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INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA DE CAMINOS.
SERGIO DAVID DÍAZ VERÚ
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Bogotá D.C. 2016
A mi familia y amigos
Agradecimientos
Agradezco a la profesora Verónica Cifuentes que con su dedicación, esfuerzo y constan-cia hizo posible la culminación de este trabajo de grado y aporto grandes enseñanzaspara mi vida.
También agradezco a mi madre por apoyarme en este camino y a los buenos amigosque conocí durante mi formación.
Quiero agradecer a la universidad Francisco José de Caldas y al proyecto curricular deMatemáticas, por brindar las herramientas necesarias para nuestra formación profesio-nal.
Finalmente, extiendo un agradecimiento muy especial a Camila Sarmiento, quien consu confianza y apoyo no me dejo desfallecer.
I
Índice general
Agradecimientos I
Introducción IV
1. K-Álgebras 1
1.1. K-álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Homomorfismos de K-álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. El radical de Jacobson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2. Módulos 23
2.1. Módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Homomorfismos de módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3. Módulos simples y semisimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3. Descomposición en suma directa 32
3.1. Idempotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2. Álgebras locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3. Álgebras básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4. Quivers y Álgebras 38
4.1. Quivers y Álgebras de Caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5. Conclusiones 54
II
Apéndices 54
Referecias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
III
Introducción
En el presente trabajo se introducirá el concepto de álgebra de caminos, con el objetivode dar una caracterización de dicha estructura. Para ello se seguirá el orden de presen-tación de [5].
Empezaremos definiendo K-álgebras y daremos las propiedades de estas como estruc-tura algebraica, seguido de algunos ejemplos y culminando con el radical de Jacobson.
En este mismo sentido seguirá la presentación de los módulos y algunas de sus pro-piedades, teniendo en cuenta que nuestro objetivo es ver el álgebra de caminos comosumas directas de módulos indescomponibles. Se verán a continuación la noción deidempotentes y sus implicaciones seguidas de la definición de algebras locales y bási-cas.
En la última parte de este trabajo se verá la introducción al álgebra de caminos partiendode los quiver como grafos dirigidos y sus propiedades, con lo cual se mostrará queel álgebra de caminos de un quiver con ciertas características se puede ver como unálgebra de matrices triangulares.
IV
Capítulo 1
K-Álgebras
En este capítulo se darán los conceptos básicos de K-álgebras, homomorfismos de K-álgebras y el radical de Jacobson. Este capítulo estará basado en [3], [7] para los concep-tos básicos y resultados de la teoría de grupos y anillos y en [5], [2] para los resultadosde las K-álgebras.
1.1. K-álgebras
Se debe acordar que por grupo abeliano (A,+), se entiende el conjunto A, con una ope-ración binaria +, llamada suma dada por + : A× A→ A, (a, b) 7→ a+ b, la cual cumpleque es cerrada, asociativa, posee elemento nulo notado como 0, para un elemento dadoa ∈ A existe su inverso−a, tal que a + (−a) = 0 y es conmutativa. Además si se tiene laoperación ·, llamada producto dada por · : A× A→ A, (a, b) 7→ ab, motiva la siguientedefinición:
Definición 1.1.1. Un anillo (A,+, ·) es un conjunto A con dos operaciones binarias + y ·.llamadas suma y multiplicación, definidas en A tales que se satisfacen los siguientes axiomas:
i) (A,+) es un grupo abeliano.
ii) La multiplicación es asociativa.
iii) Para todas a, b, c ∈ A, se cumple la ley distributiva izquierda a(b + c) = (ab) + (ac)y la ley distributiva derecha (a + b)c = (ac) + (bc).
1
De ahora en adelante se omitirá el punto ·. Ahora bien si en el anillo A, se satisface queab = ba para todo a, b ∈ A, se dice que el anillo A es conmutativo.
Definición 1.1.2 ([3], pp. 211). Un anillo A con identidad multiplicativa 1 tal que 1a = a1 =a para todo a inA es un anillo con unitario. Una identidad multiplicativa en un anillo es unelemento unitario.
En este caso se nombra a dicho elemento como la identidad del anillo A y el anillo serála cuádrupla (A,+, ·, 1).
Definición 1.1.3. Un anillo K es un anillo de división si cada elemento a ∈ K con a 6= 0 esinvertible, esto es, existe b ∈ K tal que ab = 1 y ba = 1. Un anillo de división K se dice que esun campo si K es conmutativo.
Definición 1.1.4. Si A y B son anillos, una aplicación f : A → B recibe el nombre de homo-morfismo de anillos si:
i) f (a + b) = f (a) + f (b)
ii) f (ab) = f (a) f (b).
Además si A y B son anillos con elemento identidad entonces el homomorfismo f preserva laidentidad, es decir:
iii) f (1) = 1.
La noción de K-álgebra va a ser motivada por la estructura que brinda la de espaciovectorial.
