triÁngulos, cuadrilÁteros y Áreas sombreadas

PAT RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

PROFESOR: Ing Gilmer Martell Campos

TRIÁNGULOS DEFINICIÓN: Es la reunión de 3 segmentos determinados por 3 puntos no colineales.

B

A C

NOTACIÓN: "ABCtriángulo"leese;ABC

ELEMENTOS:

B

A C

vértice

exterior

interior

ladointerior

ladoexterior

TEOREMAS: 01. La suma de las medidas de sus 3 ángulos

interiores es 180° En el gráfico, podemos observar que:

02. La medida de un ángulo exterior ( es

igual a la suma de 2 ángulos interiores ()

y () no adyacentes a él.

03. Un lado está compuesto entre la suma y la

diferencia de los otros lados. Es decir, según el gráfico:

a – c < b < a + c

a

b

c

04. A mayor ángulo se le opone mayor lado y

viceversa.

Es decir: > a > c

a

c

CLASIFICACIÓN: A. SEGÚN SUS ÁNGULOS a) Triángulo Acutángulo: Es aquel que tiene tres ángulos agudos,

o sea menores de 90°

< 90°

Así: < 90°

< 90°

b) Triángulo Obtusángulo:

Es aquel triángulo que tiene un ángulo obtuso y dos ángulos agudos.

> 90° obtuso

Así: < 90°

< 90°

lado mayor

c) Triángulo Rectángulo:

Es aquel triángulo que tiene un ángulo recto y dos agudos.

Así: + = 90°

agudos



hipotenusa (lado>)

cateto

cateto

B. SEGÚN SUS LADOS: d) Triángulos Escaleno:

Es aquel triángulo que tiene sus tres lados diferentes y sus tres ángulos interiores diferentes.

e) Triángulo Isósceles: Es aquel triángulo que tiene dos lados

congruentes y los ángulos que se oponen a dichos lados son también congruentes.

Del gráfico:

=2

180

2

90

en elvertice

f) Triángulo Equilátero: Es aquel triángulo que tiene sus tres

lados congruentes y sus tres ángulos interiores que miden 60° cada uno.

60°

60°

60°

PRÁCTICA DE CLASE 01. Hallar “”

44

A

B C

D

E

A) 15° B) 35° C) 20° D) 45° E) N.A.

02. Hallar “”

A) 15° B) 20° C) 30° D) 60° E) 25° 03. Hallar “x”

x

A) 80° B) 50° C) 100° D) 120° E) 150° 04. ¿Cuántos triángulos isósceles existen?

A

B

CD

E

5

75

50

25

A) 1 B) 4 C) 2 D) 3 E) N.A. 05. Hallar "x"

x

20°

A) 10° B) 30° C) 45° D) 20° E) 70° 06. Los ángulos de un triángulo están en

relación de 2, 3 y 5. Calcular el menor. A) 54° B) 36° C) 30° D) 20° E) 50° 07. Hallar "x"



x

20°30°

A

B

C

D

E

A) 10° B) 20° C) 50° D) 25° E) 5° 08. Del gráfico, hallar “x” si: CD = DE =BE

20°A

B

C

D

E

60°

x

A) 50 B) 60 C) 70 D) 80 E) 90 09. Hallar "x":

x

A) 20° B) 25° C) 45° D) 30° E) N.A. 10. Hallar "x"

20°

A

B

C

D

E

x

30°

A) 65° B) 25° C) 60° D) 50° E) 80° 11. Hallar "x"

60°

A

B

C

D

E

x

A) 20° B) 40° C) 30° D) 45° E) 35°

12. Hallar x° ABC (Equilátero)

A

B

C

D

x

A) 75° B) 15° C) 45° D) 35° E) N.A. 13.Calcular el valor de "x"

x100°

A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) N.A.

14. Si: x – = 20°. Hallar x°

A

B

C

P

D

3x

A) 16° B) 32° C) 25° D) 30° E) 15° 15.Hallar “x”

xa

b b

a

20°

A) 80° B) 32° C) 90° D) 100° E) 120°

16. Hallar”” si: AB = BC = CD = EF:



A

B

D

ECF

80°

A) 10° B) 28° C) 30° D) 37° E) 20° 17. Calcular x, si BC = CE, AB = CD y

triángulo ABD es equilátero.

