vicente rodríguez lozano - introducción a la lógica simbólica (unam-ffyl)

5/11/2018 Vicente Rodríguez Lozano - Introducción a la lógica simbólica (UNAM-FFyL) - slidepdf.com

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COLECCION TEXTOSMaqueta RAG VICENTE RODRÍGUEZ LOZANO

INTRODUCCIONA LA LOGICASIMBOLICA

(LOGICA DE ENUNCIADOS)

© Vicente Rodriguez Lozano© Ediciones Akal, S.A.Los Berrocales del Jarama

Apartado 400 - Torrejón ~e ArdozMADRID - ESPANAISBN: 84-7600-048-0

Depósito legal: M. 32.734-1985Impreso en GREFOL, S .A. , PoI. II - La Fuensanta

Móstoles (Madrid)Printed in Spain

~tU

AKAL



Introducción

Es una vieja aspiración del hombre la de poder razonar y argumentar1 1 1 .rror y con corrección. Es vieja la aspiración de poseer un mecanis-

11 1 11 tal que nos permita comprender lo que se nos dice, averiguar si loIjll' se nos dice es correcto y, sobre todo, averiguar si el cómo se nos1IIIIIsmite algo sigue reglas que permitan confiar en, al menos, la11 11 ircncia interna de lo que se nos comunica.

lisa misma aspiración persigue también que podamos expresamos11 111 esa corrección y coherencia a la que antes aludíamos.

Ii:.;tavieja aspiración tiene una tradición de veinticinco siglos. No es1111 1 ra intención hacer ahora una historia de la lógica. Se han escrito111111 'hu , y todas, con mayor o menor profundidad, pero, eso sí, con1 '11 1 ' nos llevan de la mano a través del tiempo, para ofrecemos el11 d i ijo de aquellos hombres que han perseguido lograr un marco, IfI'I'Oy fiable mediante el cual podamos expresamos coherentemente,.1 11 ' 'tal' las incorrecciones argumentativas de lo que se nos transmite '.l' 1 r lativismo epistemológico, ético y político de los Sofistas, en el

1 dll V ti. de c., ya fue, indirectamente, una defensa de la Lógica. La

Id Id. para estos grandes maestros del saber, consistía en el argumento11 1 11 11' 1 '1 , entendiendo por fortaleza argumentativa la coherencia de lo

1" 1 ' lo y la persuasión alcanzada. Comienza, pues, a bosquejarse,11111 d 1111 .nte, una lógica que, como carga más el acento en la persuasiónllIi 1 1 1 la coherencia, termina siendo retórica.

I 1 partir de Aristóteles, primero, y de los estóicos, después, cuando1, I 111 " '1 1 nsigue carta de ciudadanía en el saber filosófico, mantenién-1II 111 11 la misma estructura que elabora el Estagirita durante toda laIoIl,d M xlia. L'I ex pres ión «Lógica aristotélico-tornista» es bastante

1111 Ili V lI é l stc r pccto.

I 11111 111 11 kl, 1 , M.: II /s(o,./I I de /0 l.á¡I /C II [10,.", 0/, Ild. ,1' xIos,1'1 111 , : II I,wo l'lo dI' 11 / 1,1Í ¡ll c( I, Hd. ' J " · nON .



Pero la Lógica matemática o Lógica simbólica (emplearemos ambasexpresiones indistintamente) comienza a perfilarse con Leibniz en elsiglo XVIII. A Leibniz le corresponde el mérito de haber aislado elverdadero armazón del «cálculo» y de haber aprovechado por primeravez la oportunidad de reducir las reglas de la deducción lógica a meras. reglas de cálculo, es decir, a reglas cuya aplicación puede prescindir delcontenido semántico de las expresiones.

«Llamo hilo del raciocinio a cierto método fácil y seguro, siguiendoel cual, sin fatiga de la mente, sin confines y sin motivo de error,proceder con no menos seguridad que quienes disponen de un hilo deAriadna en un laberinto ...» «Cuando surjan controversias, no tendremosmás necesidad de discutir, entre filósofos, que la que hay entre doscalculadores. En efecto, bastará tomar la pluma en la mano, sentarse enla mesa y decirse el uno al otro: calculemos.» (Leibniz.)

La Lógica moderna comienza con hombres como Frege, Peano,Hilbert, Russell, Wittgenstein, Carnap, Quine, etc., y con los lógicospolacos. Se trata ya de la confección de un verdadero cálculo que nospermita, al igual que la matemática deduce teoremas de axiomasdeterminados, básicos, la obtención de conclusiones formalmente váli-das, a partir de premisas dadas y mediante el cálculo inferencia!. Paraello ha sido preciso simbolizar. el lenguaje y relegar a un segundo planoel contenido semántico del mismo. Sirvan estas líneas introductoriascomo reconocimiento fugaz, pero no por eso menos sincero, a loshombres que hicieron posible que la Lógica tenga una historia. Yadijimos en líneas anteriores que la misión de este trabajo no es elaboraruna historia de la lógica sino la de introducir al profano en la Lógicamatemática o simbólica.

Vamos a intentar hacerloordenada y programadamente. El escalo-namiento de la exposición puede, a veces, parecernos excesivo. Encualquier caso ahí están los peldaños para descansar. Lo que sí seaconseja es no subir los de dos en dos. La escalera de la Lógica es muytraicionera con los impacientes, pero generosa y agradecida con los que

saben subir por ella: Desarrollará nuestra capacidad de razonamiento yargumentación. Favorecerá nuestra comprensión matemática posterior.Desarrollará también nuestra capacidad de análisis de lo que se nos diceu ofrece como verdadero y fiable. Podremos detectar, en la jerarquía deniveles de cualquier exposición, la coherencia interna de la misma o suincoherencia argumentativa. Por tratarse la Lógica de un lenguajeperfecto, se convierte en paradigma y modelo de todo lenguaje. Silogramos dominarlo, no sólo salvaremos, con paso firme y seguro, esainfinidad de e collos que nos ofrece el lenguaje ordinario, sino que sen S él ri r á n pu rtas nueva, hasta ahora impenetrables, de otras ramasd I snb 1 " .

En el momento de entregar este libro a la editorial, me he acordadot i ' tres personas. Ninguna de las tres podrá leerlo, la salud les jugó unamula pasada.

De don Leopoldo Eulogio Palacios, catedrático de Lógica de la1Jniversidad Complutense, de quien fui alumno y colaborador cuandoI . rrn in é mi carrera, quien, a fuerza de criticar la Lógica simbólica, logróque me interesara por ella vivamente.

De Alfredo Deaño, profesor de la Universidad Autónoma de Ma-drid, amigo, compañero de Facultad y de Colegio Mayor. En más deuna ocasión nos sorprendió el alba discutiendo en una habitación del«Mcné ndez y Pelayo», el «neurocolegio», como lo llamaba Alfredo. Su¡I/(roduccion a la lógica formal es una obra importante e imprescindible.

De Antonio Belda Cuesta, catedrático de Filosofía de Institutos delluchillerato, compañero de promoción y mi mejor amigo. Siempre me

inimó a escribir este libro y, al final, le hice caso. Si algo lamento es que110 pueda comprobar que cumplí mi promesa.

A los tres, ya que no puedo hacer otra cosa, vaya mi mejor recuerdo.

anta Cruz de Tenerife, marzo de 1985.

VICENTE RODRÍGUEZ LOZANO



L a Parte

De los enunciados.

1 , LÓGICA DE ENUNCIADOS

«Ya dijimos en líneas anteriores que la misión de este trabajo no es-luborar una historia de la Lógica, sino la de introducir al profano en1 1 1 Lógica simbólica. Vamos a intentar hacerlo ordenada y programada-mente. El escalonamiento de la exposición puede, a veces, parecemosexcesivo. En cualquier caso ahí están los peldaños para descansar. Loque sí se aconseja es no subirlos de dos en dos. La escalera de la LógicaI 'S muy traicionera con los impacientes, pero generosa y agradecida conlos que saben subir por ella.»

He aquí una sucesión de enunciados. Todo esto puede simbolizarse.I lna vez que sepamos simbolizar los enunciados comenzaremos con elo stu d io del cálculo de enunciados.

El cálculo de enunciados es el pilar, la base de un cálculo másromplejo. Si logramos subir pausadamente la escalera de la Lógica,dominaremos el cálculo lógico.

Lo primero que tenemos que saber, pues, es ¿qué es un enunciado?

¿QUÉ ES UN ENUNCIADO?

a) El actual presidente de los Estados Unidos es marciano.b) Newton descubrió la ley de la gravitación universal.c) ¿Lloverá mañana?d) ¡Eso es lo que pasa!~ La duquesa replicó: ¡Eso es lo que pasa!

Las expresiones a), b) y e) son enunciados.Las expresiones c) y d) no lo son.

1 1



Veamos por qué:

~

para ello será necesario saber qué entendemos por enunciado.

Vamos a llamar enunciado a toda aquella proposición de la cualpodamos decir que es verdadera o que es falsa.

- Así, la proposición a) es considerada como enunciado, puespodemos afirmar, sin lugar a dudas (aunque a veces nos cuesteadmitirlo), que es falso que «el actual presidente de los EstadosUnidos es marciano».

- De igual modo, de la proposición b) diríamos también que es unenunciado, pues podemos decir que es verdadero que «Newtondescubrió la ley de la gravitación universal» (aunque la anécdotade la manzana nos haya acomplejado en más de una ocasión).

- Sin embargo, la expresión c) no es un enunciado. Sobre «¿Lloverámañana?» no podemos pronunciarnos. No podemos decir de esaexpresión que sea verdadera ni tampoco que sea falsa. Otracuestión sería si se dijera «Mañana lloverá». En este caso habríasolamente que esperar y entonces sí podríamos comprobar laverdad o falsedad de tal aserto.

- Tal ocurre con la expresión d) . Pertenece al lenguaje expresivo y,por tanto, no es ni verdadera ni falsa: ¡Ay, Señorl, [Madre mía!,etc., son expresiones de este tipo. Tampoco son enunciados.

- Otra cosa bien distinta es lo que ocurre con la expresión e): «Laduquesa replico: ¡Eso es lo que pasa!». De esta frase sí podemosdecir que sea verdadera o falsa. Si la duquesa replicó tal cosa seráverdadera, si, por el contrario, permaneció muda o replicó cual-quier otro improperio, diremos que es falsa. (En este caso seríaAlicia, en su viaje por el País de la Maravillas quien mejor lopodría saber.)

Entendemos, pues, por enunciado, toda proposición de la cual

se pueda decir que sea verdadera o que sea falsa.

Solamente los enunciados podrán simbolizarse. Ya veremos cómo.De momento conviene insistir en lo anteriormente explicado, y para ellonada mejor que realizar los siguientes ejercicios:

cir uálcs d las si ui .ntcs frases pueden e n id rarsc enun-

e iad os.

1. El pobrecil lo resoplaba como una máquina de vapor.2. ¡No gruñasl

3. Prosiguieron los dos en silencio durante algún rato.4. ¿Qué vaya hacer con esta criatura cuando la lleve a casa?5 . El gato sonrió al ver a Alicia.6. ¿Me podrías indicar hacia dónde tengo que ir desde aquí?7. Siempre llegarás a alguna parte.8. ¿Qué clase de gente vive por estos parajes?9 . Por ahí vive un sombrerero.

1 0. ¿Y por allá?

(En el ejercicio anterior las frases impares son enunciados, las paresno lo son 1.)

¿Serían enunciados las siguientes proposiciones?

1 . El presente libro trata de introducir al lector en la ardua laborlel cultivo de las hortalizas.

2. Dice Euclides que por un punto exterior a una recta puedenpasar infinitas paralelas.

3. Tarzán es uno de los personajes más frecuentes en la obra deR usseau.

4. El Cabo de Buena Esperanza está en avanzado estado de, tación.

(En el ejercicio anterior todas las frases son enunciados, pues de cadauna de ellas podemos decir que es falsa.)

l. CLASES DE ENUNCIADOS

Hasta ahora hemos visto, a través de los ejemplos que se hanu frc cid o , enunciados que, provisionalmente, podemos llamar enunciados8 tup íes. Conviene aclarar que hay dos tipos de enunciados y que laI ógica, hechando mano de la terminología de la Física, ha dado en[lurnar enunciados «atómicos» y enunciados «moleculares».

I LlIS diez frases de este ejercicio corresponden al genial libro Alicia en el País de las

A t l l/ 'I / p l ll l l s d '1 ma str de la L gica Lewis arroll. Aconsejo su lectura cuando finalicen1 1 I 'dl" ' 1 1 1 " 's 'ni' uubuj .

l•



. No .o.bstante, muy bien hubieran podido llamarse simples y comple-JOs. l!tIhzaremos desde ahora las expresiones enunciados atómicos yenunczados moleculares, pues son las internacional mente aceptadas.

Enunciado atómico

Entendemos por enunciado atómico aquel que consta de una solaproposición.

Ejemplos:

- Platón dice que la corrección del esclavo deberá consist ir en uncastigo físico. .

- Epicuro afirma que la amistad es un bien inmortal.

Enunciado molecular

Entendemos por enunciado molecular aquel que consta de más de unenunciado atómico. Aquel que está compuesto por dos o más proposicio-nes.

Ejemplos:

- Platón dice que la corrección del esclavo deberá consistir en uncastigo físico y nunca en una reprimenda moral.

- Epicuro dice que la amitad está enraizada en la naturaleza y quees un bien común a todos los hombres.

Vemos, pues, cómo en el enunciado atómico se dice una sola cosa see~lte una .sola proposición. No puede descomponerse en una expresiónmas reducida, S10 que Pierda sentido.

Vemos también cómo en el enunciado molecular se dice más de unacosa, se ~miten, al menos, dos proposiciones. Puede reducirse, por tanto,

a cu~lqUiera de los enunciados atómicos que lo componen sin que pierdasentido.

Los enunciados atómicos vamos a simbolizarlos con letras minúscu-las. Es. frecuente utilizar las siguientes: p, q, r, s. Utilizaremos éstas ycualquier otra letra del alfabeto.

Las letras p, q, r, s, etc., reciben el nombre de «variables deenunciado», pues pueden sustituir a cualquier enunciado atómico.

A í:

«Ant o ni está muy cnfcrrn », pu ed e su tituir sc por p.

«Bolivia ti '11' un h TI110S0 pu .rto de mar», pu de simbolizarpOI' 1 1 .

l1

3.1. De los enunciados moleculares y de las conectivas

Los enunciados moleculares no son todos del tipo de los del ejemploque veíamos en el apartado 3. En aquellos aparecía la conjunción «y»para unir los dos enunciados atómicos de los que estaban compuestos.Existen otras formas de enlace aparte de las de la forma «y», veamos:

El enunciado molecular es aquel que está compuesto por dos o másproposiciones. Lógicamente estas proposiciones habrán de ir enlazadas.El enlace recibe el nombre de «conectiva». También se utiliza laexpresión de «término de enlace».

Así pues, «c'ünectiva» o «término de enlace» son expresiones median-tc las cuales vamos a nombrar, de ahora en adelante, las partículas quesirven para unir enunciados, para enlazar enunciados.

Las partículas conectivas o términos de enlace que utilizaremos, seránlas siguientes:

.. l. l. La conjunción

- Nombre de la conectiva .... Conjunción (y).- Símbolo. . . . . . . . . . . . . . . . .. 1\.

- Ejemplo en lógica p 1\ q.- Ejemplo en lenguaje

ordinario . . . . . . . . . . . . . . . .. «Estoy esperando noticias deFrancia y me encuentro bastantenervioso.»

Podemos observar que un enunciado conjuntivo está compuesto pordos enunciados (en este caso p, q). A su vez, esta nueva forma: p 1\ q, esI im b ién un enunciado, un enunciado molecular.

Este tipo de enunciados se refiere, pues, a todas aquellas expresiones,lru scs, que por su forma, sean susceptibles de identificarse con lasVD llj unciones.

Nos referimos a expresiones en las que se manifiestan dos o másvnunciados atómicos yuxtapuestos.

1 ': ;1 '1 1 1 , , 1 0 :

« leg u é , vi, vcncí.»

PlI 'd ' simbotizarsc p r: p 1\ q 1\ r.



Ejemplo:

«Adolfo sigue atareado en política, Vicente continúa ocupándose desus poemas.»

Puede simbolizarse por a 1\ b.

Se comprende fácilmente que tales expresiones podrían quedarenunciadas de este modo:

«Llegué y vi y vencí.» «Adolfo sigue atareado en política y Vicentecontinúa ocupándose de sus poemas.»

dando lugar a la simbolización anter iormente expuesta.En los ejemplos anteriores:

p, q, r } Serían variables de enunciados

a, b

1\ La conectiva conjunción.

Enunciados conjuntivos

_ El mundo está determinado por los hechos y por ser todos loshechos.

_ El tono debe tener una altura; el objeto del tacto, una dureza.- El objeto es lo fijo, la configuración es lo cambiante.- En el mundo todo es como es ysucede como sucede._ La «división» es un proceso mental por el cual pensamos en una

determinada clase de cosas e imaginamos que la hemos divididoen dos o más clases inferiores.

_ Es evidente que todo miembro de una especie es también miem-bro del género del que esa especie ha sido extraida, y que posee ladiferencia de esa especie. -

(Los cuatro primeros enunciados pertenecen al Tractatus Logico-Philo-

sophicus, de Wittgenstein, y los dos últimos a El juego de la Lógica, de

Lewis Carroll.)

3.1.2. La disyunción

- Nombre de la conectiva .... Disyunción (o).- Símbolo . . . . . . . . . . . . . . . . .. V .

- Ejemplo en lógica p V q.

- Ejemplo en l nguajeordinario .

Son, pues, enunciados moleculares disyuntivos aquellos que vayanenlazados mediante la conectiva «o» (disyunción), la cual se simbolizamediante V .

Observación:

Hemos de hacer aquí una observación importante: Existen dos tiposde disyunciones. La disyunción «inclusiva» y la disyunción «exclusiva».

La disyunción inclusiva admite que ocurran los dos miembros de lamisma. Así, p V q puede leerse: «ocurre p. o bien ocurre q, o bienocurren ambos».

La disyunción exclusiva o excluyente exige que sólo uno de susmiembros puede ocurrir: «o dejas de desear a la mujer de tu prójimo oseguirás atentando contra el noveno mandamiento», sería un ejemplo

representativo de este tipo de disyunción.La disyunción exclusiva se simboliza en algunas notaciones así: : /= ,de tal manera que p : /= q puede leerse: «ocurre p, o bien ocurre q, perono ambas».

Por razones que veremos más adelante, la disyunción que considere-mos en el cálculo de enunciados será la disyunción inclusiva.

Así, cuando nos encontremos con p V q nos referiremos a ella,I 'yéndose esta expresión como indicábamos anteriormente, esto es:« icurre p , o bien ocurre q, o bien ocurren ambas».

nunciados disyuntivos

- Defenderá los colores del equipo o actuará como suplente.~.La Lógica formal se ocupa de la forma de las proposiciones o seocupa de sus equivalencias.

- O es imbécil, o trata de parecer lo .- O la Sociología invest iga la estructura de los grupos humanos o se

ocupa de las relaciones entre ellos.

\ l.. El condicional

1 )

Condicional (si ... , entonces . ..).-- -+ .

Nombre de la conectiva .ímbolo .n lenguaje lógico .~jemplo en lenguajeordinario .

p -- -+ q.

Si viene el ordinario de la dióce-is, entonces iremos al aeropuer-t .

1 1



I

I

Hemos visto hasta el momento enunciados moleculares cuyo esque-ma podría ser el siguiente:

... y para los conjuntivos (p 1\ q)

... o para los disyuntivos (r V s)

Trataremos ahora enunciados cuyo esquema es como sigue:

si ... entonces ...

Estos son los llamados enunciados condicionales que se simbolizan enLógica matemática del siguiente modo: p --- + q, r --- + s, etc.

Cuando veamos una expresión como esta: p --- + q, podremos, pues,leerla de las siguientes formas:

«Si ocurre p, entonces ocurreq»

«Si se da p, entonces se da q»

«Si p, entonces q»

Existe también el hábito y la rutina (pues no son otra cosa) de leer laexpresión p --- + q así: «p implica q». Por razones que veremos másadelante, cuando estudiemos las tablas de verdad de los enunciadosmoleculares, veremos que no es posible, en todos los casos, tal tipo delectura y, por tanto, que ésta no se debe generalizar. Bástenos adelantarque toda in!pli<;:ació_nes un condicional, pero no todo enunciadocondicional se trata de una implicación.

Así pues, se recomienda, de ahora en adelante, usar las lecturaspropuestas anteriormente y descartar la expresión «p implica q» por serenormemente restrictiva y concreta.

Frases como las que siguen se simbolizan, por tanto, con lasvariables de enunciados que se quiera (letras minúsculas), unidas por laconectiva: --- +.

«Si matriculo a Guillermo en Etica, entonces tendrá que estudiar ladimensión antropológica de la sexualidad humana.»«Si la Etica desaparece de la política, las relaciones humanas.pueden

convertirse en una merienda de negros.»

(En este último enunciado molecular condicional el entonces estásobreentendido. )

Nota:

n un e ndicional, p q, el primer miembro recibe el nombre de«u nte 'ti .ntc» y '1 se lin do ti, « '0111')'ucnt ».

1\, ,1 úni 'O IIUII.iudo, '1 '01\ li .ionul, '\1 os mi '111\)1 '< S se n rmbran

IK

de distinto modo. En los demás casos hablaremos de miembros de la.onjunción, de la disyunción, del bicondicional, etc. Sólo en el condicio-

1)'1 .1 hablaremos de antecedente, refiriéndonos al miembro que aparece enpr.lmer lugar (antes de la flecha) y de consecuente, refiriéndonos al111leI?bro que aparece en segundo lugar (detrás de la flecha). Ya se.xplicará es~? con más detenimiento. De momento baste recordar que enuna expresion c~mo p --- + q y r --- + s, p sería el antecedente, q elconsecuente; r sena el antecedente, s el consecuente.

nunciados condicionales

- S.i d.os expresiones están unidas por el signo de igualdad, estosignifica que puede susti tuirse la una por la otra.

- Si por eternidad se entiende intemporalidad, entonces vive eterna-

mente quien vive en el presente.- Si hubiese una ley de causalidad, podraía decirse así: «Hay leyes

naturales»- Si la narrativa ~ispanoamericana es superior a la española,

entonces me exphco la poca atención que tienen en nuestro paíslos autores noveles.

- Si se puede 'plantear una cuestión, también se puede responder.

\ 1 .4. El bicendicional

Nombre de la conectiva .... Bicondicional (si, y sólo SI,

entonces ... ).Símbolo .' .

Ejemplo en lógica .Ejemplo en lenguajeordinario .

+4.

P +4 q.

«Si, y sólo si, entendemos el cál-culo de enunciados podremoscomprender otros cálculos.»

S i !)rcst'lm S ate~ción, veremos que el esquema de este nuevo tipo de1 11 1 1 1 1 iiudos ~s l~luy SIl111hral enunciado condicional. Unicamente apare-II 1 1 11 I r 'sIn .ción d Irás del «si» prirnitiv , presta restricción es lo

1 9



suficientemente importante para que dé lugar a otra categoría deenunciado. El esquema sería el siguiente:

Si, Y sólo si, ... entonces ...

Nada mejor para entender el enunciado bicondicional que analizaren qué se diferencia del enunciado condicional antes estudiado:

En una fórmula como esta: p _ q queremos significar que «si ocurrep, entonces ocurre q», que «si se da p, entonces se da q».

Es claro que si p es la condición de que se de q, del hecho de queocurra p podemos deducir que q ocurre.

Si r es la condición de s, del hecho de que ocurra r deduciremos qu e s

ocurre también.

Pero fijémonos en un enunciado condicional, p - q, puede ocurrir qsin que p haya ocurrido, por una sencilla razón, porque p no escondición suficiente y necesaria de q.

Dicho de otra forma, si p ocurre, q, formalmente, t iene que ocurrir;pero si p no ocurre, q puede o no puede darse. Cuando escribimos p - q

queremos decir que si p se da, q se da y nada más. No queremos decirque si p no se da, q no puede darse tampoco. Este caso queda reservado

para el «bicondicional», p + -+ q.En esta condición, p + -+ q, p es condición suficiente y necesaria de q, y

q es condición suficiente y necesaria de p.Hemos tenido que hacer esta aclaración porque en estos dos últimos

enunciados que acabamos de estudiar, el condicional y el bicondicional,es donde el lenguaje cotidiano se separa de la Lógica y puede traicionar-nos. En castellano solemos emplear el condicional con sentido debicondicional muy frecuentemente. Es más, apenas empleamos el bi-condicional. Ya desde nuestra más tierna infancia (¿tierna?) hemosoído expresiones como ésta: «Si te comes la papilla te llevo esta tarde alparque» y hemos entendido, erróneamente, por supuesto, que si no la

ingerimos nos quedaremos privados del premio prometido.

Enunciados bicondicionales

_ Si, y sólo si, el partido acata la Constitución, podrá ser registradoen el Ministerio del Interior.

_ S l ingresará en la Universidad si apruebas el curso completo.e la hip tesis p demos decir que ha sido verificada sólo cuando

h a sid 'C m pr b ada e n óxit .Si, t i Il si , l 'St ll l lI ' , l a apatía p lítica , se p d rá hablar d, ti 1(1 111110' re Inll IIhl",

l O

3.1.5. La negación

- Nombre de la conectiva Negación (no ocurre ... ).-Símbolo .- Ejemplo en lógica . . . . . . . . . ( 1\ )p, - p q, etc.- Ejemplo en lenguaje

ordinario . . . . . . . . . . . . . . . . . Bolivia no tiene puerto de mar.No ocurre que Tarzán sea uno delos personajes de la obra deRousseau.

La negación es la única conectiva que podríamos llamar «singular»pues conecta con una sola forma, a diferencia de las conectivas anterio-res. q~e enlazaban dos fórmulas y por eso reciben el nombre de«binarias».

Una fórmula como esta: - p, puede leerse de las siguientes maneras:

«no ocurre p»«no se da p»«no es el caso que p»«no »»

Haremos notar, ~u~que no tenga mucha importancia, que mientrasti ue en el lenguaje 10gICO, la negación «-» antecede al enunciado enl":lstel lano la negación sigue al sujeto. Así, solemos decir «España no es(~Irerente» y no «N~ es el cas? que España sea diferente». En cualquierlIlSO, ambas expresiones se simbolizarían así: - p.

. La negación afecta siempre a un. solo enunciado, concretamente al queencuentra a la derecha de la misma. Veamos algunos ejemplos:

- p: La negación afecta, en este caso, a un enunciado atómicop. Se lee «no ocurre p», o de cualquiera de las formaspropuestas arriba.

- p 1\ q : En este caso la negación afecta a un solo enunciadoconcretamente al primer miembro de la conjunción. Se le~«no ocurre p y ocurre q».

{I -~ -q: Aquí la negación afecta también a un solo enunciadoncrctarnente al .onsecuente d 1 e ndi i nal Se lee «si

o urrc p nton es n currc q».



_p ~ _q: En esta fórmula cada una de las negaciones afecta a unsolo enunciado, esto es, a cada miembro del bicondicional.Se lee «si, y sólo si, no ocurre p, entonces no ocurre q».

-(p V q): Aquí hemos tenido, por primera vez, que utilizar elparéntesis, del que hablaremos a continuación. Bástenosdecir que la negación, en este ejemplo, afecta a un soloenunciado «rnolecular» disyuntivo. Se lee «no es el casoque ocurra p o q».

conecti~a dominante. Hasta a~ora no hemos tenido dificultad, puesapare~Ia solamen~e una conectIva, de tal manera que las formas de losenunciados que SIguen ser ían las siguientes:

p /\ q : forma conjuntivap V q : forma disyuntivap ~ q : forma condicionalp ~ q : forma bicondicional

Sin embargo, la forma de los siguientes enunciados nos la indicará laconectiva que aparezca fuera del paréntesis. Así:Negaciones

- No hay enigma._ La muerte no es ningún acontecimiento de la vida.- La muerte no se vive.

_ No son los problemas de la Ciencia Natural los que resuelve laLógica.

_ Lo que está excluido por la ley de la casualidad no puede

describirse.- El placer no puede describirse.- El cálculo no es un experimento.

(p /\ q ) ~ r: Este sería un enunciado condicional

cuyo antecedente es una conjunción e ;/\ q ) y cuyo consecuente, un enunciado

atómico r.Este sería un enunciado bicondicional ,compuesto en este caso por una dis-yunción, en uno de sus miembros, con-cretamente en el de la izquierda, y porun enunciado atómico en el otro.

(Recuérdese que sólo en el enuncia-

do condicional podemos hablar de an-

tecedente y de consecuente.)Enunciado conjuntivo compuesto pordos disyunciones.Enunciado condicional compuesto porla negación de p, como antecedente, ypor una disyunción entre dos conjun-ciones, en el consecuente.

(p V q ) ~ r:

(p V q) /\ (r V s) :

-p~[(q /\ r) V (r /\ s)]:

4. PARÉNTESIS y CORCHETES

Así como en el lenguaje ordinario hablado solemos hacer pausas (y sino lo hacemos se recomienda su empleo), y en el lenguaje ordinarioescri to usamos signos de puntuación, con el fin de dar sentido a lo quedecimos o escribimos y separar los pasos que estamos dando, en Lógicasimbólica será necesario el. uso de los paréntesis y de los corchetes.

Los paréntesis y los corchetes son, pues, signos de puntuación. Su uso

tiene dos objetivos primordiales:a) Evitar la ambigüedad y confusión de. algunas expresiones, comop ~ q ~ r, pues podemos interpretarlas así:

JERCICIOS

1. Si decimos que en las siguientes fórmulas la conectiva dominante hade ser la conjunción, ¿cómo tendremos que colocar los paréntesis?

1 . p V q /\ r.

2. p /\ q V r.

3. r /\ s V t.

4. V « /\ p.

p ~ (q ~ r )

o podemo interpretarías así:

(1 ' -~ q) r

Si d im s qu e en las sigu ient es r rrnu las la conectloa dominante had e S '1' la disY "/lció /I, 1 , m l n Ir íam o s qu co l ar I paré ntes is?

1 ) / ('/('C '/O l' de //lII/('c l/(I/o /(/ [onu« de coda { '/II1/1C;m /o,

Pllll'll I 'I\\O~ 1)(\1' [anun ti · 111\ l'lllllll'iado la ((11' vi '11 ' da 1[1 101' la



1 . p 1\ q V t.

2. r 1\ s 1\ t.

3. p 1\ q V r.

4. p V q 1\ r.

3. ¿Qué formas tienen los siguientes enunciados?:

1 . p -7 (q 1\ r) .

2. (a 1\ b) ~ c.

3. (s V t) -7 (q 1\ p).

4. (p -7q) V s.

5. [(P -7q) 1\ (q -7 r) ] -7 (p -7 r) .

Solución de los ejercicios anteriores

Ejercicio 1

1 . (p V q) 1\ r.

2. p 1\ (q V r) .

3. r 1\ (s V t).

4. (t V q) 1\ p.

Ejercicio 2

1. (p 1\ q) V t.

2. (r 1\ s) V t.

3 . (p 1\ q) V r.

4. p V (q 1\ r).

Ejercicio 3

l. Enunciado condicional.

2. Enunciado bic ndicional.

nunciad e ndi ional.

4. Enun .ind

Ejercicio -refuerzo

Vamos a ofrecer a continuación una serie de textos. (Por meracuriosidad se indica, depues de cada uno, el nombre de su autor.) Elejercicio va a consistir:

a) En simbolizar dichos textos, utilizando ya los paréntesis.b) En decir, una vez simbolizados, qué forma tienen esos enuncia-

dos.

1. «La mejor comunidad política es la formada por los ciudadanos dela clase media.» (Aristóteles.)

2. «El tirano procurará saber qué hace o qué dice cada uno de losciudadanos y deberá emplear espías como las mujeres policía de

Siracusa o delatores como los que solía enviar Hierón a todos loslugares de reu ni ón. » (Aristóteles.)

3. «El miedo de los delatores 'impide que el pueblo manifieste susideas.» (Aristóteles.)

4. «La libertad no puede existir verdaderamente sino allí donde elpueblo ejerce la soberanía.» (Cicerón.)

5. «Nos creemos que estamos iniciados en los secretos de la naturale-za y en realidad estamos tan sólo en iel umbral del templo.»(Séneca.)

6. «Si un pueblo está obligado a obeceder y obedece, hace bien, y si.puede sacudir el yugo y lo sacude, hace aún mejor.» (Rousseau.)

7. «Evitaremos la invasión extranjera y el daño del prójimo si, y sólosi, conferimos todo el poder a un solo hombre o a una asamblea.»(Hobbes.)

8. «Todavía no sabemos hasta qué grado de logro ha de llegar la

naturaleza humana ni tampoco lo que puede esperarse de lahumanidad por causa del cualquier gran revolución.» (Hume.)

9. «Si es cierto que el carácter del espíritu y las pasiones del corazónson extremadamente diferentes en los diversos climas, entonces lasleyes deberán ser relativas a la diferencia de esas pasiones y a ladiferencia de esos caracteres.» (Montesquieu.)

1 0 . «El gobierno republicano es aquel en el cual el pueblo todo, o sólouna parte de él, posee la potencia soberana.» (Montesquieu.)

1 1 . «Si en la república el puebl en peso detenta el poder soberano, setrata de una d mocracia, y si el p der beran está en manos deu na tl rt d '1 u ' I , S ll am a arist ra ia.» (M nt qu i u .)



12. «Si traicionas a los amigos y no eres leal ni piadoso, entoncesconsigues el imperio y no consigues la gloria.» (Maquiavelo.)

13. «Si cualquier forma de gobierno se vuelve destructiva entonces esderecho del pueblo alterarlo o abolirlo e instituir uno nuevo.»(Jefferson, Declaración de la Independencia.)

14. «No podrá la fuerza pública practicar registros o confiscar bienesen la casa de los ciudadanos y no podrá intervenir en sus papeles ointervenir en sus documentos.;;.-' (Bill of Rights o Declaración de

Derechos del Congreso Americano de 1789.)

15. «Los españoles soltaron sus perros sobre los indios como si d~animales feroces se tratara y saquearon el Nuevo Mundo como Si

fuera una ciudad tomada al asalto.» (Tocqueville.)

Solución al ejercicio-refuerzo anterior

(Se advierte que no tiene ninguna importancia que no coincida ellector con las variables de enunciado que aparezcan en la solución. En loque sí debe coincidir es en los signos de las conectivas, negaciones ylugar de los paréntesis. Ejemplo: Si la solución propuesta es (p V q ) _ r,el lector muy bien ha podido escribir (a V b ) _ c.) ,

1 .

2.

p, enunciado atómico.

(p V q ) A (r V s) , enunciado conjuntivo, compuesto por dosdisyunciones.

q, enunciado atómico.

-r, negación de un enunciado atómico.

p A q , enunciado conjuntivo.

[(p A q ) - r] A [(a A b) _ c], enunciado conjuntivo.

(p A q ) ~ (r V s), enunciado bicondicional.

- p A -q, enunciado conjuntivo.

(p A q) _ (r A s), enunciado condicional.

3 .

4.

5.

6.

7.

8.

9 .

10 .

1 1 .

I ,

p V q , enunciad

( p > 1 /) A (r s ,

( / ' A -tI A , .~

disyuntivo.

'nUJ1 'ud njuntive.

.n 1 1 neio lo eond icionn].Al),

1 . 3 . p _ (q V r A s) , enunciado condicional.

14. -(p V q ) A -(r V s), enunciado conjuntivo.

1 5 . p A q, enunciado conjuntivo.

EJERCICIO

Añadir los paréntesis que conven~ sabiendo qué tipo de enunciadoes cada uno de los que ~~~ro/: .

l. P _ q A r: es co~l.

2. a A b - c: es conjunción.

3. a V c ~ b: es bicondicional.

4. p V q _ r: es disyunción.

Solución

l. p-(qAr).

a A (b - c).

1 . (a V c) ~ b.

p V (q - r).

CUESTIONES QUE CONVIENE RECORDAR

1 1 ) Un enunciado es toda proposición de la cual podamos decir que esverdadera o que es falsa. Una expresión de la que no podamos decirsu verdad o su falsedad no será considerada un enunciado.

1 , ) Existen dos tipos de enunciados: los atómicos, formados por unaola proposición, y los moleculares, formados por dos o másproposiciones. No obstante, el enunciado molecular más reducidoes el formado por un enunciado atómico negado ( - p) .

,) Los términos de enlace o conectivas son las partículas lógicas queunen proposiciones, dando lugar a enunciados moleculares.

r I) Los enunciados atómicos se simbolizan mediante letras minúsculas.Estas letras reciben el nombre de variables de enunciado.

,.) Las conectivas o términos de enlace se simbolizan del siguientemodo: A para y; V para o; _ para si o o . , entonces o o . ; ~ para si, ysólo' .i, o o . , entonces o o . ; - para la negación. Estas partículas sonronst ant es lógicas.

1 ) Existen d s tip s d disyun i n s: la disyun 'iou in .lusiua y la"¡s l/II/1ció /I e , c lusi oo o (' c lu eut e . LfI in lusivu , i J V 1/, s l « urr

7



p u ocurre q o ambas». La exclusiva, p = / = q, se lee «ocurre p uocurre q, pero no ambas». Util izaremos sólo la disyunción exclusi-va. Las razones' se explicarán más adelante.

g) En un enunciado condiconal (p ~q) el primer miembro, el queaparece antes de la flecha, recibe el nombre de antecedente, y elsegundo miembro, el que aparece detrás de la flecha, recibe elnombre de consecuente. En los demás tipos de enunciados se habla -de miembros de los mismos.

h) En un enunciado bicondicional (p +-7 q) entendemos que p escondición necesaria y suficiente de q y que q es condición suficientey necesaria de p. Así, p +-7 q equivale a (p ~ q) 1\ (q ~ p).

i) La negación afecta siempre a un solo enunciado, concretamente alenunciado que, en la fórmula, se encuentre a la derecha del signo de

la necgación. Así, en - p la negación afecta a p y en - (p V q) lanegación afecta al enunciado molecular disyuntivo.

j) Los paréntesis y corchetes son signos de puntuación y nos indican laforma de los enunciados. De no haber paréntesis, la forma decualquier enunciado vendría dada por la conectiva dominante. «No»( -) es la conectiva más débil, le siguen la disyunción (V) y laconjunción (1\), el condicional (~) y el bicondicional (+-7). Noobstante, el uso del paréntesis evita cualquier confusión.

Pasemos ahora, a título de curiosidad, a ofrecer en la siguiente tablauna muestra de la correspondencia entre las principales notacionesempleadas en Lógica matemática 1.

Scholz ~ V 1\ -> <--> Usa paréntesis

Hilbert-Ackermannp V & Usa paréntesis

l.a-3.a ed.-> ~

Hilbert-AckermannV 1\ Us á paréntesis

4.aed.