Sea K un campo. un espacio vectorial sobre K (o K-espacio vectorial). Consta de ungrupo abeliano A bajo la suma, junto con una operación de multiplicación por un escalarpor la izquierda, de cada elemento de A por cada elemento de K, tal que para todas lasa, b ∈ K y α, β ∈ A se satisfacen las siguientes condiciones:
i) aα ∈ A
ii) a(bα) = (ab)α
iii) (a + b)α = (aα) + (bα)
iv) a(α + β) = (aα) + (aβ)
2
v) 1α = α
A continuación se enuncia la definicion de K-álgebra, con base en las definiciones ante-riores
Definición 1.1.5 (K-álgebra). Sea K un campo. Una K-álgebra es un anillo A con elementoidentidad (denotado por 1) tal que A tiene una estructura de K − espacio vectorial compatiblecon la multiplicación del anillo, esto es tal que
λ(ab) = (aλ)b = a(λb) = (ab)λ
para todo λ ∈ K y todo a, b ∈ A. Una K-álgebra se dice que es de dimensión finita si la dimensióndimK A del K-espacio vectorial A es finita.
Además se dice que A es una K-álgebra asociativa si
(ab)c = a(bc)
para todo a, b, c ∈ A.
Definición 1.1.6. Un K-subespacio vectorial B de una K-álgebra A es una K-subálgebra de Asi la identidad de A está en B y además bb′ ∈ B para todos b.b′ ∈ B
Definición 1.1.7. Un K-subespacio vectorial I de una K-álgebra A es un ideal a derecha de Asi xa ∈ I para todo x ∈ I y todo a ∈ A, de manera similar se define un ideal a izquierda. Unideal a ambos lados de A, o simplemente un ideal de A es un K-subespacio vectorial I de A tantoideal a derecha como ideal a izquierda de A.
1.2. Homomorfismos de K-álgebras
Definición 1.2.1 (Homomorfismo de K-álgebras). Si A y B son K-álgebras, entonces elhomomorfismo de anillos f : A → B recibe el nombre de homomorfismo de K-álgebras si fes una aplicación K-lineal. Dos K-álgebras son isomorfas si existe un isomorfismo de K-álgebrasf : A→ B, esto es, un homomorfismo de K-álgebras biyectivo. En este caso se escribe A ∼= B.
Proposición 1.2.1. Si I es un ideal de una K-álgebra A, entonces el K-espacio vectorial cocienteA/I tiene una única estructura de K-álgebra tal que la aplicación lineal canónica π : A→ A/I,dada por a 7→ a = a + I, es un homomorfismo de K-álgebras.
3
Demostración. Se tiene que A/I tiene estructura de anillo con identidad y además secomporta como espacio vectorial sobre K, así solo resta mostrar que cumple la condiciónpara ser K-álgebra
λ(ab) = λ[(a′ + I)(b′ + I)]= λ(a′b′ + I)= λa′b′ + I= a′λb′ + I= a′b′λ + I= (a′b′ + I)λ= [(a′ + I)(b′ + I)]λ= (ab)λ.
Además se sabe que el homomorfismo canónico es un homomorfismo de anillos, asíresta mostrar que π es lineal. Sean a, b ∈ A y λ ∈ K entonces
π(a + b) = a + b= a + b= π(a) + π(b)
π(λa) = λa= λa= λπ(a).
Teorema 1.2.1. [[2] pp. 12] Sea ϕ : A −→ B un homomorfismo de K-álgebras. Entonces existeun único homomorfismo ϕ : A/Kerϕ −→ Imϕ que hace conmutativo al diagrama
Aϕ
//
π��
B
A/kerϕϕ// Imϕ
i
OO
es decir, ϕ = iϕπ, donde i : Imϕ −→ B designa la inclusión canónica y π : A −→ A/kerϕ esla proyección canónica. En otras palabras, ϕ es un isomorfismo.
4
Demostración. Sea I = kerϕ. Un elemento de A/I es de la forma a + I = π(a), a ∈ A.Entonces
ϕ(a + I) = ϕ(π(a))= i(ϕ(π(a)))= ϕ(a).
Se asume que existe ϕ tal que ϕ : A/kerϕ −→ Imϕ y ϕ = iϕπ. Entonces
ϕ(a + I) = ϕ(π(a))= i(ϕ(π(a)))= ϕ(a),
luego ϕ(a + I) = ϕ(a + I). Por lo tanto ϕ es única.
Se puede ver que ϕ existe probando que está bien definida. Sean a, b ∈ A tales quea + I = b + I,así (a− b) + I = 0, luego a− b ∈ I y por lo tanto ϕ(a) = ϕ(b).
Ahora se prueba que ϕ es un homomorfismo de K-álgebras. Sean a, b ∈ A y λ ∈ K.Entonces
ϕ((a + I) + (b + I)) = ϕ(a + b + I)= ϕ(π(a + b))= ϕ(a + b)= ϕ(a) + ϕ(a)= ϕ(π(a)) + ϕ(π(b))= ϕ(a + I) + ϕ(b + I),
ϕ((a + I)(b + I)) = ϕ(ab + I)= ϕ(π(ab))= ϕ(ab)= ϕ(a)ϕ(b)= ϕ(π(a))ϕ(π(b))= ϕ(a)ϕ(b),
5
ϕ(1 + I) = ϕ(π(1))= ϕ(1)= 1.
