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"LA FORMA DE INTEGRAR EL ERROR EN LA CIENCIA"

Dr. Francisco Sánchez Espinoza*

Palabras claves: Método científico, error, estadística, muestreo, paramétrico, no

paramétrico, hipótesis.

La ciencia es ante todo un método de conocimiento basado en una serie de pasos. Este

conocimiento tiene sus propias características, que sirven para diferenciarla de otros

métodos: el objetivo es la inferencia, obtener inferencias válidas a partir de información

empírica; el contenido de la ciencia, el centro, es el método, se trata de una serie de

reglas y pasos y no de un objeto de estudio; el método y técnica deben ser explícitos y

reconstruibles, y; los resultados de su aplicación son inciertos.

En este trabajo me detengo en la cuarta característica: los conocimientos

obtenidos, los resultados, con el método científico son inciertos, no se tiene la certeza,

en otras palabras, si se imagina la certeza como el área bajo una curva normal, entonces

un porcentaje de ella es confiable, pero el otro es de error. Otros métodos de

conocimiento aseguran que sus resultados son totalmente confiables, la ciencia no.

Se exploran cuatro formas de asumir el error.

El error de muestreo. Es el que se asume en la encuesta. Cuando se toma una

muestra a partir de una población, se renuncia a la certeza, se acepta de manera explícita

un porcentaje de error y, por otro lado, se escoge un nivel de confianza.

El error de ajuste. Es el que se da en métodos paramétricos. Se presenta en

particular en dos análisis paramétricos, en la correlación y la regresión. Cuando se han

obtenido las betas de regresión y se hacen interpolaciones en los valores de la variable

explicada se pueden establecer restas, elevar al cuadrado, sumarlas y establecer la

bondad de ajuste entre la curva proyectada y la curva real, eso es el tamaño del error.

El error en la asociación no paramétrico. Es el que se presenta en los análisis de

correlación no paramétricos. Se analiza el caso de la X cuadrada. La X cuadrada

establece la relación entre variables y si esa relación es significativa o no. En muchas

ocasiones se procede como si la información dispuesta en un cuadro apoyara las

hipótesis establecidas sin hacer pruebas de significación, lo que constituye un error,

* Mexicano. Licenciado en Economía, Maestro en Ciencias Políticas, Doctor en Sociología. Profesor-investigador de la Universidad Autónoma de Puebla en México. Candidato al Sistema Nacional de Investigadores. ([email protected]).

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además se establece un nivel de significación, que generalmente es de 95.5 %,

constituyendo otra forma en la que se asume el error.

El error hipotético, es el riesgo que se acepta cuando se plantean hipótesis, el

riesgo de no acertar. Se puede caer en el error tipo 1, llamado alfa; o en el de tipo 2,

llamado beta.

1. EL ERROR DE MUESTREO

Francisco Barranco (Barranco, 1994) expone una forma de muestreo basada

en una serie de elementos y en la aplicación de cuatro fórmulas.

Los elementos necesarios para el diseño de una muestra son los siguientes:

1. Tipos de población

a). Infinita, es mayor a 100 000 entidades

b). Finita, es menor o igual a 100 000 entidades

2. Coeficiente de fiabilidad

1). 95.5 %

2). 99.7 %

3. Error de muestreo (E)

Puede escogerse dentro de un margen de 0 a 100 %, por supuesto, se prefieren

errores pequeños. El 0 % de error implicaría encuestar al 100 % de la población.

4. Porcentajes

Los porcentajes o proporcionalidades son dos valores, p y q que sumados dan

como resultado 100 %. Se pueden obtener a partir de una encuesta piloto que puede ser

tomada en 100 a 200 entidades. Cuando no es posible, sobre todo por cuestiones

financieras, hacer esa encuesta piloto, entonces se asigna un valor de 50 a cada una de

las proporciones. Cuando ya se ha encuestado con anterioridad a la misma población

entonces es posible tomar los valores de los porcentajes de esa encuesta.

Con los dos primeros elementos, tipos de población y coeficiente de

fiabilidad, se escoge una de cuatro fórmulas; los otros dos elementos se encuentran en

la constitución de la fórmula. Entonces, las posibles fórmulas son las siguientes:

1). Población infinita con coeficiente de fiabilidad de 99.7 %

2

9Epq

n =

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3

2). Población infinita con coeficiente de fiabilidad de 95.5 %

2

4Epq

n =

3). Población finita con coeficiente de fiabilidad de 99.7 %

pqNE

pqNn

9)1(9

2 +−=

N, es el tamaño de la población o universo.

4). Población finita con coeficiente de fiabilidad de 95.5 %

pqNEpqN

n4)1(

42 +−

=

A continuación se presenta un ejemplo de aplicación, el cual se ha adecuado

para su exposición a partir del citado texto de Barranco.

