UNIVERSIDAD PERUANA UNION

FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

RESOLUCION DE EJERCICIOS

Trabajo presentado en cumplimiento parcial de la asignatura de Métodos Numéricos

Alumno

Elvis Jhordy Mamani Uscamayta

Profesor

Lic. Braulio Gutiérrez

Juliaca, 10 de octubre de 2013

LABORATORIO 4

METODO DE LA BISECCION

1. 2. En algún lenguaje de programación de su preferencia implemente el

algoritmo de la bisección.

a) Debe llamarse una función desde otra archivo .m

function [c,iter] = bissec(a,b,e)

t=f(c)

iter=1;

fprintf(' ========================================================\n')

fprintf(' iter a b c f(a) f(c) \n')

fprintf(' ==========================================================\n')

while abs(b-a) > e

c=(a+b)/2;

fprintf('%5d %10.6f %10.6f %10.6f %10.6f %10.6f \n', iter,a,b,c,f(a),f(c));

if f(a)*f(c) > 0

a=c;

else

b=c;

end

iter=iter+1;

end;

b)

function [c,err,yc]=bisect(f,a,b,delta)

%Datos

% -f es la funcion, introducida como una cadena de caracteres 'f'

% -a y b son el extremo izquierdo y el extremo derecho

% -delta es la tolerancia

%RESULTADOS

% -c es el cero

% -yc=f(c)

% -err es el error estimado de la aproximacion a c

ya=feval(f,a);

yb=feval(f,b);

if ya*yb>0,break,end

max1=1+round((log(b-a)-log(delta))/log(2));

for k=1;max1

c=(a+b)/2;

yc=feval(f,c);

if yc==0

a=c;

b=c;

elseif yb*yc>0

b=c;

yb=yc;

else

a=c;

ya=yc;

end

if b-a < delta, break, end

end

c=(a+b)/2;

err=abs(b-a)

yc=feval(f,c);

3. 4. Encuentre una raíz de la function f(x)=x^3 + 4*x^2-10=0. La cual está en

el intervalo [1,2] y con una precisión e=0.02 usando el algoritmo de la Bisección.

t =

======================================================

iter a b c f(a) f(c)

=======================================================

1 1.000000 2.000000 1.500000 -5.000000 2.375000

2 1.000000 1.500000 1.250000 -5.000000 -1.796875

3 1.250000 1.500000 1.375000 -1.796875 0.162109

4 1.250000 1.375000 1.312500 -1.796875 -0.848389

5 1.312500 1.375000 1.343750 -0.848389 -0.350983

6 1.343750 1.375000 1.359375 -0.350983 -0.096409

ans =

1.3594

5. Encuentre una raíz de la función f ( x )=−6 x3+x−6=0 la cual está en el intervalo [-2,-1] y con una precisión e=0,02 usando el algoritmo de la Biseccion.

t =

======================================================

iter a b c f(a) f(c)

=======================================================

1 -2.000000 -1.000000 -1.500000 40.000000 12.750000

2 -1.500000 -1.000000 -1.250000 12.750000 4.468750

3 -1.250000 -1.000000 -1.125000 4.468750 1.417969

4 -1.125000 -1.000000 -1.062500 1.417969 0.134277

5 -1.062500 -1.000000 -1.031250 0.134277 -0.450989

6 -1.062500 -1.031250 -1.046875 0.134277 -0.162956

ans =

-1.0469

PROBLEMA 0.1 Usando el algoritmo de la bisección, resuelva las siguientes

ecuaciones con una precisión de 10−6

.

a) 3(x + 1)(x – 1/2)(x − 1) en los siguientes intervalos [2, 1.5] y [−1.25, 2.5]a. En los intervalos 2; 1.5

b) X^3 −3 = 0

t =

======================================================

iter a b c f(a) f(c)

