Elaboró JGMO Página 1

Geometría analítica: resumen de recta. Objetivos Es momento oportuno para recordar cuáles son los objetivos del curso de Geometría Analítica. Como lo señalábamos al principio del semestre, René Descartes, logró establecer las bases para que se pudiesen estudiar las propiedades de figuras geométricas empleando un sistema de coordenadas y el álgebra. Los objetivos del curso están relacionados con la idea anterior: gráficas, expresiones algebraicas, sistemas coordenados y se pueden sintetizar de la siguiente manera: 1 “A partir de una ecuación, trazar la gráfica o lugar geométrico que le corresponde”

2 “Dada una gráfica o algunas condiciones del lugar geométrico, obtener su ecuación”

Las expresiones y sus correspondientes gráficas que estudiaremos en el curso, son de dos tipos:

lineales cuya gráfica es una recta y cuadráticas cuyas gráficas agruparemos bajo el nombre de

cónicas. Iniciemos con la recta.

Recta

Definición

¿Qué es una línea recta? La respuesta es sencilla, la sabemos, aunque nos cuesta trabajo definirla es

más fácil trazarla.

Sin embargo para algunos matemáticos la recta es: “la sucesión continua de puntos en una misma

dirección”, en los textos de Geometría Analítica podemos encontrar que: “la recta es el lugar

geométrico de los puntos tales que, tomados dos cualesquiera del lugar geométrico, el valor de la

pendiente siempre resulta constante”.

La definición anterior requiere que sepamos, entre otras cosas, ¿qué es un lugar geométrico?, ¿qué es

pendiente? Principiemos por lugar geométrico: “El conjunto de los puntos, y solamente de aquellos

puntos cuyas coordenadas satisfagan una ecuación, se llama gráfica de la ecuación o, bien, su lugar

geométrico.” Ahora ya nos queda más claro, ¿no?

Con la información anterior podemos construir nuestra idea básica para dar inicio al estudio de la recta.

Primero seleccionemos las palabras que nos familiares: recta, dirección, pendiente, puntos,

coordenadas, ecuación y gráfica.

Elaboró JGMO Página 2

Ecuación de la recta y su gráfica

Tracemos las gráficas de una expresión de la forma y = mx. Iniciemos con la forma básica, y = x,

continuamos con y = 2x, y = 3x, y = 5x…después reducimos el valor del número positivo que

multiplica a “x” hasta cero y finalmente vamos a terminar con coeficientes negativos.

Pongamos atención a los cambios en la expresión y sus efectos en la gráfica.

Coeficientes positivos

Coeficiente igual a cero

Coeficientes negativos

Ya notamos que el coeficiente (m) de “x” tiene efecto sobre la inclinación de la recta.

Elaboró JGMO Página 3

Ahora analicemos lo que sucede si a la ecuación básica y = x le agregamos un término constante y

graficamos y = x + 1, y = x + 2, y = x + 3…después reducimos el valor del término constante

que agregamos a “x”, incluyendo el cero, para finalizar con términos negativos.

y = x + b

Ya notamos que el término constante (b) tiene efecto sobre la “altura” de la recta.

Ecuación de la recta en la forma Pendiente-ordenada (mx + b)

Creo que ahora sabemos al menos varias cosas de las ecuaciones del tipo y = mx + b:

La ecuación y = mx + b es conocida como Pendiente – ordenada (al origen)

Su gráfica es una línea recta.

El coeficiente m inclina la recta.

El término constante b indica el punto de intersección de la recta con el eje y, se conoce

también como ordenada al origen

Los términos dirección y pendiente están relacionados a la inclinación de la recta.

Elaboró JGMO Página 4

Pendiente En Geometría Analítica se acostumbra medir la inclinación de las rectas en base al valor del

coeficiente m. A ese coeficiente lo llamaremos pendiente.