Para el caso de una población infinita con un coeficiente de fiabilidad del 99.7

%, considérese que un partido político desea hacer un sondeo a nivel nacional, cuya

población en edad de votar es de 853, 000 individuos, con el objeto de conocer la

imagen que tiene entre los futuros electores. Para ello encuesta, inicialmente, a 150

votantes potenciales, obteniendo que 60 tienen intención de votarle. ¿A cuántos tendrá

que encuestar, si fija un coeficiente de fiabilidad del 99.7 % y un error de muestreo de

+- 1.5 %?

Los valores de p y q se obtendrán del pretest realizado:

%40100*15060

==p

%6040100 =−=q

Entonces los elementos son:

Población infinita

Coeficiente de fiabilidad 99.7 %

Error 1.5 %

p 40 %

q 60 %

Sustituyendo en la expresión se tiene lo siguiente:

2

9Epq

n =

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4

960025.2

216005.1

60*40*92 ===n

Se deberá entrevistar a 9, 600 individuos de la población en estudio.

2. EL ERROR DE AJUSTE

2.1. La condición de normalidad de los datos

En el análisis de regresión se encuentra un tipo de error, el de ajuste. La

regresión es una de las formas de análisis de la estadística paramétrica, por lo cual se

aplica bajo sus supuestos, a saber:

1. La distribución de la población es normal en la variable dependiente.

2. La medición se elabora por intervalos o razón en la variable dependiente.

3. Si dos o más poblaciones forman parte del estudio, entonces tienen una varianza

homogénea (Wiersma, 1986, 344).

2.1.1. La normalidad de una distribución se encuentra en dos condiciones: la de

asimetría y la de curtosis

Para abordarlas, la referencia son los momentos de la forma de la distribución. Si

se considera una distribución de datos, se establecen las desviaciones respecto de la

media, con la siguiente fórmula:

)( xxx i −=

Establecido el valor de x , el momento de primer orden respecto de la media de

la distribución está dado por la siguiente expresión:

Nx

m ∑=1

Este primer momento siempre tiene un valor de 0, lo cual expresa una

característica que define a la media, a saber, que se encuentra ubicada en la parte media

de la distribución, algunas observaciones se encuentran a su derecha y otras a su

izquierda, en otras palabras, el área del histograma que queda a la derecha es la misma

que la que aparece a su izquierda, de modo que, al efectuar las restas unas resultan

positivas y otras negativas y, la suma de las restas siempre da 0.

El momento de segundo orden es:

Nx

m ∑=2

2

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Es la fórmula de la varianza. Para evitar el resultado constante de 0 del momento

de primer orden, se elevan las restas al cuadrado antes de sumarlas y dividirlas entre el

número de observaciones. De esa manera, la varianza es el promedio de las

desviaciones de las observaciones respecto de la media, elevadas al cuadrado.

Recuérdese que, cuando es necesario, se puede retornar a las unidades de medición

originales obteniendo la raíz cuadrada de la varianza, operación cuyo resultado

llamamos Desviación Estándar.

Los siguientes momentos son los de tercer y cuarto orden, los cuales, al igual

que en el caso de segundo orden, elevan las restas a una potencia, tercera o cuarta, el

efecto, cuando los resultados de las restas son mayores a la unidad, es que se hacen más

grandes las diferencias, asimismo cuando el resultado de la resta es positivo, siempre

será positivo el resultado de la elevación independientemente de la potencia; cuando las

restas son negativas, lo siguen siendo, después de la elevación en primera potencia y en

tercera; en tanto que en segunda y cuarta se vuelve positivo el resultado. Las fórmulas,

ya definido que )( xxx i −= , son:

Nx

m ∑=3

3

Nx

m ∑=4

4

A partir de los momentos es que se construyen las fórmulas de cálculo. La de

asimetría es la siguiente:

3

2

31

m

mB =

En tanto que la fórmula para calcular la curtosis es:

22

42 m

mB =

Si la curva está sesgada a la derecha, B1 tendrá un valor positivo, mientras que si

el sesgo es negativo, B1 ofrecerá un valor negativo. Por ser una magnitud relativa, B1

expresa la cantidad relativa de asimetría y puede ser utilizada para comparar

distribuciones que contienen diferentes unidades de medición.

En cuanto a B2, se utiliza como coeficiente de curtosis o medida del grado de

apuntamiento de una distribución. Los valores pequeños de B2 representan una curva

platicúrtica (más baja que la curva normal), mientras que valores altos de B2 indican una

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distribución leptocúrtica o apuntada. La curva normal tiene un valor de B2 igual a 3 y se

denomina mesocúrtica.

2.1.2 La medición debe ser por intervalos o razón

Para establecer con mayor claridad lo que son tales niveles de medición, es

necesario revisar otros niveles de medición.

Nominal. Son categorías sin orden ni jerarquía, sólo marcan diferencias en una o

más características.

Un ejemplo es la variable sexo, la cual toma una de dos categorías, masculino o

femenino.

