ECUACIONES VECTORIAL Y PARAMÉTRICAS DE LA RECTA

y

-----·~or-~a~1------~x-=x

EJERCICIO RESUELTO

1. Halla las ecuacíones paramétricas de la recta que pasa por A(-2, 3) y tiene como vector drrector ü = (3, -1) Comprueba sí los puntos P(4. 1) y 0(7, 1) pertenecen o no a la recta e indica otro punto diferente que también pertenezca a dicha recta

EJERCICIOS PROPUESTOS

Una recta queda determinada s1 se conoce un vector que lleve su d1recc1ón. llamado vec­tor d~rector, y un punto que pertenece a ella

La ecuac16n de una recta es una exprestón matemática que SINe para dec1d1r Que pun­tos del plano pertenecen a ella v que puntos no

Ecuación vectorial de la recta

Sea la recta r que pasa por el punto A(e,. a1} y que lleva la d1recc1ón ü = (u,. u,) y sea P(x. y) un punto cualQUiera del plano

Para que P pertenezca a la recta r, el vector AP trene que tener la m sma drreccrón que el vector u. es dec1r debe ser proporcronal a ü, por tanto

AP ;:: AÜ con A E R

Llamando {J y § a los vectores de postC:Ión de P y A respectivamente. se obt1ene

p = ii + 1\Ü 'J...E R

A &.:>t<~ ulttmd exo 9Stón se le denomtna ecuactón vectorial de la recta r y al vector ü vector director de dirección de ra recta

Ecuaciones paramétricas de la recta

Si en la ecuacrón vectonal de •a recta se sustttuyen los vectores ;s. ü y a por sus coor­denadas se obttene

(x. y} == (a,, a2) + A (u,. u2) = (a1 + 'J...u,, a2 + X.u .)

E Igualando coordenada a coordenada·

>.. E R

Estas expre5,ones se llaman ecuaciones paramétricas de fa recta

Las ecuaciones paramétncas son r a {x = - 2 + 3'A y=3-'J...

Al susttturr las coordenadas de P en una y otra ecuactón se obtiene el mtsmo valor de l\. en ambos casos Esto tndtca que el punto P pertenece a la recta

{4 = -2 + 3>.. { ;\ = 2 1 = 3 - ;\ => >..= 2 =>PE r

Por el contrario, al sustituir O se obtienen valores dtferentes, lo que signrtrca que O no pertenece a la recta.

{7 = - 2 + 31\ { h = 3 1 = 3-A. => ).. ;:: 2 =>0flr

Para obtener más puntos de r no hay más que dar valores a >..

Por e¡emplo, para h = 2 {X = - 2 + 3 · (-2) :::: -8 =» y= 3 _ (-2) = 5 => A(- 8. 5) E r

1. Comprueba S I los puntos A( - 2, 3). 8(2, - 3) y e perte necen o no a la recta que pasa por P(- 2, 6) y tiene como vector dtrector v = (0, 3) Calcula dos puntos más de esta recta

2. Considera la recta que pasa por el punto M(5, - 2) Y lle­va la dtrección del vector v = ( - 2, 2)

a) Calcula su ecuactón vectonal b) Halla sus ecuaciones parametrícas.

ECUACIONES CONTINUA Y GENERAL DE LA RECTA

Ecuación contrnua de la recta

Sr lo:~" c-.~ordenadas (u, u .. ) del Je~...tor diiE:~tor u de una recta r son ambas d1s1rntas de cero se puede despe¡ar e 1gualar el valor de' Pa' ·,,.,.,t ro A. en cada una de las ecuacio­nes paramétrrcas de la recta. obten•éndose la ecuac1ón continua de la recia

A.=-x = a, + A.u. u, ¡ x-a

e = a2 + 'Au ~ A. = y - al ==>

u2

Ecuación general de la recta

x- a, = y- a2 u, U

2

f d 1 Ó x - a, y - a2 Operando y s1mpii1Can o en a ecuac1 n continua. - = -. se obt1ene

u, u2 u2(x- a,) = u,(y - a))~ u2x - u2a, = u,y - u,a, ==> u.x - u.a, - u,y + u,a

2 = O

s1 se hace U2 = A. -u, = B. u,a~ - u.p, == C. fa úl11ma ecuación es de la forma

Ax+8y+C=O

Esta e1-pres16n es la ecuación general de la recta

A partir de la ecuaCI()n general de la recta se pueden obtener tanto puntos como el vector d1rector de la recta

• un punto de la recta seria cualqu1er punto cuyas coordenadas venhquen la ecuación. • El vector drrector de la recta es ü = (-8, A)

Rectas paralelas a los ejes de coordenadas

Las rectas paralelas al eJe de abscrsas OX t1enen como drreccrón la del vector (1. O) Por tanto su ecuacrón será de la forma y + e = o

RECTAS PARALELAS A lOS EJES

y

Y= k En particular la ecuac1ón del e¡e OX es y = O

Las rectas paralelas al eje de abscisas OY tienen como d~recc16n la del vector (O. 1) Por tanto su ecuac1ón c:erá de la forma x + e == O o

x=2

1 X

X=k En pan1cular. 'a ecuac1ón del e¡e OY es x == O

...:1 y=-1

2. Calcula la ecuac1ón general de cada uno de los lados del trrángulo cuyos vértrces son A(-1, 3), 8(2, 2), y C{2, -3)

EJERCICIOS PROPUESTOS

Lado AB {A(-1·3

), 8

(2·2) ~ x+ 1 = y- 3 =>-x-1 =3y-9=>AB•x+3y-8=0 A8 = (3, - 1) 3 -1

Lado AC {1:'-1•3

), C(2, -

3) => x+ 1 =y- 3 =>-2x- 2 =y- 3=>AC= 2x+ y-1 =O AC=(3,-6)..,{1,-2) 1 -2

Para simplificar los cálculos, se ha tomado como vector director AC uno paralelo al ob­tenrdo que, obviamente, tamb1én es director de la recta buscada

L d Be {B(2, 2), C(2, - 3) => x - 2 = O=> BC = X= 2 a 0

. BC = (O, - 5)

=~-~-

3, En cada caso, calcula la ecuac16n general de la recta que pasa por los puntos. 4. Calcula las ecuac1ones de las med1anas del trrángulo de

vért1ces· A(2, 3), 8(-1. O) y C(O. -3). a) A(2, -5) y 8(1, -3)

b) A(3, -3) y 8( - 3, -3) e) A{1, 4) y 8(1, -3)

d) A(-2, -4) y 8(3, -2) 5. Calcula las ecuaciones de las rectas paralelas a los e1es

que pasan por el punto A(-3, 5)