=======================================================

1 1.000000 2.000000 1.500000 -2.000000 0.375000

2 1.000000 1.500000 1.250000 -2.000000 -1.046875

3 1.250000 1.500000 1.375000 -1.046875 -0.400391

4 1.375000 1.500000 1.437500 -0.400391 -0.029541

5 1.437500 1.500000 1.468750 -0.029541 0.168427

6 1.437500 1.468750 1.453125 -0.029541 0.068378

7 1.437500 1.453125 1.445313 -0.029541 0.019154

8 1.437500 1.445313 1.441406 -0.029541 -0.005259

9 1.441406 1.445313 1.443359 -0.005259 0.006931

10 1.441406 1.443359 1.442383 -0.005259 0.000832

11 1.441406 1.442383 1.441895 -0.005259 -0.002215

12 1.441895 1.442383 1.442139 -0.002215 -0.000692

13 1.442139 1.442383 1.442261 -0.000692 0.000070

14 1.442139 1.442261 1.442200 -0.000692 -0.000311

15 1.442200 1.442261 1.442230 -0.000311 -0.000121

16 1.442230 1.442261 1.442245 -0.000121 -0.000026

17 1.442245 1.442261 1.442253 -0.000026 0.000022

18 1.442245 1.442253 1.442249 -0.000026 -0.000002

19 1.442249 1.442253 1.442251 -0.000002 0.000010

20 1.442249 1.442251 1.442250 -0.000002 0.000004

ans =

1.4423

c) X^2 - 2x - 3 en el intervalo [2, 4]

t =

=======================================================

iter a b c f(a) f(c)

======================================================

1 2.000000 4.000000 3.000000 -3.000000 0.000000

2 2.000000 3.000000 2.500000 -3.000000 -1.750000

3 2.500000 3.000000 2.750000 -1.750000 -0.937500

4 2.750000 3.000000 2.875000 -0.937500 -0.484375

5 2.875000 3.000000 2.937500 -0.484375 -0.246094

6 2.937500 3.000000 2.968750 -0.246094 -0.124023

7 2.968750 3.000000 2.984375 -0.124023 -0.062256

8 2.984375 3.000000 2.992188 -0.062256 -0.031189

9 2.992188 3.000000 2.996094 -0.031189 -0.015610

10 2.996094 3.000000 2.998047 -0.015610 -0.007809

11 2.998047 3.000000 2.999023 -0.007809 -0.003905

12 2.999023 3.000000 2.999512 -0.003905 -0.001953

13 2.999512 3.000000 2.999756 -0.001953 -0.000977

14 2.999756 3.000000 2.999878 -0.000977 -0.000488

15 2.999878 3.000000 2.999939 -0.000488 -0.000244

16 2.999939 3.000000 2.999969 -0.000244 -0.000122

17 2.999969 3.000000 2.999985 -0.000122 -0.000061

18 2.999985 3.000000 2.999992 -0.000061 -0.000031

19 2.999992 3.000000 2.999996 -0.000031 -0.000015

20 2.999996 3.000000 2.999998 -0.000015 -0.000008

21 2.999998 3.000000 2.999999 -0.000008 -0.000004

ans =

3.0000

d) x sen x = 1e) √x − cos x en el intervalo [0, 1]

t =

======================================================

iter a b c f(a) f(c)

=======================================================

1 0.000000 1.000000 0.500000 -1.000000 -0.170476

2 0.500000 1.000000 0.750000 -0.170476 0.134337

3 0.500000 0.750000 0.625000 -0.170476 -0.020394

4 0.625000 0.750000 0.687500 -0.020394 0.056321

5 0.625000 0.687500 0.656250 -0.020394 0.017807

6 0.625000 0.656250 0.640625 -0.020394 -0.001332

7 0.640625 0.656250 0.648438 -0.001332 0.008228

8 0.640625 0.648438 0.644531 -0.001332 0.003446

9 0.640625 0.644531 0.642578 -0.001332 0.001056

10 0.640625 0.642578 0.641602 -0.001332 -0.000138

11 0.641602 0.642578 0.642090 -0.000138 0.000459

12 0.641602 0.642090 0.641846 -0.000138 0.000161

13 0.641602 0.641846 0.641724 -0.000138 0.000011

14 0.641602 0.641724 0.641663 -0.000138 -0.000063

15 0.641663 0.641724 0.641693 -0.000063 -0.000026

16 0.641693 0.641724 0.641708 -0.000026 -0.000007

17 0.641708 0.641724 0.641716 -0.000007 0.000002

18 0.641708 0.641716 0.641712 -0.000007 -0.000003

19 0.641712 0.641716 0.641714 -0.000003 -0.000000

20 0.641714 0.641716 0.641715 -0.000000 0.000001

ans =

0.6417

f) e^(−x^3) − 2x + 1 = 0

t =

==========================================================

iter a b c f(a) f(c)

