lo que 01 nÚmeros naturales vamos a

01 NÚMEROS NATURALES 1. Sistemas de numeración 12 2. Números naturales.

Sistema de numeración decimal 13 3. Representación y orden del conjunto

de los números naturales 14 4. Suma y resta de números naturales 15 5. Multiplicación y división de números naturales 16 6. Operaciones combinadas con números naturales 18 7. Aplicaciones de los números naturales 19ACTIVIDADES 20

02 POTENCIAS Y RAÍCES 1. Potencias de base y exponente natural 28 2. Operaciones con potencias con la misma base 29 3. Operaciones con potencias con el mismo exponente 30 4. Cuadrados perfectos y raíces cuadradas exactas 31 5. Raíces cuadradas enteras 32ACTIVIDADES 34

03 DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 1. Múltiplos y divisores 42 2. Números primos y compuestos. Criterios de divisibilidad 43 3. Descomposición factorial de un número 45 4. Máximo común divisor 46 5. Mínimo común múltiplo 47ACTIVIDADES 48

LO QUE VAMOS A APRENDER

MATEMÁTICAS

PARA QUE LAS COSAS OCURRAN

07 PROPORCIONALIDAD 1. Razón y proporción 106 2. Magnitudes proporcionales 107 3. Magnitudes directamente proporcionales.

Regla de tres directa 108 4. Magnitudes inversamente proporcionales.

Regla de tres inversa 109 5. Porcentajes 110 6. Escalas 112ACTIVIDADES 114

08 LENGUAJE ALGEBRAICO 1. Lenguaje algebraico 122 2. Expresiones algebraicas y valor numérico 124 3. Monomios y polinomios 125 4. Suma y resta de monomios 126 5. Multiplicación y división de monomios 127 6. Igualdades, identidades y ecuaciones 128 7. Resolución de ecuaciones de primer grado 129 8. Resolución de ecuaciones de primer grado

con paréntesis y denominadores 130 9. Resolución de problemas mediante ecuaciones 132ACTIVIDADES 134

09 ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA. RECTAS Y ÁNGULOS 1. Punto, segmento, semirrecta y recta en el plano 142 2. Posiciones relativas de dos rectas 143 3. Ángulos. Tipos y relaciones 144 4. Medida de ángulos y conversión 145 5. Operaciones con ángulos 146 6. Construcciones geométricas: mediatriz y bisectriz 148ACTIVIDADES 150

04 NÚMEROS ENTEROS 1. Números enteros.

Valor absoluto y opuesto 56 2. Representación y orden del conjunto

de los números enteros 57 3. Suma y resta de números enteros 58 4. Multiplicación y división de números enteros 60 5. Potencias y raíces de números enteros 61 6. Operaciones combinadas con números enteros 62ACTIVIDADES 64

05 NÚMEROS FRACCIONARIOS 1. Números fraccionarios.

Fracción propia e impropia 72 2. Fracciones equivalentes 73 3. Comparación, ordenación y representación

de fracciones 74 4. Suma y resta de fracciones 76 5. Multiplicación y división de fracciones 78 6. Potencias y raíces de fracciones 80 7. Operaciones combinadas con fracciones 81ACTIVIDADES 82

06 NÚMEROS DECIMALES 1. Números decimales. Orden y representación 92 2. Suma y resta de números decimales 93 3. Multiplicación, división, potencias

y raíces de números decimales 94 4. Jerarquía de las operaciones con números decimales 95 5. Decimales y fracciones. Tipos y conversión 96 6. Aproximación de números decimales 97ACTIVIDADES 98

13 FUNCIONES Y TABLAS 1. Coordenadas cartesianas 204 2. Funciones 206 3. Representación de gráficas a partir

de tablas de datos 208 4. Funciones de proporcionalidad directa 209 5. Interpretación de gráficas 211 6. Comparación de fenómenos 213ACTIVIDADES 214

14 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 1. Población y variables estadísticas 222 2. Tablas estadísticas. Frecuencias 223 3. Gráficos estadísticos 226 4. Parámetros estadísticos de una variable

cuantitativa discreta 228 5. Parámetros estadísticos de una variable

cuantitativa continua 229 6. Experimentos aleatorios y deterministas. Sucesos 230 7. Probabilidad 231 8. Regla de Laplace 232ACTIVIDADES 234

10 TRIÁNGULOS 1. Polígonos: elementos y clasificación 158 2. Clasificación y propiedades de triángulos 160 3. Construcción de triángulos 161 4. Igualdad y semejanza de triángulos 162 5. Rectas y puntos notables de un triángulo 163 6. Teorema de Pitágoras 164 7. Perímetro y área del triángulo 165ACTIVIDADES 166

11 CUADRILÁTEROS Y OTROS POLÍGONOS 1. Cuadriláteros: clasificación y propiedades 174 2. Perímetro y área de los cuadriláteros 176 3. Construcción de polígonos regulares

y ejes de simetría 178 4. Perímetro y área de los polígonos regulares 179 5. Semejanza de polígonos 180 6. Cálculo del área de una figura plana

por descomposición 181ACTIVIDADES 182

12 FIGURAS CIRCULARES 1. Circunferencia. Posiciones relativas 190 2. Ángulos en la circunferencia 191 3. Longitud de una circunferencia

y del arco de una circunferencia 192 4. Circunferencia y polígonos 193 5. Círculo y figuras circulares 194 6. Área del círculo y de las figuras circulares 195ACTIVIDADES 196

MALA

LA YO

USAF

ZAI

05NÚ

MERO

SFR

ACCIO

NARIO

S

70 | 71

LA EN

TREV

ISTA I

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Busc

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CO NO CER

72 | TODOS NO PODEMOS AVANZAR SI LA MITAD DE LA HUMANIDAD VA POR DETRÁS

En el conjunto de los números enteros podemos realizar la división 8 : 2 = 4, pero no podemos expresar con un solo número entero la división 8 : 3, ya que no es exacta. Surge, por ello, la necesidad de un nuevo conjunto de números: los números fraccionarios, que se representan por la letra ℚ.

Una fracción, ba , es el cociente entre dos números enteros, a y b, de modo

que b ≠ 0.

Los elementos de una fracción son:

Denominador. Indica las partes iguales en que se divide la unidad.

