DE LA LÓGICA CLÁSICA A LA LÓGICA SIMBÓLICA  

5.0    INTRODUCCIÓN: ¿QUÉ ES LA LÓGICA?

 

5.0.1. La Lógica

 

    Es vieja aspiración del hombre poder razonar y argumentar sin

error y corrección. La aspiración de poseer un mecanismo tal que nos

permita comprender si lo que se nos dice es correcto, y sobre todo,

averiguar si el cómo se nos transmite algo, sigue reglas que nos

permitan confiar, al menos, en la coherencia interna de lo que se nos

comunica. Esa misma aspiración persigue también que podamos

expresarnos con esa corrección y coherencia a la que antes

aludíamos.

    Esta aspiración tiene una tradición de veinticinco siglos. Se han

escrito muchas Historias de la lógica; el trabajo de aquellos hombres

que han perseguido lograr un marco certero y fiable mediante el cual

podernos expresar coherentemente y detectar las incorrecciones

argumentales de lo que se nos transmite.

    El relativismo epistemológico, ético y político de los sofistas, en el

siglo V a.C. fue ya, directamente, una defensa de la lógica. La verdad,

para estos grandes maestros del saber, consistía en el argumento

más fuerte, entendiendo por fortaleza argumentativa la coherencia de

lo expuesto y la persuasión alcanzada. Comienza, pues, a bosquejarse

tímidamente una lógica que, al cargar más el acento en la persuasión

que en la coherencia, termina siendo retórica.

    Es a partir de Aristóteles, primero, y de los estoicos después,

cuando la lógica consigue gran importancia en el saber filosófico,

manteniéndose durante toda la Edad Media con la misma estructura

que elabora el estagirita. La expresión “Lógica Aristotélico-tomista” es

bastante significativa a este respecto.

    Pero la lógica matemática o lógica simbólica comienza a perfilarse

con Leibniz en el siglo XVIII. A Leibniz le corresponde el mérito de

haber aislado el verdadero armazón del “cálculo” y de haber

aprovechado por primera vez la oportunidad de reducir las reglas de

la deducción lógica a meras reglas de cálculo, es decir, a reglas cuya

aplicación puedo prescindir del contenido semántico de las

expresiones.

    “Llamo hilo de raciocinio a cierto método fácil y seguro, siguiendo

el cual, sin fatiga de la mente, sin confines y sin motivo de error,

procede con no menos seguridad que quienes dispongan de un hilo

de Ariadna en un laberinto...” “Cuando surjan controversias, no

tendremos más necesidades de discutir, entre filósofos, que la que

hay entre dos calculadores. En efecto, bastará tomar la pluma en la

mano, sentarse en la mesa y decirse uno al otro ´calculemos´”

(Leibniz).

    La lógica moderna comienza con hombres como Frege, Peano,

Hilbert, Russell, Wittgenstein, Carnap, Quine, y con los lógicos

polacos. Se trata ya de la confección de un verdadero cálculo que nos

permita, al igual que la matemática, deducir teoremas de axiomas

determinados, básicos, obtención de conclusiones formalmente

válidas, a partir de premisas dadas y mediante el cálculo inferencial,

es decir, constituir a la lógica como un «sistema formal axiomático».

Y para ello ha sido preciso simbolizar el lenguaje y relegar a un

segundo plano el contenido semántico del mismo.

 

5.0.2. ¿Qué es lógica?

 

    De entre las varias definiciones que se han dado, hemos elegido la

siguiente: La lógica es la ciencia de los principios de la inferencia

formalmente válida.

    lnferencia. Podría ser sinónimo de razonamiento o argumentación

(es el objeto material de la lógica); el razonamiento como resultado,

no como actividad del sujeto. El razo namiento es, pues, un tipo de

pensamiento cuyo rasgo característico es que en él se produce

siempre el peso de uno o más enunciados, que tomamos como punto

de partida; al enunciado que sigue al razonamiento se le denomina

conclusión.

    Formalmente válida. Puesto que lo que constituye un razonamiento

es la relación que en él se da siempre entro unas premisas y una

conclusión, parece razonable dividir los razonamientos según la

índole de esa relación. Según ésta los razonamientos se dividen en

razonamientos validos y razonamientos no válidos.

    Para el razonamiento formalmente válido, hay que distinguir entre

verdad y validez. La validez del razonamiento, es el hecho de que sus

premisas, su conclusión o ambas, sean verdaderas o que con unas

premisas falsas y una conclusión falsa sea válido.

    De todas formas no hay razonamiento validado con premisas

verdaderas y conclusión falsa. Y ello precisamente porque se dice que

un razonamiento es válido cuando sus premisas son verdaderas y su

conclusión necesariamente también lo es.

    La lógica se ocupa, por tanto de la validez de los razonamientos y

no de la verdad o falsedad de los enunciados que los componen. La

validez de un razonamiento lo es en función de su forma de esquema;

por eso la lógica es lógica formal.

    Lo esencial en todo razonamiento formalmente válido es la relación

de necesidad que se establece entre premisas y conclusión. Después

de esto es fácil entender lo que se quiere decir con “principios”. La

lógica pretende realizar esa valoración de una manera estructurada,

codificando los principios, leyes o reglas que dirigen el análisis de la

validez formal de los razonamientos.

    Así pues, la lógica es una ciencia formal deductiva. Sus enunciados

son enunciados verdaderos en virtud de su sola estructura. Cada uno

de ellos enunciará una forma váalida de razonar.

 

5.0.3. División de la lógica

 

    Tradicionalmente se ha dividido la lógica en dos partes: material y

formal. La segunda estudia el raciocinio desde el punto de vista de su

forma, es decir, determina las leyes que se han de seguir para que

sea concluyente y válido. La primera estudia el raciocinio desde el

punto de vista de su “materia”, es decir, analiza las condiciones de

deben reunir las proposiciones de las que ha de partir el raciocinio.

    La lógica tradicional o clásica aristotélica y escolástica considera

como fundamental el razonamiento, cuya forma verbal por excelencia

es el silogismo, y se halla en realidad polarizada en tomo a él. A partir

de Kant ha existido la tendencia a conceder esa supremacía al juicio,

en tanto que, entre las corrientes contemporáneas se concede la

importancia capital a la forma del razonamiento.

    Por su parte, la lógica elemental, o lógica de primer orden, se

divide en lógica de enunciados y lógica de predicados, o lógica

cuantificacional, en la que sólo se cuantifican los predicados referidos

a variables de individuo u objeto. Por encima de ella hay la lógica de

orden superior o lógica de predicados de segundo orden, que se

caracterizan por introducir en la argumentación predicados de

predicados y por cuantificar también las variables de predicado. La

lógica de clases (predicados monádicos, o simples, o atómicos) y la

lógica de relaciones (predicados poliádicos o moleculares) son partes

de la lógica de predicados.

 

5.0.4. La Historia de la Lógica

 

    Hoy la lógica es la misma en todo el mundo. En la antigüedad la

lógica de occidente y oriente evolucionan separadas sin ningún

contacto.

    Si adoptamos los criterios de su carácter autoconsciente y

sintomático, es decir, que en primer lugar, la lógica no es

simplemente razonar bien, sino reflexionar bien, sobre el

razonamiento correcto y, que, en segundo lugar la lógica como

reflexión tiene que tener un mínimo carácter sistemático, entonces

podemos decir que la lógica nace en Grecia y los primeros lógicos son

Parnénides, Heráclito, Anaxágoras, Sócrates, etc.

    En Grecia había dos cuerpos fundamentales de conocimiento a los

que se podía aplicar la lógica, la geometría y la argumentación; ésta

última podía ser política o jurídica.

    La geometría está construida a base de enunciados generales y de

relaciones de inclusión, por ejemplo: todos los triángulos son

polígonos. Sin embargo, la argumentación se basa en enunciados

más concretos, reducciones al absurdo.

    Hay dos grandes escuelas en el campo lógico, que parten de

Sócrates. Una, la de Aristóteles y la otra la de Euclides de Megara,

que había pasado por la escuela de Elea. Mientras que Platón y

Aristóteles siguen la línea de la geometría, la escuela Megaria sigue la

línea de la argumentación cotidiana.

    En Platón podemos encontrar muchas reflexiones acerca de la

lógica, no de una manera sistemática, pero sí consciente, hasta tal

punto que ve la necesidad de una reflexión sobre la lógica y apunta

su carácter autorreflexivo.

    Con Aristóteles, se da un gran desarrollo de la lógica. Los escritos

de Aristóteles sobre la lógica están contenidos en un grupo de

tratados que en tiempos posteriores, llegaron a ser conocidos como el

Organon:

    - Las categorías.

    - De interpretatione.

    - Primeros analíticos.

    - Segundos analíticos.

 

5.1.     HISTORIA DE LA LÓGICA CLÁSICA

 

    Los inicios de la ciencia de la lógica se encuentran en la antigua

Grecia. Las polémicas en tomo a la teoría de Parménides y las

célebres paradojas de Zenón de Elea, que negaban la realidad del

movimiento haciendo un uso indebido del principio de no-

contradicción, contribuyeron a la distinción de conceptos, a ver la

necesidad de argumentar con claridad mediante demostraciones

rigurosas, respondiendo a las objeciones del adversario. Después

veremos que en lógica clásica se formulan reglas por las que todos

los silogismos bien construidos se identifican como formas válidas o

no válidas de argumentación.

    Las sutilezas de los sofistas, que reducían todo el saber a palabras,

llevaron a Sócrates a defender el valor de los conceptos y a intentar

definirlos con precisión. Así, la lógica como ciencia se va formando

poco a poco, desde Sócrates y Platón.

 

    La lógica no siempre ha recibido el mismo nombre. Platón hablaba de la

“dialéctica” como la técnica de conocer las relaciones entre las ideas. Platón

pensaba que cualquier contenido de la mente existía tal cual en la realidad, en el

mundo de las Ideas separadas, el cosmos noetós. Contra estas ideas separadas

reaccionó Aristóteles, quien en su Oganon o colección de obras lógicas, emplea la

palabra “analítica” para referirse a la lógica. Para Aristóteles las ideas existen sólo

en la mente humana, pero se corresponden a la realidad; esto trajo consigo el

nacimiento de la lógica. Aristóteles distingue, así, entre la metafísica (ciencia de la

realidad o del ser y sus principios más profundos) y la lógica (ciencia de las ideas y

procesos de la mente), que Platón identificaba.

    Por lógica clásica puede entenderse a veces la lógica simbólica moderna

estándar, esto es, cálculos como los de Principia Mathematica y sistemas afines,

que incluirían la lógica de enunciados, la lógica de predicados de primer orden

(incluida la lógica de relaciones) y la lógica de predicados de orden superior. Esto se

opondría a las lógicas no clásicas, esto es, aquellas que, o bien no comparten algún

presupuesto fundamental de la lógica clásica, o bien constituyen desarrollos

complementarios de la lógica clásica (como la lógica modal), o bien constituyen de

algún modo concepciones alternativas a la lógica clásica (como la lógica

intuicionista). Pero puede entenderse también y más frecuentemente por “lógica

clásica) la lógica aristotélica con sus complementos medievales que permaneció

con apenas alguna variación hasta Frege.

    Parece que Alejandro de Afrodisia (comentarista de Aristóteles en Atenas, ca.

198) fue el primero que usó el nombre de “lógica”; otros afirman que el primero en

utilizarla fue Zenón de Elea, antes de Alejandro.

    Aunque el contenido de la lógica queda fijado sustancialmente por Aristóteles, los

nombres: “dialéctica” y “lógica” perduran más o menos como sinónimos hasta la

Edad Media.

    En la historia de la lógica hay que mencionar aquí a los estoicos y después a

Boecio quien, junto con Porfirio destacan en esta materia al final de la Edad

Antigua.

    En la Edad Media, los escolásticos estudiaban la lógica formal (llamada

“dialéctica” hasta el siglo XII) como parte propedéutica de su preparación para

pasar a los estudios de las demás ciencias (filosofia, teología...).

    Por su parte, Alcuino de York escribe una Dialéctica para su empleo durante los

estudios trivium. El lugar de la lógica en el plan de estudios de la Facultad de Artes

(que ahora sería Filosofia y Letras) viene asegurado por casi 1500 años de

experiencia académica continua.

    Abelardo, en el siglo XII, se vio envuelto en la polémica sobre los universales.

Entre sus obras lógicas, incluye una Dialéctica, que es bastante completa, ya que

trata no sólo de la lógica formal sino también de las categorías, las definiciones, etc.

    El gran teórico medieval de las artes liberales, Juan de Salisbury (+1180), escribe

su Metalogicon en 1115. Su compatriota Guillermo de Shyreswood (+ ca. 1266)

escribe su De Puritate Artis Logicae Tractatus Longior a principios del siglo XIII.

    Santo Tomás de Aquino, San Alberto Magno y otros, siguen las líneas aristotélicas

en el siglo XIII, en el que destaca también Pedro Hispano.

    Pedro Hispano era portugués, de Lisboa (ca. 1210-1277) fue importante no sólo

filosófica, sino también históricamente, ya que fue papa con el nombre de Juan XXI,

escribió las Summulae Logicales (1230). Hispano es conocido como instaurador y

renovador de la Logica Modernorum, que renueva los trabajos de los “dialécticos”

del siglo XII y abre una nueva era de atención a los temas lógicos, que culminará

con el movimiento occamista. Esta obra tuvo casi un centenar de ediciones; tuvo

una enorme aceptación durante siglos. La obra consta de siete tratados. En el

último, titulado “Propiedades de los términos” aparece una terminología que será

célebre: su posición, ampliación, apelación, restricción, distribución y exponibles. Y

en una célebre que anticipa básicamente las leyes de A. De Morgan, dice:

“copulativa et disiunctiva de partibus contradicentibus contradicunt” (“Una

conjunción y una disyunción se contradicen mutuamente si sus partes se

contradicen”). Es decir, establece lo mismo que De Morgan: que las contradictorias

de una conjunción y de una disyunción se consiguen cambiando en cada caso el

signo copulativo o el disyuntivo por su contrario, mientras se niegan cada uno de

sus miembros.

    En el siglo XIV se produce con fuerza el movimiento nominalista, con personajes

como Guillermo de Occam y Juan Buridán. Por su parte, Pedro Ramus (+1572)

escribió una Dialéctica a mediados del siglo XVI, y el español Juan de Santo Tomás

destaca sobre todos los anteriores e incluso sobre la mayoría de los posteriores,

comparativamente, con un excelente Curso de Lógica (Árs Logica), publicado en

Alcalá de Henares entre 1631-1632, reeditado dentro de sus Cursus philosophicus

thomisticus (Alcalá, 1634-35), que ha tenido numerosas ediciones hasta hoy.

    En el siglo XVII se destacan las obras de Francis Bacon, la Logica Hamburgensis

(1638) de Joachim Jungius (+ 1657) y, sobre todo, La Logique de Port Royal (1662)

de Arnauld y Nicole. Hay que mencionar después a Descartes, quien buscaba,

desde los días en que conoce a I. Beeckman, y superando a Lulio, una «ciencia

totalmente nueva, que permita resolver en principio todas las cuestiones», o un

lenguaje universal vinculado a la verdadera filosofía, que elimine la posibilidad de

equivocarse razonando. También hay que mencionar a Leibniz, Kant y Hegel. quien

fijó el término de “dialéctica” para aplicarlo a su método, donde se reconcilian la

afirmación, la negación y la negación de la negación (tesis, antítesis, síntesis).

    En 1780 Étienne Bonnot de Condillac (+ 1780) publicó su obra La lógica o los

primeros desarrollos del arte de pensar, que había escrito en 1777. Aquí su objetivo

consiste en definir lo que es pensar bien o correctamente. No se trata de una teoría

de las proposiciones, sino el arte del análisis, que introduce el arte de los sistemas.

Pensar bien es hacerlo en conformidad con lo que la naturaleza nos enseña por la

vía del placer y del dolor, usando la más natural de las faculta des del espíritu, es

decir, el análisis, que nos permite pasar de lo conocido a lo desconocido.

 

5.2. HISTORIA DE LA LÓGICA SIMBÓLICA

 

5.2.1. La lógica simbólica

 

    También llamada lógica matemática, o logística. A veces se denomina,

sencillamente, lógica moderna, o formal o cálculo lógico.

    La lógica matemática o simbólica no es sustancialmente diferente de la lógica

formal. por ejemplo, de Aristóteles. En efecto, éste, para resaltar las relaciones y

prescindir de los contenidos concretos, materiales, usaba variables; en vez de

emplear una proposición del tipo “todo conejo es herbívoro”, utilizaba fórmulas

como “todo A es B”; describía las relaciones formales del silogismo con expresiones

corno “si B pertenece a A y C pertenece a B, entonces C pertenece a A”.

    De este modo, la lógica matemática o formal pretende llevar más adelante el

método simbólico de Aristóteles. Así, no sólo simboliza sujetos y predicados, sino

también las cópulas o conectivas. Además, se dedica primordialmente a la lógica

proposicional, parte de la lógica prácticamente ausente en los manuales de lógica

tradicionales, exceptuando la presentación de los llamados “silogismos hipotéticos”.

    La lógica matemática es, por tanto, la lógica simbólica o formal llevada a su

último refinamiento, tendiendo por objeto la pretensión -entre otras cosas- de hacer

resaltar lo puramente formal y de presentar en un solo golpe de vista grupos

enteros de frases. Su culminación es establecimiento de los sistemas lógicas o

sistemas deductivos.

 

5.2.2. La lógica simbólica en la historia

 

    Se ha considerado al mallorquín Raimundo Lulio como el inventor de la lógica

matemática; en su lógica algebraica los términos son representados por letras; Lulio

se interesaba por la lógica para construir la teología. También se encuentran

valiosos elementos de lógica formal en Juan de Santo Tomás.

    Por su parte Leibniz esbozó sistemas lógico-simbólicos, tanto intensivos como

extensivos. Leibniz, en su trabajo como diplomático, observó que la gente no se

ponía de acuerdo por la oscuridad de sus explicaciones, por el apasionamiento, etc.

Por eso concibió la idea de crear un lenguaje artificial al que se podría traducir

nuestra ciencia. Con símbolos artificiales y, por tanto, neutros -supuestamente al

menos-, se calcularía de modo mecánico y perfectamente seguro. Leibniz escribió

diversos opúsculos lógicos que cayeron en el olvido; su meta diplomática era

demasiado simplista, ya que suponía que nuestras posiciones políticas, ideológicas,

etc. podrían reducirse a elementos atómicos lógicos o que podrían solucionarse

simplemente con entendernos; la condición de posibilidad no es una condición

suficiente.

