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M.C. Marcos Samuel López Rivera

Investigación de

Operaciones II

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Programación Por Metas

Antecedentes de Programación por Metas.

Los orígenes de las técnicas de programación matemática se remontan enla historia de las matemáticas a las teorías de ecuaciones y desigualdadeslineales y no lineales. Sin embargo George Bernard Dantzig es reconocidocomo el padre de la Programación Lineal.

Dantzig trabajó primeramente en la búsqueda de técnicas para resolverproblemas logísticos de planeación militar, cuando él fue empleado por laFuerza Aérea de Los Estados Unidos en Washington, D.C., allá por 1940.

Su investigación fue fomentada por otros estudiosos que trabajaron en elmismo tema: John Von Newman, Leonid Hurwicz y Tjalling Charles Koopmans.El nombre original dado a la técnica fue "Programación de Actividadesinterdependientes en una estructura lineal", y que después fue acortado a"Programación Lineal".

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De 1948 en delante, muchos estudiosos continuaron tratando de refinar latécnica de Dantzig y explorando la aplicación potencial de programaciónlineal. Sin embargo el equipo de Abraham Charnes y William Wager Cooper,tiene adjudicado el haber introducido y aplicado la técnica a problemasindustriales. Ellos tienen publicados excelentes artículos así como libros detexto sobre programación lineal.

En su continua investigación sobre programación lineal, Abraham Charnes yWilliam Wager Cooper desarrollaron el concepto de "PROGRAMACIÓNPOR METAS". El concepto de programación por metas surgió primerocomo un resultado de problemas de programación lineal sin solución.



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Proporcionaremos el siguiente ejemplo para iniciarnos en Programaciónpor Metas.

𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 𝑥1 +1

2𝑥2

𝑠. 𝑎. 3𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 12

5𝑥1 ≤ 10

𝑥1 + 𝑥2 ≥ 8

−𝑥1 + 𝑥2 ≥ 4

𝑥1, 𝑥2 ≥ 0



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La figura anterior representa el problema de decisión indicandorestricciones en la gráfica. Las dos áreas sombreadas indican regiones detraslape que pueden ser consideradas como áreas de solución factible en elsentido de que ellas satisfacen algunos subconjuntos de restricciones.

Sin embargo como las dos áreas sombreadas no se intersectan, no existeárea de solución factible. Entonces este problema no puede ser resuelto por elprocedimiento usual de programación lineal.



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Fundamentos de Programación por Metas.

Resumiendo Conceptos:

1. El tomador de decisiones (gerente) define su estructura de preferencias.

2. Esta definición se hace a través de la jerarquización (ordinal) de loscriterios o metas.

3. El tomador de decisiones (gerente) no está dispuesto a sacrificar unobjetivo o criterio (meta) de mayor prioridad para beneficiar otro, demenor prioridad.

4. La optimización de criterios es secuencial.

5. El tomador de decisiones (gerente) tiene una función de utilidad linealde los criterios.



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Análisis Matemático de Programación por Metas.

Programación por metas es un modelo matemático lineal en el cuál laconsecución óptima de las metas es realizada dentro del medio ambientede decisión dado. El medio ambiente de decisión determina lascomponentes básicas del modelo llamadas; variables de decisión, restriccionesy función objetivo.

Variables de decisión son aquellas variables reales en el modelo cuyosvalores son arbitrariamente asignados y cambiados en la búsqueda paraun conjunto óptimo de valores. Las variables de decisión estánrelacionadas entre ellas mismas y entre otras variables, cuyos valores sonespecificados de acuerdo con el medio ambiente o la situación tecnológica.

Restricciones representan un conjunto de relaciones entre variablesdedecisión.



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Análisis Matemático de Programación por Metas.

Una función objetivo es una expresión matemática que involucra algunasvariables en el modelo cuyos valores pueden ser computados cuando losvalores de todas las otras variables son determinados.

I. Meta Simple Con Múltiple Submetas:

Un fabricante de muebles produce dos clases de estos, escritorios y mesas.El margen total que queda de la venta de un escritorio es $ 80, y por laventa de una mesa es $ 40. La meta del gerente de la planta es ganar unautilidad total de $ 640 en la siguiente semana.



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II. Restricciones Submeta:

Considerando el caso del ejemplo anterior. Ahora supongamos queademás de las restricciones consideradas en el ejemplo, las siguientes dosrestricciones son impuestas. El departamento de mercadotecnia reportaque el máximo número de escritorios que puede ser vendido en unasemana es seis. Y el máximo numero de mesas que puede ser vendido esocho.

III. Análisis de Metas Múltiples:

Ahora el gerente desea alcanzar una utilidad semanal lo mas cercanaposible a $ 640. El también desea alcanzar un volumen de ventas paraescritorios y mesas cercano a seis y cuatro respectivamente.



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Ejemplo 1: Innex Corporation

La empresa tiene tres objetivos que se detallan a continuación:

Prioridad 1: Minimice el bajo rendimiento de una producción total dediez unidades por semana (Objetivo 1).

Prioridad 2: Minimice el bajo rendimiento de producir ocho unidades delproducto A semanalmente. (Objetivo 2).

Prioridad 3: Minimice el bajo rendimiento de producir trece unidades delproducto B semanalmente. (Objetivo 3).



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Variables:

𝑥1 = Unidades de A producidas semanalmente.

𝑥2 = Unidades de B producidas semanalmente.

𝑑𝑖− = Cantidad de unidades faltantes.

𝑑𝑖+ = Cantidad de unidades excedentes.