Numerador. Indica las partes que se toman de esas divisiones.

ab

Una fracción se puede interpretar de tres formas:

Como cociente indicado Como partes de una cantidad Como operador

La fracción 312 es el cociente indicado de

dos números enteros y equivale a dividir 12 entre 3:

12 : 3 = 4

La fracción 83 equivale a tomar 3 partes

de un total de 8:

Los 43 de una cantidad, C, equivalen a

dividirla entre 4 y multiplicar el resultado por 3.

Por ejemplo:

43 de 300 = (300 : 4) · 3 = 75 · 3 = 225

Por otro lado, las fracciones pueden ser de dos tipos:

Fracción propia Fracción impropia

Es aquella cuyo denominador es mayor que el numerador, en valor absoluto, y, en consecuencia, es menor que la unidad:

43

Es aquella cuyo numerador es mayor que el denominador, en valor absoluto, y, por tanto, es mayor que la unidad. Para representar una fracción impropia, se utiliza más de una unidad:

45

Las fracciones impropias se pueden expresar como números mixtos, que tienen una parte entera y una parte fraccionaria:

ò45

44 1

44

41 1 4

1 141= + = + = + número mixto

1 NÚMEROS FRACCIONARIOS. FRACCIÓN PROPIA E IMPROPIA

Actividad resuelta

Expresa el siguiente número mixto

como fracción impropia: 3 54

Se lleva a cabo el mismo procedimiento utilizado para pasar de fracción impro-pia a número mixto, pero a la inversa:

354

55

55

55

54= + + + =

·5

3 5 4519= + =

Número entero como fracciónCualquier número entero se puede expresar como una fracción con denominador 1:

313= 4

14– –=

2

–7–1 –45

–3

–0,087

81 13�

�

�

123––

34

– –– 53––1

2–– 2

7––

–1,3

0,043

05 | NÚMEROS FRACCIONARIOS | 73

Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad. Las fracciones equivalentes cumplen que el producto de sus extremos es igual al producto de sus medios:

ïba

dc a · d b · c= =

Así, por ejemplo, 21

42= representan la misma cantidad y, por lo tanto, son equi-

valentes, ya que 1 · 4 = 2 · 2 = 4.

12––

24––=

Para obtener fracciones equivalentes a otra, es preciso amplificar o simplificar esta última.

Amplificar una fracción es hallar otra fracción equivalente con términos mayores. Se amplifica multiplicando el numerador y el denominador por un mismo número natural mayor que uno.

Una fracción se puede amplificar infinitamente.

Así, por ejemplo, para amplificar las fracciones 43 y 2

7 , hay que proceder de la siguiente manera:

· 2 · 3 · 3 · 4

43

86

2418= = 2

7621

2484= =

· 2 · 3 · 3 · 4

Simplificar una fracción es hallar otra fracción equivalente con términos menores. Se simplifica dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número natural mayor que uno.

Cuando una fracción ya no se puede simplificar más, se denomina fracción irreducible.

Una fracción solo se puede simplificar hasta llegar a la fracción irreducible. Así, por ejemplo:

: 2 : 3 : 5

ò9030

4515

155

31

31= = = es la fracción irreducible de 90

30

: 2 : 3 : 5

2 FRACCIONES EQUIVALENTES

Actividad resuelta

Halla directamente la fracción irreducible

de la siguiente fracción: 160240

Para hallar una fracción equivalente di-rectamente, sin tener que ir simplificán-dola paso a paso, se calcula el máximo común divisor (m.c.d.) del numerador y del denominador y se simplifican ambos dividiendo entre dicho m.c.d.:

m.c.d. (240, 160) = 80: 80

160240

23=

: 80

RecuerdaSiempre que se realice una operación con fracciones, hay que simplificar el resultado hasta llegar a la fracción irreducible.


3.1 COMPARACIÓN DE FRACCIONESPara comparar fracciones, hay que distinguir tres casos en función de sus

numeradores y sus denominadores.

Fracciones de igual denominador Fracciones de igual numerador

Si dos fracciones tienen igual denominador, será mayor la que tenga mayor numerador:

41

42< , ya que 2 > 1

14––

24––<

Si dos fracciones tienen igual numerador, será mayor la que tenga menor denominador:

42

82> , ya que 4 < 8

24––

28––>

Fracciones con numeradores y denominadores distintos

Para comparar dos fracciones cualesquiera, hay que hallar fracciones equivalentes a ellas, cuyo denominador será el m.c.m. de los denominadores.

Así, para comparar 42 y

61 , el m.c.m. (4, 6) = 22 · 3 = 12, con lo que:

= =( : )

( : )ò4

212

12 4 2126

61

1212 6 1

122 12

6122

42

61

·

·> >

= =

_

`

a

bb

bb

612––

212––>

24––

16––>

3.2 ORDENACIÓN DE FRACCIONESPara ordenar fracciones, deben tenerse en cuenta las siguientes reglas:

1 Toda fracción positiva es mayor que cualquier fracción negativa, y viceversa:

52

94–>

23

45– <

2 El cero es mayor que cualquier fracción negativa y menor que cualquier fracción positiva:

94 0

45– < <

3 De dos fracciones positivas es mayor la que tiene mayor numerador, una vez reducidas a común denominador:

52

61>

3012

305>

4 De dos fracciones negativas es mayor la que tiene menor valor absoluto, al reducirlas a común denominador:

72

52– –>

3510

3514– –>

5 El uno es mayor que cualquier fracción propia y menor que cualquier fracción impropia si son fracciones positivas, y es mayor que cualquier fracción negativa:

52 1

38< <

52 1

83– –< >

3 COMPARACIÓN, ORDENACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES


3.3 REPRESENTACIÓN DE FRACCIONESPara representar fracciones en la recta numérica, se ha de distinguir entre

fracciones propias e impropias.

Fracciones propias Fracciones impropias

Se divide la unidad entre el 0 y el 1 en tantas partes como indica el denominador y se toman tantas partes como indica el numerador.

Por ejemplo, 52 se representa de este modo:

0 2125––

Se convierte la fracción impropia en un número mixto. Nos situamos en la siguiente unidad, que indica la parte entera de dicho número, y se representa ahí la fracción propia indicada.

