problemas resueltos-de-de areas sombreadas
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-
8/19/2019 Problemas Resueltos-De-De Areas Sombreadas
1/23
,
MISCELANEA
PROBLEMA
liD
Encontrar el área somb reada •
1
•
1
Al
a
2
(21f._ ./3 /4
C) a
2
{5lt - sJ3
1
12
E)
a
2
(3./3
+ 11)/5
RESOLUCiÓN:
B)
a
n - 2./3)13
D) a
2
./3
-
/4
Asomb
=
Aw
+
A.
b
...
(1)
~
rra
2
na
2
a
2
JJ
._ ----
12
3 2
A ~
Problemas Resuel
A - '[5' - 6./3 ]
.
somb
-
a
12
PROBLEMA
llfl
El hexágono regular inscrito en la circunferencia
tiene como apotema a". Calcular e l área
de
la
región
s o m r e d
~ I i .
~
- - -
2. '
A
-
- 3
/31
3
C) a
2
} " - 3,/3
2a
2
r.:
El
lf - 3
v
3
RESOLUCiÓN:
Asomb =
= -
6 A
II
equilaterQ
=nr 6r
2
.[3 ;como r
=2al [3
4
Entonces :
(
2
]'[
3./3 '
A
OITlb
= 73 1 - - 2-
2'
Asomb
=""3
21l
Jean Trujillo Doyle
-
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PROBLEMA
I
En la figur
a,
ASCO es un cuadrado . Determine
la razón entre el perímetro de la parte sombreada
y el lado del cuadrado.
A B
,
T
1 -----,.
~
e
Al
1
Dl 4
RESOLUCiÓN:
Bl
2
El 6
el 3
Perímetro parte sombreada = 2(AB + Be)
:: 2{2x) :: 4x
4,
Ra
zó n : 4
,
PROBLEMA mi
Hallar el perímetro
de
la región sombreada, si el
lado del cuadrado mide 4 cm.
p
A ---------- ' D
Al 2 1r + 3)
e) 2(3 + r : f3
El
4
3
+
Jr
/3
RESOLUCiÓN:
B)4(J '+3)
O)
3
+
:r)/3
Perímetro de la región
sombreada::
AP
+
AP
•
PROBLEMA
liI: I
=
x
3
= 4 + 4Jt ::
4 3
¡
Tt
3 3
Para hallar el perímetro de la figura:
a b
, ,
,
1
1
,
e
1 Necesito conocer "a"
11. Necesito conocer
"b"
111. Necesito conocer e
Al Sólo I
Bl
Sólo
D)
Sólo I
y
El
NA
RES OLUCiÓN:
a
,
,
a
b
a
,
el Sólo I y 111
)
En el gráfico notamos que siendo a+b+a=10=c,
entonces tenemos información suficiente. No se
necesita mas información.
PROBLEMA llIll
Hallar el área ~
~
m
~ ~ ~ ~ ~ = C C . . -
A = = = = ~ = = = = = D ~ ~
-
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l
~
BI
4 2 [ 2
~
el
2 + ~
O
81(2- )
l
~
RESOLUCiÓN:
Para obtener el area sombreada restamos del
area del triángulo rectángulo BAO), el área de
un 1/8 de circulo con radio 18.
18
2
18
2
7 ¡
n)
Areasomb=T
-
-B -
= 8\2 -
2
PROBLEMA
lIiil
PR01ll EMAS RBSUlILT'O
Por Pilágoras:
L = J4 80.
2
+ 3,60
2
_ 6m
PROBLEMA
I lll
¿Que
parte del área
lolal representa
el
área
sombreada?
l 1/3
O) 2/7
B)
1/5
El 2/5
C 1f7
La
escalera mostrada tiene 12 peldaños. Hallar RESOLUCiÓN:
la longulud
L de
la escalera.
Paso: 0,40 m
Contrapaso: 0,30 m
Al m
O)
4,8 m
RESOLUCiÓN:
B) Sm
l 8,4 m
C
6
m
Si juntamos
lodos
los pasos tendremos un cateto
::le 4,8 m, si juntamos los contrapasos, otro cateto
de 3,6 m.