    En el siglo XIX hubo un renacimiento de la lógica formal después de unos tres

siglos en que se tiende a mezclar la lógica con la psicología.

    A mediados del siglo XIX, los matemáticos británicos George Boole (1815-1864) y

Augustus De Morgan. Ch.S. Peirce (1839-1914), que llama a su sistema Algebra

General de la Lógica, es uno de los autores que amplían la obra empezada por

Boole, elaborando algebraicamente la lógica de las relaciones; ahí surge la idea de

que la lógica de enunciados es la base de la lógica en general. Boole tuvo la

intuición de que las leyes del pensamiento son algebraicas y, por tanto,

absolutamente formales. Ambos abren un nuevo campo a la lógica, hoy conocido

como lógica simbólica o moderna, que más tarde fue desarrollada por el

matemático Gottlob Frege (1848-1925) y de un modo especial por Bertrand Russell

y Alfred North Whitehead en Principia Mathematica (3 vols., 1910-1913), quienes

intentaran deducir la matemática exclusivamente a partir de la lógica. Esta obra

marcó, ya en 1910, el apogeo del desarrollo puramente formal de la lógica

matemática.

    Posteriormente Ludwig Wittgenstein (1889-1951) introdujo el análisis de

proposiciones mediante las tablas veritativas.

    Jan Lukasiewicz (1878-1956) formaliza una lógica formal en la que la ley del

tercero excluso no rige, al menos no de la manera tradicional, ya que se supone

que las proposiciones pueden ser verdaderas, falsas, o, además, indeterminadas.

    Alfred Tarski (1902-1983) y otros, inician el estudio riguroso de la semántica o

condiciones de significación y de verdad.

    También son de primera importancia los teoremas lógicas que tratan no ya de

principios concretos sino de sistemas enteros de lógica. Kurt Gödel (1906-1978)

demostró en 1931 que no hay posible método de decidibilidad para la matemática,

es decir, que no hay ni habrá nunca un mecanismo de determinar la validez de las

proposiciones matemáticas. Puesto que semejante método o técnica de decisión

existe para la lógica, la prueba de Gödel rompe definitivamente el sueño de Russell

y de Frege de identificar lógica y filosofia (lo que se llama logicismo).

    A partir de la II Guerra Mundial se ha puesto mucho énfasis en la historia de la

lógica, sobre todo por parte de la escuela polaca de lógica fundada por I.M.

Bochenski (nacido en 1902), que incluye a A. Menne, G. Kung, I. Thomas, etc. Esta

escuela ha intentado señalar las semejanzas entre las teorías antiguas, medievales

y contemporáneas. Han trabajado en este sentido los filósofos ingleses William y

Martha Knelae.

    Tanto la lógica simbólica como la clásica asumen en sus formas más corrientes

que cualquier proposición bien elaborada puede ser o verdadera o falsa. En años

recientes se han desarrollado sistemas de la llamada lógica combinatoria: una

afirmación puede tener un valor distinto a verdadero o falso. En algunos supuestos

es sólo un tercer valor neutro, en otros es un valor de probabilidad expresado como

una fracción que oscila entre O y 1 o entre -l y +1. También se han llevado a cabo

serios trabajos por desarrollar sistemas de lógica modal, con el objeto de

representar las relaciones lógicas entre las afirmaciones de posibilidad e

imposibilidad, de necesidad y contingencia. Otra vía es la que supone lógica

deóntica: la investigación de las relaciones lógicas entre órdenes o entre

afirmaciones de obligación.

 

5.3.     LA LÓGICA DE ARISTÓTELES

 

5.3.1. El proyecto de Aristóteles

 

    La opinión de que la lógica comienza con Aristóteles se debe a varias razones.

Una es que fue el primero en formalizar las expresiones, esto es, en emplear

variables para los términos, para poder analizar mejor las inferencias entre

enunciados. Fue también el primero en concebir la lógica como el estudio de la

inferencia formalmente válida, y quien construyó el primer sistema de lógica de

términos. Pero, además de la lógica sensu estricto, en las obras de Aristóteles

aparecen los siguientes temas: estudios acerca del uso de los términos en el

lenguaje ordinario; estudios sobre el arte de la argumentación y de la retórica;

estudios de metodología de la ciencia, incluida su concepción del método inductivo;

el estudio de la organización de los sistemas deductivos; y finalmente la teoría del

razonamiento deductivo o silogístico.

    La organización del saber en un sistema de ciencias comienza en Aristóteles

planteándose el problema de la forma general de la ciencia. Y así, Aristóteles

distinguía las ciencias en tres grandes grupos:

a) Ciencias teoréticas, física, matemática y filosofía que tienen como objeto el ser

en algunos de sus aspectos especiales o el ser en general

b) Ciencias prácticas o normativas, de las cuales la principal es la política, teniendo

por objeto la acción.

c) Ciencias poiéticas, que regulan la producción de los objetos.

    Estas tres especies de ciencia, en cuanto son todas igualmente ciencias, poseen

en común la forma, esto es, la naturaleza de su proceder. Considerando aparte tal

forma mediante la abstracción de que cada ciencia se sirve para aislar y determinar

su objeto, se obtiene una disciplina que describe el procedimiento común de todas

las ciencias en cuanto tales; y tal disciplina es la lógica, que Aristóteles fue el

primero en concebir y fundar como ciencia independiente, utilizando y

sistematizando las observaciones y los resultados de sus predecesores y

especialmente de Platón. Pero evidentemente el valor de una lógica así entendida

depende de la legitimidad de distinguir la forma general de las ciencias de su

contenido, esto es, del objeto particular de cada una: depende, es decir, de la

legitimidad de la abstracción por cuyo medio cada ciencia singular, incluida la

filosofía, logra determinar su objeto. A su vez, la legitimidad de la abstracción se

funda en la teoría de la sustancia.

    Considerar la forma por separado de cualquier contenido particular, es

procedimiento legítimo solamente cuando la forma sea, al mismo tiempo, la

sustancia, esto es, la esencia necesaria de lo que se considera. Si la forma no

tuviese la validez absoluta que le confiere el ser y no fuese ella sola la sustancia de

aquello de que es forma, considerarla aparte mediante la abstracción sería una

falsificación injustificable. La abstracción se justifica, por tanto, solamente como

consideración de la esencia necesaria de una cosa separada de sus particularidades

contingentes. La lógica, como procedimiento analítico, esto es, resolutivo de la

forma del pensamiento como tal, se funda, pues, en la metafísica como teoría de la

sustancia, y se sostiene o cae con ella.

    En la concepción aristotélica de la lógica hay una vacilación entre dos ideas. Por

un lado, la lógica es concebida, en tanto que órgano, como prolegómeno de toda

investigación científica, filosófica o simplemente perteneciente al lenguaje

ordinario. Por eso la lógica no es una parte de la filosofía; es, a lo sumo, el pórtico

que permite pasar a cualquiera de sus partes (la teórica, la práctica y la poética o

productiva). Por otro lado, la lógica aparece como el análisis de los principios según

los cuales se halla articulada la realidad. Así como el primado de la definición y de

la dialéctica en Platón podía ser considerado como la consecuencia del interés de

este autor por el “qué” de las cosas, el primado del razonamiento (sobre todo

silogístico) en Aristóteles podría ser considerado como la consecuencia del interés

de este pensador por el “porqué” de las cosas. La lógica de Aristóteles parece

seguir el tratado de una ontología general. Esto se manifiesta en una serie de

proposiciones que pueden resumirse del siguiente modo: a) la lógica es un

instrumento para el pensar y supone un pensamiento; b) el pensamiento supone

una realidad pensada, pues el pensar carece de espontaneidad y es sólo relativo, c)

es necesario, en vista de ello, desarrollar una teoría del concepto como expresivo

del ser “constitutivo” de lo real, d) la lógica puede de este modo convertirse en

ciencia de los principios de lo que es.

 

5.3.2. La lógica como técnica del pensamiento

 

    En un pasaje de la Metafísica en que parece que Aristóteles considera la lógica

como técnica indispensable para la investigación, tiene buen cuidado de añadir que

la consideración de los principios silogísticos corresponde al filósofo y a quien

especula sobre la naturaleza de cualquier sustancia. Así, él mismo reconduce la

lógica a su supuesto indispensable: la teoría de la sustancia.

    Por otra parte, esta teoría es el fundamento de la verdad de todo conocimiento

intelectual. La forma es a la vez ratio essendi y ratio cognoscendi del ser: en tanto

que ratio essendi es sustancia, en tanto que ratio cognoscendi es concepto. La

forma, pues, garantiza la correspondencia entre el concepto y la sustancia y, por

tanto, la verdad del conocimiento y la racionalidad del ser. Por esto Aristóteles

puede decir que el ser y la verdad se hallan en relación recíproca: que, por ejemplo,

si el hombre existe, la afirmación de que el hombre exista, es verdadera; y

recíprocamente si es verdadera la afirmación de que el hombre exista, el hombre

existe. Pero Aristóteles añade que en esta relación el fundamento es la realidad y

que la realidad no es tal porque la afirmación que la concierne sea verdadera, sino

que la afirmación es verdadera porque la realidad es tal como ella la expresa . En

otros términos, la verdad del concepto se funda en la sustancialidad de la forma y

no viceversa: la metafísica precede y fundamenta la lógica.

 

5.3.3. La lógica como propedéutica para el estudio del ser

 

    No puede, pues, afirmarse que Aristóteles haya querido fundar la lógica como

ciencia formal en el sentido moderno del término, o sea, de ciencia sin objeto o sin

contenido, constituida únicamente por proposiciones tautológicas. Según

Aristóteles, la lógica tiene un objeto y este objeto es la estructura de la ciencia en

general que luego es la misma estructura del ser que es objeto de la ciencia.

Precisamente sobre esta base, Aristóteles afirma que la lógica debe analizar el

lenguaje apofántico o declarativo, que es el propio de las ciencias teoréticas, en el

cual tienen lugar las determinaciones de verdadero y falso según que la unión o la

separación de los signos (en que consiste una proposición) reproduzca o no la unión

o la separación de las cosas.

 

5.3.4. El lenguaje apofántico

 

    Y en efecto, la poética y la retórica que se ocupan de lenguajes no apofánticos,

los trata Aristóteles aparte y subordinados a la analítica. El lenguaje apofántico no

tiene nada de convencional. Según Aristóteles, las palabras del lenguaje son

convencionales: tanto es así que de una lengua a otra son distintas. Pero las

palabras se refieren a “afectos del alma que son los mismos para todos y

constituyen imágenes de objetos que son los mismos para todos” .

    Por tanto, se puede decir que, para Aristóteles, el lenguaje es convencional en su

diccionario, no en su sintaxis: en consecuencia, la lógica ha de mirar a esta sintaxis

para analizar la estructura fundamental del conocimiento científico y del ser.

 

5.3.5. La estructura de la proposición

 

    Las partes del Órganon aristotélico, en el orden en que han llegado a nosotros,

tratan de objetos que van de lo simple a lo complejo, comenzando por los más

sencillos, por los elementos. Estos elementos se consideran y se clasifican en las

Categorías. “Categorías” significa “predicados” o géneros supremos del ser.

    En el libro Sobre la interpretación, Aristóteles examina aquellas combinaciones

de términos que se llaman enunciados declarativos o proposiciones, es decir, las

frases que constituyen asertos pero no plegarias, órdenes, exhortaciones, etc. El

aserto puede ser afirmativo o negativo según que “atribuya algo a algo” o que

“separe algo de algo”. Además, puede ser universal o singular: es universal cuando

el sujeto es universal (entendiéndose por universal “lo que por naturaleza se

predica de varias cosas”), por ej., hombre; es singular cuando el sujeto es un ente

solo, por ej., Kalias. Pero un mismo término universal puede emplearse en una

proposición tanto en su universalidad, como cuando se dice “todo hombre es

blanco”, como en su particularidad, como cuando se dice “algún hombre es blanco”.

Aristóteles se preocupa de establecer la relación entre la proposición universal y la

proposición particular, cada una de las cuales a su vez puede ser afirmativa o

negativa.

 

5.3.6. Los tipos de enunciados: clasificación

 

    Aristóteles considera que todos los enunciados (simples) tienen la forma “S es P”

donde S es el sujeto, y P el predicado que se atribuye a S. El predicado P siempre es

un concepto o entidad abstracta, pero el sujeto S puede ser tanto un individuo o

entidad concreta como un concepto o entidad abstracta. Si ocurre lo primero,

tenemos un enunciado singular, mientras que en el segundo caso nos las habemos

con un enunciado conceptual o general.

    En los Analíticos Anteriores sólo se consideran los enunciados conceptuales o

generales, que a su vez se dividen en universales, particulares e indefinidos.

    El enunciado es una oración que afirma o niega algo de algo, y es universal,

particular o indefinido. “Llamo universal al pertenecer a todo o a ninguno;

particular, al pertenecer a alguno o no a todo; indefinido, al pertenecer o no

pertenecer, sin indicar universalidad o particularidad” .

    El enunciado universal (afirmativo) contiene un cuantificador universal, es decir,

una expresión lingüística como “cada”, “todos”, o “para todo”, y atribuye el

predicado universalmente al sujeto, es decir, afirma que el concepto-predicado es

aplicable a todas las cosas a las que se aplica el concepto sujeto.

    El enunciado particular (afirmativo) contiene un cuantificador particular, es decir,

una expresión lingüística como “algún” o “hay” o “para algún”, y atribuye el

predicado particularmente al sujeto, es decir, sólo afirma que el concepto-predicado

es aplicable a algunas cosas a las que también se aplica el concepto-sujeto.

    El enunciado indefinido es un enunciado conceptual o general que carece de

cuantificadores, por lo que no está claro si el predicado se atribuye universal o

particularmente al sujeto.

    Una de las invenciones más notables de Aristóteles consistió en la introducción

de variables o letras esquemáticas en la lógica. No llegó a introducir variables para

individuos, pero sí para conceptos o entidades abstractas. Utilizaba letras

mayúsculas para referirse indistintamente a conceptos cualesquiera.

    División aristotélica de los enunciados simples en ocho tipos, según su

cuantificación y su carácter afirmativo o negativo:

 

    Afirmativo Negativo

    S es P S no es P

Enunciado Universal Todo S es P Ningún S es P

  Particular Algún S es P Algún S no es P

  Indefinido S es P S no es P

 

    En su exposición definitiva, la lógica aristotélica no conoce mas que cuatro tipos

de enunciados (simples), los tipos que los lógicos medievales designaron mediante

las letras A, E, I, O, correspondientes a los enunciados universales afirmativos (A),

universales negativos (E), particulares afirmativos (I) y particulares negativos (O).

 

  A afirmativo Todo S es P

P pertenece a todo S

Universal    

  E negativo Ningún S es P

P no pertenece a

ningún S

     

  I afirmativo Algún S es P

P pertenece a algún S

Particular    

  O negativo Algún S no es P

    P no pertenece a algún

S

 

5.3.7. Oposición entre enunciados. El cuadro lógico

 

    Aristóteles inició su estudio sistemático de las relaciones lógicas entre

enunciados con la consideración de la oposición. La oposición entre enunciados

puede ser de dos tipos: oposición contradictoria y oposición contraria.

    La oposición contradictoria o contradicción se da entre dos enunciados de los

cuales uno es la negación del otro. Por el principio del tercio excluso, al menos uno

de ellos ha de ser verdadero y, por el principio de contradicción, el otro ha de ser

falso. La contradicción se da entre dos enunciados singulares del tipo “s es P” y “s

no es P”. Pero estos enunciados no juegan ningún papel en la lógica de Aristóteles.

La contradicción se da también – y esto sí juega un papel importante en su lógica –

entre un enunciado universal afirmativo y el correspondiente enunciado particular

negativo, es decir, entre dos enunciados de los tipos “todo S es P” y “algún S no es

P”. Igualmente se oponen contradictoriamente un enunciado universal negativo y el

correspondiente particular afirmativo, es decir, dos enunciados de los tipos “ningún

S es P” y “algún S es P”.

“Todo A es B” es el contradictorio de “algún A no es B”

“Ningún A es B” es el contradictorio de “algún A es B”

“Algún A es B” es el contradictorio de “ningún A es B”

“Algún A no es B” es el contradictorio de “todo A es B”

    Cada enunciado es equivalente a la negación de su contradictorio. Por tanto, si

negamos un enunciado, hemos de afirmar su contradictorio. Si afirmamos un

enunciado hemos de negar su contradictorio.

    La oposición contraria o contrariedad se da entre dos enunciados que no pueden

ser ambos verdaderos, sino que al menos uno de ellos ha de ser falso. También los

dos pueden ser falsos. Si el uno es verdadero, el otro es falso. Pero si el uno es

falso, el otro puede ser tanto verdadero como falso. La contrariedad se da entre un

enunciado universal afirmativo y el correspondiente enunciado universal negativo,

es decir, entre dos enunciados de los tipos “todo S es P” y “ningún S es P”.

“Todo A es B” es el contrario de “ningún A es B”

“Ningún A es B” es el contrario de "todo A es B”

Leyes de la oposición contradictoria:

Si no (todo A es B), entonces (algún A no es B) Si no (ningún A es B), entonces (algún A es B)

Si no (algún A es B), entonces (ningún A es B)

Si no (algún A no es B), entonces (todo A es B)

Leyes de la oposición contraria:

Si (todo A es B), entonces no (ningún A es B) Si (ningún A es B), entonces no (todo A es B).

Estas dos leyes son inválidas desde el punto de vista de la lógica actual.

    Así pues, un silogismo es una proposición hecha de una de estas cuatro

afirmaciones posibles. He aquí el famoso cuadro lógico:

 

A “Todo A es B” (universal afirmativo) <------CONTRARIAS----- > E “Ningún A es B”

(universal negativo)

 

         (Todo hombre es honrado)                                        (Ningún hombre es

honrado)

 SUBALTERNAS

                                                                                     SUBALTERNAS

                                      CONTRADICTORIAS

 

I “Algún A es B” (particular afirmativo) <-----CONTRARIAS--- > O “Algún A no es B”

(particular negativo)

    (Algún hombre es honrado)                                             (Algún hombre no es

honrado)

 

    En este cuadro se observan las diversas relaciones de oposición que admite un

mismo enunciado, según su cualidad y su cantidad.

a) Contradictorias (A-O; I-E). Una es la simple negación de la otra, y por eso no

admiten grados intermedios. Si una es verdadera, la otra es falsa, y viceversa.

b) Contrarias: (A-E): No pueden ser a la vez verdaderas, pero como admiten

grados intermedios, pueden ser a la vez falsas (como ocurre en el ejemplo

propuesto).

e) Subcontrarias (1-O): No pueden ser falsas a la vez, pero sí pueden ser

simultáneamente verdaderas.