Pueden utilizarse como símbolos de clasificación números, 1 = masculino, 2 =

femenino, pero no se pueden aplicar a ello las operaciones aritméticas.

Ordinal. También hay categorías, pero están ordenadas de mayor a menor,

entonces las etiquetas o símbolos indican ese orden.

Por ejemplo: 1. Presidencia de gobierno; 2. Consejería de cultura, deportes

políticas sociales y vivienda; 3. Viceconsejería de políticas sociales e inmigración; 4.

Dirección general de políticas sociales (Gobierno, 2012).

No se pueden aplicar las operaciones aritméticas.

Intervalos. En este caso las categorías están ordenadas, hay una unidad de medida y

el intervalo es constante.

Como ejemplo una escala en la que se menciona una frase y el encuestado

contesta si está: 1. Muy en desacuerdo; 2. En desacuerdo; 3. Indiferente; 4. De acuerdo;

5. Muy en desacuerdo.

Se pueden aplicar análisis de datos con estadística descriptiva e incluso

inferencial.

Razón. Tiene las mismas características que la medición por intervalos, es decir,

categorías ordenas, unidad de medida e intervalo constante, pero además el cero es real,

entonces hay un punto en la escala en el que no está presente la propiedad.

Por ejemplo, el número de hijos por pareja. Hay parejas con 0 hijos, un hijo, dos

hijos, etc.

En este caso se aplican técnicas estadísticas descriptivas e inferenciales.

Entonces, los dos últimos niveles de medición son los que corresponden a la

utilización de la estadística paramétrica, entre otras técnicas la regresión.

2.1.3. La condición de varianzas homogéneas

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La última condición es que si son dos o más poblaciones las implicadas en el

estudio, entonces las varianzas deben ser homogéneas. Para ello debe recurrirse a lo ya

explicado en el cálculo de la asimetría y la curtosis. Se trata del momento de segundo

orden, es decir, el promedio de las desviaciones de las observaciones respecto de la

media, elevadas al cuadrado. Pues bien, las varianzas deben ser parecidas en las

poblaciones.

2.2. Regresión, correlación y error de ajuste

Ya habiendo establecido los supuestos del análisis paramétrico, debe adentrarse

en la regresión.

La regresión lineal establece la relación entre series de datos, estableciendo la

relación de cambio y, adicionalmente, un punto de intercepto.

Los posibles valores fluctúan desde –n hasta +n.

El formato para obtener los valores es:

xyi 10 ββ +=

La pendiente de la línea de regresión se obtiene con la siguiente fórmula:

nx

x

nyx

xy2

21 )(∑∑

∑ ∑ ∑

−

−=β

El intercepto con Y de la línea de regresión se obtiene con la siguiente fórmula:

xy 10 ββ −=

Donde la barra superior en y y x indica que se trata de los promedios.

Para ejemplo, se retoman los siguientes datos, los cuales corresponden a

pacientes que sufren un infarto y que les es inyectada una sustancia en distintas dosis,

que aumenta desde 0.5 mm. cúbicos, hasta 3.0, dicho aumento va en media unidad

creciendo paulatinamente. Además se da el dato de los segundos que tarda en reaccionar

el paciente (Wayne, 1988).

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Xi Yi

1 0.5 12

2 0.5 22

3 0.5 30

4 1 18

5 1 32

6 1 36

7 1.5 30

8 1.5 34

9 1.5 46

10 2 40

11 2 44

12 2 50

13 2.5 44

14 2.5 60

15 2.5 64

16 3 64

17 3 6818 3 76

FUENTE: Wayne, Daniel. “Estadística con aplicaciones a las

ciencias sociales y a la educación.” Mc Graw-Hill, México, 1988.P. 317.

CUADRO 1

SOLUCIÓN INYECTADA Y TIEMPO DE REACCIÓN

EN PACIENTES CON PARO CARDIACO

En el cuadro siguiente se encuentran realizadas las operaciones necesarias para

obtener los valores de los parámetros de regresión:

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9

Xi Yi Xi2 Yi2 XiYi1 1 12 0 144 6 2 1 22 0 484 11 3 1 30 0 900 15 4 1 18 1 324 18 5 1 32 1 1,024 32 6 1 36 1 1,296 36 7 2 30 2 900 45 8 2 34 2 1,156 51 9 2 46 2 2,116 69

10 2 40 4 1,600 80 11 2 44 4 1,936 88 12 2 50 4 2,500 100 13 3 44 6 1,936 110 14 3 60 6 3,600 150 15 3 64 6 4,096 160 16 3 64 9 4,096 192 17 3 68 9 4,624 204 18 3 76 9 5,776 228

31.50 770 68.25 38,508 1,595 1.75 42.78

FUENTE: Elaboración del autor.