De la fig. Al = 56a y Asomb =16 a
16a 2
56a 7
PROBLEMA m:
Dado el sistema de coordenadas, halle el área
de la
región sombreada.
3
-
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A) Jt 2
B) I r +5,5
C)
1f -3,5
D) 1f
+ 17,5
E) 22 ,5
+
211
RE
SOLUCiÓN:
A(2 ; 1), B(2 ; 3), C(4
,5;
6), 0(7 ; 3), E(7 ; 1)
A OIllD
=
AA
B
+
A
OE
+A
SCO
+ A
BOE
=
1((1)2 + 1(
1)2
5 3
~ x
2
2 2 2
=
1(
+7 ,5+10=17 ,
5+ 1(
PROBLEMA
lIil
l a
siguiente
figura
es
un
para
l
eleplpedo
rectángular de dimensiones 12 m,
b
m
c
m.
Si hay una
pirámide
cuya base
es
la
zona
sombreada con vértice
en el
punto
P
tienen
volumen del paraleplpedo es :
A) 216 m
3
B)
288 m
3
C
360
m
3
D)
432 m
3
E)
576 m
3
RE
SOLUCiÓN:
O
~
= : : 3 I : = lE
Rotando convenientemente
el
sólido para una
mejor vIsión del problema
Nólese que PF
=
DE
=
BA ' CG
=
DE
BA = c = altura de
la
pirámide
Volumen de la pirámide
•
)
= área de
la
base x altura
3
(2)
12
x
b
--.c
AGE
x
BA => 72m3 .
---,2,-;;-_
3 3
Operando ·
6be
72=-3- => b .c = 36
Volumen del paralelepípedo
= 1
2
b·
c=
12
36=
432 m
3
PROBLEMA ID
Calcular el area
dellr
iángulo sombreado.
A (·5;-4)
A) 31,5
B) 32
,5
C
33,5
O) 44,5
E)
29
RE
SOLU CiÓN:
B (1;8)
C(2; )J,8h·
5
l -1
16
-4 4
-5;-4
A=
-3 8:::25
-
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Luego :
~
3 3
2 5 1
Ssomb = 2
58 = 29
2
PROBLEMA
lI:l
Determine
el p e r i m ~ t r o
de la figura.
Si
MN = l I /5
cm.
A)
12
lf
B)
22 lt
C 12lt + / iSlt D) l f(12+/5 +
2/ iS
E) lt(6 +
/5
+ 2/iS)
RESOLUCiÓN:
Como :
MN
= 11/5 => PN
= ... /5
;MP = ..../15
2 2
Perimetro total = P 1 + P 2
..
. (1)
P1
=
figura izquierda
P2
=
figura derecha
P
1
= 2 (511 + J15 )= 10 lt
+
lt Ji
P
2
= 2( /5
+
lt + Ji5 rc 5 + 2
1 t +
1"t./15
. P
f
= 12n +
rcJ5+2
n./15
PROBLEMA e
Hallar
el á r e ~
la
Erte
sombreada,
si el
área
total
es
20 y
CE
=
2AE.
A)
40
BI
80
e)
100
D)
60
E)
90
RESOLUCiÓN:
Del gráfico :
A somb =
2(a +
b)
2
A
som
b
At
=
80
3
PROBLEMA u
Hallar
el
área sombreada siendo P Q Y R puntos
medios. Además, el triángulo es equilátero de
I
B)
- (21"t-
4
L'
DI
~ n
/ 3 1
12
-
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R
ESO
LUCiÓN:
La
zona sombreada podria plantearse de la forma
mostrada:
PROBLEMA
e
En
la
fig,
hallar
el
área del círculo.
S;
A{6;
8) Y
8(9,12)
Y
a/
O
,
Al
'
Bl
9 ltU
2
C
16 ltu
2
D) 25:tu
2
El
36ltu
2
RE
SOLUCiÓN:
AS
=
)(9
_
6)2
+ (12 _8)2 '
J 5
' 5
A
JJ
' lt
(5)2 ,
25lt
--
PROBLEMA
Dl
En la
figura mostrada, seis cajas cada una de
ancho
a
y altura
h ,
¿cual
es el
largo tata) de
la linea gruesa en términos de a
y
h' .
A)6h+3a
el 6h
+ 2a
E)
F.
