9 triÁngulos y cuadrilÁteros - ciencia...

9 TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS

P A R A E M P E Z A R

Señala cómo son los triángulos que aparecen en estas figuras según sus ángulos y sus lados.

a) b) c) d)

a) Rectángulo y escaleno. c) Acutángulo y escaleno.

b) Obtusángulo y escaleno. d) Acutángulo y equilátero.

Calcula el ángulo señalado con una xq.

a) b)

a) xq � 33� � 90� ⇒ xq � 57� b) xq � 61� � 90� ⇒ xq � 29�

Pitágoras nació en el año 569 a. C. y murió en Metaponto hacia el año 500 a. C. ¿Cuántos años vivióPitágoras?

Pitágoras vivió aproximadamente 69 años.

3

2

1

90o 60o

60o

90o33o

x90o

61ox

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C L A S I F I C A C I Ó N D E T R I Á N G U L O S Y C U A D R I L Á T E R O S

P A R A P R A C T I C A R

Razona si son verdaderas o falsas estas frases.a) Un triángulo equilátero tiene dos lados iguales y otro desigual.b) Un cuadrado es un cuadrilátero con los cuatro lados iguales.c) Un trapecio tiene solo dos lados paralelos.

a) Falso, los tres lados son iguales.b) Falso, también el rombo tiene 4 lados iguales. El cuadrado además debe tener los 4 ángulos iguales.c) Verdadero.

Identifica los triángulos y los cuadriláteros que aparecen en esta fotografía.

En la fotografía aparecen multitud de triángulos y cuadriláteros.Cada una de las piezas que forman el mosaico es uno de ellos.

Tenemos un cuadrado construido con cuatro varillasde igual longitud; si lo deformamos como muestra lafigura, ¿qué figura se obtiene?

Al deformar un cuadrado se obtiene un rombo, pues mantiene los 4 lados iguales, pero los ángulos dejan de ser iguales.

Se diseñan un triángulo isósceles, un triángulo rec-tángulo y un triángulo escaleno. Se traza una parale-la a cada base y se obtiene un trapecio en cada fi-gura.

¿Cómo se llama cada uno de los trapecios obtenidos?

Trapecio isósceles, trapecio rectángulo y trapecio escaleno.

9.4

9.3

9.2

9.1



Dibuja, si es posible, los siguientes tipos de triángulos.

a) Rectángulo escaleno. e) Obtusángulo escaleno.

b) Acutángulo isósceles. f) Acutángulo equilátero.

c) Acutángulo escaleno. g) Obtusángulo equilátero.

d) Obtusángulo isósceles.

Es imposible dibujar un triángulo obtusángulo equilátero, ya que si es equilátero, cada uno de los ángulos mide 60º y, por tanto, nopuede tener un ángulo obtuso.

Dibuja un cuadrado, un rombo, un rectángulo y un trapecio.a) Traza las diagonales en los cuadriláteros anteriores.b) Justifica en qué casos las diagonales se cortan perpendicularmente.

a)

b) Las diagonales se cortan perpendicularmente en el cuadrado y en el rombo. En el resto no se cortan perpendicularmente.

9.6

9.5

a)

b)

c)

d)

e)

f )



P A R A A P L I C A R

Laura tiene dos varillas de 32 y 18 centímetros, respectivamente.¿Puede construir un rombo, de forma que las varillas sean sus diagonales? En caso afirmativo, dibújalo.

Sí es posible.

Un terreno tiene forma de cuadrilátero, siendo tres de sus lados iguales, y el otro, doble de cada unode los anteriores.Contesta si es posible que sea:a) Un rectángulo. b) Un trapecio. c) Un trapezoide.

Es posible que sea un trapecio y un trapezoide, pero es imposible que sea un rectángulo, ya que tiene los lados iguales dos a dos.

¿Existen varios trapecios con las medidas indicadasen este anuncio?Justifica tu respuesta con un dibujo.

Esos datos no dan lugar a un trapecio único. Veamos algunos ejemplos.

9.9

9.8

9.7

32 cm

18

cm

20 cm

25 cm25 cm

20 cm

10

cm

10

cm

BREVESParcela con forma detrapecio, de bases 25 y 20 metros y altura 10 metros.



I G U A L D A D D E T R I Á N G U L O S


Ejercicio resuelto

Dibuja un triángulo que tenga dos lados de 8 y 9 centímetros, respectivamente, y el ángulo comprendidoentre ellos mida 60�.

Dibujamos sobre Bq � 60� los lados de 8 y 9 centímetros. Uniendo los puntos que hemos obtenido, A y C, construimos el triángulo.

Construye un triángulo igual al ABC que tenga el lado a sobre la recta r.

Se elige un punto cualquiera de la recta r, sea el punto B�, y se construye el punto C�, siendo B�C� � 15 cm.Con un transportador en B� llevamos un ángulo de 60�.A partir de B� construimos el punto A�, siendo B�A� � 12 cm.Uniendo los vértices A� y C�, obtenemos el triángulo A�B�C� pedido.

