introducción al Álgebra abstracta

INTRODUCCION AL ALGEBRA ABSTRACTA

Juan Francisco Escamilla Castillo

D M, C I M CN A, CIMACIEN, G

E-mail address: [email protected]: www.cimacien.org.gt

A mis hijos Juanito y Fabiola y a mi esposa la Seno Amparo

Mis agradecimientos a mis profesores Artibano Micali y Philippe Revoy, de launiversidad de Montpellier, Francia y a los profesores Mario Fiorentini y Antonio Tognoli

de la universidad de Ferrara, Italia, quienes me motivaron a profundizar el estudio delalgebra. Van mis agradecimientos tambien a mi esposa Amparo Gonzalez y a mis Hijos

Fabiola y Juan por su paciencia mostrada durante la elaboracion de este libro.

Indice general

Indice de figuras

PROLOGO

INTRODUCCION 1NOMENCLATURA 6

Parte 1. GENERALIDADES Y TEORIA DE GRUPOS 7

Captulo 1. NOCIONES ELEMENTALES DE LA TEORIA DE CONJUNTOS 91.1. Conjuntos y Subconjuntos 91.2. Relaciones y Aplicaciones 101.3. Familias Indizadas 111.4. Ejercicios y Complementos 17

Captulo 2. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 212.1. Operaciones binarias 212.2. Homomorfismos de Estructuras Algebraicas Simples 232.3. Estructuras Algebraicas Con Dos Operaciones Binarias 252.4. -Estructuras Algebraicas 30

Captulo 3. NUMEROS NATURALES, ENTEROS Y RACIONALES 333.1. Los Numeros Naturales 333.2. Los Numeros Enteros 403.3. Los Numeros Racionales 49

Captulo 4. INTRODUCCION A LA TEORIA DE GRUPOS 554.1. Resena Historica 554.2. Definicion y Popiedades Generales 574.3. Homomorfismos de Grupos 71

Captulo 5. GRUPOS DE PERMUTACIONES Y SIMETRIA 835.1. Aplicaciones a la Geometra y Teora Musical 99

Captulo 6. TEOREMAS DE SYLOW, p-GRUPOS y GRUPOS SOLUBLES 1076.1. Teoremas de Sylow 1076.2. Grupos Solubles 1186.3. Sucesiones Normales y Series de Composicion 121

Captulo 7. CLASIFICACION DE LOS GRUPOS ABELIANOS FINITAMENTEGENERADOS 123

7.1. Producto Directo de Subgrupos 123

INDICE GENERAL

7.2. Grupos Abelianos Finitamente Generados 125

Captulo 8. PRODUCTO Y SUMA DIRECTA DE FAMILIA DE GRUPOS.GRUPOS LIBRES 133

8.1. Producto Directo y Suma Directa Sobre Una Familia de Grupos 1338.2. Grupos Libres 138

Parte 2. TEORIA DE ANILLOS, POLINOMIOS, EXTENSION DE CAMPOSY TEORIA DE GALOIS 151

Captulo 9. ITRODUCCION A LA TEORIA DE ANILLOS E IDEALES 1539.1. Anillos 1539.2. Ideales, Homomorfismos, Anillos Cociente y Teorema de Isomorfa 1579.3. Ideales Primos e Ideales Maximales 1659.4. Anillos Principales, Noetherianos, de Factorizacion Unica y Euclideanos 176

Captulo 10. MODULOS Y ALGEBRAS 18710.1. Modulos 18710.2. Algebras 199

Captulo 11. ANILLO Y ALGEBRA DE POLINOMIOS 20511.1. Conceptos y Propiedades Generales 20511.2. Anillo de Polinomios sobre un Campo 21011.3. Races de Polinomios 22411.4. Conjuntos Algebraicos y Topologa de Zariski 242

Captulo 12. EXTENSION DE CAMPOS Y TEORIA DE GALOIS 24912.1. Extension de Campos 24912.2. Teora de Galois 28012.3. Construccion con Regla y Compas 313

Parte 3. CATEGORIAS Y FUNTORES, ALGEBRAS UNIVERSALES YFUNDAMENTOS DEL ALGEBRA HOMOLOGICA 327

Captulo 13. INTRODUCCION A LA TEORIA DE CATEGORIAS Y FUNTORES32913.1. Categoras y Funtores 32913.2. Categoras Preaditivas, Aditivas, Pre-abelianas y Abelianas 345

Captulo 14. ALGEBRAS UNIVERSALES 36114.1. Producto Tensorial y Algebra Tensorial 36114.2. Algebra Simetrica de un A-Modulo 38014.3. Producto Alterno o Exterior y Algebra Alterna o Exterior de un A-Modulo 38614.4. Formas Cuadraticas y Algebras de Clifford 39314.5. Formas Bilineales Alternas y Algebras de Weyl 400

Captulo 15. INTRODUCCION AL ALGEBRA HOMOLOGICA 40515.1. Complejos Diferenciales o de Cadenas y Homologa 40615.2. Complejos Especiales 42715.3. Funtores Derivados 44615.4. Los Funtores Ext y Tor 453

INDICE GENERAL

Apendice A. TRASCENDENCIA DE ALGUNOS NUMEROS 479A.1. Numeros de Liouville y Trascendencia del numero e 479

Bibliografa 485

Indice alfabetico 487

Indice de figuras

0.1. Al Jwarizmi 1

0.2. Omar Khayyam 3

0.3. Alejandro de Pisa (Fibonacci) 4

0.4. Nicolo Fontana (Tartaglia) 4

0.5. Girolamo Cardano 5

0.6. Francois Viete 5

1.1. Georg Cantor 9

1.2. Relacion de orden 16

1.3. Red 17

3.1. Leopold Kronecker 33

3.2. Giuseppe Peano 34

4.1. Joseph Lagrange 55

4.2. Paolo Ruffini 56

4.3. Camille Jordan 56

4.4. Felix Klein 57

4.5. Niels Abel 57

5.1. Plano xy 100

5.2. Sistema 3-dimensional 101

5.3. Triangulo equilatero 101

5.4. Cuadrado 102

5.5. Tetraedro Regular 104

5.6. Pentagono Regular 104

5.7. Hexagono Regular 105

5.8. Octaedro Regular 105

6.1. Peter Ludwig Mejdell Sylow 107

9.1. Emie Noether 153

11.1.Circunferencia 225

11.2.Cilindro Circular 225

INDICE DE FIGURAS

11.3. V R2 22611.4. P 22911.5. X3 Y2 = 0 24611.6. Y2 X3 + X = 0 24611.7. X2 Y2 Z = 0 24611.8. X4 + (Y2 X2Z2) = 0 247

12.1.Evariste Galois 28012.2.Paralela a recta (AB) 31512.3.Perpendicular por punto C sobre g 31512.4.Perpendicular por punto C < g 31612.5.Conjugado 31712.6.z := rei 31712.7.A := z w 31812.8.Cociente

zw

319

12.9.C := ei() 31912.10.Raz cuadrada 32012.11. C := ei

2 320

13.1.Samuel Eilenberg 32913.2.Saunders Mac Lane 329

14.1.Herman Grassmann 38714.2.William Kingdom Clifford 39314.3. Hermann Weyl 402

A.1.Leonhard Paul Euler 479A.2.Joseph Liouville 480A.3.Charles Hermite 482

PROLOGO

En 1980 se inicio en la Universidad de San Carlos la carrera de licenciatura en ma-tematica aplicada. Considerando la dificultad que existe en Guatemala de conseguir textosde literatura especializados en temas avanzados de matematicas y de la escasa existenciade estos en castellano, me propuse la tarea de escribir un texto introductorio de algebraabstracta. Mi proposito es iniciar al estudiante al estudio de esta interesante y bella ramade las matematicas, empezando con ejemplos muy sencillos y acrescentando de forma pro-gresiva el grado de dificultad. Una gran variedadd de ejercicios y ejemplos geometricosse han incluido, los cuales contribuiran a una mejor comprension de la teora. Tambien seincluyen algunos complementos a la teora en forma de ejercicios para que el estudiante sehabitue a investigar por su cuenta algunos temas.

El primer captulo es un resumen de los elementos de la teora de conjuntos, necesariospara entender este texto y puede ser obviado si el lector considera tener dichos conocimien-tos.

En el segundo captulo trataremos, de forma general, lo que son las estructuras alge-braicas. Se introduce la nocion de operacion binaria y de estructura algebraica simple, lacual consta de un conjunto sobre el cual se ha definido una operacion binaria interna ce-rrada, entre las que se encuentran los semigrupos, monoides y grupos. Se definen tambienestructuras algebraicas con mas de una operacion binaria interna y cerrada, de las cualeslas mas importantes son los anillos y campos, que son estructuras algebraicas con dos ope-raciones binarias internas y cerradas que satisfacen ciertas propiedades de distributividadentre ellas. Trataremos muy brevemente algunos ejemplos de estructuras algebraicas conmas de dos operaciones e incluso con operaciones n-arias. En los captulos siguientes desa-rrollaremos los elementos basicos de la teora de grupos, anillos y extension de campos.

La primera parte estara dedicada al desarrollo de la teora de grupos y su clasificaciony, particularmente, daremos una clasificacion exaustiva de los grupos abelianos finitamentegenerados. Terminaremos esta primera parte con una introduccion a lo que son los produc-tos directos y amalgamados y las sumas directas y amalgamadas de grupos, as como laconstruccion de los llamados grupos libres, tanto en el caso abeliano como no abeliano.

En la segunda parte se estudia la teora de anillos, en particular de anillos conmu-tativos, campos, extensiones de campos y sus aplicaciones al proceso de radicacion paraencontrar las raices de polinomios con coeficientes en un campo dado, culminando conla teora de Galois, la cual hace uso de la teora de grupos y relaciona la posibilidad deencontrar las raices de un polinomio, usando un proceso de radicacion, con la solubilidadde un cierto grupo asociado al polinomio, llamado el grupo de Galois.

En la tercera parte daremos una breve introduccion a lo que es la teora de categorasy funtores, as como de las llamadas algebras universales: algebra tensorial, algebra deGrassmann, algebra simetrica, de Rees, de Clifford y de Weyl, as como sus propiedadesfundamentales. Finalizamos esta tercera parte con una introduccion al algebra homologica,donde tratamos los complejos y co-complejos de cadenas y co-cadenas, su homologa y

PROLOGO

cohomologa respectivamente. As mismo damos una breve descripcion de los complejosde Koszul y de de Rham y de su homologa y cohomologa respectivamente. Se tratantambien las resoluciones proyectivas e inyectivas de modulos y sus funtores derivados,en particular los funtores derivados TorA y ExtA, correspondientes a los bifuntores Ay HomA( , ). Para el caso en que A es un dominio principal, se tratan los teoremas delcoeficiente universal y formulas de Kunneth, de gran aplicacion en la topologa y geometraalgebraicas.

Los apuntes estan disenados para un curso de dos semestres (las dos primeras partes)para estudiantes de licenciatura en matematica que ya hayan cursado o tengan conocimien-tos basicos del algebra superior y de algebra lineal. La tercera parte esta pensada comocomplemento y materia de estudio para aquellos estudiantes que deseen profundizar masen el estudio del algebra y de la topologa o geometra algebraicas. Puede servir de basepara un tercer curso de algebra o para algun seminario sobre dichos temas.

Si este texto logra despertar en el estudiante el interes por el estudio del algebra, encualquiera de sus especializaciones, habre alcanzado mi objetivo.

Dr. Juan Francisco Escamilla CastilloGuatemala, 2008

INTRODUCCION

F 0.1. Al Jwarizmi

El algebra constituye una de las principales ramas de las matematicas. En su formaelemental nos ensena el formalismo y las reglas de las operaciones elementales con nume-ros y su ensenanza forma parte del curriculum basico de la educacion secundaria en todoslos pases. Su campo de aplicacion se extiende a todas las ciencias, as como a la vidadiaria.

La palabra algebra deriva de la palabra arabe al-yebr, que quiere decir la reducciony que aparece en el tratado escrito por el matematico persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, por el ano 820 de nuestra era, titulado Al-Kitab al-yebr wa-l-Muqabala, quesignifica Compendio de calculo por el metodo de reduccion y balanceo, el cual propor-cionaba operaciones simbolicas para la solucion de ecuaciones lineales y cuadraticas. Elnombre de al-Jwarizmi ha dado origen a la palabra algortmo, empleado en matematicaspara indicar un metodo de calculo especfico, como por ejemplo el famoso algortmo eu-clideano de la division elemental.