D.
RE
SOLUCiÓN :
B)5h+3a
D)
3h+3a
En total se recorre 6h (3h en cada lado de subida
y bajada).
En total se recorre 2a ' horizontalmente
(en
cada
lado a ),
En el nivel superior a horizontalmente,
..
6h+3a.
PROBLEMA E
L
as
circunferencias del gráfico tienen un radio
de 10
m.
el recorridoAC es igual a:
e
Al
19,
Bl
25,
C 70
Dl
20 lt
El
30,
RE
SOLUCiÓN:
El recorrido
estará
dado
poc
do,
semicircunferencias (una circunferencia) más
1/4 de
ci
rcunferencía
-
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íC
=
2
;¡
R +
JlR = 5ñR
=:;
51t 10)
2 2 2
= 25,T
PROBLEMA l I i
- AD
Sabiendo que
Be
- -
3
El área sombreada será-
e
o
30
= ~ i ~ ; ; ~ ~ ~ ; ; ; ; ;
~ I E
A)
/1312
u
2
Bl 14./13/3
u
2
C)
13/14/9 u
2
D) 2./14/3 u
2
E)
3
u
2
RE
SOLUCiÓN:
AE = L =
26.[3
::) AD
=39
- 1 - - - 13
BC
=
- ,39
= 13
::::> BQ
=
QR
=
RC ..
-
3 . 3
- -
2
13 56
ffHl
f
Q
1
BC ::::>
PQ = 5 -
3
= 9
A
PQ QR 3M
2
s.omb
. ,
o:
u
2 9
PROBLEMA
lE
Hallar el área de la región sombreada, sabiendo
que O es
cen
lr
o del circulo mayor,
Además
MP
= 4u ,
NO ,Su
2
A) 9¡r Bl3S¡r2
D) 46
1 2
El 49
1 2
RESOLUCiÓN :
Asomb
o:A e
_A
e
A s o m b = 1 R 2 - 1 I ~
(1)
2
O :: AO ON ...
(11)
En
(11)
:
C) 391 2
(PO
PM)2 ., R x
(00
- NO)
(R_4)2=R(R_S)
R
2
_8R+1S=R
2
_SR::)
IS=2R
También
Enlonces
AO
=
OO ,..
8
y AN
=
AO+ON
=8+2
AN
10
El radio del circulo pequeño será:
8=R
-
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AN
10
- c - = S "
uegor =5
2 2 .
En 1)
:
PROBLEMA .
Hallar el area de la reg ión sombreada.
$i:a=300; A8 = lu .
: . 1
A)
11
-
./3)
u
2
B)
(lt
-
./3 12
u
2
C
(21[ - ./3 u
2
O
(2./3
_ 11)U
2
E)
('1f./ 2) -
43
u
2
RESOLUCiÓN:
ABC = 900; Cl=30o; BAC = 60", B = ~
l ' ' 2 ::::) Be =' :J3 ::::) Be z J
2
A =
_
= _
bh =lt
- J3
m
2
PROBLEMA
E
)
RESOLUCiÓN:
El
perimetre es :
4a
= 16. 2
;::::. a ,
4 fi
PROBLEMA D
ASCO es un paralelogramo,
las
semicircunferencias son congruentes sus radios
miden 18 cm. A, M Y D son centros.
Al l8n
O)
43
1t
Bl 211
El 561t
C
39 1
Hallar el perrmetro de la región sombreada.
RESOLUCiÓN :
- 11
P
Somb
=
BP
+
Be
+
pe
=
3
x
18
+
(18)
En la figura, si el perimetre del cuadrado ABCO
1l
es
16 J2
unid
ades
, el área sombreada
es
: 150)(
1
800
)(
18 ..
61t +
l8n: + 151t
P
somb
= 39 n
PROBLEMA
E
Si el perimetre del cuadrado es 24 m, hallar el
perimetre de la región sombreada
-
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_________ -
__
...
_wt·:·ii.lit.íh¡.,¡,·'.
