es suficiente y B tambin6.1. EJERCICIOS RESUELTOS1. El argumento: Eres Ingeniero o Matemtico. Pero no eres profesional en matemticas. Por tanto eres profesional en Ingeniera. Se simboliza: a) [(p q) ~ q] p b) [(p q) ~ q] p c) [(p q) ~ q] p d) [(p q) ~ q] p e) N.A. Del enunciado definimos: p : Eres ingenieroq : Eres matemtico Construimos la expresin a travs del enunciado: (p q)// Eres Ingeniero o Matemtico. [(p q) ~ q]// ........ Pero no eres profesional en matemticas. [(p q) ~ q] p // ........ Por tanto eres profesional en Ingeniera Respuesta: d) [(p q) ~ q] p2. La proposicin: Habr aros y sortijas refulgentes siempre que el oro sea derretido adems moldeado, se formaliza: a) (p q) (r s) b) r (p q) c) (r s) (p q) d) (r s) (p q) e) (p q) (r s)Centro Pre Universitario 36 37. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lgica Del enunciado definimos:p : Habr aros refulgentes q : Habr sortijas refulgentes r : Oro sea derretido s : Oro sea moldeado Construimos la expresin a travs del enunciado: (p q)// Habr aros y sortijas refulgentes (r s)// Oro sea derretido adems moldeado (r s) (p q)// ....... Siempre que ....... Respuesta: c) (r s) (p q)3. Formalizar: Si en Marte no hay agua; entonces no hay vida; en consecuencia, no hay marcianos ni platillos voladores a) ~p[~q (~r ~s)] b) (~pq) (~r ~s) c) (~p~q) (~r ~s) d) ~p[~q (~r ~s) e) (~p~q) (~r ~s) Del enunciado definimos:p : En Marte hay agua q : En Marte hay vida r : Hay marcianos s : Hay platillos voladores Construimos la expresin a travs del enunciado: (~p ~q)// Si en Marte no hay agua; entonces no hay vida (~r ~s)// no hay marcianos ni platillos voladores (~p ~q) (~r ~s)// en consecuencia, Respuesta: e) (~p ~q) (~r ~s)4. Hallar la equivalencia a: Es falso que su Ud. ve un gato negro entonces tendr mala suerte a) Ve un gato negro y tiene mala suerte b) no tiene mala suerte si ve un gato negro c) Ve un gato negro y no tiene mala suerte d) Ve un gato negro si tiene mala suerte e) N.A. Del enunciado definimos:p : Ud. ve un gato negro q : Ud. tendr mala suerteCentro Pre Universitario 37 38. Universidad Nacional Jorge Basadre GrohmannLgica Construimos la expresin a travs del enunciado: p q // Si Ud. ve un gato negro entonces tendr mala suerte ~ (p q )// Es falso que ... Simplificando la expresin:~ (p q ) ~ ( ~ p q) ( p ~ q) La expresin se interpretara como: Ud. ve un gato negro y no tendr mala suerte Respuesta: c) Ve un gato negro y no tiene mala suerte5. La proposicin Si caigo, me levanto. Si me levanto, camino. Por tanto ya que caigo bien se ve que camino. Se formaliza: a) [(pq) (q r) ] (p r) b) [(p q) (q r) ] (p r) c) [(p q) (q r) ] (p r) d) [(p q) (q r) ] (p r) e) N.A. Del enunciado definimos: p : Me caigoq : Me levantor : camino Construimos la expresin a travs del enunciado: p q // Si caigo, me levanto (p q)(q r) // ...... Si me levanto, camino. (p r) // Ya que caigo bien se ve que camino [ ( p q ) ( q r )]( p r ) // ...... Por tanto ...... Respuesta: c) [(p q) (q r) ] (pr)6. Si Alondra depende de Brbara entonces tambin depende de Clotilde. Y, si depende de Clotilde, depende de Dalia, mas, si depende de Dalia luego depende de Ernestina. Por tanto, ya que alondra depende de Brbara en tal sentido depende de Ernestina se simboliza: a)[(A B) (B C)] (C D) (A E) b)[(A