areas sombreadas de polígonos
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acá podremos ver las sombras de los diferentes elementos geométricos con respecto a sus dimensiones y formaTRANSCRIPT
Poliedros y cuerpos redondos
1. Los cuerpos redondos.
La geometría del espacio estudia los cuerpos que tienen tres dimensiones: longitud, anchura y altura. Los cuerpos que tienen sus caras planas se llaman poliedros. Los cuerpos redondos tienen alguna cara que es una superficie curva.
Hay tres clases principales de cuerpos redondos: el cilindro, la esfera y el cono.
Observando las tres figuras superiores, contesta a estas cuestiones:
La figura A es un...
La figura B es un...
La figura C es un...
2.- Elementos de los cuerpos redondos
El cilindro tiene siempre dos bases. La distancia de una base a la otra, medida sobre una recta que ha de ser perpendicular a las bases, se llama altura.
El cono tiene una base circular y una punta que se llama vértice. La distancia desde el vértice, medida sobre una recta perpendicular a la base se llama altura. La distancia que hay desde el vértice a un punto cualquiera de la circunferencia de la base se llama lado del cono.
La esfera tiene un punto llamado centro que está a la misma distancia de todos los puntos de la superficie. La esfera también tiene radio y diámetro.
3. El prisma.
Los cuerpos geométricos que tienen las caras planas se llaman poliedros. Los prismas son cuerpos poliédricos que tienen por bases dos polígonos iguales y sus caras laterales son paralelogramos. Observando el dibujo verás que el prisma triangular tiene como base un triángulo; el cuadrangular, un cuadrilátero; el prisma pentagonal, un pentágono; el exagonal, un exágono y el cuadrangular, un un cuadrado.
El cubo tiene todas sus caras con forma de cuadrado; el prisma paralelepípedo tiene de base un paralelogramo y sus caras son paralelas dos a dos. Los A y C son paralelepípedos; el C es cubo; el B es pentagonal y el E cuadrangular.
Contesta a estas cuestiones:
El prisma A es...
El prisma B es...
El prisma C es...
El prisma D es...
El prisma E es...
4.- La pirámide.
La pirámide es un cuerpo poliedro que tiene por base un polígono cualquiera y sus caras laterales son triángulos que van a parar a un punto llamado vértice. En el dibujo de la izquierda el punto B es el vértice y la altura es el segmento BK. En el de la derecha el vértice es el punto A y la altura AH. El tetraedro es una pirámide que todas sus caras son triángulos equiláteros.
Contesta a estas preguntas:
El punto A es...
El AB es...
El AH es...
El CD es...
5.- Poliedros regulares.
Los poliedros se llaman regulares cuando tienen todas sus caras iguales, sus lados iguales y también sus ángulos. Ya hemos visto que el tetraedro tiene 4 caras que son triángulos equiláteros. También hemos visto el cubo, con 6 caras cuadradas. Los otros polígonos regulares son el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.
Observando los cinco dibujos superiores, contesta diciendo qué forma tienen:
La farola tiene...
El sombrero es...
El gorro chino es...
El prisma es...
La tienda es...
5.- Construcción de poliedros regulares.
Para construir los poliedros del gráfico, dibuja en un papel fuerte o cartulina cada una de las figuras y después corta por las líneas exteriores. Dobla luego por las líneas punteadas y junta los bordes. Aplica pegamento en las pestañas exteriores.
Área y volumen del prisma
1. Área del prisma.
En este prisma exagonal vemos que tiene 6 caras laterales que son rectángulos y 2 bases que son exágonos. El área lateral de un prisma es la suma de las áreas de sus caras laterales (los 6 rectángulos). Las 6 caras laterales forman un rectángulo cuya base es el perímetro del exágono de la base. Por tanto, el área lateral del prisma es igual al producto del perímetro de la base por la altura. Área lateral = perímetro de la base x altura. El área total es la suma del área lateral más el área de las 2 bases.
Puedes consultar la forma de hacer problemas. Contesta a estos problemas después de resolverlos sobre el papel:
1. Las dimensiones de un prisma paralelepípedo rectángulo son 4 m y 3 m de base y 7 m de altura. Halla el área lateral en m2
2. Halla el área total del paralelepípedo anterior en m2
3. Halla el área lateral en m2 de un prisma triangular que tiene de base un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 m y 4 m y la hipotenusa 5 m. Su altura es 6 m.
4. Halla el área total del prisma triangular anterior en m2
2.- Volumen del prisma.
El prisma rectangular del dibujo tiene 5 cm de largo, 4 cm de ancho y 3 cm de alto. En la primera capa de abajo hay 5 x 4 cm2. Como tiene 3 capas, el número de cm3 será 20 x 3 = 60 cm3.
El volumen del prisma rectangular es igual al producto de sus tres dimensiones. En general, el volumen de cualquier prisma es igual al producto del área de la base por la altura.
Haz estos problemas sobre el papel y contesta a la solución correcta:
1. Halla el volumen de un prisma cuya altura mide 5 m y la base es un rombo cuyas diagonales miden 6 m y 8 m.
2. Calcula el volumen de un prisma pentagonal de 27 m2 de base y 72 m de altura.
3. Halla el volumen en m3 de un prisma triangular que tiene de base un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 metros y la altura es de 6 m.
4. Halla el área lateral en m2 de un prisma triangular de 2,24 m de alto y cuya base tiene 3,75 m de perímetro.
Área y volumen de la pirámide
1. Elementos de la pirámide.
Son famosas las pirámides de Egipto. La cara que se apoya en el suelo es la base. Sus caras laterales son triángulos que tienen un vértice común que es el vértice de la pirámide. La altura de la pirámide es el segmento perpendicular a la base trazado desde el vértice. Se llama apotema de una pirámide regular a la altura de uno cualquiera de los triángulos laterales.
Observando esta figura contesta a estas cuestiones:
1. El segmento VD es...
2. El segmento VO es...
3. El segmento VH es...
4. El segmento CD es...
2.- Área lateral y total de la pirámide.