ϕ(λ(a + I) + (b + I)) = ϕ(λ(a + I)) + ϕ((b + I))= ϕ(λπ(a)) + ϕ(b + I)= ϕ(π(λa)) + ϕ(b + I)= ϕ(λa) + ϕ(b + I)= λϕ(a) + ϕ(b + I)= λϕ(a + I) + ϕ(b + I).
Por lo tanto ϕ es un homomorfismo de K-álgebras.
Por último se prueba que ϕ es inyectiva y sobreyectiva. En efecto, sea b ∈ Imϕ así existea ∈ A tal que ϕ(a) = b, luego b = ϕ(a + I). Por lo tanto ϕ es sobreyectiva.Sea a + I ∈ kerϕ, entonces ϕ(a + I) = 0, luego ϕ(a) = 0, es decir a ∈ I y por lo tantoa + I = I, así ϕ es inyectiva.
Corolario 1.2.1. Sea ϕ : A −→ B un homomorfimo sobreyectivo de K-álgebras. Entonces existeun único isomorfismo de K-álgebras ϕ : Kerϕ −→ B tal que
Aϕ
//
π��
B
A/kerϕϕ
;;
donde ϕ = ϕπ.
Demostración. Como ϕ es un homomorfismo sobreyectivo, se tendrá que B = Imϕ y lainclusión canónica es la identidad. Así por el Teorema 1.2.1 se tiene el resultado espera-do.
Si I es un ideal de A y m ≥ 1 es un entero, se nota a Im el ideal de A generado porelementos x1x2 · · · xm, donde x1, x2, . . . , xm ∈ I, esto es, Im consiste de todas las sumasfinitas de elementos de la forma x1x2 · · · xm. Se asume que I0 = A. El ideal I se dicenilpotente si Im = 0 para algún m ≥ 1.
6
Ejemplo 1. El anillo K[t] de todos los polinomios en variable indeterminada t con coefi-cientes en K y el anillo K[t1, . . . , tn] de todos los polinomios en indeterminadas conmu-tativas t1, . . . , tn con coeficientes en K, son K-álgebras de dimensión infinita. En efecto,sabemos que son K[t] y K[t1, . . . , tn] son anillos con elemento identidad dado por 1, vea-mos que cumplen la condición para ser K-álgebras. Así sean a ∈ K, y p(t), q(t) ∈ K[t]
a(p(t)q(t)) = a
((∑
iciti
)(∑
jdjtj
))= (p(t)q(t))a
Se prueba que es de dimensión infinita, es decir el cardinal de una base para K[t] esinfinito. Asúmase que la base es finita, así sea 1, t, t2, . . . , tn una base para K[t], si seconsidera el polinomio de grado n dado por
p(t) =n
∑i=0
citi
y se toma q(t) = t, haciendo el producto, se tiene
p(t)q(t) =n+1
∑i=1
ci−1ti
el cual no puede ser generado por los elementos de la base, sin embargo está en K[t],luego la base debe ser infinita y por lo tanto la dimensión de K[t] es infinita. De manerasimilar se prueba para K[t1, . . . , tn], con lo cual se tiene el resultado esperado.
Ejemplo 2. Si A es una K-álgebra y n ∈ N, entonces el conjunto Mn(A) de todas lasmatrices cuadradas de tamaño n× n con coeficientes en A es una K-álgebra con respectoa la suma y la multiplicación usual de matrices. La identidad esta dada por
E =
1 0 · · · 00 1 · · · 0...
... . . . ...0 0 · · · 1
.
Se tiene que en efecto Mn(A) es una K-álgebra. Sean a ∈ K, B, C ∈Mn(A), así B = [bij]
7
y C = [cij], BC = [dij], con dij = ∑nr=1 bircrj entonces
a(BC) = a[dij]
= [adij]
=
[a
n
∑r=1
bircrj
]
=
[n
∑r=1
(bircrj)a
]= [dij]a
= (BC)a.
Además la dimensión de Mn(A) es n2, pues una base para Mn(A) es el conjunto dematrices de tamaño n × n, eij = [bk,l], en las cuales bk,l = 1 cuando k = i y l = j ybk,l = 0, en los otros casos, con i, j ∈ {1, . . . , n}. Por lo tanto hay tantas matrices como elnúmero de entradas de una matriz de tamaño n× n, es decir, n2.
Ejemplo 3. El subconjunto de Mn(A), dado por
Tn(K) =
K 0 · · · 0K K · · · 0...
... . . . ...K K · · · K
Es una K-subálgebra de Mn(A). En efecto, sean A, B ∈ Tn(K) así
A =
a11 0 · · · 0a21 a22 · · · 0...