REGRESIÓN (MÉTODO A)

CUADRO 2OBTENCIÓN DE LA FUNCIÓN DE

Sustituyendo y despejando:

8571.18125.13

5.247125.5525.68

5.13471595

18)5.31(

25.68

18770*5.31

1595

)( 222

1 ==−−

=−

−=

−

−=

∑∑

∑ ∑ ∑

nx

x

nyx

xyβ

7779.975.1*8571.187778.4220 =−=−= xy ββ

Entonces, la función de regresión muestral es la siguiente:

xyi 10 ββ +=

xyi 8571.187779.9 +=

Ahora se calcularán, con la función de regresión muestral, los valores para la

variable explicada, en este caso Y, que es el tiempo de reacción:

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Xi Yi Y´ Y - Y´ (Y - Y´) (Y - Y´)1 0.5 12 19.20 -7.20 51.872 0.5 22 19.20 2.80 7.833 0.5 30 19.20 10.80 116.604 1 18 28.63 -10.63 112.935 1 32 28.63 3.37 11.386 1 36 28.63 7.37 54.367 1.5 30 38.05 -8.05 64.838 1.5 34 38.05 -4.05 16.429 1.5 46 38.05 7.95 63.17

10 2 40 47.48 -7.48 55.9111 2 44 47.48 -3.48 12.0912 2 50 47.48 2.52 6.3713 2.5 44 56.90 -12.90 166.4614 2.5 60 56.90 3.10 9.6015 2.5 64 56.90 7.10 50.3816 3 64 66.33 -2.33 5.4117 3 68 66.33 1.67 2.8018 3 76 66.33 9.67 93.57

31.5 770 901.9750.117.08


CUADRO 3CÁLCULO DEL ERROR ESTÁNDAR

Para explicar la obtención del error estándar, primero se revisa la definición:

“Error estándar: … definido como la desviación promedio de un

estimado de los valores reales de la población.” (Hernández, 1991, 230).

Como desviación se entiende una resta; si es promedio entonces se divide entre el

número de observaciones. Otra definición, de García Ferrando, más explícita, nos dice:

“…podemos seguir el criterio de la varianza, que consistirá simplemente

en restar de cada valor real de Y el resultante de la ecuación, se eleva al

cuadrado la diferencia, se suman todos los casos y se divide por N. Es

decir, mediante la estimación de la varianza N

YYSyx

22 ´)( −

= ∑ , en donde

Y´ representa el valor de Y calculado mediante la aplicación de la ecuación

de predicción.” (García, 1997, 268).

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Entonces, mediante la fórmula de regresión muestral, con los parámetros

obtenidos, se calculan los valores de Y para cada valor dado de X. Por ejemplo, para el

primer valor, X = 0.5 el valor de Y calculada:

xyi 10 ββ +=

xyi 8571.187779.9 +=

)5(.8571.187779.9 +=iy

20.19=iy

Obtenidos todos los valores, se procede a elaborar las restas en otra columna, Y

– Y´; posteriormente, en una columna adyacente, se elevan al cuadrado esas restas, ya

que, tal como sucede con el cálculo de la varianza, si se suman inmediatamente las

restas al calce de su columna, el resultado sería invariablemente de cero, para evitar eso

se elevan al cuadrado las restas y se suman. Para finalizar este procedimiento se divide,

según lo señalado por García Ferrando, entre el número de observaciones. El resultado

es de 50.11, que es una medida del ajuste entre la Y real y la Y proyectada con la

función de regresión muestral.

Para una mejor apreciación se puede calcular y representar gráficamente la línea

de la función de regresión muestral, la función y el error estándar con Excel.

CUADRO 4 Y GRÁFICO 1

X Y0.5 120.5 220.5 30

1 181 321 36

1.5 301.5 341.5 46

2 402 442 50

2.5 442.5 602.5 64

3 64 r r*r3 68 0.915 0.838

3 76FUENTE: Elaboración del autor.

SOLUCIÓN INYECTADA Y TIEMPO DE REACCIÓN EN PACIENTES CON PARO CARDIACO

y = 18.857x + 9.7778R2 = 0.838

-

20

40

60

80

- 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

SOLUCIÓN INYECTADA (Mm.)

TIE

MP

O (S

eg.)

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Para obtener lo que se presenta en el cuadro y gráfico anterior, se obtiene, a

partir de la información de las dos variables, dispuesta en un par de columnas, un

gráfico en Excel de tipo “Estándar”, escogiendo el de “XY (Dispersión)” y el primer

“Subtipo”, se puede dar nombre al gráfico y establecer las variables en los ejes; se

finaliza el gráfico. Ahora se trabaja sobre el gráfico: en uno de los puntos de dispersión

se da “click” derecho y “Agregar línea de tendencia” y en la pestaña “Tipo” se escoge

“Lineal”; en la pestaña “Opciones” se escoge “Presentar ecuación en el gráfico” y

“Presentar el valor R cuadrado en el gráfico”.

En otro texto no solamente se llega al cálculo de la varianza, sino que se procede

a obtener la desviación estándar. Puede leerse en Gujarati lo siguiente.