Esta pirámide cuadrada tiene de base un cuadrado de 18 m de lado. La apotema mide 30 metros y queremos saber el área lateral y el área total. Tiene 3 triángulos de 18 m de base por 30 de altura. El área de un triángulo será base x altura : 2. Es decir, 18 x 30 : 2 = 270 m2; como hay 4 triángulos, el área lateral será 270 m2 x 4 = 1080 m2. El área lateral también se puede calcular multiplicando el perímetro de la base por la apotema partido por 2. Área lateral = perímetro de la base (72 m) x apotema (30) = 1080 m2.
El área de la base (que es un cuadrado) es 18 x 18 = 324 m2. El área total es la suma del área lateral más el área de la base: 1080 + 324 = 1404 m2.
Realiza estos problemas sobre el papel y contesta a la solución correcta:
1. ¿Cuál es el área lateral de una pirámide triangular regular si el lado del triángulo mide 14 m y la apotema de la pirámide 17 m ?
2. Halla el área lateral en m2 de una pirámide pentagonal regular, siendo 2,61 m el lado de la base y 8,25 dm la apotema de la pirámide.
3. Calcula el área total en dm2 de la pirámide cuadrangular regular de 7,3 dm de lado de la base y 9,15 dm de apotema.
4. ¿Cuál es el área lateral de una pirámide triangular regular en m2 si el lado del triángulo mide 20 m y la apotema 17,5 metros ?
3.- Volumen de la pirámide.
En el dibujo vemos una pirámide P que tiene la misma base que el prisma P' y la misma altura, la pirámide abierta por la base y el prisma abierto por la base superior. Es necesario verter 3 veces la pirámide llena de arena para llenar el prisma. Luego el volumen de la pirámide es 3 veces menor que la del prisma. El volumen del prisma es área de la base por altura. El volumen de la pirámide será: área de la base x altura dividido por 3. El volumen de una pirámide cualquiera es igual a un tercio del área de la base por su altura.
Realiza estos problemas sobre el papel y contesta a la solución correcta:
1. Halla el volumen en m3 de la gran pirámide de Cheops en Egipto, cuya base es un cuadrado de 230 m de lado, siendo su altura los 7/10 de dicho lado.
2. Halla el volumen en m3 de una pirámide regular, que tiene por base un cuadrado de 16,7 m de lado, siendo la altura 15 metros.
3. ¿Cuál es la altura de m de una pirámide cuyo volumen es 6,75 m3 y el área de la base es 15 m2 ?
4. ¿Cuál es el área de la base en cm2 de una pirámide de 10,92 cm3 y 7,2 cm altura?
Examen nº 1 de Geometría del espacio
Correspondiente a los temas: Poliedros y cuerpos redondos, Área y volumen del prisma y de la pirámide
1, 2 y 3. Observando las tres figuras superiores, contesta a estas cuestiones:
La figura A es un...
La figura B es un...
La figura C es un...
4, 5 y 6. Contesta a estas preguntas:
El punto A es...
El AB es...
El AH es...
7, 8, 9 10 y 11. Observando los cinco dibujos superiores, contesta diciendo qué forma tienen:
La farola tiene...
El sombrero es...
El gorro chino es...
El prisma es...
La tienda es...
12, 13, 14 y 15. Contesta a estos problemas después de resolverlos sobre el papel:
12. Las dimensiones de un paralelepípedo rectángulo son 3 m y 2 m de base y 6 m de altura. Halla el área lateral en m2
13. Halla el área total del paralelepípedo anterior en m2
14. Halla el área lateral en m2 de un prisma triangular que tiene de base un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 m y 4 m y la hipotenusa 5 m. Su altura es 6 m.
15. Halla el área total del prisma triangular anterior en m2
16, 17, 18 y 19. Haz estos problemas sobre el papel y contesta a la solución correcta:
16. Halla el volumen de un prisma cuya altura mide 7 m y la base es un rombo cuyas diagonales miden 5 m y 6 m.
17. Calcula el volumen de un prisma pentagonal de 25 m2 de base y 32 m de altura.
18. Halla el volumen en m3 de un prisma triangular que tiene de base un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 metros y la altura es de 8 m.
19. Halla el área lateral en m2 de un prisma triangular de 3,35 m de alto y cuya base tiene 2,75 m de perímetro.
20, 21 y 22. Observando esta figura contesta a estas cuestiones:
1. El segmento VD es...
2. El segmento VO es...
3. El segmento VH es...
23, 24, 25 y 26. Realiza estos problemas sobre el papel y contesta a la solución correcta:
23. ¿Cuál es el área lateral de una pirámide triangular regular si el lado del triángulo mide 14 m y la apotema de la pirámide 17 m ?
24. Halla el área lateral en m2 de una pirámide pentagonal regular, siendo 3 m el lado de la base y 9 dm la apotema de la pirámide.
25. Calcula el área total en dm2 de la pirámide cuadrangular regular de 7,3 dm de lado de la base y 9,15 dm de apotema.
26. ¿Cuál es el área lateral de una pirámide triangular regular en m2 si el lado del triángulo mide 22 m y la apotema 18,5 metros ?
27, 28, 29 y 30. Realiza estos problemas sobre el papel y contesta a la solución correcta:
27. Halla el volumen en m3 de la gran pirámide de Cheops en Egipto, cuya base es un cuadrado de 240 m de lado, siendo su altura los 6/10 de dicho lado.
28. Halla el volumen en m3 de una pirámide regular, que tiene por base un cuadrado de 15,3 m de lado, siendo la altura 14 metros.
29. ¿Cuál es la altura de m de una pirámide cuyo volumen es 7 m3 y el área de la base es 14 m2 ?
30. ¿Cuál es el área de la base en cm2 de una pirámide de 12,9 cm3 y 7,2 cm altura?
Área y volumen del cilindro
1. Elementos del cilindro
En el dibujo vemos varios ejemplos de cilindros: un bidón de aceite, un tambor, un rodillo, un lápiz y una linterna. El cilindro tiene dos bases que son dos círculos y una altura que es la perpendicular entre las dos bases. El lado.