A

B

D

C

E

70°

A) 30° B) 35° C) 40° D) 20° E) 25° 18. Calcular x, si AD = DE y AB = EC

A

B

D

E

C

35°

35°

x

A) 40° B) 45° C) 70° D) 35° E) 30° 19. Según el gráfico, calcular AB, si AD = DC

A

BD

C

18

A) 6 3 B) 4 C) 5

D) 4 3 E) 5 3 20. En la figura, calcular “x”

80º

xº

A) 25 B) 40 C) 50 D) 45 E) 60

EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Calcular “x”

x

80°

A) 140 B) 145 C) 155 D) 135 E) N.A. 02. Calcular “x”

80º

xº

A) 20 B) 10 C) 30 D) 40 E) 15 03. Si AB = BC = CD; calcular “x”

A

B

C

D

60º

2xº

100º

A) 25 B) 35 C) 45 D) 55 E) 65

04. Calcular “”, si AB = BC = CD = DE = EF

A C

B

E F

D

A) 15 B) 18 C) 20 D) 24 E) 30 05. De la figura, calcular “x”



60º

xº

A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 100 06. De la figura, calcular “x”

A

P

B

R

C

Q

120º

40º

x

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 07. Calcular “x”.

70º

xº

A) 20 B) 35 C) 40 D) 70 E) 55 08. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz

interior BD . Si m∡BAC – m∡BCA = 90.

Calcular la m∡BDA

A) 25 B) 30 C) 35 D) 40 E) 45

09. Se tiene un triángulo isósceles ABC

(AB=BC). En AC se toma el punto “F” y en

BC el punto “G” tal que BF=BG. Calcular

la mCFG, si la mABF = .

A) θ3

2 B)

θ2

3 C)

θ

2

D) θ4

3 E)

10. Si BP = AP = AC, calcular “x”

P

A C

B

x

x

A) 20 B) 30 C) 36 D) 40 E) 35

11. Sobre los lados AB , BC y AC de un triángulo ABC se consideran los puntos “P” “Q” y “R” respectivamente, tal que PQ=QR y

mBPQ + mCQR = 110. Si AB=BC.

Calcular la mARP.

A) 70 B) 65 C) 60 D) 55 E) 50

12. Se tiene un triángulo ABC, AB =BC, sobre

AC se toma el punto “D” tal que AB = DC,

y en la prolongación de BD se toma el punto “E” tal que BC=BE. Si la

m∡DAE = 35, calcular la m∡C.

A) 35 B) 40 C) 30 D) 50 E) 45 15.Si AB = BC y AD = DE, calcular “x”.

120°

D

C

ABEx

A) 20 B) 26 C) 30 D) 37 E) 45 16. En un triángulo ABC, la medida del

ángulo exterior en B mide 126 y las medidas de los ángulos interiores A y C están en la relación de 3 a 4. ¿De qué tipo de triángulo se trata?

A) Escaleno B)

Rectángulo C) Isósceles D)

Acutángulo E) Dos respuestas son correctas 17. Si AB = BC = AD, calcular “x”



B

A

D

C

x

60°

x

A) 75 B) 80 C) 85 D) 90 E) 95 18. En la figura AB = BC = CD = DE, calcular

“x”

xA

CE

D

B

96°

A) 16 B) 18 C) 20 D) 24 E) 26 19. Calcular la medida del mayor ángulo

interno de un triángulo si un ángulo externo mide 148, y de los dos ángulos internos no adyacentes a dicho ángulo, uno mide el triple de lo que mide el otro.