“La raíz cuadrada positiva de 2δ :

2

2

−= ∑

Neiδ se conoce como el error estándar de la estimación.

Básicamente, es la desviación estándar de los valores de Y con respecto a

la línea de regresión estimada y que se utiliza con frecuencia como una

medida que resume la “bondad del ajuste” de la línea de regresión

estimada…” (Gujarati, 1993, 64).

A continuación se hace el cálculo de la desviación estándar bajo la definición

anterior:

21897.901

2

2

−=

−= ∑

Neiδ

508.737.56 ==δ

Como puede observarse, la medida de García llega hasta el cálculo de la

varianza, y en Gujarati se prolonga hasta la desviación estándar, asimismo hay otra

diferencia en que la división García la hace respecto de N y en Gujarati entre N- 2. En

este cálculo al término N – 2 se le conoce como el “número de grados de libertad”:

“El término grados de libertad muestra el número total de observaciones

en la muestra ( = N) menos el número de restricciones lineales impuesto en

ellas.” (Gujarati, 1993, 64).

Por ejemplo, antes de que la suma de los errores se realice, debieron haberse

calculado las Betas de la regresión lineal, estos dos estimadores ponen dos restricciones

sobre el cálculo de la desviación estándar, entonces hay N – 2 y no N observaciones

independientes para el cálculo.

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Por lo que se ve es más preciso el resultado si se sigue el método de Gujarati, en

él se consideran los grados de libertad y se llega, no sólo a la varianza, sino hasta la

desviación estándar, como esta desviación se calcula respecto de los errores, es decir, de

las desviaciones de las Y´ respecto a Y, entonces se denomina, además de desviación

estándar de los errores, por contracción, error estándar. Es, entonces, el error estándar,

otra forma en la que la ciencia asume las posibilidades de error, al aplicar una

herramienta de orden paramétrico.

Por otra parte, a un procedimiento como el que se ha elaborado, en el que se

calcula el error estándar de las observaciones, se le denomina intrapolación. Ésta

consiste en calcular valores, mediante las Betas de regresión, para los puntos en los que

hay medición de la variable explicada, de la coincidencia o falta de ella se obtienen las

restas o suma de los errores, pero las Betas o parámetros también se utilizan con fines

de pronóstico. Como ejemplo tómense los siguientes datos, correspondientes al ingreso

familiar y los gastos en alimentos de 40 universitarios. Se presentan los cálculos para las

Betas (Carter, 2000, 50):

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Food Expenditure Income NUME- DENO-

Obs Y X RADOR MINADOR1 52.25 258.30 22,974.33- 193,336.09 2 58.32 343.10 20,697.77- 125,954.01 3 81.79 425.00 22,328.67- 74,529.00 4 119.90 467.50 27,636.95- 53,130.25 5 125.80 482.90 27,059.58- 46,268.01 6 100.46 487.70 21,126.74- 44,226.09 7 121.51 496.50 24,484.27- 40,602.25 8 100.08 519.40 17,874.29- 31,897.96 9 127.75 543.30 19,762.93- 23,932.09

10 104.94 548.70 15,667.54- 22,290.49 11 107.48 564.60 14,337.83- 17,795.56 12 98.48 588.30 10,803.26- 12,034.09 13 181.21 591.30 19,335.11- 11,384.89 14 122.23 607.30 11,086.26- 8,226.49 15 129.57 611.20 11,246.68- 7,534.24 16 92.84 631.00 6,220.28- 4,489.00 17 117.92 659.60 4,528.13- 1,474.56 18 82.13 664.00 2,792.42- 1,156.00 corr r*r19 182.28 704.20 1,130.14 38.44 0.563 0.31720 139.13 704.80 946.08 46.24 21 98.14 719.80 2,139.45 475.24 22 123.94 720.00 2,726.68 484.00 23 126.31 722.30 3,069.33 590.49 24 146.47 722.30 3,559.22 590.49 25 115.98 734.40 4,221.67 1,324.96 26 207.23 742.50 9,221.74 1,980.25 27 119.80 747.70 5,954.06 2,470.09 28 151.33 763.30 9,881.85 4,264.09 29 169.51 810.20 19,019.02 12,588.84 30 108.03 818.50 13,017.62 14,520.25 31 168.90 825.60 21,551.64 16,281.76 32 227.11 833.30 30,727.98 18,306.09 33 84.94 834.00 11,551.84 18,496.00 34 98.70 918.10 21,723.87 48,444.01 35 141.06 918.10 31,047.31 48,444.01 36 215.40 929.60 49,886.64 53,638.56 37 112.89 951.70 28,640.19 64,363.69 38 166.25 1,014.00 52,535.00 99,856.00 39 115.43 1,141.30 51,170.12 196,514.89 40 269.03 1,154.60 122,839.10 208,483.56 b2 b1

5,212.52 27,920.00 196,597.54 1,532,463.02 0.13 40.77130.31 698.00

Fuente: Elaboración del autor.