Sin embargo los orgenes del algebra se remontan, segun los historiadores de la ma-tematica, hasta los antiguos babilonios, quienes ya logran desarrollar un avanzado sistemaaritmetico, con el cual eran capaces de realizar calculos, de tipo algebraico, para encontrarsoluciones a ecuaciones lineales y cuadraticas. Mientras que los egipcios, indios, chinos ygriegos del primer milenio antes de Cristo, usaban mas metodos geometricos, tal y comose describen en algunos papiros egipcios, en el Sulba Sutras de la India, en Los Elementosde Euclides y Los Nueve captulos sobre el Arte Matematico de los chinos.

Sin embargo, mas tarde, los matematicos indios llegaron a desarrollar metodos alge-braicos bastante sofisticados, entre los que destaca Brahmagupta, (628 DC.), quien fuerael primero en resolver ecuaciones, usando metodos generales, en contraste con los ma-tematicos griegos como Diophanto, (200 DC.), quien en su famosa Arithmetica utilizaba

1

2 INTRODUCCION

metodos especficos para cada caso, para solucionar ecuaciones con numeros enteros, co-nocidas como ecuaciones diofantinas. Una de las mas famosas de estas ecuaciones es laecuacion xn + yn = zn, la cual dio origen a la famosa conjetura de Fermat, cuya corrobora-cion llevo a los matematicos mas de tres siglos y la implementacion de metodos algebraicosy geometricos sofisticadsimos.

C 1 (Conjetura de Fermat o Ultimo Teorema de Fermat). Para un enetro n > 2no existen tres numeros enteros, estrictamente positivos, que sean solucion de la ecuacion

xn + yn = zn.

No es sino hasta 1995 que el matematico ingles Andrew Wiles, con ayuda de RichardTaylor, logra dar una demostracion de la conjetura de Fermat1. En su tiempo Fermat escri-bio que tena una demostracion de esta asercion, pero que desgraciadamente era un pocolarga como para que le cupiera en el margen del libro. Hoy da se sabe que con los meto-dos matematicos, conocidos en el siglo XVII, de los que pudo haber dispuesto Fermat, esimposible que el haya tenido una demostracion correcta de este teorema Tanto Diophantocomo Al-Jwarizmi son considerados los padres del algebra.

A continuacion damos un resumen sobre el desarrollo del algebra desde la antiguedadhasta Galois (1832). [55]

Alrededor de 1800 AC: Las Viejas Tablas Babilonias de Strassburg buscan solu-ciones de ecuaciones cuadraticas elpticas.Alrededor de 1600 AC: Las tablas Plimpton 322 dan una tabla de tripletas pi-tagoricas en escritura cuneiforme babilonicaAlrededor de 800 AC: El matematico indio Baudhayana, en su Baudhayana Sul-ba Sjutra, descubre tripletas pitagoricas algebraicamente, encuentra solucionesde ecuaciones lineales y cuadraticas de las formas ax2 = c y ax2 + bx = c y en-cuentra dos conjuntos de posibles soluciones enteras a un conjunto de ecuacionesdiofantinas simultaneas.Alrededor de 600 AC: El matematico indio Apastamba, en su Apastamba SulbaSutra, resuelve la ecuacion lineal general y usa sistemas simultaneos de ecuacio-nes diofantinas hasta de 5 incognitas.Alrededor de 300 AC: en su segundo libro de Elementos, Euclides da una cons-truccion, usando herramientas euclideanas, (es decir construcciones con regla ycompas), de la solucion de la ecuacion cuadratica con raices positivas reales. Laconstruccion es debida a la Escuela Pitagorica de Geometra. En este perodo sebuscan tambien construir soluciones para el problema de la duplicacion del cuboy ya es conocido el hecho que, en general, dicho problema no puede ser resueltopor metodos euclideanos.Alrededor de 100 AC: Ecuaciones algebraicas son tratadas en el libro chino deJiuzhang Suanshu (Los Nueve Captulos del Arte Matematico), se dan solucio-nes geometricas a la ecuacion de segundo grado y soluciones matriciales de sis-temas simultaneos de ecuaciones. En este perodo, tambien en la antigua India,en el manuscrito conocido por Bakhshall Manuscript, ya se usa una notacionalgebraica que utiliza letras del alfabeto y otros smbolos. Tambien se incluyensoluciones a ecuaciones cubicas y cuarticas, soluciones algebraicas a sistemas deecuaciones lineales hasta de cinco incognitas y la solucion general de la ecuacioncuadratica.

1Publicada en Annals of Mathematics

INTRODUCCION 3

Alrededor de 150 DC: Heron de Alejandra trata las ecuaciones algebraicas ensus tres volumenes matematicos.Alrededor de 200 DC: Diophanto, considerado uno de los padres del algebra yque vivio en Egipto, escribe su famosa Arithmetica, en el cual da soluciones deecuaciones algebraicas y trata problemas de la teora de numeros.Alrededor de 499 DC: El matematico indio Aryabhata en su tratado Aryabhatiya,obtiene soluciones enteras a ecuaciones lineales, utilizando metodos similares alos actuales.Alrededor de 625 DC: El matematico chino Wang Xiatong, encuentra solucionesnumericas de la ecuacion cubica.Alrededor de 628 DC: El matematico Indio Brahmagupta, en su tratado BrahmaSputa Siddhanta, inventa el metodo de la Chakravala para resolver ecuacionescuadraticas indeterminadas y da algunas reglas para la solucion de ecuacioneslineales y cuadraticas.Al rededor de 820 DC: El matematico persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi,escribe su famoso tratado Al-Kitab al-yebr wa-l-Muqabala, en el cual trata solu-ciones de ecuaciones lineales y cuadraticas.Alrededor de 850 DC: El maematico persa Al-Mahani concive la idea de reducirproblemas de tipo geometrico, como la duplicacion del cubo, a problemas detipo algebraico. En este perodo tambien el matematico indio Mahavira resuelvevarias ecuaciones cuadraticas, cubicas, cuarticas, y de grados superiores.Alrededor de 990 DC: El matematico persa Abu Bakr Al-Karaji en su trata-do Al Fajri, continua desarrollando el algebra, extendiendo los metodos de Al-Jwarizmi a ecuaciones con potencias y raices enteras de las incognitas. Re-emplaza operaciones de tipo geometrico, utilizadas hasta entonces en el alge-bra, por operaciones aritmeticas modernas y define las expresiones monomiales

x, x2, , y 1x,

1x2, y da reglas para el producto de estos.

Alrededor de 1050 DC: El matematico chino Jia Xian encuentra solucionesnumericas de ecuaciones polinomiales.Alrededor de 1072 DC: El matematico persa Omar Khayyam desarrolla la geo-metra algebraica y, en el Tratado sobre demostracion de Problemas de Alge-bra, da una completa clasificacion de la ecuacion cubica con solucion generalgeometrica, encontrada por medio de interseccion de conicas.

F 0.2. Omar Khayyam

4 INTRODUCCION

Alrededor de 1114 DC: El matematico indio Bhaskara, en su Bijaganita (Alge-bra), reconoce que todo numero positivo posee tanto una raiz cuadrada positivacomo una negativa y resuelva varios tipos de ecuaciones cubicas, cuarticas y degrado superior.Alrededor de 1202 DC: Leonardo de Pisa, mas conocido como Fibonacci, intro-duce en Europa el algebra, en su trabajo Liber Abaci.

F 0.3. Alejandro de Pisa (Fibonacci)

Alrededor de 1300 DC: El matematico chino Zhu Shijie trata con algebra polino-mial, resuelve ecuaciones cuadraticas, sistemas de ecuaciones simultaneas hastede cuatro incognitas y da soluciones numericas a algunas ecuaciones de gradocuarto, quinto y de grado superior.Alrededor de 1400 DC: El matematico indio Madhava de Sangamagramma en-cuentra metodos iterativos para la aproximacion de soluciones de ecuaciones nolineales.Alrededor de 1450 DC: El matematico arabe Abu Al-Hasan ibn Ali Al-Qalasaditoma los primeros pasos hacia la introduccion del simbolismo algebraico, repre-sentando smbolos matematicos usando caracteres del alfabeto arabe.Alrededor de 1535 DC: Nicolo Fontana (Tartaglia) y otros matematicos italia-nos, de forma independiente resuelven la ecuacion general cubica.

F 0.4. Nicolo Fontana (Tartaglia)

Alrededor de 1545 DC: Girolamo Cardano publica en su Ars Magna (El GranArte) la solucion de Tartaglia para la ecuacion general de cuarto grado.

INTRODUCCION 5

F 0.5. Girolamo Cardano

Alrededor de 1572 DC: Rafael Bombelli reconoce las raices complejas de laecuacion cubica e introduce la actual notacion.Alrededor de 1591 DC: Francois Viete desarrolla, en su In Artem AnalyticiamIsagoge, una notacion simbolica utilizando vocales para las incognitas y conso-nantes para las constantes.

F 0.6. Francois Viete

Alrededor de 1631 DC: Thomas Harriot, en una obra postuma, usa ya la notacionexponencial e introduce los smbolos para menor que y mayor queAlrededor de 1682 DC: Gottfried Wilhelm Leibniz desarrolla su nocion de mani-pulacion simbolica con reglas formales que el llama characteristica generalis.Alrededor de 1680 DC: El matematico japones Kowa Seki, en su Metodo paraResolver el Problema Disimulado, descubre el determinante y los numeros deBernoulli.Alrededor de 1750 DC: Gabriel Cramer, en su tratado Introduccion al Analisisde Curvas Algebraicas, formula la famosa formula de Cramer y estudia curvasalgebraicas, matrices y determinantes.Alrededor de 1824 DC: Niels Henrik Abel muestra la insolubilidad, por radica-cion, de la ecuacion general de quinto grado.Alrededor de 1832 DC: Evariste Galois en su trabajo sobre Algebra Abstracta,desarrolla la famosa Teora de Galois

Hasta mediados del siglo XIX los matematicos se ocupaban de estructuras algebrai-cas particulares, que involucraban entes concretos, como numeros, figuras geometricas,

6 INTRODUCCION

permutaciones y funciones y fueron descubriendo, que algunas de las operaciones que serealizaban con estos entes satisfacan ciertas condiciones, como la cerradura, asociativi-dad, existencia de elementos neutros e inversos. Con el surgimiento de la teora de con-juntos de Cantor y la posibilidad de trabajar con conjuntos cuyos elementos podan ser decualquier ndole bien definida, surge la idea de considerar conjuntos sobre los cuales estandefinidas una serie de operaciones que se suponen satisfacen ciertas condiciones, las cualesson dadas de forma axiomatica y deducir, a partir de los axiomas dados, sus propiedadesgenerales. As surge la idea de estructura algebraica y su estudio es el nucleo de lo quehoy conocemos como algebra abstracta. Particular interes desperto el estudio de las es-tructuras algebraicas como los grupos, anillos, campos, modulos y espacios vectoriales yla estructura de algebra sobre un campo o anillo.

Durante el siglo XX el algebra abstracta alcanza un gran desarrollo y una gran gamade aplicaciones a diferentes campos de la matematica y de la fsica teorica, surgiendonuevas ramas, entre las cuales podemos citar: El algebra conmutativa, que estudia laspropiedades de los anillos conmutativos y constituye la base de la geometra algebraicamoderna. El algebra homologica que constituye la herramienta principal de la topologay geometra algebraicas. El algebra de Lie, que estudia estructuras algebraicas definidassobre variedades diferenciables y exige que todas las operaciones sean diferenciables, degran aplicacion en la geometra y topologa diferencial, as como en la fsica teorica. Lamayor abstraccion en el estudio de estructuras algebraicas y no algebraicas es alcanzadaen la llamada teora de categoras, en la cual se definen los llamados objetos, morfismosentre objetos y ciertas reglas de composicion de morfismos y se estudian las propiedadesgenerales. As, por ejemplo, la teora de grupos estudia la categora cuyos objetos son losgrupos y sus morfismos los homomorfismos de grupos.