==========================================================

1 0.000000 1.000000 0.500000 2.000000 0.882497

2 0.500000 1.000000 0.750000 0.882497 0.155816

3 0.750000 1.000000 0.875000 0.155816 -0.238251

4 0.750000 0.875000 0.812500 0.155816 -0.040137

5 0.750000 0.812500 0.781250 0.155816 0.058244

6 0.781250 0.812500 0.796875 0.058244 0.009138

7 0.796875 0.812500 0.804688 0.009138 -0.015480

8 0.796875 0.804688 0.800781 0.009138 -0.003166

9 0.796875 0.800781 0.798828 0.009138 0.002987

10 0.798828 0.800781 0.799805 0.002987 -0.000089

11 0.798828 0.799805 0.799316 0.002987 0.001449

12 0.799316 0.799805 0.799561 0.001449 0.000680

13 0.799561 0.799805 0.799683 0.000680 0.000296

14 0.799683 0.799805 0.799744 0.000296 0.000103

15 0.799744 0.799805 0.799774 0.000103 0.000007

16 0.799774 0.799805 0.799789 0.000007 -0.000041

17 0.799774 0.799789 0.799782 0.000007 -0.000017

18 0.799774 0.799782 0.799778 0.000007 -0.000005

19 0.799774 0.799778 0.799776 0.000007 0.000001

20 0.799776 0.799778 0.799777 0.000001 -0.000002

ans =

0.7998

g) √3 sen(x) =cos(x), en el intervalo [0, π/2]

PROBLEMA 02. Verificar en qué intervalo se encuentra una raíz de la ecuación x^4-2*x.

t =

==========================================================

iter a b c f(a) f(c)

==========================================================

1 -1.000000 1.000000 0.000000 3.000000 0.000000

2 -1.000000 0.000000 -0.500000 3.000000 1.062500

3 -0.500000 0.000000 -0.250000 1.062500 0.503906

4 -0.250000 0.000000 -0.125000 0.503906 0.250244

5 -0.125000 0.000000 -0.062500 0.250244 0.125015

6 -0.062500 0.000000 -0.031250 0.125015 0.062501

7 -0.031250 0.000000 -0.015625 0.062501 0.031250

8 -0.015625 0.000000 -0.007813 0.031250 0.015625

9 -0.007813 0.000000 -0.003906 0.015625 0.007813

10 -0.003906 0.000000 -0.001953 0.007813 0.003906

11 -0.001953 0.000000 -0.000977 0.003906 0.001953

12 -0.000977 0.000000 -0.000488 0.001953 0.000977

13 -0.000488 0.000000 -0.000244 0.000977 0.000488

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14 -0.000244 0.000000 -0.000122 0.000488 0.000244

15 -0.000122 0.000000 -0.000061 0.000244 0.000122

16 -0.000061 0.000000 -0.000031 0.000122 0.000061

17 -0.000031 0.000000 -0.000015 0.000061 0.000031

18 -0.000015 0.000000 -0.000008 0.000031 0.000015

19 -0.000008 0.000000 -0.000004 0.000015 0.000008

20 -0.000004 0.000000 -0.000002 0.000008 0.000004

21 -0.000002 0.000000 -0.000001 0.000004 0.000002

ans =

-9.5367e-007

RPTA: Se puede ver mediante la gráfica que los intervalos para una raíz esta entre -4 y 4

PROBLEMA 03. Hallar el intervalo que contiene una raíz de la función f (x) = e^-x - cos x

-50 0 50 100 150 200 250 300 350

10

20

30

40

50

60

70

80

90

x

y

Como se puede ver al parecer se pueden hallar muchas raíces en diferentes intervalos.

METODO DE LA POSICION FALSA

6. Haga un algoritmo que resuma el método de la posición falsa.

7. En algún algoritmo de programación de su preferencia, implemente el algoritmo de la posición falsa.

function [c,iter]=posicionfalsa(a,b,epsilon)

% [c,iter]=posicionfalsa(1,2,0.01)

% [c,iter] = posicionfalsa(0.5,2.5,0.0001)

t=f(c)

iter=1;

fprintf(' =============================================================\n')

fprintf(' iter a b c f(a) ||f(c)|| \n')

fprintf(' =============================================================\n')

c=(a*f(b)-b*f(a))/(f(b)-f(a));

while abs(f(c))>epsilon & (b-a)>epsilon

M=f(a);

c=(a*f(b)-b*f(a))/(f(b)-f(a));

fprintf('%5d %10.6f %10.6f %10.6f %10.6f %10.6f\n', iter,a,b,c,f(a),abs(f(c)));

if M*f(c)>0

a=c;

else

b=c;

end

iter=iter+1;

if iter >1000

error ('parece que no converge');

end

end

8. Pruebe con varios ejemplares y compare el número de iteraciones con el método de bisección.

a) Encuentre una raíz de la función f(x) = x^2 −2 = 0, la cual está en el intervalo [1,2] y con una precisión e=0,01.