Construye triángulos con los siguientes datos, teniendo en cuenta que el ángulo es el que está com-prendido entre los lados.

a) 7 cm 75� 4 cmb) 9,5 cm 120� 6 cmc) 12 cm 60� 11 cm

a) b) c)

9.12

9.11

9.10

9,5 cm

6 cm 120o

7 cm

4 c

m

75o

12 cm

11 c

m

60o

B

A

C a = 15 cm

12 c

m

60o

r

B

A

C a = 15 cm

12 c

m

60o

r

B’

A’

C’

15 cm1

2 c

m

60o

20 cm

25 cm25 cm

20 cm

10

cm

10

cm




Se elige un punto cualquiera de la recta r, sea el punto B�, y se construye el punto C�, siendo B�C� � 9 cm.Con un transportador en B� trazamos un arco de circunferencia de radio 7 cm. Con un transportador en C� trazamos un arco decircunferencia de radio 8 cm. Uniendo los vértices A� y C� obtenemos el triángulo A�B�C� pedido.

Dibuja, con regla y compás, un triángulo cuyos lados midan 10, 8 y 9 centímetros, respectivamente.

Construimos el segmento AB � 10 cm.Haciendo centro en A y con un radio de 9 cm construimos un arco.Haciendo centro en B y con un radio de 8 cm construimos un arco.Sea C el punto de corte de los dos arcos.El triángulo ABC es el triángulo pedido.

Construye triángulos con los siguientes datos.a) 8 cm 5 cm 8 cmb) 11 cm 12 cm 13 cmc) 4,5 cm 2,3 cm 3,9 cm

a) b) c)

9.15

9.14

9.13

B

A

C a = 9 cm

r

b =

8 cm

c = 7 cm

B

A

C a = 9 cm

b =

8 cm

c = 7 cm

B’

A’

C’

9 cm

8 cm

7 cm

9 cm 8 cm

10 cm BA

C

8 cm

8 cm

5 cm

13 cm

12 cm 11 cm

4,5 cm

3,9 cm2,3 cm



Dibuja un triángulo que tenga un lado de 10 centímetros y los ángulos contiguos midan 40° y 60°.

Construimos el segmento BC � 10 cm.Haciendo centro en B llevamos un ángulo de 60�.Haciendo centro en C llevamos un ángulo de 40�.Unimos los lados de estos ángulos.El triángulo ABC es el triángulo pedido.


Se elige un punto cualquiera de la recta r, sea el punto B�, construimos el segmento B�C� � 13 cm.Haciendo centro en B� llevamos un ángulo de 60�.Haciendo centro en C� llevamos un ángulo de 30�.Unimos los lados de estos ángulos.El triángulo A�B�C� es el triángulo pedido.

Construye triángulos con los siguientes datos.

a) 12 cm 30� 60�

b) 10 cm 45� 45�

c) 9,2 cm 110� 30�

a) b) c)

9.18

9.17

9.16

B

A

C a = 13 cm

r

30o 60o

B

r

A

C a = 13 cm30o 60o

A’

13 cm

C’

B’

60o

30o

10 cm

40o60o

A

B C

12 cm

60o

30o

10 cm

45o 45o

9,2 cm30o

110o




Un equipo de jóvenes arqueólogos ha acotado una zona en la que han aparecido restos arqueológicosromanos. Dibuja un plano del recinto triangular acotado, cuyos lados midan 7,5; 9 y 10,2 centímetros,respectivamente.

Una antena de telefonía móvil tiene 15 metros de altura y está fija al suelo perpendicularmente. Susombra mide 10 metros. Construye un triángulo que tenga las mismas medidas expresadas en centíme-tros.

En la descripción de un terreno se indica que tiene forma triangular y que la medida de sus lados es2,3; 3,5 y 7 kilómetros, respectivamente. ¿Es posible que un triángulo tenga estas medidas? Si es así,construye un triángulo que represente el terreno y cuyos lados midan 2,3, 3,5 y 7 centímetros, respec-tivamente.

No es posible, ya que en un triángulo cada lado tiene que ser menor que la suma de los otros dos, y en nuestro caso: 7 � 2,3 � 3,5.

9.21

9.20

9.19

10,2 cm

9 cm7,5 cm

15 cm

10 cm

7 cm

2,3 cm

A B

3,5 cm




Rectas y puntos notables de un triángulo

Copia el triángulo ABC y traza sus alturas.¿En qué punto se cortan las alturas?

El punto de corte de las alturas de un triángulo se llamaortocentro.

Copia el triángulo ABC y traza sus medianas.¿En qué punto se cortan las medianas?

El punto de corte de las medianas de un triángulo se llamabaricentro

Ejercicio resuelto

Dibuja una circunferencia que pase por tres puntos no alineados M, N y P.

Si unimos los puntos M, N y P, obtenemos el triángulo MNP. Las mediatrices de cada lado se cortanen C, que es el centro de la circunferencia circunscrita. El radio será, por ejemplo, CM.

Copia el triángulo ABC y dibuja la circunferencia circunscrita.9.25

9.24

9.23

9.22

B

A

C

B

A

C

B

A

C

B

A

C

BA

C

BA

C

N

M P•

C



Halla el baricentro y el circuncentro en un triángulo equilátero. ¿Qué ocurre?