......
an1 an2 · · · ann
y B =
b11 0 · · · 0b21 b22 · · · 0...
......
bn1 bn2 · · · bnn
haciendo el producto
AB =
a11b11 0 · · · 0
a21b11 + a22b21 a22b22 · · · 0...
......
∑nr=1 anrbr1 ∑n
r=1 anrbr2 · · · annbnn
,
así AB ∈ Tn(K), es decir Tn(K) es clausurativo bajo el producto, además como todas lasposiciones debajo de la diagonal admiten todo los elementos del campo, en particular
8
admiten el 0 y 1 en la diagonal, es decir la identidad de Mn(A) está en Tn(K) y por lotanto es una K-subálgebra de Mn(A).
Ejemplo 4. El subconjunto de M3(K), dado por
A =
K 0 00 K 0K K K
todas las matrices triangulares inferiores λ = [λij] ∈ T3(K) con λ21 = 0 es una K-subálgebra de M3(K) y de T3(K).
La identidad de M3(K) pertenece a A.
Sean C, B ∈ A. Entonces
C =
c11 0 00 c22 0
cn1 cn2 cnn
y B =
b11 0 00 b22 0
bn1 bn2 bnn
donde los cij, bij ∈ K, 1 ≤ i, j ≤ 3. Luego
CB =
c11b11 0 00 c22b22 0
c31b11 + c33b31 c32b22 + c33b32 c33b33
,
así CB ∈ A.
Ejemplo 5. Suponga que (I;�) es un poset finito, donde I = {a1, . . . , an} y � es unarelación de orden parcial en I. El subconjunto de Mn(K) dado por
KI = {λ = [λij] ∈Mn(K); λst = 0 si as � at con as, bt ∈ I}
es una K-subálgebra de Mn(K). Como ai � ai entonces la posición λii admite cualquierelemento del campo, en particular el 1. Por otra parte en las posiciones λij, con i 6= j, setendrá que que ai � aj o ai � aj, si ai � aj, λij admite todo el campo, en particular al 0y si ai � aj entonces λij = 0, Luego la identidad de Mn(K) está en KI. Veamos que elproducto en KI es clausurativo. Sean A = [αij], B = [βij] ∈ KI, supongamos que ak � alpara 1 ≤ k, l ≤ n, así αkl = 0 y βkl = 0, haciendo el producto de A y B se tiene
AB = [αij][βij] =
[n
∑r=1
αirβrj
]= δij.
9
Se tiene que δkl = 0. En efecto, si se supone que δkl 6= 0 entonces
δkl =n
∑r=1
αkrβrl
= αk1β1l + αk2β2l + · · ·+ αknβnl,
así, al menos αkrβrl 6= 0, es decir, αkr 6= 0 y βrl 6= 0, luego ak � ar y ar � al, por serun orden parcial la relación � es transitiva y por lo tanto ak � al, lo cual es contradic-torio, luego δkl = 0. Así se concluye que KI es una K-subálgebra de Mn(K). A KI se ledenomina el álgebra de incidencia del poset (I;�) con coeficientes en K.
Ejemplo 6. Si (I;�) es el poset {1 � 3 ≺ 2}, entonces el álgebra de incidencia KI esisomorfo a
A =
K 0 00 K 0K K K
Sea B ∈M3(K) entonces
B =
b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33
Como 1 � 1, 1 � 2, 1 � 3, 2 � 1, 2 � 2, 2 � 3, 3 ≺ 1, 3 ≺ 2 y 3 � 3, entonces unelemento de KI es de la forma b11 0 0
0 b22 0b31 b32 b33
Como en toda posición diferente de 0 admite cualquier elemento del campo se tiene queKI ∼= A.
Ejemplo 7. El anillo asociativo K〈t1, t2〉 de todos los polinomios en dos indeterminadasno conmutativas t1 y t2 con coeficientes en K es una K-álgebra de dimensión infinita.Como el conjunto generado por el elemento t1t2− t2t1 es un ideal I en K〈t1, t2〉 , entoncesla K-álgebra K〈t1, t2〉/I es isomorfa a K[t1, t2].
Ejemplo 8. Sea (G, ·) un grupo finito con elemento identidad e y sea A una K-álgebra. Elgrupo de álgebra de G con coeficientes en A es el K-espacio vectorial AG que consistede todas las sumas formales ∑g∈G gλg, donde λg ∈ A, con la multiplicación definidapor la fórmula (
∑g∈G
gλg
)·(
∑h∈G
hµh
):= ∑
f=gh∈Gf λgµh.
10
Entonces AG es una K-álgebra de dimensión |G|dimk A y el elemento e = e1 es la iden-tidad de AG.En efecto AG es una K-álgebra, pues
1. AG es un K-espacio vectorial. Sean α, β ∈ K
i. α ∑g∈G gλg = ∑g∈G g(αλg), luego α ∑g∈G gλg ∈ AG.
ii.