ECUACIÓN NORMAL DE LA RECTA

3. Escnbe un vector dtrector y un vector normal a fa recta que pasa por los puntos A(3, -3) y 8(0, -2)

4. Dado el segmento de extremos A{3, 1), 8(7, 4). halla la ecuación general de la recta que es medíatriz del segmento

EJERCICIOS PROPUESTOS

Vector perpendtcular a una recta

/ u

Dada la recta r de ecuactón genera¡ l\x + By + e, - o. el '' ·c,or r (A 8) e., un vector perpendtcular 0 normal a ,·

El vector dtrector de ( es i1 = ( -8. A) Para probar que el vector ñ es perpendrcular a la recta r. basta con ver que el product - - o o escalar de n y u es

_.....,....¿:_ __ ,J-.------xx ñ · ü = -A · B + B · A == o o 1 . otro dt'rector de fa recta r 2x - 3y + 7 0 EJemplo. Determma un vector norma Y _ =

Un vector normal 8-> n (2. 3) Y uno drrector d = (J. 2)

Ecuación normal de la recta. Ecuación normal canónica

:,ea O(a1• a

2) un puNo por el que pasa la recta r Ax + By + C = O Y sea P(x. y), un

punto cualqUiera de la recta. entonces se verrl!ca

ñ·OP=O

Susutuyendo las coordenadas se obtrene

(A 8) • (x - 81• y - a2) = O A(x - a,) + B(y - a2 ) = O

Esta ul~ma e1(presron es a ecuactón normal de la recta

e::. 1 ..:ha ex1 "'r se desarrolla y se dlvtde por el módulo de ñ se obtrene fa ecuación

normal canónrca

Vector dtrector. AB = [O - 3, -2 - ( -3}] "" ( -3, 1)

Vector normal de r ñ = [1, -(-3}] == (1, 3)

El vector deftn1d0 por los extremos del segmento será normal a la recta medtatnz:

AB = (7 - 3, 4 - 1) = (4, 3)

Por otra parte, el punto med1o del segmento pertenece a la medtatnz buscada

M( 3

; 7.

1 ;

4) ~ M( 5, t). con lo que la ecuación de la medtatnz será

r 4(x- 5) + 3(y- ~) = O~ 4x- 20 + 3y 125 = o~ 4x + 3y-

525 = O

o bren, multtphcando por 2 la ecuación r· 8x + 6y - 55 = o

6. Halla un vector dtrector y otro normal de la recta que pasa

por el punto A(-2. ~) y por el ongen de coordenadas.

8. Indica un vector director y otro normal de la recta de ecuación -3x + 2y- 4 = O.

9. Escnbe las ecuactones general. normal y normal canónica de la recta que pasa por A(3, -3) y 8( -1, 2). 7. Una recta ttene como vector normal el ñ :: (2. -3) y pasa

por el punto A( -1, 2) Escnbe su ecuación normal. su ecuacrón normal canóntca y su ecuacrón general

1 O. Halla la ecuacrón de la recta perpend•cular al segmento de extremos A(O, - 2) y 8(1, 4) y que pasa por el pun· to C(3, O)

ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA

Pendiente y ordenada en el origen de una recta

;::,~ l'dma pendiente de una recta r. y se denota por m, a la tangente tngonoméwca del flngufo a quG torma dicha recta con la parte pos1t1va del e¡e ox.

m = tga E! ángulo a se denom1na mclinación

Sr la recta es crec1ente la pendiente es POSitiVa, por el contrano s1 fa recta es decrectente la pendiente es negativa

Dada una recta r Ax + By + C = O con vector director ü = (u,, u1

) = {-B. A). su pen­-A d1ente es m = 8

Se llama ordenada en el o rigen de una recta r a! valor de la ordenada del punto de la recta cuya absc1sa es x = O

La ordenada en el ongen puede ser posaiva o negattva según que el punto de corte esté por enc1ma o por deba¡o del ongen de coordenadas

Ecuación explicita de la recta

S1 r AX + By + C = O se t1ene que el vector ü = (-B. A) es d~rector de r Por tanto.

tamb1én será dlfector de la recta el vector d = ~1 a = (1 -¿') ""' (1. m). ya que es

proporc1onar a ü y Siendo m la pendiente de fa recta

Además. s1 la ordenada en el ongen de r es b. la recta pasa por el punto P(O. b) Por X Y- b tanto. la ecuac1ón cont1nua de esta recta será 1 = --;n-

Operando y despe1ando se obuene la ecuación explfctta de la recta de pendiente m y ordenada en el ongen b

y = mx + b

Ecuación punto pendiente

La ecuac1Cf1 cont1nua de una recta cuya pend1ente es m y que pasa por el punto A(a,. a2)

es. x-a. _ y- a2

1 - m Operando esta expres1ón se obtiene la ecuacrón punto-pendtente de la recta

y - a2 = m(x - a,)

~JERCICIO RESUELTO

y

ECUACIÓN EXPLICITA

SI r Ax + By + e e o Oespe¡ando y se ltene

-A e Jl = Bx- 8

A como m = -8 y st se denota

e b "" - 73. se t1ene

y=mx + b

y= mx+ b

X

1 5. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(a, a2) y B(b~o b2) Verifica que su pendiente es:

---- --- --- ---- -- ---- -------------------. El vector AB = (b, - a,, b2 - a7) es director de la recta Por tanto fa ecuac16n continua de la recta será (supontendo que b1 * az).

b2 - a m= z b,- a,

x - a, y- a2 l b, - a, "" b1 - a

2

Despe¡ando en esta Igualdad, se llega a la ecuac16n expltc1ta y al valor de m

Y = ; - a, . (b2 - az) + al ~ b¡ - al . x - b2 - a2 . a, + a, => ' m = bz - al J 1 - a, b, - a, b, - a,

1 b, - a,

EJERCICIOS PROPUESTOS 1 1

• Calcula la ecuactón de la recta que pasa por el punto

A(-2, 4) y t1ene de pendiente m = t -

12. Calcula la pendtente y la ordenada en el origen de la recta que pasa por los puntos A( - 1. 5) y 8(2, -2)

POSJCIONES RELATIVAS DE RECTAS EN EL PLANO

Ew;lfdof do Afe/llndrla ( 326 a.c - 265 o.c .¡

Mntem!l!tco qrtcgo quo $lstomatJz6 todcM IO:'i conocimientos ooomélllcos dr su 6pocn on w obm 'C:Iomonros· quo fuo mforenc/;¡ mdxtmo de kt macomtlttca occidonr,1J por mus de