-p -> <-->

Russell ~ V • : :: > - Usa puntos

Carnap ~ V • ::: >Usa puntos y

- paréntesis

Lukasiewicz * Np Apq Kpq Cpq Epq Ni paréntesis ni puntos

1 Sacristán, M.: lntrotluc 'i61 1 a la Lógica y al análisis formal, Ariel, Barcelona, 1969,pú . 87.

* Sobr' 111nt In 'i n J)()II '[1, () de L:lkllsi wicz, trutar mos TIun HPlll'llido esp ial, al1 n ti d -1 ' 1 '11 I t! de uuu ' lid ) • 1 )1 ' 1 ',J)' 'illl inl r que r 'vist· r 'sj1' 'to 11 unn 11 1 'j r

'(lIl1líl 111 h 1 1 Ih 11 1 011 1 1 1 d \ lo \1 1 11 1 1 Ido \ \11 cner 1 1 ,

no" Parte

Valores y tablas de verdad.

VALORES y TABLAS DE VERDAD

Hemos dicho ya, repetidamente, que todo enunciado es aquellaproposición de la cual podemos decir o bien que es verdadera o bien que's falsa. Hasta ahora sólo hemos estudiado los enunciados y los.squemas de enunciados, sin prestar atención a su verdad o falsedad.. Vamos, pues, en este apartado a estudiar los valores de verdad que

pueden tener los enunciados y las tablas de verdad que podemos.onstruir a. partir de ellos.

1.1. Valores de verdad de los enunciados atómicos

Es obvio que un enunciado atómico sólo puede tener dos valores: o,1de verdad o el de falsedad. Así, la construcción de la tabla de verdad deun enunciado atómico nos parecerá enormente sencilla:

Sea p un enunciado. Si decimos del enunciado que es verdadero, lo.xpresamos mediante el símbolo «V», y si decimos de él que es falso, loexpresamos mediante el símbolo «F». (Puede emplearse y se emplea con.j .rta frecuencia el número 1 para la verdad y el número Opara expresar

1 1 falsedad. Preferimos, no obstante, utilizar V y F y así lo haremos deihora en adelante.) La tabla de verdad de un enunciado atómico será,¡lll 'S, la siguiente:

p

VF

L u labia de verdad n pr t nd r flcjar el valor de un enunciado,1 1 I '/ \ l it! b •m fl q U P i 1 1 S V s F , si 1 1 sta 1 r l d s 1 S P si b I es



valores que. puede tener un enunciado, cosa que veremos con másclaridad cuando de enunciados moleculares se trate.

1.2. Tabla de verdad de los enunciados moleculares

Con una sola variable de enunciado, p, como hemos visto antes, latabla de verdad que se construye es:

p

VF

y con ello queríamos representar que cualquier enunciado atómicopuede tener o bien el valor de verdad (V) o bien el valor de falsedad (F).

En un enunciado molecular aparecen, al menos, dos variables deenunciado, p, q, unidas por cualquiera de las conectivas o términos deenlace que ya conocemos.

Para establecer la verdad de un enunciado molecular tendremosprimero que saber qué posibles combin'aciones pueden existir entre laverdad o la falsedad de los enunciados que lo componen.

Así, las combinaciones de los valores de p y de los valores de q

serían:C' l e f~ \ f' e ,

l''---

P ~--\ q \) V

r VV

1 .aV 'v r

F~F<-, ~

\._~)

Como vemos en la gráfica empleada, las combinaciones posiblesentre dos enunciados (luego introduciremos las conectivas correspon-dientes) son cuatro:

.La primera: En la que p es V y q es V

a s u nd a: En la que p es F y q es V

L a l re 1 '1 I : En la qu p s V y q S l'

L o '11 I11 " 1 : H i t 11 ItI' {I N I" ({ I. 'S 1"

r o

Así, las posibles combinaciones quedarían refle jadas del s iguiente modo:

p q

V 1 a VF 2.a VV 3.a FF 4.a F

~i en vez de tratarse de dos enunciados, intervienen tres las combi-naciones serían las siguientes: '

p q r

------V V VF V VV F VF F VV V FF V FV F FF F F

Es decir (observando el esquema anterior), puede que:

Los tres enunciados sean verdaderos.Que el primero sea falso y los otros dos verdaderosQue sólo el segundo sea falso. .Que los dos primeros sean falsos y el tercero verdadero.Etc.

Para saber cuál será el número de combinaciones posibles de losvalores de verdad. de. los enunciados que componen un enunciadoIllol~cular y que coincide con el núme~o de uves (V) y de efes (F) queha~I á que colocar en columna debajo de cada enunciado atómicoiplicaremos la siguiente fórmula: '

Combinaciones posibles = 2" (dos elevado a n)

1 1 / número 2 refleja los valores de cada enunciado atómico que, como11 1) o s, . son V o F; y n el número de enunciados que intervengan en lal' pr 'SI n molecular.

Hsto s, si tenemos que averiguar la tabla de verdad de un enunciado1111l1() stc: ( 1 7 q) V ( 1 ' 1\ s) sab mos que la combinacione serán 24

(dos '1'vado a uatro), d nd 4 indi u los nun iad S distint qu

. 1



aparecen en la fórmula, en este caso: p, q, r, s, así: 24 = 16 combinacio-

nes.De esta forma, las combinaciones entre p, q, r, s serían:

p q r s--------

V} ~}1 1

V

F V

V F V

F F V

V V F V

F V F V

V F F V

F F F V

V V V FF V V FV F V FF F V FV V F FF V F FV F F FF F F F

Se indica mediante llaves el modo de ir colocando las uves y las efespara su más fácil elaboración. Así, el primer enunciado llevará comovalores, en columna, una V y una F y así hasta donde convenga (2"). Elsegundo, dos uves y dos efes. El tercero, cuatro uves y cuatro efes. Elcuarto, ocho uves y ocho efes, etc.

Hasta ahora hemos considerado solamente el modo de combinar losvalores de verdad de dos o más enunciados y la fórmula (2") paraaveriguar el número de combinaciones posibles que puede haber entre

ellos.

Este es, pues, el momento de averiguar la verdad de los enunciadosmoleculares, esto es, con la intervención de las conectivas, la singular(negación) y las binarias (A , V , ~, + - + ) que ya conocemos.

Se trata, pues, de hallar la tabla de verdad de cada una de ellas. Nohablaremos ya de la verdad de los enunciados atómicos que las compo-nen, sino de la verdad de la negación, de la conjunción, de la disyuncióndel condicional y del bicondicional.

1.3. Tabla de verdad de la negación

l\ 1 1 IIn nun in lo. (111) tul. ti n d s val res posibl 'S d v rdad.Pll ¡I( , '1 V rd ul '1'0 (V ) o I \1 d r r tls )

Sea - p la negación de p. Este nuevo enunciado tendrá también dosposibles valores de verdad. Puede ser verdadero (V) o puede ser falso(F).

Es obv~o que s~ ,P es ver?adero (V), su negación será falsa (F).Es ObVIOtambién que SI p es falso (F), su negación será verdadera

(V ). De donde:

p -p

V FF V

Verdad de la negación

Si un. enunciado cualquiera es verdadero, su negación seráfalsa, y SIese enunciado es falso, su negación será verdadera.

Ejemplo:

Este l ibro trata de introducir al lector en el cultivo de las hortalizas

F

Este libro no trata de introducir al lector en el cultivo de las hortalizas

V

E~ general, podemos decir, y ya lo veremos más tarde, que cuandoIInH formula es verdadera, su negación será falsa, y cuando una fórmula1\ falsa, su negación será verdadera.

Así:Si (p A q) es un enunciado verdadero -(p A q) será unenunciado falso. '

Si -(p '! q) es un enunciado verdadero, (p V q) será unenunciado falso.

Est I verem e n más detenimiento en las tablas de verdad de las1)11 tivHs b in ar ias que si ucn. '.



1.4. Tabla de verdad de la conjunción

Sean dos enunciados atómicos, V, q. Con ellos podemos formar un

enunciado molecular conjuntivo: (p /\ q).La verdad de V no nos interesa como tal, tampoco la de q. Lo que

nos interesa es saber la verdad de este nuevo enUnCl~?O V /\ q. .Ahora es cuando tenemos que recordar lo que .dijimos al comienzo

de este apartado: La combinación de los valores de verdad de dos

enunciados sería:

V q

----V VF VV FF F

Pues bien, ahora tenemos que hallar la verdad de V /\ q teniendo en

cuenta estas combinaciones.Así:

Vq

VVFF

VFFF

VFVF

Vemos, pues, que:Cuando V es verdadera (V) Y q verdadera (V), la conjunción

de V y q es verdadera. . . ,

Cuando V es falsa (F ) y q verdadera (V), la conJunclones falsa. ..Cuando V es verdadera (V) Y q falsa (F), la conjunción

es falsa.Cuando V es falsa (F) Y q falsa (F), la conjunción

de V y q es falsa.

Ejemplo:

«Newton descubrió la ley de la gravitación universal y Einstein fue

prim r hombre qu pisó la una.»

hvium ntc, 11 tc cj '01pl > , I pri~ '1 " nun in 1 f l v rdudcro y¡' lindo 1 1 ) ION. \) 1 1 11 1 I\ 1 11 H ,. I tu 1 1 1 IOrlllllltl 1 1 /\ u ,r(1 flllNa. orno

\ I

vemos no nos referim~s, a la verdad de .uno u otro de los enunciados quecoml?onen esta expresion molecular, sino a la expresión misma.

Si recordam?s cómo se leía la expresión V /\ q: «ocurre V y ocurre q» ,

podemos de~ucir que basta con que uno de los miembros sea falso paraque el enunciado molecular conjuntivo sea falso también.

De donde:

Verdad de la conjunción

Para que una conjunción sea verdadera es necesario que susdos miembros sean verdaderos.

C<?t;I0 ya sabemos l~ tabla de verdad de la conjunción y de lan.e~aclOn, podemos considerar ahora que algún miembro de la conjun-cion v~ya negado, o que estén negados los dos, o que esté negado todo elenunciado.

Esto es, que se nos pida hallar la tabla de verdad de fórmulas comoéstas:

1 .0 V/\ -q 2. ° -V /\ -q 3. ° -(V /\ q)

Veamos:

1 .0 Tabla de V /\ -q:

V /\ -q

V V VF F V

V F FF F F

También se podría, supuestos los valores de la combinación anterior'laborar la tabla de este modo: '

V /\ -q

VFVF

F FF FV VF V



Esto es, invirtiendo los valore~ en. -: q. podedmdosobs,~rv~~;:~ot~~~o d~~en otro la conJunclOn es ver a era so o .

::e:-~~o~o~oson, sol~ que en una tabla aparece la verdad en pnmer

lugar y en la otra en tercer lugar.Veámoslo:

1\ -q p 1\ -qp

[V V vi V F F

F F V F F F

V F F Iv V vlF F F F F V

.. •

2.° Tabla de -p 1\ -q:

-p 1\ -q

V V VF F VV F FF F F

3.0 Tabla de -(p 1\ q).En este tercer caso tendríamos que hacer lo

siguiente:a) Hallar, en pri~er lugar, la verdad del enunciado conjuntivo

inscrito en el paréntesis. d b' d 1 gaciónb) Invertir los valores obtenidos y colocarlos e ajo e a ne .

Así:

(p 1\ q)

F V V V

V F F V

V V F F

V F F FI J

2.°1 .0

decíam s en la tabla d. la nc ación:

i n s r á falsu, y R I una r rrnula '¡' ¡

\/ t

1.5. Tabla de verdad de la disyunción

Sean dos enunciados atómicos p, q. Con ellos podemos formar unenunciado molecular disyuntivo p V q, Y sólo nos interesará ahora laverdad de este nuevo enunciado, de esta disyunción.

Antes de componer la tabla de verdad de la disyunción convienerecordar lo que decíarnos antes cuando tratábamos la disyunción comoconectiva: .

- Recordar que existen dos tipos de disyunción: la inclusiva y laexclusiva.

- Recordar que la disyunción inclusiva p V q se leía: «ocurre p obien ocurre q o bien ocurren ambas».

- Recordar que la disyunción exclusiva p i= q se leía: «o bien ocurre

p o bien ocurre q pero no ambas».- y recordar que aquí estamos sólo tratando de la primera.

Dicho esto, la tabla de la disyunción inclusiva sería como sigue:

p V q

V· V VF, V VV V FF F F

De donde:

Verdad de la disyunción

Para que una disyunción sea verdadera es necesano que almenos uno de sus miembros sea verdadero.

Solamente, pues, la disyunción es falsa cuando sus dos miembros sonfalsos.

Ejemplo:

«El Sol gira alrededor de la Tierra»

p

.7



o«El Sol gira en torno a la Luna»

q

En este caso:

pVq

FFF

sería un ejemplo de disyunción falsa, pues cada uno de su miembros es .

falso.

«El Sol gira alrededor de la Tierra»

p

En este caso:

o «La Tierra gira alrededor del Sol»

q

pVq

FVV

sería este un enunciado verdadero, pues uno de sus miembros, obvia-

mente el segundo es verdadero. d d d 1A título de curiosidad, vamos a compara~ las tablas de ver a e a

dis unción inclusiva Y de la disyunción exclustoa ? ~xcl~yente, con el finde Ycomprender mejor la primera y de saber dlstmgUlrla de ahora en

adelante de la segunda.

Disyunción inclusiva

v q

Disyunción exclusiva

p q

v V V

V F. V

F V V F V V

V V F V V F

F F F F F E

"T ~

Si recordamos ahora la ley de la disyunción. obviamente e.n c~so~

este. (p V q) V r sólo será necesario que uno de los mlemdr~scomo esie: , . d ( V ) V fuera verda CIfuera verdadero para que el enuncia o p q r,

también.Veamos:

.nu n 'illd< t i li¡{tinto,. 11 sto 'IIH( tr 'S" lfl~

r 11 ) hü, • l 1 '1{ 1 .

IK

(p V q ) V r

V V V V VF V V V VV V F V VF F F V VV V V V FF V V V FV V F V FF F F F F

Como ya sabemos la ley de verdad de la negación, de la conjunción yde la disyunción, convendría ver ahora enunciados en los que aparezcanestas conectivas. Cada vez que estudiemos una nueva tabla haremos lomismo.

Sea, por ejemplo, el enunciado (p 1\ q) V r. Se nos pide hallar laverdad del mismo. Si recordamos ahora la función de los paréntesiscomo signos de puntuación, comprenderemos que este enunciado es unenunciado disyuntivo, pues el símbolo de la conectiva «V» que aparecefuera del paréntesis le da forma al enunciado. Por tanto, la verdad delmismo se encontrará debajo del s ímbolo «V» y tendremos que proceder,para averiguarla, de la siguiente manera:

1 .0 Colocaremos los valores debajo de cada variable de enunciado,/ 1 , q, r, en este caso, aplicando la fórmula 2" y en el orden convencionaltiue ya sabemos.

2. ° Hallaremos la verdad de la conjunción inscrita en el paréntesis(aplicando, por supuesto, la ley de la conjunción) y colocaremos losvalores obtenidos debajo de la conectiva «1\ ».

3.° Estableceremos la verdad de la disyunción comparando lav .rdad de «1\» y los valores de verdad de r, colocando este resultadod 'bajo de «V». Así:

(p 1\ q) V r

V V V V VF F V V VV F F V VF F F V VV V V V FF F V F FV F F F FF F F F FI I I

1 o 2. °

, I



A la vista de esta tabla, diremos que el anterior enunciado esverdadero en las cinco primeras circunstancias y falso en las tres úl timas.

Veamos ahora el siguiente enunciado: . \

(p V q) 1\ -(-p 1\ -q)

Se trata de 'un enunciado. conjuntivo, cuyo primer miembro es una'disyunción de p, q y cuyo segundo miembro es la negación de laconjunción de la negación de p y de la negación de q.

Para elaborar la tabla de verdad de este enunciado tendremos queproceder de la siguiente forma:

1 .0 Colocaremos los valores debajo de cada variable de enunciados.En este caso serán sólo cuatro valores, pues sólo son dos las variablesdistintas. El hecho de que p y q vayan negadas en uno de los miembrosde la conjunción no altera para nada la aplicación de la fórmula 2", eneste caso 22 =4.

2.° Hallaremos la verdad de la disyunción.3.° Hallaremos la verdad de la conjunción inscrita en el paréntesis.4.° Invertiremos los valores obtenidos en «1\ » y los colocaremos'

debajo de la negación que antecede al paréntesis.5.° Estableceremos la verdad de la conjunción comparando los

valores de la disyunción y los valores de la negación que indicábamos en .el cuarto paso. Para una mejor comprensión de estos momentos vamos arepresentarlos por separado:

1 .0

(p V q) (-p 1\ -q)

V V F F

F V V FV F F VF. F V V

2.°

(p V q) 1\ (-p 1\ -q)

V V VF V V V I -

V V F F V, , ' F 1 , ' V V

1 0

3.°I r

(p V q) 1\ (-p 1\ -q)

V V V F F FF V V V F FV V F F F VF F F V V V

4.°

(p V q) 1\ (p j\ -q)

V V V V F F F,>F V V V V F FV V F V F F VF F F F V V V

5.°

(p V q) 1\ (- p 1\ -q)

V V V V V F F FF V V V V V F FV V F V V F F VF F F F F V V V

Podemos decir, pues? a la vista de esta tabla, que este enunciado esverdadero en las tres pnmeras circunstancias y falso en la cuarta.

EJERCICIOS

1, Indicar debajo de cada conectiva la verdad o falsedad de .losenunciados, teniendo en cuenta los valores de verdad de susmiembros:

pVq pl\q pl\ q pVqV F F V F F F F

2. Indicar ?ebajo de la negación la verdad o falsedad de los enuncia-dos t~D\end.o e~ cuenta, primero, la verdad o falsedad de losenunCIados inscntos en el paréntesis:

-(p 1\ q) -(p V q) -(p V q) - - = iP . J \ q)F -- --V , , ' F V V F F

41



Elaborar las tablas de verdad de los enunciados siguientes:1.6. Tabla de verdad del condicional

3.

(p V -q) 1 \ -p P V -( -p 1 \ q)Sean dos enunciados atómicos p , q . Con ellos podemos formar un

(p 1 \ q) V -( p 1 \ r) enunciado condicional del tipo p ~ q.

Antes de establecer la verdad de un enunciado condicional convieneaclarar algunas cuestiones:

En el condicional (p ~ q) , el antec edente p es condición suficiente del

Soluciones co nsecu ente q, pero no es condición necesaria de q. Quiere esto decir queen una expresión (p ~ q) dado el caso de que ocurra p decimos que q

Ejercicio 1debe ocurrir; no obstante, entendemos que q p ued e o cu rrir sin que se dep . (Esto es lo que quiere decir que en un enunciado condicional el

V 1 \ q p 1 \ q P V q antecedente es condición suficiente pero no necesaria del consecuente.)p q' p

F F Con la expresión (p ~ q) queremos decir que si ocurre p entonces

F F F VF F F F

V V ocurre q, y nada más . No debe entenderse esta expresión como es usual

Ejercicio 2en el lenguaje ordinario, esto es, que si no es cierto que p ocurratampoco es cierto que ocurra q.

(p V q) (p V q) (p 1 \ q) Así:(p 1\ q)

V V V F F FV V F F V F F F F V

p~q

Ejercicio 3'. deci <Si ocurre p , entonces ocurre qqUiere eCIr: ,

. q puede ocurnr

(p 1 \ q) V (p 1 \ r) SI es falso que p , ocurre entonces< . ., . q puede no ocurnr

V V V V F V V V

F F V V V F F V

V F F F F V V VEjemplo:

F F F V V F F V

V V V V V V F F «Si apruebas el curso, entonces te llevo a Francia.»

F F V V V F F F Esta expresión, aplicando el esquema anterior, ha' de entenderse delV F F V . V V F F siguiente modo:F F F V V F F F

I 1 I I 1Apruebas el curso vas a Francia p~q

3 .° 2.° a). 0V V V

I I

4. ° b)Apruebas el curso vas a Francia p~q

F V V

-q ) 1 \ P V (-p 1 \ q )Apruebas el curso vas a Francia(p V -p

c)p~q

V V F FV V V F F

V V V F FV V V

V V V F F F ¡\ pr u cba.s el cur vas a Francia p ~qF V

V V F P ti)V r F VV V V F 1 '

l o ' F r V V



Interesa llamar la atención sobre las circunstancias b) Y d). (Lascircunstancias a) y c) son fácilmente comprensibles.)

En la circunstancia b), el antecedente es falso y el consecuente

verdadero y en este. caso decimos que el condicional p - q es verdadero.

Recordemos que estamos estudiando una Lógica «bivalente», esto es,que cada enunciado puede ser verdadero o falso. Pues bien, del hechoque sea falso que apruebes el curso no se deduce que sea falso que vayasa Francia, por tanto, el condicional p - q es verdadero porque no esfalso.

Solemos entender mejor la circunstancia d) aunque tenga la mismadificultad que la b) : Si p es falso y q es falso, entonces el condicional p -

q es verdadero.Recuérdese lo que se dijo antes:

q puede ser verdaderoSi p es falso, entonces r" d c. 1- -- - q pue e ser la so

y en ambos casos el condicional es verdadero, puesto que la falsedad dep y la falsedad de q no hacen falso al condicional. .

La circunstancia d) que nos ocupa solemos emplearla con muchafrecuencia en el lenguaje ordinario. Solemos construir condicionalesverdaderos cuyos antecedentes y consecuentes son falsos:

«Si has estado en la cima del Everest, yo soy el obispo de Calaho-

rra.»«Si Cervantes escribió Cien años de soledad, entonces yo soy el

presidente de los Estados Unidos.»

En los ejemplos anteriores se ha realizado una conexión entre dosproposiciones absurdas, dando lugar a condicionales verdaderos.

Dicho esto, la tabla de verdad del condicional puede ya presentarse:

p - q

v V VF V VV F FF V F

De donde, verdad del condicional:

Un enunciad e ndicional si' falso cuand el ant ed nteS v rdadcr y I ns 11 ntc falso. (En los d más as s eln li i mal s si .rnp r v '1' In I 'r< .)

1 I

Conviene, pues, recordar que tanto en Lógica como en Matemáticas,una proposición condicional es verdadera siempre que el consecuentesea verdadero, y es falso sólo en el caso de que el antecedente seaverdadero y el consecuente falso.

Si el antecedente ocurre, entonces debemos esperar que ocurra elconsecuente. Pero si el antecedente no ocurre, el consecuente puedeocurrir o no, y en estos dos últimos casos el enunciado es verdadero.

Recordemos que en un enunciado condicional, el antecedente escondición del consecuente, condición suficiente, pero no necesaria. Elconsecuente, pues, puede ocurrir sin que se de el antecedente.

Veamos ahora algunos ejemplos de tablas de verdad en las que seincluya la conectiva condicional:

Ejemplos:

l.0 Hallar la verdad del siguiente enunciado:

«Si es cierto que el carácter del espíritu y las pasiones delcorazón son extremadamente diferentes en los diversos climasentonces las leyes deberán ser relativas a la diferencia de esaspasiones y a la diferencia de esos caracteres.» (Montesquieu.)

La simbolización de este enunciado sería: (p 1\ q) _ (r 1\ s) , ysu tabla de verdad:

(p 1\ q) - (r s)

V V V V V V VF F V V V V VV F F V V V VF F F V V V V

Iv V V F F F viF F V V F F V

V F F V F F VF F F V F F VIV V V F V F FIF F V V V F FV F F V V F FF F F V V F F

IV V V F F F FIF. F V V F F FV F F V F F FF F F V F F F

L-

4



Notas sobre la tabla anterior:

a) Para su confección, como se trata de cuatro enunciadosdiferentes, y aplicando la fórmula 2" , en este caso 24-, se handado 16 valores a cada enunciado, en el orden que se obser-

va.

b) Se halla primero la verdad del antecedente, que es la primeraconjunción inscrita en el paréntesis. Luego, la verdad delconsecuente, en este caso la verdad de la conjunción inscritaen el segundo paréntesis, y luego se esta?lece la v~rdad delenunciado, comparando los valores obtenidos y aphcando laley del condicional.

c) Este enunciado de Montesquieu sólo es falso en las circunstan-

cias que se indican en los recuadros horizontales.2.0 Hallar la verdad del siguiente enunciado:

«Si el devenir es un gran anillo, entonces las cosas tendrán elmismo valor, y si todas las cosas tienen el mismo valor ,' seránigualmente necesarias; entonces, si el d~venir es un gran anillo,todas las cosas serán igualmente necesanas.»

La simbolización de este enunciado sería [(p ~ q ) 1\ (q ~ r)] -4

(p ~ r), y su tabla de verdad la siguiente:

[(p q) 1\ (q ~ r ) ] ~ (p ~ r )~

V V V V V V V V V V V

F' V V V V V V V F V V

V F F F F V V V V V V

F V F V F V V V F V V

V V V F V F F V V F F

F V Y F , V F F V F V F

V F F F F V F V VF F

F V F V F V F V F V F

Nótese que este enunciado es verdadero en todas las circuns-tancias. De la existencia de este tipo de enunciados y de suestructura, hablaremos en apartados posteriores.

1.7. Tabla de verdad del bicondicional

'1 enunciado bie ndi .ional S' simboliza, mo ya h n )s visto,

.stu ro n a: p ( • q.

, 1 \

La lectura de los dos enunciados que siguen es:

p ~ q: Si ocurre p, entonces ocurre q.

p ~ q: Si, y sólo si, ocurre p, entonces ocurre q.

Como vemos, no sólo la simbolización, sino también la lectura de lamisma, dist inguen claramente al enunciado condicional y al bicondicio-nal.

En el enunciado bicondicional el antecedente es codición suficiente ynecesaria del consecuente. ¿Qué quiere decir esto? Pues quiere decir quedel hecho de que ocurra p, y solamente p, podemos inferir que necesaria-mente ocurre q.

En el enunciado bicondicional p es la única causa de q (condiciónsuficiente), de tal modo que si p es verdadero, q ha de ser verdadero, y sip es falso, q ha de ser falso (condición necesaria).

El esquema, pues, de este enunciado éxige que se lea de la siguienteforma:

«Si, y sólo si, ocurre p, entonces ocurre q.»

Lo cual podría dar pie a invertir correctamente los términos yestablecer la siguiente equivalencia:

«Si, y sólo si, ocurre q, entonces ocurre p.»

Nótese, pues, que en el bicondicional no podemos hablar ya deantecedente, y de consecuente, y que estas expresiones sólo seríancorrectas en el enunciado condicional.

De tal forma que:

p~q q~p

sto es, el enunciado condicional no posee la propiedad conmutativa. Elenunciado bicondicional sí posee la propiedad conmutativa.

(De las conect ivas binarias que hemos analizado podemos observarque la propiedad conmutativa pertenece a todas ellas excepto a la.onectiva condicional.)

Así:

p 1\ q equivale a q 1\ p

p V q equivale a q V p

p ~ q equivale a q ~ p

p q no quiual a q f J

47



De ahí que el enunciado bicondicional, como y.a ~ijimos en elapartado dedicado a esta conectiva pueda leerse de las siguientes formas:

p ~ q: Si, y sólo si, ocurre p, entonces ocurre q.

Si, Y s ólo si, ocurre q, entonces ocurre p.

_ p ~ q: Si, y sólo si, no ocurre p, entonces ocurre q.

Si, Ysólo si, ocurre q, entonces no ocurre p.

p ~ _q: Si, y sólo si, ocurre p, entonces no ocurre q.

Si, Ysólo si, no ocurre q, entonces ocurre p.

_ p ~ _ q: Si, y sólo si, no ocurre p, entonces no ocurre q.

Si, Ysólo si, no ocurre q, entonces no ocurre p.

De ahí también que el propio bicondicional equivalga a la co~jun-ción de dos condicionales, pues cualesquiera de las lecturas antenores

podrían simbolizarse de la siguiente forma:

p~q

-p ~q

p ~ -q

-p ~-q

(p -+ q) A (q -+ p)

(-p -+q ) A (q -+ -p)

(p -+ -q) A (-q -+ p)

(-p -+ -q) A (-q -+ -p)

Utilizando el ejemplo del apartado anteri.o~ podemos ~er C ? ~ má~claridad la diferencia entre el enunciado condicional y el hicondicional:

Enunciado condicional Enunciado bicondicional

«Si apruebas el curso,vas a Francia»

«Si, y sólo si, apruebas el curso,vas a Francia»

Posibilidades:

Apruebas el curso vas a Francia Apruebas el curso vas a Francia

VV V V

a)p-+q p~q

V V

Apruebas el curso vas a Francia Apruebas el cur o vas a Fran itly

F V Fb) p -~ q " ~ ~ q

y F


V F V Fc)

p-+q p~q

F F


F F F Fd)

p-+q p~q

V V

En estas columnas podemos ver que en el caso b) el condicional y elbicondicional se diferencian en cuanto a su verdad. En el caso del condi-

cional tendríamos que decir que aunque el antecedente sea falso, elconsecuente puede ocurrir o no (en este caso es verdadero), y elcondicional, por tanto, es verdadero.

Pero en el caso del bicondicional el hecho de que el enunciado de laizquierda, en este caso p, sea falso, y el enunciado de la derecha, en estecaso q, sea verdadero, hace que el bicondicional sea falso, puesto que laúnica condición de que ocurra q es que ocurra p, y la única condición deque ocurra p es que ocurra q.

De ahí que la tabla de verdad del enunciado bicondicional quede.expresada de la siguiente forma:

p +-+ q

VFVF

v VF VF FV p o

I e donde, verdad delbcondicional:

Para que un enunciado bicondicional sea verdadero es necesa-rio que sus dos miembros sean los OOS--Verdaderoso los dos falsos.( sn los demás casos el bicondicional es falso.) .



(p 1\ q ) ~ (r V s)

V V V V V V V

F F V F V V V

V F F F V V V

F F F F V' V V

V V V V F V VF F V F F V V

V F F F F V V

F F F F F V V

V V V V V V F

F F V F V V F

V F F F V V F

F F F F V V F

V V V F F F F1 ,

F V V F

V V

11 F Y F r l'

()

Ejemplos:

1 .0 Hallar la tabla de verdad del siguiente enunciado, después de

simbolizarlo:«Evitaremos la invasión extranjera Y evitamos el daño del

prójimo si, y sólo si, conferimos todo el poder e un solo hombre ose lo conferimos a una asamblea.» (Hobbes.)

Simbolización:«Evitaremos la invasión extranjera.» , p«Evitaremos el daño del prójimo.» q

«Conferimos todo el poder a un solo hombre.» r«Conferimos todo el poder a una asamblea.» s

Los enunciados p y q van enlazados por una conjunción: 1\.Los enunciados r y s van enlazados por una disyunción: V.Y ambas parejas de enunciados van enlazadas por un bicondi-

cional: ~.De tal forma que este enunciado quedaría simbolizado así:

(p 1\ q) ~ (r V s)

y su tabla de verdad sería:

2.° Simbolizar y hallar la tabla de verdad del siguiente enunciado:

«Si, y sól~ si; un~ hipótesis es verificada, podremos considerar-la ~om? teona científica aceptable, y si no es verificada entoncesrevlsanamos su contenido.» - '

Simbolización:

«Hipótesis verificada»«Podremos. consider~rl~' ~~~; t~~~í~' ~i'e~'tifi~~'~c~~'t~bi~ ~> " p

«No es venficada » . .. q«Revisaríamos su' c~~t~~i'd; ~ >' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p

...... ... .. .... .. ... .. .. : .. . r

. Los enunciados p y q van enlazados por la conectiva bicondi-cional: ~.. Los enunciados - p y r van enlazados por la conectiva condi-

cional: ~." y ambas parejas de enunciados van enlazadas por una conjun-cion: 1\.

De tal forma que este enunciado quedaría simbolizado así:

(p~q)I\(-p~r)

y su tabla de verdad sería:

(p ~ q) 1\ (-p r)

V V V V F V VF F V F V V VV F F F F V VF V F V V V VV V V V F V FF F V F V F F

V F F F F V FF V F F V F F

rcicio-refuerzo

irnbolizar y hallar la tabla de verdad de los siguientes enunciados:

uando ~I .Ban~o me envía las letras impagadas, me acuerdo de11I el M IDI tcno remunera mal a sus funcionarios.

L s h rnbrcs, condu idos justamente por sus impulsos libidinalestrn nsf rrnun ti su ulr d I r las condiciones económicas, y las



3.

condiciones económicas así t ransformadas hacen aparecer nuevasapetencias y satisfacciones libidinales.

La fe ciega en el poder del hechicero provoca en el embrujado unsentimiento agónico de ansiedad, y si el embrujado se queda asolas con su agonía mental entonces se desconecta de todos losapoyos sociales que podrían ayudarle a superar la crisis.

Algunos inmovilis tas recalci trantes mantienen qu.e la ~ateri.a, consus energías fisicoquímicas , no basta para produc1r la vida IIIpudobastar para su primera ptoducción.

Si una tumba contiene a un varón y a una hembra enterrados,entonces la mujer ha querido acompañar al marido, o ha sidomatada con algún procedimiento.

Si los empresarios integran la clase de élite .de cualquier socieda? ysu poder sigue siendo enorme,. no se entiende que haya podidodarse una intervención pública tan amplia. .

Si sombrero en mano entró en España y al verla se descubrió,entonces el emigrante no trajo un solo sombrero.

Si no existe libertad de expresión el ciudadano no podrá exponersus ideas, y si existe la libertad de expresión el ciudadano seráresponsable de todo lo que diga.

Si, y sólo si, no nos dejamos llevar por la apatía P?lítica, entoncescontribuiremos a la consolidación de la democracia.

Si la revolución científica se define como superación de un viejoparadigma, entonces pocas revoluciones científicas han sucedido- ysi han sucedido pocas revoluciones científicas, no se ha empleadomucho la imaginación.

O se argumenta con honestidad o se argumenta con demagogia;, si

se argumenta con honestidad, no emplearemos la persuasionmanipuladora, y si se argumenta con demagogiaz la emplearemos'.

Si se pudiera converti r el 100por 100 de calor en energía mec~nica,la ingeniería mecánica dejaría atrás todos los proyectos anunciadosde ingeniería atómica.

Se dice de una teoría moral que es egoísta cuando no se ocupa deotra cosa que del individuo.

Si de pronto cayera en este mund un ser d otr p,lanct'., yo Icns ñaría, m cspc im n d sus mal s, un h spitul 11n denf 1 '11 1 • Iad s un 'U 1 1 11 () de tu nllu ti Hb )1 ' luntc 1 ; ti I(Iv r s ,

Tabla de verdad:

p ~ q

V V VF V V

V F FF V F

Tabla de verdad:

p 1\ q III


15. Si fuer.~ posible hacer felices a todos los hombres merced a unaoperación o a una droga que embruteciera su desarrollo, sería, deun modo o de otro, un crimen impío.

16. S! les dices a ~o~ nativo~ que la vacuna contiene sangre de losdlOS~S,consentiran en dejarse vacunar; si les dices que la vacunaproviene de la sangre de algún animal, no lo consentirán.

17. Si los filósofos pensaran que la gente fuera a ser menos feliz alalcanzar la verdad, esta consideración no les impediría seguir consu labor.

18. ~i un astrónomo descubre que una estrella opaca se dirige hacia elsls. tema solar y va a pulverizar la tierra, no podría hacer nada paraevitarlo.

19. Los efec~os sobre la inteligencia y la capacidad de discriminacióndel te1ev1dent~ son tan graduales, que no resultan aparentes hastaque es demasiado tarde.

20. La gente nunca cae a sabiendas en la infelicidad' Sl llega a eseestado es únicamente debido a un cálculo erróneo,'


l. . Simbollzacion;

p~q

Simbolización:

pl\q

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.



3. Simbolización:Tabla de verdad: 6. Simbolización: Tabla de verdad:

p 1\ (q --H) P 1\ (q --- + r) (p 1\ q) --- + -r (p 1\ q) --- + -r

V V V V V V V V V V

F F V V V F F V V V

V V F V V V F F V V

F F F V V F F F V V

V F V F F V V V F F

F' F V F F F F V V F

V V F V F V F F V F

F F F V F F F F V F

4. Simbolización:Tabla de verdad: 7. Simbolización: Tabla de verdad:

-p 1\ -q-p 1\ -q (p 1\ q) --- + -r La tabla es igual que la del ejercicio

anterior.

V V V

F F V

V F F 8 . Simbolización: Tabla de verdad:

F F F(-p --- + -q) 1\ (p ---+r) (-p --- + -q) 1\ (p --- + r)

5. Simbolización:Tabla de verdad:

V V V V F V V

(p 1\ q) --- + (r V s) (p 1\ q) --- + (r V s) F V V V V V V

V F F F F V V

V V V V V V V F V F V V V V

F F V V V V V V V V V F V F

V F F V V V V F V V F V F F

F F F V V V V V F F F F V F

V V V V FV V F V F F V F F

F F V V F V V

V F F V F V V

F F F V F V V 1). Simbolización: Tabla de verdad:

V V V V V V F

F F V V V V F -p +-t q -p +-t q

V F F V V V F

F F F V V V F V V V

V V V F F F F F F V

F F V V F F V F F

V F F V F F F V F

I, F F V F F F



III- . 1 1

1 0. Simbolización:Ta b la de verdad:

14. Símbolización: Tab la de ver dad:

-

(p _ q) A (q - -r ) (p - q) A (q - -r) P _ (q A r) p - (q A r)

-V V V V V V V V V V V V

F V V V V V V F V V V V

V F F F F V V- V F F F V

F V F V F V V F V F F V

'V V V F V F F V F V F F

F V V F V F F F V V F F

V F F F F V F V F F F F

F V F V F V F F V V F F,

L--' - - - - -

ISimbo lizac io n:

15. Sim bo lización: Ta bl a de verdad :

11 .

(p V q) A [(P - -r) A (q - r) ]

(p V q) - r (p V q)

-r 11

Ta b la de v erdad :V V V V VF V V V V

(p V q ) A [(P , - -r ) A (q - - r) ] V V F V V I

F F F V V

V V V F V V V F V F F V V V F F

, :1 F V V F F V V F V F F F V V F F

V V F V V V V V F V F V V F F F

, F F F F F V V V F V F F F F V F n

'1 V V V F V F F F V V V'---

F V V V F V F V V V V 16. Simbo lización: Ta bl a de ver dad:

I41

V V F F V F F F F V V (p _ q) A (r - -q) (P

',1 - q) A (r -q)

F V F V V -F F F F F V

'----

Simbo liza ción:Ta bla de verda d:

V V V F V F F

12.F V V F V F F

p -qp

-q

V F F F V V V 1

,

F V F V V V V

V V V V V V V F V F

F V V F· V V V F V F.V F F

V F F F F V V

F V FF V F V F V V 1 1

L--'-

13. Simbo li zación:Ta b la de verda d: 17. Simbo lización: Ta bl a de verdad:

p --qp - -q p --q p - -q

1

1

V Y V V V V

F Y Y~ F V V

o

1

y \ - F V F F

F Y r F V F

\

57

~,



18. Simbolización: Tabla de verdad:

(p A q) ~ -r

V V V V VF F V V VV F F V VeF F F V VV V V F F

F F V V F

V F F V F

F F F V F

Tabla de verdad:

p A -q


Tabla de verdad:

-p A (p ~ q)

V V F V VF F V V VV V F V F

F F V F F

(p A q) ~ -r

19. Simbolización:

p A -q

20. Simbolización:

-p A (p ~ q)

Nota a los ejercicios anteriores

Al ejercicio 1

Nótese que en este enunciado el «cuando» lo hemos simbolizado poruna conectiva condicional. Esto lo haremos en todos los casos similares.