Para mas informacion sobre historia de las matematicas referimos al lector a las si-guientes obras [50], [46], [40], [55]

NOMENCLATURA

Los conjuntos los denotaremos por letras mayusculas A, B, ...X,Y,Z. Si X es un conjun-to, denotaremos por P(X) a su conjunto potencia o boreliano. Una familia de conjuntos ladenotaremos por A ,B, ...,X ,Y ,Z . PorR,Q,Z,N,C denotaremos los conjuntos de losnumeros reales, racionales, enteros, naturales y complejos respectivamente. La contencion(propia o impropia) la denotaremos por y la contencion propia por . A := indicaque A esta siendo definido por . , , indican la conjuncion logica y y la disyuncionlogica o, respectivamente. Por el smbolo A B o bien A ' B, indicaremos una biyeccionentre dos conjuntos o bien un isomorfismo entre dos estructuras algebraicas. En cuanto alas referencias de ejercicios o ejemplos, los primeros numeros indican la serie de ejerci-cios o ejemplos correspondiente y el ultimo numero el numero del ejercicio o ejemplo enesa serie. As, por ejemplo, 7.2.2,3) o bien 7.2.2,3, se refiere al ejercicio 3 de la serie deejercicios 7.2.2.

Parte 1

GENERALIDADES Y TEORIA DEGRUPOS

CAPTULO 1

NOCIONES ELEMENTALES DE LA TEORIA DECONJUNTOS

F 1.1. Georg Cantor

1.1. Conjuntos y Subconjuntos

O. En este captulo emplearemos el concepto naive de conjunto, ya queen este tratado todos los conjuntos son tales, que sus objetos estan bien definidos y quesiempre es posible decir, sin ambiguedad, si un elemento esta o no en dicho conjunto.

D 1.1. Llamaremos conjunto a una coleccion S de objetos bien definidos,llamados puntos.

Si x es un elemento de S , escribiremos x S , y x < S si x no esta en S . Por Udesignaremos al conjunto universo, al cual pertenecen los puntos en cuestion. Si P es unaproposicion,

S := {x U | P(x)}es el conjunto de todos los elementos de U para los cuales la proposicion P es verdadera.

D 1.2. Por denotaremos al conjunto vaco que no posee ningun elemento,logicamente se puede poner

:= {x U | x , x}.

D 1.3. Dados dos conjuntos A y B, decimos que:1. A es un subconjunto de B, (A B) Ssi: x A x B, x A2. A = B Ssi: A B, y B A3. A es subconjunto propio de B, (A B) Ssi A es subconjunto de B y A , B

D 1.4. Dados dos conjuntos A y B

9

10 1. NOCIONES ELEMENTALES DE LA TEORIA DE CONJUNTOS

1. Al conjunto A B := {x | x A x B} lo llamamos la union del conjunto Acon el conjunto B.

2. Al conjunto AB := {x | x A x B} lo llamamos la interseccion del conjuntoA con el conjunto B.

3. Al conjunto de pares ordenados A B := {(a, b) | a A b B} lo llamamos elproducto cartersiano del conjunto A con el conjunto B.

4. Al conjunto A \ B := {x | x A x < B} lo llamamos la diferencia del conjuntoA con el conjunto B o complemento relativo de B respecto de A.

5. Al conjunto A 4 B := (A \ B) (B \ A) lo llamamos la diferencia simetrica delconjunto A con el conjunto B.

D 1.5. Sea A subconjunto de un conjunto universo U1. Al conjunto Ac := {x U | x < A} lo llamamos el complemento del conjunto A.2. El conjunto P(U) := {A | A U} se llama el conjunto potencia o boreleano de

U.3. A un subconjunto A P(U) lo llamamos una familia de conjuntos.

Leyes de de Morgan.

T 1.1. Dados dos conjuntos A y B entonces vale:1. (A B)c = Ac Bc2. (A B)c = Ac Bc

1.2. Relaciones y Aplicaciones

Por lo que sigue supondremos que todo conjunto es subconjunto de un universo U.

D 1.6. Sean A y B dos conjuntos1. Un subconjunto R A B se llama una relacion de A en B.

Si a A b B tal que (a, b) R entonces se dice que A es el dominio de larelacion R y el conjunto {b B | (a, b) R} el contradominio o rango de R y lodenotamos por Rang(R).

2. R es una relacion sobre B si Rang(R) = B.3. Si R es una relacion de A en B, entonces

mathcalR1 := {(b, a) B A | (a, b) R}es una relacion de B en A, llamada la inversa de R.

D 1.7. Dados dos conjuntos A y B1. Decimos que una relacion f de A en B es una aplicacion de A en B, f : A B, si a A ! b B tal que (a, b) f (! denota existe un unico). Entonces decimosque b es la imagen de a y escribimos f (a) := b al rango de f lo denotaremos porf [A] y lo llamaremos la imagen de A.

2. Se dice que la aplicacion f : A B es sobreyectiva si f [A] = B. Si f (a) =f (b) a = b entonces se dice que f es inyectiva o una inyeccion. Si f esinyectiva y sobreyectiva entonces se dice que f es biyectiva o una biyeccion.

3. Si f : A B es una aplicacion y C A entonces la restriccion de f a C,f |C : C B esta definida por f |C(x) := f (x), x C.

4. Si f : A B es una aplicacion y C A , entonces al conjuntof 1[C] := {x A | f (x) C}

lo llamamos la contraimagen o imagen inversa de C bajo f .

1.3. FAMILIAS INDIZADAS 11

D 1.8. Sean A, B, C conjuntos y f : A B, g : B C aplicaciones, enton-ces la composicion g f : A B es la aplicacion definida por g f (x) := g( f (x)), x A.

El siguiente teorema, cuya demostracion se deja al lector como ejercicio nos resumelas principales propiedades de las aplicaciones:

T 1.2. Dadas las aplicaciones f : X Y, g : Y Z, entonces:a) f [A B] f [A] f [B]. A, B Xb) f [A B] = f [A] f [B]c) f 1[U V] = f 1[U] f 1[V], U,V Yd) f 1[U V] = f 1[U] f 1[V], U,V Ye) f 1[U \ V] = f 1[U] \ f 1[V], U,V Yf) A f 1[ f [A]], A X. Si f inyectiva, entonces f 1[ f [A]] = Ag) f [ f 1[U]] U, U Y. Si f sobreyectiva, entonces f [ f 1[U]] = Uh) (g f )1[W] = f 1[g1[W]], W Z

1.3. Familias Indizadas

D 1.9. Sean I un conjunto no vaco, A P(U) una familia. A una aplica-cion : I A la llamamos una indizacion de A por I. El conjunto I se denomina elconjunto de ndices. Para i I escribiremos (i) = Ai A . Entonces a la familia {Ai}iI lallamaremos una familia indizada por I.

E 1.1. Sean I := {1, 2, 3, 4, 5}, A := {{a, b}, {c, d}, {1, 2}, {3, 4}, {5, 6}}, : I A , dada por(1) = A1 := {a, b}(2) = A2 := {c, d}(3) = A3 := {1, 2}(4) = A4 := {3, 4}(5) = A5 := {5, 6}{Ai}iI = {A1, A2, A3, A4, A5}

La familia A puede tambien ser indizada por ella misma en una forma natural: (A) :=A, A A , llamada la indizacion natural.

1.3.1. Union e Interseccion de Familias Indizadas. Dada una familia indizada{Ai}iI , entonces definimos:iI

Ai := {x | i I, x Ai}iI

Ai := {x | x Ai, i I}.El siguiente teorema nos generaliza las leyes de de Morgan enunciadas en teorema

1.1:

T 1.3. Dada una familia indizada {Ai}iI , entonces se tiene:1. (

iI

Ai)c =iI

Aci2. (

iI

Ai)c =iI

Aci

D. Demostraremos 1. y dejaremos al lector la demostracion de 2. comoejercicio.

12 1. NOCIONES ELEMENTALES DE LA TEORIA DE CONJUNTOS

1. x (iI

Ai)c x 2 es el producto vectorialo producto cruz sobre el espacio vectorialRn. Dados n1 vectores fijos v1, . . . , vn1 Rn,definimos una aplicacion lineal : Rn R, de la forma siguiente:

(u) := det

v1...

vn1u

Por el teorema de representacion existe un unico vector w Rn, tal que u,w = (u). Alvector w lo llamamos el producto cruz o vectorial de los vectores v1, . . . , vn1 Rn y lorepresentaremos por v1 vn1.

: Rn Rn n1

Rn

es una operacion (n 1)-aria.En R3 el producto vectorial es una operacion binaria, tal y como la conocemos del

algebra elemental de vectores.Denotemos por := {1, . . . , m} un conjunto finito de operaciones internas y cerra-

das, de diferente ariedad, definidas sobre un conjunto A. La aplicacion : N, definidapor ( j) := n j Ssi j es una operacion n j-aria, se llama la aplicacion de ariedad de .

Sea una permutacion sobre . Al par (A,), 1 6 6 m, donde := ((1), . . . , ())

lo llamamos una -estructura algebraica., al numero lo llamaremos el tipo de la es-tructura. Los elementos de pueden cumplir con ciertas propiedades de asociatividad,distributividad, existencia de elementos neutros o simetricos.

En particular, un grupo es una 1-estructura algebraica de tipo 1 en la cual 1 :=

{(1)} y ((1)) = 2, (1) es asociativa, posee elemento neutro y cada elemento de Aposee un simetrico respecto de (1). Un anillo es una estructura 2, de tipo 2, donde2 := ((1), (2)), ((1)) = ((2)) = 2, (1) es asociativa, posee elemento neutroy cada elemento posee un simetrico respecto de (1), (2) es asociativa y distributivarespecto de (1).

En este libro nos limitaremos al estudio de los grupos, anillos y campos, es decir deestructuras 1 y

2. Para el estudio de estructuras de ordenes mayores referimos al lector

a [10].

2.4. -ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 31

2.4.1. Ejercicios y Complementos.

1. Mostrar que v1 vn1 es ortogonal a cada vi, 1 6 i 6 n 1, es decirv1 vn1, vi = 0, i, 1 6 i 6 n 1.

2. Calcular v1 v2 v3 en R4.

CAPTULO 3

NUMEROS NATURALES, ENTEROS Y RACIONALES

F 3.1. Leopold Kronecker

Dios creo los numeros naturales, lo demas es obra del hombre. L. Kronecker.En este captulo daremos una pequena introduccion a la construccion formal de los

numeros naturales, enteros y racionales y demostraremos algunas de sus propiedades masimportantes y que nos serviran en el desarrollo de algunos temas. Omitiremos la construc-cion de los numeros reales por considerar que su construccion corresponde mas a un cursode analisis real que al algebra.

3.1. Los Numeros Naturales

3.1.1. Propiedades Generales y Operaciones Algebraicas. En la serie de ejerci-cios 1.4, 7) se introdujeron los numeros naturales como el conjunto N, interseccion detodos los conjuntos numerales, el cual tena las siguientes propiedades fundamentales:

a) Nb) Si x N x Nc) Cualquier subconjunto de N que satisface a) y b), coincide con N (principio de

induccion).d) Si x N, n , , ademas x y x ye) x y x yf) x = y x = y

Las propiedades a)-f) caracterizan totalmente a N y reciben el nombre de axiomas dePeano. Algunos textos introducen al conjunto de los naturales utilizando estos axiomas.Un numero natural es entonces un elemento de N y lo designamos de la siguiente forma:0 := , 1 := 0 = {}, 2 := 1 = {, {}}, 3 := 2 = {, {}, {, {}}}, .

33

34 3. NUMEROS NATURALES, ENTEROS Y RACIONALES

F 3.2. Giuseppe Peano

O. En nuestra definicion deN se incluye el 0 como numero natural y por ladefinicion de 0 y de sucesor, es el unico numero natural que no es sucesor de otro, como sededuce del inciso d). Algunos autores no lo incluyen y comienzan con el numero 1. Desdeun punto de vista teorico es irrelevante donde comiencen los numeros naturales.

T 3.1. Para todo n N, n , n.

D. Consideremos el conjunto N := {x N | x , x}, entonces 0 N,ya que 0 no es sucesor de ningun numero entero. Sea n N, entonces vale n , n, si(n) = n, entonces, por el inciso f), tendramos que n = n en contradiccion a que n N.Por consiguiente n N y por el principio de induccion N = N.

