La Matemática Modernae n I a Enseñanza Básica

Por JACINTO MARTINEZ l?CAKTEMF,NDIADoc•lor en ('fenc^ia,y I^;xactas

Ba estos mQ^ueWas asistimos a una renovacióncompleta en 1^ ,^étodós s.iíe enseñanza de las Mate-máticas cotn0^.; Con^^ĉia de la transformaciónverdader nfie coperntcaaa de la sociedad y de lasciencias ,^ari. ^,^ ^ ,^

Para ait do Ia" c^eda a la máquina de vaportranscur •aro^ ñáiles de ^ños. ^ Fara pasar del vaporal moto^ •. de; e}ç^?logií^n hicieron falta unos setentay cinco ^ñoŝ : para pasar d`el motor de explosióna la turbiná^^^1e reaccióq ;baStaron veinticinco años ;y para pasar 'de1, , jet, ,ál^; ^ohete fueron suficientesdiez afios. Y ĉe^a^do ^aCe solamente unos doce añosse comenzaba a h.ablar de la posibilidad de llegara la Luna, se ponía como meta el año 200Q. Puesbien, el hombre ha llegado ya a la Luna a mediadosdel año 1969. La sociedad y la cienc%a actual seadelantan a sus proyectos. Los descubrimientos sesuceden a un ritmo vertiginoso, en verdadera pro-gresión geométrica.

Asf, ocurre que cuando nuestros niños, dentro deunos quince años, terminada su carrera, vayan aaplicar en el ejercieio de su profesión los conoci-mientos que aprendieron en el colegio, resultará quelas ciencias habrán cambiado tan completamente endicho lapso de tiempo que prácticamente lo queaprendieron no les $ervirá casi de nada. Lo quecontará entonces serán las facultades de todo ordenque hayan desarrollado : si han aprendido a razo-nar, a estudiar, a observar, a inventar.

Por tanto, al enseñar las Matemáticas, más quehacer aprender muchos detalles interesa desarrollar1as facultades que más interesarán al alumno el díade mañana : ob$ervación, imaginación, adaptación,creación e inventiva.

DF,SARROLLAR EL INSTINTO

DE INVEST[GAC10N

Hay que colocar al niño en la actitud de descu-bridor, excitando su sentimiento de curiosidad y sudeseo de adívinación, tan fuertes en él. No hay yuedarle la doctrina hecha, sino sugerirle problemas qu^hu de resolver por sí mismo.

EI niño siente una curiosidad innata, un inmensodesc;o de aprender el porqué de las cosas, de hacerpor su cuenta hallazgos y descubrimientos. Es todoun instinto de investigación el que manifiesta al rom-per los juguetes de movimiento para descubrir sumecanismo.

Gracias a este instinto la Humanídad progresa.Por eso hemos de poner tanto empeño en cultivarloy desarrollarlo. Que no adquiera el niño la falsaidea de que ya está todo hecho en el campo de laciepcia, sino, al contrario, que se dé cuenta de quela mayor parte de las cosas están todavía por des-cubrir.

Por consiguiente, el método a emplear consisteen ofrecer series o cadcnas de ejercicios o ejemplospráĉticos, cortos y sencillos, cuyás soluciones estc:nal alcance de los alumnos; de dificultad creciente,y de tal modo enlazados que cada uno prepare elsiguiente. Nada de aplicar rcglas dadas de nnte-mano. Que vaya descubriéndolas él. Para ello gene-ralmente nu es suficientc pruponerle una serie deejerci^ios, sino varias. Hoy ya cs un axioma quc nodebenu^s cnseñarle nada que no sea él ca^az de deti-rubrir y de sabc:r el porqué se opcra así.

24

ABUS(^ C)Et_ MEM(^RLSM(^

Se ha abusado mucho, y se sigue abusando de-masiado, del memorismo. No insistamos en que elescolar enuncie a la perfección las reglas que hadescubierto o las definiciones más o menos abs-tractas en que se basan. Quédese esto para un se-gundo estadio, cuando su vocabulario y facilidadde dicción se ,hayan desarrollado. De momentonos contentamos con que conozca las cosas y sepanombrarlas. Nunca hemos de martirizarle exigién-dole definiciones científicas y rigurosas, cuya nece-sidad no es todavfa capaz de comprender.

No queremos decir que no deba desarrollarse lamemoria. Es una facultad que también precisa cul-tivo. Pero nunca empleando para ello las Matemá-ticas, a base de apr^nder de memoria cosas que nose entienden.