B) (B C)] (C D)(AD) c)[(A B)(B C)] (C D)(AD) d)[(A B)(B C)] (C D) (A D) e)N.A.Centro Pre Universitario38 39. Universidad Nacional Jorge Basadre GrohmannLgica Del enunciado definimos: B : Alondra depende de BarbaraC : Alondra depende de ClotildeD : Alondra depende de DaliaE : Alondra depende de Ernestina Construimos la expresin a travs del enunciado: (B C)// Si Alondra depende de Brbara entonces tambin depende deClotilde (B C)] (C D)// ....... Y, si depende de Clotilde, depende de Dalia, [ (B C) (C D) ] (D E) // ........ mas, si depende de Dalia luego depende de Ernestina [ (B C) (C D) ] (D E) (B E) // ....... Por tanto, ya que alondra depende de Brbara en tal sentido depende de Ernestina Revisando la estructura de respuesta con la de las alternativas del ejercicio obtenemos la alternativa d) como respuesta Respuesta: d) [(A B)(B C)] (C D) (A D)6.2. EJERCICIOS PROPUESTOS1. Formalizar: Si luchas por triunfar, entonces triunfars, sin embargo no luchas por triunfar. a)p (q r) b)(p q) ~p c)p (q ~r) d)(p q) (p q ) e)(p q) ~q2. La traduccin correcta de la formula proposicional: (BA) ~ ( ~B ~A) es: a) Si acto entonces soy consciente; por lo tanto si no acto entonces no soyconsciente b) Pienso porque existo. En consecuencia no pienso porque no existo c) Hace calor siempre que sea verano. Entonces es falso que si no hace calor luegoes veranoCentro Pre Universitario39 40. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lgica d) Sale el sol si es de da, luego, es falso que si no sale el sol luego no es de da. e) N.A.3. No es buen deportista pero sus notas son excelentes. Es equivalente a: a) No es cierto que, sea un buen deportista o sus notas no sean excelentes. b) No es cierto que, sea un buen deportista o sus notas sean excelentes. c) No es cierto que, no sea un buen deportista o sus notas no sean excelentes. d) No es cierto que, es un buen deportista y sus notas no son excelentes. e) N.A.4. En la siguiente expresin: El alcalde ser reelegido, si mantiene el ornato de la ciudad o no aumenta el impuesto predial su formalizacin es: a) (q r) ~p b) (q ~r) p c) p (q r) d) p (q r) e) N.A.5. Dada la proposicin Juan ser encontrado culpable, si hoy rinde su instructiva, por tanto si hoy rinde su instructiva, dir la verdad. Juan no ser encontrado culpable, si no dice la verdad. La formalizacin correcta es: a) [(A B) (B C)] (~C ~A) b) [(A B) (B C)] (~C ~A) c) [(A B) (B C)] (~C ~A) d) [(B A) (B C)] (~C ~A) e) N.A.6. La proposicin: Siempre que y slo cuando haya explosin nuclear, habr radioactividad. Sin embargo, al haber radioactividad luego habr mutaciones. por lo tanto la explosin nuclear es condicin suficiente para las mutaciones , se simboliza: a) [(A B) (B C)](A C) b) [(A B) (B C)](A C) c) [(A B) (B C)](A C) d) [(A B) (B C)](A C) e) N.A.Centro Pre Universitario40 41. Universidad Nacional Jorge Basadre GrohmannLgica7. Sean R p ~q; S ~p q Expresar en trminos de p y q S es condicin suficiente para R: a) qpb) p qc) p ~qd) q p e) ~p ~q8. La proposicin: Es absurdo que, los sueldos no tienen capacidad adquisitiva, pero los trabajadores protestan. Se formaliza como: a) A ~Bb) ~( ~A B) c) A ~Bd) ~A ~B e) ~(A B)9. La ley: La negacin de una disyuncin de dos variables es equivalente a la conjuncin de las negaciones de cada variable. Se formaliza