2000 ",""

TEN EN CUENlA

La c.omparactón de los .¡ectoros cJ·roctoros o normales o de las pcrd1entos no es suhc1ente p;¡ra dtsUngUir st dos rectas son pamleléQ o co•r'ICIO mes En osre caso es nec es.'lno apltcar atqun Clfter•o odl Clonnl como compraba~ si ~n p1.1ntv do unil pert"'.,ec'-' a :il otra o

11enon l.l m ma ordenllda ("l e1 o tg ,

Secantes Paralelas Cotnctdentes

-- r

o X

Nmgún punto en común Infinitos puntos en común

J

E)(1s1en vanos cntenos analittcos para determtnar la postctón relatMl de dos rectas. basa. do"' r.n la compnrac16n de algunas de su~ caractensttcas

Comparación de tos vectores dírectores o normales

Dos recta r y ~. do vec.tore& dtrectores i1 v ü'. y vectores normales ñ y ñ'. son • secantes )1 sus vectores do dlfecctón o sus vectores normales no son paralelos . es

dü' tr nr r¡on proporCionales

a * )\ a· ñ * ~ r:· • paralelas o coincidentes s• sus vectores de d1re~c16n o sus vectores normales son

r ~r 111 1lc ') j( 1r 1 ~ ¡oporcronalss

ü = >. Ü'

Comparación de las pendientes

Dos rectH:; r y .s, úe f.ll.:lfld1untes m y m' .. on

ñ = >. ñ'

• secantes SI sus pendientes son dtferentes m :f: m'

• paralelas o coincidentes <;1 sus pend1entes son 1guales m = m'

Estudio del sistema formado por las ecuaciones de las rectas

Üi;~Oa~ do~ M.:to::> sus ocuac1ones forn,dra un s1sterra. cuyu €:>tud1o nos permtte determ1nar su pos1C1ón relat1va No os nccesano 11evar a cabo su resoluCión completa ya que basta con comparar las ecuaciones generales para deterrTl!nar de Qué tiPO es el s1stema Las rectas de ecuac1oncs r Ax + By + C = O y s A' K + B'y + C' = O son

• secantes SI ~e ver•ftca ..1. .-, .!!. A' ~· B' El s. ~tema que fori'J'lan es compat.Oie determmado. esto es. ~~ene soluc16n u mea D1cha soluc,on es el punto de rntersecc.ón de ras dos •actas

A B C • paralelas f., A' .. 7f .;: C'

El Sistema es •rcompauble es oec1r. 1'\0 trene solución y, por tanto. no extsten puntos comunes a ,as dos recta&

• comctdentes SI se venttca ~ = .!ª- = .f. A' B' C'

El SIStema es cornpaHble tndotermtnado. esto es. tiene 1nfmrtas soluctones que se conespoPden con todos los puntos de la recta.

Ejemplo .. Halla el punto de corte de las rectas r 2x - 3y - 1 = o y s: 2x + 3y - 7 = O.

las rechlS son socaPtes Yd que 2 tf. ~-;, Para hallar er punto de corte. se resuelve el s1stema·

{2x - 3y =- ' {4x = 8 => x == 2 2x + 31' = 1 => -6y = -6 => y = 1 => P(2. 1)

X

[ 1?0 J

~-------~~----- -- - -- ___ L. _ ---------~--

Haz de rectas secantes

Ce ma haz do rectas -secantes con vértice P(a, b) al del p no que pa 10 PQr 1 Pll"l1o p

LO ecu .. 16:1 de cu IQu cr recta de haz o CIJJe ón de h.:>z .,00

Y- b = m(x- a)

dood m es un p~~t,metro QUE' PUede tornar cua:q~ cr v.lfor real y repc; Cnt.l pene! '1te do cad<J recu

Par .. cada valor quo so as•gne a m se outendrá t.na recta concreta oel haz P<Jro que. el haz <liH~de completo .• se donara al'\ad1r In mera x = a p,uralela a c,e ov y Qll no esté lnCIUicln ' r , J1 1 1 , ,

flemplo. Determina el haz ele rectas cuyo vértice es e/ punto P(3, -1; .

Susmuycndo en la l_U;J(':IÓn Jul hill .-L Ob!mne {y ¡.. 1 ... m(x- 3) m E R¡ u rx- 3)

U" haz de recws socontos con vértiCe P también puecJe ven,r detorm n~do por dos roct Ax ~ By + C • O Y A'x + B'y + e• = o quo SC' corran en p En e.ste caso, la ecuac1ón del hllz es

Ax + By + C + A.(A'x + B'y + e') = O

donde A. es el parámetro Que Put..J~:: tomar cualqUier vatur r~..~~ pero quo en este caso no repre enta fa pendaento Además para que el haz quede completo se debe ar~td.r la recta A'x + B'y + C' = O

Haz de rectas paralelas

se ltamu haz de rectas paralelas a la recta r Ax + By + e = O ,¡ con,.!.mro de todJS las recttts del plano que son paralela., 3 r

La ecuactón de este hnz será

Ax +By+ K= O

dando K es un parámetro que puede tomar cualQUier valor reul

HAZ DE RECTAS SECANTtS

HAZ OE RECTAS PARALElAS

y

1. Calcula la ecuación general de la recta paralela e 2x - 3y + 5 • O y que pasa por el punto A(-2, 4)

Todas las rectas paralelas a 2x - 3y + 5 = O son de la forma 2x - 3y + k • O

Como la recta que se ptde debe pasar por ( -2. 4), se deberá cumplir que

2 • (-2) - 3 • 4 + k= O :::> k = 4 + 12 m 16 => la recta buscada es 2x - ~Y+ 16 • O

8. Halla el valor de k para que las rectas kx + 2y - 3 = O y x + 2Ky + 1 =O sean paralelas.

~. Halla la J>OS'cfón rolattva de las recta"

[x = 2 + e fx = 1 - s '· }y = 1 + 3r Y 5' lY = 2 + s

EJERCICIOS PROPUIITOI

k 2 Se deberá cumplu que T • 2k =k-' 1 => k = 1 y k ... -1

Pura averiguar su pos1c16n relativa Ge resuelve el Sistema

{2+1,..t-s {,,. 1-s ~-2-3s 2+s -4s•4 1 + 31 • 2 + S ~ 1 + 3( 1 S) • 2 +S

Al obtener soluciÓn ün!Co. las rectos son SCCílntes y se cortan en P(2, 1)