En un triángulo equilátero, las alturas y las mediatrices coinciden; en consecuencia, el baricentro y el circuncentro también coinciden.

Copia estos triángulos rectángulos y dibuja el ortocentro de cada uno de ellos.

a) b) c) d)

¿Dónde se encuentra el ortocentro en un triángulo rectángulo?

a) b) c) d)

El ortocentro de un triángulo rectángulo coincide con el vértice del ángulo recto.

9.27

9.26

90o

90o

90o

90❏

90o

90o

90o

90o




Tres pueblos, A, B y C, están unidos por carreteras como muestra la figura. Se quiere construir un re-petidor de televisión para mejorar la recepción de la señal.¿Dónde deberá situarse para que se encuentre a la misma distancia de cada vértice?

El repetidor se deberá construir en el circuncentro O del triángulo ABC. Por tanto, se trazan las mediatrices de dos lados; el pun-to de corte de dichas mediatrices es el circuncentro, punto que equidista de los vértices del triángulo.

En un campamento con forma triangular se quiere construir un depósito de agua que se encuentre aigual distancia de sus lados. ¿Dónde deberá situarse el depósito de agua?

El depósito de agua se deberá construir en el incentro del triángulo ABC. Trazamos las bisectrices de dos ángulos del triángulo;el punto de corte de dichas bisectrices es el punto D incentro del triángulo. Este punto equidista de los lados del triángulo.

Teorema de Pitágoras

Ejercicio resuelto

Calcula cuánto mide la hipotenusa de este triángulo rectángulo.

Los catetos miden: b � 6 cm c � 8 cmAplicando el teorema de Pitágoras resulta:

a2 � 62 � 82 → a2 � 100 → a � �100� � 10

La hipotenusa mide 10 centímetros.

9.30

9.29

9.28

O




Sobre los lados de un triángulo rectángulo se construyen cuadrados de áreas A1, A2 y A3.

a) Halla A3 si S1 � 60 cm2 y A2 � 91 cm2.

b) Calcula A1 si A2 � 64 cm2 y A3 � 80 cm2.

a) A3 � A1 � A2 � 60 � 91 � 151 cm2

b) A3 � A1 � A2 � 80 � A1 � 64 ⇒ A1 = 16 cm2

Ejercicio resuelto

Completa la siguiente tabla si a es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y b y c, los catetos.

Si aplicamos el teorema de Pitágoras, resulta:

a2 � 122 � 52 → a � �144 �� 25� � 13

262 � 242 � c2 → c � �676 �� 576� � 10

292 � b2 � 212 → b = �841 �� 441� � 20

Calcula la longitud de la hipotenusa en los siguientes triángulos.

a) b)

a) a2 � 4,82 � 6,42 ⇒ a � �64� � 8 cm b) a2 � 722 � 542 ⇒ a � �8 100� � 90 cm

Halla la medida del cateto desconocido en estos triángulos rectángulos.

a) b)

a) x 2 � 2,22 � 1,52 ⇒ x � �2,59� � 1,61 mm b) x 2 � 3,52 � 2,82 ⇒ x � �4,41� � 2,1 dm

9.34

9.33

9.32

9.31

A1

A2

A3

x2,2 mm

1,5 mm

a

54 cm72 cm

a

6,4 cm

4,8

cm

a

54 cm72 cm

a b c

12 5

26 24

29 21



Calcula cuánto mide el lado que falta en los siguientes triángulos rectángulos.

a) b)

a) x 2 � 62 � 2,52 ⇒ x � �29,75� � 5,45 mm b) x 2 � 652 � 392 ⇒ x � �2 704� � 52 cm

9.35

x

2,5 mm

6 mm

x

39 c

m

65 cm




Aplicando el teorema de Pitágoras, comprueba si el triángulo ABC es equilátero.

Calculamos la hipotenusa AC.

AC 2 � 62 � 42 ⇒ AC � �52� � 7 cmComo la base mide 8 cm, el triángulo ABC no es equilátero.

¿A qué distancia está el barco del faro?

x 2 � 2602 � 582 ⇒ x � �70 964� � 266,39El barco está a 266,39 metros del faro.

Una antena de telefonía móvil de 9,5 metros de altura produce una sombra de 5,7 metros. Halla la dis-tancia desde el extremo superior de la antena al extremo de la sombra.

Aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo ABC para hallar la hipotenusa a.

a2 � 9,52 � 5,72 ⇒ a � �122,74� � 11,08La distancia es de 11,08 metros.

Para evitar la caída de un árbol enfermo de 17 metros,se ha sujetado con dos cables de 25 y 21 metros, res-pectivamente, como muestra la figura.

a) Copia la figura y sitúa sobre ella los datos del enun-ciado.

b) ¿Cuál es la distancia de A a B?

a)

b) AM 2 � 252 � 172 � 336 m2 ⇒ AM � 18,33 m MB 2 � 212 � 172 � 152 m2 ⇒ MB � 12,33 mPor tanto, la distancia de A a B es: AB � AM � MB � 18,33 � 12,33 � 30,66 m

9.39

9.38

9.37

9.36

5,7 m

A

B C

a9,5 m

8 cmB A

C

6 c

m

21 m

25 m

M

17 m



Reconocimiento de triángulos

Ejercicio resuelto

Los lados de un triángulo miden 6, 8 y 11 centímetros, respectivamente. Averigua qué tipo de triánguloes y dibújalo.

a � 11 cm b � 6 cm c � 8 cmAplicando el teorema de Pitágoras, resulta:a2 � 112 � 121b2 � c2 � 62 � 82 � 100Como 121 � 100, el triángulo es obtusángulo.