como: a) ~(A B) ~A ~B b) ~(A B) ~A ~B c) ~(A B) (A B) d) (~A ~B) ( ~A ~B) e) (~A ~B) ~(A B)10. La proposicin lgica: No es falso que no sea correcto que el Brasil no sea un paissubdesarrollado. Su formalizacin es: a) ~ (~B)b) ~ (~B) c) ~ ~ (~B)d) ~ ~ [ ~ ~ (~B) ] e) ~ B11. La proposicin Alex ingresar a la UNJBG, siempre que y slo cuando Felipe,Miguel adems Ral no sean postulantes, se formaliza: a) A ( B C ~D) b) A (~B ~C ~D) c) A (B C ~D) d) (~B ~C ~D) Ae) N.A.12. La frmula lgica [(B C)A], se traduce como: a) Duermo si tengo sueo o cansancio b) Si camino adems trajino entonces me canso c) De la uva deviene el vino y la cachina d) Por la materia es infinita es obvio que no se crea ni se destruye e) Todas las anteriores.Centro Pre Universitario41 42. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lgica13. Dado el siguiente argumento: Si sudo es porque corro. Cierro los ojos entoncesduermo. Pero no corro o no duermo; en consecuencia no sudo a menos que no cierrolos ojos la formalizacin correcta es: a) [(B A)(C D)(~B ~D)] (~A ~C) b) [(B A)(CD) (~B ~D)] (~A C) c) [(A B)(C D) (~B D)] (~A C) d) [(A B C D) (~B~D)] (~A ~C) e) N.A.14. La formalizacin de: 3 8 = 2 al igual que 9 = 3 en consecuencia 3 8 + 9 = 5se formaliza: a) (A B)(A B) b) (A B) Cc) (A B) (A B) d) (A B)C e) N.A.Centro Pre Universitario 42 43. Universidad Nacional Jorge Basadre GrohmannLgicaVII.EQUIVALENCIAS NOTABLES:Las equivalencias notables permiten realizar transformaciones, es decir, convertir unasexpresiones en otras, o unas formulas en otras7.1. EJERCICIOS RESUELTOS1. Dado el esquema: [( ~ p q) q] (p q). Su equivalencia es: a) Juan va al cine o estudia b) Juan no va al cine o estudia c) Juan va al cine y estudia d) Juan no va al cine ni estudia e) N.A. Del enunciadoprocedemos a simplificar el esquema: [( ~ p q) q ] (p q) Definiendo p : Juan va al cine ~ [ ~ ( ~ p q) q ] (p q) q: Juan estudia [ ~ ~ ( ~ p q) ~ q ] (p q) [ ( ~ p q) ~ q ] (p q)Se puede interpretar el esquema obtenido [~p(q~q)] (p q)como: [~pF ] (p q) Juan va al cine o estudia F (p q)(p q) Respuesta: a) Juan va al cine o estudia2. La proposicin no es falso que sea absurdo que, el len es un mamfero, equivale a: i. El len no es domestico ii.El len no es mamfero iii. Es objetable decir que, el len sea mamfero iv.El len es mamfero o adems vertebrado v. No es innegable que, el len sea mamfero No son ciertas, excepto: a) i, ii, iiib) ii, iii, v c) i,ii, v d) ii, iii, iv e) N.A.Centro Pre Universitario43 44. Universidad Nacional Jorge Basadre GrohmannLgica Del enunciado definimos:p: El len es un mamfero. La estructura del enunciado seria: ~p // sea absurdo que, el len es un mamfero ~~p// es falso que sea absurdo ..... ~~~p // No es falso que ..... Por lo que el equivalente al enunciado seria : ~ p De las alternativas se tiene: i.El len no es domestico: ~q Definimosq: El len es domestico ii. El len no es mamfero:~p iii. Es objetable decir que, el len sea mamfero: ~p iv. El len es mamfero o adems vertebrado: pr Definimosr: El len es vertebrado v. No es innegable que, el len sea mamfero ~p Respuesta: d) ii, iii, iv3. Que se concluye de la expresin No ro a menos que reniegue. No reniego excepto que est tranquilo a) Ni ro ni estoy tranquilo b) No estoy tranquilo salvo que reniegue c) Ro porque