α
(β ∑
g∈Ggλg
)= α ∑
g∈Gg(βλg)
= ∑g∈G
gα(βλg)
= ∑g∈G
g(αβ)λg
= (αβ) ∑g∈G
gλg.
iii.
(α + β) ∑g∈G
gλg = ∑g∈G
g(α + β)λg
= ∑g∈G
g(αλg + βλg)
= ∑g∈G
[gαλg + gβλg]
= ∑g∈G
gαλg + ∑g∈G
gβλg
= α ∑g∈G
gλg + β ∑g∈G
gλg.
11
iv.
α
(∑
g∈Ggλg + ∑
h∈Ghµh
)= α ∑
f∈Gf γ f
= ∑f∈G
f αγ f
= ∑g∈G
gαλg + ∑h∈G
hαµh
= α ∑g∈G
gλg + α ∑h∈G
hµh.
v. 1 ∑g∈G gλg = ∑g∈G g1λg = ∑g∈G gλg.
2. AG es un anillo
i.
∑g∈G
gλg + ∑h∈G
hµh = g1λg1 + · · ·+ gnλgn + h1µh1 + · · ·+ hmµhm
= ∑f∈G
f γ f ∈ AG.
ii.
∑f∈G
f γ f +
(∑
g∈Ggλg + ∑
h∈Ghµh
)= ∑
f∈Gf γ f + (g1λg1 + · · ·+ gnλgn
+ h1µh1 + · · ·+ hmµhm)
= f1γ f1 + · · · fkγ fk+ (g1λg1 + · · ·
+ gnλgn + h1µh1 + · · ·+ hmµhm)
= ( f1γ f1 + · · · fkγ fk+ g1λg1 + · · ·
+ gnλgn) + h1µh1 + · · ·+ hmµhm
=
(∑f∈G
f γ f + ∑g∈G
gλg
)+ ∑
h∈Ghµh.
iii. 0 + ∑g∈G gλg = ∑g∈G gλg.
iv. ∑g∈G gλg −∑g∈G gλg = 0.
v. ∑g∈G gλg + ∑h∈G hµh = ∑h∈G hµh + ∑g∈G gλg.
12
vi. ((∑
g∈Ggλg
)·(
∑h∈G
hµh
))·(
∑f∈G
f γ f
)=
(∑
gh∈Gghλgµh
)·(
∑f∈G
f γ f
)= ∑
(gh) f∈G(gh) f (λgµh)γ f
= ∑g(h f )∈G
g(h f )λg(µhγ f )
=
(∑
g∈Ggλg
)·(
∑h f∈G
h f µhγ f
)
=
(∑
g∈Ggλg
)·((
∑h∈G
hµh
)·(
∑f∈G
f γ f
)).
vii.
∑g∈G
gλg ·(
∑h∈G
hµh + ∑f∈G
f γ f
)=
(∑
g∈Ggλg
)·(
∑k∈G
kδk
)= ∑
gk∈Ggkλgδk
= ∑gh∈G
ghλgµh + ∑g f∈G
g f λgγ f
=
(∑
g∈Ggλg
)·(
∑h∈G
hµh
)+
(∑
g∈Ggλg
)·(
∑f∈G
f γ f
).
viii.
e · ∑g∈G
gλg = ∑g∈G
egλg
= ∑g∈G
gλg.
13
3. Sea λ ∈ K, entonces
λ
(∑
g∈Ggλg · ∑
h∈Ghµh
)= λ ∑
gh∈Gghλgµh
= ∑gh∈G
ghλλgµh
= ∑gh∈G
ghλgµhλ
=
(∑
g∈Ggλg · ∑
h∈Ghµh
)λ.
Por lo tanto AG es una K-álgebra.Por otro lado, se tiene que una base para AG es {giλi}i∈I , donde g1 ∈ G y λi están enuna base para A. Luego el cardinal de {giλi}i∈I es |G|dimk A.Si G es un grupo cíclico de orden m, entonces KG ∼= K[t]/(tm − 1).
Se prueba tomando un ϕ adecuado, haciendo que en el siguiente diagrama ϕ sea unisomorfismo.
K[t]ϕ
//
π��
KG
K[t]/(tm − 1)
ϕ88
se define a ϕ por
ϕ : K[t] −→ KG
∑i
aiti 7−→∑i
aigi
donde 〈g〉 = G, ademas ϕ(t) = g. Se muestra que ϕ es un homomorfismo sobreyectivo
14
de K-álgebra. Sea λ ∈ K. Entonces
ϕ
(∑
iaiti + ∑
ibiti
)= ϕ
(∑
i(ai + bi)ti
)= ∑
i(ai + bi)gi
= ∑i(aigi + bigi)
= ∑i
aigi + ∑i
bigi
= ϕ
(∑
iaiti
)+ ϕ
(∑
ibiti
).
ϕ
(∑
iaiti ∗∑
jbjtj
)= ϕ
(∑
i∑
jaibjti+j
)= ∑
i∑
jaibjgi+j
= ∑i
aigi ·∑j
bjgj
= ϕ
(∑
iaiti
)· ϕ(
∑j
bjtj
).
