LA RECTALA RECTAEcuaciones de la rectaEcuaciones de la recta

La pendiente de la recta que pasa por P1(x1,y1) y P2(x2,y2) es:

Antes de iniciar con el desarrollo de las ecuaciones dela recta es importante considerar una de sus características particulares, la pendiente. A partir de esta cualidad partiremos para obtener cada ecuación.

Ecuación de la recta que pasa por el origen Ecuación de la recta que pasa por el origen

Considere la recta que pasa Considere la recta que pasa por el origen 0 y forma un por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación con el ángulo de inclinación con el eje eje xx..

Tómese sobre la recta los Tómese sobre la recta los puntos Ppuntos P11(x(x11, y, y11),P),P22 (x (x22, y, y22) y ) y

PP33 (x (x33, y, y33). Al proyectar los ). Al proyectar los puntos Ppuntos P11, P, P22 y P y P33 sobre el sobre el eje eje xx, se obtienen los puntos , se obtienen los puntos P’P’11, P’, P’22, P’, P’33. .

Ecuación de la recta que pasa por el origenEcuación de la recta que pasa por el origen ..

Como los triángulos OPComo los triángulos OP11P’P’11, OP, OP22P’P’22 y OP y OP33P’P’33 son son semejantes; se tiene que: semejantes; se tiene que:

Esto es, Esto es,

Es decir, Es decir, y = mxy = mx

Ecuación de la recta en su forma punto pendienteEcuación de la recta en su forma punto pendiente

Lo que se muestra en la figura, es una recta que pasa Lo que se muestra en la figura, es una recta que pasa

por el punto A(xpor el punto A(x11, y, y11), con una pendiente dada.), con una pendiente dada.

• Si un punto P(x, y) está en una recta y m es la pendiente de la misma, la pendiente puede definirse como:

1

1

xx

yym

• Esta es la ecuación de la recta en su forma punto pendiente. Las coordenadas (x1, y1) son las de un punto cualquiera que pertenezca a dicha recta.

• Ejemplo 1: Sea m=1/5 y A(-2, -4), la pendiente y un punto respectivamente de una recta. Verifique que su ecuación en su forma punto pendiente es:

5y-x+18=0

• Despejando las ordenadas y acomodando miembros tenemos:

11 xxmyy

Ecuación De La Recta Que Pasa Por Dos Ecuación De La Recta Que Pasa Por Dos Puntos.Puntos.

• Considera dos puntos por los cuales pasa una recta como se muestra en la figura:

• A partir de la pendiente m y de la ecuación de la recta en forma de punto pendiente. Considera las coordenadas del punto A como las del punto pendiente.

1

12

121 xx

xx

yyyy

• O bien, la pareja de coordenadas del punto B

• Ambas son la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, como se puede observar es indistinto el punto que se sustituya, el resultado será el mismo y representará la misma recta.

• Ejemplo 2: Sean A(-1, 3) y B(3, -4), dos puntos que pertenecen a una misma recta. Verifica que la ecuación de ésta es la que se muestra a continuación, y que es indistinto el punto que se toma como punto pendiente. Sol. 4y+7x-5=0

2

12

122 xx

xx

yyyy

Ecuación de la recta con pendiente dada y Ecuación de la recta con pendiente dada y ordenada al origenordenada al origen. .

• Ecuación de la recta en forma simplificada. Considera un recta que pasa por los puntos A(x, y) y B(0,b), como se muestra en la figura

• Calculando la pendiente

• Despejando y, y ordenando los términos

• La coordenada b se define como la ordenada al origen, y es el punto donde la recta corta el eje y

x

ybm

0

bmxy

Ecuación de la recta en forma simétrica.Ecuación de la recta en forma simétrica.

• La siguiente figura ilustra una recta que pasa por los puntos A(a,0) y B(0,b).

• Al calcular la pendiente obtendríamos:

a

bm

a

bm

0

0

• Al sustituir m en la ecuación de la recta en su forma ordenada al origen y=mx+b, tenemos

• Ordenando los miembros de la ecuación

• Esta es la ecuación simétrica de la recta.

bxa

by

1b

y

a

x

Ecuación general de la recta.Ecuación general de la recta.

• La ecuación general de la recta es de la siguiente forma: Ax+By+C=0

• A partir de la ecuación anterior podemos analizar cuatro casos diferentes

• Caso 1. Recta paralela al eje x: Si A=0, B0, C 0; la ecuación se reducirá a By+C=0, de la cual se obtiene que y=-C/B, que representa una recta paralela al eje x.

• Haciendo a=-C/B, donde a es la distancia de la recta al eje de la abscisas, es decir, y=a, como se aprecia en la figura.

• Caso 2. Recta paralela al eje y: Si A0, B=0, C 0; la ecuación se reducirá a Ax+C=0, de la cual se obtiene que x=-C/A, que representa una recta paralela al eje y.

• Gráficamente x=a, donde a=-C/A, y es la distancia de la recta al eje de las ordenadas.

• Caso 3. Ecuación de una recta que pasa por el origen: Si A=1, B=1, C=0; la ecuación se reducirá a y=-x o x=-y, o bien y=|x|, que representa una línea recta con pendiente de 45º que pasa por el origen como lo muestra la figura.

• Caso 4. Ecuación de una recta en cualquier posición: Si A1, B1, C 0; al despejar y la ecuación general toma la forma

• Reduciéndose así a la ecuación de la recta de la forma pendiente dada y ordenada al origen, donde la pendiente sería m=-A/B y la ordenada al origen b=-C/A; que puede ser representada como se muestra

B

Cx

B

Ay

BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA

• Matemáticas Preuniversitarias. Dra. Lourdes Palacios & M.I.B. Norma Castañeda docencia.izt.uam.mx/cbicc/presentaciones/lourdes%20y%20norma/Ecuaciones%20de%20la%20recta.ppt