DE UNIVERSITARIOS Y OBTENCIÓN DE LA FUNCIÓN DEREGRESIÓN (MÉTODO 2)

CUADRO 5 Y GRÁFICO 2

INGRESO FAMILIAR Y GASTO EN ALIMENTOS SEMANALES

INGRESO-GASTO EN ALIMENTOS DE FAMILIAS DE UNIVERSITARIOS (Dlls./Semana)

y = 0.1283x + 40.768R

2 = 0.3171

0

50

100

150

200

250

300

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

INGRESO

GA

ST

O E

N A

LIM

EN

TO

S

Sustituyendo y despejando:

128.002.153246354.196597

)()(

21 ==−

−=

∑∑

xxyxx

t

ttβ

128.01 =β

768.40698*128.031.13020 =−=−= xy ββ

768.400 =β

Elaborar un pronóstico o extrapolar, sería por ejemplo, aplicar los parámetros a

un valor de la variable independiente que no se encuentra en el rango de valores reales.

El mínimo es de $ 258.30 y el máximo de $ 1, 154.60, entonces se aplicará a un valor de

$ 1, 300.00:

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15

xyi 10 ββ +=

xyi 128.0768.40 +=

)1300(128.0768.40 +=iy

56.207=iy

Pero la pregunta es qué tanto se apega esa predicción a la realidad, es decir,

puede ser que la predicción pueda ser errónea, ya que hay valores en la variable

explicatoria menores a $ 1, 300.00 que tienen gastos mayores a $ 207.56, podría ser que

la relación no sea estrictamente lineal, y entonces tenemos lo que puede llamarse una

forma derivada de error dentro de lo que implica el proceso de regresión.

La correlación puede ser útil para comprender esto. La fórmula de la correlación

de Pearson, cuyo indicador mide el grado de asociación entre variables, es la siguiente:

∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∑

−−

−=

2222 )()(

)()(

yynxxn

yxxynr

Por ejemplo, la correlación para los ingresos y gastos de familias de

universitarios es de 0.563

Puede darse otro uso a esa medición, si se eleva al cuadrado:

“… obsérvese que el r2 definido previamente también se puede calcular

como el cuadrado del coeficiente de la correlación existente entre el valor

real de yt y el valor estimado de Yi.”(Gujarati, 1993, 71).

Se trata de una medida del ajuste entre los valores reales y los obtenidos con la

función de regresión muestral:

“La cantidad r2 definida … se conoce como coeficiente de determinación

(muestral), y es la más ampliamente utilizada medida de la bondad del

ajuste de una línea de regresión. Claramente, r2 mide la proporción o

porcentaje de la variación total en Y explicada por el modelo de

regresión.” (Gujarati, 1993, 70).

En búsqueda de un mejor ajuste puede variarse, usando el lenguaje de Excel, el

“tipo” del formato de la línea de tendencia. Se presentan a continuación los gráficos con

los valores de las funciones, lineal, logarítmica, polinomial, potencial y exponencial, y

los R2 :

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GRÁFICA 3MODELO LINEAL

INGRESO Y GASTO EN ALIMENTOS DE FAMILIAS DE UNIVERSITARIOS (DLLS./SEMANA)

y = 2.4719x + 375.88

R2 = 0.3171

-200.00400.00600.00800.00

1,000.001,200.001,400.00

- 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00

INGRESO

GA

STO

EN

A

LIM

EN

TO

S


GRÁFICA 4MODELO LOGARÍTMICO


y = 344.93Ln(x) - 962.72R

2 = 0.3441

-200.00400.00600.00800.00

1,000.001,200.001,400.00

- 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00

INGRESO

GA

ST

O E

N

AL

IME

NT

OS

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17


GRÁFICA 5MODELO POLINOMIAL


y = -0.0054x2 + 4.1249x + 262.69

R2 = 0.3233

-200.00400.00600.00800.00

1,000.001,200.001,400.00

- 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00

INGRESO

GA

STO

EN

A

LIM

EN

TO

S


GRÁFICA 6MODELO POTENCIAL


y = 41.291x0.5784

R2 = 0.4014

-200.00

400.00

600.00800.00

1,000.001,200.00

1,400.00

- 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00

INGRESO

GA

ST

O E

N A

LIM

EN

TO

S

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18


GRÁFICA 7MODELO EXPONENCIAL


y = 402.37e0.0039x

R2 = 0.327

-

200.00

400.00

600.00

800.00

1,000.00

1,200.00

1,400.00

- 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00

INGRESO

GA

ST

O E

N A

LIM

EN

TO

S

El modelo potencial es el que presenta el mayor R2, que es de 0.4014. La forma

general de los modelos con distintas funciones se representan en la siguiente gráfica:

Como puede observarse, un pronóstico “exitoso” depende de diversos aspectos,

como el modelo teórico que se utilice, es decir las variables explicatorias; tener un R2

alto; un error estándar bajo; pero también es importante el “tipo” de modelo que se

utilice, ya que la sola alta correlación o bajo error estándar no aseguran el pronóstico

“exitoso”.