Por ejemplo, 47 1

43= + y se representa así:

0 21 74––

Actividades resueltas

1 Representa en la misma recta numérica las siguientes fracciones: , , , ,53

38

45

65

23– –

Se sitúan las fracciones propias entre los números enteros correspondientes:

• 53– está entre –1 y 0.

• 65 se encuentra entre 0 y 1.

Con objeto de proceder del mismo modo con las fracciones impropias, las escribimos primero como números mixtos:

• 38 2

32= + está entre 2 y 3.

• 45 1

41– –= +c m se halla entre –1 y –2.

• 23 1

21= + está entre 1 y 2.

Se representan ahora en la misma recta numérica todas las fracciones, teniendo en cuenta que el denominador de cada una de ellas indica las divisiones que se deben realizar en cada unidad, y el numerador, las que se toman.

–2 –1 0 1 2

53– –––

45– –––

23–––

65–––

38–––

3

2 Ordena las siguientes fracciones de menor a mayor: , , ,32

54

107

21– –

Se obtienen las fracciones equivalentes de las fracciones indicadas en el enunciado, reduciéndolas a común denominador, y, a continuación, se ordenan:

, , , , , ,ò32

54

107

21

3020

3024

3021

3015– – – –

ò3021

3020

3015

3024

107

32

21

54< < < < < <– – – –

Dominó de fracciones equivalentesDadas las siguientes fichas de dominó, identifica cuáles son las siete familias de fracciones equivalentes que forman el juego. Copia luego el dominó en una cartulina y recorta las fichas para poder jugar después con ellas.

721–––

2420–––

1260–––

550–––

1224–––

65

–––

2418–––

4433–––

515–––

3224–––

48

–––

43

–––

3020–––

3624–––

2015–––

880–––

2550–––

3090–––

1050–––

4030–––

13

–––

440–––

64

–––

86

–––

129

–––

6050–––

510–––

15

–––

96

–––

660–––

1236–––

7550–––

128

–––

1815–––

12

–––

24

–––

20100–––

1510–––

735–––

210–––

39

–––

315–––

36

–––

32

–––

330–––

10100–––

1030–––

26

–––

12

–––

220–––

1020–––

110–––

7260–––

3025–––

525–––

6655–––


En la suma y resta de fracciones se pueden presentar dos casos: que tengan igual denominador o que tengan distinto denominador.

4.1 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADORPara sumar o restar fracciones con igual denominador, se deja el mismo denominador y el numerador es la suma o resta de los numeradores. Fíjate, por ejemplo, en las siguientes operaciones con fracciones:

41

42

41 2

43+ = + = 6

267

62 7

65– – –= =

4.2 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CON DISTINTO DENOMINADORPara sumar o restar fracciones con distinto denominador, hay que expre-sarlas previamente como fracciones equivalentes con el mismo denominador, siguiendo estos pasos:

1 Se busca el m.c.m. de los denominadores:

32

54

21–+ m.c.m. (3, 5, 2) = 30

2 Para hallar el numerador de cada fracción, se divide el m.c.m. entre el denominador, y el resultado se multiplica por el numerador:

( : ) ( : ) ( : )32

3030 3 2

3020

54

3030 5 4

3024

21

3030 2 1

3015· · ·= = = = = =

En consecuencia: 32

54

21

3020

3024

3015

3020 24 15

3029– – –+ = + = + =

Actividad resuelta

Resuelve la siguiente operación con sumas y restas de fracciones: 21

121

41

51– –+ +

Se reducen las fracciones a común denominador. Se simplifica el resultado.

21

121

41

51

6030

605

6015

6012

6025

603

6022

3011– – – – – – –+ + = + + = + = =

Se opera con las fracciones de dos en dos sumándolas o restándolas, según los signos.

4 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

Fracciones negativasEn una fracción negativa, el signo menos (–) puede situarse en varios sitios y da siempre lugar a la misma fracción:

73

73

73– ––

= =

Opuesto de una fracciónEl opuesto de una fracción es otra fracción de igual valor absoluto y signo contrario:

73

73op –=c m

32

32op – = +c m

RecuerdaSiempre que sea posible hay que simplificar el resultado.


4.3 PROPIEDADES DE LA SUMA Y DE LA RESTA DE FRACCIONES

Propiedades de la suma

Conmutativa Asociativa Elemento neutro Elemento opuesto

Si se cambia el orden de los sumandos, el resultado no varía:

43

42

42

43+ = +

45

45=

El orden en que se realizan las sumas no modifica el resultado:

25

23

21

25

23

21+ + = + +c cm m

28

21

25

24+ = +

29

29=

El elemento que sumado a cualquier número no varía el resultado es el cero:

43 0

43 0

43

4+ = + =

Toda fracción, ba , tiene un

opuesto, –ba , tal que, al

sumarlos, se obtiene el elemento neutro:

43

43

43

43

40 0– –+ = = =c m

Propiedades de la resta

Conmutativa Asociativa Elemento neutro

No cumple la propiedad conmutativa, pues, si se cambia el orden de las fracciones, el resultado varía:

≠43

42

42

43– –

≠41

41–

No cumple la propiedad asociativa, ya que el orden en que se realizan las restas modifica el resultado:

≠25

23

21

25

23

21– – – –c cm m

≠22

21

25

22– –

≠21

23

El elemento que restado a cualquier número no altera el resultado es el cero:

43 0

43 0

43

4– –= =

Actividad resuelta

Cuatro amigos quieren repartir en sendas mochilas los enseres que llevarán a una excursión a la sierra. Eva cargará dos tercios del peso total; Juan, un décimo; Enrique, un sexto, y el resto lo portará Elisa. ¿Con qué fracción del total del peso cargará Elisa?

Se pasan los datos a fracciones:

Eva ⇒ 32 ; Juan ⇒

101 ; Enrique ⇒

61 ; Elisa ⇒ el resto

Se suman las fracciones: 23 10

161+ +

m.c.m. (3, 10, 6) = 30 ⇒ 32

101

61

3020

303

305

3028+ + = + + =

Se simplifica el resultado: 3028

1514=

Así pues, falta por llevar: 1 – 1514

1515

1514

151–= =

De este modo, Elisa cargará 151 del peso total.


La multiplicación y división de números fraccionarios se basa en la multipli

cación y división de números enteros.