ENSEI^ANZA EXPER[MENTAL Y ACT^IVA

Hasta ahora los libros que poníamos en manos delos alumnos eran ni más ni menos que los Elementosde Euclides, un tanto modificados. Y este libro, consus construcciones tan maravillosas para las personasmayores, resulta totalmente indigesto para los peque-ños escolares. No hay que tener mucho sentido pe-dagógico para comprobar desde el primer instanteque a ellos no les dice nada tanta cadena de razona-mientos, teoremas, hipótesis y escolios.

La ley biogerútica nos dice que el desarrollo delindividuo reproduce en pequeño el desarrollo de laespecie. Existe una notable semejanza entre el des-arrollo de la facultad de raciocinio en los niños yen la humanidad. Esta pasó por un primer períodode acumulación de materiales obtenidos por la ob-servación de la naturaleza, período que podríamosllamar experinrental. Sigue otro período de clusifi-cación de dichos materiales. Sólo cuando está muyadelantada la ciencia entra en la fase deductiva yracional, en la que sentados determinados princi-pios o postulados todo lo demás se deduce por silo-giemos.

Aunque esta forma de exposición es evidentemen-te más elegante y perfecta, sería un gravísimo errorpodagógico el emplearla con escolares de enseñanzabásica. Porque su espíritu . 8ebe pasar primero porla fase experimental de manejo de materiales, deobservación y clasificación de los mismos. Sólo enlos cursos superíores se planteará la neesidad de ladeducción lógica.

Hay que comenzar, pues, por una fase experi-mental de manejo y observación de figuras. Todoello a base de acción, mediante un material muysoncillo, al alcance de cualquier fortuna : simplescuartillas, hojas de cuaderno, forros de los mísmos,tiras de papel, regletas de los números en color, hoyque éstas se van introduciendo en los colegios parael aprendizaje del cálculo.

Hoy se siente la neeesidad de una didcícticu ucti-vu. Y aquí radica la mayor fuerza formativa de lasMatemáticas : en que con mucho mayor facilidadque en otras ciencias se puede lograr el ídeal deconvertir la clase en un taller, en el que todos esténtrabajando bajo la dirección del profesor, con unmaterial fácil de adquirir.

LA MATLMATICA MODERNA

Se basa principalmente en la teoría de canjuntus,iniciada por el matemático alemán Cantor, a laque al principio se le concedió poca importancia,pero que poco a poco se vio que estaba a la basede todo en las Matemáticas. Asi, el concepto de nú-tnero, fundamental en la Aritmética, no es una cua-lidad de los objetos, sino de los conjuntos. Podemoshablar de balón redondo, pero no de casa tres, sinode tres casas, refiriéndonos a un conjunto de trescasas. Análogamente, el concepto de juncicín, basedel cálculo infinitesimal, diferencial e integral, no esotra cosa que una correspondencia entre conjuntos.Y lo mismo digamos de la noción de tr^rnsformación,>,^e•ométrica, base de la Geometría rnoderna.

La tcoría de conjuntos viene, en primer lugar,a llenar un vacío que existía en la didáctica antigua :se ponen unos cimientos firmes y sólidos al edificiode la ciencia Matemática. Los resultados a que sellega son los mismos que anteriormente, pero que-dan mejor fundamentados y expuestos de modo másclaro, sin lagunas ni saltos en el vacío, como ocurríaa veces en la Maternática clásica.

En segundo lugar, la enseñanza tesulta ahora másconcreta y, por ianto, más asequible para los peque-

Grupo escotar Nuestra Seiiora de la Aurnrn. MONTIf.I.A.

25

ños escolares. Durante los dos primeros meses delcurso e] alumno se dedica a estudiar los conjuntosen vez de comenzar, como anteriormente> por losnúmeros, que son entes abstractos que nuestra menteelabora, como cousecuencia de la comparación delos conjuntos que diariamente manejamos. Pues bien,el niño está acostumbrado a hacer colecciones de cro-mos, de canicas, etc. El estudio de los conjuntos re-sulta para él ]a eosa más natural del mundo. Des-pués de lo cual ya podemos abordar el manejo delos númeras, con garantías de que no resulten inin-teligíbles para las tiernas inteligencias infantiles.