Al 211 m
D) 6ifm
RESOLUCiÓN :
Bl 3Jrm
El 8J1 m
C 5 Km
A.islamos
un
sector
Circular
ycon trazos
auxi
liares
con l =6cm.
r
o
Por simetría:
= =
- 8
- -
,
M : ON : - (6m)
3
=27tm
- ,
N =
- 6
m)
6
=
llm
P
IOlal
=
57tm
PROBLEMA
El
Si el
lado del cuadrado ASCD mide 12 cm.
calcular el
perimetro de
la región
sombreada
Al 20 JI + 24
C 22 Jr+24
E) 24 JC 24
RESOLUCiÓN
:
Bl 2111
+
24
D) 23
Jf '
24
- ,
O
= L = - 6) =
1l ....
L =
JI
6
Perímetro región 50mb = 22( If ) + 24
PROBLEMA m
Si el perimetro del penlagono ASeDE es 40 cm
y
R
=
9
cm. calcular
el
perimetro de
la
reglón
sombreada
(
las
curvas son semicircunferencias)
A)
291 cm
D) 19lrcm
RESOLUCiÓN :
Bl
4911 cm
El14lrcm
Perimetro _ =40
=>
L = 8
el 38
IT
cm
Perimetro región sombreada = 2 ".(9) ... 20
Jr
=38 Jt
-
8/19/2019 Problemas Resueltos-De-De Areas Sombreadas
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PROBLEMA m
Se desea alfombrar la escalera Que se mueslra
en la figura (la escalera consta de
20
escalones),
si el metro cuadrado de alfombra cuesta 10
dólares, calcular el costo de la alfombra.
l .
10
.
9 .•••...
••
1 = ; ; : 1 1
~ I
A)
1
000
O)
$2000
RESOLUCIÓN:
B)
$1600
El $2400
C)
$1800
El área de la alfombra estará dado por:
(11 + 9 C 10
=
200 (propiedad)
El
costo será :
200 C 10
=
S2000
PROBLEMA El
Del gráfico ' ASCO es un cuadrado. Además:
PC
= O 5 1 = 8m
2
; 52 = m
2
, calcular: ·5)(
RESOLUCiÓN :
•
p
,
2
A D
PROBLEMA m
Propiedad
r7Yl
5
K
+A= 10 +A
SK =
10
En la figura
se
muestra
al
triángulo ABC
cu
ya
área es 84
cm
2
, calcular
el
área de la región no
sombreada.
Si : AB + BC
=
2(AC) =
28cm
A) 10 cm
2
O 12 cm
2
RESOLUCiÓN :
B
14 cm
2
E
80 cm
2
2x
AC
=
28
=>
AC
::
14
ABxr
+ BC x r =
84
r(AB+BC)
. 84
2 2 2
r(28) = 84-H = 6
2
=>
75=84
= >
S=
12
-
8/19/2019 Problemas Resueltos-De-De Areas Sombreadas
11/23
PROBLEMA El
En
la
figura, ¿qué porcentaje del área total es
el
área sombreada?
ASCD
=
cuadrado; AB
=
8
u .
C)
(20 - 1f)uZ
E)
( 1f-10)u2
RESOLUCiÓN:
Por inspección·' de la figura tenemos que :
A KKT1b
.. 4 [ A
2
-
J+
IA - A_¡ .. 1)
3
e
SA
-
A
• .
..
(1)
2
3 3
A KKT1b = 5(2) --1'1:(1) , 20 -
-11
2 2
PROBLEMA m
I\BCD es un paralelogramo que se ha dividido
en
2 rectángulos como indica
la
figura. ¿Cuál de
1) 12a(a + 2b)
11
24a(a + bl2)
1 18a(a +
b)
A
•
B)
D 1, 11 E 1,111
RESOLUCiÓN:
C)
Sparalelogramo
=
(3a)(4a) + (6b)(4a)
=
12a(a
+
2b)
PROBLEMA m
nla
y BM
I área del paralelogramo es 12m2
; : : : ; ~ : : : el área sombreada es:
RESOLUCiÓN :
las
siguientes expresiones representan
la
AABCO =
3ah:= 12
ah =
4
..
.
