LA RECTA La forma estándar de la ecuación Lineal CByAx A, B y C constantes A y B ≠

0

Ejemplo: 2.2 yx => 2

12

2 xy

xy

y

x y

1 1/2

2 0

3 -1/2 x

-1 3/2 0

-2 2

0 1

Ecuación General de la Línea Recta

cByAx => B

Cx

B

Ay B≠0

Los puntos donde la recta cruza los ejes son los intersectos o puntos de intersección

Intersección Con El Eje y se hace x=0 y se despeja y y,0

Intersección Con El Eje x se hace y=0 y se despeja x 0,x

Uso de las intersecciones para graficar la Ecuación General. graficar 12.4.3 yx

34

3 xy => x y

0 -3

4 0 -3 1243 yx

Ejercicios: graficar: 1234 yx y 063 xy

PENDIENTE de una recta que pasa por dos puntos 111 , yxp y 222 , yxp

La pendiente índica la inclinación de la recta está dada por:

12

12

var

var

xx

yy

iaciónx

iacióny

x

ym

para 12 xx la pendiente m mide el cambio horizontal para ir de 1p a 2p

m >0 + la recta asciende

m <0 - la recta desciende

0m la recta es horizontal

m indefinida la recta es vertical

Ejemplo: Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos 3,21p y 5,42 p

3

1

6

2

24

35

12

12

xx

yy

x

ym

3

1 m pendiente negativa => recta

Ejercicios: Calcular la pendiente de las rectas que pasa por los puntos:

- 1,61 p y 7,22p - 6,21 p y 4,32 p - 2,31 p y 2,12 p

- 1,01p y 3,02 p - 2,31 p y 0,12 p

Ecuación de la recta Punto-Pendiente

La ecuación de la recta que pasa por el punto 11 , yxp y tiene pendiente m está dada por:

11 xxmyy

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 1,2p y tiene como

pendiente 3m

11 xxmyy => 633233233 xyxyxy

33 xy

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta vertical y de la recta horizontal que pasa por

2,1 p

recta vertical m indefinida => 1x

recta horizontal 0m 11 xxmyy => 2102 yxy

En los anteriores ejercicios encontrar la ecuación de la recta (página anterior)

Ecuación de la Recta Pendiente-Intersecto con y que está dado por b,0

11 xxmyy => bmxymxbyxmby 0

bmxy ecuación pendiente-intersecto

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta con pendiente 2

3m y que intersecta al eje y

en el punto 5,0 p => 2

3m y 5b =>

52

35

2

3 xyxybmxy

ó 01032 xy

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta con pendiente -2 y que pasa por el punto de

intersección de

la recta 0552 yx con el eje y

punto de intersección de la recta 0552 yx con y hacemos 10 yx

el punto seria 1,0p => bmxy => 12 xy ó 012 xy

Ejercicios:

- Hallar la ecuación de la recta con pendiente 4 y que corta al eje y en el punto

3,0p

- Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente -3/4 y como intersecto 3

2y

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que tiene como intersectos 4 con el eje x y -5 con

el eje y

la recta pasa por los puntos (4,0) y (0,-5) => hallamos la pendiente conociendo dos

puntos

hallamos la pendiente 4

5

4

5

40

05

12

12

xx

yym

11 xxmyy 54

54

4

50 xyxy

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 2,2p y por el punto de

intersección de las rectas 043 xy y 012 xy

2,21p y 2p punto de intersección de las rectas dadas y para hallarlo debemos

resolver

el sistema 2x2 y la solución es el 2p dá como resultado 1,12 p y conociendo dos

puntos hallamos la pendiente y la ecuación de la recta pedida 43 xy

Rectas Paralelas

Dos rectas no verticales 1l y 2l son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales

21 mm

Rectas Perpendiculares

Dos rectas no verticales 1l y 2l son perpendiculares si y solo si el producto de sus

pendientes

es igual a -1 1. 21 mm

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 1,2 p y es:

a- Paralela a la recta 532 yx

b- Perpendicular a la recta 532 yx

532 yx => 3

5

3

2 xy => ésta recta tiene

3

2m

a- Cualquier recta paralela a ésta recta ha de tener 3

2m

=>- La recta que pasa por el punto 1,2 p y es paralela a la recta 532 yx

tiene

como ecuación 11 xxmyy => 23

21 xy => 732 yx

b- Cualquier recta perpendicular a la recta 532 yx cuya pendiente es 2/3 ha de

tener

pendiente 2

3m (

2

31

3

2)1. 2221 mmmm )

la recta que pasa por el punto 1,2 p y es perpendicular a la recta 532 yx tiene

como ecuación 121 xxmyy 42322

31 yxxy

Ejercicios: - Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 1,21 p y es:

a- paralela b- perpendicular a la recta 324 yx

- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto

8

7,

4

31p y es:

a- paralela b- perpendicular a la recta 035 yx

Distancia Entre Dos Puntos

Sea 111 , yxp y 222 , yxp 2

12

2

12 yyxxd

Distancia Entre Un Punto 111 , yxp y la Recta 0 CByAx 22

11

BA

CByAxd

Punto Medio Entre Dos Puntos 111 , yxp y 222 , yxp

2,

2

2121 yyxxPM

Ejemplo: Demostrar que los 4 puntos 2,6A , 6,8B , 8,4C y 4,2D son los vértices de

un

rectángulo. => Hallamos las pendientes ABm , BCm , CDm y DAm

CDAB mm => 1l // 3l y DABC mm => 2l // 4l

1. BCAB mm => 21 ll y 431. llmm DACD

El cuadrilátero tiene lados opuestos paralelos y el par de lados adyacentes son

perpendiculares =>

el cuadrilátero es un rectángulo y si las distancias son iguales es un cuadrado

Ejercicio: Demuestre que los puntos 1,3A 0,6B y 4,4C son los vértices de un

triángulo

rectángulo y calcule su área y su perímetro.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen y por el punto (3,4), hallar el perímetro

del

triángulo formado por la recta que pasa por el punto (3,4) y es perpendicular a la recta

hallada.

LA CIRCUNFERENCIA Una Circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que están a una distancia

constante

de un punto fijo llamado Centro; la distancia de cada punto de la Circunferencia al Centro

se denomina Radio

Ecuación Canónica o Forma Estándar de la Circunferencia con Radio r y con centro en el

punto

bac , es: 222rbyax círculo ≤ 0

En particular si el centro está en el punto de origen 0,0c => 0a y 0b

222 ryx

Ejemplos:

a- Determinar si el punto (4,-1) pertenece o no a la circunferencia

252222 yx

Reemplazo el punto 1,4 en la ecuación de la circunferencia dada

25112422 ? => 2526

22 ? 25436 => el punto

no pertenece a la circunferencia está por fuera porque 40 > 25 si estuviera dentro

debería dar <25 y si perteneciera a la circunferencia debía dar 25=25

b- Determinar si el punto (1,-3) pertenece a la circunferencia 251222 yx

reemplazo el punto (1,-3) en la ecuación de la circunferencia dada

25132122 ? => 2516943

22 => pertenece a la

circunferencia

c- Determinar el radio y el centro de la circunferencia 492322 yx

3a y 2b => 2,3 c 7492 rr

d- Determine la ecuación de la circunferencia cuyo radio es 2 y su centro 5,5

como 222rbyax => 255

22 yx

e- Determine la ecuación de la circunferencia con centro en (4,3) y que pasa por el

punto (1,4)

4a y 3b => 22234 ryx como el punto (1,4) pasa por la

circunferencia debe satisfacer la ecuación y por tanto podemos hallar el radio de la

circunferencia

103441 2222 rr => 1034

22 yx

f- Determine la ecuación de la circunferencia con los puntos 3,2 A y 1,6B en los

extremos

de un diámetro.

El centro de la circunferencia está en el punto medio del diámetro que une los puntos

A y B

1,42

13,

2

62

2,

2

2121

yyxxcPM 1,4 c es el centro

El radio es la distancia desde el centro de la circunferencia a uno de los puntos del

diámetro

2

12

2

12 yyxxrd distancia del centro a uno de los puntos del

diámetro

8r => ecuación de la circunferencia 81422 yx

Ecuación General de la Circunferencia

022 FEyDxyx

g- Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro en (-2,1) y con radio 2

Ecuación canónica 21222 yx => 21244 22 yyxx

la ecuación general de la circunferencia es: 032422 yxyx

h- Hallar el radio y el centro de la circunferencia dada por la ecuación

01721022 yxyx

Debemos hallar la ecuación canónica. Asociamos términos de la misma variable

xx 102 yy 22 17 completamos cuadrados para x y y

125171225102 2 yyxx 91522 yx 1,5c

3r

i- Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos 5,3 y

1,5

y cuyo centro está sobre la recta 0532 yx

los puntos deben satisfacer la ecuación de la circunferencia 222rbyax

para 5,3 22253 rba

para 1,5 22215 rba

el centro ba, está sobre la recta 0532 yx debe cumplir con la ecuación

0532 ba 2

53

ba

2222 211025102569 bbaabbaa ba 32

11322

53

abb

b => 52r

201122 yx ó 0182222 yxyx

j- Determinar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia

251122 yx

en el punto (4,3) primero vemos si el punto pertenece a la circunferencia

La Tangente a una Circunferencia es la perpendicular al radio en el punto de

tangencia

=>si conocemos la pendiente del radio en el punto dado es posible hallar la

pendiente de

la recta tangente y en consecuencia su ecuación

La circunferencia tiene su centro en (1,--1) y tenemos el punto (4,3) => podemos

hallar la

pendiente del radio en ese punto =>3

41 m sea 2m la pendiente de la recta ┴ al

radio

en (4,3) => 1. 21 mm => 4

32 m

=>La ecuación de la recta tangente de la circunferencia en el punto (4,3) es:

44

33 xy => 6

4

3 xy

LA ECUACION GENERAL DE SEGUNDO

GRADO IDENTIFICACION DE LAS SECCIONES CONICAS EN LA ECUACION GENERAL

DE SEGUNDO GRADO

022 fEyDxCyBxyAx ,A B y C ≠ 0 Discriminante

CAB .42

Si 042 ACB => es una Elipse

Si 042 ACB => es una Parábola

Si 042 ACB => es una Hipérbola

Si 0B A y C ≠ 0 022 FEyDxCyAx

Si CA es una Circunferencia

Si 0A ó 0C 0. CA es una Parábola

Si 0A y A y C tienen el mismo signo 0. CA es una Elipse

Si A y C tienen diferente signo 0. CA es una Hipérbola

Las ecuaciones de la Circunferencia, la Parábola, la Elipse y la Hipérbola son ecuaciones de

segundo grado en x ó en y ó en ambas Son conocidas como secciones CONICAS porque

se obtienen por cortes en un cono con un plano

LA PARABOLA La Parábola es el conjunto de todos los puntos (x, y) tales que su distancia a una recta fija

(directriz) es la misma que su distancia a un punto fijo F llamado foco

eje perpendicular a la directriz

V=Vértice punto de intersección de la parábola con el eje

L=eje de simetría o eje focal

F=foco punto sobre el eje de simetría que está separado

del vértice por una distancia igual a la que separa al

vértice de la directriz d(v,direct)=d(V,F)

El vértice es el punto medio que une al foco y a la

directriz

Ecuación Canónica de la Parábola con Vértice en (0,0)

- Eje de simetría en el eje x

Si P es la distancia del vértice al foco de una parábola con vértice en V(0,0) y el eje

de

simetría en el eje x entonces las coordenadas del foco son F(P,0)

La ecuación de la Directriz es Px

Pxy 42 0P 0P

- Eje de simetría en el eje y

Si P es la distancia del vértice al foco de una parábola con vértice enV(0,0) y el eje de

simetría en el eje y entonces las coordenadas del foco son F(0,P)

La ecuación de la Directriz es Py

Pyx 42 0P 0P

Ejemplos: a- Determinar los elementos de la parábola xy 242

Eje de simetría en el eje x, vértice en (0,0) Para determinar P xPx 244

6 P como P>0 => foco F(P,0) F(6,0)

Directriz Px => 6x

b- Determinar los elementos de la parábola 2xy

yx 2 => yPy 4 => 4

1P => 0P

eje de simetría eje y vértice en (0,0) foco (0,P) (0,1/4)

Directriz Py => 4

1y

c- Encontrar la ecuación de la parábola con foco F(0,3) y directriz 3y

Tenemos que 3P => yxyx 1234 22 0P

Vértice 0,0 eje de simetría y

d- Encuentre la ecuación de la parábola con directriz 2y y Foco 2,0

Graficamos la directriz y el foco y vemos su colocación, que nos dá la forma

de la ecuación Pyx 42 0,0V 2P =>

yx 242 => yx 82

e- Encuentre el Foco el Vértice. la Directriz y el Eje de la parábola xy .62

La ecuación es de la forma Pxy 42 0,0 v el eje es el eje x

64 P 02

3

PP =>

=>El Foco es

0.

2

3 y la Directriz

2

3x

Ecuación Canónica de la Parábola con Vértice en ba, diferente al punto de origen

0,0

- Eje de simetría paralelo al eje x

- Sea P la distancia del vértice al foco bPa ,

- La directriz está dada por Pax

- La ecuación del eje de simetría es by

- axPby .42

0P y 0P

- Eje de simetría paralelo al eje y

- Sea P la distancia del vértice al foco Pba ,

- La directriz está dada por Pby

- La ecuación del eje de simetría es ax

- byPax .42

0P y 0P

f- Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en 3,2 y pasa por el

punto

2

3,5Q

- La parábola tiene vértice en 3,2

- Pasa por el punto

2

3,5Q

- Tiene eje paralelo al eje y

- Por la posición de ñlos puntos dados la gráfica es:

- => byPax 42

3,2 v => 2a y 3b

- => 3422

yPx el punto

2

3,5Q satisface la ecuación

- => 2

335425

2 PP => 3

2

342

2

yx

- => 3622

yx

- Directriz de la parábola 2

9

2

33 Pay

- Eje de simetría 2 xax foco

2

3,2, fPba

g- Encuentre la ecuación estándar de la parábola con vértice en 1,3 y

directriz 2y

- Localizamos el vértice y la directriz y como el vértice está localizado

3 unidades por debajo de la directriz 3P

- => byPax 42

3a y 1b

- => 11232

yx

h- Determine la ecuación canónica de la parábola de vértice 1,2 y foco

4,2

- como el eje de la parábola es vertical

- => byPax 42

1,2v 2a y 1b

- 3,4,2 PPbaff

- 13422

yx => 11222

yx

Ecuación General de la Parábola con vértice ba, y con distancia P del foco al

vértice

Eje paralelo al eje x 02 FEyDxy

Eje paralelo al eje y 02 FEYDxx

i- Encontrar los elementos de la parábola 05322 xyx

- Transponiendo términos y completando cuadrados

=> 05322 xyx 4

952

4

932 yxx

=>

8

112

2

32

yx

8

11,

2

3v

- Distancia del vértice al foco 2

124 PP

- Foco

8

15,

2

3, fPba

- Directriz 8

7

2

1

8

11

yPby

- Eje de simetría 2

3 xax

j- Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos 2,8 P ,

2,0 Q

y 4,4 R cuyo eje focal es paralelo al eje y

- Las coordenadas de cada punto satisfacen la ecuación de la forma:

02 FEYDxx asi:

Para 2,8 P => 6428 FED

Para 2,0 Q => 02 FE => 8D 8E

16F

Para 4,4 R => 1644 fED

- la ecuación general de la parábola es: 016882 yxx

- La reducimos a la forma canónica => 2842

yx

284 PP

Vértice 2,4, bav => Foco 0,4, Pbaf

0,4 f

Directriz 422 Pby => 4y

Eje de simetría 4 xbx

LA ELIPSE La Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias

a dos puntos fijos denominados focos 1F y 2F es constante.

Ecuación Canónica de la Elipse con Centro en 0,0

- Eje Focal en x 12

2

2

2

b

y

a

x ba

Eje focal o eje principal recta que pasa por los focos a2 longitud del eje focal

Distancia de vértice a vértice add .221

Eje normal o secundario es la recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro de

la

elipse b2 longitud del eje normal

Intersectos en y bB ,01 y bB ,02

Los vértices 1v y 2v son los puntos en que la elipse corta al eje focal y son: 0,1 av

y

0,2 av

222 cba Excentricidad a

ce Lado Recto a

bLR

22

- Eje Focal en y 12

2

2

2

a

y

b

x ba

Eje focal o eje principal recta que pasa por los focos a2 longitud del eje focal

Distancia de vértice a vértice add .221 Eje normal o secundario es la recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro de la

elipse b2 longitud del eje normal

Intersectos en x 0,1 bB y 0,2 bB

Los vértices 1v y 2v son los puntos en que la elipse corta al eje focal y son av ,01

y

av ,02

222 cba Excentricidad a

ce Lado Recto a

bLR

22

Ecuación canónica de la elipse con centro en kh, ba

- Eje focal paralelo al eje x

12

2

2

2

b

ky

a

hx

Focos kchF ,1 y kchF ,2 Vértices kahV ,1 y kahV ,2

Intersectos en y bkhB ,1 y bkhB ,2

Ejemplos:

a- Para la elipse 11625

22

yx

determine los elementos

5a 4b 3c Eje focal 102 a Eje normal 82 b

0,30,1 cF

0,30,2 cF 0,50,1 aV

0,50,2 aV

4,0,01 bB

4,0,02 bB 5

322 2

a

bLR

b- Encuentre la ecuación de la elipse con vértices en 0,5 y focos en 0,2

5a 2c 21 b focos en x centro en 0,0 => 12

2

2

2

b

y

a

x

=> 12125

22

yx

podemos dar los otros puntos y el LR

c- Hallar la ecuación de la elipse cuyo centro es el punto 1,2 uno de sus vértices es

6,2 y el 4LR

Dada la posición del centro y de uno de sus vértices se deduce que el eje focal de la

elipse

es paralelo al eje y

12

2

2

2

a

ky

b

hx como 1,2 c y

6,2,1 akhV

akhV ,2 5616 aaak 4,22 V

1042 2

ba

bLR 1522 cbac

=>

125

1

10

222

yx

ckhF ,1 ckhF ,2

151,21 F 151,22 F Ecuación General de la Elipse

022 FEyDxCyAx CA y mismo signo

d- Identificar los elementos de la elipse 0441001282516 22 yxyx

=> debemos llevarla a la forma canónica =>

40010025644442516816 22 yyxx =>

40022541622 yx

1

16

2

25

422

yx

eje focal paralelo al eje x

centro 2,4 c vértices 2,11 V 2,92 V 6,41 B 2,42B

focos 2,11 F 2,72F LR e