tema 7 Álgebra lineal - introducción a la matemática discreta

Teorıa basica de conjuntosAlgebra de Boole

Funciones booleanas en el algebra de Boole binaria

Matematica discretaEstudios de Ingenierıa

Juan Gabriel Gomila

Frogames

[email protected]

10 de febrero de 2016

Juan Gabriel Gomila Tema 7 - Introduccion a la matematica discreta



Indice




El concepto de conjuntoOperaciones con conjuntosPropiedadesConjunto finito. Principio de la adicion





El concepto de conjunto

Definicion

Un conjunto es una coleccion de objetos. Los objetos que formanparte de un conjunto determinado se denominan elementos delconjunto.

Ejemplos de conjuntos son la coleccion de todos los estudiantes delgrado de telematica, la coleccion de todos los numeros enterospares, etcetera.





Conjuntos por extension

Para describir un conjunto con un numero finito de elementos sepuede hacer por extension; es decir, mediante un listado de suselementos entre claves como por ejemplo{1, 2, 3, 4, 5}.No es importante el orden en que se escriben los elementos. Ası{1, 2, 3, 4} y {4, 3, 2, 1} representan el mismo conjunto.No se ha de tener en cuenta si la lista tiene algun elementorepetido. El conjunto {1, 2, 3, 4, 2} es el mismo que el anterior.





Como denotar un conjunto

Se emplearan letras mayusculas para designar los conjuntos y letrasminusculas para designar sus elementos.Para indicar que x es un elemento de A, se escribira x ∈ A (xperteneciente a A).Para indicar que x no es un elemento de A, se escribira x /∈ A (xno pertenece a A).





Conjuntos por compresion

Tambien se pueden describir los conjuntos por compresion; esdecir, especıficamente una propiedad qu determina exactamentesus elementos. Se escribira como:

A = {x | p(x)}

Por ejemplo:

A = {x | x es entero positivo menor que 5}

Representa al conjunto A = {1, 2, 3, 4},





Un conjunto sin elemento

El conjunto vacıo

El conjunto que no tiene ningun elemento se denota por ∅ y sedenomina conjunto vacıo. Por ejemplo:

{x ∈ R | x2 = −2} = ∅





Igualdad de conjuntos

Definicion

Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen exactamente losmismo elementos; es decir, cuando todo elemento de A eselemento de B y todo elemento de B es elemento de A.Cuando A y B son iguales se denota como A = B.





Subconjuntos

Definicion

Dıcese que un conjunto A es un subconjunto de B si todo elementode A es elemento de B y se escribira como A ⊆ B, notacion quesignifica que A esta contenido en B, o que B contiene a A.





El conjunto universal

Definicion

Siempre que se hable de conjuntos, se supondra que sonsubconjuntos de un conjunto universal U que los contiene a todos.

El conjunto universal contiene todos los conjuntos a los cuales sehace referencia en un ejercicio o resultado.





Ejemplos de subconjuntos

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C.

Z+ = {x ∈ Z : x > 0} ⊆ ZSi A es un conjunto cualquiera, entonces ∅ ⊆ A y A ⊆ A.Estos dos se denominan subconjuntos triviales de A.

Si A es un conjunto cualquiera y B = {A, {A}}, entoncesA ∈ B, {A} ∈ B, {A} ⊆ B pero en cambio A 6⊆ B.

Se puede comprobar facilmente que A = B ⇐⇒ A ⊆ B y B ⊆ A(Ejercicio).





Operaciones con conjuntos

Se veran algunas operaciones basicas de conjuntos. Lasoperaciones entre conjuntos y las propiedades que verifican estasoperaciones se pueden ilustrar mediante diagramas de Venn. Undiagrama de Venn es una representacion grafica de conjuntos en elplano. El conjunto universal U se representa por el interior de unrectangulo y los otros subconjuntos son representados por cırculosen el rectangulo.






Union de conjuntos

Sean A y B conjuntos, se define su union como el conjunto detodos los elementos que pertenecen a A o a B.

A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B}

Si A = {a, b, c , d} y B = {a, b, g , e, h}, entonces:

A ∪ B = {a, b, c , d , g , e, h}






Interseccion de conjuntos

Sean A y B conjuntos, se define su interseccion como el conjuntode todos los elementos que pertenecen al mismo tiempo a A y a B.