(1)
superficie del paralelogramo? Además :
1:
6a
A a+3a)h
somb
2
AS
omD
=
AAMND
-
AAOD
-
8/19/2019 Problemas Resueltos-De-De Areas Sombreadas
12/23
Asomb
=
2ah - 12/4
,
Asomb =
2(4) - 3
=
Sm
PROBLEMA E1l
Encontrar
el
área sombreada, si
el
l .ABC es
equilátero de lado "L':
A L
2
f r+2 /4
C) L
2
(2Jr
3,/3)/6
E)
L f i
r
2
RESOLUCiÓN:
B)
L
2
(r. ,/3 /3
D) LJ3+Ir)/2
,RR
2
60
0
_
R2J3
.(1)
360 4
RL
2
L2J3
18 12
PROBLEMA
ES
Hallar
el
perímetro
de la
figura
ABC, si
AB
BC
X2
(AC es
1 4
de circunferenc ia
).
e
•
A
, (¡+1
( R
) B)
x
2
1 _ _
2,
( R
~ ]
)
x 2
2
D
2
E
(
2+¡J
RESOLUCiÓN:
Perim
=Ac +
BC
AB
.. 1)
= "::"x
2
+ x 2 + x2 =..:: x2 + 2 X2
4 4
PROBLEMA
lEE
El rectángu lo ABCD se ha formado
con
5
cuadrados iguales.
Si : AD
=
30
m,
el área sombreada será:
RESOLUCiÓN:
7 ~ e
-
8/19/2019 Problemas Resueltos-De-De Areas Sombreadas
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EF 15
A D M ~
3 75
>
EF=6
luego
6 15
Asombleada
= '
PROBLEMA m
En la figura, hallar el area de la región sombreada
sIendo ABC un triangulo Isósceles.
OEFG
=
cuadrado
O 1I3u
2
E)
..
J3
u
2
RESOLUCiÓN :
S ~
4
,,
2 -
2x 1,, 1
_
3u
2
2 2
PROBLEMA
m
La figura ABCO es un cuadrado y los triángulos
•
BS y
BHC son equilateros Si AH = 4 cm.
Calcular el area de la región sombreada
RESOLUCiÓN:
De la figura AH
=
:iD
=
HS
=
OS
Asomb 4
2
/3 4 /3 cm
2
4
PROBLEMA m
Hallar el perimetro de la reglón sombreada. SI
ABCO es un cuadrado cuyo lado mide 4 cm
-
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14/23
t
ZP2Wi.WP¿I.¡. mtn M-
A) 16cm
D) 32 Ifcm
RES
OLUCiÓN :
B) 32cm C) 1611 cm
E)
16(1I +1)cm
Perímelrode la regíón somb. =
S
+ 2(2Jlr) +
16
PROBLEMA
=4I1 r +4I1"r+ 16
= 8l1 (2) + 16
=16{1I"+1)
En la figura , ABCDE
y
F son vértices de un
hexágono regular de
lado
12
cm. Hallar
el
perímetro de la regíón sombreada,
Sí AB, BC ,
CD,
DE y AF . Son diámetros. (cm)
A) 30 tr
Dl 36 tr
RESOLUCiÓN:
B) 32l1
E) 37 t
Cl
3411
La región
sombreada
está limitada por seis
semicircunferencias.
Perímelro = 611 r =
611 (6)
= 3611
•
PROBLEMA E
Calcular el área de la superficie sombreada
ON=NA=2J3m
.
A) (211 -
B)
, ,e-
,,
C (4 11 -3.13 )m
2
E)
(SII"_SJ3)m
2
RESOLUCiÓN:
D)
(SIf- 6 J3 )m
2
TAr---
2.J3
t ~
2.J3
1
A5Omb=A AOP-{A ANM+Ab:::::..PNO)
b:::::..ONP es notable (30
0
y 60°)
QP = 2(ON)
:::>
NP = S
A
lI 60
(4.13)2 2.13 ,,6
50mb'"
3600 -
2
4
A
somb
, SlI"-S. 3
-3l1
A
somb
=
SJl-6J3
)
-
8/19/2019 Problemas Resueltos-De-De Areas Sombreadas
15/23
PROBLEMA PROBLEMA
o
Si eltado del cuadrado mide 2
rn
. hallar el area Si el triangulo m b r e d o
se
desplaza hasta que
sombreada. M ocupe el centro del rectángulo de área A ,
B
Al
+2
C)
,T - 2
El 4 ( 1f- 2)
RE SOLUCiÓN:
Bl
(11 +2)/4
O)
2(11
+
2)
A{x)
=
A ¡ector AED - A segmenlo
AB
o ••
(1)
A 45n(2)2
4
AED = 360
~ I I )
Para el segmento
CIrcu
lar AM .