·---~--~

13. Estudia la posiCión relai1V41 de las rectos n) 2x -t 5y - S • O y 3x - 5y + 5 • O b) 3x + 5y 5 • o y 9x + 15y -t 5 • O

14. e !tufo 1 ocu c1ón de la recta paralela e la recta r 2A t y +- 1 • O y que pa${1 POr el punto de lnteJSecdón d IJS rectas s· x y + 5 • O y r .~ Y ~ 5 • O f

o

DISTANCIA ENTRE PUNTOS Y RECTAS

X

Distancia entre dos puntos La dtstanc~a entrt- los puntos P(p,, p.¡) '1 O(q1, a,) del plano cotnclde con el módulo del

vector PO Por lanto

La distancia entre Jos puntos P(p p) y O(q. q2) es

d (P. O) = y (q, - p,}2 + (q1 - p2)1- = y(p, - q ,)i + (pl :.._ G1Y

Ejemplo. Halla fa distancia entre los puntos P(-2, 4) y 0 (- 1, - 3)

d(P O)= y(-1 +2)2 +(-3-4)1 = yl1+4'9- V5o =50 unlddCI(;;S de long1tud (u)

Distancia de un punto a una recta

Dados un punto P y una recta r. se ent,ende por distancia del punto P a la recta r la m1n1ma d1stancta entre d1cho punto y cualQUier punto df> l • C(!Ct<J

Se obt1ene en la perpendtcutar trazélda desde el punto a la recta Se quiere calcular la diS­

tancia del punto P(p, p2 ) a la rect? r Ax + Bv + C == O

p

El vector ñ = (A. B) es un vector perpendiCular a la recta. y Q(q,. q)) un punto cualqu1era

de la recta S1 se rea!iza el producto escalar de ñ y de OP y se toma su valor absoluto.

se obttene

lñ · OPI = lñl · !OPI · lcos a l = lñl · IOPI · d = lñl · d IOPI Entonces

jñ. OPI IA·(p,- q,) + B·(p?- q,)l d = '_, = , IA2 + B' =

1n1 V'

/Ap, + Bp2 - ( -C)I

1,/A2 + 82

IAPt + BP2 - (Aq, + Bq1) 1

'l/k+87

La distancia del punto P(p,, Pz) a la recta r: Ax + By + C = O es

jAp, + Bp2 + Cj d(P, r) = VA2 + B2

=

Ejemplo. Halla las distancias de los puntos P(-2, 4) y O( 2. 11) a la recta r: 3x - y + 5 = O.

13·(-2)-1·4+51 _l-6-4+51 5 V1o -Para P. es d(P. r} = V32 + (-lY - v1Q = v1o '~ ~u

- Para O. es d (O. r) = 13 . 2 - 1 . 11 + 51 = _o_ -:: O u y3) + (-1)' 00

Este resultado 1nd1ca que el punto O pertenece a la recta r

Distanc1a entro don rectas

Se en unu por dlallmc.ln ontre dos rectas a ra menor distancia quo so puotJe ~ener a 10 rr •n P' 111 • di coda un.1 úe ellas

oov .... mente. Cl lu' roc.!1D r)fl sccumes o cou1crdentes la d1stanc1a entro ollao oq o lnto resa pcr tanto. únrr_¿¡rnonlo ol coso de rectas paralelas

La distancia entro lo u roctM paralelas r Ax + 8}' + e = 0 y " Ax + Ay+ C' • 0 es

IAp, + BP: + e· 1 e· - e¡ d (r, .,) d (P. s) = \ A + 8 ' = Y A2 + 8 1

g¡endo P(p,. p7) un pur 110 c::unlqu1om de la recta r

EjemplO. Calcula /tJ dlsttmcln entre las rectas r

13 - 21

d(r s) = --;::;::::;::.::.;~ v'27 + < -1 y

-~ = v'5

2x - y + 3 = O, y s . 4x - 2y + 1 = O

,...

\" urudades de longrtud (u)

y

p

~ lj (

...... _, o

\ d( t, S) o d(r, s) d(P, s' d

~---------------------------------, 10. Comprueba que el triángulo

A(4, 4) 8(1 , -1) y C(6, 2) es ísósceles y calcula la ecuación de la altura sobre el lado desigual.

Al4, 4)

11. calcula el área del triángulo de vértices A( -3. 2) 8(1 -2) y C( -6, -3)

y 1 1

0-6, -3}

EJERCICIOS PROPUESTOS

Para demostrar que es Isósceles se comprueba que los Indos AB y CB trencn la m1sma longrtud.

d(A, 8) = \'(1 - 4)2 + (-1 - 4)1 • \19~- 25 y34 umdades cJo longrtud

d(C, 8) = \ 1(1 - 6)1 + (-1 - 2)' - W5 ¡:g V34 umdados cJr longitud

La altura correspondrente al lado des1gua1 es la recta perpendiCUI<~r al Indo AC y que pasa por B. Por tanto Ae es su vector normal.

ñ = .4C = (6 - 4. 2 4 > - (2. - 2}

La ecuación de la altura es:

2(x - 1) - 2 (y + 1) O -~ x - y - 2 O

. . base · altura ~ · AH El area del tnangulo es A = -- 2 - • -

2 -

BC :e d(B. C) = V(-6 - 1)2 + ( 3 + 2)1 .. Y49 + 1 - \!5o u

La distancra AH es la d1stanc1a de A a la recta BC. la ecuación de la recta BC os.

. ~ ae S -- = - ·~ X - 1 {8(1 - 2) X - 1 Y t 2 BC = (-7, -1) -7 1 ly + 14 ~X ly 15 • 0

v5o . 32 v'5o 32

Po1 tanto: A = ---2-"'-- = 2 • 16 unidades de superfiCie (u').

15. Comprueba s1 los s•gu1entos triúngulos son equiláteros. 16. a} Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A { -2. 3) y 8(2. 2). Isósceles o escalenos

a) A(-2, 1). 8(0, 3) y C(3. 7)

b) (..!. ..!..) (3 1.) ( 1 A 2' 2 . B i· 2 y C 1, ~2 v':i)

b) Halla la di6tanc1a del punto C(lO, O) a la recte que pasa por A y 8

e) ¿Cuál es la pOSICIÓn reiEJl iVél de A, 8 y C?

