areas sombreadas
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calculo de áreas sombreadasTRANSCRIPT
93
Geometría
19Áreas Triangulares
Fórmula Trigonométrica
ÁREAS DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
b.h2Área =
a
b
b
c
A C
B
q
Área= sen qb.c2
Área del Triángulo Equilátero
También:
p: semiperímetro del triángulo ABC, es decir, suma de:
AB + BC + AC2
Área en función del Inradio
A C
B
rO
Área = p.r
a
A C
B
a
a60° 60°
60°
Área=a2 3
4
b
h
b.h2Área =
h
b
ÁREA DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
b.a2Área =
a
A C
B
a
a
h Área=h2 3
3
94
3ro Secundaria
Área en función del Circunradio
Área=abc4R
O: circuncentro R: cincuradio del ∆ ABC
B
A C
c
b
a
O
R
1) La base y la altura de un triángulo se encuentran en la relación de 1 a 3. Si el área de dicha región triangular es 24u2, calcula la base.
3b
b
Área = =24b. 3b
23b2 =48 b2 =16 b =4
2) Los catetos de un triángulo rectángulo son entre sí como 2 es a 3. Calcula la hipotenusa si el área de la región triángular es 24 m2.
3) Calcula el área de una región triangular equilátera sabiendo que el radio de la circunferencia inscrita mide 2.
4) Un terreno tiene forma rectangular y se sabe que su perímetro mide 46m, siendo su diagonal igual a 17m. ¿Cuál es el área del terreno?
b
aa
b
3k.2k2
=24
3k2 =24k2 = 8 → k = 2 2
Hipotenusa (x)= k 13
\ x = 2 26
Área = 24
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
24 m2
2k
3k
4 3L =
60°
30°60°
B
A CH2 3 2 3
L L
60°
I
2
IHC(30°; 60°)HC =2 3
\ L = 4 3
Área = (4 3)2 3
4
Área = 12 3
2a + 2b = 46a + b = 23
T. Pitágoras: a2 + b2 = 172
(a + b)2 = 232
a2 + b2 + 2ab = 232
172 + 2ab = 232
2ab = 240ab = 120
\ Área = 120
Geometría
Rpta:
2
4
Rpta:
1
Rpta:
3
Calcula el área de una región triangular cuya base
mide 8cm y su altura relativa mide 5cm.
Calcula h si el área de la región triangular ABC
es 60m2.
Halla el área de un triángulo equilátero cuyo lado
mide 6m.
Calcula el área de la región triangular PQR.
B
A C8cm
5cm
B
A C15m
h
QP
R
10 u
45°
8 2
u
5
6
Calcula el área de la región triangular ABC.
La base y la altura de un triángulo se encuentran
en la relación de 1 a 3. Si el área de dicha región
triángular es 24u2, calcula la base.
A 30° C
B
16u
10u
Rpta:
Rpta:
Rpta:
7. Calcula el área de la región triangular ABP.
8. Los catetos de un triángulo rectángulo están en relación de 1 es a 2. Calcula la longitud del cateto mayor si el área del triángulo es 16 u2.
aa
HA
B
P
5u
16u
9. Según la figura, AC=12 BH=9 y además BE=2EH. Calcula el área de la región sombreada.
10. Los catetos de un triángulo rectángulo son entre sí como 2 es a 3. Calcula la hipotenusa si el área de la región triangular es 24 u2.
A CH
B
E
11. En un triángulo rectángulo ABC se traza la bisectriz interior AE de manera que: BE= 6u y CE=10u. Halla el área del triángulo.
12. Halla el área de la región triangular CDP si CP=6u y AD=11u.
A D
B C
P2a
a
Rpta:
Rpta:
Rpta:
Rpta:
Rpta:
Rpta:
1
Geometría
Geometría
1.
Calcula “a” si el área de la región triangular PQT es 24 u2.
a)
2 u
b)
5 u
c)
3 ud)
6 u e)
4 u
2.
Calcula el área de la región triangular ABC.
a)
100cm2
b)
150cm2
c)
130cm2
d)
200cm2 e)
120cm2
3.
Calcula el área de la región triangular ABC.
a)
54cm2
b)
64cm2
c)
27cm2
d)
72cm2 e)
108cm2
4.