OAM
= 4
5° y OA =
QM
Asegmento AM =
A
sed or
AOM
- ~
u l o
ACM
A.,¡ ,oÁM
=
n( ) ~
. .
111)
4 2
11
) Y 111)
en (1) :
el
área
del
I ; ~ _ . .
Al
A 4
DI
Af
RESOLUCiÓN :
Bl
Ai
El
Al8
C N6
Con si
derando que
el
de
s
plazamiento
de
l
triángulo es paralelo a los lados del rectángulo,
se tendrá la posición final.
r
~ J ' ¡
e
c
_
-
S'C' a
Be
11
Be ,pQ -=
2
:. Asomb ., (a/2)(U2)
,
PROBLEMA
EII
a l A
8 8
C
al
cular
el
área de la reg ión sombreada,
si el
triángulo
AB e
es eq uilátero y los 3 arcos son
e
~
-
8/19/2019 Problemas Resueltos-De-De Areas Sombreadas
16/23
D) 311 m
2
El
4 m
2
RESOLUCiÓN:
B
A 4-13 M
Por ser
O
baricentro d
el
AABC : Se cumple
OAG
30°
En
tonces como AM
= 2 J3
~ M = 2 yOA= 4
A
de
más
OA =OB =
::::>4 x=5::::>x =1 ::::> A =
II
m
2
PROBLEMA lE
La
figuraABCO es un cuadrado de lado
6m
,
¿E
l
área
de
la región sombreada esrá?
A 2(5-18.[2 -
,
B
2(10-9.[2 - 9 ,
e) 2(10-8.[2 - 9 ,
D 2(5-18.[2
- 9 ,
El
18(4./2
-2-.1 1 )
RE
SOLUCiÓN:
Asomb
= 2I
+
S
-
~
PMa
Asomb =
2 [O
- ] - ~ P M a
A =2[62 _ ,(3.[2)2]_ 4(6 - 3.[2>
somb 2 2
[
9 .
2]
somb
= 2 36.1 1 -
- 2- -
2(6 - 3012)
PROBLEMA
lE
Hallar el área somb
re
ada de la lúnula de radio
R
,
A R
2
al R
2
12
Dl R
2
+ 4 El3R
2
RESOLUCiÓN:
-
8/19/2019 Problemas Resueltos-De-De Areas Sombreadas
17/23
Pero :
PROBLEMA
l
Hallar el area sombreada, si ABCD es un
cuadrado
de
lado 6m. y EFGH es un cuadrado
de
lado4m
D)
10m
2
E) 12m
2
RESOLUCiÓN:
A.-:-
---:
, ' - - - ~ c
Apedlda
= 4A(D ' 1)
ACI) = A
llBOG
- A
llfOG
.•
11)
•
OB= BD/2 =6./212= 3./2
OG = OF = EGI2 = 4
./2/2
=
2./2
A
óBOG
= OB x OG 3./2 x 2./2 ' 6
2 2
A OFxOG
ó
FOG
'
2
En 1)
:
A
1
= Apedida
=
4A(1)
=8m
2
PROBLEMA
nl
En
la
fig . mostradaA8CO
es
un cuadrado de lado
L ,
hallar
el
area sombreada.
RESOLUCiÓN :
A
_L. hl
50mb ---
2 2
-
8/19/2019 Problemas Resueltos-De-De Areas Sombreadas
18/23
L
Asomb =
PROBLEMA E
Si el area sombreada es: ¡n
3
u
2
Además, CM ' M5 ' AÑ - NO hallar AC
A)
[2
D)
2 [2
K
Bl
J2 /2
Ir
E)
K
RESOLUCiÓN
3 3 3 2
- I r
=
- f r r
4 4
Simplificando :
Entonces :
r
=
I r
AB = 2
AC
= 2n /2
C
Ir 2
PROBLEMA E
Calcular el área ~ la región sombreada. Radio
de la circunferencia
=
1 u.