A) 110 B) 111 C) 112 D) 113 E) 114 20. Calcular: “ a + b + c + d + e + f ”

aº

bº cº

dº

1º eº A) 180 B) 270 C) 540 D) 90 E) 360 CUADRILÁTEROS II

01. En el cuadrilátero convexo, hallar la m ABC

A

B C

D

x + 30°x

x + 10° x + 20°

02. En el cuadrilátero cóncavo, hallar “x”.

x

20° 40°

80°

a) 100° b) 75° c) 80° d) 90° e) N.a. 03. En el trapecio ABCD (BC // AD), calcular PQ Si AP = PC y BQ = QD

8

A

CB

P Q

12D

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) N.a. 04. En el cuadrilátero BE y AE son bisectrices. Calcular “x” si m A = 1/2, m C = 50°

A

C

B

E

D

x

a) 40° b) 80° c) 85° d) 95° e) 110° 05. En el trapecio ABCD, BC es paralelo a AD.

Hallar AD

A

CB

DF

8

10

6

a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) N.a. 06. Si BC // AD y además BE y AE son bisectrices

Calcular “x”, si = 32°

A

CB

D

E

xx

a) 30° b) 58° c) 70° d) 60° e) N.a.



07. En la figura se sabe que: BC // AD; AB =

8, BC = 5 y AO = 13 Calcular “x”

A

CB

D50°

x

5

13

8

08. Hallar la mediana de un trapecio, si una de las

bases es los 3/5 de la otra que mide 20 cm. a) 12 cm b) 48 cm c) 50 cm d) 18 cm e) N.a. 09. El perímetro de un trapecio isósceles mide 156

cm. Calcular la mediana, sabiendo que la base mayor equivale a la suma de los lados no paralelos y la base menor es igual a los 3/5 de la mayor.

a) 46 cm b) 48 cm c) 50 cm d) 52 cm e) 54 cm

10. En un trapecio rectángulo la altura mide 32 ;

y la base menor 4 y la uno de los ángulos que forma la base mayor con uno de los lados no paralelos mide 30°.

Calcular la mediana

a) 8 b) 7 c) 7,5 d) 6,5 e) N.a. 11. En la figura “P” es el punto medio de AB.

Calcular “x”

A

C

B

D

P

Q

65

x

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) N.a. 12. En el trapecio rectángulo ABCD, se sabe que:

CM = MD

Calcular AB, si AM = 10 y = 90°

A

CB

D

M

a) 210 b) 10 c) 25

d) 5 e) N.a 13. En el romboide ABCD, AP y DP son bisectrices.

Calcular “”

A

CB

D

P

a) b c

d e) N.a. 14. Calcular “x” en:

x

30°

20°12°

A

B

C a) 50° b) 32° c) 62° d) 42° e) N.a.

15. En un trapecio Isósceles la altura mide 33

cm, la base menor 5 y el ángulo que forma la base mayor con uno de los lados no paralelos mide 30°

Calcular la mediana a) 15,5 b) 14,5 c) 13,5 d) 14 e) N.a. 16. En la figura, hallar “x”

x

98°

100°

a) 198° b) 66° c) 99° d) 49° e) N.a. 17. ¿Cuánto miden las bases de un trapecio

rectángulo si su mediana mide 25,5 cm el lado no paralelo 18 cm y forma con la base mayor un ángulo de 60°

a) 20 cm y 30 cm b) 21 cm y 31 cm c) 21 cm y 30 cm d) 22 cm y 32 cm e) N.a. 18. El perímetro de un rectángulo mide 82 cm. Y

la diagonal 29 cm. Calcular el lado menor a) 15 cm b) 20 cm c) 25 cm d) 30 cm e) 35 cm 19. Hallar “x”



x

48°

62°

a) 70° b) 76° c) 62° d) 62° e) N.a. 20. La mediana de un trapecio mide 20 cm, si una

de las bases mide 12 cm. Hallar el segmento que une los puntos medios de las diagonales

a) 4 cm b) 5 cm c) 6 cm d) 7 cm e) 8 cm. PROBLEMAS PROPUESTOS: 01. Si ABCD es un trapecio, hallar “x”

2

30°

30°A

B C

D

x a) 4 b) 2 c) 8 d) 10 d) N.a. 02. En la figura: “x”

x

53°5

a) 4 b) 24 c) 2

d) 22 e) N.a.