Al ejercicio 2

ste enunciad , p r muy xt nso qu nos par zca, S' trata de uncnun iud onjuntivo til o (p A /). No 'stlll'lll mul simbolizndo si

interpretamos el segundo miembro de esta conjunción como una conjun-ción de dos enunciados atómicos, esto es: «las condiciones económicashacen aparecer nuevas apetencias y satisfacciones libidinales», puedesimbolizarse por q o por q A r. En este último caso se sobreentiende queleeríamos este enunciado así: «las condiciones ... hacen aparecer ... yhacen aparecer satisfacciones libidinales». En este caso quedaría simbo-I izado así: p A (q A r).

Al ejercicio 3

Se trata este enunciado de un enunciado conjuntivo compuesto porun enunciado atómico y un enunciado condicional, en el primer ysegundo miembro, respectivamente.

Al ejercicio 4

Enunciado conjuntivo compuesto por dos negaciones: Los inmovilis-tas mantienen dos proposiciones, que la materia no basta para producirvida y que la materia no basta para su primera producción.

Al ejercicio 5

Este ejercicio contiene un enunciado condicional cuyo antecedente esuna conjunción y cuyo consecuente es una disyunción. Nótese que elantecedente podría haberse simbolizado por un enunciado atómico ppues «una tumba contiene a un varón y a una hembra» puede simboli-zarse por p si entendemos que «una tumba contiene dos cuerpos» o porp A q si entendemos que «una tumba contiene a un varón y contiene auna hembra».

Al ejercicio 6

Enunciado condicional cuyo antecedente es una conjunción y cuyoconsecuente es la negación de un enunciado atómico.

Al ejercicio 7

ste enunciado se simboliza exactamente igual que el anterior.~ (Trata e te ejercicio, con permiso del lector, de resolver una paradoja

IU d .sd mi más ti roa infancia me tien preocupado y es el comienzodo 1 1 1 1 < 1 vi jo un i ó n spa ola que empieza de este m d : «sombrero en



mano entró en España y al verla se descubrio». ¿Cómo pudo descubrir-se, si por tal se entiende quitarse el sombrero, cuando ya lo tenía en lamano?)

Al ejercicio 8

Enunciado conjuntivo compuesto de dos condicionales. Nótese queel primer antecedente del primer condicional es una negación - p y quea esta negación le hemos dado los valores V, F, V, F, ... , para luego,cuando aparezca p, darle los valores contrarios F, V, F, V, ... Pudimoshaberlo hecho a la inversa, pero aconsejamos mantener siempre lamisma mecánica.

Al ejercicio 9

Enunciado bicondicional cuyo miembro es una negación. Recuérdeseque el enunciado bicondicional t iene miembros, y que las expresiones«antecedente» y «consecuente» convienen sólo al enunciado condicional.

Al ejercicio 10

Enunciado conjuntivo, compuesto por dos condicionales. Nótese queel número de valores que se colocan debajo de cada enunciado atómicoes el de ocho, 23, pues sólo aparecen tres enunciados distintos ya que elconsecuente del primer condicional es el antecedente del segundo condi-cional.

Al ejercicio 11

Enunciado conjuntivo, cuyo primer miembro es una disyunción ycuyo segundo miembro es el enunciado que aparece dentro del corchete,esto es, conjunción compuesta por dos condiciones. Número de enun-ciados atómicos distintos, 3. Número de combinaciones o valores que enecesario colocar debajo de cada enunciado atómico, 8, esto es, 23.

Al ejercicio 12

InUI1 iu lo iondi 'ioll"\,

Al ejercicio 1a

Enunciado condicional cuyo consecuente es una negación. Nóteseque .los valores que le hemos dado a esa negación son los de V V F FPudImo~ ~aber colocado los contrarios, F, F, V, V, Yla tabla, ¡unqu~ e~orden distinto, sería igual.

Al ejercicio 14

Enunciado condicional cuyo antecedente es un enunciado atómico ycuyo consecuente es una conjunción.

Al ejercicio 15

Enunciado condicional cuyo antecedente es una disyunción y cuyoconsecuente un enunciado atómico.

Al ejercicio 16

C~nju?-ción co~puesta por dos condicionales. Sobre el número decombI.naclOn~s posibles o valores que hay que colocar debajo de cadaenunciado atómico vale lo dicho en las notas de los ejercicios 10 y 11.

Al ejercicio 17

Véanse las notas al ejercicio 13.

Al ejercicio 18

Enunciado condi~ional compuesto por una conjunción en el antece-dente y por la negación de un enunciado atómico en el consecuente.

Al ejercicio 19

T d~s lo.s enunciados de este tipo habremos de simbolizarlos como~ 1111i , :OI1J.UI1CI 11. ~ótes que se. dicen dos proposiciones, «que los efectos

0 1 r la II1t 11 I1Cld y la capacidad de discriminación del televidente sonP o i Idlllll s» qu «11 r su ltán aparant s has ta que s derna iado tarde».

III



Al ejercicio 20

Enunciado conjuntivo compuesto por un enunciado atómico y uncondicional. Apréciese el número de combinaciones, 22 , esto es, 4, ycómo - p l leva los valores en el orden V, F, V, F, Y P en el orden F, V,F, V.

VALORES DE VERDAD DE LOS ENUNCIADOS

MOLECULARES (Resumen)

Verdad de la «negación»

Si un enunciado, atómico o molecular, es verdadero, su nega-ción será falsa. Y si un enunciado es falso, su negación seráverdadera.

Verdad de la «conjunción»

Una conjunción solamente es verdadera cuando sus miembrosson verdaderos.

Verdad de la «disyunción»

Para que una disyunción sea verdadera es necesano que, almenos, uno de sus miembros sea verdadero.

Verdad del «condicional»

El enunciado condicional solamente es falso cuandodente es verdadero y u consecuente es falso.

IIantecc-

Verdad del «bicondicional»

. Para que un enunciado bicondicional sea verdadero, es necesa-no que sus dos miembros sean los dos verdaderos o los dos falsos.

Verdad de la «disyunción excluyente»

Una disyunción excluyente es verdadera solamente cuando unode sus miembros es verdadero y el otro es falso.

. N?!ese que la verdad de la disyunción excluyente o exclusiva es lanegac ión de la verdad del bicondicional.

Veamos:

(p ~ q) p q

F V V V V F VV F F V F V VV V F F V V FF F V F F F F

I I

l.



l I La Parte

El cálculo inferencial.

l. LA INFERENCIA LÓGICA

Inferir es deducir, y deducir significa obtener conclusiones a partir dedatos que previamente nos suministran. La obtención de estas conclusio-nes no es caprichosa -nada en Lógica es caprichoso o arbitrario-, sinoque ha de atenerse a reglas estrictas.

Durante toda nuestra vida hemos estado deduciendo y sacandoconclusiones continuamente, a partir de nuestras observaciones persona-les, de noticias que nos comunican y de nuestra propia experiencia. Enocasiones solemos acertar, y esto es gratif icante, en otros momentos, porel contrario, no tenemos otro remedio que reconocer nuestro error, yesto, dependiendo de la actitud que tengamos, no siempre nos gusta.

Sabemos ya simbolizar cualquier t ipo de enunciado. Sabemos, tam-bién, elaborar cualquier tabla de verdad. Lo primero exige comprensiónde lo que se nos dice y captación de la forma del enunciado que

queramos simbolizar, requiere, pues, un conocimiento seguro de las·onectivas y de su función. Lo segundo requiere, además, una mecánicaque sólo se consigue con experiencia.

Ha llegado, pues, el momento de introducimos en el capítulo de latnferenc ia lógica ; así pues, para comenzar con buen pie este apartado,.omenzaremos por definir los siguientes conceptos:

f)e ducción: Acto por el cual, a partir de unos datos suminis-trados, por mi o por otros, obtengo ciertos resul-tados.

l'rr mi sa s: timológicamente «premisa» es lo que se envía

p r d lant I que se anticipa. Las premisas,Iu s, n I da to s de I s que teng que partir y



d d o falsedad no se cuestiona. Estascuya .ver a . os a encontrar en forma depremisas nos !as va~ de los cuales

. d simbolizados o no, y .enbunc~a os~s aplicando las reglas de inferencza,o ten rem . ' de ellos lógicamente selas conclusiones quederivan.

. btenidos a partir de lasSon e.nuncIados nuevo:'o~tención debe realizarseprernisas ddada~, y l~~yreglas de inferencia o dede acuer o con . dadas y decálculo En ocasiones, de las premdIsas deducir

'. bt 'das po emoss conclusiones o en¡ ,a . d Y lo veremos con masnuevos enuncia os. a 1 re las de

. . t cuando expongamos as getenimien o

inferencia.d s que aplicar, a la

Son normas que. ten ~;s~ nos ofrezcan, paravista de las premisas q . . Estas

der obtener las conclusiones necesan~s.po 1 aisladamente consideradas, s?n simples yreg ~s, Encontrar la regla conve~llente es otrase~~~~~~.así como aplicarlas co~ ngor., Podrotrocu , plicar mas e una~~~f~';;'~i~~ne:,.':s;~~~asparallega;~e~~

. , .. d uede esto suponer unconclusión eXIgI a, p. , . ·doa medi-. . , e Ira desaparecien

ta complIca~IOn, qUl cánica del cálculo y nosda que adquiramos a mefamiliaricemos con ella.

Conclusiones:

Reglas de inferencia:

Esquema de una inferencia lógica1.1. l

en adelante va a ser el método que vamos a seguir de ahorasiguiente:

.•. 'a Sólo cuando consideremosa regla de InlerenCI . .. t1 .0 Explicaremos un . "1 contenido y funcionamien o,ue el lector hay~ podido aSImI ar su

~asaremos a explicar una nueva regla.

h 'do explicada suficientemente,Cuando cualquier regla nueva. aydaSI l s que aparezca la última2.° . icios combma os en opropondremos eJ~rcl li da y las anteriormente expuestaregla de inferencia exp ica e ,

. 1" l .squ 'mtl d .uulqui '1obstant, vam s II xplicar a 101<1 •

inf r n 'ia l i u:

(\ )

Premisas:1)2)3)

4)5)6)

Conclusiones:..............................

- Como vemos en este esquema, nos encontramos en primer lugarcon una serie de premisas, esto es, de datos que ya se me ofrecen ycuya verdad no cuestiono. En el esquema-ejemplo se han puestotres, pero el número de premisas que se me pueden ofrecer es.ilimitado. Estas premisas, como ya hemos dicho, serán enuncia-dos atómicos o moleculares, que irán, generalmente, colocadosunos debajo de otros para diferenciar los con más claridad.

- La línea divisoria no siempre se utiliza, nosotros sí la empleare-mos para comprender que hasta ella se colocan las premisas dadasy a partir de ella comienzan las conclusiones obtenidas .

- Las Conclusiones, por tanto, se irán colocando debajo de esa líneadivisoria y el número de ellas dependerá de la conclusión quequeramos obtener o que se nos exija, y, por tanto, es también UHnúmero ilimitado.

- Tanto las premisas como las conclusiones irán correlat ivamente

numeradas y la línea divisoria no implica que la numeracióncomience de nuevo. Esto es, si la última premisa dada lleva elnúmero 3, la primera conclusión obtenida llevará el número 4.

1.2. Reglas de inferencia

La explicación de cada regla la haremos del siguiente modo:/ ,\1 Propondremos varios ejemplos.

" 'xplicaremos de qué modo hemos obtenido la conclusión.1 : 11 Dictaremos la regla.

/ ,11 PI'Op ndrcm ejercici s e mbinado en los que ea nece arioI Ir> Ii u!' IH última re la xpli ti !u y H I una d las ant ri ,. s.

. .



REGLA DEL PONENDO PONENS

Ejemplos:

Las negaciones no influyen en nada Si n fiiantec~~ente va negado en el enunci~do c~~di~i~r;:~t' : :a:ed~d~tam~len 1en la otra premisa, y entonces podremos deducir ló~ica-men de e consecuente de ese enunciado que a su vez puede irnega o o no.

Otro caso bien distinto sería el s iguiente:j. 1: Ej. 2: Ej. 3:

1) p~q 1) -p ~q 1) p ~-q4.a

2) p 2) -p 2) p

3) q (P.P. 1, 2) 3) q (P.P. 1, 2) 3) -q (P.P. 1, 2)

Ej. 4:

1) (p 1\ q) ~ r

2) (p 1\ q)

Ej. 5:

1) (a V b)

2) (a V b) ~ c3) c (P.P. 1, 2)

Ej. 6:1) (p 1\ r) ~ (s 1\ t)

2) (p 1\ r)

1) p ~q

2) -p

3) ?

S.a

De estas premisas no podemos concluir nada s .

r~cordamos la tabla de verdad del enunciado condf~~no~l P~~seSlSIel antecedente no se verifica, el consecuente podía verifi~arse ~no.

A c~ntinuación de cada conclusión obtenida colocaremos las siglas~orl as que ~e reconoce la regla, en este caso «P.P.», y los númerose as premisas afectadas por ella.

3) (s 1\ t) (P.P. 1, 2)

Regla del Ponendo Ponens:

te ~a~o un enunciado c(:mdicional y la afirmación del anteceden-, en remos que concluir con la afirmación del consecuente.

1 I

3) r (P.P. 1, 2)

Ej. 7:

1 ) p ~ (q V r)

2) p

Ej. 8:

1) -p

2) -p ~ -r

3) -r (P.P. 1,2)

Ej. 9:1) p ~ - (r 1\ s)

2) p

3) -(r 1\ s) (P.P. 1; 2)3) (q V r) (P.P. 1 , 2)

Explicación:

Como vemos, en todas las ínferencias propuestas como modelos delPonendo Ponens aparecen en alguna de las premisas un enunciado

condicional, Y en la otra premisa, el antecedente de ese enunciadocondicional, y en todas las conclusiones aparece el consecuente de esoscondicionales. Dicho de otra forma, una de las premisas nos indica quesi se verifica el. antecedente, se verif ica el consecuente, y la otra premisanos indica que el ap.tecedente se verifica, y en todos los ejercicios hemosconcluido con que ~elconsecuente se verifica también.

Hemos de hacer ahora varias observaciones:

1 .a Como vemos en los ejemplos propuestos, es indiferente el orden enel que aparezcan las premisas. En algunos casos puede aparecerprimero el enunciado condicional y luego el antecedente de esenunciado, como en los ejemplos 1, 2, 3, 4, 6, 7 y 9; y en otro,aparecer primero el enunciado que luego comprobaremos que es elantecedente del condicional que aparece con posterioridad, com

es el caso de los ejemplos 5 y 8.

2.a Tanto el antecedente como el consecuente, a ¡e m la conclu i 11

btenida, pu d n presentarse en forma de enu n iad at m ic d e

nun iad m I ulur.

. Nota: C~ando se habla de afirmación del antecedente dc~:~e~::a~~t~~d~ que de.nla 0ltra premisa el antecedente a~ar~~~~~~e;

. , e con icionar, esto es, afirmado o ne ad 1conclusión será la del consecuente tal y e ,g o, y. que asto es, afirmado o negado. omo aparecía en el condicional,

Ejempios:

1 ) -p ~ q

) -p

La premisa 2 afirma el antecedente de la premisa1. (Afirmar - p es decir que sí, que -p.)

\) q (P.P. 1, 2)

~a premisa 2 afirma el antecedente, y la conclu-SIÓ~3 afirma el consecuente (pues afirmar - esd Ir qu si qu -q). q



Tautologías: 1) -p =r > :« [(-p ~ -q) 1\ -p]2) ~ -q

Con la aplicación correcta de la regla se consigue una tautología, -p

esto es, un enunciado verdadero en todas las circunstancias, lo que 3) -q V V V V V V Vequivale a decir en todas las combinaciones posibles que se deriven de su F V V F F V Vtabla de verdad, veamos: V F F F V V F

F V F F F V F1) p~q

2) p

3) q (P.P. 1, 2)Ejemplos del Ponendo Ponens

Construyamos un condicional cuyo antecedente esté compuesto porla conjunción de las premisas y cuyo consecuente sea la conclusión (o laconjunción de las conclusiones si las hubiere), y obtendremos el s iguien-te enunciado:

1) Si las elecciones se anticipan, los

nuevos partidos no podránpresentar candidatós2) Se anticipan las elecciones

1) p ~ -q

[(P ~ q) 1\ p] ~ q

Elaboraremos ahora su tabla de verdad:

[(P ~ q) 1\ p] ~ q

V V V V V V VF V V F F V VV F F F 'V V FF V F F F V F

2) p

3) Los nuevos partidos no podránpresentar candidatos

3) -q (P.P. 1, 2)

1) Cuando sube el colesterol esnecesario suprimir las grasas

2) El colesterol sube

1) p ~q

2) P ·1

3) q (P.P. 1, 2)

1) -p ~q

2) -p

3) q (P.P. 1, 2)

1) p

2) p ~ (q 1\ r)

) Es necesar io suprimir las grasasComo vemos, es un enunciado verdadero en todos los casos posibles .Este tipo de enunciados recibe el nombre de tautología.

Veamos otros ejemplos:

í : ¡

1 ) Si no existe competencia, apareceel monopolioLa competencia no existe

) p ~ -'(r 1\ s)

2) p

3) -(r 1\ s) (P.P. 1,2)

[ [ p ~ -(r 1\ s)] 1\ p] ~ -(r 1\ s)

V V V V V V V V V V VF V V V V F F V V V VV F F F V F V V F F VF V F F ·V F F V F F VV F V F F F V V V F FF V V F F F F V V FV F V V F FF V 1 " F 1 " F 1 " V F F , , '

70

.) Aparece el monopolio

1 ) El presidente dimite) i dimite el presidente, entonces se

hará cargo del gabinete elvicepresidente y se convocaránnu va elecciones

1)3 ) (q 1\ r) (P.P. 1, 2)

7 1



1) Si sombrero en mano entró enEspaña y al verla se descubrió,entonces llevaba más de unsombrero

2) Sombrero en mano entro enEspaña y al verla se descubrió

3) Llevaba más de un sombrero

1) Si fue multado en el metro,entonces iba fumando o llevaba

el cigarrillo encendido'2) Fue multado en el metro

3) Iba fumando o llevaba el cigarrilloencendido

1) Si viene el ministro de Defensa y

no viene el ministro de Agricultura,entonces tendremos que ir alaeropuerto y no prepararemos lavisita a las plantaciones

2) Viene el ministro de Defensa y noviene el ministro de Agricultura

3) Tendremos que ir al aeropuerto y

no prepararemos la visita a lasplantaciones

1) (p 1\ q) -H

2) (p 1\ q)

3) r (P,P, 1, 2)

1) .v ~ (q V r)

2) p

3) (q V r) (P,P. 1 , 2)

1) (p 1\ -q) ~ (r 1\ -s)

2) (p 1\ -q)

3) (r 1\ -s) (P.P. 1, 2)

1) Si la Filosofía actual se preocupa 1) p ~ -(q V r)

de las cuestiones éticas, entonces noocurre que esté vacía de contenido oque esté perdiendo el tiempo

2) La Filosofía actual se preocupa de 2) p

las cuestiones éticas

3) No ocurre que la Filosofía esté vacía 3) -(q V r) (P,P, 1, 2)de contenido o que esté perdiendoel tiempo

7

1 ) Si el acuerdo pesquero no se firma, 1 ) -p~(ql\-r)seguirán los apresamientos y no seincrementará la flota

2 ) El acuerdo pesquero no se firma 2 ) -p

3) Seguirán los apresamientos y no se 3) (q 1\ -r) (P.P, 1 , 2 )incrementará la flota

1 ) Si persiguió a la mujer de su prójimo 1 ) p ~ (q V r)entonces será juzgado o seráinternado en el Psiquiátrico

2 ) Persiguió a la mujer de su prójimo 2 ) p

¡3) Será juzgado o será internado en el 3) (q V r) (P.P. 1 , 2 )Psiquiátrico

Ejercicios de aplicación de la regla Ponendo Ponens

Aplicando la regla del Ponendo Ponens obtener las conclusionespertinentes de los siguientes problemas: '

L

1) ' (p V q) ~ + r

2) (p V q)2.

1 ) (p 1\ -r)

2) (p 1\ -r) ~ -q

1) (a V b) ~ (e V d) 1) p2 ) (a V b) ,

4.2 ) p ~ (s 1\ -h)

1 ) (p 1\ q) 1) - [(p 1 \ q) ~ ~r]~ s2) (p 1\ q) ~ [(a 1\ b) ~ e] 2 ) - [(p 1\ q) ~ - r]

6.

oluciones del ejercicio anterior

L u s e nclusi ncs de los ejercicios son las siguientes:

f: -1,

l / .



Del ejercicio 3: (e V d) .Del ejercicio 4: (s 1\-h).Del ejercicio 5: [(a 1\ b) ~ elDel ejercicio 6: s.

Aplicación del Ponendo Ponens con más de dos premisas

Hasta ahora hemos resuelto la aplicación de la regla del PonendoPonens en ejemplos y ejercicios que constaban de dos premisas solamen-te. Podemos encontramos, s in embargo, con problemas que contenganmás de dos premisas, y en estos casos no se incorpora ninguna nuevadificultad. Basta simplemente con prestar atención y averiguar sobre quépareja de premisas podremos aplicar la regla.

Nos encontramos con los siguientes casos:

1 .0 Que las parejas de enunciados sobre los que puedo aplicar elPonendo Ponens se encuentren dadas como premisas. En este casosólo tendremos que emparejadas debidamente.

Ejemplos:

1) p ~ -q

2) p3) r ~ s4) r

1) (a V b)

2) -p~q

3) (a V b) ~ (e V d)

4) -p

Demostración de un enunciado

D~ ahora en adelante se indicará en cada problema la conclusión quese eX.lge obtener. Nos vamos, pues, a encontrar con una serie depremisas pero también se nos indicará qué hemos de demostrar. Asípues, aphcando las reglas pertinentes y colocando a continuación decada .conclusión las siglas de esa regla y el número de orden de laspremisas o conclusiones utilizadas, como hasta ahora venimos haciendodeberemos llegar a la conclusión exigida. '

Esta co.nclusión que se exige obtener vendrá indicada de esta forma:D:p, por ejemplo, lo cual deberá entenderse por «demostrar p».

Veamos:

¡ D:t

1) p ~ (q 1\ r)

2) s ~ t

3) (q 1\ r) ~ s4) p

5) (q 1\ r) (P.P. 1, 4)6) s (P.P. 3, 5)7) t (P.P. 2, 6)

Como vemos, en el problema anterior se indica D:z, lo cual quieredccl.r que debemos llegar a esa conclusión, tal y como se demuestra en' 1 ejemplo de arriba.

Otro ejemplo: Demostrar, en este caso, a:

D:a

1) 'p ~q-2) (r 1\ s) ~ t

3) q ~ (r 1\ s)4) t:« a

5) p

6) q (P.P. 1, 5)7) (r 1\ s) (P.P. 3, 6)8) t (P.P. 2, 7)9) a (P.P. 4, 8)

7 S

5) (e V d) (P.P. 1, 3)6) q (P.P. 2, 4)

) -q (P.P. 1, 2)6) s (P.P. 3, 4)

2.° Que una de las conclusiones pueda utilizarseo bien con una

premisa dada o bien con otra conclusión.

Ejemplo:

1) p ~ (r ~ s) 1) ( -p ~ q)

2) p2) (r ~ -p )

3) r 3) r

4) (s ~ t) 4) (q ~ s)

5) (r ~ s) (P.P. 1,2) 5) -p (P.P. 2 3)

6) s (P.P. 3, 5) 6) q (P.P. 1, )

7) t (P.P. 4, 6) 7) s (P.P. 4,)

7



Ejercicios del Ponendo Ponens con más de dos premisasSoluciones de los ejercicios anteriores

y con indicación de lo que se debe demostrarCOQ el fin de no volver a reproducir los ejercicios anteriores, se

indican aquí solamente los pasos que hemos seguido para Conseguir lol. D:c 2. D:t que se nos pedía demostrar.

1) -p ~ [(a /\ b) ~c] 1) (-p V -q)Del ejercicio 1 Del ejercicio 2 .

2) (a /\ b) 2) (-p V -q) ~ r

4) [(a /\ b) ~ c] (P.P. 1, 3) 5) (P.P. 1, 2)) r ~ (s ~ t) r) -p4) s 5) c (P.P. 2,4) 6) s ~t (P.P. 3, 5)

7) t (P.P. 4,6)

4. D:(t V b)Del ejercicio 3 Del ejercicio 4

3. D:(r /\ s)6) -q (P.P. 1, 5) 6) q (P.P. 1, 5)

1) p ~-q1) p~q

¡ 7)/ (a·1\ b) (P.P. 3, 6) 7) r ~s (P.P. 4, 6)2) (a/\b)~c 2) r8) c (P.P. 2, 7) 8) s (P.P. 2, 7)3) -q ~ (a /\ b) 3) s ~ (t V b)9) (r 1\ s) / . (P.P. 4, 8) 9) (t V b) (P.P. 3, 8)4) c ~ (r /\ s) 4) q ~ (r ~ s)

5) p 5) pDel ejercicio 5 Del ejercicio 6

5) (q ~ r) ~ s (P.P. 2,4) 5) -(q V -r) (P.P. 1, 2)D:t 6. D: -(a /\ b) 6) s (P.P. 1, 5) 6) -(s/\t) (P.P. 3, 5).

7) t (P.P. 3, 6) 7) -(a /\ b) (P.P. 4, 6)1) q ~r 1) -p ~ -(q V -r)

2) p ~ [(q ~ r) ~ s] 2) -pDel ejercicio 7 Del ejercicio 83) -(q V -r) ~ -(s /\ t)3) s~t

4) -(s /\ t) ~ -(a /\ b) 7) -b (P.P. 2, 5) 4) q ~ (r Vs) (P.P. 1, 3)) p

5) (r V s) (P.P. 2,4)

8. D:(r V s) Del ejercicio 97. D:-b

4) r (P.P. 1, 3)1) -p 1) p

5) a~b (P.P. 2, 4)2) -q 2) q

3) -r 3) p ~ [q ~ (r V s)]

4) -p ~a

5) -q ~-b

6) -r ~-c

9. D:a ~ b

1) (p ~ q) ~ r

2) r ~ (a ~ b )3) p ~ q

77

, I



REGLA DEL TOLLENDO TOLLENS

Ejemplos:

Ej. 1:

1) p -+ q

2) -q

Ej.2:

1) -p-+q

2) -q

3) -p (TT 1,2) 3) p (TT. 1,2)

Ej. 3:

1) P -+ -q

2) q

Ej. 4:

1) -r

2) (p 1\ q)-+

r

3) -p (TT 1,2) 3) ~(p 1\ q) (TT 1, 2)

Ej. 5 :

1) -(r V s) -+ P

2) -p

Ej. 6:

1) (p 1\ -q)-+r

2) -r

3) (r V s) (TT 1,2) 3) -(p 1\ -q) (TT 1, 2)

Ej. 7:

1) P -+(q 1\ r)

2) -(q 1\ r)

Ej. 8:

1) [(p 1\ q) -+s]-+r2) -r

3) -p (TT 1,2)

Ej. 9:

1) -q

2) - [(r 1\ s) V t ] -+ q

3) - [(p 1\ q) -+ s] (TTI, 2)

Ej. 10:

1) -p -+ -q

2) q

3) [(r 1\ s) V t ] (TT 1,2) 3) p (TT 1,2)

Expticacidn:

Como vemos en todos y cada uno de los ejemplos propuestos commodelos del Tolh~ndo Tollens, aparece el siguiente esquema:

1° Una de las premisas es un enunciado condicional.

2.0 Otra de las premi a está f rrnada p r un cnun .iado "In' s lu

negacion del e O/lS(!(" 11 ent (' ti '1 .ond i .ionu 1 a n 1 .rior.

7 1{

3. 0 La conclusión es la negación del antecedente del condicional quetomamos como punto de partida.

Observaciones:

1.a Al igual que en la regla anterior, es indiferente el orden en el queaparezcan las premisas (y esta advertencia vale ya para todas lasreglas posteriores; no obstante, lo seguiremos recordando). Loimportante es que detectemos un condicional, y la negación de su

consecuente.

2.a Podemos observar también que los consecuentes de los enunciadoscondicionales pueden ser enunciados atómicos o moleculares y,por tanto, la negación de esos consecuentes son también enuncia-dos atómicos o moleculares, respectivamente.

la Si un antecedente aparece negado en el enunciado coridicional,cuando aplicando el Tollendo Tollens tengamos que negarlo, senos convertirá en una afirmación. Esta regla se conoce por la doble. negación. La negación de - p equivale a - - p, y - - p equivale ap.Así, decir: «No ocurre que el proyecto no fue aprobado»,equivale a: «El proyecto fue aprobado».

4.a Al igual que en la regla 'anterior, tendremos que indicar a conti-nuación de la conclusión qué regla se ha aplicado y sobre quépremisas se ha aplicado. Así (TT 2, 7), significaría que esaconclusión ha sido obtenida aplicando la regla del TollendoTollens (negando se niega) sobre las premisas 2 y 7.

,

Regla del Tollenda Tollens

Dado un enunciado condicional y la negación de su consecueu-te, tendremos que concluir con la negación de su antecedente.

o ;

Tautología:

1) p -+ q

2) -q

) -p



Construyamos un enunciado condicional cuyo antecedente esté com- [ [ P V s) - q] A -q] - (p V s)

puesto por la conjunción de las premisas y cuyo consecuente sea laconclusión y obtendremos el s iguiente enunciado: V V V V V F F V F V V V

F V V V V F F V F F V V

[(p _ q) A -q] - -p V V F V V F F V F V V FF F F V V F F V V F F F

Elaboremos ahora su tabla de verdad: V V V F F F V V F V V VF V V F F F V V F F V V

[(p - q) A -q] - -p V V F F F F V V F V V FF F F V F V V V V F F F

V V V F F V F

F V V F F V VV F F F V V F Ejemplos del Tollendo Tollens

F V F V V VV

Como vemos, al igual que en la regla anterior, se trata de un I .1) Si el hombre es sólo instinto, por 1 ) p-q

enunciado verdadero en todas y cada una de sus combinaciones.naturaleza, entonces practica una

Veamos otros ejemplos:moral de la espontaneidad

2 ) El hombre no practica una moral 2 ) -q

1 ) -(p A q) - rde la espontaneidad

2 ) -r 3)3) (p A q)

El hombre no es sólo instinto por 3) -p ( T . T . 1 , 2 )

naturaleza

[ [ - (p A q) - r] A -r] - (p A q)

F V V V V V F F V V V V ' 1 ) Los ciegos pueden comprender la 1 ) p

V F F V V V F F V F F V Geometría

V V F F V V F F V V F F 2 ) Si fuera necesaria la visión para 2 ) q --p

V F F F V V F F V F F F comprender la Geometría, entonces

F V V V V F V V V V V V los ciegos no la comprenderían

V F F V F F F V V F F V

V V F F F F F V V V F F 3) La visión no es necesaria para 3) -q ( T . T . 1 , 2 )

V F F F F F F V V F F Fcomprender la Geometría

1 ) [(-p -q) A q]•

-p --q - - P

2 ) q1 ) Si los partidos de centro no 1 ) -p - (q A r)

3) p V V V F F V F consiguen sesenta escaños, entonces

F V V F F V V seguirá el bipartidismo y la izquierda'

V F F F V V Fcontinuará en el poder

F V F V V V V No ocurre que siga el bipart idismo 2 ) -(q A r)

y que la izquierda continúe en el

1 ) (p V s) - q

p d r

2 ) -q \ ) ntro consi 1I n 3) p ( T . T . 1 , 2 )

) -(p V s)

80R I



1) Si no figura el distrito postal en las 1) -p ~-q 1) Si no se admite íntegramente la 1) -p ~-qcartas que te han enviado desde Constitución, entonces el partidoprimeros de año, entonces no las político no podrá ser registrado enrecibirás el Ministerio del Interior

2) Has recibido cartas desde primeros 2) q 2) El partido ha podido ser registrado 2) qde año en el Ministerio del Interior

3 ) Figura en las cartas el distrito postal 3 ) p (T.T. 1, 2) 3 ) Se admite ítegramente la Constitución 3 ) p

1) Si es cierto que Einstein descubrió 1) (p 1\ q) ~ r 1) Si puede decirse que tres planos 1) (p 1\ q) ~ rel telescopio y fue condenado por la determinan un punto y que dosInquisición, entonces Madame Curie planos determinan una recta ,fue monja de clausura

¡entonces estamos en el punto de

2) Madame Curie no fue monja de 2) -r partida de la geometría proyectivaclausura 2) No estamos en el punto de partida 2) -r

de la geometría proyectiva3 ) No es cierto que Einstein descubrió 3 ) -(p 1\ q) (T.T. 1,2)

el telescopio y fue condenado por la 3) No puede decirse que tres planos 3) -(p 1\ q)Inquisición determinan un punto y que dos

1( 1 planos determinan una recta~I'

1) Si el enfermo no puede comunicarse 1) -p ~-q

con cierta lógica, entonces no se le 1 ) Si la Sociología no es neutral 1) -p ~ (q V r)puede aplicar la terapia psicoanalítica entonces se convierte en un exhorto

2) Al enfermo se le puede aplicar la 2) q político o en un sermón moralterapia psicoanalítica 2) La sociología no se convierte en un 2) -(q V r)

exhorto político o en un sermón3 ) El enfermo puede comunicarse con 3 ) p (T.T. 1,2) moral

cierta lógicaJ) La Sociología es neutral 3 ) p

1) Se admite la oposición y se permiten 1) (p 1\ q)los partidos políticos Ijjercicio1'de aplicación de la regla Tollendo Tollens

2) Si es un gobierno dictatorial o es un 2) (r V s) ~ -(p 1\ q), gobierno totalitario, entonces no se Aplicando la regla de Tollendo Tollens obtener las conclusionesadmite la oposición y no se permiten p »tincntes de los siguientes problemas: 'los partidos políticos

3 ) No ocurre que sea un gobierno 3 ) ~(r V s)dictatorial o que sea un gobiernototalitario



1. 1 ) -(p 1\ -q) 2. 1 ) [(p 1\ q) V r] ~ -s2) (r 1\ s) ~ (p 1\ -q) 2) s

3. 1 ) (p ~.q) ~ r 4. 1 ) -(p ~ q) ~ t

2) -r 2) -t

5. 1 ) (q V r) 6. 1 ) -p ~ (q 1\ r)

2) [(p V s) 1\ t] ~ -(q V r) 2) -(q 1\ r)

Soluciones del ejercicio anterior

Las conclusiones de los problemas son las siguientes:

Del problema 1: -(r 1\ s).Del problema 2: - [(p 1\ q) V r] 'Del problema 3: -(p ~ q).

Del problema 4: (p ~ q).

Del problema 5: - [(p V s) 1\ z ].

Del problema 6: p.

Aplicación del Tollendo Tollens con más de dos premisas

Recordemos lo que se decía en la regla anterior cuando aparecenmás de dos premisas en un problema de inferencia:

1. La forma de aplicación de la regla sigue siendo la misma. Bastasimplemente con averiguar sobre qué pareja de enunciados podre-mos aplicarla.

2. Los enunciados sobre los que puedo aplicar toda regla se encontra-rán figurando como premisas o también como conclusiones. Volve-mos a repetir que una conclusión, correctamente obtenida, puede

utilizarse de nuevo.

Dicho esto, veamos algunos ejemplos; en todos aparecerá ya laconclusión que se exige demostrar, con la sigla ya conocida de «D: ... ».

D:-r D:t

1) p~q 1) (p 1\ q) ~ (r 1\ s)2) -q 2) -t ~ (p 1\ q)3) r =r P 3) -(r 1\ s)

4) -p (TT 1,2) 4) -(p 1\ q) (T.T. I )5) -r (T.T. 3, 4) 5) 1 (T.T. , 4)

R

~I

\

D:-p D:-r

1 ) -(p~q)~r 1 ) -p ~q2) -q 2) -(r ~s) ~ -p3) -r 3) -q

4) (p ~q)4) -s

(T.T. 1, 3)5) -p (T.T. 2, 4) 5) P (T.T. 1, 3)

6) (r ~ s) (T.T. 2, 5)7) -r (T.T. 4, 6)

D:-s D:t

¡ 1) -(p V q) 1) -(a 1\ b)2) r ~ (p V q) 2) (r V s) ~ (p V q)3) s ~r 3) (p V q) ~ (a 1\ b)

4)4) -t ~ (r V s)

-r (T.T. 1, 2)5) -s (T.T. 3, 4) 5) -(p V q) (T.T. 1, 3)

6) -(r V s) (T.T. 2, 5)7) t (T.T. 4, 6)

D:a~b D:-s1)' -[-(a ~b) ~e] ~d 1) -(p 1\ q) ~r2) -e 2) s~t3) -d 3) -r

4) [-(a ~ b) ~ e] (T.T 1, 3)4) t ~ -(p 1\ q)

5) (a ~ b) (T.T. 2,4)

5) (p 1\ q) (T.T. 1,3)

6) -t (T.T. 4,·5)• •

7) -s (T.T. 2, 6)

D:-t D:-c1) (p ~ q) ~ r 1) -(p ~ q)2) t ~ (p ~ q) 2) b ~-a) -r 3) -a ~ (p ~ q)

4)4) e ~b

-(p q) (T.T. J, 3)) -1 (T.T. 2, 4) 5) a (T.T 1, 3)

6) -b (T.T. 2, 5)7 ) -e (T.T.4 6)

H



Ejercicios del Tollendo Tollens con más de dos premi~asy con indicación de lo que se debe demostrar .

1 . ,D:-t 2 . D:-a

1 ) (p - q)1 ) (p A r) - q

2 ) (r - s) 2} (s V t) - ( p A r)

3 ) s - -(p - q)3 ) a - (s V t)

4 ) (t _ r) 4 ) -q

3 . D:-p 4 . D:-(r A s)

1 ) - [-(p _ q) _ r] - s 1 ) (a A b) - c

2 ) -r 2 } (p A q) - (a A b)

3 ) -s 3 ) (r A s) - (p A q)

4 ) -q 4 ) -c

5. D:p A q 6. D:r A s

1 ) -a 1 ) -(a A b) - c

2 ) b -c 2 ) -(p A q) - -(a A b)

3 ) c~a 3 ) -c

4 ) -(p A q) - b 4 ) -(r A s) -+ -(p A q)


Como hicimos en los problemas de la regla ant~rior, y 1 , 0 hare.mo.s deahora en adelante en todos los ejercic ios que prosiguen, solo ~e .mdIc~nlos pasos que se han dado ha~ta llegar a la solución exigida, SInnecesidad de reproducir las prermsas de cada problema.

Soluciones:

Del ejercicio 1

5) -s6) -r

7) -(

Del ejercicio 2

5) -(p A r)

6) -(s V ()7) (/

(T.T. 1,4(T.T. ,. )

('1 ' '1 '.., )

(TT 1 , 3)(T.T. 2, 5)

(T.T. 4, ó)

Del ejercicio 3 Del ejercicio 4

5) [-(p -4q) _ r] (TT 1,3)

6) (p - q) (TT 2, 5)7) - p (TT 4, 6)

5) -(a A b )6) -(p A q)

7) -(r A s)

(T.T. 1,4)(T.T 2, 5)(TT 3, 6)


5) -c6) -b

7) p A q

5) a A b6) p A q7) r A s

(T.T. 1, 3)(TT 2, 5)(TT 4, 6)

(TT 1, 3)(T.T 2, 5)(TT. 4, 6)

Inferencias en las que hay que aplicar

más de una regla

Al conocer ya las dos primeras reglas (P.P. y TT), podemos ahoraenfrentarnos con problemas de inferencia en los que sea necesarioaplicar más de una regla, en este caso la del Ponendo Ponens y la delTollendo Tollens. Todo lo que hasta ahora se ha dicho sigue teniendoplena vigencia y sólo será necesario tenerlo presente y recordarlo.