 

d) Subalternas (A-I; E-O). Si la universal es verdadera, también lo es la particular;

pero no viceversa. Y si la particular es falsa, también lo es la universal, pero no al

revés.

    Aquí las letras sustituyen a palabras comunes como “hombre”, “animal racional”,

o “cosa viviente”, llamadas términos del silogismo. Un silogismo bien formulado

consta de dos premisas y una conclusión, debiendo tener cada premisa un término

en común con la conclusión y un segundo término relacionado con la otra premisa.

    El esquema fue construido en esta forma (que refleja exactamente la doctrina

aristotélica) por los lógicos medievales que lo llamaron “cuadrado de los opuestos”

y que indicaron las varias especies de proposición con las letras mayúsculas que

figuran en el mismo. Aristóteles llamó contraria a la oposición entre la proposición

universal afirmativa y la negativa y contradictoria a la oposición entre la universal

afirmativa y la particular negativa, y la particular afirmativa y la universal negativa.

La relación entre la particular afirmativa y la particular negativa la llamaron los

lógicos medievales oposición sub-contraria. Se trata de una oposición para la cual,

según Aristóteles, no vale el principio de contradicción. En efecto, de las dos

proposiciones “algún hombre es blanco”, “algún hombre no es blanco”, ambas

pueden ser verdaderas. En cambio para las proposiciones que se hallan entre sí en

oposición contraria y contradictoria, el principio de contradicción es rigurosamente

válido. Una de las dos tiene que ser falsa y la otra tiene que ser verdadera. Esta

segunda exigencia (esto es, que una de las dos tiene que ser verdadera es la

expresada por el principio que mucho después se llamó de “tercero excluso” y que

Aristóteles aunque sin distinguirlo del principio de no-contradicción, expresó y

defendió repetidamente afirmando que “entre los opuestos contradictorios no hay

medio” .

 

5.3.8. Conversión de enunciados

 

    Una de las razones por las que Aristóteles prescinde de los enunciados singulares

en su lógica madura estriba en su deseo de poder permutar sujeto y predicado en

cualquier enunciado. Ahora bien, si el sujeto es un individuo o entidad concreta, es

imposible que haga de predicado y, por tanto, la permutación es imposible. Pero si

tanto el sujeto como el predicado son conceptos o entidades abstractas, entonces la

permutación es siempre posible. Por eso Aristóteles limita su consideración a los

enunciados conceptuales o generales.

    La conversión de un enunciado consiste en la permutación de su sujeto y su

predicado. El enunciado conserva los mismos conceptos, pero el concepto que hacía

de predicado pasa a hacer de sujeto, y a la inversa. Naturalmente, no siempre la

verdad de un enunciado garantiza la verdad del enunciado que resulta de la

permutación de sus conceptos.

    Los enunciados universales negativos y los particulares afirmativos pueden

convertirse siempre; los enunciados particulares negativos no pueden convertirse

nunca; los enunciados universales afirmativos pueden convertirse sólo a condición

de transformar su cuantificación de universal en particular. Aristóteles obtiene las

siguientes leyes lógicas de la conversión:

Si (ningún A es B), entonces (ningún B es A) Si (algún A es B), entonces (algún B es A)

Si (todo A es B), entonces (algún B es A)

5.3.9. El razonamiento y el silogismo en Aristóteles

 

    Los Primeros analíticos contienen la teoría aristotélica del razonamiento. Según

Aristóteles el razonamiento típico es el deductivo o silogismo: definido como “un

discurso en el que planteadas algunas cosas, se siguen otras por necesidad” .

    Aristóteles define el silogismo del siguiente modo: El silogismo es un discurso en

el cual, puestas ciertas cosas, algo distinto de las cosas puestas se sigue

necesariamente de ellas, como consecuencia suya, y sin que sea preciso introducir

ningún otro término para justificar la necesidad de la conclusión.

    Esta definición vale para cualquier deducción. Sin embargo, Aristóteles usa la

palabra “silogismo” para referirse no a cualquier deducción, sino a un tipo muy

especial de ella, la formada por tres enunciados (dos premisas y una conclusión),

cada uno de los cuales es de uno de los cuatro tipos “todo S es P”, “ningún S es P”,

“algún S es P”, o “algún S no es P”, donde S y P son términos generales (o

conceptos) cualesquiera, y tales que en los tres enunciados juntos aparecen

exactamente tres términos o conceptos, no más ni menos.

    Las características fundamentales del silogismo aristotélico son:

    a)   Su carácter mediato

    b)   Su necesidad

    El carácter mediato del silogismo depende del hecho que el silogismo es la

contraparte lógico-lingüística del concepto de sustancia. En virtud de ello, la

relación entre dos determinaciones de una cosa se puede establecer sólo sobre la

base de lo que la cosa es necesariamente, o sea, de su sustancia: por ejemplo, si se

quiere decidir si el hombre es mortal, no se puede más que mirar a la sustancia del

hombre (a lo que el hombre no puede no ser) y razonar así: todo animal es mortal,

todo hombre es animal, luego todo hombre es mortal. La determinación “animal”,

necesariamente incluida en la sustancia “hombre”, permite concluir en la

mortalidad del propio hombre. En este sentido se dice que la noción “animal” hace

de término medio del silogismo: éste representa en el silogismo la sustancia, o la

causa o la razón, que sólo hace posible la conclusión: el hombre es mortal porque, y

sólo porque, es animal. Por tanto, el silogismo tiene tres términos:

    a)   El sujeto

    b)   El predicado de la conclusión

    c)   El término medio. La función del término medio es la que determina las

figuras del silogismo.

 

5.3.10.           Las cuatro figuras

 

    Según el análisis que hace Aristóteles, para que las premisas impliquen la

conclusión, es preciso que en ellas aparezcan los dos conceptos de la conclusión (a

los que llamaremos extremos), uno en cada premisa y, además, un concepto nuevo,

que no aparece en la conclusión, pero que aparece en ambas premisas (al que

llamaremos medio). ¿Cómo clasificar estas combinaciones? En primer lugar, en

figuras.

    Las figuras (skhémata) son las formas que reviste el silogismo según la posición

que el término medio ocupe en las premisas. Caben, según Aristóteles, cuatro

figuras.

    Así, en la primera figura, el término medio hace de sujeto en la primera premisa y

de predicado en la segunda. En la segunda figura, el término medio hace de

predicado en ambas premisas (por ej.; “Ninguna piedra es animal, todo hombre es

animal, luego ningún hombre es piedra”). En esta figura, una de las premisas y la

conclusión son negativas. En la tercera figura, el término que hace de sujeto en

ambas premisas (por ej.: “Todo hombre es sustancia, todo hombre es animal, luego

algún animal es sustancia”). En esta figura, la conclusión es siempre particular.

Cada una de las tres figuras se divide luego en una variedad de modos, según sean

las premisas universales o particulares, afirmativas o negativas. Algunos añaden

también una cuarta figura. Helas aquí:

 

Primera Figura Segunda Figura Tercera Figura Cuarta Figura

M es P P es M M es P P es M

S es M S es M M es S M es S

S es P S es P S es P S es P

 

    La primera figura se da cuando el sujeto de la conclusión es sujeto de una

premisa, el predicado de la conclusión es predicado de otra premisa y el concepto

medio es predicado de una premisa y sujeto de otra. La formulación aristotélica

original de la ley de este ejemplo es la siguiente: Si A se predica de todo B y B se

predica de todo C, entonces necesariamente A se predica de todo C .

    La segunda figura se da cuando el sujeto de la conclusión es sujeto de una

premisa, el predicado de la conclusión es sujeto de la otra premisa y el concepto

medio es predicado de ambas premisas.

    La tercera figura se da cuando el sujeto de la conclusión es predicado de una

premisa, el predicado de la conclusión es predicado de la otra premisa y el

concepto medio es el sujeto de ambas.

 

5.3.11.           Los modos silogísticos y sus figuras

 

    Modos son las configuraciones de cada figura, según que las premisas sean A, E,

I, 0. Las combinaciones posibles de estas cuatro proposiciones en una figura de 3

proposiciones (43) son 64, que para las 4 figuras da un total de 256 posibilidades.

Sin embargo, según las reglas de la deducción, sólo 19 casos son lícitos. Los lógicos

medievales los denominaban con reglas mnemotécnicas: cada caso legítimo recibe

un nombre cuyas tres vocales indican el tipo de proposiciones de la premisa mayor,

la menor y la conclusión.

    Cuatro son las combinaciones de la primera figura que Aristóteles reconoce

explícitamente como implicaciones, como silogismos, y éstas son sus

correspondientes leyes lógicas:

    a)   BARBARA: Si todo A es B y todo B es C, entonces todo A es C

    b)   CELARENT: Si todo A es B y ningún B es C, entonces ningún A es C

    c)   DARII: Si algún A es B y todo B es C, entonces algún A es C

    d)   FERIO: Si algún A es B y ningún B es C, entonces algún A no es C

    En la segunda figura reconoce Aristóteles cuatro combinaciones como dando

lugar a la implicación de la conclusión por las premisas, como silogismos.

    a)   CESARE: Si todo A es B y ningún C es B, entonces ningún A es C

    b)   CAMESTRES: Si ningún A es B y todo C es B, entonces ningún A es C

    c)   FESTINO: Si algún A es B y ningún C es B, entonces algún A no es C

    d)   BAROCO: Si algún A no es B y todo C es B, entonces algún A no es C

    En la tercera figura reconoce Aristóteles seis combinaciones en las cuales las

premisas implican la conclusión, seis silogismos:

    a)   DARAPTI: Si todo B es A y algún B es C, entonces algún a es C

    b)   FELAPTON: Si todo B es A y algún B no es C, entonces algún A no es C

    c)   DISAMIS: Si algún B es A y todo B es C, entonces algún A es C

    d)   DATISI: Si algún B es A y ningún B es C, entonces algún A no es C

    e)   BOCARDO: Si todo B es A y todo B es C, entonces algún A es C

    f)   FERISON: Si todo B es A y ningún B es C, entonces algún A no es C

    Para la cuarta figura los medievales encontraron lo siguiente:

    a)   BAMALIP: Si todo C es B y todo B es A, entonces algún A es B

    b)   CAMENES: Si todo C es B y ningún B es A, entonces ningún A es C

    c)   DIMATIS: Si algún C es B, y todo B es A, entonces algún A es C

    d)   FESAPO: Si ningún C es B y todo B es A, entonces algún A no es C

    e)   FRESISON: Si ningún C es B y algún B es A, entonces algún A no es C

 

PRIMERA FIGURA

BARBARA CELARENT DARII FERIO

MAP MEP MAP MEP

SAM SAM SIM SIM

SAP SEP SIP SOP

 

SEGUNDA FIGURA

CESARE CAMESTRES FESTINO BAROCO

PEM PAM PEM PAM

SAM SEM SIM SOM

SEP SEP SOP SOP

 

TERCERA FIGURA

DARAPTI FELAPTON DISAMIS DATISI BOCARDO FERISON

MAP MEP MIP MAP MOP MEP

MAS MAS MAS MIS MAS MIS

SIP SOP SIP SIP SOP SOP

 

CUARTA FIGURA

BAMALIP CAMENES DIMATIS FESAPO FRESISON

PAM PAM PIM PEM PEM

MAS MES MAS MAS MIS

SIP SEP SIP SOP SOP

 

    Aristóteles desarrolló esta casuística de los modos silogísticos que luego, en la

lógica medieval encontraría su complemento incluso en relación con los desarrollos

que la lógica misma experimentó en la antigüedad por obra de los aristotélicos y de

los estoicos. El silogismo es por definición una deducción necesaria: por eso su

forma primaria y privilegiada es el silogismo necesario que Aristóteles llama

también demostrativo o científico. De los silogismos necesarios, la primera y mejor

especie es la de los silogismos ostensivos que Aristóteles contrapone a los que

parten de una hipótesis. Estos últimos no son los que luego se llamarán “hipotéticos

(en los que la premisa mayor está constituida por una condicional), sino aquellos

cuya premisa mayor no es la conclusión de otro silogismo ni es evidente de por sí,

sino que se emplea por vía de hipótesis. Uno de estos silogismos es el que opera la

reducción al absurdo. Entre los silogismos ostensivos, los más perfectos son los

silogismos universales de la primera figura, a los cuales se pueden reducir todas las

otras formas del silogismo. Por último, del silogismo deductivo se distingue el

silogismo inductivo o inducción, que es otra de las dos vías fundamentales por las

cuales el hombre alcanza las propias creencias.

 

    “Llamo silogismo perfecto al que no necesita nada fuera de lo puesto en las

premisas para hacer evidente la necesidad de la conclusión. Llamo silogismo

imperfecto al que [para hacer evidente la necesidad de la conclusión] necesita de

una o varias cosas que no aparecen explícitamente en las premisas, aunque se

siguen necesariamente de ellas” .

    Un silogismo perfecto es evidentemente válido. Un silogismo imperfecto es

igualmente válido, pero su validez no es evidente, sino que ha de ser mostrada con

ayuda de un silogismo perfecto. Aristóteles elige como axiomas de la silogística a

los silogismos de la primera figura, por ser éstos los únicos perfectos y evidentes.

    ¿Por qué son evidentes los silogismos de la primera figura? Porque en esta figura

y sólo en ella: 1) la primera premisa acaba con el mismo concepto con que empieza

la segunda, lo que facilita la intelección; 2) el concepto medio ocupa efectivamente

el puesto medio, lo que evidencia su papel mediador; 3) el primer y último

conceptos del antecedente (o unión de las dos premisas) son el primer y último

conceptos del consiguiente (o conclusión). Además, en el primer silogismo de la

primera figura, que es el más evidente de todos, el concepto sujeto de la conclusión

o concepto menor tiene una extensión menor que el concepto medio, que tiene una

extensión intermedia entre los otros dos y, por tanto, menor que la del concepto

predicado de la conclusión o concepto mayor.

    Los silogismos de las figuras segunda y tercera son válidos, pero su validez no es

evidente, sino que sólo se patentiza reduciéndolos a los de la primera figura.

 

5.3.12.           La inducción y la deducción

 

    La inducción, según Aristóteles, es una deducción que, en lugar de deducir un

extremo de otro mediante el término medio (por ej., la mortalidad del hombre

mediante el concepto de animal), como hace el silogismo verdadera y propiamente

tal, deduce el término medio de un extremo, valiéndose del otro extremo. Por

ejemplo, después de haber constado que el hombre, el caballo y el mulo (primer

término) son animales sin bilis (término medio) y que el hombre, el caballo y el

mulo son longevos (segundo término), deduce que todos los animales sin bilis son

longevos: en cuya conclusión aparece el término medio y un extremo. El “ser sin

bilis” es, en este caso, el término medio porque es la razón o la causa, por la que el

hombre, el caballo y el mulo son longevos. La inducción es válida sólo si se agotan

todos los casos posibles; si, en el ejemplo propuesto, el hombre, el caballo y el mulo

son todos los animales sin bilis. De ahí que la inducción sea de uso limitado y no

pueda suplantar al silogismo deductivo, aunque para el hombre es un

procedimiento más fácil y claro. Por eso afirma Aristóteles que la inducción puede

usarse, no en la ciencia, sino en la dialéctica y en la oratoria, es decir, como

instrumento de ejercicio o de persuasión.

 

5.3.13.           Silogismos: premisas y validez

 

    En los Segundos Analíticos Aristóteles examina las premisas del silogismo y el

fundamento de su validez. Aristóteles parte del principio que “toda doctrina o

disciplina deriva de un conocimiento preexistente” . Para que el silogismo concluya

necesariamente, las premisas de donde deriva deben también ser necesarias. Y

para ser tales, han de ser, en sí mismas, principios verdaderos, absolutamente

primeros e inmediatos; y respecto a la conclusión, más cognoscibles, anteriores a la

conclusión y causas de ella. “Inmediatos” quiere decir que son indemostrables,

como evidentes por sí mismos, ya que si no fueran tales, serían principios de los

principios y así sucesivamente hasta el infinito. Algunos de estos principios son

comunes a todas las ciencias, otros son principios de cada ciencia. Común es, por

ejemplo, el principio: si de dos objetos iguales se sustraen objetos iguales, los

restos son iguales. En cambio, son propios los siguientes principios de geometría:

línea tiene una naturaleza de esta manera; la línea recta tiene una naturaleza de

esta manera, etc. Pero los principios, sobre todo los principios propios, según

Aristóteles, no son sino definiciones y las definiciones son posibles sólo de la

sustancia o de la esencia necesaria. La validez de los principios en que se funda la

ciencia, consiste, pues, en ser ellos expresión de la sustancia, o mejor aún, del

género de sustancias sobre las que versa una ciencia particular; y como la sustancia

es causa de todas sus propiedades y determinaciones como los principios son causa

de las conclusiones que el silogismo deriva de ellos, todo el conocimiento es

conocimiento de causas.

 

5.3.14.           La dialéctica

    Por otra parte, mientras en los Primeros Analíticos y en los Segundos Analíticos

Aristóteles se aplica al objeto de la ciencia, los Tópicos se aplica a la dialéctica. Esta

se distingue de la ciencia por la naturaleza de sus principios: los de la ciencia son

necesarios, absolutamente verdaderos; los de la dialéctica son sólo probables, esto

es, “parecen aceptables a todos o a los más o a los sabios y, entre estos, o a todos

o a los más o a los más ilustres”. Así, la ciencia que para Platón era la primera, la

Dialéctica queda relegada en Aristóteles a una zona marginal de la ciencia, inferior

a ella.

    Finalmente, en los Electos sofísticos o Refutaciones sofísticas Aristóteles examina

los razonamientos erísticos o refutadores de los sofistas. Entiende los

razonamientos erísticos aquellos cuyas premisas no son ni necesarias (como las

premisas para las ciencias) ni probables (corno las de la dialéctica), sino son sólo

aparentemente probables. Los argumentos erísticos son denominados “sofismas”

por Aristóteles.