A ∩ B = {x : x ∈ A y x ∈ B}


A ∩ B = {a, b}






La union y la interseccion de conjuntos tambien se puede definirpara tres o mas conjuntos de la manera siguiente:

A ∪ B ∪ C = {x : x ∈ A o x ∈ B o x ∈ C}

A ∩ B ∩ C = {x : x ∈ A y x ∈ B y x ∈ C}

Y por tanto, la union y la interseccion de un numero finito deconjuntos se define como:

n⋃i=1

Ai = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An = {x : x ∈ Ai para algun i}

n⋂i=1

Ai = A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An = {x : x ∈ Ai para todo i}






Conjuntos disjuntos

Dıcese que dos conjuntos A y B son disjuntos cuando no tienenelementos en comun; es decir, cuando:

A ∩ B = ∅






Diferencia de conjuntos

Sean A y B conjuntos, se define la diferencia A− B como elconjunto de elementos de A que no pertenecen a B.

A− B = {x : x ∈ A y x /∈ B}


A− B = {c , d}

B − A = {g , e, h}






Complementario de un conjunto

Sea U un conjunto universal que contiene un conjunto A, entoncesel conjunto U − A se denomina complemento o complementario deA y se denota como Ac . Ası:

Ac = {x : x /∈ A}

Si U = Z y A = {x : x pares}, entonces:

Ac = {x : x impares}






Diferencia simetrica

Sean A y B conjuntos, se define la diferencia simetrica de A y Bcomo el conjunto union de los elementos de A que no pertenecen aB y los elementos de B que no pertenecen a A.

A⊕ B = {x : (x ∈ A y x /∈ B) o (x ∈ B y x /∈ A)}

Es facil notar que:

A⊕ B = (A− B) ∪ (B − A)


A⊕ B = {c , d , g , e, h}






Partes de un conjunto

Sea A un conjunto. El conjunto de todos los subconjuntos de A sedenomina conjunto de partes de A (o conjunto potencia de A) y sedenota como P(A).

P(A) = {X : X ⊆ A}

Si A = {a, b, c}, entonces:

P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}





Propiedades

En las diapositivas siguientes se muestran algunas de laspropiedades algebraicas que satisfacen las operaciones deconjuntos, donde A,B,C son subconjuntos de un conjuntouniversal U.





Propiedades

Conmutativas

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A

Asociativas

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )





Propiedades

Idempotencia

A ∪ A = A

A ∩ A = A

Involutiva

(Ac)c = A





Propiedades

Distributivas

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

Leyes de De Morgan

(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc





Propiedades

Absorcion

A ∪ (A ∩ B) = A

A ∩ (A ∪ B) = A

Elementos absorbentes

A ∪ U = U

A ∩ ∅ = ∅





Propiedades

Elemento neutro

A ∪ ∅ = A

A ∩ U = A

Complementos

A ∪ Ac = U

A ∩ Ac = ∅

∅c = U

Uc = ∅





Conjuntos finitos

Conjunto finito

Un conjunto A es finito si contiene exactamente m elementosdistintos donde m es un entero no negativo. Si un conjunto no esfinito, es infinito.Si A es finito se denota como |A| o como card(A) al numero deelementos de A.

El conjunto ∅ es finito y |∅| = 0. El conjunto de letras del alfabetocastellano es finito, y el conjunto de todos los enteros positivos eimpares es infinito.Si A es un conjunto con |A| = m, entonces |P(A)| = 2m.





Principio de la adicion

Teorema

Si A y B son conjuntos finitos, entonces A ∪ B y A ∩ B son finitosy:

|A ∪ B| = |A|+ |B| − |A ∩ B|

En particular si A ∩ B = ∅, entonces |A ∪ B| = |A|+ |B|.





Principio de adicion

En el caso de la union de tres conjuntos, la formula que devolverasu cardinal es:

|A∪B∪C | = |A|+|B|+|C |−|A∩B|−|A∩C |−|B∩C |+|A∩B∩C |

En el caso de la union de n conjuntos, la formula que devolvera sucardinal es:

|A1 ∪ · · · ∪ An| = α1 − α2 + α3 − · · ·+ (−1)(n − 1)αn

Donde cada αi es la suma de todos los cardinales de todas lasintersecciones de i conjuntos de los n conjuntos dados.