;

AN<:ULO HE DOS lU~CTAS

IJIRCICIOI RIIUflTOI

12. Cnlculn ol ilngulo A dfJI trll\ng~1lo do v~rtlcoo A(2, 1 ), 8(4, - 5) y C(O, - 3)

13, Cnlc ultl la r«.~chl por¡11mdlculur n f X 1 Y J 0 y tlUO ¡>l\'JII pot el runto fl( J. 3)

Ángulo do dos roctas como se mutJ~tra e.n "' f¡gura cto la tZQU crda dOS rectas secantes dMden el plano en cuatro tlngutos JgunlC1' dos o dos LOs ángulos ct y ~ son suplementDnos entre si

So Uarníl óngulo formndo por dos rectas al menor de los ángu'os que de1erm1nan

u tmgulo quo tortllr)n dos rect:~s se p1.1ode dctermtnar de dos formas

Ct\lculo o portlr do lo!) vectores directores o los normales

·lun lo ,,:, v ... te.._ I0~;1urv;, de cllrc:; ....... .J 1 e , ) s r:..~sr;t.ctrvamente se cumple que·

J- -, - --:- Ut • Us COS l~ • COS(f S) • jCOS (Ü,' u,)f •o.1 ¡-¡ IV, • <Js

SIr h'-t By+ C • O y .s A',·+B'y+C' • O. es fi, = (-8, A) Y Üs = ( - 8', A' )

!--"'or tonto

IA·A'+B·B' 1

cosn = c.o (1 ~) • \ '(-8) + \ B') +A' \ :\ + B \ ~ ' + a•z

~~ mtsmo cá!cuto os vñl1do st se IJIItzan dos vectores normales a las rectas

Cálculo n partir do las pendientes

St r y,. rm +by" y • m'x -t b' sus penCltcntes son m= rg a y m' = rg a"

l;l éngl.llo Qu form<ln ambG rectas será o bien n = o - o o blt>'"l a 1 OC!'- a + a En am­bos CclSOS lg ,, e pued(l oblú"Cr como

RectJs perpendiculares

Do, rectus S(tll porpondlculores st forman un ángulo de 90° Sus pend•entes son tn­vcr"o~ y oput"l ·r

L " r <:m r Y , CiC 1 1 guro son perpendiCulares ObseNat1do 'os ángulos que se forman wO opiO IJ QUO m c:s tg (l (TI = lg (90 + <'í)

Por tonto tg (90 ~ ··) son (90 + n) • cos n l

m .. ... -c.-otg ('( = coc (90 + n) -sen e, - - ~ --tg a m,

Ali (2. 6)• (1 . 3)} IIC ( 2, 4) - (1 ,2) ~COSA

l n ecunrtón u~ptlcl\n de r es Y • - x + 3 y, por tanto, su pendiente vale m, = -1

lt1 pencltentü de lodos lns rectos perpondtculares a r valdrá m "" ,

l ll ecu K Ión do In recta bu senda os v - 3 ... 1 (x + 3) ~ x - y + 6 = o

!JIRCICIOI PROPUESTOS

t7. Ct,lculo (11 ónuuto Qlu torm.m lll$ roctns· &) 1 ~~ 4y • O y ~ 2x f- 2y ·1 '3 • o

b) r y x !l y s y • 2x -+ 2

18. Cntculn tos ángulos del tnéngulo de vérhces A(4, O). B(- 1, 6) Y C(- 6, O) e 1ndlca que t1po de tnéngulo es en función de sus ángulos.

PUNTOS Y RECTAS 5 1 M É1'RH.:os

Simetría central

uado u1 oJnto 11 1 M IJ¡r ld0 contro de In slmotrlo los J)Lmtos 1\ y A' con mót11ro en la simetrla central do contro M c..ut1ncJo M <•; ol punto modtu clol nogmnoto (JI extr 'mo ~ Y A'

La d1stanc1a entro los puntos M y A es 1gua1 a In cJtstanctn flntro los puntos M y A'

s1metría axial

Dada t 1 ·ecta 1 r llarr 1d 1 eje do lo slmetrla 11 >s puntos A y A' son .,u-n~triCO:l , n 10 simetria axial de eje r Ct ando t •1 • gmt~nto \.4.' ( s pcrpon<ltC\IIur 11 r y orlrJrnñ:; or rJunto de conf je este .E;qmcnto con el OJO os su ~)unto modto M

La d1stanc1a del punto A al OJO comcKIO con lo dtstanc1o dol punto A' ol o¡o

t..a J¡gura s•métnca de una recta cualqUior,a del plano. tnnto on uno Slmetrfo contr 11 con o en 1./la s1metria axtal. es otra recto Para lldllar esm rectn S1mótncn os suhcfonto con cutcu lar tos puntos s1métncos a dos puntos do la racta de partKta

EJERCICIOS RESUELTOS:...__. _____ _

y

. A

14 Calcula el punto simétrico de A(3, 2) respecto de la

Se trata da una ~lrnotrln oxlíll el<> OjCJ r St por A.

cotculn 111 roctu & ptJilJ!)rttllt ttJru rl r (Jii~ 11 t•m

recta r · 2x y + 1 O

15. Calcula la recta $lmétrlca de r 2x y = O respecto de la simetría central con centro M(1, 2).

X

S • {A(3, 2) ñ(2. - 1)

x - 3 y - 2 - • ~ ~ - x i 3 • ?.y 11 o S X 1 2y 2 - 1 1 "' o

So halla d punto M lnter5ccción do r y s quo scró ul pu11tO rr11JdiO <lt 1 (Jrn '"'o AN,

{2X - Y + 1 • O { '2x - y 1 1 • O 5y 1 H> • O e;) V"" 3, X M( 1, 3) x + 2y - 7 • o d - 2x - 1\y 1· t 4 • O d

¡ A(3. 2) M(1, 3) A'(a. t>)

3+n 1'"""CI ~ ~- - 1. • a ,, A'( 1, •1)

se tomon dos puntos P y o cualesqlllora clo r y so corcul(ut u6 81111Óhlco JI' y 0' respecto de M tonif·nc1o on cuento que M soró ol punto rumllo (lt IO!l oomon\Oll f'J(J ' y w La roct.l qU(' pasa por p. y por o· os la ructu l)llliiJiriGll l>u oodo

¡P(O, O) O r 'l P(O, O) {¡ r M(1, · 2) ::::> -f-• 1 t=> u• 2,

P' (a, b)

¡0(1 , 2) 1 +D 0(1, 2) r M(l, - 2) t=> ~- 1

O' (11 b)

Ln recto P'O' pusn por P'(2, ")y llene vwctor d1roc tor

pro:' . (1 - 2, - 6 + 4) • (- 1, - 2)

x - 2 Y-1 4 214 y 4 P'O' •-• o - x • - 1 -2

b O'(t, O)

X

EJERCICIOS PROPUeSTOS

19. Calcula el stmétnco da P( -2, 3) rospecto dOI punto M(l -4)

21. Clllculu 1o rocto sirnótrtClt d 1 010 el Of(lonnd 8 ttJilf)t>C.to dO y • X ·1 1

20. Calcula el sirnétrtco de P(5, - 1) ror;pocto de In lllCiu

rx-y+3=0

22. Hnlln ol oxtr01110 B <lnl IHl{lrHOnkl iUf t!IOIItlo A(?., 1) V llt rnodlntuz dol t~c,¡monto o • r: x 1 2y O O

LlG \RES GEOMÉTRICOS. MEDIATRIZ Y BISECTRIZ

~ Pu#g Adam (t900-1969)

lklo s lás ll'IIX'It.tt.it\5

n~~ espa/loles del ~lo lfJí..