 

5.3.15.           Reglas de la validez de los silogismos

    Para que un silogismo sea válido debe cumplir algunas condiciones:

    a)   Al menos una premisa debe de ser afirmativa

    b)   Si una premisa es negativa, la conclusión debe ser negativa.

    c)   Si una premisa es particular, la conclusión también será particular.

    c)   El término medio ha de ser universal al menos una vez.

    d)   Si un término es universal en la conclusión, también lo debe ser en su

premisa correspondiente.

 

5.4.     LA LÓGICA DE LOS ESTOICOS

 

5.4.1. La Lógica de los estoicos: introducción

 

    Mediante el término lógica, adoptado por primera vez por Zenón, los estoicos

expresaban la doctrina que tiene por objeto los lógoi, o discursos. Como ciencia de

los discursos continuos, la lógica es retórica; como ciencia de los discursos divididos

en preguntas y respuestas, la lógica es dialéctica.

    La dialéctica se define como “la ciencia de lo que es verdadero y de lo que es

falso y de lo que no es ni verdadero ni falso” . Con la expresión “lo que no es ni

verdadero ni falso” los estoicos probablemente entendían los sofismas o las

paradojas, sobre cuya verdad o falsedad no se puede decidir, siguiendo los estoicos

las huellas de los megáricos. A su vez, la dialéctica estoica se divide en dos partes,

según trate de las palabras o de las cosas que significan las palabras: la que trata

de las palabras es la gramática; la que trata de las cosas significadas es la lógica en

sentido propio: por lo tanto, ésta tiene por objeto las representaciones, las

proposiciones, los razonamientos y los sofismas .

    Los megáricos y los estoicos fueron los primeros en estudiar la lógica de

enunciados, esto es, las relaciones entre enunciados unidos por partículas como ‘y’,

‘o’, ‘si … entonces’, etc. Los megárico-estoicos se interesaron por los razonamientos

que tienen la forma de argumento y no de una implicación, esto es, de series de

premisas distintas afirmadas y una conclusión derivada de ellas, en vez de

enunciados-premisas condicionales que implican un enunciado-conclusión. Pero lo

más fundamental es que esta lógica investigaba la lógica de las partículas

conectivas entre los enunciados. Los estoicos establecieron algunas leyes lógicas,

como el Modus Ponens (si p entonces q, y p, por tanto q), el Modus Tollens (si p

entonces q, y no q, por tanto no p) el silogismo disyuntivo (p o q, y no p, por tanto

q), etc., aunque ellos los entendieron como reglas de inferencia.

 

5.4.2. El criterio de verdad

    El problema fundamental de la lógica estoica es el del criterio de la verdad. Este

es el problema más urgente para toda la filosofía postaristotélica, que considera el

pensamiento únicamente como guía de la conducta; ya que si el pensamiento no

posee él mismo un criterio de verdad y procede con incertidumbre y a ciegas, no

puede servir de guía a la acción.

    Según todos los estoicos, el criterio de la verdad es la representación cataléptica

o conceptual. Dos interpretaciones son posibles del significado de esta expresión.

En primer lugar, la fantasía (kataleptiké) puede consistir en la acción del intelecto

que se apodera y comprende el objeto. En segundo lugar, puede ser la

representación impresa en el entendimiento por el objeto, esto es, la acción del

objeto sobre el entendimiento. Para Sexto Empírico la representación cataléptica es

la que viene del objeto real y es impresa y marcada por él en conformidad consigo

mismo, de modo que no podría nacer de un objeto diverso. Zenón, sin embargo,

ponía el significado de la representación cataléptica en su capacidad de alcanzar y

comprender el objeto. Él comparaba la mano abierta y los dedos extendidos a la

representación pura y simple; la mano contraída que hace acto de coger, al

asentimiento; la mano cerrada en puño, a la comprensión cataléptica. En fin, las

dos manos apretadas una sobre otra, con gran fuerza, eran el símbolo de la ciencia,

la cual proporciona la verdadera y completa posesión del objeto.

 

5.4.3. El asentimiento y la epoché

    La representación cataléptica es, pues, relacionada con el asentimiento por parte

del sujeto cognoscente, asentimiento que los estoicos creían voluntario y libre. Si el

recibir una representación determinada, por ejemplo, ver el color blanco, sentir lo

dulce, no está en el poder del que lo recibe, porque depende del objeto del cual se

origina la sensación, el asentir a tal representación es, en cambio, un acto libre.

    El asentimiento constituye el juicio; el cual se define precisamente o bien como

asentimiento o como disconformidad o como suspensión, esto es, renuncia

provisional al asentimiento de la representación recibida o a disentir de la misma.

Según Sexto Empírico, los estoicos posteriores pusieron el criterio de la verdad, no

en la simple representación cataléptica, sino en la representación cataléptica “que

no tenga nada contra sí”; porque puede darse el caso de representaciones

catalépticas que no sean dignas de asentimiento por las circunstancias en que son

recibidas. Sólo cuando no tiene nada en contra suya, la representación cataléptica

se impone con fuerza a las representaciones divergentes y obliga al sujeto

cognoscente a prestar su asentimiento. De esto se deriva claramente que la

representación cataléptica es la que está dotada de evidencia no contradicha, tal

que solicite con gran fuerza al hombre a prestar su asentimiento, el cual, con todo,

es libre. Consecuentemente, definían ciencia como una representación cataléptica o

un hábito inmutable para aceptar tales representaciones, acompañadas de

razonamiento y afirmaban que no hay ciencia sin dialéctica, siendo propio de la

dialéctica presidir los razonamientos.

    Por lo que se refiere al problema del origen del conocimiento, el estoicismo es

empirismo. Todo el conocimiento humano procede de la experiencia, y la

experiencia es pasividad, porque depende de la acción que las cosas externas

ejercen sobre el alma, considerada como un papel (tabula rasa,) sobre el cual se

registran las representaciones.

    Toda representación, después de su desaparición, determina el recuerdo; un

conjunto de recuerdos de la misma especie constituye la experiencia. De la

experiencia nace, por un procedimiento natural, el concepto común o anticipación;

pero cuando se llega al universal por medio de un procedimiento técnico, se tiene el

concepto. La anticipación es el concepto natural del universal. Los conceptos son,

en cambio, producidos por la instrucción o el razonamiento, y constituyen la ciencia.

Es la razón, por tanto, la que procede a la formación de las nociones universales

que son el fundamento de la ciencia. Pero la razón actúa, según los estoicos, sobre

el material facilitado por la sensibilidad.

 

5.4.4. El nominalismo estoico

    Los conceptos no tienen para los estoicos ninguna realidad objetiva: lo real es

siempre individual y el universal subsiste solamente en las anticipaciones o en los

conceptos. El estoicismo es, pues, un nominalismo, según la expresión empleada en

la escolástica para designar la doctrina que niega la realidad al universal. Los

conceptos más generales, las categorías, son reducidos por los estoicos a cuatro:

    a)   El sustrato o sustancia

    b)   La cualidad

    c)   El modo de ser

    d)   El modo relativo

    Estas cuatro categorías están entre sí en una relación tal que la siguiente

encierra la precedente y la determina. De hecho, nada puede tener un carácter

relativo, si no tiene un modo de ser; no puede tener un modo de ser, si no tiene una

cualidad fundamental que lo diferencia de los demás; y no puede tener esta

cualidad si no subsiste por sí, y es sustancia.

    El concepto más alto y más amplio, o, como decían, el género sumo, es el

concepto de ser; por cuanto todo en cierto modo es, y no hay, por tanto, un

concepto más extenso que éste. El concepto más determinado, en cambio, es el de

especie, que no tiene otra especie debajo de sí, esto es, el individuo, por ejemplo,

de Sócrates. Otros estoicos, queriendo hallar un concepto aún más extenso que el

del ser, recurrieron al de algo (quid), que puede comprender también a las cosas

incorpóreas y a las inexistentes.

 

5.4.5. La proposición y el razonamiento

    La parte de la lógica estoica que ha ejercido mayor influencia en el desarrollo de

la lógica medieval y moderna es la que concierne a la proposición y al

razonamiento. Como fundamento de esta parte de su doctrina, los estoicos pusieron

la teoría del significado que ha conservado su importancia fundamental en la lógica

y en la teoría del lenguaje. Tres son los elementos que se coligan: el significado, lo

que significa y lo que es. Lo que significa es la voz, por ej., “Sócrates”. El significado

es la cosa señalada por la voz y a la que nosotros unimos pensando en la cosa

correspondiente. Lo que es, es el sujeto externo, por ejemplo, el mismo Sócrates .

De estos tres elementos conexos, dos son corpóreos, la voz y lo que es; uno es

incorpóreo, el significado mismo.

    En otros términos, el significado es aquella función o representación o concepto

que nos viene a la mente cuando oímos una palabra y que nos permite referir la

palabra a una cosa determinada. Así, por ejemplo, si con la voz “hombre”

entendemos un “animal racional” podemos designar con esta voz a todos los

animales racionales, es decir, a todos los hombres. El concepto “animal racional” es

el significado que permite la referencia de las palabras al objeto existente. Este

concepto sirve de camino entre la palabra (y en general, la expresión verbal) y la

cosa real o corpórea, orientada de esta manera la referencia al objeto de las

expresiones lingüísticas que de otra manera serian puros sonidos, incapaces de

toda conexión con las cosas. Por lo tanto, la referencia a la cosa es parte integrante

del significado o, por lo menos, es un aspecto íntimamente unido a ella, pues la

información en que consiste el significado no tiene más función que la de hacer

posible y orientar tal referencia.

    En la lógica medieval y moderna, lo que los estoicos llamaban significado ha sido

expresado con otros nombres como connotación, intención, comprensión,

interpretante, sentido, mientras que la referencia a la cosa ha sido llamada

suposición, denotación, extensión, significado. Pero esta diversidad de terminología

no ha cambiado el concepto de significado en los tres elementos fundamentales en

que los estoicos lo habían analizado.

    Según los estoicos, el razonamiento consiste en una conexión entre

proposiciones simples del tipo siguiente: “si es noche, hay tinieblas; pero es noche,

luego hay tinieblas”. Como se ve, este tipo de razonamiento no tiene nada de

común con el silogismo aristotélico, pues le faltan sus caracteres fundamentales: es

inmediato (no tiene término medio) y no es necesario. La falta de estos caracteres

permite a los estoicos distinguir la conclusión de un razonamiento de su verdad. El

razonamiento antes expuesto es verdadero sólo si es de noche, pero es falso si es

de día. Sin embargo, es concluyente en todo caso, porque la conexión de las

premisas con la conclusión es correcta.

 

5.4.6. Tipos de razonamientos

    Los tipos de razonamientos concluyentes los llamaban los estoicos apodícticos o

razonamientos no demostrativos. No son demostrativos por ser evidentes por sí

mismos y son los siguientes:

1. Si es de día hay luz. Pero es de día. Luego hay luz.

2. Si es de día hay luz. Pero no hay luz. Luego no es de día.

3. Si no es de día, es de noche. Pero es de día. Luego no es de noche.

4. 0 es de día o es de noche. Pero es de día. Luego no es de noche.

5. 0 es de día o es de noche. Pero no es de noche. Luego es de día.

    Estos esquemas de razonamientos son siempre válidos, pero no siempre son

verdaderos ya que son verdaderos solamente cuando la premisa es verdadera, es

decir, cuando corresponde a la situación de hecho. Sobre ellos se modelan los

razonamientos demostrativos, que no sólo son concluyentes, sino que además

manifiestan algo que antes era “oscuro”, es decir, algo que no es inmediatamente

manifiesto a la representación cataléptica que se ve siempre limitada al aquí y

ahora. Un ejemplo que los estoicos aducían es: “Si una mujer tiene leche en el

pecho, ha parido; pero esta mujer tiene leche en el pecho; luego ha parido”. El

razonamiento demostrativo en este sentido lo llaman los estoicos un signo

indicativo por cuanto permite poner en claro lo que antes era oscuro. En cambio,

son signos rememorativos aquellos que, en cuanto se presentan, hacen evidente el

recuerdo de la cosa que primero ha sido observada en conexión con ellos y ahora

no es manifiesta como lo es, por ejemplo, el humo con respecto al fuego.

Evidentemente, los estoicos confiaban la construcción de su doctrina al

razonamiento demostrativo; por ejemplo, la demostración de la existencia del alma

o del alma del mundo (que es Dios) a partir de los movimientos o de los hechos que

son dados inmediatamente a la representación cataléptica, es un signo indicativo

en el sentido ahora explicado.

 

5.4.7. La lógica de los condicionales

    Uno de los temas más debatidos fue la lógica de los condicionales. Dos fueron las

interpretaciones principales que se dieron acerca de las condiciones de verdad de

los condicionales. Según Filón de Megara, los enunciados del tipo “si … entonces”

sólo son falsos cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso; en

todos los demás casos es verdadero. Este condicional fue denominado por Russell

implicación material, y es el usado normalmente en lógica desde Frege.

    Por contra, según Diodoro de Cronos, para que un enunciado condicional sea

verdadero es menester, no meramente que no sea –en ese instante– el antecedente

verdadero y el consecuente falso, sino que nunca sea el antecedente verdadero y el

consecuente falso. De este modo, “si es de día entonces es de noche” es siempre

falso, independientemente de cuando se emita. Como para Diodoro la verdad del

condicional sólo se da si constituye una implicación material siempre verdadera,

podemos llamarlo implicación material permanente. Hubo incluso quienes pensaban

que sólo tiene sentido considerar a un condicional verdadero cuando se da algún

tipo de relación entre el contenido del antecedente y el del consecuente, de modo

que no sea posible que siendo el antecedente verdadero el consecuente sea falso.

Esto es lo que en este siglo C.I. Lewis ha denominado implicación estricta. Este es el

tipo de implicación que se da para Aristóteles entre las premisas y la conclusión de

un razonamiento, de modo que el que las premisas de un razonamiento sean falsas

no basta para justificar la validez del razonamiento, sino que es menester que si las

premisas fueran verdaderas, la conclusión necesariamente lo sería. En suma, sólo

en la implicación estricta el consecuente es deducible del antecedente.

 

5.4.8. La Escuela Megárica

    La escuela megárica fue fundada por Euclides (no el geómetra), un seguidor de

Sócrates. Entre sus discípulos se encuentra Epimónides, a quien se ha adscrito la

antinomia o paradoja del mentiroso. También hay que mencionar a Zenón de Citio

(fundador del estoicismo) y a sus sucesores Cleantes y Crisipo.

    Crisipo, junto con Aristóteles, fue el lógico más productivo de la antigüedad.

Presenta la lógica en forma de reglas y no en forma de leyes como Aristóteles.

Sobre la interdefinición de conectivas, podemos decir que gran atención le

dedicaron estoicos y megáricos al sentido de las conectivas «si...entonces», «y»,

«o».

    Se advirtió que si nos atenemos a los sentidos correspondientes a la teoría de

funciones de verdad, la conectiva «si...entonces» puede ser definida en términos de

«no» y de «y», que «o» puede ser definida en términos de «si...entonces» y de

«no». De hecho Crisipo recomendaba que, a efectos de claridad, el condicional

material se expusiese como una conjunción negada.

    Un argumento, según los estoicos, “es”, un sistema compuesto de unas premisas

y una conclusión. El ejemplo típico era una instancia de Modus Ponens:

    1.   Aquél que presenta una proposición condicional seguida de la condición. «si

es de día, hay luz; ahora bien, es de día, luego hay luz».

    Nótese que corresponde al modo Ponendo pones, pero corresponde más aún

cuando comprobamos que los estoicos utilizaban variables de enunciado, no con

letras minúsculas, como normalmente se hace en la lógica simbólica, sino con

números, y así pudieron presentar este primer esquema de inferencia de la

siguiente forma:

    Si lo primero, entonces lo segundo, es así que lo primero, luego lo segundo.

    Nótese también que aquí «lo primero» y lo «segundo» son auténticas variables

de enunciado y realizan la misma función que las letras p y q.

    2.   Aquél que presenta la proposición condicional y o contrario de su conclusión:

    Si lo primero, entonces lo segundo, no es así que lo segundo, luego no lo primero.

    3.   Aquél que presenta la negación de una conjunción y uno de los miembros de

esa conjunción:

    No a lo primero y lo segundo, es así que lo primero, luego no lo segundo.

    4.   Aquél que presenta una disyunción (exclusiva en su caso) y la afirmación de

uno de los miembros:

    O lo primero o lo segundo, es así que lo primero, luego no lo segundo.

    5.   Aquél que presenta una disyunción (Inclusiva en este caso) y la negación de

uno de sus miembros:

    Lo primero o lo segundo, no es así que lo primero luego lo segundo.

    Estos tipos de inferencia son los que actualmente conocemos y utilizamos en la

lógica simbólica. Bochenski, en su Historia de la lógica formal, no es partidario de

hablar de una lógica estoica sin más, pues defiende la tesis de que los estoicos lo

único que hicieron fue propagar la lógica megárica en numerosos y excelentes

manuales. Por eso es partidario de hablar da una lógica megárico-estoica,

insistiendo hay que denominar megárica a las ideas fundamentales y estoica a la

elaboración técnica.

    El propio Bochenski reconoce que si fue Peirce el primero en observar que la

lógica estoica es una lógica sentencial, fue mérito imperecedero de Lukasiewicz

haber ofrecido su interpretación correcta.

    «...Con megáricos y estoicos surgió una lógica sentencial, la segunda gran

creación de los griegos en el terreno de la lógica, justamente lo que faltaba casi por

completo en la lógica aristotélica. Al mismo tiempo llevaron la consideración formal

hasta una concepción formalista de la lógica, apoyados en una sintaxis y en una

semántica pormenorizada. Esta lógica, incomprendida durante siglos, merece

también que se la reconozca como grandiosa creación en el orden del espíritu».

 

5.5.     LA LÓGICA MEDIEVAL

 

5.5.1. Introducción a la Lógica Medieval

    La lógica medieval, –entendiendo por tal la que se desarrolla en el occidente

cristiano durante la Edad Media, del s. XI al XV-, es heredera de la lógica griega y,

en especial, de la silogística aristotélica. A.N. Prior destaca cuatro aportaciones

nuevas y fundamentales de la Escolástica: (1) una teoría general de la referencia

(suppositio terminorum), (2) una teoría general de la implicación (consequentia), (3)

un desarrollo de la lógica de las modalidades, y (4) el tratamiento de paradojas y

problemas lógicos del lenguaje.