Definicion de algebra de BoolePropiedades en un algebra de Boole





Algebra de Boole

El algebra de Boole es una estructura matematica que, como tal,aparece en muchas situaciones. En particular, el algebra de Booletiene aplicacion en la sıntesis de redes de conmutacion, en elestudio de circuitos digitales y en el analisis y programacionmediante ordenador.





Algebra de Boole

Definicion

Sea B =< B,+, ∗,−, 0, 1 > donde:

B es un conjunto no vacıo (B 6= ∅),

0, 1 ∈ B con 0 6= 1

+ y ∗ son operaciones binarias:

+ : B × B → B,(a, b) 7→ a + b.

∗ : B × B → B,(a, b) 7→ a ∗ b.

− es una operacion unaria:

− : B → B,a 7→ a.





Algebra de Boole

Dıcese que B tiene estructura de algebra de Boole si:

A1

Las operaciones + y ∗ son asociativas ∀ a, b, c ∈ B

(a + b) + c = a + (b + c)

(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)

A2

Las operaciones + y ∗ son conmutativas ∀ a, b ∈ B

a + b = b + a

a ∗ b = b ∗ a





Algebra de Boole

A3

Cada operacion binaria tiene elemento neutro ∀a ∈ B

∃ 0 ∈ B : a + 0 = 0 + a = a

∃ 1 ∈ B : a ∗ 1 = 1 ∗ a = a

A4

Para cada elemento a ∈ B existe un unico elemento a ∈ Bdenominado complementario de a tal que

a + a = 1; a ∗ a = 0





Algebra de Boole

A5

Cada operacion binaria es distributiva respecto de la otra∀ a, b, c ∈ B

a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c

a + (b ∗ c) = (a + b) ∗ (a + c)

Estas cinco parejas de propiedades se conocen como los axiomasdel algebra de Boole. Cualquier otra propiedad de un algebra deBoole se puede deducir a partir de las anteriores.





Algebra de Boole

Les operaciones +, ∗ y − se denominan suma, producto ycomplementario respectivamente. En ausencia de parentesis −

tiene preferencia sobre ∗ y ∗ sobre +. Usualmente se omitira elsımbolo ∗, ası para escribir a ∗ b lo haremos como ab.El elemento neutro de la suma se denomina elemento cero y elelemento neutro del producto se denomina elemento unidad .





Ejemplos de algebras de Boole

Ejemplo 1

Considerese un conjunto U finito y U 6= ∅. El conjunto P(U) conlas operaciones:

∪ union de conjuntos,

∩ interseccion de conjuntos,c complementario de un conjunto

Tiene estructura de algebra de Boole.El neutro de la union es el conjunto vacıo ∅ y el neutro de lainterseccion es el conjunto U.





Ejemplo de algebras de Boole

Ejemplo 2

Sea D70 = {1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70} el conjunto formado por losdivisores de 70. Si se define en D70 las siguientes operaciones:

a + b = mcm(a, b),

a ∗ b = mcd(a, b),

a = 70/a

Entonces D70 tiene estructura de algebra de Boole con 1 comoelemento cero y 70 como elemento unidad.





Ejemplos de algebras de Boole

Ejemplo 3

Sea B = {0, 1} con las operaciones binarias + y ∗ definidas por:

+ 1 0

1 1 10 1 0

∗ 1 0

1 1 00 0 0

Y la operacion unaria − definida por 0 = 1, 1 = 0. EntoncesB =< 0, 1,+, ∗,− > es un algebra de Boole, denominada algebrade Boole binaria.





Principio de dualidad

Principio

En una algebra de Boole toda propiedad que se pueda deducir delo axiomas o de cualquier otra propiedad derivada de ellos, da otrapropiedad que se obtiene intercambiando:

les operaciones suma y producto,

los sımbolos 0 y 1

La propiedad que se obtiene de esta manera recibe el nombre depropiedad dual de la inicial.





Principio de dualidad

Por ejemplo, la propiedad dual de:

(1 + a)(b + 0) = b

Es:(0a) + (b1) = b

El principio de dualidad es consecuencia de la propia estructura delalgebra de Boole, ya que cada par de propiedades, en su definicion,vienen dadas por una propiedad y su dual.