El lado AB se llama generatriz, porque al girar sobre el eje O'O engendra la superficie lateral del cilindro. Observando esta figura contesta a estas cuestiones:
1. El segmento O'B es...
2. El segmento O'O es...
3. El segmento OA es...
4. El segmento AB es...
2.- Área lateral y total del cilindro.
Si cortamos la superficie de un cilindro por una generatriz y la extendemos sobre un plano obtendremos un rectángulo cuya base es la longitud de la circunferencia de la base del cilindro
(2 x p x r) y la altura será su generatriz. Área lateral = 2 x p x r x g. El área lateral de un cilindro es igual al producto de la longitud de la circunferencia de la base por la generatriz o altura.
Para hallar el área total se suma al área lateral el área de las dos bases. El área de círculo es:
p x r2
Área total = ( 2 x p x r x g ) + ( 2 x p x r2 ).
Realiza estos problemas sobre el papel y contesta a la solución correcta:
1. El radio de la base de un cilindro mide 8 cm y la altura es el doble del diámetro. Halla el área lateral en cm2.
2. Halla el área total del cilindro anterior.
3. El diámetro de la base de un cilindro es de 6 dm. Halla el área lateral en dm2 si la altura es el doble de la circunferencia de la base.
4. Halla el área total del cilindro anterior.
3.- Volumen del cilindro.
Recuerda que el volumen de un prisma es el producto de la superficie de la base por la altura. Con el cilindro sucede el mismo caso. El volumen del cilindro es el producto del área del círculo de la base por la altura.
El área del círculo es p x r2 . El volumen del cilindro será p x r2 x altura.
Realiza estos problemas sobre el papel y contesta a la solución correcta:
1. Un cilindro tiene de radio de la base 5 cm y su altura es el doble del diámetro. Halla el volumen en cm3
2. El diámetro de la base de un cilindro mide 8 m y la altura es el doble de la circunferencia de la base. Halla el volumen en m3.
3. ¿El radio de la base de un cilindro es 4 cm; y la altura son los 3/2 de la circunferencia de la base. Halla el volumen en cm3.
4. Halla el volumen en cm3 de un cilindro de 31,4 cm de circunferencia y 13 dm de altura.
Área y volumen del cono
1. Elementos del cono.
En el dibujo vemos varios ejemplos de conos: el gorro de un payaso, el techo de una chimenea, un helado, un juguete y la punta de un lápiz.
El cono tiene una base circular. La altura que es también el eje de simetría. Es el segmento perpendicular desde el vértice a la base VO. El segmento VA es la generatriz y se llama así porque al girar engendra la superficie lateral del cono. También se llama lado.
Observando esta figura contesta a estas cuestiones:
1. El segmento OA es...
2. El segmento VA es...
3. El segmento VO es...
2.- Área lateral y total del cono.
El área lateral de una pirámide es el producto de la base por la apotema, dividido por 2. De forma semejante el área lateral del cono es el producto de la longitud de la circunferencia de la base por el lado o generatriz, dividido por 2.
Área lateral del cono = ( 2 x p x r ) x lado / 2.
El área total es la suma del área lateral más el área del círculo de la base.
Área total del cono = área lateral + área de la base.
Realiza estos problemas sobre el papel y contesta a la solución correcta:
1. Halla el área lateral en cm2 de un cono cuyo lado o generatriz mide 4,75 cm y el radio de la base 5 cm.
2. Halla el área total del cono anterior.
3. Un cono tiene de generatriz de doble longitud que el diámetro de la base, cuyo radio mide 25 cm. ¿Cuál es el área lateral en cm2. ?
4. Halla el área total del cono anterior.
3.- Volumen del cono.
¿Te acuerdas de cuál es el volumen de una pirámide? Dijimos que el volumen de la pirámide es igual a un tercio del área de la base por su altura. En el caso del cono, su volumen es igual al producto del área del círculo de su base por la altura dividido por 3. Volumen del cono = área de la base x altura / 3. Realiza estos problemas sobre el papel y contesta a la solución correcta:
1. El radio de la base de un cono es 12 cm y su altura es 15 cm. Halla el volumen en cm3.
2. La circunferencia de la base de un cono es 37,68 cm y la altura 5,25 cm. Halla el volumen en cm3.
3. La altura de un cono mide 14 m y el radio de la base 7 m. Halla el volumen en m3.
4. El radio de la base de un cono es 2 m y su altura 2,6 m ¿cuál es su volumen en m3 ?
Área y volumen de la esfera
1. Elementos de la esfera.
En el dibujo observamos varios objetos con forma de esfera: un globo terráqueo, un globo, una pelota, un balón y unas bolas.
En la esfera todos los puntos de la superficie están a la misma distancia de uno interior llamado centro. El radio de la esfera es cualquier segmento que une el centro con un punto de la superficie esférica. Todos los radios de la esfera son iguales. Diámetro es cualquier segmento que pasa por el centro y une dos puntos de la superficie.
Observando esta figura contesta a estas cuestiones:
1. El segmento BO es...
2. El punto O es...
3. El segmento AC es...
2.- Área de la esfera.
Si hacemos una sección por el centro de la esfera, el círculo obtenido se denomina círculo máximo porque es el máximo posible. Pues bien, el área de la superficie esférica es igual a
cuatro círculos máximos. El área del circulo es p x r2.
Área de la esfera = 4 x p x r2
Realiza estos problemas sobre el papel y contesta a la solución correcta:
1. Halla el área m2 de una esfera de 1 m de radio.
2. Calcula el área de m2 de una esfera de 0,8 m de diámetro.
3. Halla el área en cm2 de una esfera cuya circunferencia máxima mide 47,1 cm.
4. Calcula en km2 el área de la superficie terrestre, si el radio de la Tierra es 6370 km.
3.- Volumen de la esfera.
Llenamos de agua un vaso como el de la izquierda de la figura justo hasta el orificio de salida. Luego introducimos una esfera y el agua desplazada va cayendo en un vaso cilíndrico que tiene el mismo diámetro de la base y la misma altura que la esfera. Comprobamos que este vaso se llena hasta los 2/3 de su altura.