Así, nos, encontramos ante problemas en los que, después de haberaplicado la regla del Ponendo Ponens, por ejemplo, y obtener tras ellouna conclusión, esa conclusión nos sirva para aplicar la regla delTollendo Tollens con otra premisa dada o con otra conclusión.

Es cuestión, pues, de relacionar premisas y conclusiones, teniendo encuenta las reglas conocidas y utilizando aquellas que mejor nos conduz-can a la conclusión exigida. Decimos esto porque, en ocasiones, a laconclusión exigida se puede llegar por varios caminos, esto es, aplicandovarias reglas o unas reglas en vez de otras, y en Lógica, por principio de

economía, se premia, claro está, el lograr la solución por la vía máscorta; pero de esto ya hablaremos más adelante, cuando conozcamos

nuevas reglas de inferencia.De momento, pues, tener presente las dos reglas conocidas, esto es:

Regla del Ponendo Ponens. «Dado un condicional y la afirmaciónde u antecedente, podemos concluir con la firmación de su consecuen-t ..»

Regla de Tollendo Tollens. «Dado un condicional y la negación de'1I consecuente, podemos concluir con la negación de su antecedente.»

icho e to, veamos algunos ejemplos de problemas en los que sean .. .sari e mbinar la dos reglas conocidas para llegar a la solución\ i ida. Más turd pr p ndrcmos algunos problemas de este tipo que,t'OI110 si '1 11 1 re, ir á n 11 .o rnp a ud s d sus r sp ctivas s lu i nes.

H 7



Soluciones de los ejercicios anteriores


6) -(r 1\ s) (P.P. 1, 5) 6) -(q 1\ r) (P.P. 2, 5)(P.P. 1, 6)

7) -(a 1\ b) (T.T. 2, 6) 7) s

(P.P. 4, 7) 8) -t (T.T. 3, 7)8) c (T.T. 4, 8)9 ) -t (T.T. 3,8) 9 ) -a

Del ejercicio 3Del ejercicio 4

6) (q ~ r) (P.P. 1,3) -6) [_(p ~ q) ~ -r] (T.T. 1, 3) (T.T. 4, 6l '7) (p ~ q) (T.T. 4, 6) 7) -q

(T.T. 2, '7)8) q (P.P. 5, 7) 8) -s

9 ) -t .(T.T. 2, 8) 9 ) t (P.P. 5, 8)


5) -(p V q) (T.T. 1,4) 7) q

(P.P. 3, 5) 8) r6) r

7) -s (T.T. 2, 6) 9 ) (a V b)10) -s

11) t


6) -p (T.T. 1, 5) 6) -(r V s)

7) (a ~ b) (T.T. 4, 6) 7) (a V b)

8) c (P.P. 3, 7) 8) c

9 ) -d (T.T. 2, 8) 9 ) d


7) r (P.P. 2, 6) 7) p

8) (a 1\ b ) (T.T. 4, 7) 8) -r

9 ) -t (T.T. 1 , 8) 9 ) -s

( P . P . 3 , 9 ) lO) -(10) c11) (T.T. , 10) 11 ) a

s

) 0

J

(T.T. 1, 6)(P.P. 4, 7)(P.P. 2, 8)(T.T. 3,9)(P.P. 5, 10)

(T.T. 1, 2)(P.P. 3, 6)(P.P. 4, 7)(T.T. 5, 8)

(T.T. 1 , 5 )

(T.T. 4, 7)(T.T. ,8)(T:I. , 9)(P .I .6, lO )

REGLA DEL TOLLENDO PONENS

Ejemplos:

Ej. 1: Ej. 2:

1) pVq 1) (a 1\ b) V c

2) -p 2) -c

3) q (T.P. 1, ~) 3) (a 1\ b) (T.P. 1, 2)

Ej. 3: Ej. 4:

1) p V (q 1\ r) 1) -p V

- ,) -(q 1\ r) 2) p .

3) P -(T.P. 1, 2) 3) --:q (T.P. 1, 2)

Ej. 5: Ej. 6:

1) P V -q 1) [(p 1\ q) ~ r] V s1

2) q 2) -s 1 I

3) P (T.P. 1, 2) 3) [(P 1\ q) ~ r] (T.P. 1, 2) , 1

I Ej. 7: Ej. 8: \j

1) (p ~ q) V -(r ~ s) 1) p V -(q 1\ r)

) -(p ~ q) 2) -p

.) -(r ~ s)(T.P. 1, 2) 3) -(q 1\ r) (T.P. 1, 2)

I~.plicación:

Al comenzar el tratamiento de las reglas de inferencia hicimos lai uicnte consideración: La verdad de las premisas dadas no se cuestiona;esto es, 'damos por sentado que toda premisa es verdadera. Así las cosas,'lI1110S ahora cuál es el esquema de esta nueva regla de inferencia:

1 , 1 1 N s encontramos, en primer lugar, con un enunciado disyuntivo.

" tra d las pr misas niega uno de los miembros de esa disyunción.

\ " . n ist n n afirm u' el tr

()I



Repasemos de nuevo el esquema del Tollendo Ponens (negando seafirma) a la luz de la consideración inicial y de lo que ya sabemos acercade la disyunción inclusiva:

1 .0 Nos encontramos con una premisa que viene dada en forma deenunciado disyuntivo. Partimos de la consideración de que eseenunciado es, pues, verdadero. Si recordamos la ley de verdad de ladisyunción, tendremos presente que ésta es verdadera cuando al

menos uno de sus miembros es verdadero.

2.0 Sabiendo, pues, que al menos uno de sus miembros es verdadero,nos encontramos ahora con que otra de las premisas dadas niegauno de los miembros de la disyunción, es lógico, pues, concluir conla afirmación del otro miembro.

3.° Afirmar el otro miembro significa respetar lo tal y como nos vienedado. sin negación si aparece sin ella o con negación si con ellaaparece.

Así, en los ejemplos 4 y 8:

1 ) -p V -q

2) p

1 ) p V -(q 1\ r)

2) -p

3) -q (T.P. 1, 2) 3 ) -(q 1\ r)

Vemos cómo la premisa 2, en ambos casos, es la negación de uno delos miembros de la disyunción de la premisa 1, y que en la Conclusión seafirma (esto es, se respeta) el otro miembro de la disyunción.

Como de costumbre, las siglas que irán a continuación de aquellaconclusión que haya sido obtenida aplicando la regla del TollendoPonens serán T.P., seguidas de los números de orden de las premisas

sobre las que se haya aplicado.

Regla 'delTollendo Ponens:

, Dada. una disyunción y la negación de uno de sus miembros,podemos concluir con la afirmación del otro miembro.

Tautología:

La corr cta apli aci n d la r la T 11nd P n n. pr v u, lid

quetednlas

lanteriores, ~~a tautología, es decir, un enunciado verdadero

en o os os casos posibles,Así:

1 ) p V q

2) -p

3) q (T.P. 1, 2)

;onstruyamos .un ~~unciado condicional cuyo antecedente esté for-ma 0

1l??r la conjunción de las premisas y cuyo consecuente sea la

conc USlOny tendremos:

[(p V q) 1\ - p] ~ q

Elaboremos ahora su tabla de verdad:

[(p V q) 1\ -p] ~ q

V V V F F V VF V V V V V VV V F F F V FF F F F V V F

. Veamos ahora otros ejemplos:

1) p V (q 1\ r)2) -p

3) (q 1\ r) (T.P. 1, 2)

[[ p V (q 1\ r)] 1\ -p] ~ (q 1\ r)

V V V V V F F V V V VF V· V V V V V V V' V VV V F F V F F V F FF F VF F V F V V F F VV V V F F F V V FF FV F V V V F FV V r 1 : ¡ - : F V

l' 1,' It' l' F F V V l' l' l'

(1 1



1) -p V -q [(-p V -q) 1\ q] ~ --:-p2) q

V V V F F V V3) -p (T.P. 1,2) F V V F F V F

V V F V V V VF F F F V V F

EJEMPLOS DEL TOLLENDO PONENS

1) La Moral emplea un lenguajeprescriptivo o util iza un lenguaje

descriptivo2) La Moral no utiliza un lenguajedescriptivo

3) La Moral emplea un lenguajeprescriptivo

1) O la isla de La Gomera pertenecea la provincia de Las Palmas opertenece a la provincia de SantaCruz de Tenerife

2) La isla de La Gomera no pertenecea la provincia de Las Palmas

3) Pertenece a la provincia de SantaCruz de Tenerife

1) Voltaire pertenece a la Ilustración

Francesa y Kant pertenece a laIlustración Alemana o la RevoluciónFrancesa fue en el siglo XIX

2) La Revolución Francesa no fue enel siglo XIX

3) Voltaire pertenece a la IlustraciónFrancesa y Kant pertenece a laIlustración Alemana

1) O Galileo fue perseguido por laInquisición o la Inquisición noexistía en la ép ea d al il

9

1) p V q

2) -q

3) p (T.P. 1, 2)

1) p V q

2) -p.

3) q (T.P. 1, 2)

1) (p 1\ q) V r

2) -r

3) (p 1\ q ) (T.P. 1, 2)

1 ) p V -q

1 ) -p V -q

2) La Inquisición existía en la época 2)de Galileo q

3 ) Galileo fue perseguido por la3 ) p (T.P. 1, 2)Inquisición

1) Por un punto exterior a una recta 1) pVqpasa una sola paralela o pasa másde una paralela

2) No pasa más de una paralela 2) -q

3 ) Por un punto exterior a una recta3 ) p (T.P. 1, 2)

pasa una sola paralela

1) O el método exige observar primero 1) (p 1\ q) V -ry elaborar la hipótesis después de laobservación, o no se trata del métodoinductivo .

.'2) Se trata del método inductivo I

2) r H

3 ) El método exige observar primero 3) (p 1\ q) (T.P. 1,2)Y elaborar la hipótesis después de laobservación

2) q

3) -p (T.P. 1,2)

1) (p 1\ q) V (r -->s )

2) -(p 1\ q)

) (I' ~s (T. P . 1 , )

1) O Cristóbal Colón no fue unaseñora o no hay pruebasdocumentales del caso contrario

2) Hay pruebas documentales del caso

contrario

) Cristóbal Colón no fue unaseñora

1 ) . O tiene una escalera de color y enese caso me gana, o si tiene unpóker entonces pierdeNo cu rro que tenga un a escalera de( 1 r y qu '11 ese C'IS me anc

1) Si (i '1\' un I ' ) k '1', '11(( n "S pi 'I'd ,-



1) O toda ciencia demostrativa tiene 1) p V q

que partir de principiosindemostrables, o los pasos de lademostración son infinitos

2) Los pasos de la demostración no 2) - q

son infinitos

3) Toda ciencia demostrativa tiene que 3) p (T.P. 1, 2)partir de principios indemostrables

1) O se anticipan las elecciones y no 1) (p 1\ -q) V (r 1\ q)da tiempo de modificar la ley

electoral, o se agota la legislatura yda tiempo de modificar la leyelectoral

2) No ocurré que se agote la legislatura 2) -(r 1\ q)Y dé tiempo de modificar la leyelectoral

3) Se anticipan las elecciones y no da 3) (p 1\ -q) (T.P. 1, 2)tiempo de .modificar la ley electoral

Ejercicios de aplicación de la regla

ToJlendo Ponens

Aplicando la regla del Tollendo Ponens, obtener las conclusionespertinentes de los siguientes problemas:

1 . 1 ) (p 1\ -q) V -(r 1\ -s)2) -(p 1\ -q)2. 1) -(p 1\ q) V -(r 1\ s)

2) (r 1\ s)

3. 1) (a ~ b) V -c2) -(a ~ b )

4. 1) (- p 1\ -q) V -r

2) r

5. 1) rV(-sl\t)

2) -r6. 1) (pl\q)V-(-pVq

2) -(p 1\ q)

Soluciones del ejercicio anterior

D:t

1) p V -(q 1\ r)

2) -s V t

3) -p V s4) (q 1\ r)

5) p (T.P. 1, 4)6) s (T.P. 3, 5)

7) t (T.P. 2, 6)

D:a

1) p V -q

2) -p V r

3) q

4) -r V (s 1\ t)5) -(s 1\ t) V a

6) p (T.P. 1, 3)7) r (T.P. 2, 6)) (s 1\ t) (T.P. 4, 7)

9 a T.P., 8

()7

Las conclusiones de los problemas son las siguientes:

Del problema 1: -(r 1\ -s).Del problema 2: - (p 1\ q).Del problema 3: - c.Del problema 4: (- p 1\ - q).Del problema 5: (-s 1\ t).Del problema 6: - ( - p V q).

Aplicación del ToJlendo Ponens con más de dos premisas

Recordemos:

- Es !1ecesario averiguar sobre qué pareja de enunciados podremosaplicar la regla.

- Los enunciados sobre. los que puedo aplicar la regla se puedenencontrar como prermsas o como conclusiones.

- Cuan~o al comienzo del problema veamos «D:» seguida de unenunciado, se trata de la conclusión a la que debemos llegar.

Ejemplos:

D:r

1 ) pVq

) -q

) r V -p

4) p (T.P. 1, 2)) r (T.P. 3,4)

D :(d _ c)

1) (p _ r) V (q _ r)

-.: (a - b) V (d _ c)1) -(q_r)

1\). (a b) V -(p _r)

~) ti r) (T.P. J , 3)(1 ) 1I b) (T.P. 4, 5)1) (ti ~ .) (T.P. 2, )



, de dos premisasEjercicios. del. :ollendo ponen~~~~ :;:~ostrary con indicación de lo que se

D :s 2 . D:(a 1\ b).

(p~ q) V -(p ~ r)1 ) (p V q) V r 1 )

2 ) (p ~ r) V + S2 ) -p

3 ) s V -t3 ) -r4) -(p ~ q)4) -q V s5 ) t V (a 1\ b)

D:p 4. D : -(a 1\ b)

3 .(p +-> q) V -r1 ) -a V -b 1 )

-d 2 ) r2 ) -e V3 ) + S V -(p +-> q)

3 ) aVe4) s V -(a 1\ b)4) b

5 ) dVp

6. D:-t5 . D:r

-a V -b 1 ) s V -t1 )2 ) -r V + S

2 ) -(p 1\ q) V r3 ) q3 ) b4) -p V r4) a V (e 1\ d)5 ) p V -q5 ) -(e 1\ d) V (p 1\ q)


. I problemas sólo se coloca-Como de costumb~e, ~o. rePlroduclmo~a~~s y la con~lusión final.

rán, debajo de cada eJerCICIO, os pasos

Soluciones:

Del ejercicio 1

5) (p V q ) (T.P. 1, 3)6) q (T.P. 2, 5)7) s (T.P. 4, 6)

Del ejercicio 2

6) -(p ~ r) (T.P. 1,4)7) -s (T.P. 2, 6)8) -1. (T.P., 7)

) (ol\b) (T.P. ,R


5) (p +-> q) (T.P. 1, 2)6) -s (T.P. 3, 5)7) -(a 1\ b) (T.P. 4, 6)

6) ~a

7) e8) ~d

9) p

(T.P. 1, 4)(T.P. 3, 6)(T.P. 2, 7)(T.P. 5, 8)

Del ejercicio 5

6) = -a (T.P. 1, 3)7) (c 1\ d) (T.P. 4, 6)~) (p 1\ q) (T.P. 5, 7)~) r (T.P. 2, 8)

Del ejercicio 6

6) p

7) r

8) -s9) -t

(T.P. 3, 5)(T.P. 4, 6)(T.P. 2, 7)(T.P. 1, 8)

Aplicación de más de dos reglas de inferencia

en un solo problema

Es obvio que al ser conocidas ya estas tres primeras reglas deinferellcia (P.P., TT y TP.) estamos preparados para ~olucionarproblemas en los que sea necesario aplicar las tres conjuntarn.ente parapoder llegar a la conclusión que se ex.ija, pues de otra forma nohubiéramos podido conseguirlo, y lo mismo ocurrirá cuando vayamos'onociendo las restantes.

El mecanismo es ya suficientemente conocido. Sólo es necesario1 lverti- que el hecho de haber aprendido las reglas por un orden no essi 'nifiQativo. Pudimos perfectamente haber comenzado por explicar la1 '1 1 tima regla sin alterar para nada el tratamiento de este capítulo.

Así pues, en este tipo de problemas será necesario encontrar el punto1 ( ' pa rt'i.da , y el punto de partida puede ser la aplicación de cualquiera de

lus reglas que ya se conocen. Esto es, podemos, en un Problema,'omcn~ar a solucionarlo aplicando un Toilendo Ponens, por ejemplo, yI -rrnina¡ con un Ponendo Ponens.

Por otro lado, no es necesario aplicar todas las regla.s. CadaIIr'ol ICI"\1aiene su tratamiento y necesita de unos pasos precisos Bien es\'i .rto que hay problemas que pueden soIucionarse de diversa forma,Ipli :an~o una regla u otra, pero aún es pronto para tratarlos con

t i , ( 'nin"\i nto.

R" rdernos ahora las tres reglas ya Conocidas:

N/ 'Id" de l Pon ndo Po nens , «Dado un condicional y la afirmaciónt i \ 11 Il'¡t,· l nt , po I '!11( S '( n luir o n 1 ; \ firma i n de Sil '0\1S' lf in-II

1)1)



Regla del Tollendo Tollens. «Dado un condicional y la negación desu consecuente, podemos concluir con la negación de su antecedente.»

Regla del Tollendo Ponens. «Dada una disyunción y la negación deuno de sus miembros, podemos concluir con la afirmación del otromiembro.»

Veamos ahora algunos ejemplos de problemas en los que seanecesario aplicar las tres reglas conocidas o, al menos, dos de ellas, paraluego proponer al lector ejercicios combinados y sus soluciones respecti-vas a continuación.

Ejemplos de problemas en los que hay que aplicar

las reglas P.P., T.T. Y T.P.

D:t D:(b 1\ e)

1 ) p V -q2) p --- + s3) -s4) -q---+t

1 ) - [(p --- + q ) V r] --- + s2) -r

3) -s4) -q

5) -p --- + (b 1\ e)

5) - p (T.T. 2, 3)6) -'q (T.P. 1, 5)7) t (P.P. 4, 6)

6) [(p ---+q)V r] (T.T. 1,3)7) (p --- + q) (T.P. 2, 6)8) -p (T.T. 4, 7)9) (b 1\ e) (P.P. 5, 8)

D:-a D:(a 1\ b)

1) p --- + q2) -r---+s

3) -r V p

4) a --- + -s

5) -q

1 ) -s V r

2) r --- + t

3) -(p 1\ q)

4) -(a 1\ b) --- + -t

5) (p 1\ q ) V s

6) -p (T.T. 1, 5)7) -r (T.P. 3, 6)8) s (P.P. 2, 7)9) -a (T.T. 4, 8

6) s7) r

8) t

() 1\ b

(T.P, , )(T.P, 1 , 6)(P.P. ,7T.T .. 8

I O

D:-t D:s-b

1 ) (p --- + q) V -r 1 ) -p V -q

2) s --- + p 2) -r --- + s3) -q 3) r --- + q

4 ) r 4 ) p

5 ) -s --- + -t

5 ) -q (T.P. 1 , 4 )

6) (p ---+q) (T.P. 1 , 4 ) 6) -r (T.T. 3, 5)7) -p (T.T. 3, 6) 7) s (P.P. 2, 6)8 ) -s (T.T. 2, 7)9) -t (P.P. 5 , 8 )

Ejercicios de inferencia con las reglas

P.P., T.T. Y T.P. combinadas

1. D:d 2. D:(a V b)

1 ) -(a V b) --- + e 1 ) p --- + -q

2) -:-a 2) s --- + (a V b)3) -e 3) -p---+s

4 ) b---+d 4 ) -r

5 ) r V q

: l . D:a 4 . D: -(a 1\ b)

1 ) -q 1 ) -(p V q) --- + r

2) -s 2) (a 1\ b) --- + -s3) t V r 3) q --- + s

4 ) P --- + (r --- + s) 4 ) -r5 ) t---+a 5 ) -p

6) pVq

D:s

p (r V s)

6. D:(a +-7 b)

1) -q---+s

2) -p --- + r

3) -(a +-7 b) --- + -s

4) -r

) -p V r¡

-r

-p q

- c ¡

1 0 1



7. D:p 8. D:-a

1) [ -(a - - - - '> b) - - - - '> el V d 1) p/\q

2) -e 2) -r

3) -b 3) s - - - - '> t

4) -d 4) (p /\ q) - - - - '> (r V s)

5) aVp 5) a - - - - '> -t

9. D:q 10. D:(c /\ d)

1) (a V b) 1) (p V q) V (r V s)

2) e - - - - '> -(a V b) 2) (p V q) - - - - '> t

3) d----'>p 3) -(e /\ d) - - - - '> -t

4) -p V q 4) -(r V s)

5) e Vd


D el ej ercic io 2el eje rc ic io 1

5) (a V b) (TT. 1 , 3)

6) b (TP. 2, 5)7) d (P.P. 4, 6)

6) q

7) -p

8) s9) (a V b)

(TP. 4, 5)(TT 1, 6)(P.P. 3, 7)(P.P. 2, 8)

D el ejerc ic io 3

7) p (TP. 1, 6)8) (r - - - - '> s) (P.P. 4, 7)9) -r (TT. 2, 8)

10 ) t (T.P. 3, 9)11 ) a (P.P. 5, 10)

D el ejerc ic io 4

6) (p V q) (T.T 1 , 4)

7) q (TP. 5, 6)8) s (P.P. 3, 7)9) -(a /\ b) (TT 2, 8)

D el ejerc ic io 5

5) p (TT 3, 4)6) (r V s) (P.P. 1 ,5)

7) s (TP. 2, 6)

D el ejerci cio 6

6) p

7) -q

8) s) (o.,h)

(TT. 2, 4)(TP. ,6)(P .P . 1 , 7

( . . • H

lO

D el ejerc ic io 7

6) -(a - - - - '> b) - - - - '> c](T.P. 1, 4)7) (a - - - - '> b) (T.T. 2, 6)8) -a (T.T. 3, 7)9) p (T.P. 5, 8)

D el ejercicio 8

6) (r V s) (P.P. 1 , 4)7) s (T.P. 2, 6)8) t (P.P. 3, 7)9) -a (TT 5, 8)

D el ejercic io 9 D el ejercicio 10

6) -c (T.T. 1, 2) 5) (p V q ) (TP. 1 , 4)

7) d (T.P. 5, 6) 6) t (P.P. 2, 5)8) p (P.P. 3, 7) 7) (c /\ d) (T T 3, 6)9) q (T.P. 4, 8)

Ejercicio- refuerzo

l. Se ha dado como primera premisa el enunciado p - - - - '> q, y comosegunda premisa el enunciado -p. ¿Podríamos obtener de ellasalguna conclusión? ' . .

2. Si p - - - - '> (q V r) y ( -q V r) son dos premisas dadas, ¿cabría deducirde ellas alguna conclusión?

Supongamos las premisas p, por un lado,y (-p V -q), por otro.¿Qué regla de inferencia puede aplicarse sobre ellas y qué conclu-sión deduciríamos?

4. Si una premisa es un condicional y otra la afirmación de suconsecuente , ¿podríamos obtener alguna conclusión válida?

Supongamos que -(p /\ q) es el consecuente de una premisa.Supongamos además que en otra premisa se afirma el antecedente

de la anter ior . ¿Cuál sería la conclusión que podríamos obtener?

(l. l o uál sería la justificación de la regla TolIendo Ponens? Esto es,¿en virtud de qué podemos decir que si se niega un miembro deuna disyunción podemos concluir con la afirmación del otromiembro?

I: (,/\ qué e llama una tautología?

H . Si la s p r m isa dada on - p -q, por un lado, y q, por otro, y1 1 1 .on lusi n deducida es p, I.P drtamo afirmar que con estosdu re s forrnurium s una ta u t 1 fa'! 1 , órno?

t i ,I!H 11" 'liIll'j< '0111 '111',111'11 rcs olv '1' lodo 1 rob l mil de in fcr Dejé!

. Iplj 'lIndo 11 , ' 1I PO li '1 \ lo Pon 'n,'

1 () \



1 0. ¿Qué entendemos por las expresiones «afirmar el consecuente» y«afirmar el otro miembro de la disyunción»?

1 1 . Si (a ~ b) es un miembro de una disyunción y - (b ~ e) es otromiembro de esa disyunción, y luego se nos dice que -(a ~ b),

¿qué conclusión podríamos obtener?, ¿qué regla aplicaríamos?

12. Si p es una premisa y (a _ b) V e es el antecedente de -p, ¿quéconclusión obtendríamos?


1. No, porque la negación del antecedente no supone que el conse-cuente no pueda verificarse. De esas premisas no podríamosdeducir ninguna conclusión.

2. No, porque ( -q V r) no es la negación del consecuente. Ot[b casoes si la premisa fuera -(q V r), en cuyo caso podríamos deducir-p.

3. Tendríamos que aplicar la regla del Tollendo Ponens, y.la conclu-sión que obtendríamos sería -q.

4. Ninguna, pues un consecuente verificado no supone nada acercadel antecedente.

5. Aplicando la regla del Ponendo Ponens, la conclusión obtenidasería - (p 1\ q).

6. La verdad de las premisas no se cuestiona. Si una premisa esdisyuntiva, y se niega un miembro de la disyunción en otrapremisa, la conclusión ha de ser la afirmación del otro miembro,pues un enunciado disyuntivo es verdadero cuando al menos unde sus miembros lo es.

7 . A todo enunciado verdadero, siempre y en todos los casos posi-bles.

8 . Sí, puesto que se trata de la aplicación de la regla del TollendoTollens. La tautología se formaría así: [( - p - -q) 1\ q] - p .

9.

1 0.

No, podemos empezar por cualquier regla.

Dejar estos miembros tal y como se encuentran en las premisas O

en las conclusiones, afirmados si lo están o negados si e s t á n

negados.

La conclusión sería - (b ~ e), y la regla aplicada el T ll cnd o

Ponens.1 1 .

12. -[(a b) V e].

104

REGLA DEL SILOGISMO DISYUNTIVO

Ejemplos:

Ej. 1: Ej. 2:

1) pVq 1) -p V -q

2) p _ r 2) =p r+t

3) q - s 3) -q - s

4) (r V s) (S.D. 1, 2, 3) 4) r V s (S.D. 1, 2, 3)

Ej. 3: Ej. 3:

1) p V -q 1) a _ -b2) p _ r 2) e - -d3) -q - (s 1\ t) 3) a Ve

4) r V (s 1\ t) (S.D. 1, 2, 3) 4) -b V -d (S.D. 1, 2, 3)

Ej. 5: Ej. 6:

J ) p V (q 1\ r) 1) -p V q

2) (q 1\ r) - s 2) -p -(a 1\ b)

3) p _ t 3) q - (e 1\ d)

4) t V s (S.D. 1, 2, 3) 4) (a 1\ b) V (e 1\ d) (S.D. 1,2,3)

Ej. 7: Ej. 8 :

1 ) P _ r 1) -a V b

) pVq 2) -a _ e

) q - -s 3) b - -d

4) r V -s (S.D. 1, 2, 3) 4) e V -d (S.D. 1, 2, 3)

I~ plicación:

omo vemos en los ejemplos anteriores, todos los casos presentan elN i iui cnte esquema:

l." Una disyun ·ión. Nos es indiferente i los miembro de la mismavan nc ad s no, as! corn el hecho de que sus micmbr s sean'J1UJ1 'ia los utórni .os O mole .ulurcs. Nos el b mos fij<lr, pues,solarncnt '11 111 diH unción que se nos 01'1"'\ '01110 pr l11iHU.

lO



2.° Otra de las premisas es un enunciado condicional, con una particu-laridad: su antecedente es uno de los miembros de la disyunción.

3.° La tercera y últ ima premisa es otro condicional, con la mismaparticularidad que la anterior, esto es: que su antecedente es el otro

miembro de la disyunción.

4.° Si nos fijamos detenidamente, la conclusión de todos los casos noes otra cosa que la disyunción de los consecuentes de los condicio-nales anteriores.

Efectivamente, se nos dice en principio que ocurrirá o que ocurreuna situación u otra, no sabemos cuál; lo que sí sabemos es que al menosuna de las dos ocurre. (Recordemos que una disyunción es verdadera

.cuando al menos uno de sus miembros es verdadero.)Luego las siguientes premisas nos comunican que si ocurre una de lasalternativas de la disyunción, ocurre a su vez otra situación, y que siocurre otra de las alternativas, ocurrirá también otra situación. Lógico,pues, es deducir que al menos uno de los consecuentes ocurre, y paraexpresar esto tendremos que enlazarlos mediante una disyunción.

Esta regla nos permite, a su vez, partir de más de una disyunción,como puede ser el caso siguiente:

1)2)3)4)

5) f V b V c (S.D. 1, 2, 3, 4)

Es correcta la conclusión, pues sabiendo que en la primera premisaal menos uno de sus miembros ha de ser verdadero, lógico es deducir la

disyunción de los tres consecuentes, pues en este caso también al menosuno de los miembros de esa nueva disyunción ha de ser verdadero y,siéndolo, la disyunción es verdadera.

Veamos el primer ejemplo que se propone como modelo de Silogis-mo Disyuntivo: Se nos dice en primer lugar que o bien ocurre p o bienocurre q. Luego se nos dice lo siguiente: que si ocurre p , entonces ocurrer. Y luego se nos dice también que si ocurre q entonces ocurre s.Conociendo ya la ley de verdad de la disyunción, sabemos algo, que obien p o bien q se verifican, son verdaderas, ocurren.

Pues si uno de los dos miembros ocurre, uno de los dos consecuentesde los condicionales en los que p y q son antecedentes ocurre también.Por tanto, deduciremos: r V s.

Si nos hemos fijado bien habrcm s ompr bad qu las si r las qu \

106

aparecen a continuación de la conclusión son S.D. (Silogismo Disyunti-vo), seguidas, en esta regla, no por dos números como hasta ahora, sinopor tres, pues tres son las premisas necesarias para aplicar el SilogismoDisyuntivo, esto es, la disyunción inicial, y los dos condicionales cuyosantecedentes son los miembros de esa disyunción.

Regla del Silogismo Disyuntivo

Dada una disyunción y dos condicionales cuyos antecedentessean un miembro distinto de esa disyunción, podemos concluir conla disyunción de los consecuentes de los condicionales anteriores.

Podemos también recordar la regla del Silogismo Disyuntivo de estaforma:

Premisas:

- Una disyunción.- Un condicional cuyo antecedente sea uno de los miembros

de esa disyunción.- Otro condicional cuyo antecedente sea el otro miembro de

esa disyunción.

Conclusión:

- Una disyunción formada por los consecuentes de los condi-cionales anteriores.

Tautología:

La correcta aplicación de la regla del Silogismo Disyuntivo provocauna 'tau to lógia, que como ya sabemos, es un enunciado verdadero entodos los casos posibles.. A sí:

1 ) p V q2) p -7 r

3) q -7 + r

4) r V r

107



Si ahora construimos un enunciado condicional cuyo antecedente sea 3) Si no sigo estudiando, no me 3) -q ~-5

la conjunción de las premisas y cuyo consecuente sea la conclusión, concederán más becasobtendremos:

4) O tengo que ir a Córdoba, o no me 4) r V -s (S.D. 1, 2, 3)[( p V q) /\ [(p ~ r) /\ (q ~ -r)J ] ~ (r V -r) conceden más becas

y si elaboramos ahora su tabla de verdad comprobaremos que es 1) La encuesta está bien realizada, 1) p V -p

verdadera en todos los casos posibles: o no lo está2) Si la encuesta está bien realizada, 2) p ~q

[( p V q) /\ [( p ~ r) /\ (q ~ r)J] ~ (r V -r) entonces la muestra ha sido recogidaal azar

V V V F V V V F V F F V V V F 3) Si no lo está, entonces se ha 3) -p ~r

F V V F F V V F V F F V V V F consultado sólo a un estrato social

V V F V V V V V F V F V V V FF F F F F V V V F V F V V V F 4) O la muestra ha sido recogida al 4) q V r (S.D. 1, 2, 3)

V V V F V F F F V V V V F V V azar, o se ha consultado sólo a un

F V V V F V F V V V V V F V V estrato socialV V F F V F F F F V V V F V VF F F F F V F V F V V V F V V 1) O gana la derecha, o gana el centro, 1) p V q V r

o gana la izquierda2) Si gana la derecha, se reformará 2) p~a

Ejemplos de Silogismo Disyuntivototalmente la ley de Educación

3) Si gana el centro, se formará 3) q ~b

1) O el método es inductivo, o el 1) pV qparcialmente esta Ley

4) Si gana la izquierda, la Ley se 4) r ~cmétodo es deductivo aplicará hasta sus últ imas

2) Si el método es inductivo, entonces 2) p ~ (r /\ s) consecuenciasse partirá de observaciones sensiblesy luego se establecerá una hipótesis 5) O se reforma totalmente la ley de 5) a V b V e (S.D. 1, 2, 3, 4)provisional Educación, o se reformará

3) Si el método es deductivo, se partirá 3) q ~t parcialmente esta Ley, o la Ley sede postulados, axiomas y leyes

aplicará hasta sus últimasgenerales consecuencias

4) O se partirá de observaciones 4) (r ./\ s) V t (S.D. 1,2,3) 1) O admitimos que en el mundo que 1) pV qsensibles y luego se establecerá una . conocemos hay muchas cosas quehipótesis provisional, o se partirá de serían mejor de otro modo, opostulados, axiomas y leyes pensamos que este es el mejor de losgenerales mundos posi bles

i admitimos que en el mundo que 2) p ~-r

1) O me matriculo en Veterinaria, o no 1) p V -q . noccmos hay cosa que seríansigo estudiando m jor I otr modo, ntonc S no nos

2) Si me matriculo en Veterinaria, 2) p r 'onformurnos ')11 al unastengo que ir a Córd ba si! un ·i )11 's

108 I () <



3) Si pensamos que este es el mejorde los mundos posibles, seremosunos conformistas

4) O no nos conformaremos conalgunas situaciones, o seremos unosconformistas

4) -r V s (S.D. 1, 2, 3)

1) O se tiene la tendencia de conferir al) p V - p

a los objetos inanimadoscaracterísticas que sólo pertenecen alos seres animados, o no se tieneesta tendencia

2) Si se tiene la tendencia de conferir 2) p ~ qa los objetos inanimadoscaracterísticas que sólo pertenecen alos seres animados, entonces se tieneuna visión primitiva de las cosasllamada «animismo»

3) Si no se tiene esta tendencia, se está 3) - p ~ r

más cerca del sentido común

4) O se tiene una visión primitiva delas cosas llamada «animismo», o seestá más cerca del sentido común

1) Si el placer es definidoverbalmente, entonces no nosentenderán

2) Si el placer es definidoostensiblemente, entonces podrán

comprender qué entendemos porplacer3) El placer puede ser definido

verbalmente o puede ser definidoostensiblemente

4) O no nos entenderán, o podráncomprender qué entendemos porplacer

1 1 0

4) ª V r (S.D. 1, 2, 3)

1 ) p ~ -q

2) r ~s

3) p V r

4) -q V s (S.D. 1,2,3)

Ejercicio de aplicación del Silogismo Disyuntivo

Aplicando la reglai del Silogismo Disyuntivo, obtener las conclusio-nes pertinentes de los siguientes problemas:

1. 1) -a ~d 2 . 1) P V (q 1\ r)

2 ) -a V -b 2 ) (q 1\ r) ~ -s

3 ) +b ~-c 3 ) P -st

3 . 1) a V -a 4. 1) p ~ -(r 1\ s)

2 ) a ~ (b 1\ e) 2 ) q ~t

3 ) -a ~ (d 1\ e) 3 ) pVq

5. 1) -p V -q 6. 1) a ~ (p ~ q)

2 ) -p ~-r 2 ) aVb

3 ) -q ~-s 3 ) b ~ (q V r)

1 1 1

Soluciones del eje,.cicio anterior

Las conclusiones die los problemas son las siguientes:

Del problema 1:Del problema 2:Del problema 3:Del problema 4:. Del problema 5:Del problema 6:

d V -c.

t V -s.

(b 1\ e) V (d 1\ e).-(r 1\ s) V t.

-r V -s.

(p ~ q ) V (q V r) .

Algunos ejemplos ,en los que hay que aplicar dos veces

1Silogismo Disyulntivo en un mismo problema

n los ejemplos qu re siguen observaremos cómo la disyunción inicial,'st es, la que tomamcis como punto de partida, se encuentra, claro está,intrc las premisas, y la' segunda disyunción, que nos servirá tambiénpura aplicar esta reglar, se encuentra en la conclusión.

.~ sL n s sirve par ra re ordar algo que ya e ha dich en otras\\ 'usi n s:

1 . 1 1 uc no s lo 11 Itl 1r 'misas, .in uirnbi n las '011'llI/don '/j pu xl in111lii,III'/j' si '011~e llo 11 , IIlno. ti ItI 1 '1110slrll 'i('\1I • ¡ ¡ 11 ,



2.0 Ya veremos más tarde que las premisas y las conclusiones puedenutilizarse cuantas veces sean necesarias y, por tanto, el hecho dehaber utilizado una premisa o una conclusión no significa quequedan descar tadas del cálculo inferencial, s ino que pueden utili-zarse cuantas veces lo exija el problema.

D:a V b D:-a V -b

1) pVq «> 1) -q ~-r

2) p -r- r T 2) -s ~-b

3) q ~s 3) -p ~-s

4) r ~a 4) -r ~-a

5) s ~b 5) -p V -q

6) r V s (S.D. 1, 2, 3) 6) -s V -r (S.D. 1, 3, 5)7) aVb (S.D. 4, 5, 6) 7) -b V -a (S.D. 2, 4, 6)

D:(r V s) V d D:(r 1\ s) V t

1) q ~c 1) (a 1\ b) V (e 1\ d)

2) pVq 2) (e 1\ d) ~ q

3) (a 1\ b) ~ (r V s) 3) p ~ (r 1\ s)

4) p ~ (a 1\ b) 4) q~1)

5) e ~d 5) (a 1\ b) ~ P

6) (a 1\ b) V c (S.D. 1, 2, 4) 6) p V q (S.D. 1, 2, 5)

7) (r V s) V d (S.D. 3, 5, 6) 7) (r 1\ s) V t (S.D. 3, 4, 6)

Aplicación de las cuatro reglas conocidas

en un mismo problema

Como vemos, a medida que vamos conociendo nuevas reglas, I sproblemas de inferencia pueden irse complicando. Pero es una complica-ción aparente, que no supone grandes dificultades.

