la tarea de lógica
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Cálculo de Proposiciones Clásico de Gentzen • Conectivos primitivos: , , , ,
• Reglas de Deducción:
– Modus Ponens
– Sustitución
• Axiomas
G1:
G2:
G3:
G4:
G5:
G6:
G7
G8:
G9:
G10: x
G11:
G12:
G13:
CPC de Hilbert-Ackermann Lista de Conectivos
El sistema completo de conectivos es { , }. Los conectivos , y son abreviaturas.
Axiomas
(HA)1: ⊢
(HA)2: ⊢
(HA)3: ⊢
(HA)4: ⊢
Reglas de Deducción
i) Modus Ponens: Si A es un teorema y A B es teorema, entonces B es teorema.
ii) Regla de Sustitución: Si A es un teorema en el que aparece la letra x, entonces al sustituir dicha x
(en cada ocurrencia) por una fórmula B (no necesariamente teorema), se obtiene una fórmula A’
que es teorema.
Notación:
Teorema 1: ⊢
Teorema 2 (Silogismo hipotético) ⊢
Teorema 3 (Principio del tercio excluido) ⊢
Teorema 4: ⊢
Reglas Derivadas
Regla S: Sean A,B,C fórmulas. De ⊢ y ⊢ , se deduce que ⊢ .
Regla I:
De ⊢ (A A), se deduce ⊢ A.
Regla II:
De ⊢ A, se deduce ⊢ A B, para cualquier fórmula
B.
Regla III:
De ⊢ (A B), se deduce ⊢ (B A).
Regla IV:
De ⊢ (A B), se deduce ⊢ C A C B.
Regla V:
De ⊢ (A B), se deduce ⊢ ( A B).
De ⊢ ( A B), se deduce ⊢ (A B).
Regla VI:
De ⊢ A y ⊢ B, se deduce ⊢ A B.
Regla VII
De ⊢ (A C) y ⊢ (B C), se deduce ⊢ (A B) C
TAREA
Ejercicio ):
Previo al inicio del ejercicio, debe investigarse el procedimiento para comprobar la independencia de un
conjunto de axiomas.
1. Demostrar la teoría de -Ackermann es equivalente a la teoría de Gentzen (i.e. HA G)
Considere el CP de Gentzen y sustituya el axioma G10 por el axioma G10*: ( x) (x y). El sistema formal
que se obtiene se conoce como el Cálculo de Proposiciones Intuicionista (CPI) de Gentzen.
2. Demostrar el CPC de Hilbert-Ackermann y el CPI de Gentzen no son equivalentes.
3. La no equivalencia entre CPC y CPI significa que existen tautologías que no son teoremas intuicionistas.
Por ejemplo, estudie la situación de .
4. Demuestre qué sucede si se incorpora al conjunto de conectivos primitivos de HA a . Es este nuevo
sistema (denotémoslo HA ), demuestre si es equivalente a CPI.
5. Reemplazar G10* por G10**: y demostrar si este nuevo sistema es equivalente a CPC.