lógica (concepto) la lógica es la ciencia que expone las leyes, modos y formas de raciocinio.-...
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Lógica (concepto)La Lógica es la Ciencia que expone las leyes, modos y formas de raciocinio.-
Lógica Proposicional
Aporte de la Lógica a la MatemáticaDe acuerdo al concepto anterior, podemos asegurar que la simbología que usa la lógica, ayuda a la Matemática en todos sus razonamientos.-
PROPOSICIÓN
Una proposición es toda oración de la cual se puede decir que es verdadera o falsa.
Por ejemplo:
Hoy es lunes
Toda proposición se la representa con letras minúsculas y preferentemente las últimas del abecedario, o sea:
p, q, r, s, t, u
Lógica Proposicional
V
F
LOS CONECTIVOS LOGICOS
Ó -: “NO”
: “Y”
: “O” EN SENTIDO INCLUYENTE : ENTONCES O IMPLICA : SI Y SOLO SI : “O” EN SENTIDO EXCLUYENTE
Los conectivos lógicos son símbolos que sirven para formar proposiciones con otras proposiciones. Estos son:
Lógica Proposicional
PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS
Una proposición se dice que es simple o atómica, si no está afectada por conectivos lógicos. Caso contrario, se dice que la proposición es compuesta o molecular.
PROPOSICION
SIMPLE: p
COMPUESTA: p q
Lógica Proposicional
TABLA DE VALORES DE VERDAD
Una tabla de valores de verdad de una proposición, es una tabla que se arma con los posibles valores de verdad de las proposiciones simples que la componen, con la finalidad de obtener el valor de verdad de la proposición dada.-
Cantidad de valores de verdad debe llevar una tabla
O sea que, si el número de proposiciones simples que componen una proposición es 5, los valores de verdad serán:
3225 valoresnº
sproposionen
nesproposicionAvaloresn º2
º 2'º
Lógica Proposicional
OPERACIONES PROPOSICIONALES
La Negación
La negación de la proposición p es ~p, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:
Como conclusión podemos decir que la negación es verdadera si la proposición simple es falsa y viceversa.
p ~ p
V
F
F
V
Lógica Proposicional
La disyunción o suma lógica
La disyunción de las proposiciones p y q es la proposición pvq, donde p y q se llaman disyuntivos, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:
Como conclusión podemos decir que la disyunción es verdadera si al menos uno de los disyuntivos también lo es.-
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
Lógica Proposicional
p: estudioq: veo TV
p v q: estudio o veo TV
La conjunción o producto lógico
La conjunción de las proposiciones p y q es la proposición pq, donde p y q se llaman conjuntivos, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:
Como conclusión podemos decir que la conjunción es verdadera si ambos conjuntivos también lo son.-
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
Lógica Proposicional
p: estudioq: veo TV
p q: estudio y veo TV
El condicional o la implicación
El condicional de las proposiciones p y q es la proposición pq, donde p se llama antecedente y q consecuente, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:
Como conclusión podemos decir que el condicional es falso si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso (2º línea de la tabla).-
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
Lógica Proposicional
p: aprueboq: te presto el libro
p q: apruebo, entonces te presto el libro
Condiciones necesarias y suficientes
p condición SUFICIENTE para q (q si p)
q condición NECESARIA para p (p sólo si q)
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
Lógica Proposicional
El bicondicional de las proposiciones p y q es la proposición pq, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:
Como conclusión podemos decir que el bicondicional es verdadero si los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen son iguales.-
El bicondicional o la doble implicación
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
Lógica Proposicional
p: aprueboq: te presto el libro
p q: solamente si apruebo, te presto el libro
La diferencia simétrica
La diferencia simétrica de las proposiciones p y q es la proposición p q, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:
Como conclusión podemos decir que la diferencia simétrica es verdadera si los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen son distintos.-
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
Lógica Proposicional
p: estudioq: veo TV
p q: estudio o bien veo TV
Tautología
Definición
Se dice que una proposición es una tautología, si es verdadera independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen.-
Por ejemplo: p q (pq) [(pq) (q p)]
V V
V F
F V
F F
V
F
F
V
V
F
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
1 1 23
Lógica Proposicional
Contradicción
Definición
Una proposición es una contradicción, si es falsa independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen
Por ejemplo: p q (p q) - [(p q) (q p)]
V V
V F
F V
F F
V
F
F
V
1
V
F
V
V
1
V
V
F
V
2
V
F
F
V
3
F
V
V
F
4
F
F
F
F
Lógica Proposicional
Contingencia
Definición