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3. EL ERROR PREDICTIVO NO PARAMÉTRICO

Se trata de una prueba estadística para evaluar hipótesis acerca de la relación

entre dos variables categóricas.

La X2 se calcula por medio de una tabla de contingencia o tabulación cruzada,

que es una tabla de dos dimensiones y cada dimensión contiene una variable. A su vez,

cada variable se subdivide en dos o más categorías.

Un ejemplo de tabla de contingencia o tabulación cruzada es la siguiente:

En la tabla de contingencia se anotan las frecuencias observadas. En la tabla

siguiente se muestra un ejemplo de ello, se trata de una tabla de 3 * 2:

La frecuencia esperada de cada celda, casilla o recuadro, se calcula mediante la

siguiente fórmula, aplicada a la tabla de frecuencias observadas:

N

columnaladeTotalfilaladeTotalfe

*=

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20

Donde N es el número total de frecuencias observadas.

Una vez obtenidas las frecuencias esperadas, se aplica la fórmula de X2:

∑ −=

EEO

X2

2 )(

Donde O, es la frecuencia observada en cada celda; E, es la frecuencia esperada

en cada celda.

Es decir, se calcula para cada celda la diferencia entre la frecuencia observada y

la esperada, esta diferencia se eleva al cuadrado y se divide entre la frecuencia esperada.

Finalmente, se suman estos resultados y la sumatoria es el valor de X2 obtenida.

La X2 procede de una distribución muestral, denominada distribución X2, por

otro lado, los resultados obtenidos con el proceso expuesto están identificados por los

grados de libertad; entonces, para saber si un valor de X2 es o no significativo, se deben

calcular los grados de libertad. Estos se obtienen mediante la siguiente fórmula:

)1(*)1( −−= cfGl

Donde f es el número de filas de la tabla de contingencia y, c es el número de

columnas.

Con los grados de libertad correspondientes se acude a una tabla de distribución

de X2. Se elige un nivel de confianza, .05 o .01. Entonces, si el valor calculado de X2 es

igual o superior al de la tabla, las variables están relacionadas y X2 es significativa.

Puntualizando el procedimiento:

1. Se parte de una tabla de frecuencias observadas

2. Se obtiene la tabla de frecuencias esperadas

3. Se obtiene el valor de X2

4. Se obtienen los grados de libertad

5. En la tabla de distribución de X2 se elige un nivel de confianza y se obtiene

el “valor de la tabla” con los grados de libertad

6. Se compara el Valor de X2 con el “valor de la tabla”, entonces:

VALOR DE VALOR EN RELACIÓN

X CUADRADA TABLAS ESTADÍSTICA TESIS

Menor Mayor No significativa Variables no relacionadas

Mayor Menor Significativa Variables relacionadas

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21

Ejemplo. Los siguientes datos provienen de una encuesta aplicada en el Estado

de Puebla tres meses antes de las elecciones federales de 2000 para la presidencia de la

república. Se presentan categorizados y en términos porcentuales. Por un lado, la

variable “Partidos políticos” se ha categorizado en Partido Acción Nacional (PAN),

Partido Revolucionario Institucional (PRI) y, Partido de la Revolución Democrática

(PRD); por otro lado, la variable “Edad”, se ha categorizado en, primero, electores que

tengan entre 18 y 30 años, segundo, electores que tengan entre 31 y 42 años, los que

tengan entre 43 y 52 años y, por último, electores de 53 o más años.

Se desea saber si las variables están relacionadas como para poder explicar a una

con la otra.

Evalúe, entonces, la relación entre las variables, mediante la X2.

TABLA DE CONTINGENCIA DE FRECUENCIAS OBSERVADAS.

PARTIDOSPOLÍTICOS

EDAD PAN PRI PRD TOTAL18-30 43.45 32.52 8.35 84.3231-42 43.85 31.57 5.26 80.6843-52 33.33 59.25 3.79 96.3753-… 49.01 40 5.45 94.46TOTAL 169.64 163.34 22.85 355.83

TABLA DE CONTINGENCIA DE FRECUENCIAS ESPERADAS.