estoy tranquilo d) No ro salvo que est tranquilo e) N.A. Del enunciado definimosp: Yo rioq: Yo reniegor : Yo estoy tranquilo Construimos la expresin a travs del enunciado: ~pq// No ro a menos que reniegue ~qr// No reniego excepto que est tranquilo ( ~ p q ) (~ q r )Centro Pre Universitario44 45. Universidad Nacional Jorge Basadre GrohmannLgica Aplicando leyes lgicas tenemos: ( ~ p q ) (~ q r ) ( p q)(qr) Se observa que en la expresin ( pq)(q r ) existen dos condicionales, donde el consecuente q del primer condicional es el antecedente del segundo condicional, por lo que se deduce lgicamente que la expresin: (p q)(qr) (pr)(pr ) ( ~p r ) Lo que se interpreta: No rio a menos que est tranquilo. Respuesta: d) No ro salvo que est tranquilo4. La expresin: Si la televisin es antinacional por tanto es alienante. Sin embargo no es mentira que sea alienante. Es equivalente a: a) La televisin es antinacional b) Es falso que la televisin no sea antinacional c) No es verdad que la televisin sea antinacional y alienante d) Todas e) La televisin es alienante. Del enunciado definimosp: La televisin es antinacional.q: La televisin es alienante. Construimos la expresin a travs del enunciado: p q// Si la televisin es antinacional por tanto es alienante ~~q// no es mentira que sea alienante (p q)q// ...... Sin embargo ..... Simplificando la expresin tenemos : ( p q)qq De lo que se interpreta : La televisin es alienante Respuesta: e) La televisin es alienante.5. La proposicin: los cetceos tienen crneo si y solo si son vertebrados, equivale a: i. Tienen los cetceos crneo y no son vertebrados, a menos que, ni sonvertebrados ni tiene crneo. ii. Tienen crneo o no son vertebrados, as como, son vertebrados o no tienecrneo. iii. Si tiene crneo, son vertebrados; tal como; si son vertebrados, tienen crneo.Centro Pre Universitario 45 46. Universidad Nacional Jorge Basadre GrohmannLgica iv. Los cetceos son vertebrados o no tienen crneo, as como, tienen crneo o no son vertebrados. v. Los cetceos son vertebrados y no tiene crneo. Son ciertas: a) i, ii, iii b) ii, iii, vc) i, ii, v d) ii, iii, iv e) N.A. Del enunciado definimosp: Los cetceos tienen crneo.q: Los cetceos son vertebrados Construimos la expresin a travs del enunciado: pq // Los cetceos tienen crneo si y solo si son vertebrados Simplificando el enunciado tenemos: pq (p q) (~p ~q) [ (p q) ~p ] [ (p q) ~q ] ( q ~p ) ( p ~q ) ( q ~p ) ( p ~q ) [ ( q ~p ) p ] [ ( q ~p ) ~q ][ ( q p ] [~p ~q ] De las alternativas se obtiene: i: p~q// Tienen los cetceos crneo y no son vertebrados. ~p~q // ni son vertebrados ni tiene crneo (p ~ q ) ( ~ p ~ q )// ......, a menos que, ...... ii: (p ~ q )// Tienen crneo o no son vertebrados (q~p)// son vertebrados o no tiene crneo. (p ~ q ) ( q ~ p )// ...... , as como, ....... iii: (p q) // Si tiene crneo, son vertebrados (q p) // si son vertebrados, tienen crneo. (p q)(q p) // ......; tal como; ...... iv: ( q ~p )// Los cetceos son vertebrados o no tienen crneo p ~q )// tienen crneo o no son vertebrados. ( q ~p ) ( p ~q ) // ...... , as como, .......Centro Pre Universitario 46 47. Universidad Nacional Jorge Basadre GrohmannLgica v: q~p // Los cetceos son vertebrados y no tiene crneo. Respuesta: b) ii, iii, v7.2. EJERCICIOS PROPUESTOS1. El enunciado Pablo no es rico