9.40

8 cm 6 cm

11 cm




¿Qué tipo de triángulos son los siguientes?

a) b)

a) a2 � 132 � 169 52 � 122 � 169 b) a2 � 82 � 64 72 � 32 � 55El triángulo es rectángulo. El triángulo es obtusángulo.

Ejercicio resuelto

A partir del teorema de Pitágoras, reconoce los triángulos cuyas medidas son las siguientes.a) 21, 72, 75 centímetros. b) 32, 60, 69 metros. c) 21, 28, 33 centímetros.

a) 752 � 5 625 722 � 212 � 5 184 � 441 � 5 625 Como 752 � 722 � 212, el triángulo es rectángulo.b) 692 � 4 761 602 � 322 � 3 600 � 1 024 � 4 624 Como 692 � 602 � 322, el triángulo es obtusángulo.c) 332 � 1 089 212 � 282 � 441 � 784 � 1 225 Como 332 � 212 � 282, el triángulo es acutángulo.

Reconoce el tipo de triángulo sabiendo que las medidas de sus lados, expresadas en metros, son las si-guientes.

a) 102, 90, 48 b) 51, 68, 87 c) 60, 100, 91

a) Como 1022 � 902 � 482, se deduce que el triángulo es rectángulo.

b) Como 872 � 512 � 682, se deduce que el triángulo es obtusángulo.

c) Como 1002 � 602 � 912, se deduce que el triángulo es acutángulo.

El lado de un cuadrilátero mide 10 metros y su diagonal mide 13 metros. ¿Es un cuadrado?

Será un cuadrado si se verifica que 102 � 102 � 132

� Como 102 � 102 � 132, no es un cuadrado.

Un alumno ha dibujado un triángulo cuyos lados miden 21, 72 y 74 centímetros, respectivamente. ¿Esun triángulo rectángulo? Si no es así, ¿qué tipo de triángulo es?

Será rectángulo si se verifica que 742 � 722 � 212

� Como 742 � 722 � 212, se deduce que el triángulo no es rectángulo y, en cambio, es acutángulo.

Las medidas del rombo vienen expresadas en metros.Sabiendo que sus diagonales se cortan perpendicularmente, com-prueba si, en efecto, son correctas las medidas de la figura.

Serán correctas las medidas si se verifica que 342 � 162 � 29,52

�Como 342 � 162 � 29,52, se verifica que el triángulo ABC no es rectángulo; por tanto, las diagonales no se cortan perpendicu-larmente y, en consecuencia, el cuadrilátero dado no es un rombo.

342 � 1 156162 � 29,52 � 1 126,25

9.46

742 � 5 476722 � 212 � 5 625

9.45

102 � 102 � 200132 � 169

9.44

9.43

9.42

9.41

12 c

m

5 cm

13 cm

8 cm

3 cm

7 cm

34

59

32




En una imprenta han impreso unas postales que miden 12 centímetros de largo y 9 centímetros de an-cho. Si la diagonal mide 16 centímetros, ¿son rectangulares las postales?

Las postales serán rectangulares si se verifica que 162 � 122 � 92

�Como 162 � 122 � 92, se deduce que el triángulo ABC no es rectángulo y, en consecuencia, el cuadrilátero ABCD no es rectángulo.

Una puerta mide 202 centímetros de alto y 72,5 centímetros de ancho. Al instalarla, el carpintero ve queno encaja correctamente en el cerco. Mide la diagonal y obtiene 212 centímetros.a) ¿Son posibles esas medidas?b) ¿Cuánto debería medir la diagonal?

a) Serán posibles las medidas si se verifica que 2122 � 2022 � 72,52

�Como 2122 � 2022 � 72,52, se deduce que el triángulo ABC no es recto y, en consecuencia, el cuadrilátero ABCD no es rectángulo.

b) La diagonal debería medir: d 2 � 2022 � 72,52 � 46 060,3 ⇒ d � �46 060�,3� � 214,62 cm.

Luis está construyendo la maqueta de un avión. Una de las piezas tiene forma de triángulo isósceles yen las instrucciones de construcción se indica que la medida de sus lados iguales es 15 centímetros.a) ¿Cuánto debe medir el lado desigual para que el triángulo sea rectángulo?b) Si el triángulo es obtusángulo, ¿cuánto medirá el lado mayor de la pieza?

a) Sea a el lado desigual, entonces se verifica que: a2 � 152 � 152 � 450 ⇒ a � 21,21 cm.b) Para que el triángulo sea obtusángulo, el lado mayor deberá ser mayor que el valor obtenido para a en el apartado anterior,

es decir, a � 21,21 cm.