03. Si ABCD es un cuadrado, hallar “x”

37°

x

A

B C

D

12

a) 16 b) 10 c) 12 d) 20 e) N.a. 04. Si ABCD es un rombo , hallar “x”

37°

5

x

A

B

C

D a) 2 b) 4 c) 3 d) 11 e) N.a. 05. Si ABCD es un trapecio, hallar “x”

A

B C

D

5

x

6

a) 1 b) 10 c) 12 d) 11 e) N.a. 06. Si ABCD es rombiode, hallar “x”

A

BC

Dx

12

3

37°

Q

a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) N.a. 07. En un romboide ABCD, m A = 60° y BC = 8m.

Se le prolonga AD hasta un punto E de modo que CE = DE, si el perímetro del triángulo CED es 18 m Calcular el perímetro del romboide.

a) 14 m b) 28 m c) 36 m d) 24 m e) N.a. 08. En un cuadrado ABCD, sobre el lado CD se

ubica un punto E, de modo que AE corta BD en F. Si m DAE = 20°, calcular la medida del ángulo FCD

a) 10° b) 20° c) 30| d) 40° e) N.a. 09. En un trapecio ABCD (BC // AD), BC = 8

m, AD = 16 m. SI P y Q son los puntos medios de AC y BD, respectivamente. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de BP y CQ.

a) 3 m b) 4 m c) 5 m d) 6 m e) N.a. 10. Calcular el mayor ángulo que forman las

bisectrices de dos ángulos opuestos de un



trapezoide si los dos otros ángulos miden 158° y 36°

a) 109° b) 119° c) 139° d) 140° e) 156° 11. La mediana y la altura de un trapecio isósceles

miden 23 m y 8 m respectivamente. Calcular la longitud de la base mayor si uno de los ángulos interiores mide 45°

a) 29 m b) 30 m c) 31 m d) 32 m e) N.a. 12. Calcular el ángulo formado por las bisectrices

de dos ángulos consecutivos de un trapezoide si los otros dos ángulos miden 80° y 72°

a) 46° b) 56° c) 67| d) 68° e) 76° 13. Las bases de un trapecio isósceles están en la

relación de 5 a 7, si la suma de longitudes de sus lados no paralelos es 14 m y su perímetro mide 38 m. Calcular la longitud de la mediana del trapecio.

a) 6 m b) 12 m c) 17 m d) 19 m e) 24 m 14. En el interior de un cuadrado ABCD se

construye un triángulo equilátero AFD. Calcular la medida del ángulo AFC.

a) 100° b) 120° c) 130| d) 135° e) 160° 15. En un cuadrilátero convexo ABCD, hallar el

ángulo formado por la bisectrices exteriores de 2 ángulos consecutivos, si la suma de los otros ángulos interiores vale 240°

a) 30° b) 40° c) 45° d) 60° e) 75° TAREA DOMICILIARIA 01. Hallar”x”

18°

3x

a) 18° b) 30° c) 9° d) 27° e) N.a.

02. Hallar”x”

x

40°

70°

130°

a) 10° b) 12° c) 28° d) 30° e) 20°

03. Hallar “x”

x

a) 150° b) 140° c) 160° d) 145° e) 135° 04. Hallar “x”

x

a) 130° b) 135° c) 120° b) 180° e) N.a 05. En un trapecio rectángulo ABCD.

(A = B = 90). D = 75° AD = 2AB. Calcular el ángulo BCA a) 20° b) 30° c) 45° d) 60° e) 75° 06. En un trapecio ABCD m A = m

B = m 90, BC // AD. Las diagonales trisecan a la mediana del trapecio, tal que el segmento que une los puntos medios de las diagonales mide 2. Calcular el menor ángulo respecto del trapecio si CD = 8

a) 30 b) 45 c) 60 d) 75 e) 80 07. En un romboide ABCD las mediatrices de AD y

CD se intersecan en un punto interior “P”, si la m BAP = 20 y la m APD = 80, calcular la m BCP

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 30 08. Las diagonales de un trapecio ABCD se

intersecan en “O” y son perpendiculares entre si. Calcular el perímetro de dicho trapecio, si el perímetro del ángulo MON, es 10 (MN, mediana del trapecio)

a) 20 b) 30 c) 40

d) 60 e) 220

09. En un paralelogramo ABCD por el punto

medio “M” de AB se traza una secante que interseca en N a CD y las prolongaciones de CB y A en Q y P, respectivamente calcular “MN”, Si: NP = 3 y NQ = 15

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8



10. En un trapecio ABCD (BC // AD) BC = 8 y AD = 16. Si P y Q son los puntos medios de AC y BD respectivamente entonces la longitud del segmento que une los puntos medios de BP y CQ es:

a) 6 b) 8 c) 12 d) 14 e) 16.