Dados algunos principios generales, pasemos aconsiderar unos cuantos problemas específicos de ladidáctica de ]as Matemáticas en cada uno de loscursos de la Enseñanza básica :

PRIMER CURSO

El niño debe captar la noción de coN.IUNTO comocolección de objetos. Más tarde deducirá el con-cepto de número al tratar de comparar los conjun-tos y de establecer entre e11os cotzRFSroNI^rNCtAsBIUNÍVOCAS, que al nivel del alumno podemos de-nominar CORRESPONDENCIAS UNO A UNO; BSto es,aquetlas correspondencias en que a cada elemen-to del prímer canjunto le corresponde uno y sólo unoen el segundo, y a cada etemento del segundo con-junta, le corresponde uno y sólo uno en el primero.

Efectivamente, la idea abstracta de número surgeen el espíritu humano al considerar la analogía o pa-recido que existe entre los conjuntos que se puedenponer en correspandencia biunívoca, y este parecídolo expresamos diciendo que dichos conjuntos tienenel mismo núme+ro de elementos. En esta frase estácontenida, en realidad, la defínición de número na-tura'1.

Evidentemente, no pretendemos que a esta edadcapte el escolar todo el profundo significado de ]anoción de número, pero sí intentamos ponerle en elverdadero camino para que paco a poco vaya enten-diéndolo. I?eberá ser la profesora quien haga notara los alumnos que los conjuntos que van apareciendose pueden o no poner en correspandencia biunívoca,lo que se representa por las flechas que los niños hande trazar de los abjetos del primer conjunto al se-gundo, y de los de éste a los de aquéL

El método que hay que aplicar para enseñar las ta-blas de sumar y de multiplicar ha de ser eminente-mente operacional y activo, El antiguo métoda deaprenderlas canturreando, sin comprender absoluta-mente nada de lo que se dice, ha debido quedardesterrado hace ya mucha tíempo. Dado que ei sis-tema de IOS NÚMEROS EN coLOR se está difundiendocada vez más, conviene emplearlo decídídamente uotro parecido. Es el propio niño, manejando el mate-

ríal, e íntentando responder a las preguntas que lehace la maestra, el que debe descubrír los resulta-dos de las operaciones que se le plantean. EI memo-rizar dichos resultados será objeto de un trabajolento de resolución de problemas utilizando las re-gletas u otro material análago, sin perjuicio de queal final del curso se realice una labor más intensade memorización, una vez que se haya comprendídoperfectamente su significado.

La experiencia ha demostrado la rapidez y segu-ridad sorprendente de cálculo que los niños adquie-ren por este método. Evidentemente, esto no quieredeeir que ]as regletas eonstituyan algo así como lapanacea universal, ni que convenga aplicarlo a todaslas cuestiones. Hay que reducír a sus exactos límites]os méritos de] sistema, que son los que en educaciónse asignan a todo medio o instrurnento de primerorden puesto al servicio del educador, pero que enningún caso puede sustituir al educador mismo.

El material que cmpleemos no ha de scr meramen-te comprobatorio con el que tratamos de que se con-venza de las verdades que previamente le hemosenseñado, sino que hemos de lograr que mediantesu manejo descubra dichas verdades. Siempre hemosde calocar al alumno en la actitud de descubridorque piensa y busca.

La didáetica tradícíonal enseñaba los mecanismosde las operaciones matemátícas mediante hábitos es-tereatipados a partir de esquemas aprendídos mecá-nicamente. Posteriarmente, el recurso didáctico con-sistió en hacer imaginar, sin que el niño viera o ac-tuara. La didáctica operatoria y activa que hoy seemplea consiste, por el contrario, en hacer actuary manipular al misma alumno, dándole la posibilidadde realizar a su gusto operaciones de composición,descompasición, traslado o transformación.

EI niño ejecuta sobre material concreto lo queluego interiorizará, siendo de notar que si en unprincipio necesita el soporte de ]o real y concreto.posteriormente prescinde con toda facilidad de ]arealización material del acto, pues ya es capaz dehacerlo interiormente.

SEGUNDO CURSO

Comienzan a estudiarse las propiedades de lasoperaciones. Esto no se hace para fastidiar a losescolares, sino porque son verdaderamente impor-tantes e indispensables para poder manejar losnúmeras sin equivocarse y dándose cuenta de loque se hace. En este sentido, las propiedades delas operaciones son como las reglas de un juego,sin las cuales no se puede jugar. Más quc el saberoperar interesa que el niña sepa por qué se operaasí, y esto se lagra mediante las propiedades descu-biertas por el propio atumno.