pero es feliz. Se simboliza: a) Es falso que, Pablo es rico o no es feliz b) Pablo ni es rico ni feliz c) Es incorrecto que si pablo es rico, es infeliz d) Pablo es rico o feliz e) N.A.2. Sean las proposiciones: p: Los astronautas son seres normales q: Los cientficos son seres normales Dado el esquema: (p q) ~ p. Su equivalencia es: a) Es falso que los cientficos son seres normales, excepto que los astronautas sonseres normales. b) Los cientficos son seres normales a no ser que los astronautas no son seresnormales. c) Es falso que los cientficos no son seres normales. d) No slo los cientficos son seres normales tambin los astronautas son seresnormales. e) N.A.3. Que se concluye de: Si practicas pesas, ests en forma. Si estas en forma, las chicas te miran. a) No es el caso que practique deporte y las chicas te miren b) No es cierto que ests en forma o las chicas te miren c) Las chicas te miran y no practicas pesas d) No practicas pesas o las chicas te miran e) N.A.Centro Pre Universitario47 48. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lgica4. Dado el esquema molecular:(p r) (p s) (q r) (q s) es equivalente a: a) Carmela recibi la carta tambin tom el bus. O tambin recibi el pedido salvoque ofrezca el brindis b) Carmela recibi la carta o tambin tom el bus. Del mismo modo recibi elpedido salvo que ofrecer el brindis. c) Carmela recibi la carta al mismo tiempo recibi el pedido, salvo que, Carmelatom el bus al igual que ofrecer el brindis. d) Carmela recibi la carta excepto que recibi el pedido. Tal como, Carmela tomel bus a no ser que ella ofrecer el brindis. e) N.A.5. La negacin de la proposicin: Juan no viaj a Europa porque perdi sus documentos equivale a: i. Es falso que Juan no perdi sus documentos o Juan no viaj a Europa ii.Juan perdi sus documentos y viaj a Europa. iii. Es mentira que si Juan viaj, entonces no perdi sus documento iv.Juan viaj y perdi sus documentos. v. Es absurdo que Juan no viaj, a menos que no perdi sus documentos. Son ciertas: a) i, ii, iii b) iii, iv, v c) i, ii, v d) i, ii e) Todas6. El enunciado: Sandra ni es profesora ni es economista equivale a: a) Es falso que Sandra sea profesora as como tambin economista. b) Sandra es economista o profesora c) Es incorrecto que Sandra fuera economista ser profesora. d) Es falso que al no ser Sandra profesora deducimos que ser economista. e) Si Sandra es economista, ser profesora.7. Si la siguiente proposicin es falsa: Si el viaje es muy largo entonces Luis maneja con cuidado, o bien la carretera no est bien asfaltada o Luis maneja con cuidado; pero la carretera no est bien asfaltada. Por tanto el viaje no es muy largo. Se puede afirmar: a) Luis maneja con cuidado y la carretera no est bien asfaltada. b) El viaje no es muy largo y Luis maneja con cuidado. c) El viaje es muy largo.Centro Pre Universitario48 49. Universidad Nacional Jorge Basadre GrohmannLgica d) La carretera est bien asfaltada. e) El viaje no es muy largo pero la carretera esta bien asfaltada.8. La proposicin Es inadmisible que el metabolismo se d por catabolismo y anabolismo equivale a: i. Metabolismo se da por catabolismo entones no se da por anabolismo. ii.Es absurdo que el metabolismo se da por anabolismo tambin por catabolismo. iii.El metabolismo se da por catabolismo y