5.1 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

Para multiplicar dos fracciones, se multiplican, por un lado, los numeradores, y el resultado se pone en el numerador de la fracción resultante, y, por otro lado, los denominadores, y el resultado se pone en el denominador:

ba ·

dc

b · da · c=

Propiedades de la multiplicación

Conmutativa Asociativa Elemento neutro

El orden de los factores no varía el resultado:

· ·73

52

52

73=

356

356=

El producto de dos o más fracciones no depende del orden en que se agrupen:

· · · ·25

43

71

25

43

71=c cm m

ò815

71

25

283 15 15

56 56· ·= =

El elemento neutro de la multiplicación es

la fracción 11 , ya que, al multiplicarla por

otra fracción, esta no varía:

· ·43 1

43

11

43= =

Elemento absorbente Elemento inverso Distributiva de la multiplicación respecto de la suma o de la resta

El elemento absorbente de la

multiplicación es el número 0, pues,

al multiplicarlo por una fracción, el resultado siempre es 0:

· ·43 0

43

10

40 0= = =

Toda fracción, ba , tiene una fracción

inversa, ab , tal que, al multiplicar ambas,

se obtiene el elemento neutro:

·52

25

1010 1= =

El producto de una fracción por la suma (o resta) de dos o más fracciones es igual a la suma (o resta) de los productos de la fracción por cada uno de los componentes:

· · ·31

25

23

31

25

31

23+ = +c m

5.2 DIVISIÓN DE FRACCIONES

Dividir dos fracciones equivale a multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda:

:ba

dc

ba · c

db · ca · d= =

5 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES

Observa

···

75

43

7 45 3

2815= =

Observa

: ···

52

43

52

34

5 32 4

158= = =


Propiedades de la división

Propiedad 1 Propiedad 2 Propiedad 3

El uno es el elemento neutro de la división:

:1ba

ba=

El cero, dividido entre cualquier número, siempre da cero:

0 0a=

El divisor nunca puede ser cero:

≠ò 0ba b

Actividades resueltas

1 Calcula el resultado de la multiplicación 35

156·–c m .

Se multiplican los signos y se descompone la expresión en un producto de factores, simplificando todo lo que se pueda antes de multiplicar:

35

156

3 155 6

3 3 55 2 3

32·

··

· ·· ·

–= = =– – –c m

2 Calcula el resultado de la división :258

304– –c cm m.

Se multiplican los signos y se descompone la expresión en un producto de factores, simplificando todo lo que se pueda antes de multiplicar:

: ···

258

304

258

430

5 5 2 22 2 2 2 3 5

512

25 48 30

· · ·· · · · ·

= = = =– –c cm m

Organización y codificación

Un agricultor ha cultivado los 53 de sus tierras con pepinos y luego ha plantado tomates

en 65 de la superficie restante. Si le quedan por cultivar 4 ha, ¿cuántas hectáreas tiene

el terreno del agricultor?

Se organizan los datos:

• 53 del terreno total para pepinos.

• 65 de lo que queda para tomates.

• Sobran 4 ha.

Codificamos los datos:

Con este fin, se traza un rectángulo que represente el terreno total. A continuación, se van dividiendo las partes que corresponden a cada hortaliza:

• En la primera figura se colorean las 53 partes que representan los

pepinos.

• En la segunda figura se marca con un color distinto en la zona que

queda sin plantar los 65 que corresponden a los tomates.

• En la tercera figura se divide todo el terreno en partes iguales más pequeñas.

Se constata que quedan 302 del terreno total sin cultivar. Esto equivale

a 4 ha, por lo que cada cuadradito representa 2 ha. De este modo, el terreno total tiene: 30 cuadrados · 2 ha/cuadrado = 60 ha

De esta superficie, 36 ha corresponden al cultivo de pepinos, y 20 ha, al de tomates.

Finalmente, se procede a realizar una comprobación numérica:

• 53 del terreno total son pepinos. Por tanto, quedan 1 –

53

52= .

• ·65

52

3010 1

3= = son tomates.

• Se suma a la parte del terreno dedicada a los pepinos la corres-

pondiente a los tomates: 53

31

159

155

1514+ = + =

• De este modo, queda: 1 – 1514

151=

• Como lo que queda, 151 , equivale a 4 ha, 1 =

1515 corresponde a

4 · 15 = 60 ha, que es el terreno total.

• Así pues, hay 53 · 60 = 36 ha de pepinos y

31 · 60 = 20 ha de to-

mates.


Para calcular la potencia de una fracción, se multiplica la base tantas veces como indique el exponente:

ba

ba ·… ·

ba

ba

nn

veces

n

n= =c m6 7 844 44

Así, por ejemplo: · · ·23

23

23

23

23

23

16814

4

4= = =c m

Las operaciones con potencias son las siguientes:

Multiplicación y división de potencias con la misma base Multiplicación y división de potencias con el mismo exponente

• Multiplicación. Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes:

·23

23

23

23

23

3224323 3 5

5

52

= = = =+

c c c cm m m m

• División. Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes:

:23

23

23

23

23

82785 5 3

3

38 –

= = = =c c c cm m m m

• Multiplicación. Es otra potencia cuya base es el producto de las bases y cuyo exponente es el mismo:

· ·23

57

23

57

1021

1021

1004412 2 2 2

2

2= = = =c c c cm m m m

• División. Es otra potencia cuya base es el cociente de las bases y cuyo exponente es el mismo:

: : ·54

54

31

54

31

13

512

512

2514422 2 2 2

2

2= = = = =c c c c cm m m m m

Potencia de una potencia Potencias de exponente uno y cero

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes:

52

52

52

52

15625642 3 2 3 6

6

6·

= = = =c c cm m m> H

• La potencia de exponente uno es la misma base de esa potencia:

52

521

=c m

• La potencia de exponente cero siempre es igual a 1:

52 1

0

=c m

La raíz cuadrada exacta de una fracción es igual a la raíz cuadrada del numerador entre la raíz cuadrada del denominador:

ba

ba

=

Así, por ejemplo:

4100

4100= , ya que:

4100 25 5

4100

210

= =

5= =

Z

[

\

]]

]]

6 POTENCIAS Y RAÍCES DE FRACCIONES

Actividad resuelta

Resuelve la siguiente operación con po-

tencias de fracciones: :32

32

98·

2 3 5

c c cm m m

Utilizamos las propiedades de las poten-cias y operamos de izquierda a derecha:

· : :32

32

98

32

982 3 5 55

= =c c c c cm m m m m

: ·32

98

32

89

43

10242435 5 5

= = = =c c cm m m


La jerarquía de las operaciones combinadas con fracciones sigue el mismo orden que en el caso de los números naturales y los números enteros, teniendo en cuenta que se opera siempre de izquierda a derecha:

1 Se resuelven las operaciones entre paréntesis y/o corchetes.

2 Se calculan las potencias y las raíces.

3 A continuación, se realizan las multiplicaciones y las divisiones.

4 Por último, se efectúan las sumas y las restas.

En este caso es recomendable simplificar las fracciones en las operaciones intermedias y manejar, así, números más sencillos.