Consideremos sobre N la siguiente operacion, definida por:

(3.1) n + 0 := n, n N

(3.2) n + m := (n + m), n,m N

Entonces + : NN N, ya que n N, m N \ {0}, n + m = n + m1 = (n + m1) N,donde m1 := m. Si m = 0 es obvio que n + 0 = n N. Es decir que + es una operacionbinaria cerrada sobre N que llamaremos suma de naturales.

Como una consecuencia inmediata de (3.1) y (3.2) se tiene:

(3.3) n + 1 = n + 0 = (n + 0) = n, n N

T 3.2. + : N N N posee las siguientes propiedades:1. + es asociativa, es decir:

(3.4) n + (m + k) = (n + m) + k, n,m, k N

2. + es conmutativa, es decir:

(3.5) n + m = m + n, n,m N

D. Para mostrar tanto la asociatividad como la conmutatividad haremosuso del principio de induccion.

3.1. LOS NUMEROS NATURALES 35

1. Consideremos el conjunto

N := {x N | n + (m + x) = (n + m) + x, m, n N}.Vamos a mostrar que N = N. En efecto, por (3.1), (n+m)+0 = (n+m) = n+m =n + (m + 0), por lo que 0 N.

Por (3.2) y (3.3) n + (m + 1) = n + m = (n + m) = (n + m) + 1, por lo que1 N. Vamos a mostrar ahora que k N k N. En efecto, para k N valela ecuacion: n + (m + k) = (n + m) + k, entonces n + (m + k) = n + (m + k) =n + (m + k) + 1 = (n + m) + k + 1 = (n + m) + k, por consiguiente k N y por elprincipio de induccion N = N.

2. Para mostrar la conmutatividad consideremos primeramente el conjunto

M := {x N | x + 0 = 0 + x},del cual mostraremos, usando el principio de induccion, que es igual a N. Enefecto 0 + 0 = 0 + 0, por lo que 0 M, tambien 0 + 1 = 0 + 0 = (0 + 0) = 0 =1 = 1 + 0, por consiguiente 1 M. Mostremos ahora que m M m M. Seaentonces m M, entonces 0 + m = (0 + m) = m = m + 0 y por el principio deinduccion M = N. Consideremos ahora el conjunto

U := {x N | 1 + x = x + 1},obviamente 0, 1 U. Si n U, entonces 1+n = (1+n) = (n+1) = (n+1)+1 =n + 1 y nuevamente por el principio de induccion U = N.

Finalmente consideremos el conjunto

N := {x N | x + n = n + x, n N},entonces, por lo anteriormente expuesto 0, 1 N . Sea ahora m N , entoncesn + m = (n + m) = (m + n) = (m + n) + 1 = m + (n + 1) = m + (1 + n) =(m + 1) + n = m + n. Por el principio de induccion vale entonces que N = N.

De lo anteriormente expuesto se obtiene el siguiente

C 3.3. (N,+) es un monoide conmutativo con e = 0 como elemento neutro y0 es el unico elemento neutro respecto de +.

D. Solo nos falta mostrar la unicidad del elemento neutro. En efecto, con-sideremos el conjunto M := {x N | x + p , x, p N, p , 0}. Por definicion de +tenemos que 0+ p = p , 0, por lo que 0 M. Por otra parte, sea n M, entonces n+ p , n.Supongamos que n + p = (n + p) = n, entonces por inciso f) de las propiedades de N,tendramos n+ p = n, en contradiccion a que n M, por consiguiente n+ p , n y n M.Entonces por el principio de induccion M = N.

SobreN tambien podemos definir otra operacion binaria, que llamaremos producto denaturales, de la siguiente forma:

(3.6) n 0 := 0, n N

(3.7) n m := n m + nComo una consecuencia inmediata de (3.6) y (3.7) se obtiene:

(3.8) n 1 = n 0 = n 0 + n = n, n NDe la definicion resulta que : NN N, es decir es una operacion binaria cerrada

sobre N.


T 3.4. : N N N posee las siguientes propiedades:1. es distributiva respecto de +, es decir:

(3.9) n (m + k) = n m + n k, n,m, k Ny

(3.10) (n + m) k = n k + m k, n,m, k N2. es asociativa, es decir:

(3.11) n (m k) = (n m) k, n,m, k N3. es conmutativa, es decir:

(3.12) n m = m n, n,m N

D. Al igual que en el teorema precedente usaremos el principio de induc-cion para mostrar estas propiedades.

1. Consideremos los conjuntos

A := {x N | n (m + x) = n m + n x, n,m N}y

B := {x N | (n + m) x = n x + m x, n,m N}.El lector comprobara facilmente que 0, 1 A y 0, 1 B. Sea k A, entoncesn (m+k) = n m+n k. n (n+k) = n (n+k) = n (m+k)+n = (n m+n k)+n =n m+ (n k+n) = n m+n k, esto muestra que k A k A y por el principiode induccion A = N. Por otra parte si k B, entonces (n + m) k = n k + m ky tendremos (n + m) k = (n + m) k + (n + m) = (n k + m k) + (n + m) =n k + (m k + (n + m)) = n k + (m k + (m + n)) = n k + ((m k + m) + n) =n k + (m k + n) = n k + (n + m k) = (n k + n) + m k = n k + m k, loque muestra que k B k B y por el principio de induccion B = N.

2. Consideremos

N := {x N | n (m x) = (n m) x, n,m N},obviamente 0, 1 N. Sea k N, entonces n (m k) = (n m) k y tendremosn (m k) = n (m k + m) = n (m k) + n m = (n m) k + n m = (n m) k, loque muestra que k N k N y por el principio de induccion N = N.

3. Consideremos los siguientes conjuntos

O := {x N | 0 x = x 0}, U := {x N | 1 x = x 1}y

C := {x N | n x = x n, n N},vamos a mostrar, por el principio de induccion, que cada uno de ellos es igual aN.

En efecto 0 O, por otra parte tambien 1 O, ya que 0 1 = 0 0 =0 0 + 0 = 0 = 1 0. Si n O, entonces n 0 = 0 n. Entonces obtenemos0 n = 0 n + 0 = 0 = n 0, lo que muestra que n O n O y por elprincipio de induccion 0 = N.

De forma analoga se tiene que 0, 1 U y si n U, entonces n = n 1 = 1 ny se tiene 1 n = 1 n + 1 = n + 1 = n = n 1 = n y de nuevo, por el principiode induccion U = N.


Finalmente mostremos que C = N. En efecto, es obvio que 0, 1 C. Sim C, entonces n m = m n y se tiene n m = n m+n = m n+n = m n+1 n =(m + 1) n = m n. Por consiguiente C = N.

Del teorema precedente se infiere, de forma inmediata, el siguiente

C 3.5. (N, ) es un monoide conmutativo, cuyo unico elemento neutro es e =1.

D. Solo nos queda mostrar la unicidad de e. Vamos a mostrar primero quem n = 0 m = 0 o n = 0. En efecto, supongamos que para n,m, m , 0 , n, m n = 0,entonces ambos son sucesores de un n1 N y un m1 N respectivamente. 0 = n m =n m1 = n m1 + n = n m1 + n1 = (n m1 + n1), en contradiccion a que 0 no es sucesor deningun elemento de N. Por consiguiente n = 0 o m = 0. Por otra parte, supongamos queexiste m N, m , 1, m , 0, tal que m n = n, n N, n , 0, y sea m1 N, m1 = m,entonces n = m n = m1 n = n m1 + n, entonces, por corolario 3.3, n m1 = 0 y, por loanteriormente expuesto, dado que n , 0, m1 = 0 y, por consiguiente m = 1.

3.1.2. Relacion de Orden.

D 3.1. Sobre N vamos a definir una relacion 6 de la siguiente forma:

(3.13) n 6 m : p N tal que m = n + pSi n 6 m diremos que n es menor o igual que m.Diremos que n es mayor o igual que m, denotado: n > m, Ssi m 6 n.

T 3.6. 6 es una relacion de orden sobre N

D.

1. 6 es reflexiva. En efecto n 6 n, n N, ya que n = n + 0, 0 N2. 6 es antisimetrica. En efecto, si n 6 m y m 6 n, entonces existen p, q N, tales

que

(3.14) m = n + p

(3.15) n = m + q

de (3.14) y (3.15) resulta, substituyendo:

(3.16) m = m + p + q = m + r, donde r := (p + q) Nentonces, por corolario 3.3, r = 0. Si p o q fueran distintos de 0, supongamosp , 0, entonces existe p1 N, tal que p = p1 y 0 = p + q = p1 + q = (p1 + q),en contradiccion a que 0 no es sucesor de ningun numero natural. Lo mismo sededuce si asumimos que q , 0, por consiguiente p = q = 0 y n = m

3. 6 es transitiva. Si n 6 m y m 6 s, entonces existen p, q N, tales que(3.17) m = n + p

y

(3.18) s = m + q

de (3.17) y (3.18) se obtiene

(3.19) s = n + (p + q) = n + r, r := (p + q) N


por consiguiente n 6 s.

D 3.2. Decimos que n < m Ssi existe p N \ {0}, tal que m = n + p.El lector comprobara que < es una relacion que solamente es transitiva. No es simetrica

ni reflexiva, ver ejercicios 3.1.4, 10) y 3.1.4, 11). n,m N, si m < n no puede valer n < mni n < n. < es lo que se llama enconces una relacion de orden estricto. Si m < n entoncesdiremos que m es estrictamente menor que n. Diremos que m es estrictamente mayor quen, denotado: m > n, Ssi n < m.

T 3.7 (Ley de Tricotoma). Para cada n,m N una y solamente una de lassiguientes relaciones es verdadera

(3.20) m = n

(3.21) m < n

(3.22) m > n

D. Dado m N, construimos los siguientes conjuntos:

M1 := {m}, M2 := {x N | x < m}, M3 := {x N | x > m}

Vamos a probar que M := {M1,M2,M3} es una particion de N, m N. En efecto, sim = 0, 0 M1, M2 = , M3 = N \ {0}, entonces

ni=1

Mi = N

y M1 M2 = M1 M3 = M2 M3 = . Sea ahora m , 0 y consideremos el conjunto

M :=n

i=1

Mi

0 M1, por consiguiente 0 M. Sea ahora n N \ {0} y n M. Entonces tenemos trescasos posibles:

a) n M1, entonces n = m y n < m, por lo que n M3 y por consiguiente n Mb) n M2, entonces n 6 m, si n = m, resulta que n = m M1 y n M. Si

n < m, entonces n M2 y n M.c) n M3, entonces m < n < n y n M

En cualquiera de los casos resulta, por el principio de induccion que M = N. Los M j, j =1, 2, 3, son disjuntos entre s por la antisimetra y no reflexividad de


D. Sea n N \ {0} un numero natural cualquiera distino de 0 y conside-remos el conjunto

Nn := {x N | q, r N, 0 6 r < n, x = q n + r}.Vamos a mostrar que Nn = N, n N \ {0}. En efecto 0 Nn, pues q = 0 = r satisfacenlo deseado. 1 Nn, pues si n = 1, entonces q = 1, r = 0 satisfacen lo deseado. Si 1 , n,entonces 1 < n y q = 0, r = 1 satisfacen lo deseado. Supongamos ahora que m Nn y quem = q n+r, 0 6 r < n, entonces m = m+1 = q n+r+1 = q n+r. Como r < n, entoncesr 6 n. Si r = n, entonces m = q n + n = (q + 1) n y q, r = 0 satisfacen lo deseado.Si r < n, entonces q, r satisfacen lo deseado y m Nn. Entonces, por el principio deinduccion Nn = N.

Al numero q en 3.23 lo llamamos el cociente de m respecto de n, y a r el resto.Decimos que n divide a m, denotado n | m si en (3.23) r = 0. En tal caso decimos que

n es un divisor de m. Si n es un divisor de m y n , m, entonces diremos que n es un divisorpropio de m. Si en (3.23) r , 0, diremos que n no divide a m, denotado n - m.

Decimos que un numero natural p N es primo, si p , 1 y sus unicos divisores sonp y 1, es decir, si su unico divisor propio es 1.

Decimos que un numero natural n N es producto de numeros primos, si n es primoo si existen numeros primos, no necesariamente distintos, p1, . . . , pr, tales quen = p1 p2 . . . pr.

T 3.9. Todo numero natural mayor que 1 posee una representacion como pro-ducto de numeros primos.