anabolismo. iv.Es falso que, si el metabolismo no se da por catabolismo, luego no se da poranabolismo. v. El metabolismo no se da por catabolismo o no se da por anabolismo. Son ciertas: a) i, ii, iii b) ii, iii, ivc) iii, iv, vd) i, iv, v e) i, ii, v.9. La negacin de la proposicin: Benito no viajo a Europa porque perdi sus documentos equivale a: i. Es falso que Benito no perdi sus documentos o Benito no viajo a Europa. ii.Benito perdi sus documentos y viajo a Europa. iii. Es mentira que si Benito viaj, entonces no perdi sus documentos iv.Benito viaj y perdi sus documentos. v. Es absurdo que Benito no viaj, a menos que no perdi sus documentos. Son ciertas: a) i, ii, iii b) iii, iv, v c) i, ii, v d) i, ii e) todas10. El enunciado Si has estudiado, entonces pasars de ciclo y no pagars por segundamatricula. Es equivalente a: a) Has estudiado entonces pasars de ciclo excepto que has estudiado y no pagarspor segunda matricula. b) Siempre que has estudiado por consiguiente pasars de ciclo, al mismo tiempo,toda vez que has estudiado en consecuencia no pagars por segunda matricula. c) Slo si has estudiado, pasars de ciclo y no pagaras segunda matricula. d) Si has estudiado no pasars de ciclo y pagars por segunda matricula. e) N.A.Centro Pre Universitario49 50. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lgica11. Luis est de viaje. Pero Ricardo tiene fiebre o tambin est agripado: a) Luis est de viaje o Ricardo tiene fiebre. Pero Luis est de viaje salvo que Ricardo est agripado. b) Luis esta de viaje sin embargo Ricardo tiene fiebre. A menos que Luis est de viaje aunque Ricardo esta agripado. c) Luis esta de viaje as como Ricardo tiene fiebre. A menos que Luis est de viaje y Ricardo no est agripado d) No solo Luis est de viaje tambin Ricardo est agripado. A menos que, Luis est de viaje y Ricardo tiene fiebre. e) N.A.12. El enunciado: La seal de corriente alterna es sinusoidal del mismo modo que laseal digital es cuadrada equivale a: i. La seal digital es cuadrada aunque de la corriente alterna es sinusoidal. ii. Es absurdo que la seal de corriente alterna no es cuadrada. iii. Es falso que la seal de corriente alterna sea sinusoidal implica que la seal nosea cuadrada. iv. La seal digital es cuadrada implica que la seal alterna sea sinusoidal. Son ciertas: a) i, ii, iii b) ii, iii, iv c) i, iv, v d) Todase) N.A.Centro Pre Universitario50 51. Universidad Nacional Jorge Basadre GrohmannLgicaVIII.LGICA CUANTIFICACIONAL8.1. CUANTIFICADORES LGICOSUna VariableTambin llamados Cuantores son los smbolos que determinan la cantidad de unaproposicin categrica y son de dos tipos:Cuantificador Universal: xCuantificador Existencial: x (Universalizador o generalizador)(Particulazador o existencializador) Para todo x Existe x Para cada x Algunos x Para cualquier x Exista al menos un x Cualquiera que sea x Tantos, ciertos, muchos x Sean todos los x Existe por lo menos un x Para cada una de las x. Pocos, muchos x Hay al menos un x que.EQUIVALENCIAS LOGICASEquivalencias entre cuantificadores con un predicado (una variable). ~ (x(Px)) x(~Px) ~ (x(Px)) x(~Px) x(Px) ~[x(~Px)] ~(x(~Px)) x(Px)8.2. EJERCICIOS RESUELTOS(Una Variable)1. Hallar los valores de verdad de las negaciones de las proposiciones siguientes:p: x N: x > xq: x Z: x + 1 > xr: x