Actividad resuelta

Realiza la siguiente operación con fracciones: :34

32

54

53

47

21·

2

+ – –c cm m

: :34

53

47

21

34

152

53

47

21

32

54 · ·

2 2

+ = + =– – –– c c cc m m mm[ ] ( )

· :

+ –

√ ↑

1510

1512

152

32

54 = =– ––

Se resuelve la operación que se halla entre paréntesis.

[ ] ( )

· :

+ –

√ ↑

21

412

=c m

Se calcula la potencia.

: ·34

152

41

34

41

53

47

187– – ––= + = =+c cm m

[ ] ( )

· :

+ –

√ ↑

:152

35

47

18070

187

152

53

47 · ·· = = =– – ––c m

Se realizan las multiplicaciones y las divisiones de izquierda a derecha. El resultado se simplifica.

[ ] ( )

· :

+ –

√ ↑

187

187 =+ ––c m

Se reduce el paréntesis.

3625

34

187

41– – ==

[ ] ( )

· :

+ –

√ ↑

3648

3614

369

3625

34

187

41 = =– –– –

Se efectúan las sumas y las restas de izquierda a derecha, buscando el denominador común.

7 OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES

[ ] ( )

· :

+ –

√ ↑


ACTIVIDADES

1Números fraccionarios. Fracción propia e impropia

1 Indica qué fracciones representan las siguientes figuras. ¿Son fracciones propias, impropias o iguales a la unidad?

a. e.

b. f.

c. g.

d. h.

2 Representa las siguientes fracciones e indica si son propias, impropias o iguales a la unidad:

a. 513 c.

77 e.

417

b. 94 d.

112 f.

29

3 Calcula estas expresiones:

a. 53 de 7 500 e.

128 de 4 800

b. 42 de 3 200 f.

152 de 900

c. 2007 de 20 000 g.

607 de 54 000

d. 7031 de 63 000 h.

185 de 3 600

4 Escribe con fracciones las siguientes situaciones:

a. Media hora.

b. Un tercio de los habitantes de una ciudad.

c. Tres cuartos de kilo de pescado.

d. Seis décimos de tarta.

e. Tres quintas partes de una finca.

f. Un cuarto de litro de leche.

05 NÚMEROS FRACCIONARIOS


10 Laura ha ganado un premio de 300 € y lo ha repartido de la siguiente manera: le ha dado un tercio a su hijo Luis, a su hija Marta le ha correspondido un quinto, y el resto lo ha guardado para gastos de la casa. ¿A cuánto asciende el dinero en cada caso?

11 Ana quiere recorrer 72 km en bicicleta. En este momento lleva ya un cuarto del trayecto hecho.

a. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido?

b. ¿Cuántos kilómetros le quedan todavía?

2Fracciones equivalentes

12 Comprueba si los siguientes pares de fracciones son equivalentes:

a. 59 y 7

4 c.

616 y

38 e.

1112 y

5560

b. 1435 y

615 d.

329 y

41 f.

96 y

128

13 Averigua el valor de R para que las siguientes fracciones sean equivalentes:

a. 512

10R= d.

2724

R16 = g.

410

R25 =

b. 73

14R = e.

R9

4R= h.

12122

R2 =

c. 1525

6R= f.

2112

7R = i.

159

R12=

14 Escribe tres fracciones amplificadas de las siguientes fracciones:

a. 52 b.

1250 c.

79 d.

6786

15 Escribe tres fracciones simplificadas de las siguientes fracciones:

a. 450200 b.

810954 c. 625

1000 d.

210150

16 Busca fracciones equivalentes a 1536 que cumplan:

a. Que el denominador sea 60.

b. Que el numerador sea 24.

c. ¿Son equivalentes entre sí las fracciones encontradas en los dos apartados anteriores?

5 Utiliza Internet para averiguar qué fracciones equivalen a los siguientes enunciados:

a. El agua que cubre la Tierra.

b. La cantidad de nitrógeno en el aire.

c. La capacidad que tiene un bote de refresco.

d. La capacidad que tiene una botella de agua.

6 Escribe las siguientes fracciones impropias como números mixtos:

a. 58 e.

487

b. 1571 f.

655

c. 724 g.

8125

d. 1019 h.

985

7 Escribe estos números mixtos en forma de fracciones impropias, como en el ejemplo:

2 ( · )8 8 83 2 8 3 19= + =

a. 243 c. 6

107 e. 7

119 g. 5

3013

b. 353 d. 1

85 f. 9

2116 h. 4

10073

8 Se realiza una encuesta sobre gus-tos musicales a los 540 alumnos de un instituto. A dos quintos de los alumnos les encanta la música latina, a un quinto le apasiona el rock, una doceava parte indica que la música clásica es su preferida, mientras que un noveno prefiere la música electró-nica.

a. ¿A cuántos alumnos les gusta cada tipo de música?

b. Ordena los gustos musicales de los alumnos de mayor a menor.

c. ¿Cuántos alumnos no han contes-tado a dicha encuesta?

9 Cada semana, Marcos gasta la mitad de su asignación sema-nal de 10 € en comprarse un bocadillo diario para el recreo en la cafetería del instituto y dos quintos en comprar cromos en el quiosco de su barrio.

a. ¿Cuánto se gasta en los bocadillos?

b. ¿Cuánto cuesta cada bocadillo?

c. ¿Cuánto se gasta en cromos?

d. ¿Cuánto ahorra cada semana?


3Comparación, ordenación y representación de fracciones

22 Sustituye la letra R por los signos >, <, =, según proceda.

a. 512

521– R – d.

147

97R g.