Definición: La pendiente (m) de una recta es la razón entre el desplazamiento vertical y el

desplazamiento horizontal, también se le conoce como la razón de cambio.

En matemáticas una razón es la división de un número sobre otro; normalmente se indica con

números enteros; por ejemplo: .

Recordar la definición de pendiente de una recta no es tan importante como comprender el significado,

por lo que emplearemos una representación gráfica para apoyar la comprensión de la pendiente de

una recta.

Ahora a la definición de pendiente de una recta se le asocia una fórmula que permite calcular la

pendiente cuando se conocen las coordenadas de dos puntos por donde pase.

12

12

xx

yy

horizontalentodesplazami

verticalentodesplazamim

Ejemplo: calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas A (– 2, 4) y B (3, 1)

5

3

23

3

)2(3

41

12

12

xx

yym

5

3m

Elaboró JGMO Página 5

Trazar la gráfica de una recta a partir de su ecuación Podemos aplicar lo que hemos aprendido para trazar la gráfica de una ecuación sin emplear una

tabla de valores.

Ejemplo: trazar la gráfica de la recta cuya ecuación es 42

3xy

2

3m y 4b

Primero ubicamos el punto cuya ordenada desde el origen vale 4.

Después “inclinamos” la recta: desde el primer punto localizado, avanzamos dos unidades a la

derecha y “bajamos” tres unidades, ahí colocamos el segundo punto, tomar en cuenta los signos

para decidir el sentido en que se tienen que desplazar.

Recuerden que el software para graficar no un fin es solo un medio, nosotros decidimos cuando lo

utilizaremos y no a la inversa, pero si queremos usar Graphmatica, recordemos que tiene su propia

sintaxis o manera de interpretar las expresiones.

Elaboró JGMO Página 6

Paralelismo El concepto de pendiente o inclinación, puede emplearse en Geometría Analítica para decidir si dos o

más rectas son paralelas, de manera provisional diremos que “dos o más rectas son paralelas si las

pendientes son iguales”, 21 mm

En el siguiente ejemplo se observa que las rectas y = 2x + 4 e y = 2x - 3 son paralelas ya que su

pendientes tienen el mismo valor: m = 2.

Es muy importante identificar el valor de la pendiente en las ecuaciones, ya que las rectas 23xy

e 22

1xy tienen dos valores iguales pero corresponden a la ordenada y no son paralelas ya

que sus pendientes tienen valores diferentes.

Elaboró JGMO Página 7

Perpendicularidad “Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a menos uno”:

1· 21 mm

Otra particularidad es que se intersecan en un punto, formando cuatro ángulos iguales de 90º. En la siguiente gráfica se muestra un par de rectas que son perpendiculares:

Las pendientes valen respectivamente 2

11m 22m y el producto de sus pendientes; menos 1

122

1· 21 mm , por lo tanto son rectas perpendiculares y el ángulo que se forma entre ellas

vale 90º Si no queremos realizar el producto para verificar que son rectas perpendiculares, entonces

debemos realizar una inspección visual, verificando primero que las dos pendientes tengan signos

diferentes y después que el valor de una de las pendientes sea el recíproco de la otra.

1

2

2

1esrecíprocosu = 2

Elaboró JGMO Página 8

Pendiente y Ángulo de inclinación Relacionaremos la pendiente m con el ángulo de inclinación θ, empleando la razón trigonométrica

tangente.

12

12tanxx

yy

adyacentecateto

opuestocateto, como

12

12

xx

yym , entonces tanm

“La pendiente (m) de una recta es igual a la tangente del ángulo de inclinación (tan θ)”

Es importante tener en cuenta que el ángulo se mide desde el eje positivo de la X.