D. Consideremos el conjunto

N := {x N | y 6 x, y es producto de numeros primos, y = 1 y = 0}Vamos a mostrar que N = N. En efecto, es obvio que 0, 1 N. Sea ahora n N, n > 1,entonces y 6 n, y = 0 y = 1 y es producto de numeros primos. Consideremosentonces n, si n es primo, n N. Supongamos que n no es primo. Entonces existenq,m N, q , 1 , m, tales que n = m q, como m | n y q | n, por ejercicio 3.1.4,18),q < n, m < n, entonces q 6 n y m 6 n y como n N, resulta que ambos son productosde numeros primos, q = p1 p2 . . . pr, m = q1 q2 . . . qs. Por consiguiente n =p1 p2 . . . pr q1 q2 . . . qs es tambien producto de numeros primos por lo que n N,entonces por el principio de induccion N = N.

3.1.4. Ejercicios y Complementos.1. Si x, y N, mostrar que x + y = 0 x = 0 y = 0.2. Dado x N definimos 2x := x + x, para n > 2 definimos recursivamente nx :=

nx + x. Mostrar que nx = n x, x, n N.3. Dado x N definimos x0 := 1, para n > 0 definimos recursivamente xn := x xn.

Mostrar que x,m, n N, xn xm = xn+m y que (xn)m = xnm.4. Si x, y N, mostrar que x y = 1 x = 1 y = 1.5. Mostrar que para cada m, n N vale lo siguiente:

a) (m + n) = m + n

b) (m n) = m n + mc) (m n) = m + m n + n.d) m + n = (m + n) + 1e) m n = (m n) + (m + n).

6. Mostrar que para m, n, p, q N vale lo siguiente:


a) (m + n) (p + q) = (m p + m q) + (n p + n q)b) m (m + p) q = (m n) q + m (p q)c) m (n + p + q) = m n + m p + m q.

7. Mostrar que x+r = y+r x = y, x, y, r N. (Ley de cancelacion de la suma)8. Mostrar que n x = n y x = y, x N, n , 0 (Ley de cancelacion del

producto)9. Mostrar que x, y N, x 6 y y 6 x x = y.

10. Mostrar que x N, x x, es decir que < no es reflexiva.11. Mostrar que x, y N no pueden valer al mismo tiempo x < y y < x. Es decir

que < no es simetrica. Mostrar, ademas, que < es transitiva.12. Si m, n N y m 6 n, mostrar que entonces p N, m + p 6 n + p.13. Mostrar que si S := {x N | n < x < n, n N}, entonces S = .14. Sean m, n N. Mostrar que vale lo siguiente:

a) Si m = n, entonces k m > n, k N.b) Si k m = n, para algun k N, entonces m < n.

15. Mostrar que p | (n + m) p | n p | m.16. Mostrar que m, n N, m 6 m n n 6 m n.17. Mostrar que p | 0, p N.18. Mostrar que si p | n, n , 0, entonces p 6 n. Si p es divisor propio, entonces

p < n19. Mostrar que n,m N, n | m m | n n = m.20. Mostrar que todo subconjunto de N posee un elemento mas pequeno, es decir

que (N,6) esta bien ordenado.

3.2. Los Numeros Enteros

En esta seccion daremos una construccion formal de los numeros enteros a partir delos numeros naturales y demostraremos algunas de sus propiedades mas importantes, delas cuales haremos uso mas adelante.

3.2.1. Construccion, Propiedades Generales y Operaciones Algebraicas. Consi-deremos sobreN N la relacion definida por:(3.24) (n,m) (r, s): n + s = m + r

T 3.10. La relacion es una relacion de equivalncia sobre N N.

D.

1. es reflexiva: En efecto, (n,m) (n,m), ya que n + m = m + n, por la conmuta-tividad de la suma de numeros naturales.

2. es reflexiva: En efecto, si (n,m) (r, s), entonces n + s = m + r y por laconmutatividad de la suma de numeros naturales s + n = r + m, por consiguiente(r, s) (n,m).

3. es transitiva: En efecto, si (n,m) (r, s) (p, q), entonces se tiene:(3.25) n + s = m + r

(3.26) r + q = s + p

De (3.25) y (3.26) se obtiene(!):

(3.27) (n + s) + q = (m + s) + p

3.2. LOS NUMEROS ENTEROS 41

entonces por ejercicio 3.1.4,7), resulta

(3.28) m + q = n + p

Por consiguiente (n,m) (p, q).

Por [n,m] denotaremos la clase de equivalencia del elemento (n,m) y definimos

Z := (N N)/ := {[n,m] | (n,m) N N}como el conjunto de los numeros enteros. Un numero entero es entonces una clase deequivalencia [n,m].

De la definicion de resulta entonces [0, 0] = [n, n], n N, la clase[n, 0] = [n + k, k], n, k N y la clase [0, n] = [k, n + k], n, k N.

As, por ejemplo: [5, 2] es de la forma [n + k, k], donde k = 2, n = 3 y es, entonces,igual a la clase [3, 0] y la clase [6, 8] es de la forma [k, n + k], donde k = 6, n = 2 y es,entonces, igual a la clase [0, 2]. En general toda clase [n,m] puede ser identificada conuna clase de la forma [l, 0] o de la forma [0, k]. Si n < m, entonces, de la definicion de


3. + es conmutativa4. [n, n] = [0, 0] es elemento neutro de + en Z. Ademas, si [x, y] + [n,m] = [n,m], [n,m] Z, entonces [x, y] = [0, 0]. Es decir que el elemento neutro es unico.

5. [n,m] es simetrico o inverso respecto de + de [m, n].

La demostracion se deduce de forma inmediata de las propiedades de la suma denumeros naturales y la dejamos al lector como un ejercicio. (ver 3.2.2,1))

C 3.13. (Z,+) es un grupo abeliano.

Dado un numero entero := [n,m], al numero [m, n], su inverso adivito, lo denotare-mos por . Vamos a definir la substraccion o resta de dos enteros , como(3.36) := + ()

3.2.1.2. Producto de Enteros. Al igual que en N podemos definir sobre Z otra ope-racion binaria : Z Z Z, que llamaremos producto o multiplicacion de enteros, pormedio de:

(3.37) [n,m] [p, q] := [n p + m q, n q + m p]De nuevo las operaciones en los corchetes son la suma y producto de numeros naturales.

T 3.14. : Z Z Z esta bien definida.

D. Utilizando la notacion del teorema 3.11, tenemos que mostrar que

(3.38) (n p + m q) + (n q + m p) = (n q + m p) + (n p + m q)En efecto, consideremos la siguiente igualdad:

(n + m)(p + p) + (n + m) (q + q) + (p + q) (n + n) + (q + p) (m + m) =2(n p + m p + m q + n q) + n p + m p + n q + m q + p n + q n + q m + p m

(3.39)

Por (3.30) y (3.31) se tiene

(n + m)(p + p) + (n + m) (q + q) + (p + q) (n + n) + (q + p) (m + m) =(m + n)(p + p) + (m + n) (q + q) + (q + p) (n + n) + (p + q) (m + m) =

2(n q + n p + m p + m q) + n p + m p + n q + m q + p n + q n + q m + p m

(3.40)

De (3.39) y (3.40) y utilizando las leyes de cancelacion de los ejercicios 3.1.4,7) y 3.1.4,8)se obtiene

(3.41) n p + m p + m q + n q = n q + n p + m p + m qreordenando los terminos en la ecuacion (3.41), se obtiene la ecuacion (3.38).

T 3.15. : Z Z Z posee las siguientes propiedades:1. es cerrada en Z2. es asociativa3. es conmutativa4. [1, 0] es elemento neutro en Z de . Ademas si [n,m] [x, y] = [n,m],m, [n,m] Z, entonces [x, y] = [1, 0]. Es decir que el elemento neutro respectode es unico.

5. es distributiva respecto de +


D. Unicamente demostraremos la asociatividad, dejando como ejerciciola demostracion de las demas propiedades. En efecto

[n,m] ([p, q] [r, s]) = [n,m] [p r + q s, p s + q r]= [n (p r + q s) + m (p s + q r), n (p s + q r) + m (p r q s)]= [(n p + m q) r + (n q + m p) s, (n p + m q) s + (n q + m p)r]= ([n p + m q, n q + m p]) [r, s]= ([n,m] [p, q]) [r, s]

Del corolario 3.13 y del teorema3.15 se obtiene el siguiente corolario:

C 3.16. (Z,+, ) es un anillo conmutativo con unidad.

Dado un numero entero := [n,m], por la ley de tricotoma de N, vale una y solouna de las siguientes aserciones: n < m, m < n, m = n. Por consiguiente todo numeroentero esta, exclusivamente, en una unica clase [l, 0], [0, k] o [0, 0]. A los elementos delsubconjunto de Z, Z+ := {[n, 0] | n , 0} los llamaremos los enteros positivos y a Z+el subconjunto de los enteros positivos. A los elemenos del subconjunto de Z, Z :={[0, n] | n , 0} los llamaremos los enteros negativos y Z el subconjunto de los enterosnegativos. Entonces, si 0 := {[0, 0]}, la familia Z := {0,Z+,Z} es una particion de Z. Porconsiguiente, dado un numero entero , vale que, este es positivo, negativo o 0, de formaexclusiva.

Por medio de la aplicacion inyectiva i : N Z, definida por i(n) := [n, 0], n N,podemos identificar al conjunto N con el subconjunto {[n, 0] | n N} de Z. De este modoidentificaremos al numero natural n, con el entero [n, 0]. Por otra parte si Z, por loanteriormente expuesto, esta en uno y solo uno de los tres conjuntos que integran Z , si Z+, = [l, 0] para un unico l N e identificaremos a con el natural l. Si Z,entonces = [0, k] para un unico k N e identificaremos a con k := [0, k]. Si 0,identificaremos a con el 0 N.

3.2.2. Ejercicios y Complementos.1. Completar la demostracion del teorema 3.12.2. Completar la demostracion del teorema 3.15.3. Mostrar que Z+ y Z son cerrados respecto de +.4. Mostrar que Z+ es cerrado respecto del producto .5. Mostrar que ( + ) = + ()6. Mostrar que [n, 0] [0,m] = [0, n m], es decir el producto de un numero positivo

con uno negativo es siempre negativo.7. Mostrar que () = , Z.8. Mostrar que () () = , () = ( ), , Z.9. Mostrar que [0, n] [0,m] = [n m, 0], es decir que el producto de dos numeros

negativos es positivo.10. Mostrar que [n,m] Z+ Ssi n > m.11. Mostrar que := [n,m] Z Ssi n < m12. Mostrar que := [n,m] Z+ = [m, n] Z, Z.13. La Relacion 6 sobre Z. Dados [n,m], [p, q] Z, diremos que [n,m] 6 [p, q] Ssi:

existe un entero [a, b] Z {0}, tal que [p, q] = [n,m] + [a, b]. Mostrar que 6 esuna relacion de orden sobre Z y que [n,m] Z, [n,m] 6 [0, 0].


14. Probar que la relacion 0, entonces = [k, 0] y si m = n + l, l > 0, entonces = [0, l1], donde l1 es tal que l = l1.

16. Mostrar que < , Z.17. Mostrar que 6 6 , Z.18. Mostrar que < , Z, Z+ {0}.19. Mostrar que si 6 y Z, entonces + 6 + . Mostrar tambien que si

Z+, entonces 6 . Mientras que si Z, entonces 6 .20. Decimos que es predecesor de , donde , Z, si = . A diferencia de

los naturales, mostrar que todo numero entero es predecesor de otro y que todonumero entero es sucesor de otro.

3.2.3. Valor absoluto y Algoritmo Euclideano.

O. Por abuso de notacion y con la finalidad de simplificarla, en lo sucesivoescribiremos en lugar de . De forma analoga para el producto en N.

3.2.3.1. Valor Absoluto.

D 3.3. Dado Z, definimos

(3.42) || :={ si Z+ {0} si Z

|| lo llamamos el valor absoluto de .Entonces | | es una aplicacion | | : Z N. Si = [n, 0], || = n. Para = [0, n], =

[n, 0] y || = n.T 3.17. | | : Z N posee las siguientes propiedades

1. Z(3.43) 6 ||

2. , Z(3.44) || = ||||

3. , Z(3.45) | + | 6 || + ||

4. Si Z+, entonces(3.46) || 6 6 6

D.