Calcula el área del triángulo rectángulo mostrado.
a)
254 u2
b)
216 u2
c)
310 u2
d)
144 u2 e)
248 u2
Q
P T
a
3a
B
A C20cm
12cm
BA
C
9cm
12cmH
37°
24 u
5. Los catetos de un triángulo rectángulo son entre
sí como 3 es a 4. Si el área de su región es 54 u2,
¿cuánto mide su hipotenusa?a) 5 u b) 15 u c) 10 u
d) 20 u e) 13 u6. El perímetro de un triángulo equilatero es 36 u.
Calcula el área de su región.
a) 12 3 u2 b) 24 3 u2 c) 16 3 u2
d) 36 3 u2 e) 18 3 u2
7. Calcula el área de la región triangular ABC.
a) 24 u2 b) 48 u2 c) 32 u2
d) 64 u2 e) 36 u2
8. Calcula el área de la región triangular PQR.
a) 135 u2 b) 96 u2 c) 125 u2
d) 72 u2 e) 81 u2
A45°
8 2u
C
B
12u
18u
15u
37°
9. Calcula el área de la región triangular mostrada si la base y la altura suman 20cm y están en proporción de 3 a 2.
a) 24 cm2 b) 36 cm2 c) 32 cm2
d) 54 cm2 e) 48 cm2
10. Calcula el área del triángulo rectángulo mostrado.
a) 40 u2 b) 60 u2 c) 20 u2
d) 50 u2 e) 80 u2
11. Halla el área de un triángulo equilátero de perímetro 24m.
a) 12 m2 b) 16 m2 c) 12 3 m2
d) 16 3 m2 e) 24 m2
12. Halla el área del triángulo rectángulo mostrado.
a) 50 u2 b) 60 u2 c) 50 3 u2
d) 60 3 u2 e) 100 u2
A C
B
9 u
16 u
30°20 u
99
Geometría
20Área de Regiones Cuadrangulares
FÓRMULA GENERAL
CUADRILÁTERO CONVEXO
A D
B
C
d1
d2
q
ÁreaABCD
= senqd1.d2
2
CUADRILÁTER O NO CONVEXO
ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL
A C
B
d2
d1
q
D
ÁreaABCD
= senqd1.d2
2
A D
B
b
C
h
a ÁreaABCD
=( )ha+b2
ÁREA DE UN RECTÁNGULO
ÁREA DE UN CUADRADO
ÁreaABCD
= a2a
a
a
a
A
B C
D
h
bA D
B C
ÁreaABCD
= b.h
ÁREA DE UN PARALELOGRAMO
ÁreaABCD
= b.hh
bA
D
B C
100
3ro Secundaria
Resolución:
1) Las bases de un trapecio miden 4u y 10u; y el área de dicho trapecio mide 63u2. Calcula su altura.
ÁREA DE UN ROMBO
ÁreaABCD
= d1.d2
2
CA
B
D
d1
d2
Por propiedad:
63=( ).h
⇒ h=9
4+102
10
h
4
Resolución:
2) Calcula el área de la región rectangular ABCD.
B C
A D9 4
4
E
B C
A D9 4
4
H
Sx
E
Por relaciones métricas : H2=9x4⇒ H=6⇒ Sx=9x10=90
Resolución:
3) En un trapezoide las diagonales miden 7 y 16. Calcula el área máxima de la región limitada por el trapezoide.
Sx
167 q
Para que Sx sea máxima entonces q=90°
Luego: Sx= sen90°
Por propiedad:⇒ Sx=56
7x162
4) Calcula el área de la región sombreada si AE=2u FB=1u.
Resolución:
A
P
BO F
E
A
P
BO F
E
2
a a+2Sx
a+1 1
a
Teorema de Pitágoras:(a+2)2=(a+1)2+a2 → a=3⇒ Sx=12u2
Geometría
2
4
1
3
Las bases de un trapecio miden 9u y 14u. Si su
altura mide 12u, calcula el área de su región.
El área del paralelogramo “ABCD” es 112u2.
Calcula “h”.
Calcula el área de un cuadrado cuyo diagonal
mide 6 m.
Las bases de un trapecio miden 4u y 10u; y el
área de dicho trapecio mide 63u2. Calcula su
altura.
DA
B C
h
16
5
6
Halla el área de un rectángulo donde una
diagonal mide 13cm y el lado mayor mide 12cm.
Halla el área del trapecio mostrado.