Propiedades

Se puede demostrar matematicamente que todo algebra de Boolefinito es estructuralmente el mismo que un algebra de Boole deconjuntos. En este sentido todo algebra de Boole satisfara lasmismas propiedades que un algebra de Boole de conjuntos. Ası, enla tabla siguiente se da la lista de propiedades que comparten unalgebra de Boole finito, B, y un algebra de Boole de conjuntos,P(U)





Propiedades





Propiedades

Se sabe que si un conjunto A tiene n elementos, entonces|P(A)| = 2n y, debido a la relacion que hay entre conjuntos yalgebras de Boole, se puede enunciar el siguiente resultado:

Teorema

Todo algebra de Boole finito tiene 2n elementos para algun enteropositivo n.




Funciones booleanasLa forma canonicaObtencion de las formas canonicasSimplificacion de variables booleanas





Funciones booleanas

Se considera a partir de ahora el algebra de Boole binaria dondeB = {0, 1} y se denota como Bn al producto cartesiano de B conel mismo n veces.

Bn = B×B×· · ·×B = {(x1, x2, · · · , xn) : xi ∈ {0, 1}∀ i = 1, · · · , n}

Se denominan variaciones con repeticion de n elementos diferentestomados de k en k a las muestras ordenadas de k elementos, loscuales se pueden repetir, tomados de los n elementos.Su numero viene dado por VRn,k = nk .





Funciones booleanas

Notese que si B = {0, 1}, entonces |Bn| = 2n, ası

B2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}

B3 = {(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0),

(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}





Funciones booleanas

Definicion

Se denomina funcion booleana definida en B o funcion deconmutacion logica a toda aplicacion:

f : Bn −→ B

Tal que f (x1, x2, · · · , xn) se puede expresar a partir de lasoperaciones definidas en B realizadas sobre las variablesx1, x2, · · · , xn.

Toda funcion booleana en B = {0, 1} se puede representarmediante tablas de valores o tablas de verdad. Las n primerascolumnas permiten representar los 2n elementos de Bn y lacolumna final indica el valor que asigna f a cada (x1, x2, · · · , xn).





Funciones booleanas

Ejemplo

Calculense los valores de la funcion booleana

f (x1, x2, x3) = x1x2 + x3

Los valores de esta funcion vienen representados en la tablasiguiente:





Numero de funciones booleanes en el algebra de boolebinaria

El numero de elementos del conjunto Bn es 2n y para cada uno deestos elementos una funcion booleana sobre {0, 1} puede tomar elvalor 0 o el valor 1. Entonces:

{f | f : Bn −→ B} = VR2,2n = 2(2n)

Ası para n = 2, el numero de funciones booleanas sera 24 = 16;para n = 3, el numero de funciones booleanas sera 28 = 256...





Numero de funciones booleanas en el algebra de Boolebinaria

Las 16 funciones booleanas de dos variables son:

Ejercicio

Escrıbanse las tablas de valores de las funciones booleanas de dosvariables.





Funciones booleanas

Ejercicio

Calculense los valores de la funcion booleanaF (x1, x2, x3) = x1x2 + x3





Funciones booleanas

Ejercicio

Solucion:





Formas canonicas

Minterm y Maxterm

En Bn, el producto de n variables diferentes complementadas o no,recine el nombre de minterm. En Bn, la suma de n variablesdiferentes complementadas o no, recibe el nombre de maxterm.

Por ejemplo, B4, las expresiones x1x2x3x4, x1x2x3x4, son minterms.Por ejemplo, en B3, les expresiones x1 + x2 + x3, x1 + x2 + x3, sonmaxterms.





Formas canonicas

Proposicion

Sea f : Bn −→ B una funcion booleana, entonces:

f se puede expresar como una suma de minterms (suma deproductos). Esta expresion se denomina forma canonicadisjuntiva de f .

f se puede expresar como un producto de maxterms (productode sumas). Esta expresion se denomina forma canonicaconjuntiva de f .





Formas canonicas

Proposicion

Sea f : Bn −→ B una funcion booleana, entonces:

Las formas canonicas de una funcion booleanas son unicas.

Dos funciones booleanas son equivalentes (son la mismafuncion) si y solo si tienen las mismas formas canonicas.