1. Si ABCD es un cuadrado, hallar “BH”. Además: MH = 2

B C

H A M D a) 5 b) 6 c) 4 d) 7

2. En un trapecio la mediana excede en 2 a la base menor y la base mayor mide 8. Hallar la mediana. a) 7 b) 5 c) 6 d) 2

3. En el gráfico mostrado, hallar “x” C

120

B 100 x

A D a) 130° b) 110° c) 120° d) N.A.

4. En un trapecio la mediana es el triple del segmento que une los puntos medios de las diagonales. Si la base menor mide 6, hallar la base mayor. a) 112 b) 14 c) 16 d) 18

5. ABCD es un trapecio, donde se sabe que: BC = 6 y CD = 10. Si además ABCR es un paralelogramo, hallar “AD”

B C

R A D a) 14 b) 16 c) 12 d) 20

6. ABCD es un trapecio, donde BC = 9 y CD = b. Hallar “AD” B C 80 20

A D a) b – a b) a+b c) 2a-b d) N.A.

7. ABCD es un cuadrado y ARD es un

triángulo equilátero. Hallar + B C R

A D a) 110° b) 120° c) 115° d) 105°

8. Hallar “x”, si AM = MB A

M

12 x

5

B a) 3,5 b) 7,5 c) 4 d) 3



PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Si ABCD es un paralelogramo, donde: CD = 10

y QC = 4. Hallar “AD” B Q C

A D a) 12 b) 16 c) 14 d) 15

2. ABCD es un rectángulo: CD = 12 y QC = 4. Hallar el segmento que une los puntos medios de AQ y CD

B Q C

45°

A D a) 12 b) 16 c) 10 d) N.A.

3. Siendo ABCD un trapecio, hallar “PQ” B C

6 10

A P Q D

19 a) 2 b) 5 c) 3 d) 7

4. Hallar “x” si ABCD es un cuadrado. B C

x° M

A N D a) 60° b) 90° c) 75° d) 70°

5. En un paralelogramo ABCD, la bisectriz interior del ángulo A corta al lado BC en F. Hallar FC, si AD – CD = 8 a) 6 b) 10 c) 8 d) 7

6. Hallar “x” en: B

2x C x

x

A D a) 72° b) 60° c) 52° d) 85°

7. Al unir dos triángulos equiláteros cuyos lados miden 6 cm, se forma un rombo. ¿Cuánto mide la diagonal mayor del rombo que se forma?

a) 6 3 b) 2 2 c) 8 3

d) 6 2

8. Hallar “BC”, si AD = 8 3 y AB = 3

C B

150°

60° 30°

A D

a) 6 b) 7 c) 12 d) 5

ÁREAS

Las figuras que se muestran a continuación son

cuadrados de 4m de lado. Calcular Ud. el área

de la Región Sombreada.

1.

Rpta.: …………………………



2.

Rpta.: …………………………

3.

Rpta.: …………………………

4.

Rpta.: …………………………

5.

Rpta.: …………………………

6. Hallar el área de la región sombreada

(aproximadamente)

a) 4(4 - ) cm2

b) (16 - 2) cm2

c) (8 - 2)

d) (4 - )

e) N.A.

7. Hallar el valor del área sombreada.

a) + 2

b) - 2

c) 2 + 4

d) 2 - 4

e) 6 + 8

8. Calcular el valor del área sombreada.

a) 4D2

b) D2/4

c) 5D2/4

d) 0,75D2

e) D2

9. Calcular el valor del área sombreada.

a) 3 3 + 3

b) 9 3 -

c) 3( 3 + )

d) 3(3 3 - )

e) N.A.