Creemos imprescindible el conocimiento preciso de cada una de lasreglas que vamos ofreciendo. El menor titubeo en su definición puedecolocamos en un callejón sin salida. La Lógica en esto es traicionera e 11

los que la aprenden superficialmente y generosa y agradecida con 1 H

que, paso a paso y con rigor , se van introduciendo en ella.Nos encontraremos, pues, con ejercicios y problema en lo que

aparezcan varias premisas. No nos debe asustar el número d In,mismas. Unas serán condicionales, otras disyunciones; de m m nt noconocemos otras reglas en las que intervengan las restan; S con t ivus,

Sabiendo esto, t ndrem s qu ncontrar lo IU S s n 'i¡tI '1) 1 1

1 1

resolución de un problema de inferencia: el punto de partida. ¿Por dóndeempezar? Hay ejercicios que vienen, por así decirlo, ordenados. Bastacon emparejar la premisa primera con la segunda para que el problema'comience a resolverse con faci lidad, pero esto no ocurre con frecuencia.

Nuestro consejo es que se recorran detenidamente las premisas. Siuna de ellas es un condicional, por ejemplo, revisaremos las demás con elfin de poder aplicar, de momento, las reglas en las que interviene estaconectiva, esto es, Ponendo Ponens (P.P.) y Tollendo Tollens (TT). Sinos encontramos con una disyunción haremos lo 'mismo, pues demomento con esta conectiva sólo podemos aplicar o el Tollendo Ponens

(TP.) o el Silogismo Disyuntivo (S.D.).No nos debemos olvidar tampoco de las conclusiones que vayan

surgiendo, pues nos serán sin duda de gran utilidad, como ya hemos

tenido ocasión de comprobar, en los ejercicios de todo este capítulo.Recordemos también que es imprescindible indicar, mediante lassiglas que ya conocemos, la regla que ha sido aplicada, así como losnúmeros de orden de las premisas o de las conclusiones afectadas.

Dicho esto, pasemos a recordar las cuatro reglas conocidas, así comolos esquemas o modelos de cada una de ellas:

Regla del Ponendo Ponens:

Dado urí condicional y la afirmación de su antecedente, pode-mos concluir con la afirmación de su consecuente.

Regla del Tollendo Tollens:

Dado un condicional y la negación de su consecuente, podemosconcluir con la negación de su antecedente .

H gla del Toilendo Ponens:

ada una di yunci n y la negación de uno de us miembros,po d .rno s . n lu ir c, n la afirrna i n d 1 o tr .

1 1 ,



Regla del Silogismo Disyuntivo:

Dada una disyunción y dos condicionales cuyos antecedentessean los miembros respectivos de esa disyunción, podemos con-cluir con la disyunción de los consecuentes de los condicionalesanteriores.

Esquema de estas cuatro primeras reglas

Esquema del Ponendo Ponens Esquema del Tollendo Tollens

p---+q

p

p ---+ q

-q

q -p

Esquema del Tollendo Ponens Esquema del Silogismo Disyuntivo

p V q-p

pVqp ---+ r

q ---+ s

q

r V s

Problemas de inferencia en los que hay que aplicarlas reglas P.P., T.T., T.P. Y S.D.

1 . D:b 2. D:-(b A e)

1) pVq 1) p

2) (r V s) ---+ t 2) q ---+ s

3 ) p ---+ r 3 ) a ---+ -(s V t)

4 ) a ---+ -t 4 ) p ---+ (q V r)

5) q ---+ s 5) r---+t

6) + a ---+ b 6) a V -(b A e)

3 . D:d 4 . O : -(1 V s)

1) -(p V q) ---+ r 1 ) (a V h) V e

2) p---+a ) ( '1 V r¡) - r

1 1 4

3 ) -(a V b) V c 3 ) b ---+ q

4 ) q ---+ b 4 ) a ---+ p

5 ) -r 5 ) -c

6 ) c ---+ d 6 ) (t V s) ---+ -r

-,

5 . D :c' 6 . ' D:r

1) -r 1). -[ -(a V 9 ) ---+c]---+d2) p---+a 2 ) -c3) Ka V b)---+c 3 ) -d

4 ) q - - - - - + b 4 ) a ---+ p

5 ) -(p V q) ---+ r 5 ) ( p V q) ---+ r

6 ) b ---+ q

7. D:-q 8. D:c Vd

1) q ---+ =d 1) (r V s) ---+ (a V b)

2 ) r ---+ a 2 ) p ---+ r

3) -p V (r V s) 3 ) p V -q

4 ) s ---+ (b A c) 4 ) a ---+ c

5 ) [a V (b A c)]---+d 5 ) -q ---+ s

6 ) p 6 ) b---+d

9. D:-m 10. D:m

1) t ~ -(r V s) 1) -r ---+ -q

2 ) -a V b 2 ) -p V (a V b)

3 ) -p V -q 3 ) (c V d) ---+ q

4 ) t V a 4 ) a ---+ c

5 ) -p---+r 5 ) -r V s

6 ) b ---+ (c A d) 6 ) p7) -q ---+ s 7) s ---+ t

8) m ---+ -(c A d) 8) b ---+ d

9) -m ---+ -t

luciorres de los ejercicios anteriores

f ) ( ' / ejercicio 1

1 ) (r V s)( S . . 1,}, ) .

K) 1 (P.P. _, 7)

Del ej zrc ic io 2

7) (t¡ V r) (P .P . 1 , 4)

X ) (8 V 1 ) (S . . , ,7)

11



9) -a (T.T. 4, 8) 9) -a (T.T. 3, 8)10) b (P.P. 6,9) 10) -(b /\ e) (T.P. 6,9)


7) (p V q) (T.T. 1, 5) 7) (a V b) (T.P. 1, 5)8) (a V b) (S.D. 2, 4, 7) 8) pVq (S.D. 3, 4, 7)9) e (T.P. 3, 8) 9) r (P.P. 2, 8)10) d (P.P. 6, 9) 10) -(t V s) (T.T. 6, 9) .


6) (p V q) (T.T. 1, 5) 7) [-(a V b) ~ e] (T.T. 1, 3)7) (a V b) (S.D. 2, 4, 6) 8) (a V b) (T.T. 2, 7)

8) e (P.P. 3, 7) 9)(p V q) (S.D. 4, 6, 8)

10) r (P.P. 5, 9)


7) (r V s) (T.P. 3, 6) 7) (r V s)8) a V (b /\ e) (S.D. 2, 4, 7) 8) (a V b)

9) d (P.P. 5, 8) 9) (e Vd)10) -q (T.T. 1, 9)

Del ejercicio 9 Dél ejercicio 10

9) (r V s) (S.D. 3, 5, 7) 10) (a V b)

10) -t (T.T. 1, 9) 11) (e V d)

11) a (T.P. 4, 10) 12) q

12) b (T.P. 2, 11) 13) r

13) (e /\ d) (P.P. 6, 12) 14) s14) -m (T.T. 8, 13) 15) t

16) m

(S.D. 2, 3, 5)(P.P. 1, 7)(S.D. 4, 6, 8)

(T.P. 2, 6)(S.D. 4, 8, 10)(P.P. 3, 11)(T.T. 1, 12)(T.P. 5, 13)(P.P. 7, 14)(T.T. 9, 1~

I I )

REGLA DEL SILOGISMO HIPOTETICO

Ejemplos:

Ej. 1:

1) p ~q

2) q ~ r

Ej. 2:

1) p ~ -q2) -q ~ r

3) p ~ r (S.H. 1, 2)

Ej. 3:

1) -p ~ q

2) q ~ -r

3) p ~ r (S.H. 1, 2)

Ej. 4:

1) -p ~ -q

2) -q ~ r

3) -p ~ -r (S.H. 1, 2)

Ej. 5:

1) ~p ~ (r /\ s)2) (r /\ s) ~ (a /\ b)

3) -p ~r (S.H. 1,2)

Ej. 6:

1) (a V b) ~ e2) e ~ (p V q)

3) -p ~ (a /\ b)

Ej. 7:

1) -(p /\ q) ~ r

2) r ~ -(s V t)

3) (a V b) ~ (p V q)

Ej. 8:

1) (p /\ q) ~ r

2) r ~s

3) -(p /\ q) ~ -(s V t) 3) (p /\ q) ~ s

Explj¡:ación:

Observando los ejemplos que preceden como modelos del SilogismoHipotético veremos que esta nueva regla tiene un esquema fácilmente. comprensible:

l. o Se nos ofrece como premisa inicial un enunciado condicional.

Si nos fijamos en los ejemplos anteriores este enunciado condicionalpuede adoptar todas las situaciones posibles, esto es:

- Su antecedente puede ir negado y su consecuente no, O viceversa.Tanto el antecedente como el consecuente pueden ir negados.Ni el antecedente ni el con ecuente van negados.-<1ant e d nte y el e nsecu ntc pueden ser enu nciados atómicos.:¡ nnt . ,ti 'ni' y '1 .onsccu .ntc pu den ser en un iado» m I cula-r 's.

1 1 I



y todas estas situaciones posibles no nos deben preocupar parque noafectan la correcta aplicación de la regla, cama veremos ahara.

2.0 Se nos ofrece luego otro enunciado condicional, que es el que nosva a permitir, par su peculiaridad, detectar el Silogismo Hipotético,

Esta segunda premisa, este segunda enunciada condicional, se carac-teriza par la siguiente: su antecedente es el consecuente de la premisa

anterior, esta es, de la que hemos tornado cama punta de partida.(Véanse las ejemplos.)

3. 0 La conclusión es, a su vez, otro enunciada condicional, cuya

antecedente es el antecedente de la premisa inicial y cuya consecuente esel consecuente de la segunda premisa.

Coloquemos las premisas y la conclusión linealmente; elijamos paraella el primer ejemplo propuesta y tendremos:

p --+ r

Efectivamente, las premisas nos dicen: primera, que si ocurre p, entoncesocurre q, y la segunda, que si ocurre q, entances ocurre r. Obviamente laconclusión es que si ocurre p, entonces ocurre r.

Observemos que el consecuente de la primera, q, que es el anteceden-te de la segunda, ejerce una función de «puente» entre p que es elantecedente de la premisa inicial, y r que es el consecuente de la segundapremisa.

Pongamos un ejemplo en lenguaje ordinario:

1) Si el gobierno adelanta la hora, mañana nos levantaremos e l

noche.2) Si mañana nos levantamos de noche, entonces tendremos qu

dejar preparadas las linternas.

3) Si el gobierno adelanta la hora, entonces tendremos que dejarpreparadas las linternas.

Simbolizando esta inferencia tendremos:

Se observa en la gráfica superpuesta al esquema, que iend ( 1

consecuente de la primera premisa y antecedente de la segunda, p kmas deducir un enunciada condicional formad p r 1 antec dent d 1 1

premisa inicial, p, y par el ns cu nt d lu se l in da 1 r 'mis", r.

. , 1 1 8

Regla del Silogismo Hipotético:

Dadas das enunciadas condicionales de tal forma que elconsecuente del primera sea a su vez el antecedente del segunda,podemos concluir can .otra enunciada condicional, cuya antece-dente sea el antecedente del primera y cuya consecuente sea elconsecuente del segunda.

Podemos recordar también esta regla esquematizándola del siguientemodo:

Conclusión:

Un enunciada condicional cuya antecedente es el antecedentedel primera y cuya consecuente es el consecuente del segunda.

Premisas:

1.a Un enunciada condicional.2.a Un enunciada condicional cuya antecedente es el canse-

cuente del anterior.

Las siglas que indicarán que se ha aplicada el Silogismo Hipotéticoserán las de S.H., seguidas par las núm eros de arden de las premisas quese hayan utilizada.

La premisa inicial en el Silogismo Hipotético

Cuando tengamos que aplicar un Silogismo Hipotético en un proble-m a deinferencia compuesto par más de das premisas .y en el que, por(unto, sea necesaria aplicar varias reglas, tendremos lógicamente que'11(; ntrar das enunciadas condicionales can las características ya indica-dus. P ro estas das enunciadas condicionales no necesariamente tienentI\I . ir colocados juntas, esta es, cama premisas numeradas correlativa-In intc, ni siquiera de tal fo rm a que el enunciada inicial aparezca can unnúm cr dc arden in feri o r al segunda enunciada.

I\stú situación pr v ea, e n frecuencia, que no se detecte la posibili-d lld ti' apli al' un il zismo Hip t tic en un pr blcrna el inf rcncia.

S, 1 1 .o n» 'jn, 1 1 < r tunto , n .stc 'as, s parar el lns pr 'm isas ludasIIq\lllIlIN ru c 11I ,ti 11 1 r > .rmií ir 1 11 li ' 1 11 ' 's tn J " la '1 I1 11b iuf 'lll,' de ( rd 'n s i

1 1 1 )



es necesario, y así comprenderemos mejor si podemos aplicarla o no.Veamos un ejemplo. Un problema como el que sigue:

D:a

1) t --'> a l ' )2) -q --'>~'

3) = r S: V t :

4) p ~-'--q

5) (p --'> r) --'> S

no se soluciona, esto es, no llegamos a la solución exigida, en este caso a,

si no comenzamos por aplicar la: regla del Silogismo Hipotético. Quizása simple vista no se detecten las premisas que se pueden utilizar para

ello. Si separamos ahora las premisas 2)y 4) tendríamos:

2) -q --'> r

4) p --'> -q

Si ahora cambiamos el orden de las mismas tendríamos:

4) p --'> -q

2) -q --'> r

y así veríamos mejor la existencia de un Silogismo Hipotético yconcluiríamos con:

p --'> r

A partir de aquí, el problema ya no puede tener secretos para nosotros ysu solución sería como sigue:

6) p --'> r (S.R. 2, 4)

7) s (P.P. 5, 6)

8) t (T.P. 3, 7)

9) a (P.P. 1, 8)

Tautología:

La aplicación correcta del Silogismo Hipotético provoca, al igualque en las demás reglas, una tautología, esto es, un enunciado verdaderoen todos los casos posibles.

Sea:

1) p --'> q

2) q --'> r

3) p -~ r

1 O

Construyamos un enunciado condicional cuyo antecedente esté com-puesto por la conjunción de las premisas y cuyo consecuente sea laconclusión, y tendremos:

[ (p --'> q) 1 \ (q --'> r) ] --'> (p --'> r)

Elaboremos ahora su tabla de verdad y obtendremos:

[ ( P --'> q) /\ (q --'> r) ] --'> (p --'> r)

V IV V V V V V V V V VF V V V V V V V F V VV F F F F V V V V V VF V F V F V V V F V V

V V V F V F F V V F FF V V F V F F V F V FV F F F F V F V V F FF V F V F V F V F V F

Ejemplos del Silogismo Hipotético

1) Si la manipulación social es el acto 1) p --'> q

de forzar las voluntades de losdemás en beneficio del manipulador,entonces la manipulación social esun acto de demagogia

2) Si la manipulación social es un acto 2) q --'> -r

de demagogia, entonces no es unacto éticamente aceptable

3) Si la manipulación social es el acto 3) p --'> - r (S.R. 1, 2)

de forzar las voluntades de losdemás en beneficio del manipulador,entonces la manipulación social noes un acto éticamente aceptable

1 ) Si se firma el convenio cultural, 1) p --'> qentonces hay intercambio deprofesoresi hay intercambio de profesores, 2) q --'> (1 ' / \ s)

tcnemo que nviar a cincon mistas y ell S n S envían

d R in ni r S d inf rrnáti L I

I • I



3 ) Si se firma el convenio cultural, 3 ) p _ (r1\ s) (S.R. 1, 2) 3 ) Si la mística se recomienda como 3 ) p_ -r (S.R. 1, 2)entonces tenemos que enviar a cinco actitud hacia la vida, entonces laeconomistas y ellos nos envían dos mística no pretende ser una cienciaingenieros de informática

1) Si alguien no existe cuando no lo 1) -p --q1) Si no se admite la libertad de 1) -p --q miro, entonces su apetito no

expresión, entonces no se cumple un aumenta durante su no existenciamandato constitucional 2) Si su apetito no aumenta durante 2) -q _r

2) Si no se cumple un mandato 2) -q -r su no existencia, entonces estaráconstitucional, entonces todo inapetenteciudadano responsable debeprotestar enérgicamente 3 ) Si alguien no existe cuando no lo 3 ) -p _ r (S.R. 1, 2)

3 ) Si no se admite la libertad de 3 ) -p _ r (S.R. 1, 2) miro, entonces estará inapetente

expresión, entonces todo ciudadano 1) Si Guillermo de Ockam tenía razón, 1) p--qresponsable debe protestarentonces la Teología no es unaenérgicamenteciencia

1) Si decimos que puede llevarse a 1) p-q2) Si la Teología no es una ciencia, 2) -q _ (-r 1\ s)

cabo una operación algebráica sin entonces la Moral no es una ciencia

tener idea del significado de los y las cuestiones teológicas son

símbolos, adoptamos un enfoque cuestiones de fe

formalista3 ) Si Guillermo de Ockam tenía razón, 3 ) p_( -r I\s)(S.H. 1,2)2) Si adoptamos un enfoque formalista, 2) q-r

defenderemos también que es posible entonces la Moral no es una ciencia

seguir el curso de un razonamiento y las cuestiones teológicas son

sin tener conocimiento del cuestiones de fe

significado de los términos1 ) Si el General es el menos general 1) p-q

3 ) Si decimos que puede llevarse 3 ) p_r (S.R. 1,2) de todos los soldados, entonces ela cabo una operación algebráica sin soldado es más general que eltener idea del significado de los General

símbolos, entonces defenderemos 2) Si el soldado es más general que el 2) q_rtambién que es posible seguir el General, entonces debería cobrarcurso de un razonamiento sin tener másconocimiento del significado de lostérminos .) Si el General es el menos general 3 ) p_ r (S.H. 1, 2)

1) Si la mística se recomienda como 1) p--qde todos los soldados, entonces elsoldado debería cobrar más

actitud hacia la vida, entonces nose recomienda como credo acercadel mundo

2) Si no se recomienda como credo 2) -q - -r

acerca del mundo, entonces lamística no pretende ser una ciencia

1 1 \



Ejercicios combinados en los que aparecen las reglas

anteriores y el Silogismo Hipotético

Observacionesprevias

- Conviene repasar las cinco reglas explicadas, así como los esque-mas de cada una de ellas.

- Conviene recordar que ante un enunciado condicional puedoencontrarme con la posibilidad de aplicar un Ponendo Ponens, unTollendo Tollens y un Silogismo Hipotético. Y también que eseenunciado condicional cuyo antecedente sea miembro de unadisyunción junto con otro de las mismas característ icas puede darpie a aplicar el Silogismo Disyuntivo.

Es necesario, por tanto, revisar el resto de las premisas y lasconclusiones si las hubiere.

- Conviene tener presente también que ante un enunciado disyunti-vo puedo encontrarme corr'la posibilidad de aplicar un TollendoPonens y un Silogismo Disyuntivo.

Dicho esto, veamos algunos ejercicios de inferencia en los que esnecesario aplicar el Silogismo Hipotético y algunas de las reglas yaconocidas:

1. D:-a

1) (p - r) _ -s

1l. p -q

3) s V t

4 q _r

5) a --t

3. D:-b

1) a _ -( -p _ -r)

2) -q _-r

3) +b Va

4) -p --q

2. D:b

1) -t

2) -q -r

3) -(p -. -q) - t4) (p - r) _ (a V b)

5) -a

4. D:c Vd1) b-d

2) q -r

3) (p - r) _ (a V b)

4) p -q

5) a -c

6. D:m

1 ) (p V c ¡ ) - ~ ( 1 ' s)

2) +d V

) h t¡

5. D :y V x

1) q _r

2) -(a - b) V -c3) -(s V t) - ( p 1 ' )

1 4

4) d-b 4) -d-m

5 ) s-y 5 ) a-p

6) a-d 6) s-st

7) -c-(p -q) 7) aVb

8 ) t·-x 8 ) c- -(r _ t)

7. D:t 8 . D:d

1) p V q 1) -(p _q) V -r

2) p _r 2) -(p - s)V t3) (r V s)_ (a - b) 3) q -s

4) (a - c)-d 4) t -(a -b)

5 ) q -s 5 )

(a - e) - d6) -t --d 6) b -c

7) b -c 7) r

9. D:p -r 10. D:p _r

1) q _r 1) -a

2) -b 2) (p _ q) Va

3) - [-(p -q) -al-b 3) +b V (q _ r)

4) -a 4) b


1ejercicio 1 Del ejercicio 2

(p _ r) (S.H. 2, 4) 6) p --q (T.T. 1, 3)-s (P.P. 1, 6) 7) p -r (S.H. 2, 6)

t (T.P. 3, 7) 8) aVb (P.P. 4, 7)-a (T.T. 5 , 8 ) 9) b (T.P. 5 , 8 )

1 / , 1 ~ rcicio 3 Del ejercicio4

(-p _ -r) (S.R. 2, 4) 6) (p _ r) (S.H. 2,4)1 ) -o (T.T. 1, 5 ) 7) aVb (P.P. 3, 6)1) -h (T.P. 3, 6) 8 ) c V é l (S.D. 1, 5 , 7)

1 )1,1 1:1( 'rci io 5 Del ejercicio 6

1) ) I > 1 ) ( .H. 4, 6) ) ( p V c ¡) (S.D. , 5, 7)lO (' (T.P.2, ) 1 0 r s (P.P. 1 ,

11 1 / ~ (P.I . 7. 10 ) 11) r I (S .II , l. 1()



(T.T. 8, 11) REGLA DE LA SIMPLlFICACION12) p ~r (S.H. 1, 11) 12) -c

13) s V t (T.T. 3, 12) 6 13) -d (T.P. 2, 12)Ejemplos:

14) yVx (S.D. 5, 8, 13 14) m (P.P. 4, 13)

Del ejercicio 8Ej. 1: Ej. 2: Ej. 3:

Del ejercicio 7-p A 1)(T.T. 1, 7) 1) pAq 1) -q aAb

8) (r V s) (S.D. 1, 2, 5) 8) p~q

9) (a ~ b) (P.P. 3, 8) 9) p ~s (S.H. 3, 8)2) p (S. 1) 2) -p (S. 1) 2) a (S. 1)10)

I (T.P. 2, 9)10) (a ~ c) (S.H. 7, 9) t 3) q (S. 1) 3) -q (S. 1) 3) b (S. 1)11) d (P.P. 4, 10) 11) a~b (P.P. 4, 10)

12) t (T.T. 6, 11) 12) a ~c (S.H. 6, 11)Ej. 4: Ej. 5:13) d (P.P. 5, 12)1 ) (p V q) A r 1) -(p V q) A -(r V s)

Del e jercicio 9 Del ejercicio 10

[ -(p ~ q) ~ a] (T.T. 2, 3) 5) (T.P. 1, 2) 2) (p V q) (S. 1) 2) -(p V q) (S. 1)5) P ~q 3) r (S. 1) 3) -(r V s) (S. 1)6) (p ~ q) (T.T. 4, 5) 6) q ~r (T.P. 3,4)

7) (p ~ r) (S.H. 1, 6) 7) p ~r (S.H. 5,6) Ej. 6: Ej. 7:

1 ) (p ~ q) A (r ~ s) 1) p A (r + -+ s)

2) (p ~q) (S. 1) 2) p (S. 1)3) (r ~s) (S. 1) 3) (r + -+ s) (S. 1)

Explicación:

Esta es una regla muy sencilla y, como veremos más tarde, de granutilidad. Se parte, como vemos en los ejemplos anter iores, de una solapremisa. Esta premisa, si nos fijamos bien, consiste en un enunciado

conjuntiva, cuyos miembros pueden ser enunciados atómicos o molecula-re , poco importa.

Se parte, pues, de una conjunción y se deduce de ella cualquiera de

sus miembros o los dos si es necesario.Podemos hacer esto por la razón siguiente:

1 (l Si recordamos la ley de la verdad de la conjunción, tendremospresente que una conjunción es verdadera solamente cuando susdos miembros son verdaderos .

•.." Como ya hemos repetido en varias ocasiones, la verdad de lasprernisas no se cuestiona, esto es, partimos del supuesto de quetoda premisa es verdadera.

Así, si p A q es una premisa, p A q es un enunciad v rdad ro ,

al tratars duna co nj u n ión qu i re 11 decir qu 'SLlS mi .m br o s,

u islndam ntc considerados, so n t umb ién vcrdu 1 'ros, l o 1 1 11 111 1 lol

q 11' ')1 .src 'as p s v rdu I .ro o 's v '"dad '1'0,

1 ÓI I

I '



3.° Por tanto, puedo simplif icar la conjunción en cualquiera de susmiembros, y concluiré con p o con q, según convenga. Lo cualimplica que puedo concluir con uno de ellos, con el otro o conambos.

Nota:

En los ejemplos anteriores hemos simplificado las conjunciones ensus dos miembros. Podemoshacerlo, efectivamente, pero no es siemprenecesano.

Por principio de economía, principio fundamental de la Lógica,simplificaremos solamente aquel miembro de la conjunción que nospermita obtener la conclusión exigida. En algunos casos tendremos quesimplificar los dos, pero no en todos. Simplificar la conjunción en susdos miembros no es incorrecto, pero en ocasiones puede ser supérfluo.

Veamos, pues, algunos ejemplos en los que sea necesario simplificar. la conjunción en uno de sus miembros y en los que necesitemossimplificarla en los dos:

D:s

1) p_q

2) r 1\ - q ; ; ; ]) -p - s

4) -q (S. 2)5) -p (T.T. 1,4)6) s (P.P. 3, 5)

D:(c V d)

1) q _ (a V b)

2) p 1\ q ---------,3)'4)

a -c

b-d

5) q (S. 2) ----J

6) (a V b) (P.P. 1, 5)7) (c V d) (S.D. 3, 4, 6)

I 8

D :d

1) -q V (a _ b)2) -p V (b _ e)3) (a _ e) _ d

4) p 1\ q - - - - - - - - - , 15) p (S. 4)=:= ]1-----6) q (S. 4)

7) (a _ b) (TP. 1, 6)

8 ) (b - c) (TP. 2, 5)9) (a - c) (S.R. 7, 8)10) d (P.P. 3, 9)

D:t

1) a 1\ +b ----------,2) (r V s) _ t

3) p-r4) +b _ (p V q)

5) -(q _ s) - -a

Como hemos podido comprobar, y la gráfica que hemos acoplado al?s problemas anteriores así nos lo indica, en dos de ellos ha bastado consimplificar la conju~ción en un? so.lo de sus miembros, mientras que enlo~ otros dos ha SIdo necesano simplificar la conjunción en sus dosmiembros, pues de otra forma no hubiera sido posible demostrar laconclusión que en ellos se exigía.

La sigla que debe acompañar a toda conclusión, obtenida aplicandola, regla de la ~i~plificación, es la «S», seguida en este caso por un solonumero,que indica el lugar que ocupa la premisa sobre la que se haaplicado la regla.

Tautología

Ya sabemos que una tautología es aquel enunciado que es verdaderoen tod?s lo~ cas~s posibles; pues bien, la aplicación correcta de la reglad~ la Simplificación provoca, como en las reglas anteriores, una tautolo-gia,

En efecto, de:

1) p 1\ q

2) q (S. 1)

podemos f?rI?ar un ~nunciado condicional cuyo antecedente, en estecaso, es la umca premisa y cuyo consecuente es cualquier miembro de laconjunción, y tendremos: ,.

6) -b\ (S. 1) -----,7) (p Y q) (P.P. 4, 6)8) a (S. 1)9) (q -- s) (TT. 5, 8)10) (r V IS) (S.D. 3,7,9)11 ) t (p(P. 2, 10)

¡j

Elaborando ahora su tabla de verdad, obtendremos una tautología:

(p 1\ q) - q

V V V V VF F V V VV F F V F

V F-

I l '

I



Veamos otro ejemplo:

1) p 1\ (q V 1 ') [p 1\ (q V 1 ' ) ] ~ (q V 1 ')2.a

2) (q V 1 ') (S. 1) V V V V V V V V VF F V V V V V V VV V F V V V F V VF F F V V V F V VV V V V F V V V FF F V V F V V V FV F F F F V F F FF F F F F V F F F

3.a

Regla de la Simplificación:

Toda premisa conjuntiva puede ~implifica~se ~n cualquiera de .sus miembros. Así como las conclusiones conjuntivas.

Advertencia sobre la regla de Simplificación

Es muy frecuente, y por eso se advierte e?- este a~artado, que quienesse inician en la resolución de problemas de inferencia hag~n un mal.usode la regla de la Simplificación, en oca~iones por error involuntario ytambién por el desconocimiento del estncto alcance de l~ re~l~.

Cuando se dice que una premisa conjuntiva puede sImpl.I[¡carse encualquiera de sus .miembros, se quiere decir que toda premisa de estetipo puede descomponerse en sus dos miembros y que estos se puedenutil izar por separado.

Advertimos ahora que sólo pueden simplificarse las co~jun~iones. D'tal forma que premisas como las que siguen no pueden szmplificarse:

l,a -(a 1\ b). Si este enunciado fuera una pre~isa dada, no podrlnsimplificarse, pues no se trata de una conjuncz~n. Ver la conectrva 1\

puede llevamos a engaño. Si nos fijamos b~~n veremos q.ue ~Sl('

enunciado no es una conjunción, sino la negacton de una onjun /6/1 .

que es bien distinto. De tal forma que cuando nos n ntr rnocon premisas de este tipo: -(p 1\ q), -(r 1\ -s), t., t ndr 'ITIO

l. O

que tener presente que, al no tratarse de enunciados conjuntivos,no se podrá aplicar sobre ellas la regla de la Simplificación.

(p V q ). Cuando se comienza a aplicar la regla de la Simplificación,es frecuente también observar que se tiene la tendencia de simplifi-car disyunciones. Repetimos que esta regla solamente se puedeaplicar sobre la conjunción. ¿Por qué no sobre las disyunciones?Pues porque si recordamos la tabla de verdad de la disyunciónsabemos que ésta es verdadera cuando al menos uno de susmiembros es verdadero; solamente, pues, sabemos eso, lo que nosabemos es cuál de ellos lo es y, por tanto, no podemos decidimosen descomponer la disyunción en alguno de sus miembros. Las

disyunciones, pues, no pueden simplijicarse.

(p 1\ q ) ~ r. También es frecuente observar que ante premisas deeste tipo, quienes se inician en la resolución de problemas deinferencia, suelen simplificar la conjunción que aparece comoantecedente. Se advierte que en situaciones como esta esa conjun-ción, al ser antecedente o consecuente, forma parte de un enuncia-do condicional y, por tanto, no se la puede simplificar. Diremos lomismo para casos como (a 1\ b) V c. En este último ejemplo laconjunción es un miembro de una disyunción y no se puede aplicarsobre ella la regla de la Simplificación.

Veamos: Si los enunciados que aparecen a continuación fueranpremisas dadas, ¿sobre cuáles podría aplicarse la regla de la Simplif ica-ción?

1 ) (p 1\ -q)2) -(a 1\ -b)

) ( p V 1 ') 1\ s4) (p 1\ 1 ') V S

) (p ~ q ) 1\ (1 ' ~ s)

6) (p 1\ q) ~ (1 ' 1\ s)7) (- p V q) 1\ t8 ) (- p 1\ q) V t

9) (p + -+ q) 1\ (1 ' + -+ s)10 ) (p 1\ q ) + -+ (1 ' 1\ s)

olución: La regla de la Simplificación solamente puede aplicarses brc los enunciados impares del ejercicio anterior.

1 1 1



Ejemplos, en lenguaje ordinario, en los que hay que aplicar 1) O las partes del mundo no son 1) -p V qla regla de la Simplificación independientes o existe un caos

I2) Las partes del mundo no están ligadas 2) -r 1\ -q

1) Si la muestra es representativa, entonces 1) p - - - - * q sólo de manera mecánica y no existe un-se pueden deducir conclusiones caosimportantes acerca de la población

" - -) La muestra está realizada al azar y es 2) r 1\ p 3) No existe un caos 3) -q (S. 2)representativa 4 ) Las partes del mundo no son 4 ) -p (TP. 1 ,3 )

independientes

3) La muestra es representativa 3) p (S. 2) 1) Si las palabras no tienen significado por 1)4 ) Se pueden deducir conclusiones 4 ) q (P.P. 1, 3) - P - - - -* q

importantes acerca de la poblaciónsí mismas, entonces el significado surgedel contexto en el que aparecen

1) La variable sólo puede tomar un valor 1) pl\q 2) El significado surge de convenios 2) r 1\ -p

Y es una variable continuagramaticales y las palabras no tienen

2) Si la variable puede tomar sólo un valor, 2) p - - - -* rsignificado por sí mismas

entonces se llama constante 3) L~s palabras no tienen significado por sí " -) -p (S. 2)mismas

3) La variable sólo puede tomar un valor 3) p (S. 1) 4 ) El significado surge del contexto en el 4 ) q (P.P. 1, 3)4 ) Se llama constante 4 ) r (P.P. 2, 3) que aparecen

1) Si a cada valor que una variable X puede 1) p----*q

tomar le corresponde uno o más valoresEjercicios combinados en los que aparecen las reglas

de otra variable y, entonces Y es funciónde X

anteriores y la Simplificación

2) y no es función de X y la variable es 2) -q 1\ r

discreta 1 . D:b 1\ e 2. D:r

3) y no es función de X 3) -q(S. 2)1) r----*t 1) p----*q

4 ) No ocurre que a cada valor que una 4 ) -p (TT 1, 3)2) (p - - - - * q) 1\ (r V s) 2) -e

variable X pueda tomar, le corresponda 3) -(b 1\ e) - - - -* -t 3) b - - - -* (p V -a)uno o más valores de otra variable Y

4 ) a----*p 4 ) -q V r5) (a - - - -* q) - - - -* - s 5) a 1\ (b V e)

1) Si un anillo A está ordenado, entonces 1) p - - - - * q

existe sobre A una relación de orden totalcompatible con la ley de adición 3. D:a V b 4 . D:a

2) No existe sobre A una relación de orden 2) -q 1\ r1 ) - (p 1\ q) - - - - * r 1) - [-(a 1\ b) - - - - * -cl-"'rltotal compatible con la ley de adición y A2) s - - - - * a 2) ees un anillo conmutativo) 1 -r 3) d

4) q -~ (s V 1)3) No existe sobre A una relación de orden 3) -q ( . 2)

1 ~ btotal compatible "ton la ley de adición

4) Un anillo A no está ordenad 4) -,1( .1'.1, .)

l. III



5. D:c 6. D:m Solución de los ejercicios anteriores

1) q ~r 1) s -st Del ejercicio 1 Del ejercicio 22) (p ~ r) ~ (a 1\ b) 2) (r ~ t) ~ (a V b)

6) (S. 2) 6) (b V c) (S. 5)3) p ~q 3) (p ~ q) 1\ (r ~ s) p ~q

4) +b V c 4) =b V m 7) a ~q (S.H. 4, 6) 7) b (T.P. 2, 6)

5) (p ~ q) ~ (a ~ c) 8) -s (P.P. 5, 7) 8) (p V -a) (P.P. 3, 7)

6) b~d 9) (r V s) (S. 2) 9) a (S. 5)

7) -s ~-c 10) r (T.P. 8, 9) 10) p (T.P. 8, 9)

8) t ~ -(c Vd) 11) t (P.P. 1, 10) 11) q (P.P. 1, 1 0 )

12) (b 1\ e) (T.T. 3, 11) 12) r (T.P. 4, 1 1 )


7. D:-q 8. D:d

6)(p 1\ q) (T.T. 1, 3)

4)-(a 1\ b) ~ -c (T.T. 1 ,

1) (r V s) ~ (a 1\ b)7) q (S. 6) 5) al\b (T.T. 2, 4

1) -(a 1\ b) ~ P 8) s V t (P.P. 4, 7) 6) a (S. 5)2) -r 1\ s 2) q ~s 9) aVb (S.D. 2, 5, 8)3) -i. V c 3) -p V q4) -p V r 4) c V -i Del ejercicio 5 Del ejercicio 65) c ~d 5) -p ~r

6) -(t 1\ -q) ~ +d 6) =d ~-c 5) (p ~ r) (S.H. 1, 3) 9) (r ~ s) (S. 3)6) al\b (P:P. 2, 5) 10) (r ~ t) (S.H. 1 , 9 )

7) b (S. 6) 11) (a V b) (P.P. 2 , i o

D:m8) c (T.P. 4, 7) 12) (p ~ q) (S. 3)

9. D:d 10. 13) (a ~ e) (P.P. 5, 1

14) c Vd (S.0.6, 1 1 , 1 \1) q ~r 1) b ~d 15) -t (T.T. , 1 4 )2) t ~-r 2) (p ~ r) ~ (t 1\ s) 16) -s (T.T. 1 , 1 )3) (p ~ r) ~ (s 1\ t) 3) (a 1\ b) V c 17) -c (P.P. 7 , 1 6 )4) +b V c 4) d ~ (p ~q) 18) -a (T.T. l., 1 1)5) -p ~a 5) -q·~m 19) b (T. P. 1 1 , 1 H )6) p ~q 6) d 1\ -c

DeL ejercicio 7~ 'l B ) _ P (í .f . Lj ): ¡ )

' 2 .. 0 1 rYl C T . . I I I

7) -p ~ (a 1\ b) 7) q ~r De ejercicio 88) c ~d 8) -q V -s7) r V s ( , 1 .' b .7) -r (S. 2 )

8) (a 1\ b) (T.T. 1, 7) 8) (a 1\ b) (P.P. 1 , 7 )

9) b (S~8) 9) b ( . 811. D:c 12. D:b 1 0 ) c (T.P. 3, 9) 10) c (T.P. 4 . (

I

, 1 1 ) d (P.P. 5, 10) 11) d (T.T. l. 1 ()

1) (p 1\ q) V r 1) -(s 1\ -r) ~ t 1 2 ) I 1\ -q (T.T. 6, 11)2) s 1\ -r 2) -c 1 3 ) -q (S . 1 2 )

3) t V -q 3) -(p 1\ q) ~ rI el ejercicio ijer .ic io 1 0 .) -t Va 4) p ~ (b V c)

5) -a V (b 1\ c) 5) -t 1\ a< ) f I

~ . ( . . 1 1 . l . ) ) (' . . ))

1 O ) (s 1\ I (p.P. 1. 1 ) (n 1\ h) ( .P. 1 . (

1 1 I • '. 1 () h ( . ' . 1 0 )

1 \



12) -r (P.P. 2 11) [.1 cw/w 12) d (P.P. 1, 11), fe s" (.I< 'L

13) -q (T.T. 1, 12) Vl t. a j-e- 13) (p ~ q) (P.P. 4, 12)14) -p (T.T. 6, 13) ~ 14) p ~r (S.H. 7, 13)

CL.15) (a /\ b) (P.P. 7, 14) 61~ )g (S ~S)i5) (t /\ s) (P.P. 2, 14)16) e (T.P. 4,015) 16) s (S. 15)17) d (P.P. 8, 16) 17) -q (T.P. 8, 16)

18) m (P.P. 5, 17)

Del ejercicio 11

6) -r (S. 2)7) (p /\ q) (T.P. 1, 6)8) q (S. 7)9 ) t (T.P. 3, 8)10) a (T.P. 4, 9)11) (b /\ e) (T.P. 5, 10)12) c (S. 11)

Del ejercicio 12

6) -t (S. 5)7) (s /\ -r) (T.T. 1, 6)8) -r (S. 7)9) (p /\ q) (T.T. 3, 8)

10 ) p (S. 9)11) (b V c) (P.P. 4, 10)12) b (T.P. 2, 11)

l. )

REGLA DE LA ADJUNCION

Ejemplos:

Ej. 1:

1) p

2) q

3) p /\ q (A. 1, 2)

Ej. 3:

1) -p

2) -q

3) -p /\ -q (A. 1,2)

Ej. 5:

1) (a V b) .