    El primer tratado medieval de lógica es la Dialéctica, de Alcuino, obra escrita en

forma de diálogo para ser utilizada en el trivium, base de la enseñanza elemental

medieval, que Alcuino restaura a iniciativa del emperador Carlomagno. Durante un

largo período de tiempo, la lógica queda relegada a estas nociones elementales de

las artes liberales. La aparición de los «dialécticos» del s. XI y las primeras

discusiones sobre la naturaleza de los universales renuevan el interés por la lógica y

su relación con la gramática.

    El primer lógico medieval importante es Pedro Abelardo. Sus obras de mayor

interés son la Dialéctica, en la que reelabora la herencia lógica dejada     por

Boecio, y Sic et Non, en la que introduce uno de los procedimientos más

característicos del estudio de las cuestiones en la Escolástica.

    A partir de la segunda mitad del s. XII, se conocen ya en occidente el resto de

obras lógicas de Aristóteles; la lógica basada en estas nuevas obras se conoció con

el nombre de ars nova, o «nueva lógica», la usada ya en las universidades del s.

XIII. La doble dirección en el estudio de la lógica que existió en éstas –por un lado,

el estudio más formal de la lógica desarrollado con cierta libertad e independencia

por las facultades de artes, basado en las primeras obras conocidas del Organon

aristotélico, más Analíticos primeros, Tópicos y Elencos sofísticos, y por otra, un

estudio de la lógica en consonancia con la metafísica aristotélica y Analíticos

segundos, llevado a cabo por las facultades de teología, más fieles al pensamiento

aristotélico- dio origen a la lógica antigua, de las facultades teológicas, y a la lógica

moderna, de las facultades de artes.

    El autor más representativo de esta lógica moderna es Pedro Hispano; sus obras

de lógica, Summulae Logicales, fueron los manuales usuales durante los siglos XIV y

XV, con más de 150 ediciones. A finales del s. XIII, la lógica moderna se instala en

Oxford, donde consigue sus momentos más álgidos con Roberto Kilwarby, Juan

Duns Escoto (aunque los tratados lógicos se atribuyen a un Pseudo-Escoto) y, sobre

todo, Guillermo de Occam. La doctrina sobre las consecuencias, desarrollada de un

modo especial durante esta época, representa una de las influencias de la lógica

estoica sobre la medieval. «Consecuencia» es, para los medievales, un condicional

o un argumento con la partícula «ergo» uniendo enunciados. Se discute

intensamente cuáles son las condiciones de verdad tanto de los condicionales como

de estos argumentos y se escriben al respecto tratados titulados De Consequentiis.

Tales tratados, aunque no eran independientes de la lógica aristotélica, recogen

algunas de las leyes fundamentales de la lógica de enunciados. Se añade la teoría

de la suppositio, o de la significación de un mismo término según el lugar que ocupa

en un enunciado. Estas teorías guardan relación con la teoría moderna de la

cuantificación.

 

5.5.2. Aportaciones de los medievales a la lógica

    Los autores medievales conocieron más a los autores postaristotélicos que al

propio Aristóteles. Alguno de éstos es bastante importante, como Galeno y Porfirio

(cuya Isagoge suscitó en la edad media el problema de los universales a Alejandro

de Afrodisia).

    La mayor parte de sus contribuciones fueron examinadas por Boecio. Los

comentarios de éste a Porfirio, a las Categorías, a los Analíticos y Tópicos de

Aristóteles, sus libros sobre la definición y la división, sus tratados sobre los

silogismos categóricos e hipotéticos, constituyeron la base para la mayor parte de

los estudios de lógica en la Edad Media, y su influencia persistió, inclusive, después

del siglo XIII, en que se conoció por entero en Occidente el Organon. Pero, desde

Boecio  hasta el siglo XII, la actividad en la lógica no fue sobresaliente. En cambio, a

partir del siglo XIV hubo un nuevo florecimiento de la lógica.

    A partir de Abelardo se manifestaron signos de creciente interés por esta

disciplina, pero el grueso del trabajo lógico en la Edad Media se inició sólo desde

Alberto el Magno, prosiguiendo, a través de Santo Tomás de Aquino y otros

filósofos, hasta quienes con más empeño cultivaron los estudios lógicos: Pedro

Hispano, Guillermo de Occam, J. Duns Escoto, Alberto de Sajonia y Juan Buridán.

    El inventario de las contribuciones de la Edad Media a la lógica está todavía en

formación, pero ahora, a través de las investigaciones de autores como A. Cromvie,

J. Lukasiewicz, I.M. Bochenski se está avanzando mucho en este terreno.

    Los trabajos más importantes son los de Pedro Hispano, que presentó sistemas

de lógica muy completos y con un elevado grado de formalismo.

    Estos autores mezclaron los trabajos lógicos con las especulaciones de índole

metafísica y ontológica. A ello deben unirse los numerosos estudios de filosofía del

lenguaje, especialmente a través de la gramática especulativa.

    En la Edad Media, el uso de la disputatio como ejercicio escolar produjo un

desarrollo del arte de discutir, es decir, de la dialéctica propiamente dicha, y un

estudio más intenso de la sofística; de ahí se derivaron análisis más detallados

sobre las relaciones entre proposiciones y sobre el sentido de los términos. Por eso

los lógicos componen tratados que dan las reglas a seguir en las disputationes, pero

cuyo sentido en la historia de la lógica es sin duda más importante.

    Junto a los tratados sobre las disputationes, se encuentran los tratados “sobre las

controversias”, que estudian las inferencias entre proposiciones simples y

compuestas y los sophismata. Un sophisma no es un sofisma, o por lo menos no lo

es necesariamente (como la fallacia); es una proposición que contiene alguna

dificultad, debido a una falta o a una ambigüedad de construcción, o a cualquier

otra razón; esa proposición es estudiada por sí misma, y en la práctica escolar sirve

de ocasión, en muchos casos, para que el maestro desarrolle un punto particular de

la disciplina que enseña. Casos particulares de sophismatason: los “insolubles”, o

proposiciones que, tomadas al pie de la letra, se contradicen (como “yo digo

mentira”); los “imposibles”, en los que la contradicción no se solventa por una

simple distinción lógica, como ocurre en el caso de los “insolubles”.

    Además de la teoría de las consecuencias, los lógicos se ocuparon también de los

términos y de sus relaciones en la proposición. Enumeraron y analizaron palabras

tales como cada, todo, y, o, no...; su característica común es que no significan por sí

mismas, sino que tienen que unirse a términos dotados de una significación propia

o “categorema”; de ahí proviene su nombre, que es “sincategoremas”.

    Otro concepto importante es el de “suposición”; se llama así a la acepción en que

es tomado un nombre. Por ejemplo, en la frase “el hombre es animal”, la palabra

hombre “supone por” una especie; en el “hombre corre”, por un individuo; en el

“hombre es sustantivo”, por una palabra. Con la suposición hay que relacionar la

“copulación”, que afecta del mismo modo al predicado. Queda aún la

“amplificación”, caso en que un nombre es empleado para designar no sólo los

objetos presentes, sino también los pasados, futuros y posibles: esto afecta

necesariamente al sentido de la proposición en que se encuentra.

    Lo que los lógicos medievales pretendían, en realidad, era estudiar el único

instrumento de razonamiento de que se disponía: la lengua latina. Los lógicos

construyeron un álgebra del lenguaje y se esforzaron mucho por disipar sus

ambigüedades y extraer las reglas de su uso exacto.

    Muy común es, entre los escolásticos, distinguir entre una lógica menor o lógica

formal y una lógica mayor o lógica material. Esta última suele abarcar sobre todo

tratados neoescolásticos, que han adoptado esta división para muchas cuestiones

de carácter metodológico y critico y para algunos problemas metafísicos y

ontológicos.

 

5.5.3. Boecio y el “cuadrado lógico de la oposición” de las proposiciones

categóricas

    En De philosophia rationali Apuleyo se interesa por las relaciones entre las cuatro

proposiciones clásicas, que se dividen en universales, particulares, singulares e

indefinidas. Una proposición es universal cuando el predicado es atribuido o negado

con respecto a todos los entes abarcados por el sujeto: “todos los hombres (o:

ningún hombre) son filósofos”. Tenemos una proposición singular cuando el

predicado se afirma o se niega de un solo individuo: “Juan es filósofo”. Una

proposición particular es aquella en la que el predicado se atribuye o se niega sólo

de algunos de los entes abarcados por el sujeto: “algunos hombres son filósofos”.

En la proposición indefinida el predicado se atribuye o se niega de un sujeto, pero

sin precisas a cuántos individuos se hace referencia: “el tren corre”. Apuleyo, al

tratar y analizar todas estas proposiciones, afirma que es conveniente presentarlas

en quadrata formula, y las dispone de esta manera. En su cuadro aparecen las

contradictorias (alterutrae), las contrarias (incongruae) y las subcontrarias

(suppares). Faltan las subalternas.

 

    Boecio vuelve a tomar el cuadrado lógico de Apuleyo, pero lo completa con la

subalternación. Habla de proposiciones contradictoriae, contrariae, subcontrariae y

subalternae. Introduce asimismo términos como “sujeto”, “predicado” y

“contingente”.

    Más tarde los medievales indicarán mediante letras las cuatro proposiciones

clásicas (véase Pedro Hispano). Colocando de manera oportuna las formas normales

de las proposiciones categóricas, se obtiene el clásico cuadrado de la oposición. En

él, A y E son una verdadera y la otra falsa, no pueden ser ambas verdaderas, pero

pueden ser ambas falsas; A, O y E, I siempre son una verdadera y otra falsa, y no

pueden ser ambas verdaderas ni ambas falsas; I y O resultan implicadas,

respectivamente, por A yE.

 

    Este cuadrado no fue concebido como un juego elegante, sino que se consideró

que las relaciones lógicas ilustradas mediante el presente diagrama proporcionaban

una base lógica que garantizaba la validez de ciertas formas elementales de

razonamiento. Éstas eran las que concernían a las inferencias inmediatas, esto es,

aquellas inferencias en las que la conclusión surge inmediatamente de la premisa,

sin mediación de una segunda premisa. Así, un silogismo es una inferencia mediata,

mientras que la inferencia: “todos los hombres son justos y, por eso, algún hombre

es justo” es inmediata. El cuadrado tradicional nos ofrece la base lógica para un

número considerable de inferencias inmediatas de este tipo, que pueden

enumerarse así:

Si A es verdadera: E es falsa, I es verdadera, O es falsa Si E es verdadera: A es falsa, I es falsa, O es verdadera

Si I es verdadera: E es falsa, A y O son indeterminadas

Si O es verdadera: A es falsa, E e I son indeterminadas

Si A es falsa: O es verdadera, E e I son indeterminadas

Si E es falsa: I es verdadera, A y O son indeterminadas

Si I es falsa: A es falsa, E es verdadera, O es verdadera

Si O es falsa: A es verdadera, E es falsa, I es verdadera

    Otros tipos de inferencias son aquellos que se obtienen por conversión, por

obversión y por contraposición. La conversión se realiza mediante el intercambio de

las respectivas proposiciones de los términos del sujeto y del predicado de una

proposición. En este caso, se trata de la conversio simplex y se aplica a E y a I; O no

tiene proposición conversa, y A la tiene per accidens: además de cambiar la

posición de los términos, es preciso cambiar también la cantidad de la proposición,

de universal a particular. Por ejemplo: la conversa de “todos los perros son

animales” es “algunos animales no son perros”. Se produce obversión cuando el

término-sujeto permanece incambiado, y también permanece incambiada la

cantidad de la proposición que se desea obvertir, pero se cambia la cualidad,

sustituyendo el término-predicado por su complemento.

    La obversión se aplica a los cuatro tipos de proposiciones categóricas. Estamos

ante una contraposición cuando en una proposición categórica se sustituye su

término-sujeto por el complemento de su término predicado y, al mismo tiempo, su

término-predicado se sustituye por el complemento de su término-sujeto. La

contraposición se aplica a A y a O; I no tiene proposición contrapuesta, y E sólo la

tiene per accidens. Pueden resumirse así estos tipos de inferencias inmediatas:

 

CONVERSIÓN

Convertenda

A: Todo S es P

E: Ningún S es P

I: Algún S es P

O: Algún S no es P

  Conversa

Algún P es S (per accidens)

E: Ningún P es S

I: Algún P es S

No existe conversa

OBVERSIÓN

Obvertencia

A: Todo S es P

E: Ningún S es P

I: Algún S es P

O: Algún S no es P

  Obversa

E: Ningún S es no-P

A: Todo S es no-P

O: Algún S no es no-P

I: Algún S es no-p

CONTRAPOSICIÓN

Premisa

A: Todo S es P

E: Ningún S es P

 

I: Algún S es P

O: Algún S no es P

  Contrapuesta

A: Todo no-P es no-S

O: Algún no-P no es no-S

(por limitación)

No existe contrapuesta

O: Algún no-P no es no-S

 

    Para Boecio las proposiciones hipotéticas son más generales que las categóricas:

es posible expresar una proposición categórica a través de una proposición

hipotética, pero no es posible llevar a cabo la operación inversa. Distingue entre dos

tipos de proposiciones hipotéticas: el primer tipo se da cuando el consecuente está

vinculado al antecedente de una manera accidental; en el segundo tipo, el

consecuente es una consecuencia natural del antecedente. Por ejemplo, al decir “si

el fuego es cálido, el cielo es redondo”, no pretendemos afirmar que el cielo es

redondo porque el fuego sea cálido, sino sencillamente que al mismo tiempo que el

fuego es cálido, el cielo es redondo.

 

5.5.4. Pedro Hispano

    En las Summulae logicales aparecen por primera vez las vocales, palabras y

versos mnemotécnicos que luego se emplearon corrientemente en la enseñanza de

la lógica. Así, por ejemplo, se indica con la A la proposición universal afirmativa, con

la E la universal negativa, con la I la particular afirmativa y con la O la particular

negativa, con arreglo a los siguientes versos:

A adfirmat, negat E, sed universaliter ambae,

I firmat, negat O, sed particulariter ambae.

    Para indicar las figuras y los modos del silogismo emplea las palabras

mnemónicas Barbara, Celarent, Darii, Ferio, etc., cuyas vocales indican la cantidad

y la cualidad de las proposiciones que constituyen las premisas y conclusiones del

silogismo.

    En el libro 7 de esta obra incluye la lógica terminalista. Las propiedades de los

términos son la suposición, la ampliación, la restricción, la apelación, la distribución.

Pero la más importante de todas ellas es la suposición. La suposición se distingue

de la significación en que, a diferencia de ésta, es propia no del término aislado sino

del término en cuanto se repite en las proposiciones y constituye su dimensión

semántica.

    La suposición y la significación difieren en que la significación es la imposición de

una voz a la cosa significada mientras que la suposición es la acepción del mismo

término ya significante para cualquier otra cosa; por ejemplo, cuando se dice “el

hombre corre” este término “hombre” alude a Sócrates, a Platón, o cualquier otro.

La significación es antes que la suposición, pero no son idénticas ya que el significar

es propio de la voz y el suponer lo es del término ya compuesto de voz y

significación .

    Distingue entre suposición simple y suposición personal. Existe suposición simple

cuando el término común se emplea para la cosa universal que el mismo

representa, como cuando se dice “el hombre es una especie”: en cuya proposición

el término “hombre” está en lugar del hombre en general y no por un individuo

humano determinado. En cambio, hay suposición personal cuando el término

común está en lugar de los individuos comprendidos por el mismo, como en la

proposición “el hombre corre”, donde el término hombre está en lugar de los

individuos humanos, o sea, en lugar de Sócrates, de Platón y de otros.

 

5.5.5. El Ars Magna de Raimundo Lulio

    Entre los lógicos medievales destaca Ramón Llull. Llull piensa que el ser de las

criaturas es como una imitación de Dios, y la naturaleza es como un libro en el que

pueden leerse los designios de la divinidad. Pero para captar el orden divino deben

establecerse unos principios generales. Dichos principios generales –que son los

que estaban en la base de su Ars–, eran elementos simples a los que se reducen

todas las proposiciones y, debidamente combinados, debían hacer posible una

presentación unitaria, rigurosa y encadenada de todo el saber.

     El Ars Magna es una grandiosa realización filosófica y que ha dado lugar al

llamado lulismo´. Este método lógico ha ejercido un influjo grande en Cusa, Bruno,

Descartes, Leibniz y la lógica moderna. Lulio pretendía proporcionar a la

apologética católica una técnica rigurosamente racional que permita, con la ayuda

del silogismo, convencer a los infieles, demostrando las verdades del cristianismo.

Se percibe aquí la influencia formal del Organon de Aristóteles, que fue

sistematizada por Pedro Hispano.

    Obsesionado por la idea de unidad, Lulio quiso reducir todos los conocimientos a

un pequeño número de principios, a fin de expresar todas las relaciones posibles de

los conceptos, mediante las combinaciones múltiples, traducida en figuras tipos.

Así, ingeniosos procedimientos mnemotécnicos -rimados- harán posible, cree Lulio,

a todos los hombres los conceptos más abstractos. La técnica consiste en formar

silogismos impecables, cuya combinación se encamina a la edificación de la ciencia.

Las dos operaciones esenciales son:

    a)   Dado un sujeto, encontrar todos los predicados posibles. Lulio representa

cada término (sujeto o predicado) con una letra del alfabeto.

    b)   Combina después estas letras por dos, tres, cuatro, etc., de todas las

maneras posibles, estableciendo de este modo las relaciones necesarias entre los

términos de un juicio o entre los de diversos juicios.

    Encuentra siete figuras, designadas con las letras A (que representa a Dios y los

atributos divinos), S (el alma racional y sus potencias), T (los principios y los

significados), V (las virtudes y los vicios), X (los opuestos o la predestinación), Y (la

verdad) y Z (la falsedad).

    Cada grupo lógico de estas letras se denomina una “cámara”; se trata de “hacer

cámaras” correcta y fecundamente. Conforme a reglas formales e inalterables, el

lógico, situado ante los términos de una cuestión cualquiera que sea, encontrará

indefectiblemente, con la ayuda de las razones necesarias, la solución adecuada.