10. Hallar el área sombreada.

a) 16(4 - )

b) 12(2 + )

c) 48

d) 9

e) 15 + 2

11. Calcular el área de la región sombreada en

función del lado “a” del hexágono regular.

4 cm

4 cm

2

2

D 2D

A C

B

6

6 6

8



a) )2

3(2

a2 d) d) )3(

4

a2

b) )33(2

a2

e) N.A.

c) )32(2

a2

12. Hallar el área de la región sombreada, si: “O” y

“O1” son centros, OA = OB = 4cm.

a) cm2

b) 3

2

c) 2

d) 3

e) 2

3

13. ea el MNP equilátero, hallar el área

sombreada.

a) 75( + 3 3 ) d) 75( - 4

33)

b) 75( - 3 3 ) e) N.A.

c) 75( + 4

33)

14. En un círculo de radio 1m se trazan dos

diámetros perpendiculares tomando cuatro

círculos. El área de la región sombreada es:

a) ( - 3)m2

b) (2 - 5)m2

c) 2m2

d) (2 - 7)m2

e) ( - 2)m2

15. Si el área del cuadrado ABCD vale 40m2. ¿Cuál

es el área de la figura sombreada.

a) 20m2

b) 12m2

c) 15m2

d) 10m2

e) 25m2

A

O B O1

R=5

N

C A

P

30cm

B

30cm

30cm

A D

B C



En las figuras que se muestran a continuación

son cuadrados se 4m de lado. Calcular Ud. el

área de la Región Sombreada.

1.

a) 4( - 2)

b) 4( - 4)

c) 4 - 1

d) 8 - 16

e) N.A.

2.

a) 6( + 1)

b) 6( - 1)

c) 6(2 - )

d) 6 - 2

e) N.A.

3.

a) 8 -

b) 8 - 2

c) 8 +

d) 16 - 4

e) N.A.

4.

a) 4(4 - 2 - 2 3 )

b) 8(4 - 33

2

)

c) 16(4 - 33

2

)

d) 16(2 - 33

)

e) N.A.

5.

a) 4

b) 2

c)

d) 8

e) N.A.

6. En la figura. Calcular el área de la zona

sombreada.

a) 16 m2

b) (8 + 4)m2

c) 8m2

d) 6m2

e) 16m2

7. Hallar el área del triángulo sombreado

contenido en el cuadrado de lado “L”.

a) L2

b) 3L2/8

c) 5L2/8

d) 3L2/4

e) L2/4

8. Hallar el área de la región sombreada si el lado

del cuadrado ABCD mide 4m.

a) 2m2

b) 4m2

c) 5m2

d) 3m2

e) 6m2

9. Si ABCD es un cuadrado de lado 4m. Calcular el

área de la región sombreada.

a) 6(2- 3 )m2

A B 8m

B C

A

D C

B



b) 2(4- 3 )m2

c) 9( 3 -1)m2

d) 4(2- 3 )m2

e) 8( 3 -1)m2

10. Siendo ABCD un cuadrado de lado 4m. Calcular

el área de la región sombreada.

a) 2

33448

b) 3

53848

c) 2

3848

d) 2

73648

e) 3

531248

11. En las siguientes figuras Ud. tiene que calcular

el área de la región sombreada si todos son

cuadrados de lado 4m.

a) 8m2

b) 6m2

c) 4m2

d) 9m2

e) 12m2

12.

a) 4(6-)m2

b) 16(6-)m2

c) 16m2

d) 24 - 2

e) 4 2 m2

13.

a) 9m2 b) 12m2 c) 6m2

d) 4m2 e) 8m2

14. Hallar el área de la región sombreada.

a) a2/3 b) a2/2 c) a2/4

d) a2/5 e) a2/6

15. Hallar el área de la región sombreada, si el lado

del cuadrado ABCD mide 2m.

a) ( + 1) m2

b) ( + 2) m2

c) ( - 1) m2

d) ( - 2) m2

e) (6 - ) m2

D

C B

A

A

B C

D

A

B C

O

D N

P

M

A D E

B C a

a

A D

B C

triÁngulos, cuadrilÁteros y Áreas sombreadas

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en la figura

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es aquel tringulo

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