El volumen del cilindro será: p x r2 x 2 x r = 2 x p x r3
El volumen de la esfera = 2/3 x 2 x p x r3 = 4/3 x p x r3
Realiza estos problemas sobre el papel y contesta a la solución correcta:
1. Halla el volumen en m3 de una esfera de 1 m de radio.
2. Calcula el volumen en m3 de una esfera de 0,8 m de diámetro.
3. Halla el volumen en cm3 de una esfera cuya circunferencia máxima mide 47,1 cm.
4. Calcula el volumen en cm3 de una esfera de 14 cm de diámetro.
Examen nº 2 de Geometría del
espacio
Correspondiente a los temas: Área y volumen del cilindro, cono y esfera
1, 2 y 3. Observando esta figura contesta a estas cuestiones: 1. El segmento O'B es...
2. El segmento O'O es...
4. El segmento AB es...
4, 5, 6 y 7. Realiza estos problemas sobre el papel y contesta a la solución correcta:
4. El radio de la base de un cilindro mide 6 cm y la altura es el doble del diámetro. Halla el área lateral en cm2.
5. Halla el área total del cilindro anterior.
6. El diámetro de la base de un cilindro es de 5 dm. Halla el área lateral en dm2 si la altura es el doble de la circunferencia de la base.
7. Halla el área total del cilindro anterior.
8, 9 y 10. Realiza estos problemas sobre el papel y contesta a la solución correcta:
8. El diámetro de la base de un cilindro mide 6 m y la altura es el doble de la circunferencia de la base. Halla el volumen en m3.
9. ¿El radio de la base de un cilindro es 6 cm; y la altura son los 3/2 de la circunferencia de la base. Halla el volumen en cm3.
10. Un cilindro tiene de radio de la base 4 cm y su altura es el doble del diámetro. Halla el volumen en cm3
11, 12 y 13. Observando esta figura contesta a estas cuestiones:
11. El segmento OA es...
12. El segmento VA es...
13. El segmento VO es...
14, 15, 16 y 17. Realiza estos problemas sobre el papel y contesta a la solución correcta:
14. Halla el área lateral en cm2 de un cono cuyo lado o generatriz mide 5,75 cm y el radio de la base 6 cm.
15. Halla el área total del cono anterior.
16. Un cono tiene de generatriz de doble longitud que el diámetro de la base, cuyo radio mide 10 cm. ¿Cuál es el área lateral en cm2. ?
17. Halla el área total del cono anterior.
18, 19 y 20. Realiza estos problemas sobre el papel y contesta a la solución correcta: 18. La circunferencia de la base de un cono es 37,68 cm y la altura 9 cm. Halla el volumen en cm3.
19. La altura de un cono mide 12 m y el radio de la base 5 m. Halla el volumen en m3.
20. El radio de la base de un cono es 3 m y su altura 2,7 m ¿cuál es su volumen en m3 ?
21, 22 y 23. Observando esta figura contesta a estas cuestiones:
21. El segmento BO es...
22. El punto O es...
23. El segmento AC es...
24, 25, 26 y 27. Realiza estos problemas sobre el papel y contesta a la solución correcta:
24. Halla el área m2 de una esfera de 3 m de radio.
25. Calcula el área de m2 de una esfera de 0,6 m de diámetro.
26. Halla el área en cm2 de una esfera cuya circunferencia máxima mide 50,24 cm.
27. Calcula en km2 el área de la superficie terrestre, si el radio de la Tierra es 6370 km.
28, 29 y 30. Realiza estos problemas sobre el papel y contesta a la solución correcta:
28. Calcula el volumen en m3 de una esfera de 4 m de diámetro.
29. Halla el volumen en m3 de una esfera de 3 m de radio.
30. Halla el volumen en cm3 de una esfera cuya circunferencia máxima mide 31,4 cm.
Construcción de poliedros regulares
I. Quirós (IES Victoria Kent, Torrejón de Ardoz)
Los materiales
Para construir poliedros con pajitas lo primero que necesitamos son, obviamente, pajitas. Conviene que estas no sean de las que tienen una parte flexible (o se debe quitar esa parte). También es conveniente que no sean demasiado frágiles para que no se nos rompan al tensar el hilo. Las pajitas podremos cortarlas en trozos más pequeños si no queremos que nos salga el poliedro demasiado grande. Pero lo que es importante es que los trozos que hagamos sean todos de la misma longitud.
También necesitaremos hilo de lana o alambre de bisutería. Este último es mejor porque se puede dirigir fácilmente por el interior de las pajitas y dará mayor rigidez al poliedro, lo que para el cubo o el dodecaedro será imprescindible pero no para los poliedros de caras triangulares.
En el caso de que usemos hilo, necesitaremos también una aguja para poder pasar el hilo por dentro de la pajita. Esta aguja tiene que ser más larga que los trozos de pajita que vayamos a usar. Si no tenemos una aguja así la podemos fabricar con un trozo de alambre en el que le hagamos un arito en un extremo para enhebrar en él el hilo.
CONSTRUCCIÓN DE UN TETRAEDRO
Este es el poliedro más fácil de construir y para ello necesitaremos 6 trocitos de pajita.
Primero vamos a construir un triángulo. Para ello pasa el hilo por tres trozos de pajita y átalos tensando lo más posible.
Antes de seguir construyendo, fíjate en que, si has tensado bien, el triángulo que obtienes es indeformable. Esta es una propiedad que el único polígono que la cumple es precisamente el triángulo. Todos los demás polígonos construidos así (cuadrados, pentágonos,...) se pueden mover, cambiando los ángulos. Precisamente por esta propiedad que ya conocían los antiguos griegos, construían los templos con un triángulo para sujetar el techo y hoy en día muchas estructuras se acaban uniendo formando triángulos para darles mayor rigidez. Esta propiedad nos va a permitir también que cuando construyamos los poliedros con caras triangulares (tetraedro, octaedro y dodecaedro), estos se mantengan
rígidos aunque los hayamos hecho con hilo en lugar de alambre.
El siguiente paso en nuestra construcción será hacer otro triángulo adosado al anterior. Para ello pasa el hilo por una nueva pajita, luego por la de uno de los lados del triángulo que ya tenías construido y, por último por otra pajita nueva. Hecho esto haz un nudo en el hilo tesándolo para que quede el nuevo triángulo rígido.