Formas canonicas

Las formas canonicas dee una funcion booleana se pueden obtenerde dos maneras:

1. A partir de una tabla de valores

La forma canonica disjuntiva de f : Bn −→ B se obtiene a partirde cada uno de los valores 1 que toma la funcion (un producto detodas las variables o sus complementos toman el valor 1 cuandotodos los factores toman el valor 1).Ası el numero de minterms en la forma disjuntiva es igual alnumero de unos (1) en la tabla de valores de f .





Formas canonicas

1. A partir de una tabla de valores

La forma canonica conjuntiva de f : Bn −→ B se obtiene apartir de cada un de los valores 0 que toma la funcion (una sumade todas las variables o sus complementos toman el valor 0 cuandotodos los factores toman el valor 0).Ası el numero de maxterms en la forma conjuntiva es igual alnumero de ceros (0) en la tabla de valores de f .





Formas canonicas

Ejercicios

Obtenganse las formas canonicas disjuntiva y conjuntiva de lafuncion f : B3 −→ B dada por la tabla:





Formas canonicas

Solucion

La forma canonica disjuntiva de f sera:

f (x1, x2, x3) = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3

La forma canonica conjuntiva de f sera:

f (x1, x2, x3) = (x1 + x2 + x3)(x1 + x2 + x3)(x1 + x2 + x3)





Formas canonicas

2. A partir de su expresion en la formula

Para obtener la forma canonica disjuntiva de f : Bn −→ Binteresa obtener una suma de productos, aunque estos terminos nosean minterms.La propiedad que lo suele permitir es la distributiva del productorespecto de la suma. Una vez obtenida la suma de productos, cadavariable xj que no figura en un sumando se puede anadirmultiplicandola por 1, entonces 1 = xj + xj y, despues se vuelve aaplicar la propiedad distributiva.





Formas canonicas

2. A partir de su expresion en la formula

Para obtener la forma canonica conjuntiva de f : Bn −→ B seva a transformar la expresion inicial en producto de sumas. En estecaso juega un papel esencial la propiedad distributiva de la sumarespecto del producto.Una vez se obtenga el producto de sumas, cada variable xj que nofigura en un factor se puede anadir sumando 0, haciendo 0 = xj xjy, despues se vuelve a aplicar la propiedad distributiva.

En ambos casos, despues de multiplicar por 1 o sumar 0 y aplicarlas propiedades distributivas correspondientes se han de eliminarlos minterms o maxterms repetidos aplicando la propiedadidempotente.





Formas canonicas

Ejercicio

Obtenganse las formas canonicas disjunta y conjuntiva de lafuncion f : B3 −→ B dada por:

f (x , y , z) = x + yz





Formas canonicas

Solucion en la forma disjuntiva

f (x , y , z) = x + yz =

Se introducen las variables que falten en cada sumando:

x(y + y)(z + z) + (x + x)yz =

Se aplica la propiedad distributiva:

xyz + xy z + x y z + x y z + xyz + xyz

Se eliminan minterms repetidos gracias a la idempotencia:

xyz + xy z + x y z + x y z + xyz .





Formas canonicas

Solucion en la forma conjuntiva

f (x , y , z) = x + yz =

Se aplica la distributiva de la suma respecto del producto:

(x + y)(x + z) =

Se anade a cada factor las variables que falten:

(x + y + zz)(x + y y + z) =

Se aplica la conmutativa de la suma segun el factor:

(x + y + zz)(x + z + y y) =

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Formas canonicas

Solucion en la forma conjuntiva

Se aplica la distributiva de la suma respecto del producto:

(x + y + z)(x + y + z)(x + z + y)(x + z + y) =

Se aplica la conmutativa de la suma:

(x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)(x + y + z) =

Se eliminan los maxterms repetidos gracias a la idempotencia:

(x + y + z)(x + y + z)(x + y + z).

Es importante anadir las variables en el orden en que figuren en lafuncion: x , y , z .





Simplificacion de variables booleanas

El objetivo de esta seccion es la obtencion de expresionessimplificadas de las funciones booleanas, tanto si su expresioninicial es una de las formas canonicas como si no.Los metodos habituales de simplificacion son tres: metodoalgebraico, metodo grafico (los mapas de Karnaugh) y el metodoiterativo (metodo de Quine-McCluskey).Nosotros solo utilizaremos el metodo algebraico y el metodografico.