ϕ(1) = ϕ(1t0)
= 1g0
= e.
15
ϕ
(λ ∑
iaiti + ∑
jbjtj
)= ϕ
(λ ∑
iaiti
)+ ϕ
(∑
jbjtj
)
= ϕ
(∑
iaiλti
)+ ϕ
(∑
jbjtj
)
= ∑i
aiλgi + ϕ
(∑
jbjtj
)
= λ ∑i
aigi + ϕ
(∑
jbjtj
)
= λϕ
(∑
iaiti
)+ ϕ
(∑
jbjtj
).
También se tiene que ϕ es sobreyectiva. En efecto, sea ∑i aigi ∈ KG así ϕ(∑i aiti) =
∑i aigi.Además 〈tm − 1〉 = I = kerϕ. Sea p(t) ∈ I entonces p(t) = q(t)(tm − 1) = ∑i aitm+i −∑i aiti. Luego
ϕ
(∑
iaitm+i −∑
iaiti
)= ϕ
(∑
iaitm+i
)− ϕ
(∑
iaiti
)= ∑
iaigmgi −∑
iaigi
= ∑i
aiegi −∑i
aigi
= 0
Luego I ⊆ Kerϕ.Sea p(t) ∈ Kerϕ. Por el algoritmo de la división se tiene que p(t) = q(t)(tm − 1) + r(t),donde gr(r) < m. Luego
ϕ(p(t)) = ϕ(q(t)(tm − 1) + r(t))= ϕ(q(t)(tm − 1)) + ϕ(r(t))= ϕ(r(t))
Como p(t) ∈ kerϕ entonces ϕ(p(t)) = ϕ(r(t)) = 0, pero gr(r) < m. Luego r(t) = 0. Asíp(t) = q(t)(tm − 1), es decir, kerϕ ⊆ I.Luego I = Kerϕ. Por lo tanto KG ∼= K[t]/ 〈tm − 1〉.
16
Ejemplo 9. Sean A1 y A2 K-álgebras. El producto de álgebras A1 y A2 es el álgebra A =A1× A2 con la adición y multiplicación dadas por (a1, a2) + (b1, b2) := (a1 + b1, a2 + b2)y (a1, a2)(b1, b2) := (a1b1, a2b2), donde a1, b1 ∈ A1 y a2, b2 ∈ A2. La identidad de A es elelemento 1 = (1, 1) = e1 + e2 ∈ A1 × A2, donde e1 = (1, 0) y e2 = (0, 1).
Ejemplo 10. Para cualquier K-álgebra A se puede definir el álgebra opuesta Aop de A,la cual es una K-álgebra cuyo conjunto y estructura de espacio vectorial subyacentes sonjusto los de A, pero la multiplicación ∗ en Aop está definida por la fórmula a ∗ b = ba.
1.3. El radical de Jacobson
Sobre los ideales tenemos que un ideal M de un anillo A es maximal si este es diferentede A y no existe ningún ideal propio N de A que contenga propiamente a M.
Definición 1.3.1. El radical de Jacobson radA de una K-álgebra A, es la intersección de todoslos ideales maximales a derecha de A
Lema 1.3.1. Sea A una K-álgebra y sea a ∈ A. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
a) a ∈ radA.
a’) a pertenece a la intersección de todos los ideales maximales a izquierda de A.
b) Para todo b ∈ A, el elemento 1− ab tiene un inverso a ambos lados.
b’) Para todo b ∈ A, el elemento 1− ab tiene un inverso a derecha.
c) Para todo b ∈ A, el elemento 1− ba tiene un inverso a ambos lados.
c’) Para todo b ∈ A, el elemento 1− ba tiene un inverso a izquierda.
Demostración. a) implica b′). Sea b ∈ A. Supóngase que 1− ab no tiene inverso a dere-cha. Entonces existe un ideal I maximal a derecha tal que 1− ab ∈ I. Como a ∈ radA ⊆ Ise tiene que ab ∈ I y 1 ∈ I lo cual es una contradicción. Luego 1− ab tiene inverso aderecha.
La otra implicación, b′) implica a). Supóngase que a /∈ radA entonces existe un ideal Imaximal a derecha en A tal que a /∈ radA. Luego A = I + aA. Asi existe x ∈ I y unb ∈ A tales que 1 = x + ab. Esto es x = 1− ab ∈ I no tiene inverso a derecha lo cual esuna contradicción. Por lo tanto a ∈ radA.
17
De forma similar se tiene que a′) implica c′). Sea b ∈ A y asúmase que 1− ba no tieneinverso a izquierda. Luego existe un ideal I maximal a izquierda de A tal que 1− ba ∈ I.Como a ∈ B ⊆ I entonces ba ∈ I y 1 ∈ I, lo cual es una contradicción. Luego 1− batiene inverso a izquierda.