T~ en didk:lca de s ma!i'mét.>..".l..~ y es~biÓ numerosas ovN-caQOne.S en::e las que déstaca su -Geomettn mét!ica".

y

Lugar geométrico

.. ' Se Uama lugar geometrico del plano -'~ conJunto de todos lo~ pun•CN de. P'áOO a

Fbr e¡emplo. una recta es e rugar geométnCO del plano formado por Jos P:AI!OS qoo eza:¡

arneaefoS con un punto dado y con una dlrecCJón dada. La ecuaC!6n de \JO lugar geométtJC.O es una relaoón entre laS vanables /e y q ~ 0~

- Las coordenadas de cualquier punto P (x v) del JUgar geornéwco sa· '"!a =en ra

ecuactón - St las coordenadas de un punto cumplen la ecuact6n. este Pertenece al f,_;r•af

geométnco

Med1atnz de un segmento

Dado un segmento de extrefl'lOS A y 8 se denomtna med1atnz r't1 diCho Gegm€rno a '" recta r q0e es pe<pend1cular a d cho segmento por su p¡.;r o rr" 1 o M

TodOs los puntos de la medatlll verifJCaO que su ólStaflO"~ ;:~ A ':Dincide con SIJ (f:<;anoa a B

Sea P un punto cua1qUlera de la medJatnz. r Y!

los tnángu!os APM y BPM verfrcar que • Tienen un ángulo común. PMA == PMB = 900

• Tienen un 1ado comun e PM • Tienen dos lados 1guales MA =- MB o

Al rener un ~ngu o y dos !ados cotncrdentes. los r~áng .. O<> son •guales y, por tanto

PA = PB

X

En vtsta de esta proptedad se puede defln•r la med1awz de un segmento corr.o ~aar geométriCO

La medtatnz de un segmento de extremos A y 8 es el lugar geométrico ne loS putr.os

del n ., •t') r:¡ue equ1d stan de A y de 8

Este lugar co nc de con la perpendtcular al segmento por S«.. punto rned10

Bisectriz de dos rectas

Dacas dos ree!as r y s se denom,.,r,.., b1sectnces de dtct>.as rectas a las rectaS b V b. que dMden a los ángu'os determma J· v · r , s en dos partes rguales

Las rectas b, y b~ son perpendiCUlares ya que

; +%=~== 'f ~900 Todos los puntos de la btsectnz verd1can que su dtstancJa ~ r cotnctde con su dtstarlCJ.3 a Sea P un punto cua\qutera de b, Los triángulos OOP '1 OF?P son rectángulOs en O Y €11' fl respectivamente, t'eneo la hipotenusa común y otro angu10 '! · tmbrén comun Por tan•.o.

son 1guales y en consecuencra PO = PR 2

Esta proptedad perrntte deflnlf la bJsecwz de dos rectas como lugar geométnco

la5 b1sectnces de dos rectas r Y s constnuyen el Jugar geometnco de tos puntos a .. P'"'"' Oue r.qwdtstan de r y de S

Cálculo de la mediatnz de un segmento , __ g1, u .• ntv de extrer1o, ,.,._a, a2) y B(b, b

2¡

,J\1 .... -

¡>ara calcu'ar la med1atnz del segmento AB

1 se calcula el pLnto med10 M del segmento AB.

2. se calcula la perpendicular a la recta AB y que pasa por M

Existe ot•o método para calcular la med1atnz del segmento A8 pan1e'1do de la def•n1C16n corno lugar geométnco es el con¡unto de puntos P (x, y) que venhcan

d(P. A) = d(P. B) => Y(x - a.)2 + (y - a~v =- V!x - b.)2 + (y - b1Y

Elevando esta últ1ma expres1ón al cuadrado. operando y reduc1endo se obt1ene la ecuación de la med1atnz del segmento AB

Cálculo de las bisectrices de dos rectas

sean las rectas r. Ax + By + C = O y s· A'x + B'y + C' = o

se aphca la def1ntC1ón de b1sectnz como lugar geométnco es el ccn1unto de los puntos P(r.. y) que equ1d1stan de las rectas r y s

d(P r)=d(P. s)=> IAx+By+CI IA'x+By+CI ::::>Ax+By+C =+A'x+B'v+C

\1A +Bl VA'7+B'2 vA· +B' VA'2 +B'

según se tome en la ultima expres1ón el s1gno + o el s1gno -, se obtendrá una u otra b1sectnz

j1a. Calcula la mediatrlz del segmento de extremos A(- 2, 3) y 8(4, 1)

: 17. Calcula las b1sectnces de la rectas r 3x + 4y - 10 = O y S. X- 2y = 0

EJERCICIOS PROPUESTOS

Primer método

Punto med1o de AB: M =(· 2 2+ -\ 3 ; 1) = (1, 2)

Perpendicular a AB por M

{M(1, 2) AB = (6, 2) (3, _ 1) => 3(x - 1) - (y - 2) = O ~ 3x - y - 1 = O

Segundo método

Sea un punto cualqUiera P(x. y) de la mediatriz

d(P. A) = d(P, 8) ~ \ l(x + 2)7 + (y- 3)2 = y(x- 4)2 + (y- 1)2::)

~ x2 + 4x + 4 + y2 - 6y + 9 = x2

- Bx + 16 + y 2 - 2y + 1 :::::> 3lC - y - 1 .., O

Sea un punto cualquiera P(x. y) de las b1sectnces

d(P,r) = d{P.s) ~ 3x+4y -1_()_ = ~ x- 2y ~ 3x + 4y- 10 = ±x-2r V32+42

\ 1· + (-2)~ V5 V5 b, (3Vs - 5)x + (4Vs + 10)y- 10\rS = O

b2 : (3Vs + 5)x + (4\'S - 10)y- 10\'5"" O

23. Dadas las rectas r. x -- 3y + 4 = O y s· x + y - O, calcula sus b1sectnces y comprueba que

24. Dado el tnángulo de vérttces A(5. 1). 8(3. 7) y C(-2, 3):

a) Calcula el cncuncentro y el rad1o de \a c1rcunferencía c1rcunscnta a) Se cortan en el punto de mtersecc16n de r y s

b) Son perpendiculares. b) Calcula el incentro y el radio de la circunferencia 1nscnta

l

l 1¡

1

EJERCICIOS ~RESUEUOS--+------------------

Poatctón relativa de rectas

Eatudla In pastelón relativa de las slgul&ntes. rectos, segun los diferentes valoros del parámetro m r· mx- (2m - 2)y + 1 = O

s (8m-3)x+(2 - 10m)y-1 =O

Ángulo de doa rectas

Dada la recta r 2x + 4y = 5, halla la ecuación do la recta s, perpendicular a r qua pasa por el punto P(1, -2)

¿Qué ónoulo forma la recta s con la recta t y= x + 5?