Lulio enumera, de este modo, en un cuadro enorme de nueve columnas,

simbolizadas por las letras de la B a la K, nueve predicados absolutos, que son los

atributos divinos, correspondiendo a cada uno un adjetivo, una virtud, un vicio, etc,

opuesto a estos atributos. Esas letras se articulan en esquemas triangulares o

circulares (cuatro figuras), fijos o móviles, de forma que la mera colocación inicial o

deducida nos dará como resultado una definición estricta. Haciendo girar los

círculos concéntricos darán como resultado 84 combinaciones ternarias, y cada

columna se compone a su vez de 20 cámaras o combinaciones, lo que arroja para la

tabla un conjunto de 1680 cámaras.

    La lógica en la que se basaba era, fundamentalmente, la silogística de

Aristóteles, que supone unos principios ciertos (que incluso los infieles han de

aceptar), y consideraba que había la posibilidad de encontrar todos los términos

medios posibles que unan cualquier sujeto con el predicado que le conviene. De

esta manera, se podrían enumerar todos los predicados posibles de un sujeto y

determinar de acuerdo con las reglas lógicas, cuáles le pertenecían. Pensaba que

así incluso se podría demostrar lógicamente el misterio de la Trinidad. De esta

manera, aunque basándose en la lógica demostrativa de Aristóteles, Ramón Llull la

concebía como una lógica capaz de ser inventiva, que no se limita a resolver las

verdades conocidas, sino que es capaz de descubrir las nuevas. Además de este

cálculo general, que influyó decisivamente en Leibniz (y que, por intermedio de

éste, se puede considerar un precedente de la lógica moderna), Llull defendió

también una metafísica ejemplarista y un realismo neoplatónico, muy influido por el

agustinismo que imperaba entre los franciscanos a los que Llull estaba próximo.

    No obstante, en Llull se trata de poco más que de una idea visionaria. Fue

Descartes quien concibió la idea de un lenguaje general como una suerte de

aritmética, como parte del método de una filosofía verdadera, si bien se cuidó de

tratar él mismo de constituir tal lenguaje y lo planteó como un proyecto para la

posteridad.

 

5.5.6. La lógica de Occam

    La lógica de Occam ha adquirido en nuestro tiempo una relevancia singular, por

su incidencia de temas con la lógica contemporánea, pero con frecuencia no han

advertido los historiadores la importancia de la lógica de Occam (y la de sus

seguidores) en la formación de la ciencia moderna. De su lógica destacamos los

aspectos más interesantes. El nominalismo o terminismo condujo a excesos

extravagantes. Se concedió mucha importancia a la significación de los términos,

sin hacer caso de la materia a la que designaban, y las palabras por sí solas

constituyen el objeto de discusiones académicas. El occamismo tuvo que sc portar a

lo largo del siglo XIV diversas condenas por la defensa de proposiciones más o

menos heréticas. Pero el desprecio con el que es mirada a partir del siglo XV, y

descalificada ya con el apelativo de “escolástica”, se debe a la inmoderada atención

a las palabras, al uso de las mismas, a la formación de neologismos sin referente

concreto (contraviniendo la propia “navaja de Occam”). Esto explica el desprecio

que algunos renacentistas sentían hacia el occamismo (como Erasmo, Luis Vives,

etc.).

    El nominalismo tendía a considerar corno ciertas las proposiciones analíticas, es

decir, la verdad de una proposición se alcanza al advertir que el enunciado opuesto

es contradictorio. Pero este tipo de verdad no puede aplicarse a los enunciados

experimentales. Por tanto, los conocimientos físicos y cosmológicos, por ejemplo,

no pasan de ser probables. Y la probabilidad de una proposición sugiere que

también podemos formular otra u otras proposiciones distintas (exceptuando las

verdades de la fe revelada), con las que también se podría buscar explicar el mismo

fenómeno. El camino para buscar nuevas hipótesis quedaba completamente

abierto.

    En el siglo XIV la metodología académica no había superado el método “sic et

non” de Pedro Abelardo, la llamada “quaestio” . Esto condujo frecuentemente a una

espiral infantil de búsqueda estéril de sutilezas, buscándose la defensa de los

argumentos más disparatados (v.g. el sexo de los ángeles) con el fin de sobresalir.

Pero si esta deformación del método condujo a una palabrería inútil y sin sentido,

también posibilitó el probabilismo, en cuanto los argumentos acumulados en favor

de una proposición, falsa por el momento, son tantos y tan razonables que inclinan

en su favor la inteligencia. O en todo caso, la aceptación de que hay tantas pruebas

a favor como en contra, reforzando ese probabilismo. Así sucede con los

argumentos en pro o en contra del movimiento de la Tierra, como vemos en

Oresmes.

    La apertura intelectual propiciada por Occam y el nominalismo, transporta

muchos elementos sobre los que se construirá la ciencia moderna.

 

5.5.7. Los “calculatores” de la Escuela de Oxford

    Bajo el influjo de Occam, en la llamada Escuela de Oxford se presentan unos

rasgos peculiares que sirven para caracterizarla, además de su hincapié en las

formulaciones algebraicas. Estos rasgos están constituidos por la exagerada

importancia sobre la intensio et remissio qualitatum seu formarum. Ambos aspectos

tienen su proyección también en la Escuela de París.

    Los sophismata, al igual que los insolubilia, y otras colecciones semejantes

constituían series de proposiciones falsas o de razonamientos capciosos en los que

se debía descubrir fallos de deducción, los falsos presupuestos o principios

utilizados, etc. Constituían una especie de libros de problemas lógicos. Si bien estos

ejercicios indican la alta estima otorgada a la lógica, el prestigio en el ámbito

escolar de quienes dominaban las sutilezas de este método conduce a una

palabrería vacía. Cuando se han rebatido todas las proposiciones en contra, se cree

que se ha demostrado una afirmación, no cuando se ha examinado el hecho o el

concepto mismo.

    El uso de la aritmética y de una incipiente álgebra conlleva también un

significado ambivalente. Por una parte, como hemos visto en el caso de

Bradwardine, conduce a la concepción de escalas numerables en las que se

establece la relación entre diversas variables. También a la introducción de

conceptos y términos de posterior relevancia en la formación de la ciencia

moderna, como formae uniformes, formae uniformiter difformes, etc.

 

5.6.     LA LÓGICA MODERNA

 

5.6.1. La lógica de la Edad Moderna: introducción

    La época moderna se suele considerar como un período particularmente

decadente hasta la aparición de Boole. Aunque para otros autores, esta opinión es

excesiva.

    Ni Descartes, ni los otros grandes filósofos modernos (con la excepción de

Leibniz) se distinguieron como lógicos formales su contribución a la historia de esta

disciplina no es completamente nula, cuando menos de una forma indirecta en el

terreno metodológico en Descartes y en la esfera de la semiótica en Hobbes. Lo que

sucedió es que muchos filósofos de dicha época se interesaron menos por la lógica

formal que por el estudio de los métodos de la ciencia natural.

    La crítica en cuestión puede, pues, aplicarse mejor al Renacimiento que a la

época moderna propiamente dicha. Los autores renacentistas, en efecto, con sólo

algunas excepciones, como la de Pedro Ramus, se limitaron a criticar el uso y abuso

de la silogística y de las sutilezas semióticas en los autores escolásticos,

confundiendo con frecuencia dentro de un sólo grupo a los lógicos y semióticos

verdaderamente creadores y rigurosos, y aquellos que no hicieron sino introducir

inútiles o falsos razonamientos.

    Podemos mencionar también la Lógica de Port Royal, inspirada en el

cartesianismo, que hizo intentos para desarrollar la lógica como un cálculo.

    Pero la figura capital de la edad moderna es sin duda Leibniz, que durante un

tiempo fue considerado como el “fundador de la logística”. Pero otros nombres

deben añadirse al suyo: Jacobo y Juan Bernoulli, J. H. Lambert. Todos ellos

estuvieron dominados por el deseo en el que había abundado ya LlulI, tan apreciado

por Leibniz a causa de su Ars Magna, de constituir una característica universalis y

un calculus ratiocinator que les sirviera de instrumento.

    Debemos advertir que las ideas formuladas al respecto no eran siempre muy

claras; a veces se trataba de una ciencia universal análoga a una metodología

universal; en ocasiones se insistía más bien en una pasigrafía, gramática artificial,

álgebra general del lenguaje. Estas últimas tendencias, que se extendieron

especialmente durante los siglos XVII y XVIII, han sido consideradas por algunos

como una continuación de la gramática especulativa.

    Observemos que en lo tocante a la semiótica, la época moderna contiene

posiblemente elementos más ricos de lo que se ha venido sospechando; aparte de

los intentos mencionados, los trabajos al respecto de autores como Locke, sobre

todo Condillac (y su escuela) merecen una investigación cuidadosa.

    Común a Leibniz y a los autores citados inmediatamente después del mismo, es

el haber basado sus cálculos lógicos en la intención. Los cálculos en cuestión son,

pues, casi siempre cálculos de conceptos. Los trabajos lógicos de los autores

citados no se limitan empero a ello. Leibniz, en particular, tocó muchos de los

puntos desarrollados por la posterior lógica simbólica, por ejemplo, el enlace del

álgebra con los números, pero su fragmentarismo y en parte sus finalidades

filosóficas generales le impidieron llevar a cabo una labor completa en ninguna de

las muchas vías iniciadas.

    Por lo demás, la idea de la formalización leibniziana de la lógica estaba

estrechamente vinculada a la idea de que los principios lógicos son “invariantes

para todos los mundos posibles”. De ahí que las proposiciones lógicas

fundamentales para Leibniz sean a la vez proposiciones ontológicas.

    Otro caso muy distinto es Kant. Hay dos características con respecto a su

posición frente a la lógica. Tiene una clara visión de la lógica formal y a la vez una

actitud poco inteligente de la historia de la lógica. Para Kant, la lógica no es un

Organon, sino un Canon, criterio y procedimiento para detectar falacias, criterio

purificador. La distingue de lo que él llama la lógica trascendental, un estudio de las

implicaciones filosóficas de la lógica formal.

    Lo que resulta paradójico es que para Kant, la lógica salió de Aristóteles, y es una

lógica entera, conclusa y perfecta. Este error de Kant además es doble, puesto que

lo que consideró lógica de Aristóteles es una lógica empobrecida, la de los

manuales escolásticos de la Baja Edad Media.

 

5.6.2. El preludio de la lógica matemática: Leibniz y su proyecto de

“Scientia Universalis”

 

a) La lógica de Leibniz

    Para Leibniz el saber conceptual se reducirá en último término a descubrir todas

las combinaciones posibles de los primeros elementos primitivos y sus conexiones

en este reino de las verdades esenciales. Ya a sus veinte años había escrito sobre

un género de arte combinatoria, que tendría por cometido “hallar una especie de

alfabeto de los conocimientos humanos, que permitiera, mediante la combinación

de sus letras y el análisis de las palabras compuestas de aquéllas, descubrir y

juzgar todo lo demás”.

    Leibniz era un gran admirador de la silogística aristotélica, aunque no creía que

todos los argumentos pudiesen ponerse en forma de silogismo; por ejemplo, los

argumentos por inversión de la relación, como “Tito es más alto que Cayo. Por

tanto, Cayo es más bajo que Tito”. Sin embargo, no llegó a crear una lógica de

relaciones debido a que pensaba que éstas podían reducirse a conjunciones o

concatenaciones de predicados monádicos. Sostuvo también que las figuras de los

silogismos no son tres, sino cuatro, obteniéndose entonces veinticuatro, y no

catorce, formas de silogismo válidos.

    Leibniz se entregó al estudio de la lógica desde joven. A los dieciocho años ya

concibió el proyecto de Alphabetum cogitatiunun humanarum, que expuso en su

obrita De Arte combinatoria; aunque después siguió otro camino, no desdeñó nunca

este proyecto. Se trata de aplicar el método matemático a la ciencia en general,

aspirando a construir una ciencia a priori independientemente de la experiencia.

Consistiría en un catálogo reducido de nociones fundamentales, simples y

evidentes, expresadas por símbolos, de las cuales, combinándolas entre sí, podrían

deducirse todas las demás ideas y todas las ciencias. La lógica sería, pues, una

especie de álgebra del pensamiento, un arte de invención y de combinación, cuya

función consistiría en lograr un “catalogus eorum quae per se concipiuntur; et cuius

combinatione caeterea ideae nostrae exurgunt”.

    Su fundamento sería el siguiente:

    1.   Todos los conceptos son simples o compuestos, y éstos pueden

descomponerse en conceptos simples (idea precursora del “atomismo lógico” de

Russell).

    2.   El número de conceptos simples es muy reducido.

    3.   Los conceptos simples pueden representarse con un símbolo, o con una

palabra, de lo cual resultaría el Alphabetum cogitationum humanarum.

    4.   Una vez obtenidos los conceptos simples, por análisis o descomposición de

los compuestos, comprobada su verdad, pueden obtenerse nuevos conceptos

compuestos, combinándolos según las reglas de la aritmética.

    5.   Este procedimiento permitiría la unificación de todas las ramas del saber en

una ciencia universal.

 

b) El proyecto de una characteristica universalis

    En De arte combinatoria pensó en la creación de una característica universalis o

lenguaje simbólico universal que fuese un instrumento de cálculo del pensamiento.

Su ideal era que las disputas y diferencias de opinión se pudiesen resolver mediante

el cálculo. De acuerdo con eso, los disputantes se sentarían, tomarían sus plumas y

dirían: “Calculemus”. Quería además crear una lógica del descubrimiento o lógica

inventiva.

    La “característica universal” (characteristica universalis) es una expresión con la

que Leibniz se refiere a un lenguaje universal, basado sobre todo en el simbolismo y

reglas combinatorias, que representaría el “verdadero alfabeto del pensamiento

humano”-basado en las ideas innatas-, y con el que sería factible razonar y mostrar

todas las posibles relaciones de los conceptos entre sí. La utilidad de este lenguaje,

además de su universalidad, radicaría en la posibilidad de eliminar las controversias

en ciencia, filosofía y religión, pues “razonar no sería más que calcular” . El

proyecto de su Enciclopedia no era más que un medio para realizar el Alphabetum

cogitationum humanarum, esto es, para llegar a un conjunto reducido de símbolos

representativos de unas cuantas ideas simples, a base de las cuales pudieran

reconstruirse todas las ciencias mediante el “arte combinatoria”. Los signos

deberían representar los objetos, a la manera de jeroglíficos egipcios, y serían muy

sencillos y rápidos de aprender; también se parecen a los signos de los

“alquimistas”. El modelo debería ser el álgebra, ya que permite realizar todas las

operaciones con un número reducido de símbolos. Leibniz proyectaba aplicarla a

todas las ciencias, con lo que esperaba conseguir que todas tuvieran el mismo rigor

deductivo y el mismo grado de certeza que las matemáticas, excluyendo finalmente

todo error en virtud de un método deductivo riguroso.

    Para conseguir esto era necesario un método o una lógica que Leibniz divide en

dos ramas:

    1.   Lógica demostrationis: o “método de la certeza”, consistente en los Elementa

veritatis aeternae, y que serviría para comprobar las verdades descubiertas hasta

llegar a la certeza de su verdad.

    2.   Logica inventionis: su objeto es facilitar la investigación y realizar nuevos

descubrimientos con un método deductivo seguro, riguroso y sistemático

c) La lógica como philosophia perennis

    Con los procedimientos descritos se llegaría a convertir todas las ciencias en

ramas de la Matemática, y esa matemática “universal” sería la Philosophia

perennis. Leibniz esperaba los mayores resultados de la aplicación de su método.

La verdad se descubriría con facilidad y de modo infalible; con ello desaparecerían

los avances y retrocesos del conocimiento, así como las disputas entre los filósofos

y las escuelas. Las ciencias progresarían, se lograría la paz religiosa entre las

distintas iglesias, y en todo el inundo se iniciaría una era de paz, felicidad y

bienestar. Pero sus proyectos fracasaron. En primer lugar, porque para llegar a la

Characteristica era necesario previamente realizar la Enciclopaedia, y ésta no pudo

llevarse a cabo por no haber conseguido la colaboración necesaria. Y además,

porque tanto una como otra dependían de la posesión de la verdadera filosofía; y a

esta “verdadera filosofía” perenne, Leibniz no llegó, según su parecer, hasta 1685

(pues un año antes descubrió el “cálculo infinitesimal”).

 

d) Cálculos y desarrollos lógicos

    Leibniz ensayó varios cálculos lógicos: 1) trató de simbolizar los conceptos

mediante números enteros, “aritmetizando” la lógica, 2) utilizó letras en lugar de

números, 3) elaboró un cálculo de la inclusión, o sea, una lógica intencional, y 4)

esbozó un cálculo con el concepto de sustracción (diferente del de negación) de las

comprensiones de los términos.

    De acuerdo con su tesis de que el concepto de predicado está incluido en el

concepto de sujeto, intentó elaborar una lógica en que lo importante fuese la

relación conceptual entre el predicado y el sujeto, independientemente de la

existencia o no existencia del objeto designado por el sujeto. «En las escuelas [i.e.,

en la escolástica] hablan de otra manera, no considerando las nociones, sino

ejemplos sujetos a nociones universales... En verdad, preferí considerar las

nociones universales o las ideas y sus compuestos, porque no dependen de la

existencia de los individuos». A la lógica basada en esta idea se le ha llamado lógica

intensional.

    En Algunas dificultades de la lógica, Leibniz propone dos lecturas de las

proposiciones categóricas. Son las siguientes:

 

Todo A es B AB = A A no B es no-ente

Algún A no es B AB ¹ A A no B es ente

Ningún A es B AB ¹ AB ente AB es no ente

Algún A es B AB = AB ente AB es ente

 

    En la versión de la segunda columna puede observarse que, dada la tesis de la

contención o inclusión del predicado en el sujeto, tanto A como el predicado B están

incluidos en el sujeto A, es decir, AB Ì A; pero también podemos ver que A Ì AB, y

esto se debe a que para Leibniz todo enunciado o proposición, tanto de razón como

de hecho, afirma en el fondo una identidad (o su negación). Si la identidad es una

verdad de razón, ésta se demuestra en un número finito de pasos; si es una verdad

de hecho, se necesita, para su demostración por parte de nosotros (no de Dios), un

“análisis infinito”, es decir, una aproximación continua e interminable a una

identidad que sólo es vista por la mente divina. La versión de la tercera columna

muestra que todas las oraciones de sujeto-predicado, unidas por la cópula

(llamadas oraciones de tercer adyacente) son equivalentes a oraciones en que el

sujeto es la unión del sujeto y predicado, del cual se predica la entidad o la no

entidad (oraciones de segundo adyacente).