Ya sólo nos queda terminar el vértice del tetraedro, que esta formado por tres caras triangulares. Para ello tienes que tomar un nuevo trozo de pajita, pasar por él el hilo y luego, sucesivamente, por cada uno de los lados de cada uno de los dos triángulos que vas a unir (por ejemplo, los azules del dibujo). Para poder hacerlo tendrán que levantar los dos triángulos por uno de los vértices comunes, para poder formar el vértice del tetraedro, tal y como ves en la foto.
CONSTRUCCIÓN DE UN OCTAEDRO El proceso de construcción del octaedro es muy parecido al del tetraedro. La única diferencia en que mientras en los tetraedros confluyen en un vértice tres triángulos, en el octaedro son cuatro. En este caso vas a necesitar 12 trocitos de pajita.
Comenzaremos de nuevo haciendo un triángulo y adosando a continuación otros dos como ves en la figura.
Ahora tenemos que cerrar el vértice con un cuarto triángulo. Para ello tienes que tomar un nuevo trozo de pajita, pasar por él el hilo y luego, sucesivamente, por cada uno de los lados de cada uno de los dos triángulos que vas a unir (los azules del dibujo), y al igual que hiciste en el tetraedro, tendrás que levantar los tres triángulos por el vértice común para que pueda cerrar.
Como verás, te habrá quedado una pirámide de base cuadrada. Para completar el octaedro bastará con formar otra pirámide por el otro lado, aprovechando la base cuadrada ya construida.
CONSTRUCCIÓN DE UN ICOSAEDRO
Si ya has construido los dos poliedros anteriores, construir el icosaedro es similar pero un poco más largo. Comienzas construyendo cuatro triángulos consecutivos al igual que hiciste dos y tres en las anteriores.
Y como viene siendo habitual, se trata ahora de cerrar el vértice con otro triángulo, porque en los vértices de los icosaedros confluyen cinco triángulos.
Con esto has construido una pirámide pentagonal. Pero ahora no basta con completar una pirámide igual por el otro lado. Vamos a seguir una estrategia distinta, que podíamos haber usado en las construcciones anteriores: ir completando vértices. Vamos a ver en qué consiste. Hemos dicho que en los vértices de un icosaedro confluyen 5 triángulos (en los del octaedro 4 y en los del tetraedro 3). Pues lo que hay que hacer es ir observando en cada vértice que nos vaya saliendo cuántos triángulos convergen e ir completando hasta que converjan 5.
En lo que habíamos construido hasta ahora, hay un vértice completo y otros cinco vértices donde sólo hay dos triángulos. Elegimos uno de ellos y lo completamos con otros tres triángulos. Una vez terminado esto veremos que aparte de dos vértices completos de 5 triángulos tenemos uno en el que confluyen tres, pues lo cerramos con otros dos, pero fíjate que para cerrar puedes ir aprovechado lo que ya tienes.
Este es el proceso que tienes que ir siguiendo. Vas mirando cuantos triángulos (también puedes contar pajitas que es lo mismo) convergen en cada vértice y los vas completando hasta 5 aprovechando lo que ya tienes. Así, poco a poco, llegará un momento que con añadir una última pajita habrás completado un icosaedro como el de la foto siguiente.
CONSTRUCCIÓN DE UN EXAEDRO (O CUBO) Y UN DODECAEDRO
Estos dos poliedros tienen el inconveniente de que al no ser triangulares sus caras, no son polígonos rígidos y si los construimos simplemente con hilo, se deforman no manteniendo su estructura. Por eso, en estos casos, es mejor usar un alambre con cierta rigidez, pero eso también lo hace más difícil de manejar. El dodecaedro, que es más complicado, por lo menos mantiene algo la idea aunque lo hagas con hilo, pero el cubo no se mantiene de pie si no lo haces con un alambre más rígido. Otra posibilidad es dar cierta rigidez a los vértices cuando los construyas con plastilina u otro material.
De todas formas la idea de construcción es la misma que en los anteriores. Se trata de construir primero el polígono que forma la cara (cuadrado en el caso del cubo y pentágono para el dodecaedro) e ir completando los vértices. En ambos casos confluyen tres caras en un mismo vértice, por lo que para construir el cubo tienes que unir tres cuadrados y para el dodecaedro tres pentágonos, de la misma manera que lo haces para los triángulos en el tetraedro, octaedro e icosaedro. Así vas completando todos los vértices hasta que se cierre el poliedro.
CONSTRUCCIÓN DE OTROS POLIEDROS
De una manera similar se pueden construir otros poliedros con pajitas pero ya no serán los poliedros platónicos puesto que de estos sólo existen los cinco que hemos explicado antes.
Un ejemplo es el “balón de fútbol”. Está formado por pentágonos y hexágonos regulares y en cada vértice convergen un pentágono y dos hexágonos. Puedes partir de un pentágono, rodearlo de hexágonos y luego ir completando los vértices.
Otro ejemplo son los polígonos estrellados. Puedes partir de uno de los poliedros platónicos y luego in construyendo encima de cada cara una pirámide.
Y así todo lo que se te ocurra. Es sólo cuestión de ser creativo.
Modelos de papel de poliedrosLos poliedros son las figuras geométricas tridimensionales hermosas que han fascinado a filósofos, a matemáticos y a artistas por milenios. En este sitio son unos pocos cientos de modelos de papel disponible de forma gratuita.sólidos de Platonicos
sólidos de Arquimedes
sólidos de Kepler-Poinsot
poliedros uniformes
compuesto
pirámides
pirámides concave
pirámides truncado
dipyramides
otros pirámides
prismas
antiprismas
prismas concavo
antiprismas concavo
otros prismas
otros poliedros
caleido ciclos
otros modelos del papel
Colecci óns de poliedros
Modelo de papel de un casa fútbol
Casa fútbol:
casa fútbol (.PDF)Imprimir la imagen de abajo (GIF) o el PDF-archivo. El PDF-archivo es de mayor calidad.