Restricciones:

5𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 50

2𝑥1 + 4𝑥2 ≤ 48



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Objetivos:

(1) Producción total de diez unidades por semana:

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑑1− − 𝑑1+ = 10

(2) Producción de ocho unidades del producto A semanalmente:

𝑥1 + 𝑑2− − 𝑑2+ = 8

(3) Producción de trece unidades del producto B semanalmente:

𝑥2 + 𝑑3− − 𝑑3+ = 13

No negatividad:

𝑥1, 𝑥2, 𝑑𝑖− , 𝑑𝑖+ ≥ 0 para toda 𝑖



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Formulación Resumida:

Min 𝑃1 𝑑1− + 𝑃2 𝑑2− + 𝑃3 𝑑3−

s.a. 5𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 50

2𝑥1 + 4𝑥2 ≤ 48

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑑1− − 𝑑1+ = 10

𝑥1 + 𝑑2− − 𝑑2+ = 8

𝑥2 + 𝑑3− − 𝑑3+ = 13

𝑥1, 𝑥2, 𝑑1− , 𝑑1+ , 𝑑2− , 𝑑2+ , 𝑑3− , 𝑑3+ ≥ 0



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Gráfico de Restricciones:



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Ejemplo: Innex Corporation

Gráfico de Restricciones (Espacio de Soluciones):



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Ejemplo: Innex Corporation

Gráfico de Objetivos y Restricciones:



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Clasificación de problemas de optimización:

Un objetivo (Con restricciones o sin restricciones):

Maximizar 𝑧 = 80𝑥1 + 50𝑥2

2𝑥1 + 1.5𝑥2 ≤ 50

3𝑥1 + 𝑥2 ≤ 40

𝑥1, 𝑥2 ≥ 0

Multiobjetivo (Programación por metas).

Programación por objetivos.

Programación por metas.



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La programación por metas se puede usar para resolver problemas(programas) lineales con objetivos múltiples, con cada objetivo visto comouna “meta".

En la programación por metas, 𝑑𝑖+ y 𝑑𝑖

−, variables de desviación, son lascantidades en las que una meta 𝑖 es superada o no alcanzada,respectivamente.

Un enfoque para la programación por metas es satisfacer los objetivos enuna secuencia de prioridad. Los objetivos de segunda prioridad sepersiguen sin reducir los objetivos de primera prioridad, etc.

En la programación por metas más que encontrar el máximo de unobjetivo, es conformarse con una cota inferior.

El espacio de soluciones siempre tiene que cumplirse, mientras que losobjetivos pueden no cumplirse.



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Ejemplo 2: Conceptual Products

Conceptual Products es una empresa de informática que produce lascomputadoras CP400 y CP5OO. Las computadoras usan diferentes placasmadre producidas en abundancia por la empresa, pero usan CPU’s yunidades de disco de proveedores. Los modelos CP40O usan dos unidadesde disco flexibles y ninguna unidad de disco Zip, mientras que los modelosCP5OO utilizan una unidad de disco flexible y una unidad de disco Zip.

Cada semana hay 1000 unidades de disco flexible, 500 unidades de discoZip y 600 CPU’s disponibles para Conceptual Products. Se demora unahora en fabricar un CP400 y su ganancia es de $200.00 y lleva una hora ymedia fabricar un CP500 y su ganancia es de $500.00.



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La compañía tiene tres metas que se detallan a continuación:

Cumplir con un contrato de 200 máquinas CP400 semanalmente.

Producir por lo menos un total de 500 computadoras semanalmente.

Obtener al menos $250,000 de ganancia semanal.

Variables:

𝑥1 Número de computadoras CP400 producidas semanalmente.

𝑥2 Número de computadoras CP500 producidas semanalmente.

𝑑𝑖− Cantidad faltante de la meta 𝑖.

𝑑𝑖+ Cantidad excedente de la meta 𝑖.



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Restricciones:

Disponibilidad de disco flexible: 2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 1000.

Disponibilidad de disco Zip: 𝑥2 ≤ 500.

Disponibilidad de CPU’s: 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 600.

Metas:

(1) 200 computadoras CP400 por semana: 𝑥1 + 𝑑1− − 𝑑1

+ ≥ 200

(2) Un total de 500 computadoras por semana: 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑑2− − 𝑑2

+ ≥ 500

(3) $250,000 en ganancia: 200𝑥1 + 500𝑥2 + 𝑑3− − 𝑑3

+ ≥ 250,000

0.2𝑥1 + 0.5𝑥2 + 𝑑3− − 𝑑3

+ ≥ 250

No negatividad: 𝑥1, 𝑥2, 𝑑𝑖−, 𝑑𝑖

+ ≥ 0 para toda 𝑖.



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Funciones Objetivo:

Prioridad 1: Minimizar el no cumplimiento del contrato: 𝑀𝑖𝑛 𝑑1−.

Prioridad 2: Minimizar el no cumplimiento de 500 computadorasproducidas semanalmente:𝑀𝑖𝑛 𝑑2

−.

Prioridad 3: Minimizar el no cumplimiento de la ganancia semanal de$250,000:𝑀𝑖𝑛 𝑑3

−.



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Solución de forma analítica:

𝑀𝑖𝑛 𝑃1 𝑑1− + 𝑃2 𝑑2

− + 𝑃3 𝑑3−

2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 1000

𝑥2 ≤ 500

𝑥1 + 𝑥2 ≤ 600

𝑥1 + 𝑑1− − 𝑑1

+ = 200

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑑2− −𝒅𝟐

+ = 500

0.2𝑥1 + 0.5𝑥2 +𝒅𝟑− − 𝑑3

+ = 250



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PM Con WinQSB

Definición de Variables.



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PM Con WinQSB

Resultados en Variables de Decisión y Desviación.



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PM Con POM-QM




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