PARTIDOSPOLÍTICOS

EDAD PAN PRI PRD TOTAL18-30 40.20 38.71 5.41 84.3231-42 38.46 37.04 5.18 80.6843-52 45.94 44.24 6.19 96.3753-… 45.03 43.36 6.07 94.46TOTAL 169.64 163.34 22.85 355.83

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22

CELDA O E O-E (O-E)2 (O-E)2/EPAN1 43.45 40.20 3.25 10.57 0.26PAN2 43.85 38.46 5.39 29.01 0.75PAN3 33.33 45.94 -12.61 159.11 3.46PAN4 49.01 45.03 3.98 15.81 0.35PRI1 32.52 38.71 -6.19 38.27 0.99PRI2 31.57 37.04 -5.47 29.87 0.81PRI3 59.25 44.24 15.01 225.37 5.09PRI4 40.00 43.36 -3.36 11.30 0.26PRD1 8.35 5.41 2.94 8.62 1.59PRD2 5.26 5.18 0.08 0.01 0.00PRD3 3.79 6.19 -2.40 5.75 0.93PRD4 5.45 6.07 -0.62 0.38 0.06

SUMA 14.57

Gl = (4-1)*(3-1)=6

GRADOS DE LIBERTAD SEIS

NIVEL DE CONFIANZA

GRADOS DE

LIBERTAD 0.05 0.01

6 12.592 16.812

A .05 12.592 SIGNIF. VARIABLES RELACIONADASA .01 16.812 NO SIGNIF. VARIABLES NO RELACIONADAS

A .05 de confianza es significativa, pero a .01 es no significativa.Por lo tanto, en un caso las variables no están relacionadas y,en el otro sí tienen relación.

)1(*)1( −−= cfGl

Las variables están relacionadas a un nivel de confianza de .05, y no están

relacionadas al nivel de confianza de .01, lo que indica que no está garantizado que su

relación sea causal, pero tampoco pueden desecharse.

4. LA PRUEBA DE HIPÓTESIS

Deben seguirse los siguientes siete pasos:

1. A partir del marco teórico o estado del arte se establece una hipótesis que se

constituye en el parámetro poblacional.

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23

Por ejemplo, “Los potenciales votantes en el estado de Puebla ven, en

promedio 2.8 horas de televisión al día.”

2. Se escoge un nivel de significancia.

En este caso escogeremos .05.=α

3. Obtención de los estadígrafos.

Por ejemplo, a partir de una encuesta, cuyo cuestionario se aplicó a 1600

personas con credencial para votar, con un 2.5 como porcentaje aceptado de

error y, un 95.5 % como índice de confianza, en condiciones de máxima

varianza, se obtuvo que en promedio las personas encuestadas ven 2.7 horas

diarias de televisión, con una desviación estándar de .9 horas.

4. Con la siguiente fórmula se calcula la desviación estándar de la distribución

muestral de la media:

n

sxS =

Con los datos del ejemplo:

0225.1600

9.0===

ns

xS

5. Se transforma la media de la muestra en una puntuación Z, es decir a unidades

de desviación estándar, pero tomando en cuenta que se trata de una distribución

muestral. La fórmula para la obtención de puntuaciones Z es la siguiente:

DSXX

Z−

=

Una observación particular menos la media de los datos, dividido el resultado y,

por lo tanto, puesta en términos de desviación estándar.

Como en este caso no se trata de una observación, sino de la media de la

muestra, entonces la fórmula se adecua de la siguiente manera:

XS

XXZ

−=

Es decir, la media de la muestra menos la media que se plantea como hipótesis o

parámetro, dividida esa resta entre la desviación estándar de la distribución muestral de

medias.

Entonces, para nuestro ejemplo:

44.40225.

8.27.2 −=−=−=XS

XXZ

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6. Se escoge un nivel de significancia de 95 %. Entonces es necesario recurrir a

una tabla de áreas bajo la curva (ver tabla al final del texto). Debe buscarse el valor

.025, ya que en la cuarta columna se muestra el “Área de la parte menor”, es decir la

cola de la derecha del área bajo la curva y, dado el nivel de significancia escogido, 2.5

queda por la derecha y 2.5 por la izquierda. En la primera columna se muestra la

“Puntuación Z” correspondiente, en este caso 1.96. La segunda columna muestra la

“Distancia de Z a la media” y, la tercera, el área bajo la curva desde el inicio de la

distribución, es decir el “Área de la parte mayor”.

7. Se compara la media de la muestra transformada a puntuación Z con el valor

en Tabla, se aplica el criterio: si Z es menor a Tablas se acepta H; si Z es mayor a

Tablas se rechaza H.

En el ejemplo, Z = 4.44 y; Tabla = 1.96; entonces se rechaza H.

La decisión de rechazar se efectúa teniendo un 95 % a favor y, 5 % de riesgo de

cometer un error.

Los resultados posibles, al plantear hipótesis y llevar a cabo el procedimiento de

probarlas, son:

1. Aceptar una hipótesis verdadera (decisión correcta).

2. Rechazar una hipótesis falsa (decisión correcta).

3. Aceptar una hipótesis falsa (error tipo II o Beta).

4. Rechazar una hipótesis verdadera (error tipo I o Alfa).

FUENTES

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cuasiexperimentales en la investigación social.” Amorrortu editores, Buenos Aires. CORREA, Guillermo (2008): “Contribuciones al análisis multivariante no lineal.” Memoria para optar por el grado de Doctor por el Departamento de Estadística de la Universidad de Salamanca, Universidad de Salamanca.

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