La fórmula tanm es útil cuando sepamos el valor del ángulo de la recta con la horizontal y

necesitemos el valor de la pendiente, por ejemplo: ¿cuál será el valor de la pendiente si el ángulo de

inclinación es 51º?

m = tan 51º ≈ 1.23 , generalmente la pendiente se acostumbra expresarla en fracción:

1

23.1m

Elaboró JGMO Página 9

Valor del ángulo de inclinación Se puede dar el caso donde se nos pida el valor del ángulo de inclinación dado el valor de la

pendiente, entonces usaremos la función trigonométrica inversa de la tangente:

marc tan o empleando la simbología que se usa en las calculadoras m1tan

Ejemplo ¿cuál será el ángulo de inclinación si la pendiente vale uno? º451tan 1

Angulo entre rectas

Es importante insistir que si dos rectas se intersecan en un punto no garantiza que sean rectas

perpendiculares. Aquellas rectas que se intersecan en un punto, pero no son perpendiculares, las

llamamos oblicuas.

Ya sea de manera gráfica o bien por medio de las pendientes, nos

damos cuenta que las rectas de la derecha no son paralelas porque

sus pendientes nos son iguales y tampoco son perpendiculares

porque las magnitudes de sus pendientes no son recíprocas.

Si el ángulo entre ellas no es de 90º, ¿entonces cuál es su valor?

Para calcular el ángulo entre rectas θr existen dos formas de

resolver el problema:

Forma 1

Obteniendo el ángulo de inclinación de cada recta, recordando las convenciones sobre los signos

de los ángulos recordando que son magnitudes de abertura entre dos

líneas y analizando la situación.

Pero mejor realicemos un ejercicio, calcular el valor del ángulo entre

las rectas cuyas ecuaciones son: y = 2x - 3, m = 2 e y = -

x + 4, m = - 1

Primero graficamos las rectas, después trazamos una línea auxiliar

(– – – – – – –) desde el punto de intersección, que servirá de

apoyo para medir los ángulos de cada recta. Finalmente calculamos

los ángulos de inclinación de cada recta º43.632tan 1

1 y

º45)1(tan 1

2

Elaboró JGMO Página 10

Con respecto al ángulo dos, el valor negativo (-) nos sirve para saber que el ángulo se mide en el

sentido de las manecillas de un reloj, pero en este ejercicio solo estamos interesados en su magnitud.

La suma de los dos ángulos da origen a un ángulo obtuso entre las dos rectas con valor de 108.43º,

si queremos el valor del ángulo agudo lo podemos obtener por diferencia, recordemos que es un

ángulo suplementario y su valor es de: 180º - 108.43º = 71.57º.

Forma 2

Por medio de una fórmula cuya expresión es:

fi

if

rmm

mm

·1tan 1

inicialPendientemfinalPendientem ff

Se debe tener especial cuidado al emplear la fórmula, eligiendo como pendiente inicial la que

corresponde con el lado desde donde se empieza a medir el ángulo (en sentido contrario a las

manecillas de un reloj). Es recomendable que el ángulo a calcular entre las dos rectas sea el ángulo

agudo.

Calculamos el valor del ángulo entre las rectas:

y = 2x - 3 , m = 2 e y = - x + 4 , m = - 1

º56.713tan1

3tan

21

3tan

)1()·2(1

21tan 1111

r

En éste caso calculamos el ángulo agudo y el valor obtenido es semejante al calculado con el

procedimiento de la versión 1, el ángulo obtuso se calcula como suplementario del agudo: 180º -

71.56º = 108.44º

Elaboró JGMO Página 11

Punto de intersección de manera analítica

Ya hemos obtenido el ángulo entre rectas y de manera indirecta se mencionó el punto de

intersección. Ahora calculemos las coordenadas del punto de intersección de las rectas del ejercicio

anterior. Si las coordenadas del punto de intersección corresponden a las dos rectas, entonces

podemos establecer la siguiente igualdad 2x – 3 = - x + 4

3.23

7,73,342 xxxx

Para obtener el valor de la ordenada sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones originales.