La otra implicación, c′) implica a′). Supóngase que a /∈ B. Sea I el ideal maximal aizquierda de A tal que a /∈ I. Entonces A = I + Aa. Así existe un x ∈ I y b ∈ A tales que1 = x + ba.Luego x = 1− ba ∈ I, es decir x no tiene inverso a izquierda, lo cual es unacontradicción. Por lo tanto a ∈ B.
Ahora se prueba la equivalencia entre b) y c). Como 1− ab tiene inverso a dos ladosentonces existe x ∈ A tal que (1− ab)x = 1. Entonces
x− abx = 1,
luego
b(x + abx)a = babxa− babxa− ba = 0
1 + bxa− babxa− ba = 11 + bxa− ba(1 + bxa) = 1
(1− ba)(1 + bxa) = 1.
Así 1− ba tiene inverso a derecha.
Además 1− ba tiene inverso a izquierda. Se tiene que existe y ∈ A tal que y(1− ab) = 1.Entonces
y− yab = 1b(y− yab)a = ba
bya− byaba− ba = 01 + bya− byaba− ba = 1
1 + bya− (bya + 1)ba = 1(1 + bya)(1− ba) = 1,
luego 1− ba tiene inverso a izquierda.
De manera similar, como 1− ba tiene inverso a ambos lados entonces existe x ∈ A talque (1− ba)x = 1. Entonces
x− bax = 1,
18
luego
a(x + bax)b = abaxb− abaxb− ab = 0
1 + axb− abaxb− ab = 11 + axb− ab(1 + axb) = 1
(1− ab)(1 + axb) = 1.
Así 1− ab tiene inverso a derecha.
Se prueba que 1− ab tiene inverso a izquierda. Se tiene que que existe y ∈ A tal quey(1− ba) = 1. Entonces,
y− yba = 1a(y− yba)b = ab
ayb− aybab− ab = 01 + ayb− aybab− ab = 1
1 + ayb− (ayb + 1)ab = 1(1 + ayb)(1− ab) = 1.
Luego 1− ab tiene inverso a izquierda.
b′) implica b). Fíjese b ∈ A. Como 1− ab tiene inverso a derecha, entonces existe x ∈ Atal que (1− ab)x = 1. Luego x = 1− a(−bx). Así existe y ∈ A tal que
1 = xy = (1 + abx)y= y + abxy= y + ab.
Luego y = 1− ab, es decir x es un inverso a izquierda de y y por lo tanto 1− ab tieneinverso a ambos lados.
Por último, se prueba que c′) implica c). Fijemos b ∈ A. Como 1− ba tiene inverso aderecha, entonces existe y ∈ A tal que y(1− ba) = 1. Luego y = 1− (−yb)a. Así, existex ∈ A tal que
1 = xy = x(1 + yba)= x + xyba= x + ba.
19
Luego x = 1− ba, es decir y es un inverso a derecha de x y por lo tanto 1− ba tieneinverso a ambos lados.
Con las anteriores implicaciones se tiene que c) implica c′) y b′) implica b). Así el lemaqueda demostrado.
Corolario 1.3.1. Sea radA el radical de un álgebra A, entonces
1. radA es la intersección de todos los ideales maximales a izquierda.
2. radA es in ideal bilátero y rad(A/radA) = 0.
3. Si I es un ideal bilátero nilpotente de A, entonces I ⊆ radA. Si, además, el álgebra A/Ies isomorfo al producto K× · · · × K de copias de K, entonces I = radA.
Demostración. 1. La equivalencia entre a) y a′) del lema anterior justifica este hecho.
2. La primera parte es consecuencia inmediata del lema anterior. Para la segundaparte sea a ∈ rad(A/radA), b ∈ A/radA. Por el lema anterior existe c ∈ A/radAtal que
(1− ab)c = 1.
Así (1− ab)c = 1− x, para a, b ∈ A, algún c ∈ A y x ∈ radA. Luego existe und ∈ A tal que (1− x)d = 1, es decir (1− ab)cd = 1. Luego 1− ab tiene inverso aderecha. Así a ∈ radA y por lo tanto a = 0 ∈ A/radA. Luego rad(A/radA) = 0.
3. Sea m > 0 un entero tal que Im = 0. Sean x ∈ I y a ∈ A. Entonces ax ∈ I. Luego(ax)r = 0, para algún r > 0. Se sigue que la igualdad
(1 + ax + (ax)2 + · · ·+ (ax)r−1)(1− ax) = 1
se mantiene para cualquier a ∈ A. Por el lema anterior se tiene que x ∈ radA. Porlo tanto I ⊆ radA.
Suponga que el álgebra A/I es isomorfo al producto de copias de K. En particularrad(A/I) = 0. El homomorfismo canónico π : A −→ A/I envía radA al rad(A/I).En efecto, si a ∈ radA y π(b) = b + I, b ∈ A, es cualquier elemento de A/Ientonces 1− ab es invertible en A y luego el elemento
π(1− ab) = 1− π(b)π(a)
es invertible en A/I. Luego π(a) ∈ rad(A/I) = 0. Así radA ⊆ kerπ = I. Por lotanto radA = I.