 

5.6.3. La lógica de Port Royal

    El Centro del jansenismo fue el antiguo monasterio femenino Cisterciense de

Port-Royal, situado cerca de Versalles, que a comienzos de siglo había sido

reformado por una joven abadesa, Jaequeline Arnauld (llamada madre Angélica). En

las proximidades del monasterio se retira a vivir un grupo de laicos, impulsados por

el deseo de la perfección cristiana. Al principio, fue Saint Cyran quien actuó como

guía espiritual de este grupo de laicos, y a su muerte, le sucede Louis Le Maétre de

Saci.

    Además de la doctrina jansenista, la mayor aportación filosófica de Port-Royal fue

su lógica, la llamada Lógica de Port-Royal o arte de pensar. Se basa en la obra,

escrita por Antoine Arnauld (1612-1694) y Pierre Nicole (1625-1695), titulada La

lógica o arte de pensar, que apareció anónima. Este libro gozó de una enorme

fortuna. Durante dos siglos las “personas de bien” estudiaron la lógica en él,

especialmente -pero no de modo exclusivo- en Francia. Durante estos dos siglos se

realizaron más de cincuenta ediciones francesas, bastantes traducciones inglesas y

una docena de traducciones latinas.

    Como indica el título de la obra, la lógica no era una ciencia sino un arte: el arte

que enseña no a combinar palabras y fórmulas, sino a pensar correctamente.

    1.   Así, la lógica tiene que convertirse en un instrumento adecuado para servir a

las demás ciencias. Por consiguiente, en primer lugar, es inútil perder el tiempo -

como ocurre en la enseñanza de la lógica escolástica- con silogismos elaborados

mediante ejemplos artificiosos. Si la enseñanza quiere ser no sólo entretenida sino

también conseguir resultados válidos y útiles, debe basarse en ejemplos de

razonamientos que se utilicen de modo efectivo en los diversos ámbitos del saber,

la literatura y la vida.

    2.   En segundo lugar, la lógica escolástica se propone ofrecernos las reglas de

los razonamientos correctos, y su utilidad consiste, sin duda, en tales reglas. Sin

embargo, según Arnauld y Nicole, no debemos creer siquiera que tal utilidad vaya

muy lejos, ya que la mayor parte de los errores humanos no consiste en verse

engañados por consecuencias erróneas, sino en caer en juicios falsos, de los que se

extraen consecuencia erróneas. Los hombres, en suma, razonan en general de un

modo correcto, es decir, no se engañan al extraer determinadas consecuencias de

las premisas; lo que ocurre es que a menudo juzgan equivocadamente, es decir, no

saben establecer las premisas.

    3.   En resumen: no es cuestión de corrección, sino que es problema de la

verdad, por lo cual el arte de razonar (esto es, deducir consecuencias basándose en

premisas) debe estar precedido por el arte de pensar (el arte que enseñe a

establecer premisas válidas), por un arte que enseñe a juzgar adecuadamente.

    No se trata de que haya que rechazar las reglas escolásticas, sino de

encuadrarlas en realidad en un proyecto de tipo diferente: La aversión a todo lo que

amenace el estado de alerta del pensamiento, el continuo apelar a ideas claras y

distintas, a las luces naturales de la razón, al “sentido común”, muestran sin

ninguna duda que esta lógica es de espíritu cartesiano. El influjo de Descartes sobre

Arnauld y Nicole se combina con el que Pascal ejerce sobre éstos: las reglas de

Descartes y Pascal son reglas metodológicas.

    Mientras las tres primeras partes del citado libro versan respectivamente sobre

las ideas, los juicios y los razonamientos, la cuarta parte está dedicada al método:

la substancia de esta parte de la Lógica o arte de pensar fue extraída de las

Regulae y del Discurso del método de Descartes y del fragmento Sobre el espíritu

geométrico de Pascal. Si el método fue discutido en la cuarta parte, la segunda está

dedicada a análisis lingüísticos que se proponen esclarecer las formas lógicas

estructurales o fundamentales, que en ocasiones se esconden bajo las más variadas

formas lingüísticas. El pensamiento asume la forma de lenguaje, pero el lenguaje no

debe enclaustrar o distorsionar el pensamiento. La forma lingüística no debe torcer

o viciar las operaciones lógicas.

    La función de la lógica, arte de pensar, consiste en poner en claro el auténtico

pensamiento que se halla debajo de las apariencias de la forma verbal,

ayudándonos a remontarnos desde la forma hasta el significado. Este es el que

debe permitir una interpretación de la forma, por lo que no es la forma la que

impone el significado. En efecto, dos años antes que la Lógica, se publicó una

Gramática general y razonada, escrita por Arnauld y Lancelot. La intención

específica que manifiesta dicha Gramática general es precisamente el llegar a

aquellas estructuras fundamentales que rigen la mente humana en general, y que

puede constatarse en el interior de las diferencias existentes entre las lenguas

históricas. En otros términos, Arnauld y Lancelot trataron de convertir en lógico

aquel hecho histórico que es el lenguaje. Trataron de demostrar que el substantivo

define la substancia y el adjetivo sólo puede denotar el accidente. De este modo, la

teoría del verbo lleva a condenar la retórica de Aristóteles en nombre de su lógica.

Para los lógicos de Port-Royal, el verbo posee la función principal de significar la

afirmación lógica pura y simple, es decir, señalar que el discurso en el que se utiliza

aquella palabra es el discurso de un hombre que no sólo concibe las cosas, sino que

las juzga y las afirma. En resumen, la proposición gramatical y la proposición lógica

-la lengua y la razón- deben coincidir. De Saussure dirá que el programa de Port-

Royal es un programa estrictamente sincrónico. Y Noam Chomsky ha afirmado que

la gramática de Port-Royal es un precedente de su gramática transformacional.

 

5.6.4. Kant: lógica formal y lógica trascendental

    Según Kant, además de la sensibilidad, el hombre posee una segunda fuente de

conocimientos: el intelecto. Mediante aquélla, los objetos nos son dados, y a través

de la segunda son pensados. Para Kant la intuición y los conceptos constituyen los

elementos de todos nuestros conocimientos, de manera que ni los conceptos, sin

que les corresponda de algún modo una intuición, ni la intuición, sin los conceptos,

pueden darnos un conocimiento. Más aún, ninguna de estas dos facultades debe

anteponerse a la otra. Sin sensibilidad no se nos daría ningún objeto y sin intelecto

no podría pensarse ninguno. Los pensamientos sin contenido están vacíos; las

intuiciones sin conceptos son ciegas... Estas dos facultades o capacidades no

pueden intercambiar sus funciones. El intelecto no puede intuir nada y los

sentimientos nada pueden pensar. El conocimiento sólo puede surgir de su unión.

Pero no por esto hay que confundir sus partes: por el contrario, es muy razonable

separarlas adecuadamente y mantenerlas divididas.

    Por ello, Kant distingue entre la ciencia de las leyes de la sensibilidad en general -

la estética- y la ciencia del intelecto en general- la lógica.

    La lógica es la ciencia del intelecto en general y se divide en:

    a)   Lógica general

    b)   Lógica trascendental

    La primera prescinde de los contenidos y se limita a estudiar las leyes y los

principios en general del pensamiento, sin los cuales no existiría una utilización del

intelecto. Esta es la célebre lógica formal descubierta por Aristóteles, y según Kant,

nació casi perfecta, hasta el punto de que «no tuvo que dar ningún paso atrás» y se

ha limitado a sufrir correcciones sólo de detalle.

    A Kant, en la Crítica de la Razón Pura no le interesa la lógica formal sino la

trascendental, que no prescinde del contenido. ¿Cuál será el contenido que la lógica

trascendental tiene por objeto, además de las formas mismas del pensamiento?

Kant distingue entre conceptos empíricos y conceptos puros; los empíricos son

aquellos conceptos que contienen elementos sensibles; puros, en cambio, son

aquellos que no están mezclados con ninguna sensación.

    En la Estética Trascendental nos encontramos con una distinción análoga,

cuando Kant habla de intuiciones puras e intuiciones empíricas: intuiciones puras

son las formas del espacio y del tiempo; intuiciones empíricas son aquellas en las

que las sensaciones se mezclan con el espacio y el tiempo. Ahora bien,

prescindiendo de todo contenido empírico, el intelecto puede tener como contenido

las intuiciones puras de espacio y de tiempo. Precisamente en esto consiste la

lógica trascendental, que hace abstracción de los contenidos empíricos, pero no de

los vínculos con las intuiciones puras, esto es, de los vínculos que mantiene con el

espacio y el tiempo.

    Además, la lógica formal no considera el origen de los conceptos, sino que se

limita a estudiar las leyes que regulan los nexos que hay entre ellos. En cambio, la

lógica trascendental estudia el origen de los conceptos y se ocupa específicamente

de aquellos conceptos que no provienen de los objetos, sino que provienen a priori

del intelecto, y que sin embargo se refieren a priori a los objetos mismos.

 

5.6.5. La lógica del siglo XIX

    Entre 1825 y 1900 el álgebra y la geometría experimentaron grandes cambios,

que hacia 1900 dieron lugar a una nueva concepción de la filosofía de la

matemática. Una ecuación es un enunciado que establece que dos grupos de

números o de signos representativos de ellos son iguales. Hasta 1825 el álgebra no

era sino la teoría de las ecuaciones. El fin de la teoría era obtener un conocimiento

del modo en que tales ecuaciones podían ser manipuladas para asignarles valores

numéricos que las hiciesen verdaderas, como también obtener un conocimiento de

las condiciones que controlan la existencia entre esos valores numéricos. Las cuatro

operaciones básicas se efectuaban siguiendo un criterio más o menos intuitivo,

según los pasos que parecían más “naturales”. Las reglas que las apoyaban

continuaban en la oscuridad. No se pensaba que fuese necesario el establecimiento

de tales reglas.

    Peacock adelantó la idea de que el álgebra es una ciencia deductiva como la

geometría. Defendía, primero, que todos los procesos del álgebra habrán de estar

basados en un establecimiento completo del cuerpo de leyes que conciernen a las

operaciones utilizadas en esos procesos, no pudiéndose usar ninguna propiedad de

una operación si no ha sido puesto de manifiesto que tal propiedad pertenece a esa

operación, y no se ha establecido como una ley verdadera desde el comienzo o no

ha sido obtenida por deducción a partir de las leyes iniciales. En segundo lugar, que

los signos de las operaciones no tienen, a efectos deductivos, otros sentidos que

aquellos que les han sido asignados por leyes.

 

5.6.6. La lógica inductiva de John Stuart Mill

    Para Mill la lógica es una elaboración posterior de nuestras intuiciones sensibles.

Pero no todo es percepción inmediata; éstas son ciertas y contra ellas no hay

apelación. Sin embargo, la mayor parte de nuestro saber lo obtenemos por

deducciones (inferences). Después de las observaciones particulares siempre

queremos establecer leyes generales y conceptos. Y estas leyes implican siempre

una conexión y dependencia entre un A y un B, C, etc. Mill se propone mostrar los

pasos seguros en las deducciones. En su obra A System of Logic, Rationative and

Inductive (Londres, 1843), establece algunas reglas:

Método de concordancia: si dos o más casos, en los que tiene lugar un fenómeno, tienen una única circunstancia común, ésta es causa o efecto de aquel fenómeno.

Método de diferencia: si dos casos contienen un fenómeno W siempre que se da la circunstancia A, y no la contienen si A falta, W depende de A.

Método combinado de concordancia y diferencia: si varios casos, en que está presente A, contienen un fenómeno W, y otros casos, en que no está presente A, no contiene W, A es condición de W.

Método de los residuos: si W depende de A = A1, A2, A3, mediante la comprobación de las dependencias de A1 y A2, queda también comprobado en qué grado depende W de A3.

Método de las variaciones concomitantes: si un fenómeno W cambia siempre que cambia otro (fenómeno U), de modo que todo aumento o disminución de U va acompañadio de un aumento o disminución de W, W depende de U.

    De este modo una importante contribución a la lógica inductiva la hallamos en su

Sistema de lógica, donde Mill estructuró los métodos de prueba que, según su

interpretación, iban a caracterizar la ciencia empírica. Este estudio ha

desembocado, en el siglo XX, en el campo conocido como filosofía de la ciencia.

Muy relacionada con ésta se encuentra la rama de las matemáticas llamada teoría

de la probabilidad.

    Así, Mill supera a Hume en cuanto a la táctica, pero no en cuanto a los principios

empiristas; el psicologismo de Hume es continuado por el empirismo lógico de

Stuart Mill.

 

5.7.     LÓGICA SIMBÓLICA.

 

5.7.1. La lógica matemática o simbólica contemporánea: Introducción

    El desarrollo de la forma matemática de la lógica no ha concluido todavía,

existiendo hasta hoy, discusiones sobre su contenido peculiar, e incluso sobre su

mismo nombre. Se la denomina «lógica matemática», «lógica simbólica»,

«logística».

    Características específicas de la lógica simbólica:

    1.   En primer lugar, esta forma de la lógica se trata siempre de un cálculo, es

decir, de un método formalístico, que consiste fundamentalmente en que las reglas

de las operaciones se refieren a la forma de los signos y no a su sentido,

exactamente igual que en matemáticas. Es verdad que el formalismo se ha

empleado de vez en cuando en otras formas de la lógica, sobre todo en la

escolástica, pero ahora se ha convertido en un principio universal de método lógico.

    2.   Íntimamente relacionado con esto, hay una novedad profundamente

revolucionaria. Todas las demás formas conocidas de la lógica se sirven de un

método abstractivo: las proposiciones lógicas se obtienen del lenguaje natural

mediante abstracción. Los lógicos matemáticos proceden de una forma inversa:

primero construyen un sistema puramente formal, y sólo después le buscan una

interpretación en el lenguaje ordinario. Es verdad que este procedimiento no

aparece siempre en toda su pureza, e incluso no es imposible encontrarle ciertas

correspondencias en otras formas de lógica, pero, a partir de Boole, este principio

se ha asentado de una manera clara.

    3.   Las leyes se formulan en lenguaje artificial, que consiste en símbolos

semejantes a los matemáticos (en el sentido estricto de la palabra). La verdad es

que también las constantes se expresan por medio de signos artificiales; éstos se

empleaban para las variables ya desde Aristóteles.

 

5.7.2. La lógica simbólica: cronología de los pensadores

    En general todos los autores suelen señalar a Leibniz como el fundador de la

lógica matemática, aunque el fundador de una escuela y el punto de partida del

ininterrumpido desarrollo de la lógica matemática sea George Boole, cuyo primer

escrito, innovador y revolucionario, The Mathematical Analysis of Logic apareció en

1847. El mismo año Augustus de Mergan publicó su Formal Logic.

    La idea de Boole han sido desarrolladas en diversas direcciones por: R. Lellis

(1863), R. Grassemann (1872), W.S. Jevons (1864), J. Venn (1880), y sobre todo por

E. Schröder (1877).

    Contemporáneos de los últimos autores citados, son los trabajos de una escuela

de lógicos matemáticos, cuyos principales representantes son, C.S. Pierce (1870),

Gottlob Frege (1879) y G. Peano (1880). De estos pensadores sólo Peano, creó una

escuela más numerosa; Pierce y Frege pasaron prácticamente desapercibidos.

    El descubrimiento del pensamiento de Frege es un mérito de Russell (1903), que

junto con Whitehead, elaboraron su gran obra Principio Mathematica (1910-1913);

en ella se utiliza el simbolismo de Peano, combinándolo con sus propios

conocimientos.

    Y antes de la aparición de los principios, habían entrado en actividad Hilbert

(1907), Brouwer (1907), el primer trabajo de Lukasiewicz (1910), Tarski (1921) y

Carnap (1930).

 

5.7.3. Boole

    Probablemente puede considerarse el análisis matemático de la lógica de Boole

como el nacimiento de la lógica matemática. Boole esta influido, además de por las

ideas de la lógica clásica, por las de Hamilton y De Morgan, relativas a la teoría que

se basaba en el cambio de las cuatro formas de enunciado categórico (A, I, E y O)

en un número mayor en las cuales se toma en consideración la cuantificación del

predicado. Por ejemplo, Hamilton advirtió dos tipos de enunciados universales:

“Todo S es todo P” y “Todo S es algún P”. Si se tiene en cuenta también la

cuantificación de predicados, entonces todo enunciado de la forma sujeto-predicado

puede transformarse en una ecuación o en la enunciación de que esa ecuación es

falsa, aproximando de este modo la lógica al álgebra.

    En la teoría de Hamilton y De Morgan, S y P se convierten en signos de las cosas

mismas que poseen las cualidades (y no como signos de cualidades, tal como

ocurría en Aristóteles). Este es el cambio de “todo S es P” a “todos los S son P”

(p.e., de “toda hoja es verde” a “todas las hojas son verdes”). Este cambio de un

enfoque intensional (en términos de cualidades de las cosas) por uno extensional

(en términos de clases de objetos) permitió una estricta matematización de la

lógica, y así un avance más rápido, pues los conceptos extensionales siempre

poseen unos criterios de aplicación más claros.

    El nombre que se emplea en lógica y matemáticas para designar un grupo

formado por todas las cosas que poseen una cierta propiedad es el de clase o

conjunto, y de las cosas que poseen esa propiedad se dice que son elementos de la

clase o del conjunto. Las ideas de clase y elemento son básicas en la matemática

actual. El resultado de la teoría de Hamilton y De Morgan fue posibilitar una

concepción de la lógica como un álgebra de clases. Y Boole fue el primero en tener

claramente esta concepción.

    Boole da cuenta de la antigua lógica como un álgebra, mostrando cómo los

enunciados A, I, E y O pueden traducirse en forma de ecuaciones simples; cómo las

consecuencias necesarias de cualquiera de estos enunciados pueden obtenerse

algebraicamente partiendo de su ecuación correspondiente; cómo la validez de un

silogismo puede comprobarse convirtiendo el grupo de enunciados que lo integran

en un sistema de ecuaciones simples y viendo si la ecuación correspondiente a la

conclusión puede ser obtenida algebraicamente a partir de las ecuaciones

correspondientes a las premisas; y cómo si se dan ciertos enunciados como

premisas de un silogismo, pero sin especificar conclusión alguna, es posible obtener

algebraicamente de ellos una conclusión necesaria partiendo de sus

correspondientes ecuaciones.