Puntot simétricos

• Un rayo parte del punto P(-1, 4) en dirección al espejo determmado por la recta

, . 'J( + 2y- 2 =o SI el rayo reflejado se observa en et punto 0(3, 2), calcula en qué punto del espejo incide

el rayo

r :JPt2y- 2=0

Las rectas r y s serán paralelas s1 m 2-2m m

""'s-m---3 = 2 - 10m ~ Bm - 3 1 -m

= 1 - 5m

Operando se obMne la sigUiente 1gualdad

m - 5rrr = am - 3 - anr + 3m => 3nr - 1 Om + 3 = o

Se resuelve la ecuac16n de segundo grado·

1 o = v' 1 00 - 36 1 o :t 8 m = 6

= - 6- ==> m, = 3,

- Para m = '3 las rectas son paralelas

r 3x 4y + 1 = o y s · 21 x - 28y - 1 = O

- Para m - ~ las rectas son c01nc1dentes.

1 4 - 1 4 r 3x + '3Y + 1 "' O y s 3x - 3Y - 1 = O

1 - Para m -¡: 3 y m :f. 3, las rectas son secantes.

Como ñ, = (2, 4), un vector perpendicular a él es. por e¡emplo, ñs = ( - 4, 2) - ( - 2, 1 ), por lo que la recta buscada es de la forma - 2x + Y + e = O.

Al pasar por P(\, -2), se debe cumplir. -2 · 1 + 1 • ( -2) + e = O=> e = 4

La ecuacrón general de la recta s ped1da es - 2x + y + 4 = O

La pendiente de la recta t es m = 1 y la de s es m' ~ 2, as1 el ángulo oc que

forman ambas rec\as vrene dado por

tga= = -- =- =-=0333 1

m - m' l ! 1 - 2 1 ~- 1 j 1 1 + mm' 1 + 1 2 3 3 '

Con lo que resulta a = 18.435° = 18Q 26' 6".

Los ángulos que forman los rayos 1ne1dente y refle¡ado con la recta r deben ser 1guales.

Sr O' es el 51métrrco de O respecto de r, los tnángulos OTM y O' TM son rguales y.

por tanto, sus ángulos OMT y éfMf son 1guales Así resul1a que para calcular M es suf1crente con hallar el punto O' y la 1nterseccrón

de r con PO'. • Recta 00': es la perpendrcutar a r por O

2x - y + e = O ~ 6 - 2 + e == o ~ e = -4 => 00' = 2x - y - 4 = O

• Punto T. Intersección de r y oo·

{X + 2Y - 2 = O ::..) { 2x - 4y .,. 4 = O ~ y = O, X == 2 ~ T(2, O) 2x - y - 4 == O 2x - y - 4 = O

• Punto O'(a, b) Se uhhza que Tes el punto medio de 00'

a+3 b+2 -r = 2 ~a= 1, -2

- =O~ b = -2 => 0'(1, -2)

• Recta PO'· El vector drrector es PO' = {2, -6)- (1, -3)

x+1 y-4 ---=--=>3X+y-1 ;:::0 1 -3

• Punto M lnterseccrón de r y PO'

{x + 2y - 2 = O {-3x - 6y + 6 = O 3 1 O~ 3

+ 1

_o =>-5y+5=0=>y== 1, x=O=>M(O, 1) x+y- = x y- -

-----~e~-------------------------------------------------------------------

Punto• y rectes notables del trl6ngulo

Dado el triángulo A(3, 2), B(1, -2) y C(-1, O)

a) Calcula las ecuaciones de los lados y las coordenadas de sus puntos medios.

b) Calcula las ecuaciones do las medianas y las coordenadas del bancentro.

e) Calcula las ecuaciones de las alturas y las coordenadas del ortocentro

d) Calcula las ecuaciones de las med1atrlces y el c1rcuncentro

y +

+ .... 8

1 ~

y 1 1 + + . ~ ¡

t ~

A 1 ~ ~ t

~

• + !3 +

f , y f 1 ~ -~ J.

L <

+

X

X

X

) AB {~(3. 2) X • 3 y - 2 a · AB ( 2, - 4) .., (1 , 2) ::) - 1- = - 2 - ~

?x 6 • y - 2 = AB • ?x - y - 4 e O

AC {A{3, 2) = x - 3 = y 2 ") AC • ( 4, - 2) - (2, 1) 2 1

= X - 3 - 2y - 4 = AC • X - 2y + 1 = o

CB {S.. 1, O) CB (?. 2)

= x+1 .., L ~ (1, ·1) 1 -1

y ~ CB x + y + 1 = O

M(3 _ 1 2) 2 . 2 (1, 1). Ne }1 2 2 2_), (2, 0), p( ·12+ '. ~2) = (0, -1)

b) Las med1anas AP. BM y CN ¡on las rectas que pasan por un vért1ce y por el punto med1o del lado opuesto. El bancentro G es el punto donde se cortan las tres med1anas

AP . {A(?. 2) = ! - 3 = y - 2 ~ x - 3 = y - 2 ~ AP · ( · 3, -3),.. (1, 1) 1 1

= AP • x - y - 1 = O

(8(1, -2)

BM: BM = (0, 3) = BM • X e: 1

{C(-1. O)