1. La desigualdad (3.43) resulta inmediata del ejercicio 3.2.2,18.2. Para mostrar la igualdad (3.44) consideremos tres casos:

a) , Z+ {0}. Entonces || = , || = y Z+ {0}, por consiguiente = || de donde resulta la igualdad (3.44).

b) , Z. Entonces, por ejercicio 3.2.2,9), Z+ y || = . Por otraparte || = , || = y || = ()() = , por ejercicio 3.2.2,8). Porconsiguiente vale la igualdad (3.44).

c) Z, Z+. Entonces Z y || = () = ()() = ||||.


3. Para mostrar la desigualdad (3.45) consideremos los casos siguientes:a) , Z+ {0}. Entonces, por ejercicio 3.2.2,3), ( + ) Z+ {0} y| + | = + = || + ||.

b) , Z. Entonces, por ejercicio 3.2.2,3), (+) Z y |+| = (+) = + () = || + ||.

c) Z+ {0}, Z. Entonces se dan dos casos:i) ( + ) Z. entonces | + | = ( + ) = + || < || + ||.

ii) ( + ) Z+. Entonces | + | = ( + ) = || + < || + ||.4. Sea Z+, y supongamos que vale 6 6 . Si Z+ {0}, entonces|| = 6 . Si Z, entonces || = y 6 6 , por consiguiente|| 6 .

Supongamos ahora que || 6 . Si Z+ {0}, entonces, como Z+, Z y, por ejercicio 3.2.2,18, 6 = || 6 . Si Z, entonces|| = 6 y, por ejercicio 3.2.2,17), 6 6 6 .

3.2.3.2. Algortmo Euclideano para Enteros. En analoga a los numeros naturales,tambien existe un algoritmo euclideano de la division para los enteros.

T 3.18. Dados dos numeros enteros , distintos de 0, existen un unico q Zy un unico r Z, 0 6 r < ||, tales que(3.47) = q + r

q se llama el cociente de por y r el resto.

D. Sean , dos enteros cualesquiera distintos de 0 y consideremos lossiguientes conjuntos:

Z := {x Z | x > 0}, R := {y | y := x, x Z}Vamos a mostrar, primeramente, que Z , . En efecto, supongamos Z, entonces 6 1 y por 3.2.2,19), || 6 || 6 , entonces || > 0, y || Z. Si > 0,entonces > 1 y por 3.2.2,19), > || > (||), entonces 0 6 (||) y || Z.Por consiguiente, Z , en cualquier caso. Entonces R , y es un subconjunto de N,ya que sus elementos son enteros positivos. Entonces, como N esta bien ordenado, (verejercicio 3.1.4,20), R posee un elemento mas pequeno r. Sea q Z, tal que r = q.Obviamente 0 6 r. Vamos a mostrar que r < ||. Supongamos que r > ||, entonces, si Z tendramos q > || = y r1 := (q 1) > 0, por lo que r1 R,pero r r1 = = || > 0, lo que implicara que r1 < r, en contradiccion a que r es elelemento mas pequeno de R. En el caso en que > 0, por un razonamiento analogo, seobtiene r r1 = > 0 y nuevamente tendramos r1 < r. Por consiguiente, en cualquiercaso, r < ||.

Unicidad de q y r: Supongamos que existen q1 , q y r1 , r que satisface tambien laigualdad (3.47), y 0 6 r1 < ||. De las desigualdades

r < ||(3.48)r1 < ||(3.49)

Se obtienen las desigualdades

r r1 < ||(3.50)r1 r < ||(3.51)


Las cuales implican

(3.52) || < r r1 < ||y por teorema 3.17, inecuacion (3.46)

(3.53) |r r1| < ||Por otra parte se tienen las igualdades

(3.54) = q + r = q1 + r1

De donde se obtiene

(3.55) (q1 q) = (r r1)de la igualdad (3.55) resulta que || | |r r1|, en contradiccion a la desigualdad (3.53). Porconsiguiente r r1 = 0 y por la igualdad (3.55), tambien q q1 = 0.

En forma analoga que en N, si r = 0 en la igualdad (3.47), entonces se dice que divide a , denotado | . Decimos que d Z es un divisor comun de y , si d | yd | . En tal caso , existen enteros 1, 1, tales que

= d1, = d1

Dados dos enteros , y d un divisor comun, entonces, por el algortmo euclideano,se tiene

= q + r, 0 6 r < ||como d | y d | , por ejercicio 15, d | r.

O. El lector podra verificar facilmente que pasando a valores absolutos laspropiedades de los divisores en Z son las mismas que enN.

Supongamos que d > 0 es un divisor comun de , y supongamos que > . Consi-deremos las siguientes igualdades

(3.56) = q + r

(3.57) = q1r + r1

(3.58) r = q2r1 + r2

Si asumimos, por ejemplo, que r2 = 0, notese que entonces r1 es un divisor comun de y , y que d | r1, por lo que r1 > d.

Bajo nuestra suposicion de que r2 = 0, entonces, de las igualdades (3.57) y (3.56),resulta

(3.59) r1 = q1r = q1( q) = + donde := q1 Z y := (1 + qq1) Z.

Decimos que d es maximo comun divisor , (MCD), de , , denotado d = (, ), si des divisor comun de , y dado otro divisor comun d, entonces d | d.

Notese que, r1, obtenido en la igualdad (3.57), es, en este caso, el MCD de , . Si r2,no fuera 0 en la igualdad (3.58), continuamos aplicando el algoritmo euclideano a r1, r2,si el resto r3 obtenido no fuera 0, continuamos aplicando el algoritmo a r2, r3 y as suce-sivamente. Como los restos van decreciendo y son mayores o iguales a 0, al cabo de unnumero finito de pasos se obtiene, digamos rn = 0, entonces rn1 es el MCD de , . Ellector comprobara, facilmente, que si d es un divisor comun de , , d divide a todos los


restos ri, i = 1, . . . , n1, por lo que d | rn1, por otra parte, rn1 | rn2, rn1 | rn3, . . . , rn1 |r, rn1 | , rn1 | .

El siguiente teorema resume estos resultados.

T 3.19. Dados dos numeros enteros distintos de 0, , , > , entonces elmaximo comun divisor de estos es igual a rn1, donde rn1 es el resto de aplicar el algo-ritmo euclideano a los restos rn3, rn2 y el resto rn de aplicar el algoritmo euclideano arn2, rn1 es igual a 0.

Por otra parte, si d = (, ), entonces existen , Z, tales que(3.60) d = +

D. Ya vimos que si n = 2, r1 es, en efecto, el MCD de , y que exis-ten enteros , , tales que la igualdad (3.60) se satisface. Supongamos, por hipotesis deinduccion, que el teorema sea verdadero para n 1 > 2 y mostremos que vale para n. Su-pongamos, pues, que en el proceo de aplicar sucesivamente el algoritmo euclideano a , y sus restos respectivos, rn = 0. Si r es el resto de aplicar el algoritmo euclideano a , ,partamos entonces aplicando el algoritmo euclideano a , r. Por hipotesis de induccion rn1es entonces el MCD de y r. Entonces, como = q + r resulta que rn1 | y si d esdivisor comun de , , d | rn1. Por lo que rn1 es MCD de , .

En forma analoga, por hipotesis de induccion, para , r, existen enteros , 1, tales que

(3.61) rn1 = 1 + r

entonces, como

(3.62) r = qde (3.61) y (3.62), se obtiene

(3.63) rn1 = 1 + ( q) = + donde := (1 q).

Decimos que dos numeros enteros , son primos relativos si 1 = (, ), es decir quesu unico divisor comun es 1.

Con la ayuda de la igualdad (3.60), estamos ahora en condiciones de demostrar ciertaspropiedades de la divisibilidad de numeros enteros.

T 3.20. Sean , , , tres numeros enteros. Si 1 = (, ) y | , entonces |

D. En efecto, si 1 = (, ), entonces por teorema 3.19, existen enteros, , tales que

(3.64) 1 = +

multiplicando la igualdad (3.64) por , obtenemos

(3.65) = +

entonces | , ya que ambos sumandos de la igualdad (3.65) son divisibles por .

En el caso en que p es un numero primo y p | entonces se obtiene el siguiente

T 3.21. Si p es un numero primo que divide al producto de dos numeros enteros, entonces p | o p | .

D. En efecto, como p es un numero primo y p - , entonces 1 = (, p) ypor el teorema precedente p | . De forma analoga si p - , resulta que p | .


C 3.22. Sean p1, p2, p tres numeros primos. Entonces,

(3.66) p | p1 p2 p = p1 p = p2D. Inmediato del teoema 3.21.

El siguiente teorema es de suma importancia en la teora de numeros enteros:

T 3.23. Todo numero entero posee una representacion unica, salvo orden desus factores, en factores primos no necesariamente distintos.

D. En el teorema 3.9, mostramos que todo numero natural posee una des-composicion en factores primos. Entonces si > 0 se descompone como producto denumeros primos. Si < 0, entonces > 0 y si = p1 p2 pn, donde p1, p2 . . . pnson numeros primos, entonces = p1 p2 pn. Mostremos entonces la unicidad. Su-pongamos que = p1 p2 pn y = q1q2 qm. Entonces, cada qi, i = 1, . . . ,m y cadap j, j = 1, . . . , n, dividen a . As pues, p j | (q1q2 qm). Por corolario precedente, sip j - q1, entonces p j | (q2q3 qm). Si p j - q2, entonces p j | (q3q4 qm) y as sucesiva-mente, hasta llegar a un qi, tal que p j | qi. Entonces, por corolario 3.22, p j = qi. Entoncessi p j se repite r veces, qi solo puede repetirse r veces.

Una forma mas practica de encontrar el MCD es la descomposicion en factores primos,conocida en la escuela secundaria, en particular cuando se trata de varios numeros. Sinembargo, desde el punto de vista teorico, el algoritmo euclideano nos permite deducirpropiedades del MCD que no son deducibles de la descomposicion en factores primos,como la igualdad (3.60), de la cual nos serviremos mas adelante en la teora de grupos.

E 3.1.

1. Dados los numeros enteros := 120, := 7, vamos a dar q y 0 6 r < , talesque = q + r. 120 = 17 7 + 1, q = 17, r = 1.

2. := 15, := 7, entonces 15 = t (3) + 6, q = 3, r = 63. Consideremos los numeros 430 y 120. Usaremos el algoritmo euclideano para

encontrar su MCD.

430 = 120 3 + 70120 = 70 + 50

70 = 50 + 2050 = 20 2 + 1020 = 10 2

Entonces (430,120)=104. En el ejemplo precedente, encontrar , Z, tales que 430+ 120 = 10. Como

podemos observar r3 = 10, entonces

r3 = r1 r2q3r2 = r r1q2r1 = rq1r = = q

Por substituciones sucesivas se obtiene

r3 = (q1 q3 q3q2) + (1 + qq1 + qq3 + q2q3 + qq1q2q3)

3.3. LOS NUMEROS RACIONALES 49

Lo que nos da entonces = 5 y = 18

D 3.4 (La Funcion de Euler). La funcion : Z+ N, definida por

(3.67) (1) := 1

(3.68)n > 1 (n) := numero de enteros positivos menores que n relativamente primos con n

Si p es un numero primo, (p) = p 1. Si n = 10, (10) = 3, ya que los enterospositivos menores que 10 y relativamente primos con 10, son {1, 3, 7}. no es creciente nidecreciente, pues, por ejemplo, (8) = 4, pues los numeros enteros positivos, menores que8 y relativamente primos con 8, son {1, 3, 5, 7}.

3.2.4. Ejercicios y Complementos.

1. Mostrar que , Z, vale la desigualdad

(3.69) ||| ||| 6 | |

2. Encontrar el MCD de los siguientes numeros enteros y dar , , para expresarlocomo combinacion de estos.

a) := 237, := 81b) := 470, := 15c) := 616, := 427

3. Expresar los siguientes numeros enteros como producto de numeros primos:a) := 19500b) := 35680

4. Mostrar que si | , entonces | , | , | , || | ||.5. Si , 0, Mostrar que (, ) = ||(, )6. Mostrar que si | , | y 1 = (, ), entonces | .7. Mostrar que si = d1 y si | 1, entonces d | .8. Decimos que es el mnimo comun multiplo, (mcm), de , , denotado [, ], si

| , | y si es tal que | y | , entonces | . Encontrar, por medio dedescomposicion en numeros primos:

a) [25, 30]b) [23, 715]c) [7, 23]

9. Sea n Z+ y Zn := {x Z+ | x < n y (x, n) = 1}. Mostrar quem, s Zn, (ms, n) = 1.

10. Dar Zn, para n {2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 16, 20, 24}.11. Mostrar que sobre el conjunto de los numeros primos la funcion de Euler es

estrictamente creciente.