Modelo de papel de un icosaedro truncadofútbol
Icosaedro truncado:Caras: 32Aristas: 90Vértices: 60
icosaedro truncado (fútbol) (.PDF)icosaedro truncado (negro y blanco balón de fútbol) (.PDF)Imprimir la imagen de abajo (GIF) Modelo de papel de un antiprisma enneagonal
Antiprisma enneagonal:Caras: 20Aristas: 36Vértices: 18
antiprisma enneagonal (.PDF)Imprimir la imagen de abajo (GIF) o el PDF-archivo. El PDF-archivo es de mayor calidad.
o el PDF-archivo. El PDF-archivo es de mayor calidad.
Modelo de papel de un hebdomicontadissaedroheptacontadiedro
Hebdomicontadissaedro:Caras: 72Aristas: 132Vértices: 62
hebdomicontadissaedro (.PDF)Imprimir la imagen de abajo (GIF) o el PDF-archivo. El PDF-archivo es de mayor calidad.
Modelos de papel de 5 stellations del icosaedro en color
5 stellations del icosaedro en color:
5 stellations del icosaedro (pdf-archivo 350 Kb) (.PDF)Imprimir la imagen de abajo (GIF) o el PDF-archivo. El PDF-archivo es de mayor calidad.
Modelo de papel de un prisma decagonal torcido
Prisma decagonal torcido:Caras: 22Aristas: 40Vértices: 20
prisma decagonal torcido (.PDF)Imprimir la imagen de abajo (GIF) o el PDF-archivo. El PDF-archivo es de mayor calidad.
Explorando el uso de los Paper Models of Polyhedra de Gijs Korthals Altes
Modelos en cartulina: Los sólidos pitagóricos
Grupo de DidácticaAcademia de Ciencias Luventicus
20 de septiembre de 2003
De los cuerpos que se estudian en Geometría, los más interesantes por su historia y
propiedades —después de la esfera— son los sólidos pitagóricos. Estos cuerpos son cinco.
En el cuadro siguiente se presentan sus nombres y características. (Para hacer rotar los
modelos a distintas velocidades y en distintas direcciones debes mover el cursor sobre ellos
manteniendo presionado el botón izquierdo del ratón.)
POLIEDROREGULAR
ARISTAS VÉRTICES CARAS MODELO
HEXAEDROREGULAR 12 8 6
TETRAEDROREGULAR 6 4 4
DODECAEDROREGULAR 30 20 12
ICOSAEDROREGULAR 30 12 20
OCTAEDROREGULAR 12 6 8
Pero por bueno que sea el programa que te ha permitido "hacer rotar" estas imágenes, para
experimentar el encuentro con estas figuras tridimensionales, no hay nada comparable a los
modelos físicos. A continuación te damos indicaciones de cómo construirlos. Sólo necesitas
imprimir los archivos sobre cartulina o papel de por lo menos 220 g/m2 —puedes pedirle
ayuda a papá o a mamá para hacerlo—, recortar las figuras, doblar la cartulina por las líneas
y pegar los trapecios a las caras adyacentes con cola vinílica o engrudo. ¡Es muy divertido!
POLIEDROREGULAR
MODELO
HEXAEDROREGULAR
hexaedro.pdf
TETRAEDROREGULAR tetraedro.pdf
DODECAEDROREGULAR dodecaedro.pdf
ICOSAEDROREGULAR icosaedro.pdf
OCTAEDROREGULAR octaedro.pdf
ICOSAEDRO.
Un prisma tiene la misma sección en toda su longitud!
Una sección es la forma que se obtiene cuando se corta un objeto de manera recta.
Una sección de este objeto es un triángulo...
... tiene la misma sección en toda su longitud...
... así que es un prisma triangular.
Intenta dibujar una forma en un trozo de papel (¡sólo con líneas rectas!),
ahora imagina que se extiende hacia arriba desde la hoja de papel,
¡eso es un prisma!
¡Sin curvas!
Un prisma es oficialmente un poliedro, así que todas las caras tienen que ser planas. No puede haber caras curvas.
Así que la sección será un polígono (una figura con lados rectos). Por ejemplo, si la sección fuera un círculo el objeto sería un cilindro, no un prisma.
Todos estos son prismas:
Prisma cuadrado: Sección:
Cubo: Sección:
(sí, un cubo es un prisma, porque es un cuadrado en toda su longitud)
(Mira también los prismas rectangulares )
Prisma triangular: Sección:
Prisma pentagonal: Sección:
Prismas regulares e irregulares
Todos los ejemplos anteriores son prismas regulares, porque la sección es regular (es decir, una forma con lados de la misma longitud)
Aquí tienes un ejemplo de prisma irregular:
Prisma irregular pentagonal: Sección:
(Es "irregular" porque elpentágono no tiene forma "regular")
Volumen de un prisma
El volumen de un prisma es simplemente el áre de un extremo por la longitud del prisma
Volumen = Area × Longitud
Ejemplo: ¿Cuál es el volumen de un prisma cuyo extremo es 25 cm2 y que tiene 12 cm de longitud?
Respuesta: Volumen = 25 cm2 × 12 cm = 300 cm3
(Nota: tenemos una herramienta para calcular áreas)
¡Un prisma tiene la misma sección en toda su longitud!
Una sección es la forma que se obtiene cuando se corta un objeto de manera recta.
Una sección de este objeto es un triángulo...
... tiene la misma sección en toda su longitud...
... así que es un prisma triangular.
Intenta dibujar una forma en un trozo de papel (¡sólo con líneas rectas!),
ahora imagina que se extiende hacia arriba desde la hoja de papel,¡eso es un prisma!
¡Sin curvas!
Un prisma es oficialmente un poliedro, así que todas las caras tienen que ser planas. No puede haber caras curvas.
Así que la sección será un polígono (una figura con lados rectos). Por ejemplo, si la sección fuera un círculo el objeto sería un cilindro, no un prisma.