Una proposición es una contingencia si no es ni verdadera ni falsa independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componenPor ejemplo:
p q (p q) v [(p q) (q p)]
V V
V F
F V
F F
V
F
F
V
1
V
F
V
V
1
V
V
F
V
2
V
F
F
V
3
V
F
F
V
Lógica Proposicional
LEYES LOGICAS
Una ley lógica es una proposición verdadera.-
1º) Involución
La negación de la negación de una proposición, es equivalente a la misma proposición
p -(-p) p
V
F
F
V
1
V
F
2
V
V
Lógica Proposicional
2º) Idempotencia de la conjunción
La conjunción de una misma proposición es equivalente a la misma proposición.-
p (p p) p
V
F
V
F
1
V
V
Lógica Proposicional
3º) Idempotencia de la disyunción
La disyunción de una misma proposición es equivalente a la misma proposición.-
p (p p) p
V
F
V
F
1
V
V
Lógica Proposicional
4º) Conmutatividad de la conjunción
La conjunción es conmutativa
p q (p q) (q p)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
1
V
F
F
F
1
V
V
V
V
Lógica Proposicional
5º) Conmutatividad de la disyunción
La disyunción es conmutativa
p q (p q) (q p)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
1
V
V
V
F
1
V
V
V
V
Lógica Proposicional
6º) Asociatividad de la conjunciónLa conjunción es asociativa
p q r (p q) r p (q r)
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
1
V
F
F
F
F
F
F
F
2
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
1
V
F
F
F
F
F
F
F
2
V
V
V
V
V
V
V
V
Lógica Proposicional
7º) Asociatividad de la disyunciónLa disyunción es asociativa
p q r (p q) r p (q r)
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
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F
F
1
V
V
V
V
V
V
V
F
2
V
F
V
F
V
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V
F
V
V
V
F
V
V
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F
1
V
V
V
V
V
V
V
F
2
V
V
V
V
V
V
V
V
Lógica Proposicional
8º) Ley de De Morgan (de la conjunción)
La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones.-
p q -(p q) -p -q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
1
F
V
V
V
3
V
V
V
V
F
V
V
V
2
F
F
V
V
1
F
V
F
V
2
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
9º) Ley de De Morgan (de la disyunción)
La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones.-
p q -(p q) -p -q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
1
F
F
F
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3
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V
V
V
F
F
F
V
2
F
F
V
V
1
F
V
F
V
2
Lógica Proposicional
10º) Distributividad de la conjunción con respecto a la disyunciónLa conjunción es distributiva con respecto a la
disyunciónp q r (p q) r (p r) (q r)
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
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F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
F
F
1
V
F
V
F
V
F
F
F
2
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F
F
F
F
1
V
F
F
F
V
F
F
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2
V
F
V
F
V
F
F
F
3
V
V
V
V
V
V
V
V
Lógica Proposicional
11º) Distributividad de la disyunción con respecto a la conjunciónLa disyunción es distributiva con respecto a la
conjunciónp q r (p q) r (p r) (q r)
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
F
F
1
V
V
V
F
V
F
V
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2
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V
V
V
V
F
V
F
1
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V
V
F
V
V
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2
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V
V
F
V
F
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F
3
V
V
V
V
V
V
V
V
Lógica Proposicional
10º) Las implicaciones asociadas
p q Directa q p Recíproca
-p -q Contraria -q -p Contra - recíproca
p q q pRecíprocas
-p -q -q -pRecíprocas
Con
trar
ias
Con
trar
ias
Contra -
recíp
roca
sContra - recíprocas
Lógica Proposicional
Propiedad
Las implicaciones contrarrecíprocas son equivalentes.O sea que:
p q p q -q -p
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
1
F
V
F
V
1
F
F
V
V
2
V
F
V
V
3
V
V
V
V
Lógica Proposicional
11º) Negación de una implicación
La siguiente proposición es una tautología, o sea:
p q (p q) -(p -q)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
1
F
V
F
V
1
F
V
F
F
2
V
F
V
V
3
V
V
V
V
-(pq) -[-(p -q) -(-p q)
-(pq) -[-(p -q) p -q Ahora:
Pero:
(pq) -(p -q) -p qAhora:
Lógica Proposicional
12º) La doble implicación y la implicación
La doble implicación es equivalente a la conjunción de la implicación y su recíproca.
p q (p q) [(pq) (qp)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
1
V
F
V
V
1
V
V
F
V
2
V
F
F
V
3
V
V
V
V
Lógica Proposicional
13º) La diferencia simétrica y la doble implicación
La diferencia simétrica es equivalente a la negación de la doble implicación.
p q (p q) - (p q)
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
1
V
F
F
V
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F
V
V
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2
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V
V
V
Lógica Proposicional