25

410R

b. 324

274– R – e.

43

4211 R h.

3412

176R

c. 152

67– R – f.

119

61R i.

59

1018– R

23 Ordena las siguientes fracciones de mayor a menor:

a. , , , ,62

52

52

92

32– – – c. , , , ,

511

57

56

55

53

b. , , , ,64

54

54

94

34– – d. , , ,

821

83

81

85– – – –

24 Reduce a común denominador las siguientes fracciones y ordé-nalas de menor a mayor:

a. , , , ,163

47

812

21 1– – – d. , , ,

72

353

512

143

b. , , ,310 5

265

127– – – e. , , ,

49

79

421

34– –

c. , , , ,184

49

35

97

23– – f. , , ,

421

83

65

5613– –

25 Representa las fracciones en la recta numérica.

a. 72 c.

347 e.

477– g.

109

b. 29 d.

688 f.

79– h.

85–

26 Indica qué fracciones están representadas en las siguientes rectas numéri cas:

a.

0 1A

b. 0 21 B

c. 0 1A 2

d. 0 1 2 3 B 4

27 Cinco amigos se han reunido para hacer un trabajo. Alicia ha

realizado 61 , Pedro

155 , Juan

82 , Lucía

121 y Beatriz

183 .

a. Ordena de menor a mayor el trabajo que ha efectuado cada amigo.

b. ¿Quién ha trabajado más?

c. ¿Quién menos?

17 Agrupa en tu cuaderno las fracciones que sean equivalentes.

125––––

2410––––39

91––––

4254––––

3615

–––– 6328

––––6025–––– 49

63––––

94

–––

37–––

18984

–––––78182–––––

18 Simplifica las siguientes fracciones hasta llegar a la fracción irre-ducible:

a. 12064 c.

363121 e.

66040 g.

9362

b. 250150 d.

225750 f. 396

132 h.

360750

19 Halla la fracción irreducible de las siguientes fracciones mediante su m.c.d.:

a. 396440 c.

424352 e.

735915 g.

11765264

b. 715286 d.

304228 f.

810954 h.

14857260

20 Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y corrige estas últimas:

a. Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad.

b. Para amplificar una fracción, hay que dividir el numerador y el denominador por el mismo número.

c. Simplificar una fracción es obtener una fracción equivalente con el numerador y el denominador más pequeños en valor absoluto.

d. La fracción irreducible es una fracción equivalente que puede seguir siendo simplificada.

21 Luis, Ángel, Andrea y María ocupan parte de su tiempo en

actividades extraescolares. Luis dedica a tocar el piano 162 del

día, Ángel emplea 61 del día en componer canciones, Andrea

entrena al fútbol durante 183 del día, y María ensaya en el coro

81 del día.

a. De los cuatro amigos, ¿cuáles emplean en realizar sus activi-dades extraescolares un tiempo equivalente a la hora?

b. ¿Cuántas horas dedica cada uno a su actividad?


4Suma y resta de fracciones

31 Efectúa las siguientes sumas y restas de fracciones y simplifica el resultado:

a. 413

411+ d.

27

65– g.

920

365– –

b. 1275

1295– e.

103

155– + h.

95 4–

c. 843

893– – f.

354

308– i.

752

41– –

32 Realiza las siguientes operaciones con números fraccionarios y simplifica el resultado:

a. 65

54

108–+ h.

318

520

754

6030– –+

b. 49

125

67– – + i. 3

38

52

255– – +

c. 37

53

258 5–+ + j.

52

54

158 10– – –c m

d. 31

103

57 4–+ + k.

32

51

107

21– – – –c cm m

e. 109

92

157

32– – –+ l. 5

610

812

38– – –c m

f. 1267 6

158– – + m.

31

123

58 4– – – +c m

g. 54

31

53

83– –+c m n. 2

318

520

754– – –+ c m

33 Sustituye las letras de las fracciones para que las operaciones sean correctas.

a. 610

37

BA+ = b.

912

35

BA – = c.

61

21

BA + =

34 Tres primos deciden poner dinero para comprar un regalo a

su abuela. María aporta 31 del importe del regalo, y Juan,

52 .

a. ¿Qué fracción ponen María y Juan juntos?

b. ¿Qué fracción tendría que aportar Pedro, el otro primo, para completar el dinero del regalo?

c. Si el regalo cuesta 30 €, ¿qué cantidad de dinero ha puesto cada primo?

28 Cuatro amigos quedan en la casa de uno de ellos para echar una partida a un juego de mesa de preguntas y respuestas. Damaris ha acertado 14 preguntas de 35, José ha fallado 7 pre-guntas de 12, Laura ha fallado 9 de 15, y David ha acertado 11 preguntas de 30.

a. Representa las puntuaciones de cada uno mediante fracciones.

b. Laura dice que ella y Damaris han obtenido la misma puntua-ción. ¿Es eso cierto? Justifica tu respuesta.

c. José dice que él ha sido el mejor. Compruébalo ordenando las fracciones.

d. ¿Cuántas preguntas más tenía que haber acertado David para igualar la puntuación de Laura y Damaris?

29 Julián tiene tres hijos, María, Miguel y Eduardo, cuyas edades son, respectivamente, dos tercios, tres quintos y tres cuartos de la edad de su padre. También tiene tres nietos, Beatriz, Rafael y Jesús, con edades equivalentes a cuatro quinceavos, un quinto y un cuarto de la edad de su abuelo, respectivamente.

a. Indica mediante fracciones las edades de los hijos y de los nietos de Julián.

b. Representa dichas fracciones en una misma recta numérica.

c. Ordénalas de mayor a menor.

d. Si Julián tiene 60 años, ¿cuáles son las edades de sus hijos y sus nietos?

30 Luis juega al baloncesto en el equipo del instituto. En el partido de hoy ha encestado cinco canastas de las siete que lanzó en el primer cuarto; en el segundo cuarto metió tres de cinco, en el tercer cuarto seis de siete y en el último cuarto cinco de seis.

a. Escribe, en forma de fracción, los lanzamientos que ha reali-zado Luis en cada cuarto.

b. Ordena de mayor a menor dichas fracciones.

c. ¿Cuál ha sido su mejor cuarto?

d. ¿Cuál ha sido el peor?

e. ¿Podría ser una fracción impropia un posible resultado para este tipo de problema? ¿Por qué?