26

Cada vez se extienden más las máquinas de calcu-lar, los cerebros electrónicos, computadoras, etc. Enotro tiempo en todas las empresas necesitaban hom-bres que supieran ejecutar rápidamente y con granseguridad sumas y más sumas, lo mismo que mul-tiplicaciones y divisiones. Hoy cada vez interesa me-nos hacer de nuestros alumnos grandes calculistas,porque hasta la empresa más modesta tiene sus má-quinas de calcular, que lo hacen mucho más rápi-damente y sin equivocaciones. Por eso, sin desdeñarel que el niño calcule rápida y seguramente, interesamás desarrollar en él aquello en que el hombre essuperior a la máquina, que es ]a inteligencia y]acreatividad.

Importa dar a lus escolare5 idcas claras sohre losconceptos de las operaciones. Muchas veces si al

ponerle un problema no sabe si hay que restar, mul-tiplicar o dividir, se debe a que no sabe exactamentelo que es restar, lo que es sumar o lo que es multi-plicar, aunque sepa muy bien dar sus definiciones,como un perfecto papagayo.

Así hay que hacerle distinguir bien claramenteentre lo que es sumar conjuntos, que es simplementejuntarlos para formar un solo conjunto, y lo que essumar números, el 5 y el 8, por ejemplo, que eshallar el cardinal del conjunto C que resulta al sumarun conjunto A, de cinco elementos, y otro B, de ochoelementos. Por tanto, adición de los números 5 y 8,llamados sumandos, es una regla que nos permiteobtener un tercer número, 13, llamado suma, me-diante los siguientes pasos:

Grupo escolar "Caja de Pensione.r", LA VERNEDA-BARCF.LONA.

Z%

L° Formar un conjunto A, de cinco elementos,sean einco papelitos o cinco tizas, y un con-junto B, de ocho elementos.

2.° Sumar los dos conjuntos A y B para formarun solo conjunto C= A-I- B.

3.° Hallar el número de elementos de C, quees 13 ; éste es la suma de 5 y 8.

Importa sobremanera llevar de frente la adicióny la sustraeción. Así, restar los dos números 7 y 4,Ilamados m^inuenda y sustraerulo, respectivamente, eshallar un tercer número, 3, llamado diferencicr, quesurnado con el sustraendo nos da el minuendo.

?- 4= 3, significa que 3+ 4= 7

Pero de la igualdad 3+ 4= 7, ^no podríamosdeducir otra igualdad de restar distinta de la ante-rior?

Sí, es la siguiente : 7- 3= 4. Esto quiere decirque las tres igualdades :

7--4=3 ; 3+4=7 ; 7-3=4

son equivalentes, lo yue quiere decir que se deducenuna de otra : si una es cierta, lo son también lasotras dos, y si una es falsa, lo son igualmente lasotras dos.

No interesa en modo alguno que el niño sepa darcomo un papagayo la definición de sustracción. Pero,en cambio, es del mayor interés que sepa escribir lasígualdades anteriores o equivalencias fundamentalesde la sustracción. Dada una cualquiera de ellas, debesaber escribir inmediatamente las otras dos. Cuandosepa hacer esto, estaremos seguros de que entiendeel concepto de sustracción.

La multiplicación debe presentarse como sumade sumandos iguales. El niño se ejercitará en unadoble serie de ejercicios : primero se le darán adi-ciones de sumandos iguales, que tendrá que reempla-zar por multiplicaciones, indicando en cada caso cuáles el multiplicarrd'o, cuál el mr^ltiplicadar y euál esel prodl^cto; en segundo lugar, se le darán las mul-tiplicaciones y deberá sustituirlas por adiciones desumandos iguales. En seguida se plantearán proble-mas sencillos de multiplicar y se invitará al niño aque invente él otros.

Lo mismo que respecto de la adición y sustracción,debe llevarse de frente la multiplicación y división.El escalar debe darse cuenta que dividir 12 entre 4es hallar un tercer número, 3, que multiplicado por 4dé 12. O sea, de

12=3x4

deducimos que

12.3=4 , 12:4=3

Estas tres igualdades son equivalentes, esto es, quese deducen una de otra : si una es cierta, lo son

igualmente las otras dos, y si una es falsa, loson igualmente las otras dos.