6.13

5,

3

5

3

9

3

14,3

3

72 yyy

3

5,

3

7iP o bien de manera

aproximada tenemos )6.1,3.2(iP

Punto de intersección usando Graphmatica

Elaboró JGMO Página 12

Distintas formas de la ecuación de la recta

La ecuación de una recta se podrá establecer si se cumplen dos condiciones y dependiendo de ellas,

la ecuación de la recta adquiere un nombre distinto.

Si sabemos la pendiente m y la ordenada al origen b, entonces la ecuación:

y = mx + b, se conoce con el nombre de Pendiente-Ordenada.

Si conocemos las coordenadas de un punto ),( 111 yxP por donde pasa la recta y el valor de la

pendiente m, la ecuación se nombra Punto-Pendiente:

)( 11 xxmyy

Si se conocen las coordenadas de dos puntos ),( 111 yxP y ),( 222 yxP por donde pasa la recta,

la ecuación se llama Punto-Punto o algunos autores la llaman forma cartesiana.

)()(

)(1

12

121 xx

xx

yyyy o )(

)(

)(2

12

122 xx

xx

yyyy

Si se conocen las coordenadas de los puntos de intersección con los ejes X e Y

respectivamente (a, 0) y (0, b), la ecuación de la recta se conoce comúnmente con el nombre

de Canónica, pero otros nombres empleados son Simétrica, Reducida y Abscisa-Ordenada

en el Origen.

1b

y

a

x

Una de las expresiones más representativas de la ecuación de la recta, es la llamada forma

General, Ax + By + C= 0, es una ecuación lineal o de primer grado de coeficientes constantes

A, B, C y variables x e y.

Elaboró JGMO Página 13

Trasformar ecuación General a la forma Pendiente-Ordenada y viceversa

Las formas Pendiente-Ordenada y General las estaremos empleando constantemente así que

trasformaremos una ecuación de forma General en Pendiente-Ordenada y viceversa.

Ax + By + C= 0, despejamos la “y” By = - Ax – C B

CAxy

B

Cx

B

Ay

Si comparamos la ecuación anterior con la forma y = mx + b, podemos llegar a la conclusión de que la

pendiente y ordenada al origen de una recta en forma general se pueden calcular respectivamente

como: B

Am y

B

Cb

Ejemplo: general a pendiente-ordenada

Transformar la ecuación 8X + 3Y – 9 = 0 a la forma pendiente-ordenada

Los coeficientes correspondientes son A = 8 B = 3 y C = – 9

3

8

B

Am 3

3

9

B

Cb

Por lo que la ecuación en forma pendiente-ordenada queda de la siguiente manera: 33

8XY

Ejemplo: pendiente-ordenada a general

Transformar la ecuación 45

2XY a la forma general

Multiplicando la ecuación por 5 205

105 XY 2025 XY ordenando términos la ecuación

en forma general queda de la siguiente manera 02052 YX

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Distancia de un punto a una recta

En ciertas situaciones se necesita saber cuál es distancia que separa a un punto de una línea recta.

Una fórmula que se emplea para calcular la distancia (más corta) de un punto a una recta, requiere

los valores de las coordenadas del punto, ),( 111 yxP y que la ecuación de la recta esté en forma

General, Ax + By + C= 0.

22

11

BA

CByAxd

Ejemplo:

Calcular la distancia que hay del punto P(- 3, 2) a la recta cuya ecuación es 14

5xy

Como es requisito que la ecuación de la recta debe estar en forma general, entonces primero

debemos trasformar la ecuación de Pendiente-Ordenada a General

14

54 xy multiplicamos por 4 para que no tengamos una fracción 454 xy

En esta parte del proceso empleamos lo aprendido en algebra 4450 yx

Los datos son A = 5, B = - 4, C = - 4 y 23 11 yex obtenidos de P(- 3, 2)

21.441

27

1625

4815

)4()5(

)4()2)(4()3(5

2222

11

BA

CByAxd

21.4d