39 Calcula estas multiplicaciones utilizando la descomposición en factores:

a. · · ·54

61

410

23– –c m d. · · ·6

3018

1510

7540–c m

b. · · ·154

161

4210

23– –c cm m e. · · · ·

523

10045

38

411

21

c. · · ·254 2

65

5121– –c cm m f. · · ·

31 9

51

550– –c m

40 Halla la fracción inversa de estas fracciones:

a. 53 c. 5

b. 41– d.

38

41 Realiza las siguientes divisiones de fracciones utilizando para ello su inversa y expresando el resultado en forma de fracción irreducible:

a. :52

63 d. :

1132

2718– –c m

b. :79

23 e. :6

73–

c. : ( )92 10– f. :

1675

60100–c m

42 Efectúa las siguientes divisiones, utilizando la inversa y la des-composición en factores:

a. : : : :103

1151

38

712

21 d. : : :

154

161

4210

25– –c cm m

b. : : :94

241

410

2030– –c m e. : ( ) : :

31 4

71

556– – –c m

c. : : :63018

4520

7540–c m f. : : :

134 5

29

36144– –c cm m

43 Sustituye las letras de las fracciones para que las operaciones sean correctas.

a. ·73

356

BA = c. :

65 2

BA =

b. 523·

BA = d. ·

93

214

BA =

44 Efectúa estas operaciones, simplificando el resultado.

a. · : · :72

41

32

46

21 e. : · ( ) :

353

1712 6

203–c m

b. : : · ·152

251

43

105

49 f. : ( ) ·

32 3

89– – –c cm m

c. : · :43

54

59

4411–c m g. : : ( ) : :

103

151 4

38

21– c m

d. : · ·92

61 6

910–c m h. : : :·

2014

1533

47

41 3c cm m

35 Elena quiere recorrer 50 km en bici desde su pueblo al pueblo

de su amiga Pili. Por la mañana ha hecho 21 del recorrido y por

la tarde otros 52 del total.

a. ¿Cuántos kilómetros recorrió por la mañana?

b. ¿Y por la tarde?

c. ¿Qué fracción le queda por cubrir?

d. ¿Cuántos kilómetros son?

36 Elena reparte las horas que tiene un día en las siguientes

actividades: 31 lo dedica a dormir,

41 está en el instituto,

81 tarda en hacer los deberes y estudiar,

121 lo emplea en salir

con los amigos, y necesita 605 para realizar las distintas comi-

das. El resto del tiempo lo pasa en casa con sus padres.

a. ¿Qué fracción del día corresponde al tiempo libre que pasa Elena en casa con sus padres?

b. ¿Cuánto tiempo, en horas, dedica a cada actividad?

37 Charlando con sus amigos, Nacho les cuenta que emplea

41 de su sueldo en la compra de la comida y productos de la

casa, 125 en pagar el alquiler de la misma y

31 en la letra del

coche, mientras que el resto lo ahorra. Izan, por su parte,

comenta que él necesita 53 de su sueldo para pagar la hipoteca

de su casa, 52 para la compra general y

252 para su abono

transporte. Tras reflexionar un poco, Gema dice a sus amigos que están equivocados al hablar de sus cuentas. ¿Podrías expli-car por qué?

5Multiplicación y división de fracciones

38 Realiza las siguientes multiplicaciones de fracciones simplifi-cando el resultado:

a. ·43

920– c. ·

1914

355– –c m e. ·

910

1136–

b. ·815

1252

d. ·154

1510– f. · ( )

127 4–


50 Reduce a una única potencia estas operaciones con fracciones:

a. ·43

43 52

c cm m g. : :256

74 2

3– –

7 7 7

c c cm m m

b. : 3157

20–

2 2

c cm m h. 21

21

21– · – · –

3 2 2

c c cm m m

c. 87–

2 3

c m> H i. · ·3018

43

68– –

2 2 2

c c cm m m

d. :373

7––

9 2

c cm m j. : : :53

53

53

53 9 6 0 2

c c c cm m m m

e. ·1025

525 5

c cm m k. : :40100

810

455 5 5

c c cm m m

f. 1122 6 0

c m> H l. · ··92

92

92

92 15 2 7

c c c cm m m m

51 Sustituye las letras por el valor correspondiente para que las siguientes expresiones sean correctas:

a. ·87

87

87 93 A

=c c cm m m d. 531

BA 82C

=c cm m> H

b. ·41

143

BA3 3 3

=c c cm m m e. 9

4AC

8 32B

=c cm m> H

c. :73

6 56A B9 9 9

=c c cm m m f. 2312 1

6 A

=c m> H

52 Calcula estas potencias de fracciones, expresándolas primero como potencia única:

a. :·35

35

356 29 6

c c cm m m> H e. :23

1427–

2 3 6

c cm m> H

b. :9 9645

5 5·

10 6 4

c c cm m m f. :61

61 3 2 34

c cm m> >H H

c. : :5612

212

4944

c c cm m m g. : :57

57

10149 3 6

c c cm m m

d. ::43

59

30723 5 53–

c c cm m m> >H H h. :45

45–

3 2 54

c cm m> >H H

53 Calcula las raíces cuadradas propuestas. ¿Puedes calcularlas todas?

a. 1625 f.

25100 k.

49–

b. 6436– g.

16196 l.

8149

––

c. 49289 h.

36900 m.

169121

d. 400324 i.

484121 n.

25100––

e. 900100 j.

36144 ñ.

9144

45 Félix ha comprado 600 g de carne picada. Lucía dice que quiere dos quintos de un tercio de esa cantidad de carne.

a. ¿Qué fracción de carne ha pedido Lucía?

b. ¿A cuántos gramos de carne equivale?

46 Las latas de refresco tienen una capacidad de 31 de litro.

a. ¿Cuántas latas son necesarias para envasar 7 200 L?

b. ¿Y si las latas tuviesen 51 de litro de capacidad?

47 Se quiere embotellar zumo de naranja en dos tipos de botella.

Uno de ellos tiene una capacidad de 43 de litro, y el otro,

de 32 de litro.

a. ¿Cuál de estos dos tipos de botella tiene mayor capacidad?

b. Si se dispone de 2 700 L de zumo de naranja, ¿cuántas botellas se necesitarían del primer tipo?

c. ¿Y si se eligiera el segundo tipo?