Todos estos son prismas:
Prisma cuadrado: Sección:
Cubo: Sección:
(sí, un cubo es un prisma, porque es un cuadrado en toda su longitud)
(Mira también los prismas rectangulares )
Prisma triangular: Sección:
Prisma pentagonal: Sección:
Prismas regulares e irregulares
Todos los ejemplos anteriores son prismas regulares, porque la sección es regular (es decir, una forma con lados de la misma longitud)
Aquí tienes un ejemplo de prisma irregular:
Prisma irregular pentagonal: Sección:
(Es "irregular" porque elpentágono no tiene forma "regular")
Volumen de un prisma
El volumen de un prisma es simplemente el áre de un extremo por la longitud del prisma
Volumen = Area × Longitud
Ejemplo: ¿Cuál es el volumen de un prisma cuyo extremo es 25 cm2 y que tiene 12 cm de longitud?
Respuesta: Volumen = 25 cm2 × 12 cm = 300 cm3
(Nota: tenemos una herramienta para calcular áreas)
Un poliedro es un sólido de caras planas (la palabra viene del griego, poli- significa "muchas" y -edro significa "cara").
Cada cara plana (simplemente "cara") es un polígono.
Así que para ser un poliedro no tiene que haber ninguna superficie curva.
Ejemplos de poliedros:
Prisma triangular Cubo Dodecaedro
Poliedros comunes
Sólidos platónicos
Prismas
Pirámides
Contar caras, vértices y aristas
Si cuentas el número de caras (las superficies planas), los vértices (las esquinas) y las aristas de un poliedro, descubrirás algo interesante:
El número de caras más el número de vértices menos el número de aristas es igual a 2
Esto se puede escribir limpiamente con una ecuación:
F + V - E = 2
Se la llama "fórmula del poliedro" o "fórmula de Euler", ¡y viene bien para saber si has contado correctamente!
Vamos a probar con algunos ejemplos:Este cubo tiene:
6 caras 8 vértices 12 aristas
F + V - E = 6+8-12 = 2
Este prisma tiene:
5 caras 6 vértices 9 aristas
F + V - E = 5+6-9 = 2
Geometría sólidaLa Geometría sólida es la geometría del espacio tridimensional, el tipo de espacio donde vivimos...
Tres dimensiones
Se llama tridimensional, o 3D porque hay tres dimensiones:
longitud, profundidad y altura.
Hay dos tipos principales de sólidos, "poliedros" y "no poliedros":
Poliedros
Un poliedro es un sólido que tiene todas las caras planas. Ejemplos:
Sólidos platónicos
Prismas
Pirámides
No poliedros
Algunos sólidos tienen superficies curvas (todas o sólo algunas) así que no son poliedros. Ejemplos:
Esfera Toro
Cilindro Cono
El icosaedro parte de los cinco sólidos pitagóricos y aunque es una figura matemática con demostraciones y formulas; no se necesita ser un teso para entender su geometría y poder armarlo en papel seda para luego quedar asombrado al verlo flotar en el aire.
Un poco de historia:
El primero que imagino un icosaedro volando fue Hércules Savienen, más conocido como Cyrano de Bergerac (1592-1655), ilustre esgrimista del estoque y la palabra, autor de una Historia cómica de los Estados del Sol y de la Luna, que se tiene entre las utopías fantásticas más célebres.Con la excusa de dos viajes, redactados entre 1657 y 1662, primero a la Luna y después al Sol, Cyrano desgrana una serie de siete métodos, a cuál más delirante, para viajar de la tierra a la luna sin escalas. El segundo dice así: "Mi vuelo pude también facilitar, aire encerrando en un cofre de cedro enrareciéndolo, juntando veinte espejos en forma de
icosaedro".A pegar!!!Existen dos métodos para construir un icosaedro:
En el aire: se trabaja el pegado y armado haciendo todo in situ (en el sitio); es decir de una vez se va pegando y formándolo como va a quedar, sin NECESIDAD de bancada; en esta opción se visualiza lo que se esta haciendo y resulta un poco mas sencillo; pero el hecho de realizarlo así es realmente un doble esfuerzo por lo laborioso que resulta pegar papel en el vacío y sin base de apoyo, además de que el globo terminara lleno de arrugas, el papel totalmente maltratado y parecerá que lleva años mal guardado. Realizar esto representa una gran Odisea, a la que no todos querrán apuntarse.
Con punto de apoyo (bancada): La idea que acá propongo parte originalmente de los CINCO SÓLIDOS PITAGÓRICOS; esto es tomando un poliedro (que significa en griego “de muchas caras”) se obtiene una figura tridimensional cuyas caras son todos polígonos: un cubo es un buen ejemplo, cuyas caras son seis cuadrados. Un hecho fundamental en la obra de los pitagóricos es que solo hay y puede haber cinco sólidos regulares. La demostración más fácil deriva de una relación descubierta mucho después por Descartes y Euler que relaciona el número de caras (C), el número de vértices (V) y el número de aristas (A) de un sólido regular:
V – A + C = 2, así por ejemplo un cubo tiene C = 6 caras y V = 8 vértices8 – A + 6 = 214 – A = 2A = 12, se predice que el cubo tiene 12 aristas y así es.
El Icosaedro (20 caras formadas por triángulos equiláteros); para nuestro caso se componen no de caras, sino de puntas; así si la cara es un triángulo, la punta será de tres gajos
Lo interesante de este asunto viene al momento de unir las puntas, es acá donde se necesita saber diferenciar entre caras (puntas) , los vértices y las aristas para poder trabajar sobre un punto fijo (Bancada) y para no tener necesidad de pegar en el aire; si logramos comprender que una punta es una cara, que al unirla con otra estas creando una arista y que todo esto se debe trabajar alrededor de un vértice según el sólido elegido, podemos hacer una icosaedro sin necesidad de ir creciendo en volumen y en problemas de manipulación, el resultado queda a la imaginación y astucia de cada uno de nosotros pues más que paciencia en esto se necesita es constancia y mucha perseverancia.
Materiales:
60 hojas de papel sedaBisturí o cuchilla de cortar papelPegante liquido blanco (colbón)Cinta de embalaje transparente de dos pulgadas de anchoAlambre calibre 14AlgodónParafina
...y muchas ganas de pegar!!!