R: x = xa) FFFb) FVFc) FVV d) VFF e) VVFCentro Pre Universitario 51 52. Universidad Nacional Jorge Basadre GrohmannLgica Del enunciado se tiene: p: x N: x > xq. x Z: x + 1 > x ~p : ~ [ x N: x > x ]~q . ~ [ x Z: x + 1 > x ] ~p : x N: ~( x > x ) ~q . x Z: ~( x + 1 > x ) ~p : x N: x x~q . x Z: x + 1 xx = 1 N 1 1 x = -5 Z: -5 + 1 -5 V - 4 -5F r: x R: x = x ~ r : ~ [ x R: x = x ] ~ r : x R: ~( x = x) ~ r : x R: x xx = 1 R 1 1 FRespuesta: d) VFF2. Dadas las proposiciones: p:~ { x Q, x + 2 > 0} q: x N: 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117 r: x Z, x/x = 1 Hallar el valor de verdad de: (p q) r a) F b) V c) Tautologa d) Contradiccin e) V F Del enunciado se tiene: p: ~ { x Q, x + 2 > 0}q: x N: 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117 x Q, ~ (x + 2 > 0) x Q, x + 2 0 x=2: 32 + 32 + 1 + 32 + 2 = 11732 + 33 + 34 = 117 x = - 4/2 Q (- 4/2) + 2 09 + 27 + 81 = 117 -2+20 117 = 117 VV r: x Z, x/x = 1 (p q) r(V V)F x = 0 Z x / x = 1 (Indeterminado)FF Respuesta: a) FCentro Pre Universitario52 53. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lgica3. Si p q slo es verdadero cuando p y q son ambos falsos. Hallar el valor de verdad de: ( ~ p q) (q ~ r) si: p: 2 es nmero impar q: x A = {1, 2, 3}, x + 1 > 1 r: x B = {2, 4, 6}, x = 9 a) F b) V c) V F d) No se Puede Determinar e) N.A. Del enunciado se tiene: p: 2 es nmero imparq: x A = {1, 2, 3}, x + 1 > 1 F x A = {1, 2, 3}, x > 0 V r: x B = {2, 4, 6}, x = 9(~ p q) (q ~ r) x B = {2, 4, 6}, x = 3(~ F V) (V ~ F)F (V V) (V V) (F) (F) V Respuesta: b) V4. Hallar el valor de verdad de: i. (x R, | x |= x) ( x R, x+1>x) ii. ~ x R, x x iii. ~[x N, | x | 0]. a) FFFb) FVF c) FFVd) VFFe) N.A. Del enunciado se tiene: i. (x R, | x | = x) (x R, x+1 > x)ii. ~ x R, x2 xx = -3 R [ | -3 | = 3 ] [ -3 + 1 > -3 ] x=11 1 [ | -3 | = 3 ] [ -2 > -3 ]F FVF iii. ~ [x N, | x | 0]. x N, ~ [ | x | 0]. x N, | x | = 0].x = 0 N |0|=00 =0V Respuesta: c) FFVCentro Pre Universitario53 54. Universidad Nacional Jorge Basadre GrohmannLgica5. Sean las proposiciones: p:{xQ / 1 + x > 0} 2 q:{ x I / x + 0 = } r:{ xR / x + 1 = 0} Hallar el valor de: [(p q) r ] ~q a) F b) V c) Tautologa d) Contradiccine) V F Del enunciado se tiene: p: {xQ / 1 + x > 0}q: { x I / x + 0 = } 2x Q / x > 1 x=I +0= 2Vx = -1/5 Q 1 >1 5 2 1 < 1 5 2 F r: { xR / x + 1 = 0}[ (p q) r ] ~qx R / x = -1 [ (F V) F ] ~V[V F]Fx = 5 R 5 = -1 [F ]F FV8.3. EJERCICIOS PROPUESTOS (Una Variable)1. S: A = {0, 2, 4, 6, 8} indicar el valor de verdad de: i. x A: x + 3 < 12 ii. x A: x + 3 < 12 x iii. x A: x + 1 > 0 a) FFFb) FVFc) FFVd) VVF e) VFV2. Dado A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} sealar el valor de verdad de: i. n A : n 40 ii. m A : m > 40Centro Pre Universitario54 55. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lgica iii. n A : n 25 a) FFFb) FVF c) FFV d) VFFe) VFV3. Si A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5}. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: p: x A,x+3>2 x+10 a) FFFb) FVF c) FFV d) VFFe) VFV4. S : P(n):n N: n = n Q(x):2x + 1 > 8; A = {1, 2, 3, 4} Hallar el valor de verdad de:[ n P(n)] [ x Q(x)] [n P(n)] [x Q(x)] a) F b) Vc) V Fd) No se Puede Determinar e) N.A.5. Hallar el valor de verdad de en A = {1,2,3} i. ~ [x / x = 4] ii. ~ [x / x + 1>3 ] iii. ~ [x / x + 2 = 5] a) FFFb) FVF c) FFV d) VFFe) N.A6. Cul es el valor de verdad de las siguientes proposiciones? i. x A: x 3 x > 4 ii. x A: x + 2 < 8 x - 1 > 5 iii. x A: x 3 x 2 Donde A = { 1, 2, 3, 4 } a) FFFb) FVF c) FFV d) VFFe) VFV7. Sean las proposiciones: P: x Z:(4x + 2) (3x - 7) = 0 Q: x Z:(x2 2) (x -1) < 0Centro Pre Universitario55 56. Universidad Nacional Jorge Basadre GrohmannLgicaR: x Z: (4x + 2) (3x 7) = 0Los valores de verdad son:a) FFFb) FVFc) FFVd) VFF e) VFV8.4. CUANTIFICADORES LGICOS: Dos VariablesUna Proposicin de dos variables es de la forma: P(x, y) en el cual existen 8posibilidades de determinar: x y [P(x, y)] y x [P(x, y)] x y [P(x, y)] y x [P(x, y)] x y [P(x, y)] y x [P(x, y)] x y [P(x, y)] y x [P(x, y)];EQUIVALENCIAS LOGICASEquivalencias entre cuantificadores con dos predicados (dos variable). x y [P(x, y)]y x [P(x, y)] x y [P(x, y)]y x [P(x, y)] ~ {x y [P(x, y)]}x y ~[P(x, y)] ~ {x y [P(x, y)]}x y ~[P(x, y)] ~ {x y [P(x, y)]}x y ~[P(x, y)]8.5. EJERCICIOS RESUELTOS (Dos Variables)1. Si A = { 1, 2, 3} Determinar el valor de verdad de:i. x, y: x < y +1ii. x, y: x + y < 12iii. x, y: x + y< 12a) FFVb) FFF c) VVF d) VFV e) FVFCentro Pre Universitario56 57. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lgica Del enunciado se tiene: i.x, y:x < y +1ii. x, y:x + y < 12 x = 1; y = 21 < 2 +1 x = 2; y = 3 2 + 3 < 12 1 128 a) FFVb) FFFc) VVF d) VVVe) FVF Del enunciado se tiene: i.x, y: x yii. y, x: x + y < 9 y=0x0 x = 0; y = 20 + 2 < 9V 4< 9 V iii.x, y: x + y > 128 x = 0; y = 2 0 + 2 > 1284 > 128 FRespuesta: c) VVF5. Sean: A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 4, 5, 8} Determinar el valor de verdad de: i. x B, y A: x - y A ii. x, y A: x + y > z, z B a) FV b) FF c) VFd) VV e) N.A. Del enunciado se tiene: i.x B, y A: x - y A ii. x, y A: x + y > z, z B y = 1; x = 8 8-1A x = 4; y = 34 + 3 > z, z B7 A7 > z, z BF F Respuesta: b) FFCentro Pre Universitario 58 59. Universidad Nacional Jorge Basadre GrohmannLgica8.6. EJERCICIOS PROPUESTOS (Dos Variables)1. Si x, y pueden ser cualquiera de los nmeros 1 y 2, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: i. x, y: x y +2 ii. x, y: x + y < 5 iii. x, y: x + y 5. a) FFVb) VFFc) VVFd) VVVe) FVF2. S: P(x, y): x2 + y > 5. Determinar el valor de verdad de: i. x, y : x+ y > 5 ii.x, y : x+ y > 5 iii. x, y : x+ y > 5 iv.x, y : x+ y > 5 Cuando: x { 2, 3, 6, 7, 8}; y { -1, -2, -3} a) FFVV b) FFFV c) VVFF d) VVVF e) VFVF3. Sea A = { 1, 2, 3 }. Determinar el valor de verdad de: i. x, y: x+ 3y < 12 ii.x, y:x + 3y < 12 iii. x, y:x + 3y < 12 iv.x, y:x + 3y < 12 a) FFVV b) FFFV c) VVFF d) VVVF e) VFVF4. S: M = {1, 2, 3, 4, 5}. Determinar el valor de verdad de: i. x, y : x + y < 7 ii.x, y: x + y > 7 iii. x, y x + y 8 iv.x: x + 3 > 6 a) FFVV b) VFFV c) VVFF d) VVVF e) N.A.Centro Pre Universitario 59 60. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lgica5. Sealar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: i. x N, y R: x +1 > y > x ii.x N, y R: y > x > (y ~ 1) iii. x N, y R: x (y ~ 1) iv.x N, y R: y + 1 x a) FFVVb) FFFVc) VVFFd) VVVFe) VFVF6. En los nmeros reales indicar la verdad o falsedad de: i. x, y: (-x)(-y) = xyxy > 0 ii. x: (-1)x = 0 iii. x: x2/x = x a) FFV b) FFF c) VVF d) VVV e) FVF7. Dado M = {1, 2, 3, 4, 5}. Determinar el valor de verdad de: i. x: x+3