10 u
4 u
53°
7. Calcula el área de un rombo si sus diagonales están en proporción de 3 a 5 y suman 32cm.
8. Calcula el área de la región rectangular ABCD.
A
B C
D E9u 4u
4u
9. Calcula el área de la región rectangular ABCD.
10. En la figura se muestran tres cuadrados; calcula “S3” si S1=9u2 y S2=16u2.
DA
B C
12 u
10 u
150°
S3
S2
S1
11. En un trapezoide las diagonales miden 7 y 16. Calcula el área máxima de la región limitada por el trapezoide.
12. Calcula el área de la región sombreada si AE=2u y FB=1u.
F BO
A
PE
Geometría
Geometría
1.
Halla el área del paralelogramo ABCD mostrado.
a)
50cm2
b)
60cm2
c)
40cm2
d)
80cm2 e)
100cm2
2.
Calcula el área del rombo mostrado.
a)
154u2
b)
216u2
c)
196u2
d)
232u2 e)
184u2
3.
Calcula el área del trapecio mostrado.
a)
32cm2
b)
64cm2
c)
48cm2
d)
96cm2 e)
36cm2
4.
Calcula el área de la región rectangular ABCD.
a)
15u2
b)
18u2
c)
24u2
d)
30u2 e)
40u2
DA
B C10cm
6cm
15 u
37°
6cm
45°
10cm
A D
B C
5 u
aa
3 u
5. Calcula el perímetro de un cuadrado si el área de
su región mide 256 u2.a) 56 u
b) 60 u
c) 64 u
d) 72 u
e) 80 u
6. La base de un rectángulo mide el doble de su altura
y su área es 18u2. Calcula la longitud de su base.
a) 3 u
b) 4 u
c) 6 u
d) 8 u
e) 10 u
7. Calcula el área de un cuadrado cuyo perímetro es
36cm.a) 64 cm2
b) 25 cm2
c) 81 cm2
d) 36 cm2
e) 49 cm2
8. Halla el área de un rectángulo donde un lado mide
4 m y su diagonal mide 5 m.
a) 10 m2
b) 18 m2
c) 12 m2
d) 20 m2
e) 24 m2
9. Calcula la altura de un trapecio si sus bases miden
8cm y 10cm, y su área es 54cm2.
a) 3cm b) 12cm c) 6cm
d) 9cm e) 4cm
10. Halla el área de un rombo si sus diagonales miden
8cm y 18cm.
a) 72cm2 b) 64cm2 c) 54cm2
d) 84cm2 e) 92cm2
11. Si BC=2cm y AD=8cm, calcula el área de la
región limitada por el trapecio ABCD.
a) 20cm2 b) 16 6cm2 c) 10 3 cm2
d) 8 5 cm2 e) 12 2cm2
12. En la figura AC=4u, calcula el área de la región
cuadrada BMNP.
a) 8 u2 b) 4 u2 c) 3 u2
d) 5 u2 e) 6 u2
DA
B C
B
A M C
P
N
q
q
q
Geometría
105
Geometría
21Área de Regiones Circulares
ÁREA DE UN CÍRCULO
Área = πR2
R → radioπ ≈ 3,1416
Área = π(R2 – r2)
O: centro
RO
ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR
Área =πR2a° 360°
ÁREA DE UNA CORONA CIRCULAR
ÁREA DE UN SEC TOR DE CORONA O TRAPECIO CIRCULAR
a) Área de un cuarto de círculo:
Área =π(R2 – r2)a°
360°
O
Rr
O: centro
ÁREA DE UN SEGMENTO CIRCULAR
Área = Área Sector AOB – Área DAOB
πR2a°360°Área = - Área ∆ABC
Importante:
A = πR2
4
A
R
O R B
A
A = πR2
2
b) Área de un semi círculo:
AR
ROR
O Rra
O: centro
Ba
RO
A
RO: centro
R
O aR
O: centro
a
106
3ro Secundaria
1) Calcula el área de un círculo inscrito en un cuadrado de perímetro 16 cm.
Resolución:
4 cm
4 cmA D
CB
2
O
2
R
• Delgráfico:R=2cm• Luego:Ao = π (2)2
Ao = 4π cm2
2) Si el área de un círculo es 36π cm2, halla el área del cuadrado inscrito en la circunferencia de dicho círculo.
Resolución:
A D
CB
90° 90°
90°
90°
L
R R
O
Dato:
Ao = 36π cm2
πR2 = 36π cm2
R = 6 cm
• AOD:L=R2=62cm• A=L2 = (6 2)2 = 72 cm2
{3) Calcula el área de un segmento circular que tiene un
arco de 60° y pertenece a un círculo de 4 cm de radio.