Cálculo de distanciasEjercicios resueltos

Las medidas de las diagonales de un rombo son 16 y 12 metros, respectivamente. Calcula la medida del lado.

l 2 � 82 � 62 � 64 � 36 � 100

l � �100� ⇒ l � 10El lado del rombo mide 10 centímetros.

Halla la medida del lado que falta en el trapecio rectángulo de la figura.

El lado que falta mide lo mismo que el cateto b del triángulo rectángulo ABC.Aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene:

b2 � 52 � 32 � 25 � 9 � 16 ⇒ b � �16� � 4El lado que falta mide 4 centímetros.

9.51

9.50

9.49

2122 � 44 9442022 � 72,52 � 46 060,3

9.48

162 � 256122 � 92 � 225

9.47

6 m

8 m

l

A

C B6 cm 3 cm

5 cmb




Los lados de un rectángulo miden 40 y 9 metros, respectivamente.Halla la longitud de su diagonal.

d 2 � 402 � 92 ⇒ d 2 � 1 681 ⇒ d � 41 m

Halla la longitud del lado de un cuadrado sabiendo que su diagonal mide 7 metros.

Sea b la longitud del lado del cuadrado: b2 � b2 � 72; 2b2 � 49; b2 � 24,5 ⇒ b � �24,5� � 4,95 m

Ejercicio resuelto

El lado de un rombo mide 78 decímetros, y una de sus diagonales, 60 decímetros. Calcula la medida dela otra diagonal.

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo ABC, se tiene:782 � 302 � b2

6 084 � 900 � b2

b2 � 6 084 � 900b2 � 5 184

b � �5 184� � 72Por tanto, la medida de la otra diagonal es: d � 2 � b � 2 � 72 � 144La otra diagonal mide 144 decímetros.

La diagonal de un rombo mide 24 metros, y su lado, 13 metros. Calcula la medida de la otra diagonal.

132 � b2 � 122 ⇒ b2 � 25 ⇒ b � 5La diagonal mide 10 metros.

Averigua cuánto mide la altura de un triángulo equilátero de 10 centímetros de lado.

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo ABC resulta:

h2 � 102 � 52 � 75 ⇒ h � �75� � 8,66 cm

Los lados de un triángulo isósceles miden 5, 5 y 8 centímetros, respectivamente.¿Cuánto mide su altura?

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo ABC resulta:h2 � 52 � 42 � 9 ⇒ h � 3 cm

¿Cuánto mide la apotema de un hexágono regular cuyo lado mide 12 centímetros?


a2 � 122 � 62 � 108 ⇒ a � �108� � 10,39 cm

¿Cuál es la medida del lado a de este trapecio isósceles?


a2 � 52 � 42 � 41 ⇒ a � �41� � 6,40 cm

9.59

9.58

9.57

9.56

9.55

9.54

9.53

9.52

30 dm

bA

B

C

78 dm

A

12 mC

bB

13 m

A C

B

h10 cm

5 cm

6 cm

12 cma

A C

B

h10 cm

5 cm




Las medidas de una piscina que tiene forma rectangular son 40 metros de largo y 9 metros de ancho.En unos entrenamientos de natación sincronizada, un equipo ha nadado 1 312 metros recorriendo va-rias veces la diagonal de esa piscina.¿Cuánto veces ha recorrido la diagonal?

Calculamos la diagonal de la piscina aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo ABC.

d 2 � 402 � 92 � 1 681 ⇒ d � �1 681� � 41 m

Como han recorrido 1 312 metros, resulta: �1

43112� � 32. Por tanto, han recorrido 32 veces la

diagonal.

La tapa de un envase tiene forma de hexágono regular cuyo lado mide 5 centímetros.Calcula la apotema de la tapa del envase.


a2 � 52 � 2,52 � 18,75 ⇒ a � �18,75� � 4,33 cm

Las diagonales de un espejo con forma de rombo miden 34 y 21 centímetros, respectivamente. Se le vaa colocar un marco de madera, ¿cuántos centímetros se necesitan?

Calculamos el lado a aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo ABC:

a2 � 10,52 � 172 � 399,25 ⇒ a � �399,25� � 19,98 cm

Por tanto, el borde del espejo mide:

b � 4a � 4 � 19,98 � 79,92 cm

Las dimensiones de un parque rectangular son 1 700 metros de largo y 1 250 metros de ancho. Pedro seencuentra en el punto P y quiere ir a la salida, que está situada en el punto B.¿A qué distancia se encuentra de la salida?

Calculamos la medida de la diagonal del rectángulo aplicando elteorema de Pitágoras al triángulo ABP.

d 2 � 1 7002 � 1 2502 � 4 452 500

d � �4 452 5�00� � 2 110,09 m

Pedro se encuentra a 2 110,09 metros de la salida.

Calcula la medida de los lados del triángulo ABC. ¿Qué tipo de triángulo es según sus ángulos?

Aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene:

c 2 � 1,52 � 32 � 11,25 ⇒ c � 3,35 cm.

a2 � 32 � 62 � 45 ⇒ a � 6,71 cm.

b2 � 4,52 � 62 � 56,25 ⇒ b � 7,5 cm.