Al J3 4 u
2
8)
J3
3 u
2
C
J
3 u
2
O
,f5
2
u
2 El
J2
5
u
2
RESOLUCiÓN
En el b::::. OPB (30
0
Y 60°) :
08 ,
2
En el b::::: GAG (30
0
Y 60°) : OC
=
2
Luego el triángulo
OBe:
equilátero.
En
ellriángulo
OBe:
G es baricentro .
PROBLEMA
E
El área
de
la
parte sombreada corresponde al
desarrollo
de
:
-
8/19/2019 Problemas Resueltos-De-De Areas Sombreadas
19/23
~ ~ ~ = = = ~ = ~ = = ~ ~ = ~
R :
E
: S ;
O L U C I Ó N
Al a b
+C)z_
a _
b+C)
2
Bl a _ b+c)2_ a
z
_ b
2
_ c
2
C)
a+b
_ c) z_az_ bz_ c
z
D) a2 +
b2
+
e
a
+ b _
c)
z
El {a+b+c)z_ a
z
_b
z
_ c
2
RESOLUCiÓN :
Asomb : : : a+b+ c)z_ A, +Az +Al)
=
a +
b
+ C 2
_ a
2
_ b
z_c
z
PROBLEMA lIIi
- - DB 2,/2
MB
,OB
=
-4-
=_ . ,/2
2 2
SAMN=
(1_
r
v
1)
SOMN =
X. Luego :
X Y a ~ r (11)
En 11 : Rx+ y= 2
2
_21f
De
Iy
Ssomb
=4x
:.
S$OI'1lb = 2Z
(2./2 - 1-
~
PROBLEMA
llI:
la
figuraABCD es un cuadrado de lado 2u, hallar En la
figura,
calcular el
area
de la zona
el
área de
la región sombreada. sombreada.
r ~
1 0
j
j
1 ,
j
Al (,/2 - ;l,lu
Bl 2(,/2 - 1+ Y lu
C)
Dl
2(,/2 - 1-
Y l
u
Al
3i1
¡{
Bl
/ial{
el
f i a ~
El .Ji - 1-
rz}U
Z
Dl
4./3 a
2
El
na/{
-
8/19/2019 Problemas Resueltos-De-De Areas Sombreadas
20/23
RESOLUCiÓN:
PROBLEMA
m
Hallar el área de la región sombreada formada
por las
re
ctas. ) = 2: y 3;
y=x
- 2.
y=3+---l.
x=2
Al 2U
2
B)
4 5 u
2
C) 5,4 u
2
D) 6u
2
E)
12u
2
RESOLUCiÓN:
B
Los puntos B y A son respectivamente '
B(2. 3) Y A(2 ; O)
Cálculo
de
C .
Interseclando y
=
3 con y
= le
- 2
3 = x 2 :o x=5 .
El punto es : C(5 . 3)
- -
Enlonces
Be '
3 : BA 3
A A_ 3 x 3 u
2
s o m b = ~ A B C =
- 2
--=
4.5 .
PROBLEMA lE
)
En la figura las coordenadas de los puntos A y B
son (3 ;
./3)
y (3 , 3) respectivamente, el área de
la parte rayada será
Al 3-./3 u
2
el
1
/3
J
El
NA
RESOLUCiÓN
:
De
la figura:
Bl 3 2 - J3
u
2
D) 312 (3 - ,/3)
. 3 •
Tg
BOC
'
-
'
1
:0
BOC = 45°
3
T9
AÓC ;¡
AÓC 30°
Area
rayada =Ac:::: BOC
~ C O
3>13 3 x ./3 9 -
3./3
2
.
-
=
2 2 2
PROBLEMA el
En la figura, V es el vértice de la parábola P
y l
4y
6)(
- 14
=
O
Calcular el área de la región sombreada.
-
8/19/2019 Problemas Resueltos-De-De Areas Sombreadas
21/23
A)
~ i u
2
2
O)
7./2 u
2
RESOLUCiÓN:
B) ...,fi u
2
2
E
?..,fi
u
2
3
p
ly-2}=-6I -3}
~ A ¡ ; p · - 2 ) 3 = ~ a _ 3 )
a=713
C
5/2 u
Be P b - 2 ) 2 = ~ - 3 ) b=2 3 , f i
En la figura, el área de la región rectángular
sombreada es
128
u
2
Hallar
la
ecuación de la parábola P de foco F y
jlrectriz al eje x.