Paso 1: Se deben de tener 30 caras del globo cojín o rombo...el corte más sencillo es el llamado Francés que incluye un pliego entero:
Paso 2: Se unen tres caras de cojín como si se tratara de un globo normal, pero ojo solo se cierra hasta la mitad del gajo:
Paso 3: En este momento se visualiza lo que sera un vértice (V1) donde deben ir 5 puntas (P1,P2,P3,P4,P5)...entonces se toma la punta que queda sola (P2) y se le pegan dos gajos más para tener en este vértice (V1) dos puntas (P1 y P2):
Paso 4: El paso anterior se repite hasta obtener cinco puntas concurridas en el vértice...este es el vértice uno y se necesitan 12.
de esta forma se vería inflado el pedazo que llevamos que corresponde a 1/3 del icosaedro total:
Paso 5: se realiza el paso anterior once veces más...es decir en cada vértice se hace coincidir siempre cinco puntas...para esto es necesario voltear, doblar, desdoblar y girar el globo como se requiera y siempre sin desdoblar...
Paso 6: Con un poco de paciencia, técnica y habilidad motriz se tendrá el icosaedro completamente cerrado y sin necesidad de pasos matemáticos...
Paso 7: Los vértices son los puntos donde se concentrara toda la presión interna del aire caliente...estos se deben reforzar todos con cinta de embalaje.
Paso 8: Como se trata de un globo completamente simétrico la candileja o boca se puede colocar en cualquiera de sus puntas...puede ser redonda o triangular según el gusto...
Paso 9: El icosaedro se encuentra listo para la soltura...se puede aumentar su tamaño cuanto como se desee teniendo en cuenta la cara del cojín...pero a partir de 120 hojas se requieren técnica de refuerzo con hilo que se adquieren con la practica...
en el aire se ve de esta manera: http://www.youtube.com/watch?v=gTzS3msaEJU&feature=channel_page
Algunos ejemplos del icosaedro en todo su esplendor:
Variante del icosaedro de 20 puntas en relación 1:4 para un total de 80 puntas y realizado con el mismo método:
¿Si la figura más sencilla de los cinco sólidos pitagóricos es el Tetraedro...entonces es posible aprender más fácil este método con ese sólido?
Si en cada vértice de un poliedro concurren 5 triángulos equiláteros entonces obtenemos un ICOSAEDRO (eikos = 20, edros = caras).
Cada vértice poliédrico vale 60º x 5 = 300º , es decir, menos de 360º. Si concurrieran más de 5 triángulos equiláteros no podríamos dibujar en poliedro regular.
Construye un icosaedro: Sirviéndote de una cartulina, tijeras, reglas y pegamento dibuja 20 triángulos equiláteros con sus correspondientes solapas. Corta la cartulina por el contorno del dibujo.Dobla la cartulina por las líneas del contorno de los triángulos y solapas. Extiende el pegamento por encima de las solapas y después las pegas.
No podemos construir más poliedros regulares cuyas caras sean triángulos equiláteros iguales debido a que no pueden concurrir más de 5 ángulos de 60º.
RECTÁNGULOS ÁUREOS EN LA CONSTRUCCIÓN DEL ICOSAEDRO
Es un trabajo que requiere un poco de trabajo, atención y constancia pero muy interesante y conveniente para tu formaciónAnteriormente estudiamos los rectángulos áureos y decíamos que dada la armonía y belleza que encierran las figuras que de ellos podemos obtener conseguimos excelentes resultados.En este caso hablamos del icosaedro. Puedes hacer con tres trozos de cartón de embalaje para que resulten rígidos y si quieres, los pintas o señalas con tres colores, de este modo quizá te resulte más fácil este trabajo. Necesitarás además, una regla, un cutter o tijeras.
1) Partimos de tres rectángulos áureos iguales:
2) Las disponemos del modo siguiente para que los planos creados por estos cartones sean perpendiculares entre sí y por los puntos medios de los mismos:
3) Hacemos unas ranuras a los tres rectángulos áureos para que nos encajen entre sí:
4) Por la ranura del cartón de color amarillo atraviesas el de color naranja-marrón.
El cartón de color verde-azul tiene una ranura más larga y cada una de las dos mitades deben atravesar al de color amarillo por los dos lados del cartón de color naranja-marrón. Esto lo ves en la figura siguiente en la que hemos aumentado el tamaño de los rectángulos áureos:
5) Una vez que hayas encajado los trozaos de cartón tendrás una figura como la tienes a continuación:
6) Ahora no tienes más que unir los vértices de los tres rectángulos áureos tal como lo tienes en la figura siguiente (color azul) con cordel pegándolo a los vértices y comprobarás que aparecen, por fin, las caras del icosaedro (triángulos equiláteros).Si este trabajo lo has hecho dibujando, a continuación, borramos todo cuanto no sean las caras del icosaedro y obtendremos las figuras siguientes:
Después de eliminar las líneas interiores tendremos y pintar cada cara de un color diferente:
SENCILLO MODO DE DIBUJAR UN ICOSAEDRO:Observa la figura siguiente y notarás que está hecha en dos dimensiones y comprobarás que hemos realizado con decágono y dos pentágonos, éstos, colocados de modo contrario respecto uno del otro:
En cada vértice concurren 5 triángulos equiláteros. Es importante ver que un icosaedro quedaría inscrito en una esfera sirviéndonos de la figura anterior:
AREAS SOMBREADAS
Llamamos área al número que, escrito junto a una unidad de medida, nos permite medir la extensión de una
superficie.
1.-La figura muestra un semicírculo y un cuarto de círculo. Calcular el área de la región no sombreada, si la
región sombreada tiene área 6cm2.
a) 3cm2 b)6cm2 c)6πcm2 d)3πcm2
2.-La figura muestra un círculo y un cuarto de círculo. Calcular el área del círculo si el cuarto de círculo tiene
área 2cm2.
3.-Calcular el área de la región sombreada determinada por dos semicircunferencias y un cuarto de circunferencia.
2cm
4.- calcula el área de las siguientes figuras, si = 2 u2.
4.- Halla el área sombreada si las cuatro semicircunferencias tienen un radio igual a 2cm.