    Pero Boole expuso, además, una teoría de la lógica de enunciados considerada

como un álgebra. Como su teoría de la lógica de enunciados fue, en cuanto a la

forma, la misma que la del álgebra de clases, fue el primero en ofrecer una teoría

unificada de la lógica. De este modo, el álgebra de Boole es como una teoría con

dos interpretaciones. Así, en álgebra de clases “1” significa “todo”, esto es, la clase

de todos los elementos posibles, “0” es “nada”, o sea, la clase que no tiene por

elemento nada que sea elemento de “todo”, “x + y” es la clase cuyos elementos

son las cosas de “todo” que son elementos de x o y de y, pero no de ambos; “x ( y”

es la clase de elementos comunes a x e y. Pero esas cuatro fórmulas significan

respectivamente en lógica de enunciados: “lo verdadero”, “lo falso”, que x es

verdadero o y es verdadero, pero no ambos, y finalmente que x es verdadero e y es

verdadero.

 

5.7.4. La teoría de las relaciones de Pierce

    Pierce hizo una completa exposición de su teoría de las relaciones en su artículo

The Logic of Relative. Su teoría está basada en el álgebra de Boole y en la lógica

formal y otros ensayos de De Morgan.

    Una lógica de relaciones es necesaria para una lógica de la matemática, porque

existe una gran cantidad de relaciones que juegan un importante papel en

matemáticas. Además, Pierce ideó un «procedimiento de decisión» para evaluar si

un complejo de signos en un sistema de juntores es o no representativo de una ley

verdadera de lógica. Se dice que un procedimiento es un procedimiento de decisión

si es completamente automático, capaz de ser realizado por una máquina, y

suministra una comprobación de que, lo que formulas en un sistema, son leyes del

mismo, siendo una fórmula, una ley si sólo se cumple una cierta propiedad «p».

    Pierce tenía la intención de construir una teoría de la lógica de juntores como un

sistema basado en axiomas.

 

5.7.5. El álgebra de la lógica de Schröder

    Las principales obras de Ernot Schröder sobre lógica matemática fueron «El

campo de Operaciones de Cálculo lógico» y «Lecciones sobre el álgebra de la

lógica».

    Gran parte de lo que hizo Schröder era nuevo, aunque a menudo basado en

material más antiguo. Entre sus teoremas más valiosos figura el de dualidad, según

el cual todas las leyes del álgebra de la lógica pueden ser agrupadas por parejas,

siendo posible pasar del conocimiento de uno de los dos componentes de la pareja,

al conocimiento del otro, por medio de una sencilla regla de mutación.

 

5.7.6. Frege y la fundación de la lógica formal

    Muchos consideran que la lógica simbólica moderna nace con la publicación, por

G. Frege, de su obra Conceptografía (1879), breve ensayo que pasó inadvertido

hasta que la obra de Russell, Principia Mathematica (1903), llamó la atención sobre

su contenido. La Conceptografía representa la primera formalización de la lógica

elemental o de primer orden, y muestra que la aritmética se identifica con la lógica,

o que es una parte de la lógica, en aparente contraposición con la postura de Boole.

    Según Jesús Mosterín , la obra de Frege puede dividirse en cuatro períodos:

1. Construcción de un formalismo lógico (Ideografía o Conceptografía).

2. Fundamentación de la Aritmética (Los fundamentos de la Aritmética).

3. Elaboración de su Semántica. Intento de reducción de la Aritmética a la lógica.

4, Disputas con Hilbert. Investigaciones Lógicas.

    En sus Fundamentos de la aritmética (1884), tras una crítica de las doctrinas que

hacían del número una propiedad de las cosas del mundo, una realidad subjetiva o

una colección, Frege se aplica a presentar su teorías: un número es enunciar alguna

cosa de un concepto. De esta forma, desarrolla una teoría de la reducción de la

aritmética a la lógica, de influencia platónica en cuanto a su concepción de la

matemática.

    Los Grundgesetze (constitución o ley fundamental) de Frege (2 vols. 1893 y

1903) debían desarrollar lo apuntado en sus Fundamentos de la aritmética y

proseguir el gran proyecto de la Begriffsschirft (Conceptografía) de 1879. La

acogida de la obra fue escasa; y también el segundo volumen tuvo igual suerte, por

lo que Frege abandonó el proyecto (pese a que haría de él el fundador de la lógica

formal y matemática contemporánea). Renunció a elaborar un tercer volumen

desanimado por las críticas de Russell .

    El propósito de Frece en los Grundgesetze es claramente logicista. Pretende

deducir las leyes básicas de la aritmética y la matemática partiendo exclusivamente

de la lógica. Las leyes de la aritmética no son las reglas formales de un juego, sino

que las matemáticas son una ciencia real, cuyo fin es la verdad. Esta obra está

escrita en simbolismo (quizás lo más perdurable), son tan complicados que ha

impedido que tenga una buena acogida. Russell reconoció esta importancia

simbólica; pero, pese a ello, se acogerá a la simbología de G. Peano.

    La teoría de los cuantificadores ha sido considerada como la novedad de mayor

relieve introducida por Frege y una de las aportaciones lógicas de mayor

importancia del s. XIX; aplicada a los enunciados categóricos representa un punto

claro de unión entre la lógica aristotélica de términos y la lógica de enunciados

iniciada por los estoicos.

    Pero el punto capital de la Aritmética de Frege es su definición de número

cardinal, cuya más sencilla ejemplificación son los elementos de la serie 0,1,2,3,...

Para Frege, un número cardinal es una propiedad de una clase. Así, por ejemplo, a

la pregunta: ¿Cuál es el número de hombres en el ejército ruso en la actualidad?, se

responderá correctamente indicando un número cardinal, cuyo número vendría a

ser, según Frege, una propiedad de la clase «hombre en el ejército ruso en la

actualidad». Ahora bien, conviene advertir que lo que Frege, a diferencia de Russell,

tiene aquí en mente por «clase» es la idea-clase, es decir, la clase considerada

como una idea, y no número cardinal, sería una propiedad de la idea-clase; Así

pues, número cardinal sería una propiedad de la idea-clase, y en nuestro ejemplo,

una propiedad de la idea-clase «hombre en el ejército ruso actualmente».

    La definición que da Frege del número cardinal de una clase x se formula

rigurosamente diciendo que ese número es la clase de todas las clases y tal que x e

y tienen entre sí una relación de uno- a-otro.

    En definitiva, Frege, con su Fundamentos de la aritmética quiso relacionar la

aritmética con la lógica, reduciendo el concepto de número natural a una

combinación de conceptos meramente lógicos. Trató de convertir en verosímil el

hecho de que la aritmética sea una rama de lógica y no tenga necesidad de solicitar

en préstamo el fundamento de sus demostraciones a la experiencia o a la intuición.

Por eso, Frege se propuso realizar la obtención de las leyes más simples de

enumerar a través de medios puramente lógicos.

    De este modo, con Frege se pasó de la aritmetización del análisis a la logización

de la aritmética y se inició la tendencia logicista con respecto a la fundamentación

de la matemática, tendencia que Bertrand Russell asumirá y desarrollará a

continuación.

 

5.7.7. Peano y la Lógica matemática

    Giuseppe Peano (1858-1932) era un matemático italiano que creó un sistema

descriptivo que permitía enunciar cualquier proposición de lógica o de matemáticas

sin recurrir al lenguaje. Propuso en sus escritos la denominada “aritmética de

Peano”, que es una exposición axiomática y deductiva de la aritmética de los

enteros naturales. En 1890 creó la ‘curva de Peano’, el primer ejemplo de fractal .

En 1903 sus trabajos de búsqueda de una lengua internacional llevaron al ‘latín sin

flexiones’, también llamada “interlingua”, cuyo vocabulario comprende las palabras

latinas comunes al francés, al inglés y al alemán. Como se ve, se trataba de que los

hombre pudiéramos entendernos. De aquí su importancia en la lógica.

    Quizá sea él el fundador de la metamatemática (y la metalógica), entendida

como ciencia que trata de las propiedades formales de un sistema deductivo. El

recurrió a la lógica para que le sirviera de instrumento a las matemáticas. Pensaba

que cualquier enunciado matemático es en realidad un condicional, o una

implicación, con la forma “p → q”.

    A G. Peano debemos el nombre de “lógica matemática”, para referirse a la

moderna lógica simbólica, que él quiso diseñar para su aplicación a las

matemáticas. El creó el sistema de signos o notación simbólica que después

utilizarán Russell y Whitehead en su obra Principia Mathematica.

    Russell llamará a Peano el “gran maestro del arte del razonamiento formal”.

Russell conoció a Peano en 1900, en el Congreso Internacional de Filosofía de París.

Allí descubrió Russell la importancia que tenía una reforma lógica en la filosofía de

la matemática; Peano era siempre más preciso en sus argumentaciones que todos

sus contrincantes en ese Congreso. Los libros de Peano fueron los que empujaron a

Russell a realizar sus trabajos sobre los principios de la matemática.

 

5.8.8. Russell: lógica matemática

 

a) Principia Mathematica

    En su libro Los principios de la matemática (1903) Russell se propuso demostrar:

    a)   Que toda la matemática procede de la lógica simbólica

    b)   Descubrir en la medida de lo posible cuáles son los principios de la misma

lógica simbólica

    Russell ilustró el primer objetivo a través del citado libro de 1903; y quiso

desarrollar el segundo propósito con su obra Principia Mathematica (tres gruesos

tomos, redactados con su maestro A.N. Whitehead), publicados en 1910, 1912 y

1913.

    Russell considera, junto con Frege, que la matemática puede reducirse a una

rama de la lógica. La matemática pura es la clase de todas las proposiciones que

toman la forma “p → q” (como también afirmaba Peano). No existen conceptos

típicos o propios de la matemática que no puedan verse reducidos a conceptos

lógicos (de la lógica de clases). Y, con mayor motivo todavía, no existen dentro de

la matemática procedimientos de cálculo o de derivación que no se puedan

transformar en derivaciones de carácter puramente formal.

    En los Principia Mathematica Russell afirma que matemáticamente un número no

es más que una clase de clases equipotentes. Estaba convencido de que la

matemática y la lógica son idénticas, y de que toda la matemática pura trata

exclusivamente de conceptos definibles en términos de un número pequeñísimo de

conceptos lógicos fundamentales. Inspirándose en la técnica lógica y terminológica

de Peano, elaboró este libro empeñándose en construir toda la matemática a partir

de la lógica, llevando a cabo el proyecto de Frege. Pero entre 1901-1902 Russell

puso en crisis la lógica de clases, con lo que hirió de muerte la fundamentación de

la aritmética de Frege, que se basaba precisamente en la lógica de clases.

 

b) La paradoja de Russell

    La “paradoja de Russell” muestra que la aritmética de Frege es

autocontradictoria. En efecto, pensemos en un conjunto que no se contenga en sí

mismo como elemento (el conjunto de los libros de mi biblioteca; el conjunto de

estos libros no es él mismo un libro) y llamemos “normal” a este libro. No puede

excluirse que exista algún conjunto no normal. Por ejemplo, el conjunto de todos los

conjuntos es él mismo un conjunto y, por tanto, no es normal, o es no normal. Y

ahora formemos el conjunto X de todos los conjuntos normales; y preguntémonos si

es normal. Supongamos que X se contenga a sí mismo como elemento: en ese caso,

es conjunto normal (porque los elementos de X es un conjunto normal), y en cuanto

tal conjunto normal, no puede contenerse a sí mismo como elemento. En ese caso,

por definición, es normal; pero como todos los conjuntos normales, tiene que ser

elemento de X, y, por tanto, debe contenerse en sí mismo. En ambas hipótesis se

incurre en contradicción.

 

d) La teoría de los tipos

    Cuando Russell comunicó a Frege esta paradoja, éste se vino abajo y abandonó

su proyecto. Por su parte, Russell se propuso superar esta antinomia, en el

Apéndice de su Principia Mathematica exponiendo la teoría de los tipos. Aquí

Russell propone la regla siguiente: Se puede atribuir un predicado de tipo “n” sólo a

un sujeto de tipo “n -1”. Es decir, un concepto nunca puede ser necesario como

predicado en una proposición cuyo sujeto sea de un tipo igual o mayor al concepto

mismo. Las clases no son “cosas” sino únicamente expresiones, que pueden

utilizarse correcta o incorrectamente.

    Así describe Russell su descubrimiento:

    “Comuniqué la desgracia a Whitehead, que no pudo consolarme [...]. Llegué a

esta contradicción al considerar la prueba de Cantor de que no existe un número

cardinal mayor que todos. Yo pensaba, en mi inocencia, que el número de todas las

cosas que existen en el universo debe ser el número más grande posible, y apliqué

su prueba a este número para ver qué ocurría. Esta operación me llevó a considerar

una clase muy peculiar. Pensando dentro de la línea que hasta entonces había

parecido adecuada, me parecía que una clase es a veces, y a veces no es, miembro

de sí misma. La clase de las cucharillas, por ejemplo, no es otra cucharilla, pero la

clase de las cosas que no son cucharillas sí que es una de las cosas que no son

cucharillas. Parecía haber ejemplos que no eran negativos: por ejemplo, la clase de

todas las clases es una clase. La aplicación del argumento de Cantor me llevó a

considerar las clases que no son miembros de sí mismas; y éstas, al parecer, deben

formar una clase. Me pregunté si esta clase es un miembro de sí misma o no. Si es

un miembro de sí misma, debe poseer la propiedad definitoria de la clase, que es no

ser miembro de sí misma. Si no es miembro de sí misma, no debe poseer la

propiedad definitoria de la clase y por tanto debe ser miembro de sí misma. Así,

cada alternativa conduce a la contraria, y hay una contradicción.

    Al principio pensé que debía de haber algún error trivial en mi razonamiento.

Examiné cada paso bajo un microscopio lógico, pero no pude descubrir nada

incorrecto. Escribí a Frege acerca de ello, y me replicó que la aritmética se

tambaleaba que ahora veía que su ley V era falsa. Frege quedó tan desasosegado

por esta contradicción que dio de lado el intento de deducir la aritmética de la

lógica, al cual, hasta entonces, había dedicado principalmente su vida. Como los

pitagóricos cuando tropezaron con los inconmensurables, buscó refugio en la

geometría y al parecer consideró que el trabajo de su vida hasta aquel momento

había estado mal orientado. Por mi parte, me di cuenta de que la dificultad residía

en la lógica más que en las matemáticas, y era la lógica lo que había de

reformarse” .

 

e) Recapitulación

    En definitiva, el sistema lógico de Russell y Whitehead cubre un espectro mayor

de posibles argumentaciones que las que se pueden encontrar en la lógica

silogística. Introduce símbolos para frases enteras y para las conjunciones que las

unen, como “o”, “y”, “si ... entonces...”. Cuenta con símbolos diferentes para el

sujeto lógico y el predicado lógico de una frase y adjudica símbolos para distinguir

las clases, para los miembros de las clases y para las relaciones de la pertenencia a

una clase y la inclusión en una clase. También se aleja de la lógica clásica en sus

suposiciones de la existencia respecto a las cosas aludidas en sus afirmaciones

universales. La afirmación “Todo A es B” significa en lógica moderna que “Si algo es

A, entonces es B “; lo que, a diferencia de la lógica tradicional, no significa que todo

A existe.

    Tanto la rama clásica como la moderna implican métodos de lógica deductiva. En

cierto sentido, las premisas de una proposición válida contienen la conclusión, y la

verdad de la conclusión se deriva de la verdad de las premisas. También se han

hecho esfuerzos para desarrollar métodos de lógica inductiva como las que

sostienen que las premisas conllevan una evidencia para la conclusión, pero la

verdad de la conclusión se deduce, sólo con un margen relativo de probabilidad, de

la verdad de la evidencia.

 

5.8.9. La lógica como tautología: Wittgenstein

    Para Wittgenstein, el que propuso las tablas de verdad las “proposiciones de la

lógica son tautologías” .  “Por consiguiente, las proposiciones de la lógica no dicen

nada; son proposiciones analíticas” . Aquí se refleja la doctrina kantiana de los

juicios analíticos. Pero Wittgenstein radicaliza a Kant; aquél, siguiendo la tradición

de Frege y Russell, sitúa la base de la lógica en el cálculo proposicional, y traslada

al plano de este cálculo su noción de tautología. Las proposiciones de la lógica no

dicen nada que pertenezca al mundo, son proposiciones “carentes de sentido”

(sinnlos), pues ni afirman ni niegan nada ni son figuras de la realidad. Pero esto no

significa que sean “sinsentidos” (unsinnig), esto es, algo absurdo. Pertenecen, en

realidad, al simbolismo, en donde ocupan un lugar límite, a la manera del cero en la

serie de los números naturales. “La señal característica de las proposiciones lógicas

está en que pueda reconocer sólo en el símbolo que son verdaderas o falsas; y este

hecho contiene en sí toda la filosofía de la lógica” . Pero la lógica es un a priori,

pues no se puede pensar ilógicamente, por ello, “en lógica jamás puede haber

sorpresas” .

    De este modo, las soluciones de los problemas lógicos representa, para

Wittgenstein, el canon de la simplicidad por la simetría de sus respuestas aprióricas.

Por ello, la prueba en lógica es un mero expediente mecánico (de ahí sus tablas de

verdad) que aclara la estructura de la ontología cuando ésta es complicada. “La

lógica no es una doctrina, sino un reflejo del mundo. La lógica es trascendental” . La

lógica no es una doctrina, una teoría que diga algo concreto sobre los hechos del

mundo; pero sí es un reflejo del mundo, ya que sus proposiciones, al ser vacías y

tautológicas, descubren la invisible estructura formal del lenguaje y, con ello, la

trama del mundo.

    He aquí, finalmente, lo que Wittgenstein denomina su “pensamiento

fundamental”: “Mi pensamiento fundamental es que las ‘constantes lógicas’ no

representan. Que la lógica de los hechos no puede ser representada” . De este

modo, en opinión de M. Garrido, para el autor del Tractatus, la teoría de las

funciones veritativas convierte en castillos de naipes los vistosos edificios

axiomáticos de Frege y Russell.