2) (c V d)

3) (a V b) /\ (c V d) (A . 1 , 2)

Ej. 7:

1) -(p ~ q)

2) -r

Ej. 2:

1) -p

2) q

3) -p /\ q (A. 1,2)

Ej. 4:

1) p

2) (r V s)

3) p /\ (r V s) (A. 1, 2)

Ej. 6:

1) (p V q)

2) (r ~ s)

3) (p V q) /\ (r ~ s) (A. 1, 2)

3) -(p ~ q) /\ -r (A. 1, 2)

I \ I

Explicación:

¿Qué hemos concluido en los ejemplos anteriores? La conjunción de

dos premisas dadas. ¿Por qué podemos hacer tal cosa? Veamos:

Se ha repetido ya en varias ocasiones que la verdad de las premisasno se cuestiona. Partimos, pues, del supuesto de que toda premisa,por el mero hecho de serlo, es verdadera. -

Al ser esto así, no cometemos ningún error lógico confeccionandoun enunciado conjuntivo, adjuntando, uniendo si se qui re, me-diante una conjunción, dos enunciados verdaderos. 1 , uál S la leyd v .rdad de la conjun i ó n ? Un enun .iud conjuntiv S v .rdud -;ro .u and su s d o s m i rnb ro s so n verd ad ro s. L a nju n , ¡ 1\, plI 'S,

le 1 t i prcm isus vcrd udcrns 'tl tu rnl ión vcrd u ícrn j m prc, 1" , opoli '1l10S '1111:1.11" lo,' pI' llliSIIS '1IId ': - ; 1 \ , '1'1I 111 (111111' 111111 xinjun-'iÓII,

1 o

u



3.° Como vemos, las premisas que pueden enlazarse mediante unaconjunción pueden ser enunciados de muy diferente forma: atómi-cos o moleculares y dentro de estos, disyunciones, condicionales,bicondicionales, negaciones, siendo premisas dadas poco importala forma en que se nos presenten para poder adjuntarlas.

Esta regla, como todas, es de gran utilidad, pues en muchas ocasio-nes es necesario aplicarla para poder llegar a la conclusión exigida, y loúnico que tendríamos que hacer en estos casos es establecer unaconjunción útil entre dos premisas dadas.

La regla de la Adjunción no sólo permite enlazar premisas medianteuna conjunción, sino que también podemos enlazar premisas conconclusiones o conclusiones, siempre y cuando, claro está, sean obteni-

das correctamente, pues se parte también del supuesto de que todaconclusión, que se obtiene aplicando correctamente cualquier regla deinferencia, es un enunciado verdadero, y siendo verdadero, puedeadjuntarse a cualquier otro, verdadero también, mediante la conectivaconjunción.

Adjuntar lo necesario

Si bien es cierto que la regla de la Adjunción permite enlazarpremisas o conclusiones mediante una conjunción, no por ello debemosestablecer adjunciones gratuitas.

Por rincipio de economía sólo se debe aplicar la regla de laAdjunción cuando, como dijimos anteriormente, nos sea útil, esto es,cuando comprendamos que sólo aplicando esta regla podamos o bienllegar a la conclusión exigida, o bien llegar a otras conclusiones que nosconduzcan a lo que debemos demostrar.

Así, si queremos demostrar d, por ejemplo, en el siguiente problema:

1) p

2) a

3) q

4) b

5) (al\b)-d

no tenemos ninguna necesidad de establecer conjuncione cntr (p 1\ q),o entre (p 1\ a), sino que bastaría con enlazar aqu llas pr misas qu .realmente me llevan a d; en este ea o las pr misas 2) y 4).

1 3 8

Concluiríamos, por tanto, de la siguiente forma:

6) a 1\ b (A. 2, 4)

7) d (P.P. 5, 6)

y con ello daríamos por terminado el problema.Recordemos que sobre las conclusiones también puede aplicarse la

regla de la Adjunción, por las razones anteriores expuestas.Veamos un ejemplo:

D:a 1\ -p

1) a2) (a 1\ b) - e3) b4) p - -e

5) (a 1\ b) (A. 1, 3)6) e (P.P. 2, 5)7) -p (T.T. 4, 6)8) a 1\ -p (A. 1, 7)

Como vemos, hemos aplicado la regla de la Adjunción en dosocasiones. La primera, enlazando las premisas 1) Y 3), y la segunda,utilizando la premisa 1) de nuevo y la conclusión 7), lo cual es válido ycorrecto.

Regla de la Adjunción:

Las premisas y las conclusiones pueden enlazarse mediante unaconj unción.

Taul.olo ía:

i partirn S d '1 su pu st d e qu e toda pr em isa s v rd u d iru d e qll •In O lBS on .l uxion 'S bt 'nidus tumbi n I son, 'UHIHI) 111 lid, ' 'mOÑ

m ·ditll ( 'ltI .onc '1ivn 'onjlln 'i{ n, ' 1 .nun 'ia I { r 'slIlll1\1 1111)1"(:1'1\v ni Id '1'0,



Veamos:

1) p

2) q

p 1\ q ~ (p 1\ q )

3) p 1\ q

1) p ~ q

2) -p V r

3) (p ~q) 1\ (-p V r)

VFVF

V VF VF FF F

V V VV F FV V FV F F

VVFF

(p ~ q) 1\ (-p V r) -+ [(p ~ q) 1\ (-p V

1) Descartes es racionalista y Hume esempirista

2) O el método dialéctico lo restituyeHegel o no ocurre que Descartes esracionalista y Spinoza panteista

3) Spinoza es panteista

4) Descartes es racionalista5) Descartes es racionalista y Spinoza

panteista6) El método dialéctico lo restituye Hegel

1) p 1\ q

2) r V -(p 1\ s)

3) s

4) p (S. 1)5) (p 1\ s) (A. 3, 4)

6) r (T.P. 2, 5)

Demostrar: El ministro de Economía no puede viajar a Bruselas.

r)]

1) El ministro de Economía comparece anteel Parlamento y tiene reservado el viaje aBruselas

2) Si el ministro de Economía compareceante el Parlamento y comparece ante elSenado, entonces no puede viajar aBruselas

3) El ministro de Economía se reúne con elsubsecretario y comparece ante el Senado

V VF VV FF VV VF VV FF V

V V FV V VF F FF V VV F FV V VF F FF V V

VV

VVFVFV

VVVVFFFF

vV

VVVVVV

VFV

FV

FV

F

VVFVVVFV

VVFFVVFF

VVFVFVFV

FVFVFVFV

Ejemplos en los que hay que aplicar la adjunción

Demostrar: x - 2 = -2

1) (x = y) 1\ (x < z)2) [(x = y) 1\ (x < 2)] ~ x - 23) (x < 2) 1\ (x 2 = O)

-2

4) x =y

5) x < 26) (x = y ) 1\ (x < 2)7) x - 2 = -2

1) p 1\ q2) (p 1\ r) ~ s3) r 1\ t

VVVVFVFV

VV

VVFFFF

4) El ministro de Economía comparece anteel Parlamento

5) El ministro de Economía comparece anteel Senado

6) El ministro de Economía comparece anteel Parlamento y comparece ante elSenado

7) No puede viajar a Bruselas

1) p 1\ q

2) (p 1\ r) ~ -b

3) s 1\ r

4) p (S. 1)

5) r (S. 3)

6) p 1\ r (A. 4, 5)

7) -b (P.P. 2, 6)

Demostrar: Las fiestas se celebran con normalidad.

J ) Si los sueldos de los concejales sonilegales, entonces hay crisis en elAyuntam ien to

2) l alcalde está de vacacion s y no haycrisis n l Ay un tarnicnt

) i l s su '1 los d I ti n cjal 's no ~ nilc 01 's y 1 (11'1I1d 'sl!'\ le V ll 'ti 'ion 's,IlIs fj 'Htus N ' " 1 h r n n '011 II( 1'I1111lidll 1

4) p (S. 1)5) r (S. 3)6) p 1\ r (A. 4, 5)7) s (P.P. 2, 6)

Demostrar: El método dialéctic lo restituye- H 1 .

1 ) p ~ q

2) a 1\ -r¡

3) (. p 1 \ 1)

140 1 1 \



4) No hay crisis en el Ayuntamiento 4) -q (S. 2) 3.

5) Los sueldos de los concejales no son 5) -p (T.T. 1, 4)ilegales

6) El alcalde está de vacaciones 6) a (S. 2)7) Los sueldos de los condejales no son 7) - p 1\ a (A. 5, 6)

ilegales y el alcalde está de vacaciones8) Las fiestas se celebran con normalidad 8) s (P.P. 3, 7)

Demostrar: Es necesario arbitrar otro sistema de ascenso.5.

1) La escala de oficiales de Caballería está 1) p 1\ -q

congestionada y no existen suficientes

comandantes2) Si no existen suficientes comandantes y 2) (-q 1\ -r) --'> sno existen suficientes coroneles, entonceses necesario arbitrar otro sistema deascensos 7.

3) No existen suficientes tenientes coroneles 3) -t 1\ -r

y no existen suficientes coroneles

4) No existen suficientes comandantes 4) -q (S. 1)5) No existen suficientes coroneles 5) -r (S. 3)6) No existen suficientes comandantes y no 6) (-q 1\ -r) (A. 4, 5)

existen suficientes coroneles 9.7) Es necesario arbitrar otro sistema de 7) s (P.P. 2, (,)

ascenso

Como hemos observado, la sigla que se emplea para indicar que seha aplicado la regla de la Adjunción es la «A», seguida de los númerosde orden de las premisas o conclusiones que se enlazan.

Ejercicios en los que aparecen algunas de las reglas

anteriores y la regla de la Adjunción

D:t

1 ) (a 1\ d ) --'> P

2) (a 1\ b) V -e

3 ) q --'> - P

4) (-q 1\ r)--'>s

5) e 1\ d6) -sV t

7) r

D:a

1) p --'>(q 1\ r)2) s 1\ p

3) -(r 1\ s) V t4) -a --'> -(t 1\ p)

D:q

1) -( -a 1\ -b) V -e

2) (-a 1\ p)--'>q

3) el\d

4) ( - b 1\ d) --'> P

D:p

1) [(a V b) 1\ (e Vd)] --'> P

2) r V s3) r --'> a

4) q V t

5) s --'> b

6) q --'> e

7) t--'>d

D:-r

1 ) (a 1\ b) V -(e 1\ d)

2) p 1\ e3) d 1\ q4) r --'> -(a 1\ q)

4.

6. D:(s V t) 1\ -e

1) q --'> s2) P --'> (q V r)

3)r --'> t

4) -(p 1\ a) --'> b

5) -e 1\ -b

8. D:t

1) p 1\ -s2) -(b 1\ e) V t

3) -[(a 1\ b) V -e]--,>d

4) q 1\ e

10. D:a 1\ e

1) t

2) [(p --'> q) 1\ (q --'> r)]

3) (t 1\ s) --'> a

4) (p --'> r) --'> s

5) +b 1\ e


D I ejercicio 1 Del ejercicio 2




8) c (S. 5) 5) c (S. 2)9) (a 1\ b) (T.P. 2, 8) 6) d (S. 3)10) d (S. 5) 7) e 1\ d (A. 5, 6)11) a (S. 9) 8) al\b (T.P. 1, 7)12) a 1\ d (A. 10, 11) 9) a (S. 8)13) p (P.P. 1, 12) 10) q (S. 3)14) -q (T.T. 3, 13) 11) al\q (A. 9, 10)15) -q 1\ r (A. 7, 14) 12) -r (T.T.4, 11)16) s (P.P. 4, 15)17) t (T.P. 6, 16)


5) p (S. 2) 6) -b (S. 5)6) (q 1\ r) (P.P. 1, 5) 7) pl\a (T.T. 4, 6)7) r (S. 6) 8) p (S. 7)8) s (S. 2) 9) q V r (P.P. 2, 8)9) r 1\ s (A. 7, 8) 10) s V t (S.D. 1, 3, 9)10) t (T.P. 3, 9) 11) -c (S. 5)11) t 1\ p (A. 5, 10) 12) (s V t) 1\ -c (A. 10, 11)12) a (T.T. 4, 11)

REGLA O LEY DE LA ADICION

1 1

Ejemplos:

Ej. 1:

1 ) p

Ej. 2:

1) p

2) p V q (L. A. 1)

Ej. 3:

1) -p

2) p V -q (L.A. 1)

Ej. 4:

1) (a 1\ b)

2) -p V -r (L.A. 1)

Ej. 5:

1) P-H

2) (a 1\ b) V c (L.A. 1)

Ej. 6:

1) -(p 1\ -q)

2) (p -H) V s (L.A. 1) 2) -(p 1\ -q) V t (L.A. 1)

Ej. 7:

1) p +-t q


5) c (S. 3) 5) -d (S. 1)6) -a 1\ -b (T.P. 1, 5) 6) (a 1\ b) V -c (T.T. 3, 5)7) -b (S. 6) 7) c (S. 4)8) d (S. 3) 8) (a 1\ b) (T.P. 6, 7)9) -b 1\ d (A. 7, 8) 9) b (S. 8)10) p (P.P. 4, 9) 10) b 1\ c (A. 7, 10)11) -a (S. 6) 11) t (T.P. 2, 10)

12) -a I\-p (A. 10, 11)13) q (P.P. 2, 12)


8) aVb (S.D. 2, 3, 5) 6) p --*q (S. 2)9) c Vd (S.D. 4, 6, 7) 7) q --* r (S. 2)10) (a V b) 1\ (c V d)(A. 8, 9) 8) p --* r (S.H. 6, 7)11) p (P.P. 1, 10) 9) s (P.P. 4, 8)

10) t 1\ s (A. 1, 9)11) a (P.P. 3, 10)12) e (S. 5)13) a 1\ c (A. 11, 12)

144

2) (p +-t q) V -s(L.A. 1)

Explicación:

Probablemente nos haya llamado la atención el encontramos con losejemplos que más arriba se proponen como modelos de la Ley deAdición, sobre todo por lo inesperado de las conclusiones que de ellos seobtienen.

Repasemos, en primer lugar, el esquema de esta regla y luegoexplicaremos las razones por las que se convierte, con todo derecho, enun mecanismo más, tan importante como las restantes reglas, en lar solución de los problemas de inferencia.

l." Nos encontramos con una premisa. Poco importa la forma en queesta premisa aparezca, atómica o molecular, afirmada o negada.Parti rn o , pues, de una premisa dada, supuestamente verd ad ra,que pu ed e encontrar e en solitario, como aparece en t d s loscjcm pl s pr pu sto s arr ib a, u ard and u n o rd n d t rrninudo in

u n .o nju n« le pr m isas qu pu ed en Ir rno '.

iI A purtir ti' 'Sil 1 l' mis» (Il1(llI h .rnos t t mid ) unu cOlldll ¡ón qu "i 1 1 1 ). I l j In IO . hí 1 \ '1\ lo, mod I O N I Int 'rí( 1 (', • 1 11 1 1'/1/"/('1/ /11



1 "

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, , 11"1.-,1

1

disyuntivo. Fijémonos en los miembros que componen esa disyun-ción: Uno de ellos es la premisa inicial, y el otro, un enunciadocualquiera, atómico o molecular, poco importa.

3.° ¿Por qué hemos podido hacer esto? Siendo la premisa inicial o laconclusión obtenida, verdadera, está claro que la disyunción que seconfeccione con ella ha de ser verdadera también, pues ya sabemosque un enunciado disyuntivo es verdadero cuando al menos uno desus miembros es verdadero, cosa que ocurre en este caso.

4.° ¿Cuándo haremos esto? Sobre todas y cada una de las premisasque puedan ofrecerme, así como sobre todas y cada una de lasconclusiones correctamente obtenidas se puede practicar la Ley deAdición, pero el proceso sería interminable y sobre todo supérfluo.

Aplicaremos, pues, la Ley de Adición en aquellas ocasiones quenos interese, esto es, observando el principio de economía y sobretodo e l p ri nc ip io d e u ti lid ad , pues ambos son complementarios, estoes, confeccionaremos, a partir de las premisas o de las conclusio-nes, las disyunciones imprescindiblemente necesarias para la buenamarcha de la resolución del problema planteado.

Veamos estos ejemplos:

l i

D :a

1) (p V q) _ r

2) s 1 \ p

3) (r V t) _ a

4) p (S. 2)5) p V q (L.A. 4)

6) r (P.P. 1, 5)7) r V t (L.A. 6)

8) a (P.P. 3, 7)

Como vemos en el ejemplo anterior, hemos resuelto el problema,esto es, hemos llegado a la conclusión exigida: a, dando los siguientespasos:

Paso 4: Hemos simplificado la premisa 2, obteniendo de ella p ..

Paso 5: Como p es verdadera, también será verdadero por la ley dverdad de la disyunción el enunciado p V q. Por ello hem S

colocado en la conclusión 5) p V q (L.A. 4). Las siglas L. A. 4quieren decir que se ha practidado la Ley de Adición sobre laconclusión 4, esto es, que con p, mediante una disyun . i ó n

hemos confeccionado otro enunciado válid y vcrdadcr ,

146

Paso 6: Haber aplicado la Ley de Adición en el paso anterior nospermite ahora obtener la conclusión r aplicando la regla delPonen do Ponens. Pero tenemos que demostrar a, ¿Cómo loharemos?

Paso 7: Sobre la conclusión anterior r, que es verdadera, volvemos aaplicar la Ley de Adición, obteniendo gracias a ella r V t. Enlos dos casos que hemos aplicado la Ley de Adición lo hemoshecho con un enunciado nuevo que nos interesó en ambasocasiones, Tan válido hubiera sido obtener a partir de r, r V b ;pero esta condición no nos hubiera conducido a la demostra-ción exigida.

Pas o 8: Con la conclusión anterior, que se nos convierte en el antece-dente de la premisa 3), obtenemos su consecuente a, aplicando

la regla del Ponendo Ponens, que es lo que se quiere demos-trar.


D :a V q

1 ) -(a V b) _ -( ~c V d)2) -p 1\ -c

3) =b

4) -c

5) -c V d

6) (a V b)

7) a

8) a V q

(S. 2)(L.A. 4)(T.T. 1, 5)(T.P. 3, 6)(L.A. 7)

Como vemos en este ejemplo hemos actuado de la siguiente forma:

Paso 4: Hemos simplificado la premisa 2) obteniendo -c .

Pa so 5: Sobre -c hemos practicado laLey de Adición con d, pues nosinteresa obtener -c V d para lograr la negación del conse-cuente de la premisa 1) .

Paso 6: Aplicando la regla del Tollendo Tollens obtenemos a V b ntrc1) y 5).

Paso 7: Se obtiene a aplicando la regla del Tollendo Pon n~ 'ni!".)6).

t'a so 8: • obre o volv '1110S fl upli '~II' la L 'Y ti, Adi 'i( 11

'011 'Im:ión l' i idll '011/'" iionundc 1111CIlIIIH ,lo di'011 // 'Oll / 1 . I' lo t' .11 V /l. qu l o '1lit 1 ' 11 1 1 1 I ti

1 1 /



Regla de la Ley de Adición:

Con cualquier premisa o con cualquier conclusión podemosconfeccionar una conclusión disyuntiva en la que uno de susmiembros sea esa premisa o esa conclusión.

Volvemos a recordar que para indicaar que se ha aplicado la Ley dela Adición se utilizan las siglas L.A seguidas del número de orden de lapremisa o de la conclusión utilizada.

De tal forma que L.A 5, por ejemplo, indicaría que se ha practicadola Ley de Adición sobre la premisa o conclusión que lleva ese número deorden.

Tautología:

Nada mejor para comprender que la Ley de Adición es una reglaválida que demostrar que su correcta aplicación provoca un enunciadoverdadero en todos los casos posibles, esto es', una tautología.

Veamos:

1) p

2) p V q

Confeccionamos un enunciado condicional cuyo antecedente sea la

premisa o conclusión utilizada y cuyo consecuente sea el enunciadodisyuntivo compuesto a partir de ella y tendremos:

p ~ (p V q )

Elaboremos ahora su tabla de verdad y tendremos:

p ~ (p V q )

V V VF V FV V VF V F

'---

VVVF

VV.

FF

14


1 ) p p ~ [p V (r 1\ s)]

2) p V (r 1\ s) V V V V V V V

1 1F V F V V V VV V V V F F VF V F F F F VV V V V V F FF V F F V F FV V V V F F FF V F F F F F

'----

Advertencias sobre la aplicación de la Ley de Adición

l,a Volvemos a recordar que solamente se debe aplicar la Ley deAdición cuando sea necesario, esto es, cuando una disyunción noshaga falta o nos sea útil para la resolución de un problema en susecuencia final o en sus pasos intermedios; hacer otra cosa seríasupérfluo e innecesario.

2 a Advertimos también que la Ley de Adición supone que solamentecon la conectiva disyuntiva puedo aplicarla. Existe la tendenciaentre quienes se inician en los problemas de inferencia de aplicar laLey de Adición utilizando la conectiva conjuntiva, lo cual no esadmisible ni correcto, pues la premisa o conclusión que se utilice sibien es verdadera no supone que el miembro adicionado lo seatambién y ya sabemos que una conjunción sólo es verdaderacuando sus dos miembros lo son, y en este caso incorrecto sólosabemos la verdad de uno de ellos.

3.a Conviene, pues, desde el principio, no confundir la regla de laAdjunción (A) con la Ley de Adición (L.A). Por la primerapodemos enlazar dos premisas o conclusiones mediante una con-junción, pues ambos miembros son verdaderos. Por la segundapodemos confeccionar con cualquier premisa o conclusión unenunciado disyuntivo, como ya se ha indicado. Creemos, pues,conveniente presentar conjuntamente los esquemas de ambas re-gias para su mejor comprensión y diferenciación:

Esquema de la regla de Adjunción Esquema de la Ley de Adición

1 ) II) ( f

p V 1 I 1 " , 1 )

1 ) P

1 1

') II 1\ fl , l.

I 1 '1

1,



Las siglas utilizadas en ambos casos se distinguen también, siendo,como se observa, A para la regla de Adjunción, y L.A. para le Ley deAdición.

7. D:c

1) -( -p V -q) V -a

2) s /\ r3) (-a V b) -H

4) p ~-r

5) (p~t)~(-pV-q)

6) -r ~t

7) (-aV-b)~c

9. D:p

1) a ~c

2) (c V d) ~ P3) d /\ -c4) -(a V b) ~ q

5) b~d

6) -q

8. D:r

1) b /\ s2) (q V s) ~ t

3) a/\b

4) (b V c) ~ d

5) -r ~-t

6) (d V p) ~ q

Ejercicios en los que hay que aplicar algunas de las reglas

anteriores y la Ley de Adición

Se advierte que entre los ejercicios que se proponen hay algunos quepueden resolverse de distinta forma, las cuales se indicarán en lassoluciones posteriores.

El número de reglas que ya se conocen permite proponer ejerciciosde este tipo.

Por principio de economía serán más aceptables aquellos que se

hayan resuelto en un número menor de pasos. Por otro lado, hayproblemas cuya resolución exige un número igual de pasos en cualquierade las formas que se resuelvan, siendo válidas todas ellas.

La resolución de un problema de inferencia en un número mayor depasos de los necesarios no queda invalidada, pues se entiende que talespasos son correctos, que es lo que importa, pero sí es deseable aplicarsiempre el principio de economía.

10. D:c

1) (a V b) ~ c

2) p /\ r3) -p V -q

4) q V s5) (s V t) ~ a

6) d/\a

1. D:c Vd 2. D:a /\ c Soluciones de los ejercicios anteriores

1) p~q 1) a

2) a ~c 2) a~p Soluciones del ejercicio 1

r 'l3) t~a 3) b ~q Primera solución: Segunda solución: Tercera solución:

1 '11 4) -r /\ -q 4) (p V q) ~ r'

5) (-p V s) ~ t 5) s /\ t 7) -q (S. 4) 7) -q (S. 4) 7) -q (S. 4)- -,

8) -p (TT 1, 7) 8) - p (T TI, 7) 8) -p (TT 1, 7): 6) b~d 6) -(t /\ r) V c

9) -p V s (L.A. 8) 9) (-p V -s) ~a 9) -p V s (L.A. 8)3. D: -r V -s 4. D:a (S.R. 3, 5)

1) a/\b 1) (p ~ q) /\ r 10) t (P.P. 5, 9) 10) (-p V -s) ~c 10) t (P.P. 5, 9)2) -(a V c) V d 2) -a ~ -(s V -t)

(S.R. 2, 9)

3) d~p 3) q ~r11) a (P.P. 3, 10) 11) -p V -s 11) a (P.P. 3, 10)

4) r ~ -(p V q) 4) (p ~ r) ~ S(L.A. 8)

12) c (P.P. 2, 11) 12) c (P.P. 10, 11) 12) a V b (L.A. 11)

13) c V e l (L. A. 12) 13) c V d (L. A. 12) 13) c V d

5. D:r 6. D:b(S.D. 2,6, 12)

1) a V b 1) -(p V q) ~ r Soluciones del ejercicio 2

2) (c V d) ~ r 2) t /\ -r Prirn ra solu i ó n un la S lu 'i n3) p/\a 3) ,-q

7 ) ((/ V h) (L. /\, 7) p . P ,P . l . )4) b ~d 4) (p V s) ~ b

5) a ~c 5) (-q V a) -rH) 1 1 V l/ (S.I . . • 7 H) / 1 V (/ (L . . 7)

9) l' ( l ' . 1 ' . • H ) 9) , . ( 1 1 . 1 ' . l . H )

1 O 1 1



10) t (S. 5) 10) t (S. 5)11) t 1\ r (A. 9, 10) 11) t 1\ r (A. 9, 10)

12) c (TP. 6, 11) 12) c (TP. 6, 11)13) a 1\ c (A. 1, 12) 13) a 1\ c (A. I, 12)

Solución del ejercicio 3 Solución del ejercicio 4

5) a (S. 1) 5) p-q (S. 1)6) a V c (L.A. 5) 6) p _r (S.R. 3, 5)7) d (TP. 2, 6) 7) s (P.P. 4, 6)8) p (P.P. 3, 7) 8) s V -t (L.A. 7)

9) pVq (L.A. 8) 9) a (TT 2, 8)10) -r (T.T. 4,9)11) -r V -s (L.A. 10)

Solución del ejercicio 5 Segunda solución

Primera solución 6) a (S. 3)

6) c Vd (S.D. 1, 4, 5) 7) aVb (L.A. 6)8) c Vd (S.D. 4, 5, 7)

7) r (P.P. 2, 6)9) (P.P. 2, 8)

Soluciones del ejercicio 6

Primera solución Segunda solución

6) -r (S. 2) 6) -q Va (L.A. 3)

I '~ I7) pVq (TT 1, 6) 7) -r (P.P. 5, 6)

.' 8) p (TP. 3, 7) 8) pVq (TT 1, 7)

, ~J 9) P V s (L.A. 8) 9) p (TP. 3, 8)t , 10) b (P.P. 4, 9) 10) p V s (L.A. 9)

11) b (P.P. 4, 10)


Primera solución Segunda solución8) r (S. 2) 8) P _t (S.H. 4, 6)9) -p (TT 4, 8) 9) -p V -q (P.P. 5, 8)10) -p V -q (L.A. 9) 10) -a (TP. 1 , 9)11) -a (TP. 1, 10) 11) -a V -b (L.A. 10)

12) + ü V -b (L.A. 11) 12) c (P.P. 7, 11)13) c (P.P. 7, 12)



7) s8) q V s

( . 1 )

( .A . 77) b

8) b V c(S. 3)(L.A. 7)

1 5

9) d (P.P. 4, 8) 9) t (P.P. • H )

10) dVp (L.A. 9) 10) r (TT. . ' » )11) q (P.P. 6, 10)12) q V s (L.A. 11)13) t (P.P. 2, 12)14) r (TT 5, 13)



7) aVb (T.T 4, 6) 7) d ( . )8) cVd (S.D. 1, 5, 7) 8) c Vd ( ,A, 7

9) p (P.P. 2, 8) 9)p (P.P. • H )



7) a

8) a V b

9) c

f 1. ))

L ,A , 7

P,I, l. H)

7) p8) -q

9) s10) s V t

1 1 ) a

12) a V b

13) c

(S. 2)(TP. 3, 7)(TP. 4, 8)(L.A. 9)

(P.P. 5, 10)(L.A. 11)(P.P. 1, 12)

Demostrar: O el simio recibe sensaciones de placer,

«A un simio se le había introducido un el tr d 11 ' 1 III II , I ¡ 1

e rebro donde se encuentra el "centro del placer",Si se le conecta la corriente, el simio exp erim en ta rá un a S .m 1 '1,')11d ,

felicidad jamás conocida. Luego se acopló el In anismo ti 11 111 " '111111r t .gráfica y se conectó la corriente.

Si el simio anda por un determinad arnin liri ,id( " 1 ,¡, 1Ip sición del sol, disfrutará de en aci ne d pluc r ins spc 'h l,d 1 , • ' 1 1,

lula fotográfica deja de suministrar rri n t 1 simi o \lO 11 11s .nsaci ne de plac r que ést s h a ti 't .n id , '1 sim io '1 I1llln t i 1 111

, sar hacia cl sol p nicnt '.»

'1 11 IHk, 'l. / //1 11 111 /1 /111111 / 1111 IIt'1 II / " '/1 ,,1 '1 11111 1111 ,11111 11 111 11 11 ,11 )/ .1 '1 I ltl



Ejercicio- refuerzo

1. ¿Por qué motivo sobre una premisa como -(p 1\ q) no podemoaplicar la regla de la Simplificación?

2. Si - p V q es una premisa dada, ¿sería correcto concluir a partir deella q? Tanto en caso afirmativo como negativo, explíquense lomotivos.

3. ¿Qué razones pueden darse para defender la validez y correcciónde la Ley de Adición? ¿Por qué es correcto dado p como premisa,concluir p V (q 1\ r), por ejemplo?

4. ¿Por qué motivo la regla de la Adjunción puede aplicarse solamen-

te con el término de enlace conjuntivo?5. ¿Qué circunstancia tiene que darse para que dadas dos premisas

condicionales pueda aplicarse sobre ellas la regla del SilogismoHipotético?

6. Si me ofrecen las siguientes premisas: 1) a; 2) a --* c; 3) b --* d. ¿Decuántas formas puedo llegar a la conclusión c V d?

7. Un problema de inferencia consta de dos premisas, una de ellas e :-(p 1\ q) --* -r. Se nos pide demostrar q. ¿Cuál sería la premi a

que falta y a partir de ella qué pasos tendríamos que dar?

8 . Dadas las premisas a 1\ b y (a V c) --* d. ¿De qué forma podríamosconcluir con d?

9. Si a V b es una conclusión obtenida aplicando el SilogismDisyuntivo, ¿de qué forma han tenido que encontrarse a y b enpremisas anteriores?

10 . Si a V b es una conclusión obtenida aplicando la Ley de Adición,

¿qué dos situaciones posibles se han tenido que dar con anteriori-dad?


1. Porque no se trata de una conjunción, sino de la negación de unaconjunción, que es distinto.

2. Si solamente se me ofrece esa premisa, no sería correcto deducir 1I

partir de ella q, pues se trata de una disyunción y ésta no puedesimplificarse.

Otra cosa es que me ofrezcan ad más la pr m isa p, pu ~entonces, por Tollend P n ns, sí p dría t n r q.

I 4

3. Porque partimos de un enunciado verdadero y, si este lo es, ladisyunción en la que este enunciado sea uno de sus miembros seráverdadera también, por definición de la ley de verdad de ladisyunción.

Porque para que una conjunción sea verdadera es necesario quesus dos miembros sean verdaderos y, siendo estos miembrospremisas o conclusiones correctamente obtenidas, la conjunciónserá verdadera también.

Que el consecuente de una de ellas sea el antecedente de la otrapremisa.

4.

5.

6. De dos formas, veamos:

1) a 1 ) a

2) a --* c 2) a --* c3) b --* d 3) b --* d

4) c (P.P. 1, 2) 4) aVb (L.A. 1)

5) c Vd (L.A. 4) 5) cVd (S.D. 2, 3, 4)

7. La premisa que falta es r, y los pasos serían los siguientes:

1) -(q 1\ q) --* -r

2) r

3) (p 1\ q)4) q

(T.T. 1, 2)

(S. 3)

8 . De la siguiente forma:

1) a 1\ b

2) (a V c) --* ti

3) a (S. 1)4) a V c (L.A. )5 ) d (P.P. 2, 4)

9. P 11 S qu ta n t ti, P r II n Iu d , . \TI b, por t r , 1 \ 11 1 t '11 ¡ I ) q 1 1 •

ser e nsc ucntes 1 " ndici nulcs nntcriorcs,

l O , \1 I ¡ 11 1 1 0 1 1 1 '11 h I1 I I In 1 1 1 1 1 I r m i 1 0 1 1 1 11 \0 1 1 1 11 1 \ '1 1 1 ,



LEY DEL BICONDICIONAL

Ejemplos:

1) p+-tq 1) p+-tq

2 ) p --->q (B. 1) 2 ) q --- > p (B. 1)

1) -p+-tq 1) -a +-t b2 . °

2 ) -p--->q 2 ) -a --->b (B. 1)3) b --- > + ü (B. 1)

1) (p 1\ q) +-t (r V s) 1) p +-t (q 1\ -r)

2 ) (r V s) --- > (p 1\ q) (B. 1) 2 ) p --- > (q 1\ -r) (B. 1)3) (q 1\ -r) --- > p (B. 1)

P +-t q (p --- > q) 1\ (q --- > p)

V V V V V V V V V VF F V F V V F V F FV F F V F F F F V VF V F F V F V F V F

T T

Habiendo, pues, demostrado que todo enunciado bicondicionalequivale a una conjunción de dos condicionales cuyos antecedentesy consecuentes se alternan, y conociendo como conocemos la leyde la Simplif icación que permite reducir cualquier premisa conjun-

tiva en cualquiera de sus miembros, está claro que de (p --- > q) 1\ (q--- > p) podemos obtener o bien (p --- > q), o bien (q --- > p). De ahí quelas conclusiones que se ofrecen en los ejemplos anteriores seanválidas todas ellas.

Explicación:

Como vemos en los ejemplos anteriores hemos partido de unapremisa bicondicional y hemos concluido con un enunciado condicionalen el que el antecedente y el consecuente son miembros de ese bicondi-cional que hemos tomado como punto de partida.

Convendría para entender mejor esta regla tan sencilla repasar lo quede la conectiva bicondicional se dijo en la primera parte de este libro.No obstante, recordaremos la estructura que puede derivarse de todenunciado bicondicional:

3.° El proceso por medio del cual hemos podido concluir de unapremisa bicondicional a una conclusión condicional puede esque-matizarse del siguiente modo:

p+-tq

I1 I

(p --- > q) 1\ (q --- > p)

(p --> q)~ L(q --- > p)

1 .0 Un enunciado bicondicional del t ipo p +-t q implica que si ocurre pentonces ocurre q y además que si ocurre q, entonces ocurre p, y

esta exigencia puede, por tanto, simbolizarse o formalizarse delsiguiente modo: p +-+ q equivale a (p --- > q) 1\ (q --- > p). Nótese quedel enunciado bicondicional hemos podido establecer una equiva-lencia y que tal enunciado ha podido transformarse en unaconjunción cuyos miembros son dos condicionales en los que lo'antecedentes y los consecuentes respectivos se alternan o intercam-bian.

Para demostrar que esta equivalencia es perfectamente válida,comparemos la tabla de verdad de cada uno de sus miembros:

4.° Como vemos, aplicar la regla del Bicondicional no es otra cosa queestablecida su equivalencia, aplicar sobre la misma la regla de la

Simplificación.

Ley del Bicondicional:

Dada una premisa o una conclusión bicondicional, podemosconcluir con un enunciado condicional cuyo antecedente y con e-cu nte puede ser cualquiera de los miembros de ese bicondici nal.

1 )

1IIIIulll 1 quv,

'tu 11 1 ()I()~ la:

I 1 Iplir 1 ·iún

1 I



como sabemos ya a través de todas las reglas anteriores, es un enunciadoverdadero en todos los casos posibles.

Veamos:

1) p + -+ q

2) q ----7 P

Construyamos un enunciado condicional cuyo antecedente sea la premi-sa o conclusión inicial y cuyo consecuente sea lo que de la aplicación dela ley del Bicondicional se deduce y tendremos:

(p + -+ q) ----7 (q ----7 p)

Construyamos ahora la tabla de verdad de este enunciado y tendremosuna tautología:

(p + -+ q) ----7 (q ----7 p)

V V V V V V VF F V V V F FV F F V F V VF V F V F V F


1) - p + -+ (r 1\ s)

2) (r 1\ s) ----7 -p

[-p + -+ (r 1\ s)] ----7 [(r 1\ s) ----7 -p]

V V V V V V V V V V VF F V V V V V V V F FV F F F V V F F V V VF V F F V V F F V V FV F V F F V V F F V VF V V F F V V F F V FV F F F F V F F F V VF V F F V V F F F V F

La sigla que se utiliza para indicar que se ha aplicado la ley delBicondicional es «B», seguida del número de orden de la premisaconclusión utilizada.

I 8

A propósito de la ley del Bicondicional: otras circunstan l.

en las que podemos encontrarnos

Primera circunstancia: Introducción del Bidondicional (LB.)