3.3. Los Numeros Racionales

En esta seccion daremos una construccion de los numeros racionales a partir de losnumeros enteros.

3.3.1. Construccion, Propiedades Generales, Operaciones Algebraicas.


3.3.1.1. Construccion de los Numeros Racionales. Consideremos sobreZ(Z\{0})la relacion , definida de la siguiente forma:(3.70) (, ) (, ): =

T 3.24. es una relacion de equivalencia sobre Z Z \ {0}

D.

1. es reflexiva. En efecto (, ) (, ), ya que = 2. es simetrica. Si (, ) (, ), entonces = , lo que implica tambien que

(, ) (, ).3. es transitiva. Si (, ) (, ) (, ), entonces se tienen las igualdades

=

=

Multiplicando ambas igualdades, obtenemos

=

()() = ()()

Entonces por la ley de cancelacion, 3.1.4,8), se obtiene

=

Por consiguiente (, ) (, )

D 3.5. Al conjunto de las clases de equivalencia Q := Z (Z \ {0})/ , lollamamos el conjunto de los numeros racionales. La clase de (, ) se suele representar por

y la llamamos el numero racional de numerador y denumerador .

O 3.1. Notese que si = d1, = d1, entonces (, ) (1, 1), ya que(3.71) 1 = 1d1 = 1

En particular, para d := 1, se obtiene que

= . Entonces todo numero racional posee

una unica representacion por

, donde 1 = (, ) y Z+, llamada la representacion

canonica.(ver ejercicio 3.3.2,5)).

Por ejemplo2530

=56

.

Consideremos la aplicacion i : Z Q, definida por i() := 1

. i es inyectiva, pues

1=

1 = . Entonces i mapea, de forma natural, Z con el subconjunto de todas las

clases de la forma

1, por lo que podemos considerar a Z como un subconjunto de Q.

3.3.1.2. Suma de Numeros Racionales. Dados dos numeros racionales

,

se de-

fine:

(3.72)

+

:=

+


T 3.25. La operacion + es una operacion binaria cerrada + : Q Q Q yesta bien definida. Es decir no depende de los representantes escogidos. + se denomina lasuma o adicion de numeros racionales.

D. En efecto,

+

:=

+

Q, por consiguiente + : Q Q Q.

Supongamos que11,11

, son otros representantes de

,

, entonces tenemos las igual-

dades

1 = 1

1 = 1

Debemos mostrar que

(3.73) +

=11 + 11

11

En efecto

( + )11 = 11 + 11= 11 + 11

= (11 + 11)

Lo que muestra la igualdad (3.73). Por consiguiente + esta bien definida.

En el siguiente teorema enumeraremos algunas de las propiedades principales de lasuma de racionales.

T 3.26. + : Q Q Q posee las siguientes propiedades:1. + es asociativa, es decir x, y, z Q vale

(3.74) x + (y + z) = (x + y) + z

2. + es conmutativa, es decir x, y Q vale(3.75) x + y = y + x

3.01

es elemento neutro de +, y lo identificaremos con 0.

4.

:=

=

es simetrico o inverso aditivo de

La demostracion del teorema 3.26 la dejamos al lector como ejercicio.Dados dos racionales

,

, definimos

:=

+ (

)

Como una consecuencia inmediata del teorema 3.26, se obtiene el siguiente

C 3.27. (Q,+) forma un grupo abeliano.

3.3.1.3. Producto de Numeros Racionales. Dados dos numeros racionales

,

se

define:

(3.76)

:=

T 3.28. La operacion es una operacion binaria cerrada : Q Q Q yesta bien definida. Es decir que no depende del representante escogido.


D. En efecto

:=

Q.

Supongamos que11,11

, son otros representantes de

,

, entonces tenemos las

igualdades

1 = 1

1 = 1

Debemos mostrar que

(3.77) 11 = 11

En efecto

(3.78) 11 = 11 = 11 = 11

Por consiguiente

=1111

T 3.29. : Q Q Q posee las siguientes propiedades:1. es asociativa, es decir

(3.79) x (y z) = (x y) z, x, y, z Q2. es conmutativa, es decir

(3.80) x y = y x, x, y Q

3. La clase11

es elemento neutro de en Q y lo identificaremos con 1.

4. Si

, 0, entonces la clase

es inverso o simetrico de

.

5. es distributiva respecto de +, es decir(3.81) (x + y) z = x z + y z, y x (y + z) = x y + x z, x, y, z Q

La demostracion de este teorema le queda al lector como ejercicio.De forma inmediata se obtiene el siguiente

C 3.30.

1. (Q \ {0}, ) es un grupo abeliano.2. (Q,+, ) es un campo, llamado el campo de los numeros racionales.

3.3.2. Ejercicios y Complementos.1. Mostrar los teoremas 3.26 y 3.29.

2. Mostrar que

esta en la clase de

01

Ssi = 0.

3. Dar representacion canonica de las siguientes fracciones:

a)2540

.

b)3450 .

c)125340 .

4. Mostrar que si

= 0, entonces

= 0 o

= 0.

5. Mostrar que la representacion canonica de un numero racional es unica.


6. La siguiente definicion asume que la fraccion esta expresada con denominadorpositivo. Diremos que

6

Ssi 6 . Mostrar que 6 es una relacion de

orden sobre Q. Si,

6

, entonces diremos que

es menor o igual que

.

Diremos que

>

Ssi

6

7. En forma analoga al ejercicio precedente, definimos

Ssi

0. (No olvidar

que Z+).12. Mostrar que en Q se satisface la ley de tricotoma y que todo racional se encuen-

tra en uno y solo uno de los siguientes conjuntos:

0 := {0} Q+ :={

Q |

> 0

}Q :=

{

Q |

< 0

}13. dado

Q, definimos

:=

si

> 0

si

< 0.

Mostrar que | | es una funcion | | : Q Q+ {0}14. Mostrar que | | cumple con (3.43), (3.44),(3.45),(3.46), del teorema 3.17, as co-

mo la desigualdad (3.69) de la serie de ejercicios 3.2.4.

CAPTULO 4

INTRODUCCION A LA TEORIA DE GRUPOS

4.1. Resena Historica

La teora de grupos ha alcanzado un gran desarrollo y aplicacion en diferentes ramasde las matematicas, como en la topologa, topologa algebraica. geometra, geometra dife-rencial y algebraica, as como en la fsica moderna, la qumica y la cristalografa. Tambienen la teora musical se han encontrado aplicaciones de la teora de grupos.

Ya en su artculo Reflexions sur la resolution algebrique des equations , publicadoen 1770, Joseph Lagrange, (figura 4.1), estudia las propiedades de las permutaciones, enparticular de las permutaciones entre las raices de un polinomio, introduciendo, por primeravez, smbolos para dichas raices y estudiandolas en abstracto. Sin embargo no es hasta1899 que el matematico italiano Paolo Ruffini, (figura 4.2) desarrolla la teora de gruposde permutaciones. Sin embargo es el matematico frances Evariste Galois1, quien en 1832descubre la propiedad de cerradura en los grupos de permutaciones.

F 4.1. Joseph Lagrange

Los matematicos franceses Augustin Cauchy y Camille Jordan, (figura 4.3), continua-ron con el desarrollo de los grupos de permutaciones. Entre otras cosas, Jordan da unadefinicion de la nocion de isomorfismo, siempre en el marco de las permutaciones y a el sedebe la amplia difusion del termino grupo.

Sin embargo, la nocion abstracta de grupo aparece, por primera vez, en los trabajosde Arthur Cayley, en 1854. Cayley descubre que no solamente existen grupos de permuta-ciones, sino que tambien las matrices invertibles, con el producto usual de matrices, cons-tituyen un grupo y muestra, sin embargo, que todo grupo es isomorfo a un subgrupo de

1Galois murio a los 21 anos a consecuencia de un duelo, sus trabajos no fueron publicados hasta 1846,despues de su muerte.

55

56 4. INTRODUCCION A LA TEORIA DE GRUPOS

F 4.2. Paolo Ruffini

permutaciones. Sin embargo la definicion de grupo, como se conoce actualmente, es debi-da al matematico Walther von Dyck (1882). Si bien el matematico noruego Niels HenrikAbel, logro demostrar que la ecuacion general polinomica de grado 5 no es soluble pormedio de un proceso de radicacion, es Evariste Galois, quien aplicando la teora de grupos,asocia un grupo a la ecuacion, llamado actualmente el grupo de Galois y logra demostrarque la ecuacion general de grado n > 5 no es soluble por radicacion y relaciona la solubili-dad, por radicacion, de una determinada ecuacion, con la solubilidad de su grupo de Galoiscorrespondiente.

F 4.3. Camille Jordan

Posteriormente el matematico aleman Felix Klein, en su Erlangen Programm (1872),da una serie de aplicaciones de la teora de grupos a la geometra, introduciendo los gruposde simetra de figuras geometricas. En el ambito de la geometra diferencial Sophus Lieintroduce grupos en los cuales la operacion binaria es diferenciable, as como la aplicacionque a cada elemento le asigna su inversa, llamados grupos de Lie.

En la teora de numeros existen ya, con Friedrich Gauss, los primeros pasos que con-llevaran mas adelante la aplicacion de la teora de grupos. Gauss descubre la propiedad deasociatividad en el estudio de la estructura multiplicativa de los grupos residuales modulon, en parte ya estudiados por Leonhard Euler. En particular, en esta area son importanteslos trabajos de los matematicos alemanes Leopold Kronecker y Ernst Kummer.

4.2. DEFINICION Y POPIEDADES GENERALES 57

F 4.4. Felix Klein

En lo que concierne la clasificacion de grupos finitos juega un papel muy importanteel matematico noruego Ludwig Mejdell Sylow.

El objetivo principal de la teora de grupos, es lograr una clasificacion de los mismosen clases de isomorfa, en particular de grupos bien conocidos, que serviran de modelo.Desde el punto de vista de la teora de grupos, dos grupos isomorfos poseen exactamentelas mismas propiedades algebraicas, sin importar cuales son sus elementos especficos.

4.2. Definicion y Popiedades Generales

Como vimos en el captulo precedente un grupo es una estructura algebraica (G, ),que satisface las condiciones siguientes:

1. es una operacion binaria interna, cerrada y asociativa.2. G posee un elemento neutro e respecto de .3. x G, x1 G, tal que x x1 = e = x1 x. x1 se llama el inverso o

simetrico de x respecto de .Si ademas la operacion es conmutaiva, entonces se dice que (G, ) es un grupo abeliano.

F 4.5. Niels Abel


O. Por abuso de lenguaje y de notacion y con el fin de facilitar la escritura,denotaremos, en adelante, por G al grupo (G, ). Por denotaremos, salvo casos particulares,la operacion binaria de cualquier grupo. Igualmente escribiremos xy en lugar de x y. Enel caso de los grupos abelianos denotaremos la operacion por +, salvo casos particulares,su elemento neutro por 0, y el simetrico de un elemento x por x

E 4.1.

1. Sea S := {1, 2, . . . , n}, G := { : S S | es una biyeccion}. (G, ), donde es la composicion de aplicaciones, es un grupo. En efecto es cerrada sobreG, ya que si y son biyecciones, tambien es una biyeccion. Si 1S es labiyeccion identidad, definida por 1S (x) := x, x S , entonces 1S = 1S =, G, por lo que 1S es el elemento neutro de G. Si G , entoncesla aplicacion inversa 1 es tambien biyeccion sobre S , por lo que 1 G y 1 = 1 = 1S , por consiguiente cada elemento de G posee un inversoen G respecto de . es asociativa: en efecto dadas cualesquiera , , G,( ( ))(x) = (( )(x)) = (((x))) = ( )((x)) = (( ) )(x), x S , por consiguiente ( ) = ( ) , , , G. Como el lectorcomprobara facilmente, en general , , por lo que no es conmutativa.