48 Lucas recibe ocho tercios de un séptimo del sueldo de su jefe. Andrés, por su parte, cobra la mitad que Lucas, y Felipe, el triple que Andrés.

a. ¿Qué fracción del sueldo de su jefe percibe Lucas?

b. ¿Y Andrés?

c. Si el jefe cobra 4 200 €, ¿cuál es el sueldo de sus empleados?

6Potencias y raíces de fracciones

49 Calcula las siguientes potencias de fracciones:

a. 32–

5

c m c. 710–

3

c m e. 74

2

c m

b. 1512 6

c m d. 51–

3

c m f. 911–

4

c m


58 Efectúa estas operaciones combinadas de números fraccionarios, indicando el resultado en forma de fracciones irreduci-bles:

a. ·51 6

64

81– +c m g. : ·

109

512

51 6–c cm m

b. : ·85

410

615

34– c m h. : ·

67

125

21 4– – c m

c. : :5401

41

103– c m i. :

41 3

54

31– – +c cm m

d. :73

41

67

35+ +c cm m j. :

202 4

121

54– –c m

e. : :61

159

43

102 4–+c m k. · ·

95

52

31 5– –c cm m

f. :151

47

101

31– – c m l. : ·

68

31

910

611–c m

59 Calcula el valor de las siguientes expresiones y simplifica:

a. · :81 4

34

62

41

58

21– –+ +c m

b. : :5 352

65

34

23

31· –+ +c m> H

c. : : ·4101

125

51

107

98

62– – +c m

d. ·37

65

32

25

61

34– – –+ +c m

e. :58

41

41

35

34

29–+ + +c cm m

f. : :106 3

151

51

34

72– – +c m

g. :27

96

41

123

1810

61– – – –c m

h. : ·92

34

51

253

34

32– – +c cm m

i. : :52

91

31

23

81

31– – +c cm m

60 Resuelve estas operaciones con fracciones:

a. 21 7

41

31

3625– – – –

3 2

c cm m

b. :641

410

32

812

320– – +c cm m

c. 75

45

21 3

23 · –

2 2

+ +c c cm m m

d. :21

32

95

73

35–

3 0 2

+ +c c cm m m> H

e. :54

43

43

2549–

0 5 3

+c c cm m m

f. ·94

310

310

94

310– –

2

+c cm m

54 Sustituye las letras por números para que las siguientes raíces sean correctas:

a. 100

15BA C

D FE= = =

b. 324

16AD F

ECB

= = =

c. 820

BA C

FE

D= = =

d. 28913A C

B D= =

e. 1222

BA

DC

FE= = =

55 Se dobla una hoja por la mitad, luego otra vez por la mitad, y así hasta cuatro veces. Expresa estos dobleces con una potencia y calcula qué fracción de hoja nos ha quedado.

56 Milagros tiene tres fincas. El área de la finca pequeña es

254 del área de la finca mediana, y el área de la finca grande es

16121

de la mediana.

a. Indica en forma de fracción el lado de la finca grande y de la finca pequeña en función del de la mediana.

b. Si la mediana tiene una superficie de 36 ha, ¿qué superficie (en áreas) tienen las otras dos fincas?

c. ¿Cuál es el lado (en metros) de cada una de las fincas?

7Operaciones combinadas con fracciones

57 Realiza las siguientes operaciones con fracciones, simplificando el resultado:

a. ·43

32

83– e. :2

94

65+ i. :

76

144 5+

b. :96

31 4

5– f. ·7

67

32– j. ·

41 4

63+

c. ·52

154

21– + g. :10

52

94– k. :

91

185 5–

d. :75

41

56– h. ·

57

712

31– l. :

81 6

83+


65 Roberto ha comprado tres cuartos de kilo de ternera y dos tercios de kilo de pollo y le ha dado a su madre la mitad del total de la carne.

12 €/kg 3 €/kg

Utiliza operaciones combinadas para contestar a las siguientes preguntas:

a. ¿Qué fracción de carne le ha correspondido a cada uno?

b. ¿Cuánto ha pagado Roberto por dicha compra?

66 Adrián ha efectuado las operaciones combinadas que figuran en la libreta, pero ha intercambiado sin querer los resultados. Rea-lízalas tú en tu cuaderno y comprueba qué resultado es el correcto para cada operación.

a. :31 9

21

51+ +c m

b. : ·86

32

41 3–c cm m

c. : ·23

101

65

21– c m

d. :108

121

82 3–+c m

e. ·23

59 3

102–+c m

67 Lucía hace un trayecto en coche durante varios días. Cubre un tercio del recorrido el primer día, dos séptimos el segundo y un décimo el tercero. ¿Qué fracción le queda por recorrer? Indí-calo en forma de operación combinada.

61 Se ha realizado una encuesta a los 30 alumnos de una clase de 1.º de ESO. De los encuestados, un tercio prefiere como mas-cota a un perro, un quinto se decanta por los gatos, un sexto ama los pájaros, a dos quinceavos les encantan los peces, y la décima parte prefiere otros animales. ¿Qué fracción de la clase representan aquellos a los que no les gusta ningún tipo de ani-mal? Indica cuántos alumnos prefieren cada animal.

62 Un agricultor divide sus tierras a fin de cultivar en ellas distin-tas plantas. Así, un sexto de su parcela lo dedica a lechugas y dos quintos a tomates; además, ha empleado para los pimientos la cuarta parte que para los tomates, y para las cebollas el doble que para las lechugas. ¿Qué parcela queda para plantar ajos? Utiliza una operación combinada para resolver el problema.

63 Un grupo de cuatro amigos ha reunido dinero para hacer un viaje. Juan recaudó un quinto del total; Beatriz, el doble que Juan, y Carlos puso la tercera parte de lo que aportó Juan. ¿Qué fracción recaudó Elena? Escríbelo como una operación combi-nada.

64 Ana sale de compras. Del dinero que lleva destina un cuarto a comida, un quinto a productos de limpieza y un dieciseisavo a la compra de un libro.

a. Escribe una operación combinada para calcular qué fracción del total le queda.

b. Si llevaba 400 €, ¿cuánto se ha gastado en cada compra? ¿Cuánto le queda?

lo que 01 nÚmeros naturales vamos a

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