Ejemplo: Justificación:

1) p----7q 1) P ----7 q

2) q----7p 2) q ----7 P

3) p + -+ q (LB. 1, 2) 3) (p ----7 q) 1\ (q ----7 p) (A. l.4) (p + -+ q) (1 . B . . 1

Segunda circunstancia: Eliminación del Bicondicional

Ejemplos: Justificaciones:

1) p+-+q 1) p+-+q

2) p 2) p

3 ) q 3 ) (p ----7 q) 1\ (q p (O . 1 )

4) (p ----7 q) ..)5) q (P.P. • 1 )

1 ) p+-+q 1) p+-+q

2) -p 2) -p

3 ) -q 3 ) (p ----7 q) 1\ (q -~ p ( . 1

4) q ----7 P ( 1 i•••

5) -q ( ' 1 ' . ' 1 ' . . 1 )

1) p+-+q 1) p q2) -q 2) -q

) -p 3 ) (p -e+ t¡) 1\ (c ¡ - ~ p)( ll . 1 )

4) P -HI S . \5) p ' 1 : 1 o • I

'1"1' I'a 'ir unstancia: Transitividad d I Bi ndi .ionul

l~iel/lfJ l()s : J l/SI U /(,{w/o/les :

1 ) 11; f ( 1

) 1 1 l'

1 ) 1 1 f 1 1

1 l'



3 ) p -+ r 3 ) (p -+ q) 1\ (q -+ p)(B. 1 ) Ejercicios en los que se aplican algunas de las reglas

4 ) p-+q ( S . 3 ) anteriores y la Ley del Bicondicional

5 ) p -+ r ( S. H . 2 , 4 )

1 . D : c 2 . D:b1 ) p+-+q 1 ) p+-+q

2 ) p -+ r 2 ) p -+ r 1 ) -( -r V s) V t 1 ) (p -+ r) -+ s2 ) p +-+-q 2 ) q -+ r

3 ) q -+ r 3 ) (p -+ q) 1\ (q -+ p)(B. 1 ) 3 ) al\b 3 ) (s V t) ->a

4 ) q-+p ( S . 3 ) 4 ) (t 1\ b) -+ e 4 ) =b -+ -a

5 ) q -+ r ( S . H . 2 , 4 ) 5 ) r -+ -( -q -+ p) 5 ) p+-+q

1 ) p+-+q 1 ) p+-+q

2 ) q +-+ 2 ) q +-+

3 . D:t 4 . D : c3 ) p -+ r 3 ) (p -+ q) 1\ (q -+ p)(B. 1 )

4 ) (q -+ r) 1\ (r -+ q) ( B . 2 ) 1 ) p-+q 1 ) p+-+q

5 ) p -+q ( S . 3 ) 2 ) -(r V s) -+ -(p +-+q) 2 ) (t 1\ -q) -+ a

6 ) q -+ r ( S . 4 ) 3 ) r -+ a 3 ) -p 1\ -r

7 ) p -+ r ( S . H . 5 , 6 ) 4 ) q -+ p 4 ) -e -+ -a

1 ) p+-+q 1 ) p+-+q 5 ) s -+ b 5 ) q V -s

2 ) p+-+r 2 ) p +-+ 6 ) (a V b) -+ t 6 ) (-s 1\ -r) -+ t

3 ) q -+ r 3 ) (p -+ q) 1\ (q -+ p)(B. 1 )

4 ) (p -+ r) 1\ (r -+ p) ( B . 2 )

5 ) q-+p ( S . 3 ) D:d 6 . D:b6 ) p -+ r ( S . 4 )

1 ) p -+ (s 1\ t)7 ) q -+ r ( S . H . 5 , 6 ) 1 ) p+-+q2 ) r 1\ q 2 ) (r -+ s) -+ t

1 ) p+-+q 1 ) p+-+q 3 ) (a V s) -+ b 3 ) q -+ s

2 ) q +-+ 2 ) q +-+ 4 ) p+-+q 4 ) a-+b5 ) (b 1\ r) -+ d 5 ) r -+ p

3 ) p +-+ 3 ) (p -+ q) 1\ (q -+ p)(B. 1 ) 6 ) -t Va4 ) (q -+ r) 1\ (r -+ q) ( B . 2 )

5 ) p-+q ( S . 3 )

6 ) q -+ r ( S . 4 )

7 ) p -+ r ( S . H . 5 , 6)7 . D : c 8 . D:t

8 ) r -+ q ( S . 4 )

9) q-+p ( S .· 3 ) J ) (-q V s) -+ t 1) -(a -b) -~ ('1 0 ) r -+ p ( S . H . 8 , ) 2) (a V b) e 2) b 1\ P

11 ) p+-+r ( L B . 7 , 10 ) ) (p q) 1\ (r V s) ) q V (1

4) -p 4 (l! V ,. 8

(1 V S 1I C 1\ t .

6 1 8

1,0 1 < 1 1



9. D:d 10. D:q --+ p9) s A t

1) (p --+ q) A (r V s) 1) -[ -(p ~ q) --+ r]--+s 10) s2) t --+ -(p ~ q) 2) t A -s 11) a V s3) b --+ c 3) t --+ (a A -r) 12) b

4) q--+p 13) r

5) (a --+ c) --+ d 14) bAr

6) -t --+ (a ~ b) 15) d

Del ejercicio 7



6) -q --+ p (B. 2) 6) p --+ q (B. 5)7) -r (T.T. 5,6) 7) p --+ r (S.H. 2, 6)8) -r V s (L.A. 7) 8) s (P.P. 1, 7)9) t (T.P. 1, 8) 9) s V t (L.A. 8)

10) b (S. 3) 10) a (P.P. 3, 9)11) t A b (A. 9, 10) 11) b (T.T. 4, 10)12) c (P.P. 4, 11)


*7) (p ~ q) (LB. 1, 4) 7) -p ¿ (S. 3)

8) r V s (T.T. 2, 7) 8) q --+ p (B. 1)9) aVb (S.D. 3, 5, 8) 9) -q (T.T. 7, 8)10) t (P.P: 6, 9) 10) -s (T.P. 5,-9)

11) -r (S. 3)12) -s A -r (A. 10, 11)13) t (P.P. 6, 12)

14) t A -q (A. 9, 13)15) a (P.P. 2, 14)16) c (T.T. 4, 15)


6) q --+ p (B. 4) 7) p --+ q (B. 1)7) q (S. 2) 8) r --+ q (S.H. 5, 7)8) p (P.P. 6, 7) 9) r --+ s (S.H. 3, 8)

6) p ~ q

7) q --+ P8 ) -q

9) -q V s10 ) t

11 ) t V s12 ) a

13 ) a V b14) c

(P.P. 1, 8) 10) t (P.P. 2, )(S. 9) 11) a (T.P. 6, 10)(L.A. 10) 12) b (P.P. 4, 11)(P.P. 3, 11)(S. 2)(A. 12, 13)(P.P. 5, 14)

Del ejercicio 8

(S. 3) 7) -c (S. 5)(B. 6) 8) a ~ -b (T.T. 1, 7)(T..T. 4, 7) 9) a --+-b (B. 8)

(L.A. 8) 10) b (S. 2)(P.P. 1, 9) 11) -a (T.T. 9, 10)(L.A. 10) 12) q (T.P. 3, 11)(P.P. 5, 11) 13) q V r (L.A. 12)(L.A. 12) 14) s (P.P. 4, 13)(P.P. 2, 13) 15) t (T.T. 6, 14)

Del ejercicio 10

(S. 1) 4) -s (S. 2)(LB. 4, 7) 5) -(p ~ q) --+ r (T.T. 1,4)(T.T. 2, 8) 6) t (S. 2)(P.P. 6, 9) 7) a A -r (P.P. 3, 6). (B. 10) 8) -r (S. 7)(S.H. 3, 11) 9) p~q (T.T. 5, 8)(P.P. 5, 12) 10) q --+ p (B. 9)

Otras reglas de inferencia

Hasta ahora hemos analizado aquellas reglas de inferencia que por suspecial complejidad necesitaban de una ejemplificación, de una explica-i n y de aquellas advertencias obligadas para la correcta compren i ó n

de las mismas.~xislen, no obstante, otras regla de inf rcncia, usuales tambi n y e l '

1 '1 \ il .ornprcnsi n, las cuales, después de analizar la' qu h mos '()n~i 1,.rudo m¡'ls .o rn p l jUIl, p d rán n t n d rse sin nin una d if '1111111,

Vun os, pu 's, 11 I r 's .niur 1I1¡lInOS ti' sus squ 'I11t1S, '01 1 ('1 'O lly '11 '.

mi .nt o do qu e 'l/lOS IlIsI 11 1 p lrll Su inm 'Iilllll '11111 , ¡( 1 1 ,

A 'OIllIII1II 'i( I )l1 d '1 11 01 1 11 1 1 1 1 11 '1 ' IIIW in d ] '1 11 1 01 1 1 1 1 d i • 1" 1 ' 1 11

t i' ." 11, 1 1 lil'l In

Del e jerc icio 9"

7) p --+ q

8) p ~ q

9) -t

10 ) a ~ b11) a--+b

12) a --+ e

13) d

* I.B. significa Introducción del Bicondicional. Véase cn el tratamiento clc la regla e1'1Bicondicional el apartado « tras .ircunstancias en las que pod '1110S '1'1 onrrurnos» .'

1 )1111



REGLA DE LA CONMUTATIVIDAD DE LA CONJUNCION

(Conm. A)

1) p 1\ q

2) q 1\ p (Conm. 1\, 1)

REGLA DE LA CONMUTATIVIDAD DE LA DISVUNCION

(Conm. V)

1 ) p V q

2) q V p (Conm. V , 1 )

REGLA DE LA CONTRAPOSICION DEL CONDICIONAL

(Contr. ~)

1) p ~q

2) -q ~ -p (Contr. ~, 1)

REGLA DE IMPORTACION (Imp.)v

1) p ~(q ~r)

2) (p 1\ q) ~ r (Imp. 1)

REGLA DE EXPORTACION (Exp.)

1) (p 1\ q ) ~ r

2) p ~ (q ~ r) (Exp. 1)

REGLA DEL SILOGISMO DESTRUCTIVO (S. Des.)

1) , -p V -q

2) r ~ p

3) s ~q

4) -r V -s(S. Des. 1, 2, 3)

REGLA DE LA DOBLE NEGACION (D.N.)

1) --p

2) p (D.N. 1)

1 ) p

2) -'-p (D.N. J )

1 ) ,

I V .A 1:\rl('

La Reducción de con 1 V . •

y su aplicación en el cálculo inferen i u l ,

1 . LA REDUCCIÓN DE CONECTIV AS y SU APLICACIÓN

EN EL CÁLCULO INFERENCIAL

Hasta ahora hemos utilizado las conectivas considerand la fU I1 '¡( '1 I1

de cada una de ellas y estimando, sobre todo, los aspe t S 4 t 1 1 1

distinguen. Buena prueba de ello son las reglas de inferencia hustn IIhol 1

expuestas, en las que cada conectiva jugaba un papel espc ial y djf'-r 11

ciador, así como el tratamiento individualizado que sobre adu ' n , '1 1

va realizamos al comienzo de este libro.Lo que vamos a ver a continuación es el proceso por }T I di d I ' 1 1 1 1

un enunciado que contenga una conectiva puede ser su tituid pO I ' 01 1 1 1

enunciado que no la contenga y demostrar que amb s enun .ind o ,11 1 1

equivalentes. Decir que dos enunciados son equival nt S n si IIHI '1

decir que sean iguales, sino que la verdad de ambos es la m isrnn . VIIIII,

eso sí, la forma, pero se mantiene el mismo rango de verdad 'n t ) lo.ItI

casos posibles.Varía la forma porque la forma de todo enunciad, orno 1 \

sabido, se la da la conectiva que contenga, la e n ctiva d minuntentiende, y al ser sustituida esta con ctiva p r tr a, S HU, tilu •obviamente, la forma del enunciado. La v rdad n bstantc, r > 'flnflllll'l

idéntica en la sustitución.La reducción de conectiva , p r tant ,es J 1 r 'so p r m . 110 t i I

ual p dcm s sustituir la f rrna de un enunciad 101 ' otrn slu qu 11v rda 1 d 1 n un iad o su sti tu y nt vn rí r sp 't el ' ItI v '1 ' < 1 1 1 1 dllnun 'iud sustituid .Por 111 ' no otro» , 1 ) Ljll' hu ' 1 1 11101 '1s u l 'ITI s, I ruo ln y r 111 ti 1 1

.on jun '¡(¡II, por *11 I1 p lo, 110 " I1 lid 111 1d 11 vlld d 111 11 d i \l11~ ' ¡ '111qu lu v Ididd 1 1 1 1 0 I ld l l 0 1 1 1 '1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 H l d 'Oll", t l \

Itl



es, que cada conectiva tiene su ley de verdad, fija e inalterable, comofactor diferenciador. Y ésto sigue así, lo que ocurre es que, como vamosa ver, existen mecanismos por medio de los cuales podemos establecerequivalencias entre formas distintas de enunciados, guardando los requi-sitos y normas que se ofrecen a continuación.

Para expresar la equivalencia uti lizaremos el símbolo = = , y no el de=que es el de igualdad, pues, como ya se dijo, equivalencia e igualdadson dos conceptos dist intos.

p 1\ -q (- p V q)

V V V V F F FF F V F V V FV F F F F V VF F F F V V V

1.1. Leyde De Morgan

y así en todos los casos.¿Qué se desmuestra, pues, observando la tabla de verdad del enun-

ciado inicial y del que lo sustituye?: pues que existe el mismo rango deverdad en ambos, esto es, que son equivalentes, y que, por tanto, una

forma puede sustituir a otra.Ejemplos:

pAq

-p A q

P t . . \ -q

-(-p V -q)

_ -(p V -q)

_ -( -p V q)

-p A -q

p A (q V s)

-p A (q V s)

_ -(p V q)

_ -[-p V -(q V s ) ]

_ -[pV -(qVs)]

Veamos algunas equivalencias que pueden establecerse, aplicando la

Ley de De Morgan, contemplando las sigu ientes circunstancias:

1 .a Paso de una conjunción a la negación de una disyunción.

2. a Paso de la negación de una conjunción a una disyunción.

3 .a Paso de una disyunción a la negación de una conjunción.

4.a Paso de la negación de una disyunción a una conjunción.xplicación:

¿Qué es lo que podemos observar en los ejemplos anteriores?: puesque un enunciado que contiene la conectiva conjunción ha sido sustitui-do por otro que contiene la conectiva negación de la disyunción.

No hemos dicho que sean dos enunciados iguales; hemos indicado,por medio del símbolo = = que son equivalentes. Y, ¿qué se quiere decircon esto?: pues que la verdad de ambos enunciados es la misma.

Veamos:

Aunque las circunstancias 1 .a y 4. a, y 2.a y 3 .a, sean inversas, vamos atratarlas por separado.

l.a Paso de una conjunción a la negación de una disyunción:

-( -p V -q)

-(p V -q)

-( -p V q)

-(p V q)

p A (r V s) _

-p A (q V t) _

p A -(q V t) _

-p A -(q V t)

-[-pV-(rVs)]

- [p V -(q V t) ]

-[-pV(qVt)]

-[pV(qVt)]

pAq

-p A q

p A -q

-p A -q

p A q -(-p

V-q)

V V V V F F FF F V F V V F

V F F F F V VF F F F V V V

-p , A -q - (p V q)

V V V V F F F

F F V F V V F

V F F F F V VF F F F V 'V V

166

Como vemos, en estas equivalencias propuestas:

n cnun iado .onjuntivo pu d sustituirs por otro cnun .iudoqu s '1 1 1 1 1 nc iu 'ión le I tI lisyun .ión 1 los mi 'mi , 'I l , d~· , \.onjun .ión, ní:[ udos 1 \ S il V 'Z .



Como vemos en estas equivalencias:.a Paso de la negación de una conjunción a una disyunción:

-(p 1\ q) = = -p V -q

-( -p 1\ q) = = p V -q

-(p 1\ -q) = = -p V q

-( -p 1\ -q) = = P V q

-[(q ---+s) 1\ p] = = -(q ---+s) V -p

- [ -(q --- + s) 1\ p] = = (q --- + s) V - p

-[(q ---+s) 1\ -p] = = -(q ---+s) V p

-[-(q ---+s) 1\ -p] = = (q ---+s) V p

Un enunciado que sea la negación de una disyunción, puedesustituirse por otro que sea la conjunción de los miembros de esadisyunción, negados a su vez.

Un enunciado que sea la negación de una conjunción puedesustituirse por un enunciado disyuntivo de los miembros de esadisyunción, negados a su vez.

Tautología:

La aplicación correcta de la Ley de De Morgan provoca t~mbién un.atautología. Basta, para comprobarlo, confeccionar un enunciad? cond~-cional en el que el antecedente sea el primer miembro de la equivalenciay el consecuente, el segundo.

De tal forma que si tenemos:p V (q --- + s) = = - [ - p 1\ -( q --- + s )]

y elaboramos la tabla de verdad de este enunciado:

p V (q --- + s) --- + - [ -p 1\ -(q --- + s ) ]

Como vemos en esta 2.a circunstancia:

veremos que es verdadero en todos los casos posibles. .Se invita al lector a elaborar alguna tabla de verdad de las equivalen-

cias anteriormente propuestas, teniendo en cuenta que ha de formarseun enunciado condicional, cuyo antecedente sea el enunciado que va aser sustituido y cuyo consecuente sea el enunciado sustituyente.

3.a Paso de una disyunción a la negación de una conjunción:

pVq -( -p 1\ -q) (p 1\ q) V s - -[ -(p 1\ q) 1\ -s]

-p V q - -(p 1\ -q) -(p ---+q) V s - [(p --- + q) 1\ -8]

p V -q - -( -p 1\ q) (p --- + q) V -s - [-(p --- + q) 1\ s]

-p V -q - -(p 1\ q) -(p ---+q) V -s -- [(p --- + q) 1\ s]

A la vista de estas equivalencias vemos que:

Un enunciado que sea una disyunción puede sustituirse porotro que sea la negación de una conjunción de los miembros de esadisyunción, negados a su vez.

Aplicación de la Ley de De Morgan al cálculo inferencial

Tras conocer la Ley de De Morgan y demostrar la validez de lasequivalencias que permite establecer, podemos ahora incorporarla comouna regla más de las que ya se conocen en el cálculo inferencia\.

Para indicar que hemos aplicado la Ley de De Morgan sobre una

premisa o sobre una conclusión, lo ~aremos con las .s,iglas. .L.M.,seguidas del número de orden de la premisa o de la conclusión utilizada,

Veamos algunos ejemplos: .

D :t

1) p 1\ r

2) -( -p V -q)

3) a V q

4) + a

)))

7 )

K1))

4. a Paso a de la negación de una disyunción a una conjunción:

-(p V q) = = -p 1\ -q

-(-p Vq) = = p I\-q

-(p V -q) = = -p 1\ q

-( - p V -q) = = p 1\ q

1 6

-[p V (r ---+s)] = = -p 1\ -(r

-[-p V (r ---+ $)] = = P 1\ -(1' s)

-[p V -(1' ---+s)] = = -p 1\ ( 1 ' -~s

-[-pV-(r-~:~·)liipl\,. ~8

J l

(/

/ ) /\ 1 /

( / )

( . 1 )

(T.P .. ,4(A. , ))

.¡ -1/) (L o M o 7 )

( p Y o • K )

s

I l It l



compuesta por a y cualquier otro miembro, en esta cas n S

interesa - c. 'omo ya el lector hábilmente habrá advertido, después de tantosproblemas realizados, es necesario obtener el antecedente de la premisa2 para lograr la conclusión exigida: t.

Para ello se han tenido que dar los siguientes pasos:

Paso 5: Se ha simplificado la premisa 1 para obtener p.

Paso 6: Se ha aplicado la regla del Tollendo Ponen s sobre las premisas3 y 4 para obtener q.

Paso 7: Se ha enlazado p y q mediante una conjunción, aplicando laregla de la Adjunción.

Paso 8: Se ha sustituido el enunciado de la conectiva 7 por la negaciónde una disyunción, cosa que permite hacer la Ley de De~organ. .

Paso 9: Siendo la equivalencia establecida en el paso anterior elantecedente del condicional de la premisa 2, deducimos t

aplicando la regla del Ponendo Ponens.

Paso 6: Aplicamos la Ley de De Morgan sobre la conclusión ante-rior; en este caso, una disyunción se nos convierte en lanegación de una conjunción.

Paso 7: Como ya tenemos el antecedente de la premisa 2, deducimossu consecuente.

Paso 8: Volvemos a simplificar la premisa 1 para obtener b.

Paso 9: Aplicamos la regla de la adjunción sobre las dos conclusiones

anteriores.

Paso 10: Tenemos que aplicar otra vez la Ley de De Morgan; en estecaso una conjunción se nos convierte en la negación de unadisyunción.

Otro ejemplo:

Problemas resueltos en los que se aplica la Ley de De MorganD:p

1) a 1\ b

2) -( -a 1\ e) ~ d3) -( +d V -b) ~ p

Se recomienda al lector que intente solucionar estos problemas por :su cuenta y que compare más tarde los resultados.

4) a (S. 1)5) a V -e (L.A. 4)6) -( -a 1\ e) (L.~. 5)7) d (P.P. 2, 6)8) b (S. 1)9) d 1\ b (A. 7, 8)10) -( -d V -b) (L.~. 9)1 1 ) p (P.P. 3, 10 )

D:-(-tl\a) D:c

1) p ~q 1) p~q

2) r 1\ -q 2) (p ~ r) ~ -s

3) -(p V -r) ~s 3) q ~r

4) -(-s V q) ~t 4) -(s 1\ t) ~a5) (b V -e) ~ -a

5) -q (S. 2)6) -p (T.T. 1, 5) 6) p ~r (S.H. 1, 3)

7) r (S. 2) 7) -s (P.P. 2, 6)

8) -p 1\ r (A. 6, 7) 8) -s V -t (L.A. 7)

9) -(p V -r) (L.~. 8) 9) -(s 1\ t) (L.~. 8)

10) s (P.P. 3, 9) 10 ) a (P.P. 4, 9)

11 ) s 1\ -q (A. 5, 10) 11) -(o V -e) (T.T. 5, 10)

1 ) -( s V q) (L.M. 11 ) 12) -b 1\ e (L.M. 11 )

l. ) I (P.P. 4, 1 ) 13) (' ( . 12)

ItI) I V " (1,,1\. 1 )

1 ) ( I 1\ (1 ) (1 ,M, 1 )

1 1 1

Como vemos en el ejemplo anterior, pese a tratarse de un problemaque sólo conta de tres premisas, es necesario dar ocho pasos para poderllegar a la conclusión exigida, y aplicar en dos ocasiones la Ley de DMorgan. Veamos:

Paso 4: Simplificamos la premisa 1 para obtener a.

Paso 5: Hemos tenido que aplicar la Ley de Adici n sobr 4. o rno ti

es una conclusión v rdad ra, s reí verdad ru la di s un iÓ II

170



D:-q D: -( -s 1\ -t)

1) (-p V q)---H 1) -[ -p V -(r 1\ s)]2) -(s V r)

2) p 1\ (r 1\ s) (L.M. 1)3 ) -s 1\ -r (L.M. 2) 3 ) (r 1\ s) (S. 2)4) -r (S. 3 ) 4) s (S. 3 )5) -( -p V q) (TT 1,4) 5) s V t (L.A. 4)6) p 1\ -q (L.M. 5) 6) -( -s 1\ -t) (L.M. 5)7) -q (S. 6)

D: -(t V -s) D:d

1) -(p V -q) 1) pl\q

2) -(r V -s) 2) -( -q V -r) ~ t3) -(p V r) ~ -t 3 ) r 1\ s

4) -t Va4) -p 1\ q (L.M. 1) 5) -( -a 1\ -b) ~ c5) -r 1\ s (L.M.2) 6) -(-cV-p)~d6) -p (S. 4)7) -r (S. 5) 7) q (S. 1)8) -p 1\ -r (A. 6, 7) 8) r (S. 3 )9) -(p V r) (L.M. 8) 9) q.1\ r (A. 7, 8)10) -t (P.P. 3 , 9) 10) -( -q V -r) (L.M. 9)11) s (S. 5) 11) t (P.P. 2, 10)12) -t 1\ s (A. 10, 11) 12) a (TP. 4, 11)l 3 ) -(t V -s) (L.M. 12) l 3 ) aVb (L.A. 12)

14) -( -a 1\ -b) (L.M. 13)15) c (P.P. 5, 14)16) p (S. 1)17) cl\p (A. 15, 16)18) -( -c V -p) (L.M. 17)

19) d (P.P. 6, 18)

D:t D: -(d V -b)

1) -(p 1\ q) 1) a2) -p ~-r 2) b3 ) -q ~-s 3 ) (c V d) ~ -a4) -(r 1\ s) ~ t

4) -(c V d) (TT. 1 , 3)5) -p V -q (L.M. 1) 5) c 1\ +d (L.M. 4)6) -r V -s (S.D. 2, 3 , 5) 6) -d ( . 5)7) -(r 1\ s) (L.M. 6) 7) -s 1\ b (A. 2, )8) t (P.P. 4, 7) 8) -(d V .-f}) (L .M. 7

1 '7

1.2. Reducción del condicional

Así como la Ley de De Morgan nos permitía establecer unaequivalencia entre una conjunción y la negación de una disyunción oentre una disyunción y la negación de una conjunción, vamos ahora aver qué tipo de reducción permite la forma condicional.. Volvemos a recordar que cuando hablamos de reducción nos referi-mos a la equivalencia que podemos establecer partiendo de un enuncia-do condicional y volvemos a recordar también que equivalencia signif icala posibilidad de sustituir un enunciado de una forma por otro de otra,manteniendo el mismo rango de verdad.

Pues bien, la equivalencia que permite establecer el enunciadocondicional es la siguiente:

p ~q = = -p V q

=p=+« ==pVq

p ~ -q = = -p V -q

-p ~ -q = = p V -q

Como vemos en los ejemplos anteriores, la reducción del condicionalpuede definirse de la siguiente forma:

Reducción del condicional:

Un enunciado condicional puede ser sust ituido por un enuncia-do disyuntivo en el que uno de sus miembros es el antecedente delcondicional, negado, y el otro miembro, el consecuente.

Poco importa qué forma tenga a su vez el antecedente o el conse-cuente de ese condicional, lo que nos interesa saber es que la negacióndel antecedente se convierte en un miembro de la disyunción, y ele nsecuente, tal y como aparece en el enunciado condicional, se convier-L en el otro miembro de esa disyunción.

Vamos:

( / 1 1\ '/) ~ r

/ ' ~ (1 / 1 \ r)

(/1 1\ lf ) V r

1 ' V ( 1 / 1 \ r)

p -~ - (q 1\ r) = p V ( I 1\ 1 ')

(/1 V (/ ~ ( 1 ' V S (/1 V /) V ( 1 ' V s)

1 / \



Para demostrar, como hicimos en la anterior Ley de De Morgan, quese trata de una equivalencia- perfectamente válida, comparemos lastablas de verdad de algunas reducciones del condicional:

p - q -p V q

Posibilidad de reducir un condicional a la negación duna conjuur till

Ya hemos visto que puede establecerse una equivalencia v á l idu .'I,llll'un condicional y una disyunción, guardando, claro está, .l~s requisitosexigidos anteriormente. Pues bien, ~hora que un condicional puedesustituirsepor una disyunción y conociendo, como conocemos la ~ey deDe Morgan, podemos aplicar esta Ley de J?e Morg~~ sobre la disyun-ción equivalente al condicional logrando aSI la negacion de una conjun-

ción, veamos:

v V V F V VF V V V V VV F F F F FF V F V V FI ¡--

(p 1\ q) - r (p 1\ q) V r

p-q - -p V q --(p 1\ -q)

-p -q pVq --( -p 1\ -q)

p- -q - -p V -q --(p 1\ q)

=v > -q - p V -q - -( -p 1\ q)V V V V V F V V V V VF F V V V V F F V V VV F F V V V V F F V VF F F V V V F F F V VV V 'V F F F V V V F FF F V V F V F F V V FV F F V F V V F F V FF F F V F V F F F V F

I T

Comprobemos ahora que la verda.d de. ~n condi~ional ~s, lógicamen-te, la verdad de la negación de l~ conJl!?CIOn ?btemda, aplIcando. l~ Le~.de De Morgan, c ¡ t partir de la disyunción equivalente a ese condIcIOnal.

p _ q = = -p V q = = (P 1\ -q). " .

V V V V V F F

F V V V F F F

V F F F V V V

F V F V F F VT

Como vemos, en el primer ejemplo el enunciado condicional es falsosólo en la tercera circunstancia, y lo mismo ocurre con la equivalenciaestablecida. Y en el segundo ejemplo, ambos enunciados equivalentessólo son falsos en la quinta circunstancia.

Tautología:

La equivalencia bien establecida a partir de un enunciado condicio-nal provoca, como cualquier reducción correcta, una tautología, edecir, que si confeccionamos un enunciado condicional cuyo anteceden-te sea el condicional de partida y cuyo consecuente sea una disyunciónen la que uno de sus miembros sea el antecedente, negado, y el otrmiembro el consecuente, obtendremos un enunciado verdadero en todoslos casos posibles.

Veamos:

Siendo esto así, podemos, pues, decir que:

Un enunciado condicional puede también sustituirse por otroenunciado que sea la negación de una conjunción,. s~endo losmiembros de esta conjunción, el antecedente del condicional y lanegación de su consecuente.

(p - q) - (-p V q) Tautología:

V V V V F V VTambién p d 1110S decir, por tanto, que se o.btiene una tautología si

la cq 1Iival nciu .n tr el nd ici na 1 y la negación de la conjuncion esF V V V V V V

'01"1"' .ram .ntc 'slllhl' 'i lu. ..V F F V F F F S' ,)"I'e' 'iOlllllllOS 11 1 1 ' ( ndi 'i ) 1 1 , ,1 .uyo ant el ni s 'tÍ el condicio-V V V V V V

11 ti ' Ill•1111'1¡d 1 '\1 (\ '011 x-u - u t c ItI 'quivlIl 'n 'ill 'slllll \ .idu, .sto 'S, 1 "

174 1 7



negación de una conjunción cuyos miembros sean el 'antecedente delcondicional y la negación del consecuente, tendremos un enunciadoverdadero en todos los casos posibles. Veamos:

Obsérvese que aplicar la Reducción del Co ndicional sobrc. la e n '1u-sión 4 nos ha permitido obtener el antecedeme de la premisa 2 y aslpoder deducir s, que es lo que se quería demostrar.

(p --- + q) --- + (p 1\ -q)

V V 'V V V V F FF V V V V F F FV F F V F V V VF V F V V F F V

Aplicación de la reducción del condicional

en el cálculo inferencial

D :r

1) p + -+ q2) -(q 1 \ -p ) --- + r

3) q --- + p (B. 1)4) -q V p (R.e. 3)

5) -(q 1\ -p) (L.M. 4)6) r (P.P. 2, 5)

Al igual que la Ley de De Morgan, como equivalencia válida, podíaincluirse en el cálculo inferencial , la Reducción del Condicional tambiénpuede aplicarse en un proceso deductivo y ser considerada comomecanismo correcto que nos permita, partiendo de condicionales dados,y estableciendo las oportunas equivalencias, llegar a conclusiones formal-mente válidas.

Como vemos, el cálculo inferencial cada vez es más apasionante,pues son muchas las reglas que nos permiten enfrentamos con una seride premisas dadas y muchas también las posibilidades de error. Por el!siempre es conveniente tener presentes- todos los esquemas de las leyes deinferencia, así como sus definiciones. No importa, pues, que ante tod S

los problemas que se nos planteen, tengamos a la vista estos esquemas y

estas definiciones, con el fin de consultarIos cuantas veces fuerannecesarias, pues es la única forma de familiarizarnos con el cálculo yadquirir la habilidad que éste precisa.

Veamos, pues, algunos ejemplos en los que sea preciso aplicar laReducción del Condicional, para luego, como de costumbre, proponer

problemas resueltos que nos faciliten la comprensión de la última regladada y nos sirva de recordatorio de las anteriores:

(La aplicación de la Reducción del Condicional se indica con lassiglas RC seguidas del número de orden de la premisa o conclusi 11

utilizada.)

. Obsérvese que, en este problema, los pasos 4 y 5 busc~n la forma delantecedente de la premisa 2. ¿Podríamos haber pasado directamente dela conclusión 3 a la 5? Sin duda, pero es preferible, en estos casos, Iraplicando las equivalencias i~termedia~, no só~o par~ ~je.rcitarnos enellas, sino para evitar errores mnecesanos. Aquí el pnncipio de econo-mía cede el paso al princip io de seguridad .

Problemas resueltos en los qúe se apli ca

la Reducción del Condicional

D:c

1) s 1\ -r2) - p --- + a

3) -(p --- +q) --- +r

4) (a V b) --- +c

5 ) -q

D:s1) p --- +q

2) (-p V r) --- + s

3) q --- + r

l.a solución n 2.a solución'

6) -r (S. 1 ) 6) ( p q) V r (R . )7) p --- + q (T.T. 3, 6) 7) - r ( . 1 )

8) -p V q (R . . 7) 8) p -~( J (TY. l.7)

9) -p (T.P. , 8) ) - f I V 1 / ·(I~.('. H )

10) (/ (P.r. , 9) 10) / 1 ('1 '.1 ' . . ())11 ) 11 V h (1,.1\. 10) 11 ) n (p.P, • 10)

1 (' (1 '.1 ', • 11 ) l ) ( / 'v 1 , (l • • 1 1 )1 1) (' (1 ' l ' l . 1 )

1 1 1

4)5)6)

p --- + r (S.H. 1, 3)-p V r (R .. 4)

s (P.P., )

1 7 6



D:-s

1) p

2) (a V b) --- + -r3) -t

4) (-p --- + q) --- + r

5) - b ---+ (s ---+ t)

6) p V q (L.A. 1)7) -p --- +q (R.C.6)8) r (P.P. 4, 7)9) -(a V b) (T.T. 2, 8)10) -a 1\ -b (L.M. 9)11) -b (S. 10)

12) s --- + t (P.P. 5, 11)13) -s (T.T. 3, 12)

D :d

1) p --- + -q

2) (- rV s) --- +t

3) , (-a V b )--- +d

4) r ---+(p 1\ q)5) -(a --- + b) --- + -t

6) -p V -q (R.e. 1)

7) - (p 1\ q) (L.M. 6)8) -r (T.T. 4, 7)9) -r V s (L.A. 8)10) t (P.P. 2, 9)11 ) a --- + b (T.T. 5, 10)12) -a V b (R.e. 11)13) d (P.P. 3, 12)

D :a1) p---+q

2) r --- + s3) [(-p V q) 1\ (-r V s) ]---+ t

4) -t V a

5) -p V q (R . e. 1)

6) -r V s (R.e. 2)7) (-p V q) 1\ (-r V s) (A . 5 , 6)

8) t (P.P. 3, 7)9) a (T.P. 4, 8)

1 7 8

D:-c

1) -[ -(p --- + q) V r]

2 (- p V q) --- + (s V r)

3) s --- + (a --- + b)4) c --- + - ( - a V b)

5) (p --- + q ) 1\ -r (L.M. 1)6) p --- + q (S. 5)7) -p V q (R.e. 6)

8) s V r (P.P. 2, 7)9) -r (S. 5)10) s (T.P. 8, 9)11) a --- + b (P.P. 3, 10)

12 ) -a V b (R.e. 11)13) -c (T.T. 4, 12)

D :q

1 ) -( -a V -b)

2) (-c V d) --- + p3) -(c --- + d) --- + -b

4) -p V q

5) a 1\ b (L.M. 1)6) b (S. 5)7) e --- + d (T.T. 3, 6)

8) -c V d (R.C. 7)

9) p (P.P. 2, 8)10) q (T.P. 4, 9)

1)2)3)4)5)6)

D:c Vdp --- + q

-( -r 1\ -s) --- + t

-b --- + -t

= ti r+r

b --- + (-c --- +d)

q --- + s

1.3. Reducción del bicondicional

7)8)9)10)11)

12)l.)

-p V q

r V s

-( -r 1\ -s)t

b

(R .. 1

(S.D ... < t . 1 1

( .M.I{

(P .I . • 1 » )

(T.T. '. 10)(I .P , • 1 1 1

(R, " I

Conociendo, como conocemos, la Ley de De Morgan, la Reduccióndel Condicional, y la Ley del Bicondicional como regla de inferencia, notiene, en principio, por qué existir dificultad alguna en la comprensiónde la Reducción del Bicondicional.

En efec to:

1 .0 Po r la Ley de l B ico nd icio na l sa bem os que :

a) Dado un enunciado bicondicional, puede éste sustituirse poruna conjunción de dos condicionales cuyos antecedentes yconsecuentes respectivos se alternan o intercambian.

Esto es, un enunciado bicondicional del tipo p ~ q esequivalente a (p --- + q) 1\ (q --- + p).

b) También sabemos que dada una premisa o una conclusiónbicondicional, podemos concluir con un enunciado condicionalcuyo antecedente y consecuente pueden ser cualquiera de losmiembros de ese bicondicional. Esto es, aplicar la Ley deSimplificación sobre la equivalencia anterior.

Dado p ~ q , tenemos (p --- + q) 1\ (q --- + p ) y de aquí: (q --- + p) ,

por ejemplo.

(" ~ ti

( ' V ti

2 o Por la Redu cc ió n de l Cond ic iona l sabemos :

a) Que un enunciado condicional puede ser sustituido por unenunciado disyuntivo en el que uno de sus miembros es elantecedente del condicional, negado, y el otro miembro elconsecuente.

b) Sabemos también que un enunciado condicional puede susti-

tuirse por otro enunciado que sea la negación de una conjun-ción, siendo los miembros de esta conjunción el antecedente deeste condicional y la negación de su consecuente.

3 .0 Por la Ley de De Mor ga n sa b em os que:

Un enunciado que sea una disyunción puede sustituirse por otroque sea la negación de una conjunción de los miembros de esadisyunción, negados a su vez.

Asi las 'O:-::tS.:1I ti .ipam o s ya qu e la R ducc ión ti '1 ni 'Olldi .ionul hati, tl'1l '1' '11 '11'ntu IlIs t r 's le 's nnt .rior 's,

I l n l'I'·t'to. " '1: /,. t -

1 /1 1



1.0 Por la Ley del Bicondicional: p (--lo q - (p 1\ -q ) 1\ (q 1\ -p)

p (--lo q = = (p ~ q) 1\ (q ~ p )V V V V V F F V V V F F

pudiendo simplificar la conjunción anterior en cualquiera de sus F F V V F F F F F V V V

miembros. V F F F V V V F V F F F

F V F V F F V V V F F V2.0 Por la Reducción del Condicional: I

Tautología:

Ya sabemos que la aplicación correcta de cualquier regla provocauna tautología, esto es, un enunciado verdadero en todos J o s ca~osposibles; para no repetir las tablas de v~rdad ?e las eqUlvalenc.las

anteriores sustituyamos el símbolo de la equivalencia = = .p~)[la conectrvacondicional ~ y, aplicando la ley de verdad del condicional, veremoscómo las tres equivalencias son tautologías también:

(p (--lo q) ~ [(p ~ q) 1\ (q ~ p ) ]

(p ~q ) 1\ (q ~p ) = = (-'p V q) 1\ (-q V p)

pudiendo simplif icar la conjunción anterior en cualquiera de sumiembros.

3.0 Por la Ley de De Morgan:

(-p V q) 1\ ( -q V p ) = = -(p 1\ -q ) 1\ -(q 1\ -p )

pudiendo también simplificar la conjunción anterior en cual-quiera de sus miembros.

Las tres equivalencias establecidas anteriormente nos indican, pues,hasta dónde puede llegar la Reducción del Bicondicional, esto es, nospodemos quedar en el primer paso, sustituyéndolo por la conjunción ddos condicionales; en el segundo paso, sustituyéndolo por la conjunciónde dos disyunciones o llegar al tercer paso, sustiyéndolo por la conjun-ción de dos negaciones de dos enunciados conjuntivos.

Para demostrar que las equivalencias anteriores son válidas y corre -tas, comparemos la tabla de verdad del bicondicional con la tabla d .verdad de cada una de ellas. Veamos:

VFFV

VV

VV

VFFV

(p (--lo q) ~ [(-p V q) 1\ (-q V p )]

W(p ~ q) (q ~ p)\

V V V V V V V V V V

F F V F V V F V F F.V F F V F F F F V VF V F F V F V F V FT -r

VFFV

VFFV

[-(p 1\ -q) 1\ -(q 1\ -p)]p (--lo q) ~ -- ---- ----- -----------

r nVFFV

VFFV

p (-p q) 1\ (-q V p )

¡.

V V V F V V V F V VF F V V V V F F FV F F F F F F V y. YF V F V Y F V V V 1 "

I I

Aplicación de la Reducción del Bicondicional

n I cálculo infer ncial

Vll h 'J )lO S vil'lo vómo III 1 " lu - -i( n ti - I I I S '01e -1iv l.