Metodo algebraico

Consiste en la utilizacion de las propiedades generales validas encualquier algebra de Boole. Las propiedades que facilitan el procesode simplificacion son:

Complementario: x + x = 1; xx = 0

Idempotencia: x + x = x ; xx = x

Absorcion: x + xy = x ; x(x + y) = x

Ley de De Morgan: x + y = x y ; xy = x + y

Distributivas: xy + z = x(y + z); x + yz = (x + y)(x + z)

Elemento absorbente: 1 + x = 1; x0 = 0.






Metodo algebraico - Ejemplo

Simplifıquese la funcion f : B3 −→ B definida por:

f (x , y , z) = x + xy + xy z + xz + xz






Metodo algebraico - Solucion

Se aplica la distributiva:

x(1 + y z) + xy + x(z + z) =

Se aplican los elementos absorbentes y complementarios.

x + xy + x =

Se aplica la propiedad idempotente.

x + xy =

...






Metodo algebraico . Solucion


(x + x)(x + y) =

Se aplica la de complementarios:

1(x + y) = x + y






Ejercicio

Escrıbase la funcion booleana:

F (x , y , z) = (x + y)z

En forma normal disjuntiva algebraicamente empleando laspropiedades del algebra de Boole, y como suma booleana deminterms.






Con propiedades del algebra de Boole

F (x , y , z) = (x + y)z


= xz + y z

Se aplica la identidad:= x1z + 1y z

Inverso de 1:= x(y + y)z + (x + x)y z






Con propiedades del algebra de Boole

Distributiva:= xy z + xy z + xy z + xy z

Idempotencia:= xy z + xy z + xy z






Con la tabla de minterms

En primer lugar se necesitara la tabla de valores de F para todoslos posibles valores de las variables:

Los minterms corresponden a las 3 filas de la tabla donde lafuncion vale 1, ası pasa cuando los tres valores valen literalmente1, por tanto:

F (x , y , z) = xy z + xy z + xy z






Ejercicio

Un motor M esta controlado por tres interruptores x , y , z yfunciona unicamente cuando dos de los interruptores estan enmodo ON. Se deduce la tabla de valores de la funcionM(x , y , z) : B3 −→ B y la expresion booleana de M en formanormal disjuntiva.






Solucion

Los tres interruptores son variables booleanes ya que pueden tomardos valores. Se recuerda que el valor 1 corresponde al interruptoren modo ON y el valor 0 a interruptores en la posicion OFF: Elmotor M toma el valor 1 (encendido) cuando tiene los otros dosinterruptores activados y 0 (apagado) en todos los demas casos.






Solucion

La tabla de valores de M a partir de las condiciones del problemason:

Y por tanto la expresion booleana M(x , y , z) estara formada porlos minterms que hacen que la funcion tome el valor 1 (motorencendido):

M(x , y , z) = xyz + xyz + xy z






Ejercicios

Simplificacion de funciones:

1 f (x , y) = (x + y)(x + y)(x + y)

2 f (x , y , z ,w) = w + wx + yz

3 f (x , y , z ,w) = xw + xy + yz + xz






Soluciones

1 f (x , y) = xy

2 f (x , y , z ,w) = x(y + z)

3 f (x , y , z ,w) = x + yz






Diagramas de Karnaugh

Las funciones booleanas escritas en forma normal disjuntiva sepueden simplificar empleando los diagramas o mapas de Karnaugh.Se trata de un metodo visual muy util para realizarsimplificaciones. El diagrama de Karnaugh para dos variables x1, x2

esta formado por 22 = 4 cuadrados que representan todos losminterms de grado dos posibles:







El diagrama de Karnaugh para 3 variables de 23 = 8 cuadrados:

En un diagrama de Karnaugh se dice que dos cuadrados sonadyacentes si difieren solo en un literal; es decir, al moverse verticalu horizontalmente solo una variable cambia entre dos cuadradosadyacentes.







En el caso de 4 variables, hay que fijarse en como los valoressuperiores (los de la izquierda) son adyacentes a los cuadradosinferiores (de la derecha) ya que solo se diferencian en un literal.






Las funciones booleanas se pueden representar mediante diagramasde Karnaugh introduciendo a cada cuadrado el valor de la funcion.