A x
2
_ 1
6y +64=0
B
x
2
- 14y + 4
2=O
Cl x
2
-12y+60=O O)
6y 8=O
El
8y-64=O
RESOLUCiÓN:
14p}
12p} =
128
p=4
y
VIO ,4}
P
:X
2
= 4 4) y_ 4
x
2
-16y+64=O
PROBLEMA
m
Hallar el área de la reglón sombreada que se
muestra en la figura
y
-
8/19/2019 Problemas Resueltos-De-De Areas Sombreadas
22/23
A)
18u
2
Bl 24u
2
C)
20u
2
D) 21
u
2
E) 40u
2
RES
OLUCiÓN :
Como
la
pendiente de
a
es:
4 - 0 .
1
~
pendiente
a2 es
m
2
,--;
0 - (-
1)
•
2
Y
a ecuación
de a2 es -
4 '" -
i
x
- O
es
decir
x 2y - 8=0 .
ComoC(a ; O e a2 ~
a 8 =
O
a =8
.
,
uego: A . "2(OB)(AC)
=
20 u
2
PROBLEMA m
Calcular
el
área de la región sombreada
-
D) 4u
2
E) 5u
2
RESOLUCiÓN:
Punto :
O;
O
Para
el
unto A :
Si
y=O::>
0 = 2x - 4
~ x =
...
A
=
(2,0)
Para el punto
B
y = 2JX ; = 2x 4
~
2JX =
2x
- 4 ::::>
JX
=
x
2
::::)
x=46x=1
x=4 ::> y= 4
B= 4 ; 4)
- 2 . 4
BP = 4 ::::) Asomb --
2
PROBLEMA liD
)
En
la
figura
se
muestra un paquete cúbico que
ha
sido envuelto
con
una cinta de 1m de longitud.
Si en el nudo
se
han u llizado 20 cm
.
de dicha
cin
ta
. ¿Cuál es el área total del paquete
(cm
2
)?
A) 800
D) 600
RESOLUCiÓN :
B) 500
E) 100
C)
400
Sea:
r
= Longitud del paquete
81 20=
100 ::)
81 =80 :: > l =10
Área = 6(10)2 :: 600 cm
2
-
8/19/2019 Problemas Resueltos-De-De Areas Sombreadas
23/23
PROBLEMA m
La
figura es un cuadrado, calcular el área de la
región sombreada.
Al
a
2
+ ac - bc
BI
a
2
+ ab -
ac
2 2
el
a
2
+c
b b
DI
aZ+ ac -
bc
2
1
El
aZ+ ac-bc
3
RESOLUCiÓN:
ASomt>
,
ADAsco - (A
bABP
+ AtECE
=az_ a
2
b
+
~
= a
2
_ b +
a
_
~ c
- a b + b C
2a
2
_ a
2
+ ac _ bc a
2
+ ac - bc
2 2
PROBLEMA
m
Una lámina circular de 1cm de radio
se
desplaza
tangencialmente sobre una superficie recta, como
muestra la figura. Si la rueda da 3 vueltas, ¿cuál
es el área de la región generada por la lámina?
A) 12ncm
2
B) 13
ncm
2
e
14ncnl
D)
15rrcm
2
El 16Jtcm
2
R
ESOLUCiÓ
N:
Esbozamos un gráfico, para mejor presentación
dibujamos
más
pequeñas las láminas . Luego el
área de la región generada A ~ será :
Ar
o::
A o + 3 ASeco6n .... 1)
Como
1 1
n
=
=:>
3 ' =:> L
=
671:
21tr 2m
Luego :ASecc = 6Jt x2:: 12
TI
pues 2 = diámetro)
En I) : A,= n
+12n =13ncm
2
PROBLEMA
Illll
Hallar el perímetro de la región sombreada, si
los 8 circulas son iguales de radio
5.
A) 60n
D) 90n
RESOLUCiÓN:
Bl 70n
El 40n
C)
80lt
Perimetro de la región sombreada