Con variados ejemplos, el alumno debe llegar a es-cribir dos de las equivalencias fundamentales dadala tercera, Así estarcmos seguros de que ha llegadoa comprender el concepto de división, aunque no sepadar su definición.

TERCER CURSO

La enseñanza de la Geometría en estos prime-ros cursos de enseñanza primaria ha de ser emi-nentemente operacional y activa. La idea de planose consigue a partir de una cuartilla colocada so-bre la mesa, con objeto de darle rigidez, que esuna de las características del plano. Además es ne-cesario establecer la idea de infinitud del plano ;para ello se hace observar al alumno que se puedeprolongar el plano tanto como se desee pegandounas cuartillas a otras. Conviene insistir suficiente-mente sobre estas dos características del plano, ha-ciendo ver que llamamos plano a un papel colocadosobre la mesa, pero no al mismo papel curvado, y quese puede prolongar en todas direccianes. Por consi-guiente, 1a hoja de papel será en lo sucesivo unamaterialización del plano.

La recta se presenta como un doblez hecho en elpapel. Se comenzará por invitar a los alumnos a queefectúen varios doblece$ en el papel y proponerlesque les pongan nombre para distinguir unos de otros.Debe convencerse al alumno de la infinitud de larecta, como consecuencia de la del plano.

Obsérvese que los conceptoís de recta y plano sonprimarias, esto es, no pueden definirse, o sea, des-componerse en otros conceptos má^ sencillos, porqueson los más sencillos que existen en nuestra mente.Basta evocar la imagen que los recuerde y que yaexiste en la mente humana. En particular, sería unabsurdo pretender definir la recta como el conjuntode puntos situados en la misma dirección, pues elconcepto de dirección es máS complejo que el derecta, y definír una cosa es descomponerla en otrosconceptos más sencillos y ya definidos anteriormente.El concepto de dirección se deduce del de recta y noal revés. Dirección es la clase de rectas paralelasentre sí. A veces se presenta la recta como un hilotenso entre dos puntos. Esto está bien, pero tienesus peligros. Por ejemplo, los hilos de la luz, detelégrafos, etc., tendidos entre dos postes, aunqueestén bien tensos, forman una curva llamada cate-naria. L,o más cientffico y exacto es presentar larecta como un doblez dado en un papel.

De un modo parecido se presentan los conceptosde semiplano, semirrecta, segmento rectilíneo, líneaspoligonales, siempre a base de un material sencillo,

^

formados por simples cuartillas u hojas de cua-derno.

El niño ha de entender claramente que medidcr deun segmento es un número, el número por el quehay que multiplicar la unidad para que nos dé dichosegmento, Que multiplicar un segmento por un nú-mero natural es repetirlo como sumando tantas vecescamo lo indica dicho número. Que llamamos longi-tud de un segmento al número que expresa su me-dida seguido del nombre de la unidad empleada.

Si los niños están habituados al uso de las regle-tas de los númeras en color, les haremos observarque la regleta blanca tiene 1 cm. de longitud ; laroja> 2 em.; la verde claro, 3 em., etc., y la naranja,10 cm., o sea, 1 dm.

Pasamos de lo canocido, la regleta naranja, a lodesconocido, el decímetro. No será difícil conseguirque todos los niñas tengan una regla graduada odoble decímetro, mediante el cual puedan medir lalongitud de los objetos. También se calculará a ojola largo y lo ancho de un campo y luego se mediránefectivamente con el metro.

A falta de metro, enseñaremos al niño a medirlongitudes a pasas, a palmos o eon cualquier otraunídad, por ejemplo, con cuadernos. Un cuadernomide aproximadamente 2 dm. de longitud. Si yue-remos medir la longitud de la clase, haremas quevayan colocando los cuadernos uno a continuaciónde otro hasta cubrir toda la longitud buscada. Cadacinco cuadernos hacen un metro. Y si no disponemosmás que de un cuaderna, ^,cómo haríamos? Haría-mos una señal con tiza en el extremo del cuadernoy lo colocaríamos de nuevo a continuación de dichaseñal, etc.

Hay que insistir en que la distancia entre dos pun-tos no es un segmento, sino un número, el númeroque mide la longitud del segmento, que tiene porextremos dichos puntos.

Ha de cuidarse mucho para dar de w^ modo ex-perimental la definición de ángulo, como canjuntode semirrectás de mismo origen. La construcción deángulos rectos mediante doblado de papel ha de seruna operación enteramente familiar al alumno. Laimpartancia del án,^ulo recto proviene de yue es lai^nidad ncriural de ángulos.