Ejercicios

Representese la funcion F empleando el diagrama de Karnaugh.






Las funciones booleanas se pueden representar mediante diagramasde Karnaugh introduciendo a cada cuadrado el valor de la funcion.

Solucion

En el diagrama de Karnaugh habra 3 cuadrados con el valor 1, secorresponderan con los minterms x1x2x3 = m2, x1x2x3)m4 yx1x2x3 = m6. La resta de cuadrados tiene el valor 0:






Para simplificar expresiones booleanas a partir de mapas deKarnaugh se empleara la siguiente regla: siempre que en undiagrama de Karnaugh dos cuadrados adyacentes tomen el valor 1,los minterms representados por los cuadrados de estos se puedencombinar en un producto que contendra solo los literales comunesa los dos minterms.






Esta idea se puede generalizar: se pueden combinar los mintermspertenecientes a cuadrados adyacentes de tal forma que el total decuadrados combinados sea una potencia de 2. Un bloque formadopor un cuadrado elimina 0 variables; un bloque formado por doscuadrados elimina una variable; un bloque formado por 4cuadrados elimina dos variables...






Ejercicios

Simplifica la funcion booleana F (x1, x2, x3) del ejemplo anterioremplendo el diagrama de Karnaugh.

F (x1, x2, x3) = x2x3 + x1x3






Ejercicio

Un ascensor dispone de un dispositivo de seguridad: el ascensorfunciona cuando este vacıo o con pesos de entre 25 y 300kilogramos. El ascensor tiene tres sensores: el sensor A sensible acualquier peso, el sensor B sensible a pesos superiores a 25kilogramos y el sensor C sensible a pesos por encima de 300kilogramos. Encuentrese la funcion mas sencilla que cumple lascondiciones expuestas.






Solucion

En primer lugar se ha de plantear el problema, identificar variables,la funcion booleana y determinar sus valores.Las variables booleanes a, b y c se corresponen a los tres tipos desensores y la funcion booleana F corresponde al ascensor (sepondra en marcha si se satisfacen las 3 condiciones de seguridad).Las variables a, b y c toman el valor 1, si detectan peso segun suslımites, y 0 si no detectan peso.La funcion F (a, b, c) valdra 1 cuando el ascensor se ponga enmarcha (se satisfacen las condiciones de seguridad) y 0 cuando nose pone en marcha.






F (0, 0, 0) = 1, ningun sensor detecta peso (el ascensor estavacıo), el ascensor se pone en marcha.

F (1, 0, 0) = 0, A detecta peso, pero B y C no detectan peso(teniendo un peso de entre 0 y 25 kg en el ascensor); elascensor no arranca.

F (1, 1, 0) = 1, A y B detectan peso pero C no (la carga delascensor esta entre 25 y 300 kg); el ascensor arranca

F (1, 1, 1) = 0, todos los sensores detectan peso ( la carga delascensor supera los 300 kg); el ascensor no se pone en marcha.






¿Y para el resta de combinaciones de valores de a, b y c?






F (0, 1, 0) corresponde a una situacion donde el sensor A nodetecta peso, el sensor B detecta peso entre 25 y 300 kg y elsensor C no detecta peso. Esta es una situacion imposible. Enciertas ocasiones puede ocurrir que ciertas combinaciones devariables no puedan tomar un valor o que el valor de F no dependade los valores de sus variables. Estos casos reciben el nombre decasos imposibles o indiferentes. En estas condiciones no importael valor que tome F , y por defecto se le asignara el valor ∗.






Una expresion booleana para F es:

F (a, b, c) = abc + abc






El diagrama de Karnaugh es:

El criterio que se seguira es asignar aquel valor que permitasimplificar la expresion definida por el diagrama de Karnaugh. Seobtienen los bloques de mayor tamano posible juntando cuadradosque contengan o bien 1 o bien ∗. Los cuadrados correspondientes asituaciones imposibles pueden cubrirse con bloques o quedar aldescubierto.






La simplificacion del mapa de Karnaugh es:

F (a, b, c) = a + bc

El ascensor se pone en marcha si el sensor A no detecta peso, obien si el sensor B detecta peso y el sensor C no.


tema 7 Álgebra lineal - introducción a la matemática discreta

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