introducción al Álgebra liineal

Introducción

Rubén Darío LaraEscobar

IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales

Soluciones de una EcuaciónLineal

Matrices yElimininación

IntroducciónÁlgebra Lineal

Rubén Darío Lara Escobar1

1Unidad de Ciencias BásicasUniversidad Católica de Manizales

Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013

Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 1/29

Introducción





Contenidos

1 IntroducciónSistemas de Ecuaciones LinealesSoluciones de una Ecuación Lineal

2 Matrices y Elimininación


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Sistemas de Ecuaciones Lineales

Sistemas de Ecuaciones LinealesUn Ecuación Lineal en n variables es x1,x2,x3, ...,xn es dela forma:

a1x1 +a2x2 +a3x3 + ...+anxn = b

Donde los ai′s y b son constantes; la constante a1 sedenomina coeficiente principal y la variable x1 es lavariable principal


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Las ecuaciones lineales no tienen productos de variables,ni raices; tampoco variables que aparezcan en funcionestrigonométricas, exponenciales o logarítmicas. Lasvariables aparecen solamente elevadas a la primerapotencia.

Ejemplo

3x+2y = 7xy+ z = 2

12x+ y− z =

√2

ex−2y = 4


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Un sistema de m ecuaciones lineales en n variables esun conjunto de m ecuaciones, cada una de las cuales eslineal en las mismas n variables.

a11x1 +a12x2 +a13x3 + ...+a1nxn = b1a21x1 +a22x2 +a23x3 + ...+a2nxn = b2a31x1 +a32x2 +a33x3 + ...+a3nxn = b3

.

.

.am1x1 +am2x2 +am3x3 + ...+amnxn = bm


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Ejemplos

2x− y = 0

−x+2y = 3

x+ y = 3

x− y =−1


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La forma general de una solución de un sistema deecuaciones lineales nxn es una sucesión de númeross1,s2, ...,sn que es una solución de cada una de lasecuaciones que forman el sistema.

Una Solución del sistema:

x1 + x2 = 10

−x1 + x2 = 0

Este sistema tiene una solución única en un punto


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Figura : Dos rectas que se cortan en un punto


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Ejemplos II

el sistemax1−2x2 =−3

2x1−4x2 = 8

el sistema no tiene solución

el sistemax1 + x2 = 3

−2x1−2x2 =−6

el sistema tiene infinitas soluciones


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Sistema Única Solución

Figura : Sistema tiene única solución


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Sistema Infinitas Soluciones

Figura : una recta sobre la otra (son multiplos)Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 12/29

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Sistema que no tiene Solución

Figura : Dos rectas no se cortan (Paralelas)Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 13/29

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Característica de la Solución

Un sistema de ecuaciones lineales solo puede tener unade las tres clases de soluciones

Sistema Consistente:Tiene exactamente unasolución; las rectas se cortan en un punto

Sistema Inconsistente:No tiene solución; las rectasson paralelas

Tiene infinitas soluciones; una recta es multiplo de laotra


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Estrategia de Solución

La estrategia general de solución de un sistema deecuaciones es reemplazar el sistema inicial por un sistemaequivalente mas fácil de resolver. Por ejemplo el sistema:

x1−2x2 =−1

−x1 +3x2 = 3


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Figura : Analogı’a de los tres tipos de soluciones Sistemas En3D


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Notación Matricial

Una forma usual, por su utilidad, de presentar un sistemade ecuaciones es la Forma Matricial.El sistema

x1−2x2 =−1

−x1 +3x2 = 3

se puede ver de la forma matricial:∣∣∣∣ 1 −2 −1−1 3 3

∣∣∣∣


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Matrices

El sistema puede generar la siguiente matriz equivalente∣∣∣∣ 1 −2 −10 1 2

∣∣∣∣Esto implica que nuestro sistema inicial se puede expresarde forma eqivalente así:

x1−2x2 =−1

x2 = 2

De donde es claro que x1 = 3. ¿ Cómo se paso de laprimera matriz a la segunda?


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Operaciones Elementales

Reemplazar Se puede reemplazar una fila por unmultiplo de otra fila.

Intercambio Intercambiar dos filas

Escalar Multiplicar todas las entradas en una fila poruna constante k 6= 0


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Matrices Equivalentes Por Filas

Definición

Dos matrices, una de las cuales se puede transformar enla otra mediante una secuencia de operacioneselementales por filas, se denominan que son:Equivalentes por filas.

Definición

Si las matrices aumentadas de dos sistemas lineales sonequivalentes por filas, entonces los dos sistemas tienen elmismo conjunto solución.


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Ejemplo

Ejemplo

Consideremos el siguiente sistema de ecuacioneslineales:

x+2y+ z = 23x+8y+ z = 12

4y+ z = 2


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Solución al Ejemplo

Matriz del Sistema

El sistema genera la siguiente matriz∣∣∣∣∣∣1 2 13 8 10 4 1

∣∣∣∣∣∣Observese que sólo tenemos en cuenta los coeficientesde las variables.


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I Matriz Equivalente del Sistema

El sistema genera la siguiente matriz∣∣∣∣∣∣1 2 10 2 −20 4 1

∣∣∣∣∣∣El número que esta encerrado lo llamamos un pivot.La pregunta es ¿que operación sobre las filas transformoen esta matriz equivalente la primera matriz del sistema?


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II Matriz Equivalente del Sistema


∣∣∣∣∣∣El número que esta encerrado es el segundo pivot.De nuevo ¿que operación sobre las filas transformo enesta II matriz equivalente la I matriz equivalente delsistema?


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Matriz Triangular Superior

II Matriz Equivalente del Sistema


∣∣∣∣∣∣Esta matriz lleva el nombre de Matriz Triangular Superior,dado que bajo la diagonal principal todas las entradas sonceros. Esta es la forma ideal para reoslver un sistema deecuaciones lineales.


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Matriz Triangular Superior

Sistema Equivalente

El sistema ahora tiene la forma matricial equivalente

Ux = C

Donde U es una matriz Matriz Triangular Superior, x es elvector de variables y C es el nuevo vector de constantes.¿que paso entonces con estas constantes? Para incluirlasgeneramos la siguiente matriz aumentada:


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Matriz Aumentada

Matriz Aumentada del Sistema

El sistema genera la siguiente matriz aumentada∣∣∣∣∣∣1 2 1 23 8 1 120 4 1 2

∣∣∣∣∣∣Esta matriz lleva el nombre de Matriz Aumentada ya queincluye las constantes independientes.


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ApéndiceLecturas Recomendadas

Lecturas Recomendadas I

Apostol, Tom.Calculus.Reverté, 1980.

Larson, R.; Edwards, B.Introducción al Álgebra Lineal.Limusa, 2009.


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