En la medida de segmentos no hay ninguna unidadnatural. El metro es una unidad que se tama arbi-trariamente como la diezmillonésima parte del cua-drante del meridiano terrestre. El metro patrón hade guardarse cuidadosamente en las O^ficinas dePesas y Medidas, para que no se altere, No es fácílla camprobacián de la exactitud de un metro de loscorrientemente empleados. En cambio, en los ánguloshay una unidad natural: el ángulo recto. Cualquierniño puede construirlo con un sencillo doblez en unacuartilla y eon toda exactitud y precisión. No se ne-cesita conservarlo en ninguna Oficina.

También ha de insistirse mucho en el trazado derectas perpendiculares a una recta dada, ya por do-blado, ya mediante la escuadra. Ha de cuidarse decolocar en posiciones muy variadas las rectas a lascuales ha de trazar perpendiculares. Igualmente, eIpunto desde el que ha de trazar la perpendícular,unas veces ha de tomarse en la recta dada ; otras,fuera de dicha recta.

CUARTO CURSO

En este curso se profundiza el estudio de los nú-meros decimales, tan corrientes en la vida prác-tica, tan útiles, por otra parte, para dar a los niñosla idea de aproximación. Así, por ejemplo, se leshará ver que si se trata de medir la distancia en-tre la tierra y la luna basta usar como unidad las1.000 km., y así, decimos que dicha distancia esde 380.000 km. Sirt embargo, si se trata de medirla longitud de una tcla canviene apreciar hasta loscentímetros, ya que si el valor del metro de tela esde 400 pesetas, cada centímetro valdrá cuatro pesetas.

Convendrá proponer rnultitud de ejemplos análo-ros y significativos, con los cuales el alumno lleguea comprender que la mayor o menor aproximaciónen cada caso na es debida a] capricho, sina a lanaturaleza de la cuesticín de que se trate.

Si se trata de hallar la anchura de una habitaciónbasta dar una apraximación de cenilmetros ; pero sise tratara del espesor de yeso que el albañil ha deponer a la pared, quizá no fuera suficiente la de mi-límetros. Es importante que el escolar adquiera lanación de los decimales que serán necesarios encada caso.

La introducción de los decimales ha de hacersede un macío gradual y progresivo, comenzando porlas décimas, siguiendo por las centésimas, milési-mas, ete. No p^or introducir de golpe muchas ideashemos adelantado más. AI contrario, puede ocurrirque ello sólo sirva para confundir y desorientar alescolar. Las submúltiplos del metro, que el niño yaconoce, serán un auxiliar poderoso para lograr laperfecta comprensión de los números decimales. Tam-bién pueden servirnos para entender eI modo deoperar con l05 mismos, de forma que sea el mismoniño quien descubra la regla a ernplear. Si se trata,por ejemplo, de ]a multiplicación, han de proponér-sele varios ejercicios en que se trate de hallar el áreade una figura rectanguiar, cuyas dimensiones vicnendadas par números decimales. No sabiendo multipli-car éstas, pero sí los números enteras, s^ les invitaa transformar los metras en centímetros, operar conéstos y a continuación transformar los centímetroscuadrados en metros cuadrados. EI niña constataasí que el producto tiene tantas cifras decimalescomo hay en el multiplieando y multiplicador.

29

La noción de fracción y las operacioncs con lasmismas se hacen fácilmente accesibles al alumno me-diante el empleo de las regletas de los números encolor. Constituye éste un método con el que se ob-tienen resultados sorprendentes.

Cada fraeción se considera como un operador,que actúa sobre las cantidades o números. Así, de4= 2 x 2, deducimos que 2= 1/2 X 4.

EI niño debe acostumbrarse a que "un medio de4 se escribe 1/2 x 4. La expresión "1/2 de" es eloperador fracción, es decir, el operador que hacesustituir 4 por 2.

Hay que hacer también ejemplos en que las frac-ciones actúen sobre cantidades, como segmentos,círculos, pasteles, naranjas, etc. I7espués de estosejercicios el niño está preparado para adquirir lanoción de fracción como par de números enterosdados en un orden determinado.