Resolución:
A B
60°
O
S
4 460°
S =Área (sector AOB)- Área (DAOB)
S =π42
360°
42 x 3
4x 60° -
S =8π
3- 4 3 cm2
4) Halla el área de la corona circular mostrada, si: AB = 2, "M" es punto de tangencia y "O" es centro.
BA M
O
Resolución:
BA M
O
11
r
OMB: T. Pitágoras
R2 = r2 + 12
R2 - r2 = 1
Área (corona)= πR2 - πr2
= π(R2 - r2)
1Área (corona)= π
Geometría
2
4
1
3
Calcula el área de la región sombreada, si:
OA = OB = 6 cm.
En el cuadrante AOB, calcula el área de la región
sombreada, si AO = OB = 4u.
Calcula el área de un segmento circular que tiene
un arco de 60° y pertenece a un círculo de 4cm
de radio.
Halla el área de la región sombreada, si:
AB = BC = 8.
O1B
A
P
O30°
B
A
O
BA
CD
Geometría
5
6
AB es diámetro de la semicircunferencia, calcula:
"S1 – S2"
Calcula el área del círculo inscrito en un
triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 12.
S2
S1
4
C
6
A B
7. Si "O" es centro y AO = OB.Calcula:
8. Calcula S1 − S2, si: AB=12, "A" y "O" son centros.
S1
S2
B
A
O
S1
S2
S2
S1
30°O
9. En la figura, calcula el área de la región sombreada, si (R.r)= 24.
10. Halla el área de la corona circular mostrada, si: AB=2; "M" es punto de tangencia y "O" es centro.
Rr
O
A BM
11. En la figura, calcula el área de la región sombreada.
12. En la figura, calcula el área de la región sombreada.
4 12
a°
a°
O 2
Geometría
1.
Calcula el área de la región sombreada, si O y O1
son centros y OA = OB = 8cm.
a)
16π cm2
b)
8π cm2
c)
12π cm2
d)
9π cm2
e)
6π cm2
2.
Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de 2 u de lado.
a)
(π
- 1)u2
b)
(π
- 4)u2
c)
(2 - π)u2
d)
2(4 -
π)u2
e)
(4 - π)u2
3.
Si AB = BC, DB = BF y AC = 6; calcula el área de la región sombreada.
a)
9(4 - π)
b)
3/2 (2 -
π)
c)
9/4 (2 - π)
d)
3/4 (4 -
π)
e)
9/4 (4 - π)
4.
Halla el área de la región sombreada.
a)
4 -
π
b)
2(2 -
π)
c)
2(4 -
π)
d)
4(2 -
π)
e)
4(4 -
π)
O1
B
A
O
BA
CD
A
D E
B F C
4
4
5. Calcula el área de un círculo inscrito en un cuadrado de perímetro 16 cm.a) π b) 4π c) 2πd) 8π e) 3π
6. Halla el área de la región sombreada ABCD es un rectángulo.
a) 9/2 (4 - π)b) 5/2 (4 - π)c) 7/2 (8 - π)d) 3/2 (5 - π)e) 5/2 (5 - π)
CB
A DO
P
R=3u
7. Si ABCD es un rectángulo, halla el área de la región sombreada.
a) 16(4 - π)u2
b) 18(4 - π)u2
c) 18(5 - π)u2
d) 12(4 - π)u2
e) 16(5 - π)u2
8. En la figura, calcula el área de la corona circular, si AB = 2 y O: Centro.
a) 2π
b) 4πc) 3πd) π
e) 3π/4
3u
3u
CB
A D
O
A BT
9. Un sector circular de radio 6cm y ángulo central de 30° tiene un área de:a) π cm2 b) 4π cm2 c) 2π cm2
d) 6π cm2 e) 3π cm2
10. Calcula el área de la región sombreada siendo AOB un sector circular de ángulo igual a 60° y radio R.
a) πR2/6
b) πR2/9c) πR2/18d) (2/3)πR2
e) πR2/12
11. PQR es un cuadrante y PQ es diámetro de la semicircunferencia de centro "O". Calcula el área de la región sombreada. (QR=10 3)
a) 50πb) 150πc) 75πd) 300π
e) 75π/2
60°O
B
A
O
R
P
Q12. Calcula el área de la región sombreada, si:
AB = 5; "A" y "B" son centros.a) πb) 4π c) 2πd) π/2
e) 3π 18°
B
A C