Como b2 � c 2 � a2, el triángulo ABC es recto en B.

9.64

9.63

9.62

9.61

9.60

A

CB

d

40 m

9 m

AC

B

a5 cm

2,5 cm

C

B

a

17 cm A

10,5 cm

1700 m

1250 m

P

B

3 cm 3 cm

1,5 cm

6 cm

A

C

B

A



M A T E M Á T I C A S C O T I D I A N A S


¿Qué pendiente tiene esta montaña rusa entre los puntos A y B si la distancia entre ambos es de 26metros?

Aplicando el teorema de Pitágoras:262 � h2 � 152 ⇒ h2 � 676 � 225 � 451

h � �451� � 21,24 m

La pendiente es: p � �21

1,524� � 0,71

Es decir, es del 71 %.

9.65



A C T I V I D A D E S F I N A L E S

C Á L C U L O M E N T A L

Indica entre qué dos números se encuentra la raíz cuadrada entera de los siguientes números.

a) 6 b) 38 c) 69 d) 115

a) 2 � �6� � 3 b) 6 � �38� � 7 c) 8 � �69� � 9 d) 10 � �115� � 11

¿Entre qué dos números está la raíz cuadrada de las siguientes sumas de números?

a) 10 � 16 b) 4 � 26 c) 16 � 80 d) 25 � 14

a) 5 � �26� � 6 b) 5 � �30� � 6 c) 9 � �96� � 10 d) 6 � �39� � 7

Indica entre qué dos números está la raíz cuadrada de las siguientes diferencias de números.

a) 24 � 12 b) 38 � 16 c) 110 � 64 d) 90 � 40

a) 3 � �12� � 4 b) 4 � �22� � 5 c) 6 � �46� � 7 d) 7 � �50� � 8

9.68

9.67

9.66



P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R

Razona si son verdaderas o falsas estas afirmaciones.

a) Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene todos los ángulos iguales a 90�.

b) Un rombo es un paralelogramo que tiene los 4 lados iguales.

c) Un cuadrado es un paralelogramo que tiene los 4 lados iguales.

d) Un trapezoide es un cuadrilátero que no es paralelogramo.

a) Falso, el cuadrado también verifica esta condición.

b) Falso, el cuadrado también verifica esta condición.

c) Falso, el rombo también verifica esta condición.

d) Falso, el trapezoide es un cuadrilátero que no tiene ningún lado paralelo.

Se quiere construir un triángulo con tres varillas, cuyas medidas son las siguientes.

a) 15 cm 12 cm 2 cm

b) 9 cm 8 cm 7 cm

c) 16 cm 16 cm 16 cm

¿Son todos triángulos? Justifica la respuesta.

Las medidas del apartado a no dan lugar a un triángulo, ya que en todo triángulo se ha de verificar que cada lado es menorque la suma de los otros dos, y en este caso: 15 � 12 � 2.

Construye un triángulo cuyos lados midan 14, 10 y 9 centímetros, respectivamente.

Determina la medida de la hipotenusa de estos triángulos, sabiendo que sus catetos miden lo siguiente.

a) 5,6 y 4,3 centímetros. b) 11,2 y 7,5 decímetros. c) 17,4 y 6,3 metros.

a) a 2 = 5,62 � 4,32 ⇒ a � �49,85� � 7,06 cm

b) a 2 = 11,22 � 7,52 ⇒ a � �181,69� � 13,48 dm

c) a 2 = 17,42 � 6,32 ⇒ a � �342,45� � 18,5 m

Decide si los siguientes triángulos son rectángulos, acutángulos u obtusángulos.

a) 15, 36 y 40 metros. b) 18, 24 y 30 centímetros. c) 20, 21, 27 metros.

a) � Como 402 � 152 � 362, el triángulo es obtusángulo.

b) � Como 302 � 182 � 242, el triángulo es rectángulo.

c) � Como 272 � 202 � 212, el triángulo es acutángulo.272 � 729202 � 212 � 841

302 � 900182 � 242 � 900

402 � 1 600152 � 362 � 1 521

9.73

9.72

9.71

9.70

9.69

14 cm

10 cm9 cm



La suma de los lados de un triángulo equilátero mide 24 centímetros, lo mismo que la suma de los ladosde un cuadrado.

a) ¿Cuánto mide la altura del triángulo?

b) ¿Cuál es la medida de la diagonal del cuadrado?

a) Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo ABC resulta:

h2 � 82 � 42 � 48 ⇒ h � �48� � 6,93 cm

b) Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo ABC resulta:

d 2 � 62 � 62 � 72 ⇒ d � �72� � 8,49 cm

Una parcela tiene forma de trapecio rectángulo.Se rodea con una malla de alambre. Si el metro de malla cuesta 30 euros, ¿cuánto costará cercar la parcela?

105 � 65 � 40; el triángulo BCM es rectángulo isósceles.Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo BCM se obtiene:

BC 2 � 402 � 402 � 3 200 ⇒ BC � �3 200� � 56,57 mPor tanto, la suma de los lados de la parcela mide:65 � 40 � 105 � 56,57 � 266,57 m.266,57 � 30 � 7 997,10Cercar la parcela costará 7 997,10 euros.