QUINTO CURSO

La representación de los conjuntos mediante dia-gramas es de relevante interés. En primer lugar,porque el diagrama es fácilmente ínteligible, comoestilización de un conjunto de objetos cualesquie-ra ; luegd, porque una vez acostumbrados a su ma-nejo, permiten estudiar las propiedades y opera-ciones entre conjuntos con gran calidad "visual" ;finalmente, suponen ya una introducción al aspec-to geométrico de ]a teoría de conjuntos, cuya im-portancia quedará patente en el estudio de la Geo-metrí a.

EI diugram^r lineal es un recurso soberanamentefecunda para dar una ímagen intuítiva de un con-junto ordenado. Se usará en adelante con frecuenciapara hacer comprender a los niños las propiedadesde lo$ conjuntos ordenados de números naturales.

Aparte de que lo concreto entusiasma al nirio yde que el dibujo suministra pábulo excelente a suactividad desbordante, esta representación le ayuda-rá a comprender más adCiante la ordencrción de lescanjuntos y, en particular, de los números naturales.Así vamos preparando en su mente e] concepto denúmero ordínal.

En este curso debe profundizarse en el esiudio dclas figuras geométricas del plano, comenzando porlos triángulos. Prímeramente mediante doblado depapel, después mediante la escuadra, debe construirlas tres alturas de un triángulo. Que compruebe queen todos los casos las tres concurren en un puntou nrtocentro.

Por doblado hallará el alumno el punto medio decada lado del triángulo. En seguida trazará las me-dianas con la zegla, uniendo cada punto medio conel vértice opuesto. Comprobará que en todas loscasos las tres medianas concurren en el baricentro.

Comprobará también que éste está a dos tercios delvértice y un tercio de la base.

La construcción de las mediatrices de un triángu-lo por dob[ado resulta sumamente sencilla, por loque no es necesario aquí que utilice la regla o laescuadra. Aplicará la construcción a varios trián-gulos y hallará que siempre concurren en el circun-centro. Uniendo éste con los tres vértices, verá quclos tres segmentos son iguales, por lo que el circun-centro es el centro de la circunferencia circunscritaal triángulo.

La construeción de las bisectrices de un triángu-lo por doblada resulta también sumamente sencilla.Determinará el incentro y trazará desde él las per-pendiculares a los lados, comprobando que los tressegmentos de perpendicular son iguales, por lo queel incentro es el centro de Ia círcunferencia inscritaal triángulo.

De un modo análogo, completamente experimen-tal y activo, ha de realizarse el estudio de las res-tantes figuras geométricas : cuadriláteros, paralelo-gramos, trapecios, círculos, polígonos, etc.

SEXTO CURSO

lntroduciéndolos a base de elementos materiales,como cartón, regletas, papeles, dibujo, etc., la ex-periencia ha indicado que los muchachos a estaedad san capaces de captar o, por lo menos, atis-bar los conceptos de grupo y semigrupo, sinónimosdel de magnitud, al que hasta ahora nos referíamossin saber exactamente de qué estábamos hablando.

Bn la enseñanza de las Matemáticas se ha venidocometiendo el error de medir las magnitudes antesde conocerlas; con lo que se llegaba a una peticiónde principio o círculo vicioso, en virtud del cual seproducía una desorientación mayúscula en la mentede los pequeños escolares, que, por milagro, y siem-pre a trompicones, podían entender lo que les ex-plicábamos. Hay que establecer, pues, netam_ente ladistinción entre la magnitud y su medida.

E] trazado de diagramas ayudará mucho a estu-diar de un modo intuitivo las propiedades de lasrelcrcíones bincrrias en un conjunto, y en especial iasde las relacianes de equivalencicr, tan corrientes enla vida diaria y de tanta importancia en las Mate-máticas. Han de darse muchos ejemplos de relacío-nes de equivalencia, haciendo aplicación de las mis-mas al concepto de número natural. A esta edad elalumno puede adquirir una idea bastante clara delconcepto de número natural como clase de equiva-lencia. Ha de comprender que los números son siem-pre abstractos : no existen más que en nuestra men-te. Es un absurdo hablar de números concretos.Hemas de cuidar para que los niño$ no confundan elconcepto de número con el simbolo que lo repre-

30

senta. Este ha variado a lo largo de la historia. Encambio, el concepto de número es el mismo desdelos comienzos de la humanidad. Tampoco ha deconfundir el número con los conjuntos de cuya com-paración surge el mismo. En este curso se introducetambién el concepto de número entero, como parordenado de números naturales. Se les hace ver queel re$ultado de un partido, el balance de una em-presa, la variación de una temperatura, etc., se pue-den expresar mediante un par de números naturales,y que éste es un representante de un nuevo ente, alque llamamos número entero.