Con método de la posición falsa

t =

=============================================================

iter a b c f(a) ||f(c)||

=============================================================

1 1.000000 2.000000 1.333333 -1.000000 0.222222

2 1.333333 2.000000 1.400000 -0.222222 0.040000

3 1.400000 2.000000 1.411765 -0.040000 0.006920

ans =

1.4118

Con el método de bisección

t =

==========================================================

iter a b c f(a) f(c)

==========================================================

1 1.000000 2.000000 1.500000 -1.000000 0.250000

2 1.000000 1.500000 1.250000 -1.000000 -0.437500

3 1.250000 1.500000 1.375000 -0.437500 -0.109375

4 1.375000 1.500000 1.437500 -0.109375 0.066406

5 1.375000 1.437500 1.406250 -0.109375 -0.022461

6 1.406250 1.437500 1.421875 -0.022461 0.021729

7 1.406250 1.421875 1.414063 -0.022461 -0.000427

ans =

1.4141

b) Encuentre una raíz de la función f (x) = x^3+4x^2 −10 = 0. la cual está en el intervalo [1, 2] y con una precisión ε = 0.01.

Con el método de la posición falsa

t =

=============================================================

iter a b c f(a) ||f(c)||

=============================================================

1 1.000000 2.000000 1.263158 -5.000000 1.602274

2 1.263158 2.000000 1.338828 -1.602274 0.430365

3 1.338828 2.000000 1.358546 -0.430365 0.110009

4 1.358546 2.000000 1.363547 -0.110009 0.027762

5 1.363547 2.000000 1.364807 -0.027762 0.006983

ans =

1.3648

Con el método de la bisección

t =

==========================================================

iter a b c f(a) f(c)

==========================================================

1 1.000000 2.000000 1.500000 -5.000000 2.375000

2 1.000000 1.500000 1.250000 -5.000000 -1.796875

3 1.250000 1.500000 1.375000 -1.796875 0.162109

4 1.250000 1.375000 1.312500 -1.796875 -0.848389

5 1.312500 1.375000 1.343750 -0.848389 -0.350983

6 1.343750 1.375000 1.359375 -0.350983 -0.096409

7 1.359375 1.375000 1.367188 -0.096409 0.032356

ans =

1.3672

c) Encuentre una raíz de la función f (x) = −6x^3 + x − 6 = 0. la cual está en el intervalo [−2, −1] y con una precisión ε = 0,01.

Con el método de la posición falsa

t =

=============================================================

iter a b c f(a) ||f(c)||

=============================================================

1 -2.000000 -1.000000 -1.024390 40.000000 0.574571

2 -2.000000 -1.024390 -1.038206 40.000000 0.323894

3 -2.000000 -1.038206 -1.045931 40.000000 0.180615

4 -2.000000 -1.045931 -1.050220 40.000000 0.100108

5 -2.000000 -1.050220 -1.052591 40.000000 0.055299

6 -2.000000 -1.052591 -1.053899 40.000000 0.030490

7 -2.000000 -1.053899 -1.054619 40.000000 0.016794

8 -2.000000 -1.054619 -1.055016 40.000000 0.009245

ans =

-1.0550

Con el método de la bisección

t =

==========================================================

iter a b c f(a) f(c)

==========================================================

1 -2.000000 -1.000000 -1.500000 40.000000 12.750000

2 -1.500000 -1.000000 -1.250000 12.750000 4.468750

3 -1.250000 -1.000000 -1.125000 4.468750 1.417969

4 -1.125000 -1.000000 -1.062500 1.417969 0.134277

5 -1.062500 -1.000000 -1.031250 0.134277 -0.450989

6 -1.062500 -1.031250 -1.046875 0.134277 -0.162956

7 -1.062500 -1.046875 -1.054688 0.134277 -0.015498

ans =

-1.0547

METODO DEL PUNTO FIJO