9.75

9.74

A C

B

h 8 cm

4 cm

A

CB

d

6 cm

D

6 cm

B M

C



Se va a construir una planta marítima para la extracción de petróleo, de modo que se encuentre a lamisma distancia de las tres islas. ¿Dónde se deberá construir?

La planta marítima se debe construir en el circuncentro del triángulo ABC que forman las tres islas. Por tanto, trazaremos lasmediatrices de dos lados, y el punto de corte será el circuncentro O.

9.76



P A R A R E F O R Z A R

Dibuja los siguientes polígonos.a) Un triángulo equilátero. c) Un rombo.b) Un trapezoide. d) Un trapecio isósceles.

a) b) c) d)

Construye un triángulo cuyos lados midan 6, 8 y 9 centímetros, respectivamente.

Razona si son verdaderas o falsas estas afirmaciones.a) En un triángulo rectángulo, la suma de los catetos es igual a la hipotenusa.b) En un triángulo isósceles, la hipotenusa es el doble del cateto.c) En un triángulo obtusángulo, el cuadrado del lado mayor es mayor que la suma de los cuadrados de

los lados menores.d) El teorema de Pitágoras se puede aplicar a cualquier tipo de triángulo.

a) Falsa, en un triángulo rectángulo, la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.b) Falsa.c) Cierta.d) Falsa, solo se puede aplicar a triángulos rectángulos.

Comprueba si estas ternas de números cumplen el teorema de Pitágoras.a) 20, 48, 52 b) 33, 56, 65 c) 36, 49, 60 d) 39, 52, 65

a) � ⇒ 20, 48 y 52 es una terna pitagórica.

b) � ⇒ 33, 56 y 65 es una terna pitagórica.

c) � ⇒ 36, 49 y 60 no es una terna pitagórica.

d) � ⇒ 39, 52 y 65 es una terna pitagórica.652 � 4 225392 � 522 � 4 225

602 � 3 600362 � 492 � 3 697

652 � 4 225332 � 562 � 4 225

522 � 2 704202 � 482 � 2 704

9.80

9.79

9.78

9.77

9 cm

6 c

m 8 cm

a) b) c) d)



Conocidos los lados de los siguientes triángulos, aplica el teorema de Pitágoras para saber si son rec-tángulos, acutángulos u obtusángulos.a) 6, 7, 9 metros. c) 21, 28, 32 centímetros.b) 12, 16, 20 metros. d) 24, 32, 43 centímetros.

a) � ⇒ Como 92 � 62 � 72 ⇒ Triángulo acutángulo.

b) � ⇒ Como 202 � 122 � 162 ⇒ Triángulo rectángulo.

c) � ⇒ Como 322 � 212 � 282 ⇒ Triángulo acutángulo.

d) � ⇒ Como 432 � 242 � 322 ⇒ Triángulo obtusángulo.

Calcula la distancia indicada por una letra en las siguientes figuras.

a) b) c) d)

a) d 2 � 9,22 � 9,22 � 169,28 ⇒ d � �169,28� � 13,01 cm

b) x 2 � 102 � 82 � 36 ⇒ x � �36� � 6 cm

c) h 2 � 6,22 � 42 � 22,44 ⇒ h � �22,44� � 4,74 cm

d) x 2 � 122 � 7,52 � 87,75 ⇒ x � �87,75� � 9,37 cm

Dibuja un rombo cuyas diagonales midan 18 y 24 centímetros, respectivamente, y calcula la medida desu lado.

a2 � 92 � 122 � 225

a � �225� � 15El lado del rombo mide 15 metros.

9.83

9.82

432 � 1 849242 � 322 � 1 600

322 � 1 024212 � 282 � 1 225

202 � 400122 � 162 � 400

92 � 8162 � 72 � 85

9.81

9,2 cm

9,2 cmd

8 cm 10 cm

x

4 cm

6,2 cmh

15

cm 24 cm

x

C

B

a

12 cm A

19 c

m



P A R A A M P L I A R

En Caltagirone (Sicilia) existe una escalinata decorada en cerámica que tiene 250 peldaños. Si cada es-calón tiene 20 centímetros de alto y 80 centímetros de ancho, halla la longitud desde el punto más bajohasta el más alto de la escalinata.

Calculamos la diagonal de cada escalón: a2 � 802 � 202 � 6 800 ⇒ a � �6 800� � 82,46Como la escalinata tiene 250 peldaños, la longitud pedida será: 250 � 82,46 � 20 615 cm.La longitud pedida es de 206,15 metros.

¿Cuántos cuadrados diferentes se pueden construir sobre un geoplano como el de la figura?

N.º de cuadrados de lado 1 � 16




N.º de cuadrados de lado �2� � 9


N.º de cuadrados de lado �5� � 8 (4 � 4 obtenidos por simetría)


Por tanto, el número de cuadrados diferentes que se pueden construir en un geoplano de 5 � 5 son 50.

Dibuja un triángulo y construye el ortocentro, el baricentro y el circuncentro. Comprueba que los trespuntos están alineados.