I nlllillll \llilil',1I1 1\ • lid IIll'" - iu c¡u- 1" licr 111 1Ihl" '\

/80 / H I



inferencial, y cómo, formalmente, podíamos, a partir de tales reduccio-nes, alcanzar la conclusión exigida.

En la mente de todos estará, porque ya lo hemos repetido en otrasocasiones, que, por principio de economía, sólo habrá que aplicar lasreducciones necesarias, pues de lo contrario, los pasos de cualquierinferencia podrían ser infinitos. No obstante, se aconseja en la Reduc-ción del Condicional y del Bicondicional establecer siempre las equiva-lencias intermedias, para evitar inicialmente los errores que pudieranproducirse, y hasta que la práctica en la resolución de los problemas no'permita establecer las equivalencias directamente.

Por ejemplo, es preferible, en principio, hacer:

1) p +-+ q

2) q -'>P (B. 1)

3) -q V p (Re. 2)

4) -(q 1\ - p) (L.M. 3)

que pasar de p + -+ q a -(q 1\ -p) sin establecer las simplificaciones yequivalencias intermedias.

Veamos, pues, algunos ejemplos en los que será necesario aplicar 1 1 1

Reducción del Bicondicional, para luego proponer, como de costumbr ..problemas resueltos con el fin de que el lector se vaya familiarizandocon este nuevo mecanismo formal del cálculo inferencia!.

D:s

1) (-p V q) -'>(a +-+ b)2) p -'>r

3) -(a 1\ -b)-'>

c4) (c V d) -'>s

5) r -'>q

6) p -'>q (S.H. 2, 5)7) -p V q (R . e. 6)

8) a + -+ b (P.P. 1, 7)9) a -'>b (B. 8)

10) -a V b (R.e. 9)

11) -(a 1\ -b) (L.M. 10)12) c (P.P. 3, 1 1 )

1 3) c Vd (L .A . 12)

14) s (P.P. 4, l.)

No vamos en esta ocasión a comentar todos los pasos, sino 1 1 1 1 ' 111 '1'

la atención sobre las conclusiones 6, 7, 9, 10 y 11:

Paso 6: Hemos tenido que encontrar la relación entre las premi 'H f:l 2 Y5, para, aplicando la regla del Silogismo Hipotético, pod rdeducir p -'>q.

Paso 7: Sobre la conclusión anterior, aplicando la Reducción delCondicional, establecemos la equivalencia de p -'>q esto es-p V q.

Paso 9, 10 Y 11: A partir del paso 9 hemos podido direc~amente p~saral 11, pero, como se aconsejó anteriormente, he~os creído preferi bleestablecer, en este caso, la equivalencia intermedia, esto es, de a ~ b

pasar a -a V b y luego a -(a 1\ -b).

D :s

1) p

2) -(q + -+ 1 ') -'>-p

3) (- r V q ) -'>s

4) q + -+ r (T.T. 1, 2)

5) r -'>q (B. 4)6) -1 V q (R.C. 5)

7) s (P.P. 3, 6)

Problemas resueltos en los que se aplica

la Reducción del Bicondicional

D:t D:c

1) -(p + -+ q) -'>r 1) t -'>-s

2) -(q 1\ -p) -'>s 2 ) -s-'>(a +-+ b)

3) -1 3) [( -p V q) 1\ (-q V p)] ~ t

4) -sV t 4) (-a V b)-,>c

5) p+-+q

5 ) p+-+q (T.T. 1, 3)( - p V q) 1\ ( - q V p)(B. 5)) q -~ p (B. 5) 6)

7) -q V p (R.e. 6) 7) t (P.P. 3, 6)

8) -(q 1\ -p) (L.M. 7) 8) -s (P.P. 1,7)( x (P.P. , 8) 9) a h (P.P. 2,8)10) I (T.P. 4. 9) 10) a -~ /¡ (O . 9)

1 1 ) {/ V h (R . . 10)

1 (' (P .P . 4, 11 )

1 2I H '



D:p

1) -a - - - - + e2) (e V d) - - - - + P3) a~b

4) b----+d

5) a - - - - + b (B. 3)6) -a V b (R.e. 5)7) e Vd (S.D. 1, 4, 6)8) p (P.P. 2, 7)

D: -b Va

1) - [(a ~ b) V e] - - - - + d

2) -e3) q /\ -d

4) -d (S. 3)5) (a ~ b) V e (T. T. 1, 4)6) (a ~ b) (T.P. 2, 5)7) b - - - - + a (B. 6)8) -b Va (R.e. 7)

I X '

D:-d

1 ) (-s V - t)----+a

2) (p ~ q) /\ r

3) (a V b) - - - - + e4) s - - - - + - ( -q V p)5) d - - - - + -e

6) p~q (S. 2)7) q - - - - + p (B. 6)8) -q V p (R.e. 7)

9) -s (T.T. 4, 8)10) -sV -t (L.A. 9)

11) a (P.P. 1, 10)12) aVb (L.A. 11)13) e (P.P. 3, 12)14) -d (T.T. 5, 13)

V.~I,11('

La notación p 1 . .

1 . LA NOTACIÓN POLACA

A título de curiosidad vamos a ofrecer ahora otro modo de simboli-

zar los enunciados y las conectivas que los enlazan. Se trata de la formaque suele llamarse «notación polaca» o de Lukasiewicz ' :

La notación que nosotros hemos utilizado en este libro es la deScholz '.

Como vimos al comienzo de este trabajo son varias las notacionesque suelen emplearse. Casi todas ellas son bastante similares y no debenpreocuparnos las pequeñas diferencias que existen, pues con facil idadnos podemos familiarizar con todas. Sin embargo, hay una modalidadde simbolización que por su peculiaridad se diferencia de las demás y, anuestro modo de ver, y desde un punto de vista pedagógico, ayudamucho a la comprensión de la forma de todo enunciado. Es, por tanto,un buen complemento y no debemos desestimado. Otra ventaja quetiene la notación polaca es que no usa ni paréntesis ni corchetes, pues susistema de colocación de los enunciados y de las conectivas no los hacennecesanos.

Veamos, pues, la notación polaca. Para ello estableceremos primerouna tabla comparativa entre la notación de Scholz y la de Lukasiewicz:

Conectivas(Scholz)

Conectivas(Lukasiewicz)

/\ K

V ACE

N

- - - - + . .. .. . . . . . •. ... . .. . . . . . . .

~ .

1 ukusi .wi '7.. Jun (IR7R-19 6, ógico polaco. n 1 929 , comi nza " utilizar esta

notncl n.J Sl'lI( Iz l H H I 1 1 1 / () , 1 11 1 1 0 1 ' ( 1II'II1(\n. 111" . 11 n '1 ' 1 1 1 1 ,

IK~



Como vemos, las conectivas que se utilizan en la notación polaca sonletras mayúsculas. Poco hubiera importado si sólo esto diferenciara a lasdos notaciones, pues bastaría Con sustituir las conectivas que conocemospor estos nuevos símbolos. La diferencia consis te en que estos términosde enlace no se colocan entre los enunciados enlazados, sino a suizquierda, veamos:

pAq se simboliza Kpq

p V q se simboliza Apq

P-+q se simboliza Cpq

p+4q se simboliza Epq

-p se simboliza Np

-(p A q) se simboliza NKpq-(p V -q) se simboliza NApNq

Se advierte que las conectivas K, A, C y E afectan a los dosenunciados que inmediatamente se encuentran a su derecha, mientraque la negación, N, afecta solamente al enunciado que tiene inmediata-mente a su derecha.

Veamos:

Sea trasladar a notación polaca el siguiente enunciado:

(p -+ q) A (r V s)

Aconsejamos lo siguiente: leer el enunciado que se nos ofrece, en estecaso: «Una conjunción entre el condiciona] de p, q, y la disyunción de r,s.» Pues tal y como lo hemos leído se escribe, veamos:

«Una conjunción (K), entre el condicional (C) de (p, q) y la

disyunción (A) de (r , s ) , esto es: KCpq Ars»

Dijimos antes que las conectivas, K, A, C y E afectan a los dosenunciados que se encuentran inmediatamente a su derecha, veamos:

En KCpqArs: K afecta a Cpq y a ArsC afecta a p, qA afecta a r, s .

Dijimos también que la negación, N, afecta solamente al cnunciadque se encuentre inmediatamentc a su derecha, vcam s:

Sea trasladar a notación polaca:

-(p A q) (-,. V s)

Leámoslo: «Un condicio~al e~t;e la negación de la conjunción de p yde ,y la disyunción de la negacion de r y de s .»

~u traducción sería: __CNKpqANr.s.

En este último ejemplo:

~ ~~:~~~~:,qe~t~ ~ ~ : sn solo enunciado, la conjunción.K afecta a p, qA afecta a Nr, sN afecta a r.

la forma de un enunciado, en notación p,olaca, vieneComo vemos, . d la izquierda ASl al ver el. . la v o r i a conectrva e . . , .indicada por a pnm~r t ta de un enunciado disyuntwo.enunciado: ACpqE.rs dlr~~os que sle radicional de p q y el bicondicio-Leámoslo: «Una d isy unc ión entre e con , ,nal de r, s» Esto es, (p -+ q ) V (r +4 s).

Veamos algunas traducciones:

-p A (r --- + s) . . . . . . . . . . . . . . . . .. KNpCrs

(pA q) --- + -r .

- [(a --- + b) V (p A -q)] .

(p --- + q) --- + -(p A -q) .

(p A q) -+ -(-p V -q)

(p +4 q ) --- + [(p -+ q ) A (q --- + p) ]

[(p --- + q ) A (q --- + r ) ] --- + p --- + r

[(p --- + q) A -q ] --- + -p .

CKpqNr

NACabKpNq

CCpqNKpNq

CKpqNANpNq

CEpqKCpqCqp

CK CpqCqrCpr

CKCpqNqNp

Ejercicios de traducción a notación polaca

d 'e cia y aprovechandoPcrmitanos el Icctor que, abu ando. e su p~cldn qu s á n .sto I s... i qu traducir nuncia os, .

qu t ncrnos en stc C JC I IC . cd n d ni unas 1 " las ti,.o rrcs po nd ! n tcs ti IIIS (out lo ías qu pro .. , (11I's r '¡IIIS le

' . .., '11 Afl¡ lo Iran os r pdlHlr ,. •inlcrcn '~Il pl \ 11S ono.,'(,' rllll"lilillri:t.III'IIO t'1)1I '1' ti o ti \inlcrcn '11, 1) '\1" •• ('OIlV'111 11 ,

11')11,

I H I



En unciados p ropuestos Regla Traducción

[(P - - - - '> q) 1\ p] - - - - '> q P.P. CKCpqpq

[(P - - - - '> q) 1\ -q ] - - - - '> -p TT CKCpqNqNp

[(p V q) 1\ -p ] - - - - '> q TP. CKApqNpq

[(p V q) 1\ [(p - - - - '> r) 1\

1\ (q - - - - '> s)]] - - - - '> r V s S.D. CKApqKCprCqsArs

[(p ----'>q) 1 \ (q ----'>r)]----'> p----,> r S.H. CKCpqCqrCpr

(p 1\ q) - - - - '> p S. CKpqp

p - - - - '> (p V q) L.A. CpApq

(p +-- '>q)--- '> [(p ----'> q)1 \ (q ----'>p ) ] B . CEpqKCpqCqp

(p 1\ q) - - - - '> -( -p V -q) L.M. CKpqNANpN q

(p - - - - '> q) - - - - '> ( - p V q) R.C CCpqANpq

(p 1\ q) - - - - '> (q 1\ p) Conm. 1\ CKpqKqp

(p V q) - - - - '> (q V p) Conm. V CApqAqp

(p ----'>q) ----'> (-q - - - - '> -p ) Contr. - - - - '> CCpqCNqNp

[p ----'> (q--- '> r) ]--- '> [(p 1\ q) ----'> r] Imp. CCpCqrCKpqr

[(-p V -q) 1\ [(r ----'>p) 1 \

1 \ (s ----'>q) ]]--- ,> ( -r V -s) S.Des. CKAN pN qK CrpCsqANr Ns

p - - - - '> --p D.N. Cp NNp

La traducción inversa

Si ahora nos encontramos con enunciados simbolizadpolaca y queremos traducirlos a la n tación de ch lz, questamos acostumbrados, se ac nscja I sigui nt ':

n n ta ións a la quc

IH H

1 .0 Leer el enunciado de izquierda a derecha.

2.0 Tener siempre presente que la forma del enunciad v u - n

indicada por la primera conectiva que nos encontrem s ti I I

izquierda.

3.0 Cada conectiva afecta a los dos primeros enunciados que tengaa su derecha, sean atómicos o moleculares, excepto la negación,N, que afecta solamente al primer enunciado que se encuentre asu derecha.

Sea por ejemplo: ACpqNKNrs

1 .0 Leeremos el enunciado de izquierda a derecha, en este caso:

«Una disyunción entre el condicional de p, q y la negación de laconjunción entre la negación de r y s,»

2.0 Si como hemos dicho la forma de cada enunciado vieneindicada por la primer~ conectiva que nos encontremos a laizquierda, este enunciado propuesto tendrá la forma d.isyuntiva.De tal manera que ya debemos imaginamos un enunciado cuyoesquema sea éste:

---V--

3.0 Si cada conectiva afecta a los dos primeros enunciados quetenga a su derecha, excepto la negación, N, que afecta sólo alprimer enunciado de su derecha, tenemos que:

A afecta a Cp q y a NKNrs, esto es, a dos enunciados

moleculares.Cpq se traduce por: (p - - - - '> q) .Veamos ahora NKNrs: La primera N afecta sólo aKNrs. La

segunda N afecta sólo a r. K afecta a Nrs. Así pues, NKNrs se

traduce por: -( -r 1\ s).Si la forma del enunciado es disyuntiva y uno de susmiembros es Cp q y el otro NKNrs, la traducción finalsera:

(p ----'>q) V -(-r 1\ s)

Ejercicios de traducción inversa

Trad úzc ans las i uiente expresiones a la notación de Scholz.Al m ar n d las indi a i n S anteriores e advierte que.una negación

1'\ I~zqui r 1 1 1 le 1I1111 '011' I i v u impli a nc csariamcnt un paréntesis o

1111 '01' ' 1 1 '1 •



Arbol de una fórmulaTraducir:

1. CKANpNqqNp

2. NCEpqArs

3. CNpCAabAcd

4. CNCKpqrs

5 . NCKApNqArNst

6. CKCpqCqpEpq

7. ACNApqKNpNqNArs

8. ENKpqANpNq

9 . KAEpqrCst

10. CNANKpqNAl'st

11. EpAKqr Ast

·12 . NKCpqCqr

13 . KKNpNqKNrNs

14 . KAANpNqANrNst

15 . NEKabAcd

16 . NCKCpqCqrCpr

17 . KNCKpqNANpNqCpq

18 . AAANpqNArNsNApq

19. CKKpqKrsKps

20. CKEpqEqrEpr

Confeccionar el árbol de una fórmula consiste en representar gráfica-mente la estructura y las partes de la misma. Es, a nuestro modo de ver,la mejor manera de visualizar y de comprender la forma de cualquierenunciado.

Para confeccionar el árbol de una fórmula tendremos que hacer losiguiente:

1 .0 En el vértice superior del árbol irá la conectiva que le dé formaa cualquier enunciado. N si está negado o K, A, C, E si se tratade los restantes términos de enlace.

2 o Si el vértice superior es N, está claro que de ahí sólo podrá partiruna rama, pues uno sólo es el enunciado que puede quedarafectado por toda negación. Si, por el contrario se trata de otraconectiva, K, A, C, E, de ella partirán, lógicamente, dos ramas,pues cada conectiva binaria enlaza, como ya se sabe, a dosenunciados.

Solución del ejercicio anterior

1 . [(-p V -q) 1\ q] ~-p

2. - [(p H) ~ (r V s)]

3. -p~[(aVb)~(cVd)]

4. - [(p 1\ q) ~ r] ~ s

5. - [[(p V -q) 1\ (r V -s)] ~ t]

6. [(p ~ q) 1\ (q ~ p)] ~ (p + -+ q)

7. [-(p V q) ~(-p 1\ -q)] V -(r V s)

8 . -(p 1\ q) + -+ (-p V -q)

9. [(p + -+ q) V r] 1\ (s ~ t)

10 . - [ -(p 1\ q) V -( r V s)] ~ t

1 1 . p + -+ [(q 1\ r) V (s V t ]

12. - [(p ~ q ) 1\ (q ~ r)]

13 . (-p 1\ -q) 1\ (-r 1\ -s)

14 . [(-p V -q) V (-r V -s)] 1\ t

15. - [(a 1\ b) + -+ (c Vd)]

16. - [[(p ~ q ) 1\ (q ~r)] ~ (p ~ r) ]

17 . - [(p 1\ q ) ~ - ( - p V - q )] 1\ (p ~ q)

18 . [( -p V q) V -(r V -s)] V -(p V q)

19. [(p 1\ q ) 1\ (r 1\ s)] ~ (p 1\ s)

20. [(p + -+ q) 1\ (q +-+ r) ] (p r)

r s

Veamos: sea (p ~ q ) 1\ (r V s).Su traducción sería: KCpqArs.y el árbol sería:

Está claro, pues, que la primera letra mayúscula que aparezca a laizquierda de toda fórmula seta la que inicie, desde arriba, todo ár bo l .

Veamos: el árbol de NCKpqN Ars tendríamos que confeccionarlo así:

N

IC'\

N

I!I/ '\

/K/ '\

p q



Ejemplos de árboles de fórmulas

1. CKANpNqqNp

C/ \

K N

/ \ IA q p

/ \N N

I Ip q

3. CNpCAabAcd

C/ \

N e1 / \

p A A-: \ / \

a b e d

5. A CNApqKNpNqNArs

A

C ~N

\ 1

K A-: \ 1 \

N N r s

1 1p q

-:

N

1

A

/ \p q

7. CNANKpqNArs t

C/ \

N t

IA

/ " -N N

I IK A

/ \ / \p q r S

l·

2. NCEpqArs

Constrúyanse los árboles de las sig~ientes e~presiones que e in 'itll'llcon las fórmulas de algunas reglas de inferencia:

N

IC/ " -

E A

/ \ / \p q r s

1. [(p ~ q ) 1\ p] ~ q (P.P.)

2. [(P ~ q) 1\ -q] ~ -p (TT)

3. [(p V q) 1\ -p] ~ q (TP.)

4. [(p V q) 1\ [(p ~ r) 1\ (q ~ s)J] ~ (r V s) (S . D . )

5. [(p ~ q ) 1\ (q ~ r) ] ~ (p ~ r) (S.H.)

6, (p 1\ q) ~ P (S.)

7. p ~ (p V q ) «, (L.A.)8. (p + -+ q) ~ [(p ~ q) 1\ (q ----> /l)J (B.)

9. (p 1\ q) ~ -( - P V -q) (L.M.)

10. (p ~ q) ~ (-p V q) (R.e.)

4. NCKApNqArNst

N

1C/ \

t/

A

/ \p N r

1q

6. ENKpqANpNq

\A/ \

N

1

Arboles resultantes de las fórmulas anteriores:

1. CKCpqpq (P.P.)

C. > .C/ \p

/\p q

2. CKCpqNqNp (T.T.)

C- : "" N

/K", IC N p

/ ~ Ip q q

s

E/ "" -

N A

I / \

K NN

/ \ I Ip q p q

8. EApqNKNpNq

E

/ " -A N

/ \ Ip q K

/ \

N N

I Ip q

3. CKApqNpq (TP.)

4. CKApqK pr c¡sA rs ( ,)

C

/\K q

/\¡t N

/ \ I1 1 1 / /1

!/\ /\/) l' 1/ 8

I t

/\l' s



5. CKCpqCqrCpr (S.H.)

C

K/~C

/ -. p/ -,

C C/' <, / -,P q q r

6 . CKpqp (S.)

C

/~K p

/""-p q

7. CpApq (L.A.) 8 . CEpqCpqCqp (B.)

C

/~p / ' "

p q

C

E/~K

/\ /\C C

p q /\ /\

p q q p

9. CKpqNANpNq (L.M.)

10. CCpqANpq (Re.)C

/~K N

/ \ Ip q /A~

N N

I Ip q

Inferencias en notación polaca

No vamos en este apartado a analizar la forma que los lógicopolacos utilizan en el cálculo inferencial, pues bastante tiene el lectorcon dominar la forma que nosotros hemos empleado. .

Pero se nos ocurre que otra forma divertida (¿por qué no?) derepasar las reglas de inferencia y de familiarizarse más con la notaciónpolaca sería utilizando esta notación, por un lado, y el sist ma dderivación que hasta ahora hemos empleado, por otro, enfrentamos,una vez más (espero, querido lect r, qu no ea la última) con el t \ uloinf rcncial.

Así pues, las premisas vendrán simbolizadas en notaci n Iuhu 11 I 1 1

conclusiones, al menos por nuestra parte, irán también en esta n l[' 1 \1 11

Lo único que mantendremos son las siglas utilizadas hasta ahora pu: 1

indicar la regla que se ha aplicado, así como el mismo sistema denumeración de premisas y conclusiones.

Si el lector, al principio, encuentra alguna dificultad, lo cual esperfectamente comprensible, se aconseja traducir primero las premisas,resolver el problema después, y, finalmente, traducir las conclusiones anotación polaca. Con unos pocos ejercicios terminaremos haciéndolo

directamente. Veamos algunos ejemplos:

D:p D:t

1) CNae1) CNEpqr

2) CAedp 2) CNKqNps

3) Eab 3) Nr

4) Cbd 4) ANst

5) Cab (B. 3) 5) Epq (T.T. 1, 3)

6) ANab (R. e. 5) 6) Cpq (B. 5)

7) Acd (S.D. 1, 4, 6) 7) ANqp (R.C. 6)

8) p (P.P. 2, 7) 8) NKqNp (L.M. 7)

9) s (P.P. 2, 8)

10) t (T.P. 4, 9)

Ejercicios de inferencia en notación polaca

1. D:b 2. D:NKbe

1) Apq 1) P2) CArst 2) Cqs

3) Cpr 3) CaNAst

4) CaNt 4) Cp Aqr5) Cqs 5) Crt

6) CNab 6) AaNKbe

3. D:t 4. D:d

1) Apq 1) ANCpqNr

2) Cpr 2) ANCpst

3) CArs ab 3) Cqs

4) C l c d 4) CtCab

) (/" 5) CCaed

(} 'N /N I 6) be

7 ' 1 > 1 ' 7) , .

I(



5. D:Kbc 6. D:r Solución a lOSejercicios anteriores

1) Crt 1) Cpq Del ejen;icio 1: Del ejercicio 2:2) KCpqArs 2) Nc3) CNKbcNt 3) CbApNa

7) Ad (S.D. 1, 3, 5) 7) Aqr (P.P. 1, 4)

4) Cap 4) ANqr 8 ) t (P.P. 2, 7) 8 ) Ast (S.D. 2, 5, 7)

5) CCaqNs 5) KaAbc 9) Na (T.T 4, 8 ) 9) Na (T.T. 3, 8 )

10) b (P.P. 6, 9) 10) NKbc (T.P. 6, 9)

Del ejerCicio 3: Del ejercicio 4:

7. D:d 8 . D:Kbc (S.D. 1, 2, 5) 8 ) Cpq (T.T. 1, 7)8 ) Ar5

1) Kpr 1) CCprKtNs9) Cab (P.P. 3, 8 ) 9) Cps (S.H. 3, 8 )

2) CNKabNKrs 2) Cqr 10) Cac(S.H. 7,9) 10) t (T.P. 2, 9)

3) Ksq 3) b11) d (P.P. 4, 10) 11) Cab (P.P. 4, 10)

4) e 4) Na12) t (T.T 6, 11) 12) Cac (S.H. 6, 11)

5) CKacd 5) Cpq13) d (P.P. 5, 12)

6) CKNsNacDel ejercicio 5: Del ejercicio 6:

6) CrJq (S. 2) 6) Abc (S. 1)

9. D:ANrNs7) cm (S.H. 4, 6) 7) b (T.P. 2, 6)

10. D:a 8 ) NI! (P.P. 5, 7) 8 ) ApNa (P.P. 3, 7)

1) Kab' 1) KCpqr9) AyS (S. 2) 9) a (S. 5)

2) ANAacd - 2) CNaNAsNt10) r (T.P. 8 , 9) 10) p (T.P. 8 , 9)

3) Cdp 3) Cqr11) KlJc (TT 3, 11) 11) q (P.P. 1, 10)

4) CrNApq 4) CCprs12) r (TP. 4, 11)

Del ejercicio 7: Del ejercicio 8:

11. D:t 12. D:c6) r (S. 1) 7) Cpr (S.H. 2, 5)

7) s (S. 3) 8 ) KtNs (P.P. 1, 7)

1) CNEpqr 1) CtNs 8 )K(S (A. 6, 7) 9) Ns (S. 8 )

2) CNKqNps 2) CNsEAb 9) KPb (T.T. 2, 8 ) 10) KNsNa (A. 4, 9)3) Nr 3) CKANpqANqpt 10) a (S. 9) 11) c (P.P. 6, 10)

4) ANst 4) CANabc 11) K{lc (A. 4, 10) 12) Kbc (A. 3, 11)

5) Epq 12) d (P.P. 5, 11)

Del ejercicio 9: Del ejercicio 10:

13. D:p 14. D:ANba5) a (S. 1) 5) Cpq (S. 1)

6) AP C (L.A. 5) 6) Cpr (S.H. 3, 5)1) CNac 1) CNAEabcd 7) d (T.P. 2, 6) 7) s (P.P. 4, 6)2) CAcdp 2) Nc 8) f J

(P.P. 3, 7) 8 ) AsNt (L.A. 7)3) Eab 3) KqNd 9) / )( 1 (L.A. 8) 9) a (TT. 2,8)4) Cbd l O N / ' ('1':1. 4, 9

I 1) NI'NS (1 ,A, lO

1 1) ) I(n



Del ejercicio 11:

5) Epq (T.T. 1, 3)6) Cqp (B. 5)7) AN qp (R.e. 6)8) NKqNp (L.M. 7)9) s (P.P. 2, 8)

10 ) t (TP. 4, 9)

Del ejercicio 13:

5) Cab

6) ANab7) Acd

8) p

(B. 3)

(B.C. 5)(S.D. 1, 4, 6)(P.P. 2, 7)

I< )H

Del ejercicio 12:

6) KANpqANqp (B. 5)7) t (P.P. 3, 6)8) Ns (P.P. 1, 7)9 ) Eab (P.P. 2, 8)

10 ) Cab (B. 9)11 ) ANab (R.e. 10)

12) c (P.P. 4, 11)

Del ejercicio 14:

4) Nd

5) AEabc6) Eab

7) Cba

8) ANba

(S. 3)

(TT 1, 4)(T.P. 2, 5)(B. 6)(R.C. 7)

Breve reconocimiento a la Lógica estoica

Estoy totalmente de acuerdo con Lukasiewicz cuando afirma que seles deben devolver los honores debidos a los hasta ahora totalmentemalentendidos y equivocadamente juzgados logros de los estoicos y quefueron ellos los que anticiparon ya en la antigüedad (siglo IIIa. de e.) lalógica proposicional '.

El lector que haya finalizado esta introducción a la lógica simbólica,habrá de saber que, hace veintitrés siglos (casi veinticuatro ya), unaescuela filosófica, la de los estoicos, fue la pionera de la lógica proposi-cional, y, por ello, queremos rendir en el presente trabajo un corto peromerecido reconocimiento.

La lógica estoica se caracteriza por tres aspectos:En primer lugar, porque prefiere hacer referencia a nombres de

individuos y de cosas que a conceptos universales o generales; ensegundo lugar, porque, como dice Brun ', no estudia las posiblesrelaciones de inclusión o exclusión entre conceptos, sino que trata dedefinir, de acuerdo con la verdad, implicaciones entre acontecimientos;y, en tercer lugar, porque anticipa ya las futuras variables de enuncia-dos.

Veamos: para los estoicos la proposición es aquello que expresamosal decir, y que puede ser verdadera o falsa.

Clases de proposiciones compuestas (moleculares en lógica sim-bólica):

1. a Proposición condicional

Esta proposición está formada por la cunjunción si y anuncia queuna segunda proposición seguirá a la primera.

«Si es de día, hay luz.» «Si Sócrates fue maestro de Platón, Platónconoció su condena.»

2. a Proposición consecutiva

Esta proposición depende de la conjunción puesto que.

«Puesto que somos perseguidos, tendremos que refugiarnos.»

I 1,lIkllSi 'wi ''1 " J In: lislI/II/IIS t i " 1 1l ¡ ¡ 1 1 '1 1 Y .f1'I1S(~/¡II, pIII{. H H , R 'vistllM IIdl'ld, 1 \)7 ,

J 111 111 1 , ,1 11111 : 1 ': / I 'W / l / l ' I l/ I fI , pl 1, 1'111 ¡t ll ,11 " '1 11 \ 1 1 ", 1 1 1(1 ,

1 1 ) 1 )



2 .0 Aquel que presenta la prop sici n '011li '¡olllll 1 \1 \ \ \ 1 1 1 1 1 1 1 11 d ,

su conclusión..a Proposición coordinada

Que contiene la conjunción copulativa y.

«Somos perseguidos y tenemos que refugiarnos.»«Por la razón el hombre supera a los animales e imita a los dioses.»

Si lo primero, entonces lo segundo,no es así que lo que segundo,luego no lo primero.

4 .a Proposición disyuntiva

Esto es, la que contiene una disyunción como o.

«O voluntad es aquello que desea algo con razón o es concupiscenciadesenfrenada que se encuentra sólo en los necios.»

3 .0 Aquel que presenta la negación de una conjunción y uno de losmiembros de esa conjunción.

No a la vez lo primero y lo segundo,es así que lo primero,luego no lo segundo.

.a Proposición causal

La que depende de la conjunción porque ..«El sabio no siente ninguna afección del mal presente porque no se

aleja de los males con pavor.»4. 0 Aquel que presenta una disyunción (exclusiva en este caso) y la

afirmación de uno de sus miembros:

6. a Proposición comparativa

«El sabio está más libre de las pasiones que aquel que no haalcanzado la imperturbabilidad.»

O lo primero o lo segundo,es así que lo primero,luego no lo segundo.

Nótese que estas proposiciones tienen su adecuación en tipos deenunciados moleculares que conocemos.

5 .0 Aquel que presenta tina disyunción (inclusiva en este caso) y lanegación de uno de sus miembros.

Clases de razonamiento o de inferencias

Lo primero o lo segundo,no es así que lo primero,luego lo segundo.

1 .0 Aquel que presenta una proposición condicional seguida de lacondición. .

«S~ es de día, hay luz; ahora bien, es de día; luego hay luz.»Notese que, cor~esponde al modo Ponendo Pones, perocorr~spon~e. mas aun. cuando comprobamos que los propiosestoicos utilizaban vanables de enunciado, no con letras minús-culas, como normalmente se hace en lógica simbólica sino con~úmero~, y así pudieron presentar este primer es~uema deinferencia de la siguiente forma:

Si lo primero, entonces lo segundo,es así que lo primero,luego lo segundo.

~ó.tese tan:bién que aquí «lo primero» y «lo se und » sonau tént icas variables del nunciado y r atizan la misma [un i ó n

que las letras p y q, P r j 111 1"1 •

Puede el lector ahora identificar estos tipos de inferencia conaquellos que ya conoce a través de esta introducción a la lógica

simbólica.Bochenski, en su Historia de la lógica formal no es I:'artidario de

hablar de una lógica estoica sin más, pues defiende la tesis de que losestoicos lo único que hicieron fue propagar la lógica megárica ennumerosos Y excelentes m.muales. Por eso es partidario de h~blar de ~n.alógica megárico-estoica, insistiendo en que hay que denomm~r megan-cas a las ideas fundamentales y estoica a la elaboración técnica.

Sea como fuere, el propio Bochenski reconoce que si fue Peir~e. elprimero en observar que la lógica estoica s~ t~ataba de una .10gIcasentencial, fue mérito imperecedero 1e Lukasiewicz haber ofrecido su

intcrpretación correcta.K.. on Mccaricos y "stoico surgió una Lógica sentencial, la

s .uunda ran '1 ' a 'iól1 de los ari os 11 el terreno de ·la Lógica,justum ntc I ( tll' 1 ' 1 1 1 1 ibu 'lIsi por .orn¡ 1 'l< n la iC'1ari totélica. Al

000 1



~ismo, tiempo lIeva,ro.n la consideración formal hasta u~a concepciónormahstI~a de la Loglca; apoyados en una Sintaxis y en una Semánticapor~.~nonzada. Esta Lógica, mcomprendida durante siglos, merece

dtaml le~.q ue 1se la reconozca como una grandiosa creación en el ordene espintu» .

NOTA FINAL

Termino recordando al lector el título de este libro, 1ntroduccion a la

Lógica Simbólica, para adverti rIe que sólo hemos intentado cumplir talpretensión.

Desde que comenzamos este libro hemos recorrido un largo camino.En ocasiones, nos ha podido parecer intrincado y tortuoso, pero creemosque la recompensa ha podido ser gratificante.

No hemos pretendido otra cosa que abrir las puertas de la Lógicamatemática o simbólica. No sabemos si éstas han quedado abiertas depar en par, o si solamente hemos conseguido un resquicio lo suficiente-

mente amplio para penetrar por él.A partir de ahora la Lógica nos puede ofrecer grandes sorpresas y,¿por qué no?, posibilidades de emplear nuestra imaginación. El rigor y laprecisión no están reñidos con la aventura.

La estructura del libro me parece pedagógicamente aceptable. Siem-pre eché de menos introducciones a la Lógica matemática asequibles aquienes, partiendo de cero, quisieran familiarizarse con ella.

El fenguaje, a veces críptico de la Lógica, ha sido, desde el comienzode este libro, despojado de su hermetismo y, paso a paso, nos hemos idointroduciendo en la antesala de la misma.

Estoy convencido de que, a partir de aquí, el lector podrá descubrirnuevos horizontes porque el terreno introductorio ya está bien abonado.

Quiero terminar ahora con las palabras con las que un maestro de laLógica, Lukasiewicz, concluyó una de sus conferencias:

«Al concluir estas observaciones, me gustaría esbozar una imagenque está conectada con las intuiciones más profundas que siempreexperimento ante la logística. Esa imagen arrojará quizá mayor luzsobre el auténtico trasfondo de esa disciplina, al menos en mi caso, que

cualquier descripción discursiva. Hela aquí: cada vez que me ocupo deun problema logístico, por insignificante que sea -por ejemplo, cuandobusco el axioma más corto del cálculo proposicional implicacional-tengo siempre la impresión de que estoy frente a una estructurapoderosa, dotada de la máxima coherencia y resistencia. Siento esaestructura como si fuer-a un objeto concreto, tangible, hecho del másduro metal, cien veces más fuerte que el acero y que el hormigón. Nadapuedo cambiar en ello; no estoy creando nada por mi voluntad, sino quemediante un trabajo tenaz descubro constantemente en ello nuevosd talle y lIeg a verdad s inconmovibles y eternas. ¿Dónd est á y qué esesa stru tura id al? n crey I1t dirla que está 11 i s y que es Sup nsumi I1t »1.

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BIBLlOGRAFIA

Agazzi, E.: La lógica simbólica, Barcelona, 1967.Bochenski, I. M.: Historia de la Lógica formal, Madrid, 1966.Carroll, Lewis: El juego de la lógica, Madrid, 1972.Deaño, Alfredo: Introducción a la lógica formal, Madrid, 1974.Ferrater, J., y Leblanc, H.: Lógica Matemática, México, 1955.García Bacca, 1. D.: Introducción a la lógica moderna, Barcelona, 1936.Garrido, Manuel: Lógica simbólica, Madrid, 1973.Hilbert, D., y Ackermann: Los métodos de la lógica, Madrid, 1962.Lefebvre, Henri: Lógica formal, lógica dialéctica, Madrid, 1970.Lukasiewicz, J.: Estudios de lógica y filosofía, Madrid, 1975.

Masenjaeger, G.: Concepto y problemas de la lógica moderna, Barcelona, 1968.Mosterín, Jesús: Lógica de primer orden, Barcelona, 1970.Muñoz, V.: De la axiomática a los sistemas formales, Madrid, 1961.Prior, Arthur: Historia de la lógica, Madrid, 1976.Quine, W. O.: Los métodos de la lógica, Barcelona, 1962.

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Sánchez Mazas, M.: Fundamentos matemáticos de la lógica formal, Caracas,1963.

Strawson, P. F.: Introducción a una teoría de la lógica, Buenos Aires, 1969.Suppes, P., y Hill, S.: Introducción a la lógica simbólica, Barcelona, 1968.Tarski, Alfred: Introducción a la lógica, Madrid, 1968.Wittgenstein, Ludwig: Tractatus Logico-Philosophicus, Madrid, 1973.

INTRODUCCION .................................

L a PARTE. De los enunciados .

l. Lógica de enunciados .

2. ¿'Qué es un enunciado? .

3. Clases de enunciados .

De los enunciados moleculares y de las conedc~ivas,t l i : , i~. ., 15 La disyunción p. 16. El con icronai, p. .conjuncron, p.. ., '

bicondicional, p. 19. La negacion, p. 21.

4. Paréntesis y corchetes , , , .. , .. , . , , .

Ejercicios, p. 23.

5. Cuestiones que conviene recordar

2.a PARTE. Valores y tablas de verdad .. , ... , ...

l. Valores y tablas de verdad .. , , .

Valores de verdad de los enunciados atómicos, P d 29. ra~l~ ~:verdad de los enunciados moleculares, p. 30. T~?la e ~~r ;ablae de

. , 32 Tabla de verdad de la conjunción, p. .negacion, p. .' ., 37 E' .. P 41 Tabla de verdad delverdad de la di syu nción , p. . jercicios, ' : ' > : .. 1 46

dici I 43 Tabla de verdad del bicondicional, p. .on lClona, p. .Ejercicios y notas, p. 51.

3 ." PART '. 'l~tI lila inferencial

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Índice

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p. 78. 3." Regla del Tollendo Ponens, p. 91. 4." Regla del SilogismoDisyuntivo, p., 105. 5.a Regla del Silogismo Hipotético, p. 117. ti ."Regla de la Simplificación, p. 127. 7." Regla de la Adjunción, p.137. 8." Regla o Ley de Adición, p. 145. 9." Ley del Bicondicional,p. 156. 10. Otras reglas de inferencia, p. 163.

4." PARTE. La Reducción de conectivas y su aplicación enel cálculo inferencial '.' . . 165

l. La reducción de conectivas y su aplicación en el cálculo

inferencial 165

La Ley de De Morgan, p. 166. La Reducción del Condicional, p.173. La Reducción del Bicondicional, p. 179.

5.a PARTE .. La notación polaca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Explicación, p. 185. Ejercicios de traducción a notación polaca, p.187. La traducción inversa, p. 188. Ejercicios de traducción inversa,p. 189. Arbol de una fórmula, p. 191. Ejemplos de árboles defórmulas, p. 192. Inferencias en notación polaca, p. 194. Ejerciciosde inferencia en notación polaca, p. 195.

BREVE RECONOCIMIENTO A LA LOGICA ESTOICA

NOTA FINAL .

BIBLIOGRAFIA .

199

203

204

vicente rodríguez lozano - introducción a la lógica simbólica (unam-ffyl)

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