Se hará aplicación de lo anterior a los conjuntosde doble sentido o magnitudes vectoriales, haciendover que su medida viene dada por números enteros.También se hablará de los sentidos de una rectaorientada o eje, explicando la correspondencia entrelos puntos de la misma y los números enteros.

A base de ejemplos deben introducirse tambiénlas operaciones con números enteros, insistiendo enque las definiciones que se introducen no son arbi-trarias, sino que cumplen el principio de permanenciade leyes formales.

En este curso se hace también un estudio descrip-tivo de los cuerpos más corrientes de la Geometríadel espacio y de sus aplicaciones más usuales, almismo tiempo que una determinación empírica ypuramente experimental de sus v.olúmenes. Se hallanigualmente las fórmulas de sus áreas laterales y to-tales, por ser datos que hay que manejar con fre-cuencia en el quehacer diario. Todos estos cuerpasdebe construirlos el alumno a base de cartulina ypapel celofán. Con ellos en la mano descubrirá suselementos y observará sus características. Conven-drá que ]os construya con plastilina siempre quetenga que hacer determinadas secciones en los mis-mos y estudiar sus propiedades.

9EPTIMO CURSO

Estudiados los números naturales hasta el sextocurso y los números enteros en el curso anterior,es ahora el momento de considerar de un mododetenido y profundo los números racionales, comopares ordenados de números enteros. El primer ele-mento del par lo llamamos numeradar, y al segun-do, denaminador. Hay que desarrollar esta teoríacan gran extensión y abundancia de ejemplos, yaque es fundamental que los alumnos distingan cla-ramente entre números naturales, números enterosy números racionales.

Los tres cursos, el estudio detenido de las propie-dades de las operaciones con los números de quese trate, ha de llevar a la resolución de ecuacionescon un campo cada vez más ampliado. En este curso

hay que realizar un tratamiento más exhaustivo yprofundo de dichas ecuaciones, utilizando ya las pro-piedades del campo de los números racionales.

La resolución de ecuaciones es un punto a rne-nudo descuidado y que, sin embargo, tiene una im-portancia considerable y una aplicación constante entoda clase de problemas, por lo que debiera ya ini-ciarse decididamente desde el sexto curso. Los pro-blemas de cálculo comercial, mezclas, aleaciones.repartimientos proporcionales, etc., no son, en rea-lidad, más que meras aplicaciones de la ecuaciónlineal o de primer grado, y como tales deben estu-diarse. Incluso la regla de tres simple y compuestase reduce a una ecuación de primer grado.

En el estudio de la proporcionalidad y semejanzase caía frecuentemente en un círculo vicioso o peti-ción de principio, que consistía en demostrar el teo-rema de Tales basándose en la teoría de la medidade segmentoS, que, a su vez, se basa en el teorema deTales y en la teoría de los números reales, que no seestudian hasta mucho más adelante. Dieben cuidarseestos puntos para no desorientar a los alumnos condemostraciones incorrectas o falsas.

Toda la teoría de la proporcionalidad y semejan-za debe desarrollarse de un modo experimental, abase del trazado de paralelas con regla y escuadra,realizando todas las construcciones necesarias parala demostración de las propiedades de las propor-ciones.

OCTAVO CURSO

En el estudio del Algebra, y puesto que el alum-no maneja ya la noción de apiicación o funciónuniforme, hay que hacer una distinción cIara entrelos conceptos de polinamia can una indeterminaday de f urrción palinamio, entendida como aplicaciónentre conjuntos de números, y en que la letra xdesigna una variable, esto es, cualquiera de loselementos de un conjunto de números. Con ellose elimina la expresión valor numérica de un poli-namio, que venía utilizándose hasta ahora. Hayque insistir en las propiedades de los polinomioshasta llegar a demostrar su estructura de anilloconmulativo. El cálculo con radicales ha de redu-cirse a aquellos teoremas que son indispensablespara el manejo de las raíces de la ecuación de sa-gundo grado.

Deben darse en este curso unas nociones de Esta-dística, procurando que sean muy claras y prácticas.

La Geometrfa del espacio ha de estudiarse de unmodo eminentemente intuitivo y experimental, evi-tando la demostración de teoremas, que la experien-cia demuestra que son sumamente farragosos y abs-tractos.

31