En los dibujos podemos observar que los tres puntos se encuentran alineados independientemente del tipo de triángulo .

9.86

9.85

9.84

1 2 3 4

2

85 5

10

etc.

etc.etc.

etc.

O

B

C

C B

O

O

B

C



P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R

La vallaDolores está interesada en vallar su parcela con un tipo de seto artificial. La figura muestra un croquisde la parcela.

El precio de cada metro de seto es de 12 euros.Dolores no se quiere gastar más de la cuenta, por lo que pretende comprar la longitud de seto lo másajustada posible.Calcula el perímetro de la parcela y el precio del total del seto que ha de comprar.

AB � �32 � 4�2� � �25� � 5

CD � �122 ��52� � 13Perímetro � 5 � 5 � 13 � 13 � 8 � 44 mPrecio � 44 � 12 � 528 euros.

9.87

1 m1 m

1 m



Cortando madera

En un hipermercado donde se vende material de bricolaje ofrecen tableros de madera y la posibilidadde cortarlos a gusto del cliente.

La única condición es que los cortes sean siempre mediante líneas rectas y ángulos rectos. Es decir, sólose pueden cortar cuadrados y rectángulos.

Para utilizar el servicio, el cliente debe rellenar la siguiente ficha:

Rellena la ficha para obtener de un tablero completo las siguiente piezas

1 tablero de 140 � 70 cm 1 tablero de 120 � 50 cm

2 tableros de 50 � 50 cm 1 tablero de 50 � 40 cm

9.88

Tablero de 210 X 120 cm

Completo Mitad

Color __________________

Piezas1) 140 X 70 cm2) 120 X 50 cm3) 50 X 50 cm4) 50 X 50 cm5) 50 X 40 cmX

Tablero 210 x 120 cmColor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Completo ❏ Mitad ❏

Piezas1) . . . . . . . x . . . . . . cm2) . . . . . . . x . . . . . . cm3) . . . . . . . x . . . . . . cm4) . . . . . . . x . . . . . . cm5) . . . . . . . x . . . . . . cm



A U T O E V A L U A C I Ó N

¿Cómo se llaman estos cuadriláteros?

Rombo.

Trapecio rectángulo.

Cometa.

En un pueblo hay tres colegios no alineados. El Ayuntamiento ha decidido construir un centro culturala igual distancia de los tres. ¿En qué punto se deberá construir el centro cultural?

El centro cultural se deberá construir en el circuncentro del triángulo ABC que forman los tres colegios.

Comprueba si un triángulo cuyos lados miden 16, 30 y 36 metros, respectivamente, es rectángulo, acu-tángulo u obtusángulo.

� Como 362 � 302 � 162 ⇒ El triángulo es obtusángulo.

Calcula la diagonal de un rectángulo si la base mide 171 centímetros y la altura mide dos tercios de labase.

h � �23

� � 171 � 114 cm d 2 � 1142 � 1712 � 42 237 ⇒ d � �42 237�La raíz cuadrada entera es 205, y el resto, 212. La diagonal mide, aproximadamente, 205 centímetros.

Halla la altura de un triángulo equilátero sabiendo que la suma de sus lados es 15 centímetros.

Si la suma de los tres lados es 15 cm, cada lado mide 5 cm.

h2 � 52 � 2,52 � 18,75 ⇒ h � �18,75�La raíz cuadrada entera es 4, y el resto, 2,75. La altura mide, aproximadamente, 4 centímetros.

El lado desigual de un triángulo isósceles mide 72 centímetros, y la altura, 60 centímetros. ¿Cuánto sumanlos lados del triángulo?

a2 � 602 � 362 � 4 896 ⇒ a � �4 896�La raíz cuadrada entera es 69, y el resto, 135. Los lados iguales miden, aproximadamente, 69 centímetros.Los lados suman aproximadamente: 2 � 69 � 72 � 210 cm.

Halla la suma de las medidas de los lados de este trapecio.

a2 � 42 � 32 � 25 ⇒ a � 5 cm.La suma de los lados del trapecio vale: S � 5 � 7 � 4 � 4 � 20 cm.

9.A7

9.A6

9.A5

9.A4

362 � 1 296302 � 162 � 1 156

9.A3

9.A2

9.A1

3 cm

4 cm

4 cm

a



Cada uno de los lados iguales de un triángulo isósceles mide 24,5 centímetros, y el lado desigual, sietequintos del otro lado. Halla la altura del triángulo.

�75

� 24,5 � 34,3 cm.

h2 � 24,52 � 17,152 � 306,13 ⇒ h � �306,13�La raíz cuadrada entera es 17, y el resto, 17,13. La altura mide, aproximadamente, 17 centímetros.

Con un alambre de 60 centímetros de largo se construye un cuadrado. ¿Cuánto mide su diagonal?

Cada lado del cuadrado mide: �640� � 15 cm.

d 2 � 152 � 152 � 450 ⇒ d � �450�La raíz cuadrada entera es 21, y el resto, 9. Luego la diagonal mide, aproximadamente, 21 centímetros.

9.A9

9.A8


9 triÁngulos y cuadrilÁteros - ciencia...

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