CN: CÑ ., (3, O) ~ CN • y= O

e) Las alturas son las rectas que pasan por un vért1ce y son perpendiculares al iado opuesto El ortocentro. H. es el punto donde se cortan las tres alturas

hro: x - y+ k = O Pasa por A (3. 2) ~ 3 - 2 + k = O = k = -1 = = hac X- y- 1 = O

h,4C 2x +y+ k= O, Pasa por 8(1, -2) ::) 2- 2 +k::: O =* k= O ~

~ h~C: 2x+ y= O

hAB: x + 2y +k= O. Pasa por C( -1, O) = - 1 +O+ k= o ~ k= 1 ~

~ hAB: X + 2y + 1 :: 0

r-y-1=0 2 H: ~ 3y + 2 = O ~ y = --

X + ·2y + 1 • 0 3' X=_!_~ H = (-!- .::1) 3 3' 3

d) Las mediatrices de los lados del tnángulo se cortan en el c~rcuncentro R. Msc · x-y+ k= O. Pasa por P(O, - 1) ::) 1 + k= O ~ k= - 1 ~

= MIIC X - y - 1 = o M)C 2x+ y+ k=O. Pasa por M(1, 1)::) 2 + 1 +k=O =k= -3 =>

::) MltC. 2x+ y- 3 =O

Mw: x + 2y +k.= O. Pasa por N(2, O) ::) 2 +O+ k= o => k= -2 = ::) MAII: X + 2y- 2 = o

R. {X- y- 1 = O ~ 3y _ 1 = O= y :::.l. 4 R (4 1) ' X + 2y - 2 ::: 0 3' X ::: 3 = = J' J

-~c-., w:::cf"" V e<-"" •J o.l

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~O..llí\.~l \.-l (~ x:: ~1 t t · ~1

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efe 2

EJERCICIOS DE RECTAS EN EL PLANO

1.- Halla el ángulo que forman las rectas: r: x + 2y - 3 = 0 y s: 3x - 5y + 4 = 0

2.- De entre los siguientes pares de rectas, indica cuáles son paralelas, cuáles son perpendiculares o cuáles se cortan en un punto sin ser perpendiculares, hallando las coordenadas del punto de intersección en su caso:

a) r: 2x + 3y = 0 y s: 4x + 6y + 8 = 0 b) r: x – y = 0 y s: 2x + y – 1 = 0 c) r: 3x + 2y – 5 = 0 y s: 2x – 3y + 4 = 0

3.- Halla la ecuación de la recta perpendicular a r: x – 2y + 1 = 0 trazada desde el punto de intersección de las rectas: s: 3x – y – 2 = 0 y t: x + y + 2 = 0

4.- Dadas las rectas r: 3x + y = 0 y s: 3x + y + k = 0, determina el valor de k para que la distancia entre ellas sea de 2 unidades.

5.- Sean los puntos A(1,0); B(0,1); C(3,3); D(4,2). Demuestra que es un paralelogramo y calcula su área.

6.- Halla la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos A(1,-2) y B(3,0), y el ángulo que forma dicha mediatriz con el eje OX.

7.- Halla un punto de la recta x – 5y + 4 = 0 que equidista de los puntos M(1,4) y N(-1,-2).

8.- Halla el área del triángulo determinado por el punto C(1,-3) y por los puntos de intersección con los ejes coordenados de la recta que pasa por A(-1,3) y B(1,4).

9.- Los puntos A(2,-3), B(-2,-2) y C(0,3) son los vértices de un triángulo. Calcula las siguientes ecuaciones:

a) De la mediana correspondiente al vértice A.b) De la altura correspondiente al vértice B.c) De la mediatriz correspondiente al lado AB

10.- Halla el punto simétrico de A(-1,2) respecto de la recta 3x – 2y + 5 = 0

11.- Halla las ecuaciones punto-pendiente de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas: : 4 3 0r x y+ = y : 3 4 21 0s x y− + = .

12.- Halla el ortocentro del triángulo determinado por el punto C(-2,-1) y por los puntos de

intersección con los ejes coordenados de la recta r: 4 2

5 5

x t

y t

= + = − −

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MATEMÁTICAS I – EJERCICIOS DE RECTAS EN EL PLANO – Hoja 2

1.-Halla el valor de k para que sean paralelas las rectas: ( ): 2 2 2 0r k x y k− − + = y

( ) ( ): 1 1 17 0s k x k y− + + − = . Solución: 3

12

k k= = − .

2.- Dadas las rectas ( ): 1 2 2 0r k x y k− − + = y ( ) 2: 3 4 0s k x y k− + + = , encuentra los

valores de k para que sean perpendiculares. Solución: 1

23

k k= =

3.- Un rayo de luz r, que pasa por el punto A(1, 2), incide sobre el eje de abscisas y se refleja formando con él un ángulo de 30º. Halla las ecuaciones de los rayos incidente y reflejado.

Solución: Rayo incidente: 3 6 3

3 3y x

+= − + . Rayo reflejado: 3 6 3

3 3y x

+= −

4.- Dado el triángulo de vértices A(1, 3); B(-1, 2) y C(0, -3).

a) Calcula las coordenadas del baricentro. Solución: 2

0,3

.

b) Calcula las coordenadas del ortocentro. Solución: 29 25,

11 11 −

.

c) Calcula las coordenadas del circuncentro. Solución:29 3,

22 22 −

.

d) Comprueba que los tres puntos están alineados (recta de Euler).

5.- Dada la recta : 4 2 0r x y− + = y : 2 3 4s x y− = − :a) Calcula su punto de corte. Solución: (-2, 0)b) Demuestra que el punto P(1, 2) pertenece a s y calcula su simétrico respecto de la recta r.

Solución: 27 6,

17 17 −

.

c) Calcula la ecuación de la recta simétrica de s respecto de la recta r.Solución: 6 61 12 0x y+ + = .

6.- Calcula el perímetro y el área del triángulo de vértices A(-2, 2); B(5, -1) y C(3, 4)

Solución: Perímetro= 58 2 29 u+ Área = 229

2u

7.- Halla el extremo B del segmento AB siendo A(2, 1) y la mediatriz del segmento es

: 2 9 0r x y+ − = . Solución: B(4, 5).

8.-Calcula los puntos de la recta : 3 0r x y+ − = que están a distancia 1 del punto P(1, 1)Solución: A(2, 1) y B(1, 2).

9.- Halla las coordenadas de los puntos de la recta : 2 2 0r x y+ − = y que distan 2 unidades

de la recta : 4 3 13 0s x y− + = .

Solución: 1(0,1)P ; 2

40 31,

11 11P −

10.- Calcula el valor de k para que la recta x y k+ = forme con los ejes coordenados un triángulo de 5 unidades cuadradas de área.

Solución: 10k = ±

11.- Calcula el valor de k para que el triángulo de vértices A(4, 3); B(6, -3) y C(6, k) tenga por área 20 unidades cuadradas.Solución: 17; 23k k= = −

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