2. Sea G el conjunto de las matrices 2 2 de la forma A :=(a 00 a1

), donde

a R. a , 0. Entonces con el producto usual de matrices , (G, ) es un gru-po abeliano. En efecto, del algebra lineal sabemos que el producto de matrices

es asociativo, la matriz identidad I :=(1 00 1

) G es el elemento neutro y dada

A :=(a 00 a1

) G, A1 :=

(a1 00 a

) G es su inversa. El lector comprobara fa-

cilmente que (G, ) es abeliano.3. En general, si G es el conjunto de todas las matrices diagonales n n reales

(complejas), de la forma

D :=

a1 0 . . . 00 a2 0 0...

.... . .

...0 0 . . . an

tales que a1 a2 . . . an , 0, entonces (G, ), donde es el producto usual dematrices, es un grupo abeliano, cuyo elemento neutro es la matriz identidad

I :=

1 0 . . . 00 1 0 0...

.... . .

...0 0 . . . 1

y para cada matriz D de la forma arriba indicada

D1 :=

a11 0 . . . 00 a12 0 0...

.... . .

...0 0 . . . a1n


es la matriz inversa.

T 4.1. En todo grupo G el elemento neutro es unico y cada elemento x Gposee un unico inverso. Por otra parte la ecuacion:

(4.1) ax = b

posee una solucion unica en G.

D. En efecto, supongamos que e, e G sean elementos neutros, enton-ces e = ee = e.Por otra parte si x1, x1 G son elementos inversos de x, entonces x1 = ex1 =(x1x)x1 = x1(xx1) = x1e = x1.

Si x G, satisface la ecuacion (4.1) para dos elementos fijos a, b G, entonces, mul-tiplicando, por la izquierda, ambos miembros de la ecuacion por a1 obtenemos a1(ax) =(a1a)x = ex = x = a1b, y por la unicidad de a1, x es unico.

4.2.1. Ejercicios y Complementos.1. Mostrar que la ecuacion:

(4.2) xa = b

tambien posee solucion unica en un grupo G.2. Mostrar que si G es un grupo, g G, (g1)1 = g y g, h G, (gh)1 = h1g1.3. Mostrar que en un grupo G, si gh = gk o hg = kg, entonces h = k (ley de

cancelacion).4. Dado un grupo G, y g G, definimos la siguiente notacion: a0 := e, a1 :=

a, a2 := aa, a3 = aa2, . . . , ak := aak1 y a2 := (a1)2, . . . , ak := (a1)k. Enel caso, de un grupo abeliano, donde, por conveniencia, hemos decidido denotarpor la adicion + la operacion binaria, se interpretara ak := ka := a + a + . . . + a

k

,

a0 := 0a := 0 y ak := ka := (a) + (a) + . . . + (a) k

. Mostrar que, para

cualesquier m, n Z valen las igualdades:(4.3) aman = am+n

(4.4) (am)n = amn

5. Sea S un conjunto no vaco y A (S ) := { | : S S , es una aplicacion biyectiva}.Mostrar que (A (S ), ), donde es la composicion de aplicaciones, es un grupo.En particular, si S es un conjunto finito de n > 1 elementos, los elementos deA (S ) se llaman permutaciones. Denotaremos, en este caso, por Sn al grupo depermutaciones de un conjunto de n elementos.

6. Sea G un grupo y g G un elemento, tal que ag = a, es decir un inverso por laderecha de a, mostrar que entonces g = a1. Igualmente mostrar que si ha = a,inverso por la izquierda, entonces h = a1.

7. Mostrar que si en un grupo G, existe un elemento g G, tal que a G, ag = ao ga = a, entonces g = e.

8. Sea (G, ) un grupo. Decimos que H G es un subgrupo de G si (H, ) es ungrupo. Si la contencion es propia, diremos que H es un subgrupo propio de G.Mostrar que H := {1, 1} es un subgrupo propio del grupo multiplicativo, (conel producto usual de numeros complejos), G := {1,1, i,i}.


9. Si H es un subgrupo del grupo G, mostrar que si y H, entoncesxy H x H.

10. Mostrar que H G es un subgrupo Ssi H es cerrado respecto de yx1 H, x H.

11. Mostrar que si H,K son subgrupos de G, entonces K H es un subgrupo de G.12. Sea O(n) := {A GL(n) | A1 = At}, donde GL(n) es el grupo lineal de las

matrices invertibles reales n n introducido en el ejemplo 2.3, 6). Mostrar que(O(n), ), donde es el producto usual de matrices, es un subgrupo de GL(n),llamado el grupo de matrices ortogonales reales. Mostrar, ademas, que S O(n) :={A O(n) | det A = 1} es un subgrupo de O(n), llamado el grupo especial dematrices ortogonales.

13. Sea S L(n) := {A Gl(n) | det A = 1}. Mostrar que S L(n) es un subgrupo deGL(n), llamado el subgrupo lineal especial.

14. Sea BL(n) := {A GL(n) | ai j = 0, si i > j}. Mostrar que BL(n) es un subgrupode GL(n), llamado el subgrupo de Borel de GL(n).

15. Sea S B(n) := {A BL(n) | det A = 1}. Mostrar que S B(n) es un subgrupo deBL(n) llamado el subgrupo de Borel especial.

16. Sean G,K subgrupos de G. Mostrar que H K es un subgrupo de G. Dar unejemplo en el que se muestre que, en general, H K no es un subgrupo.

17. Sea H una familia de subgrupos de G. Mostrar que entoncesHH

H

es un subgrupo de G.

4.2.2. Conjunto de Generadores y Grupos Cclicos. Dados un grupo G y un sub-conjunto S G, decimos que S es un conjunto de generadores de G, o que S genera algrupo G, si todo elemento de G es producto de elementos de S y sus inversos. En tal casoescribiremos G = S . Si G es generado por un unico elemento g G, entonces diremosque G es un grupo cclico, en tal caso escribiremos G = g. Si S es un conjunto finito yG = S , entonces diremos que G es un grupo finitamente generado.

E 4.2.

1. El grupo (Z,+) es un grupo cclico, generado por 1 Z.2. El grupo (Z2,+) es un grupo generado por dos elementos {(1, 0), (0, 1)}3. Los grupos (Q,+) y (R,+) no poseen un numero finito de generadores.

Llamaremos orden de un grupo G, denotado (G), al numero de elementos del con-junto G. Si G es un conjunto infinito, entonces diremos que su orden es infinito.

T 4.2. Si G es un grupo finito de orden n y g G, entonces existe un enteropositivo m 6 n, tal que gm = e

D. En efecto, consideremos la sucesion de elementos g, g2, . . . , gn, si to-dos los elementos son diferentes, entonces G = {g, g2, . . . , gn} y debe de existir un enteropositivo m 6 n, tal que gm = e. Si no todos los elementos de la sucesion son distintos,entonces existen enteros r < s 6 n, tales que gr = gs, entonces, si m := s r se obtienegm = e.

Llamaremos orden de un elemento g G, denotado (g), al menor entero positivo, m,tal que gm = e.


E 4.3.

1. Los grupos (Z,+), (Q,+), (R,+) son grupos de orden infinito.2. El grupo multiplicativo G := {1,1, i,i} es un grupo de orden 4. los elementos

i, i son respectivamente de orden 4, mientras que 1, 1 son de orden 1 y 2respectivamente. G es cclico, ya que G = i.

T 4.3. Sea G un grupo de orden finito. Entonces H G es un subgrupo Ssi Hes cerrado respecto de la operacion.

D. Debemos mostrar que si g H, tambien g1 H. En efecto, seag H, g , e. Como H es cerrado gn H, n Z+. Como G es de orden finito, existem Z+, tal que (g) = m. Entonces gm = e y g1 = gm1 H. Por consiguiente H essubgrupo de G.

T 4.4. Sea G un grupo, g G y m Z+, tal que gm = e, entonces (g) | m. Porotra parte si (g) | m, entonces gm = e.

D. En efecto, por el algoritmo euclideano, existen q, r Z, tales quem = (g)q + r, r 6 0 < (g). Entonces, si r , 0, e = gm = g(g)q+r = gr, donde r < (g),lo cual es una contradiccion a la definicion de (g). Por consiguiente r = 0 y (g) | m. Si(g) | m, es claro que gm = e.

4.2.3. Relacion de Congruencia y Clases Laterales.

D 4.1. Sea G un grupo, H un subgrupo de G. Dados a, b G, decimos que aes congruente con b, modulo H, denotado a b, (mod H), si ab1 H.

T 4.5. La relacion a b (mod H) es una relacion de equivalencia sobre G.

D.

1. es reflexiva. En efecto, a a, (mod H), pues aa1 = e H.2. es simetrica. Si a b, (mod H), entonces ab1 H, como H es subgrupo,

ba1 = (ab1)1 H, por consiguiente b a, (mod H).3. es transitiva. En efecto, a b, (mod H) y b c, (mod H) implican

ab1 H y bc1 H, entonces ac1 = (ab1)(bc1) H, por consiguiente a c,(mod H).

Dado un subgrupo H de un grupo G, y un elemento g G, definimos los conjuntosgH := {gh | h G} Hg := {hg | h G}

Llamados respectivamente clase lateral izquierda de H respecto de g y clase lateral dere-cha de H respecto de g

Notese que si ab1 H, entonces existe h H, tal que ab1 = h y a = hb Hb. Porotra parte, si a Hb, entonces existe h H, tal que a = hb y ab1 = h H, por lo quea b, (mod H).

Entonces tenemos el siguiente resultado:

T 4.6.

1. a b, (mod H) Ssi a Hb .


2. El conjunto a := {x | x a} = {x | xa1 H} = Ha. Es decir la clase deequivalencia de a es precisamente Ha, la clase lateral derecha de H respecto dea.

3. Ha Hb = o bien ,Hb = Ha.4. G =

gG

Hg

D. Solo nos queda por mostrar 3 y 4. En efecto, como los conjuntos Hay Hb son las clases de equivalencia respecto de la relacion , las aserciones resultan delteorema 1.4.

Dado un elemento g G, consideremos la aplicacion : H Hg, definida por(h) := hg, h H, entonces es una biyeccion entre H y Hg. es obviamente sobre-yectiva. es inyectiva, pues si (h) = (h1), entonces hg = h1g y por la ley de cancelacion4.2.1,3), h = h1. Por consiguiente es una biyeccion. Esto quiere decir, entonces, quetodas las clases laterales derechas poseen la misma cardinalidad, la del subgrupo H.

Al conjunto cociente de las clases de equivalencia (mod H) lo denotaremos porG/H. Llamaremos ndice de H en G, iG(H) a la cardinalidad de G/H.

E 4.4.

1. Sea G := {1,1, i,i} con el producto usual de numeros complejos. H el subgru-po H := {1,1}. Entonces Hi = {i,i}. G/H = {1, i}. (H) = 2, iG(H) = 2.

2. Sea G := {0, 1, 2, 3, 4, 5}, donde 0, 1, 2, 3, 4, 5 son smbolos formales, dotado delproducto , definido por la siguiente tabla:

(4.5)

0 1 2 3 4 50 0 1 2 3 4 51 1 0 5 4 3 22 2 4 0 5 1 33 3 5 4 0 2 14 4 2 3 1 5 05 5 3 1 2 0 4

Sea H := {0, 4, 5}, como H es cerrado respecto de , H es un subgrupo y (H) =3. H 1 = {1, 2, 3}. Entonces G/H = {0, 1}, y iG(H) = 2.

3. Consideremos el grupo (Z,+) y H := 2Z := {2x | x Z}, el subgrupo de losenteros pares. En este caso tanto el orden de Z, como el de H no son finitos.1 = H + 1 = {1, 3, 5, . . .}, 0 = H + 0 = 2Z = H, y Z/2Z = {0, 1}. iZ(H) = 2.

Notemos que en los dos primeros ejemplos (G) = (H)iG(H). Esto no es una ca-sualidad y es un resultado que es valido para cualquier grupo de orden finito y cualquiersubgrupo de este, como lo demostraremos en el siguiente teorema, debido a Lagrange. SiG no es de orden finito, el teorema continua siendo valido, ya que en dicho caso uno de losdos factores sera infinito.

T 4.7 (Teorema de Lagrange). Si G es un grupo de orden finito y H un subgru-po de G, entonces (G) = (H)iG(H). Por lo que (H) | (G).

D. En efecto, como (mod H) es

introducción al Álgebra abstracta

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