20
Ejemplo 11. Sea I un poset finito y KI la K-álgebra de incidencia vista como una subál-gebra de el álgebra de matrices Mn(K). Entonces el radKI es el conjunto
U = {λ = [λij]|λii = 0 para i = 1, . . . , n}
y el álgebra KI/U es isomorfo al producto K× · · · × K de n copias de K.Se tiene que U es un ideal bilátero de KI. En efecto, Sea B = [βij] ∈ U y A = [αij] ∈ KI,entonces BC = [δij] donde δij = ∑n
r=1 βirαrj. Asúmase que ak � al, para 1 ≤ k, l ≤ n,así αkl = 0 y βkl = 0. Se tiene que δkk = ∑n
r=1 βkrαrk = 0. Como ak � al entonces no sepuede tener que ak � am y am � al, para m 6= k. Así ak � am, es decir βkm = 0 param 6= k. Luego δkk = βkkαkk, como βkk = 0 entonces δkk = 0. Luego BA ∈ U y por lo tantoU es un ideal a derecha de KI. De igual manera se prueba que U es un ideal a izquierdade KI y por lo tanto U es un idea bilátero de KI.Sea A ∈ U entonces el polinomio característico de A es p(λ) = (−1)nλn. Por el teoremade Cayley-Hamilton se tiene que p(A) = 0. Así An = 0, luego U es un ideal nilpotentede KI. Se prueba que KI/U es isomorfo al producto de n copias de K. Así
KIϕ//
π��
K× · · · × K
KI/U
ϕ77
Defínase ϕ por
ϕ : KI −→ K× · · · × KA 7−→ (a11, . . . , ann).
Así definido ϕ es un homomorfismo sobreyectivo de K-álgebras. Sean A = [aij] y B =[bij] matrices de KI, entonces
1.
ϕ(A + B) = ϕ([aij] + [bij])
= ϕ([ai j + bij])
= (a11 + b11, . . . , ann + bnn)
= (a11, . . . , ann) + (b11, . . . , bnn)
= ϕ(A) + ϕ(B)
21
2.
ϕ(AB) = ϕ([aij][bij])
= (a11b11, . . . , annbnn)
= (a11, . . . , ann)(b11, . . . , bnn)
= ϕ(A)ϕ(B).
3.ϕ(1) = (1, . . . , 1).
4. Sea λ ∈ K
ϕ(λA) = ϕ(λ[aij])
= ϕ([λaij])
= (λa11, . . . , λann)
= λ(a11, . . . λ, ann)
= λϕ(A).
ϕ es sobreyectiva, en efecto, sea (a11, . . . , ann) ∈ K × · · · × K así ϕ(A) = (a11, . . . , ann).Por último se tiene que U = kerϕ.Sea A ∈ Kerϕ entonces ϕ(A) = (0, . . . , 0) esto implica que aii = 0 luego A ∈ U. SeaA ∈ U, así aii = 0 luego ϕ(A) = (0, . . . , 0), por lo tanto A ∈ kerϕ.Usando el teorema 1.2.1 se tiene que KI/U ∼= K × · · · × K. Luego por el corolario 1.2.1se concluye que U = radKI.
22
Capítulo 2
Módulos
En este capítulo se presenta la noción de módulos como estructura algebraica a partirde la de K-álgebra, además se mencionan las definiciones de módulos simples y semi-simples y la definición de bimódulo, se ha seguido el orden de presentación para estostemas de [4] y los conceptos de [5].
2.1. Módulos
Definición 2.1.1. Sea A una K-álgebra. Un A- módulo a derecha es un par (M, ·), donde Mes un K-espacio vectorial y
· :M× A −→ M(m, a) 7−→ ma
Es una operación binaria que satisface las siguientes condiciones
i) (x + y)a = xa + ya
ii) x(a + b) = xa + xb
iii) x(ab) = (xa)b
iv) x1 = x
v) (xλ)a = x(aλ) = (xa)λ,
23
para todo x, y ∈ M, a, b ∈ A y λ ∈ K.
Un módulo M se dice de dimensión finita si la dimensión de dimk M del K-espacio vectorialsubyacente de M es finito.
La definición de A-módulo a izquierda es análoga. Además se denota AA y A A cadavez que se ve al álgebra A como un módulo a derecha o izquierda respectivamente.
Definición 2.1.2. Un K-subespacio M′ de un A-módulo a derecha M se dice que es un A-submódulo de M si ma ∈ M′ para todo m ∈ M′ y a ∈ A.
Ejemplo 12. Sea A una K-álgebra y sea Mn(A) el conjunto de todas las matrices detamaño n× n con entradas en A.El producto
Ba = [bij]a = [bija]
donde B = [bij] ∈ Mn(A) y a ∈ A da a Mn(A) estructura de A-módulo. En efecto, seaC = [cij] ∈Mn(A), d ∈ A y λ ∈ K. Entonces
i.
(B + C)a = ([bij] + [cij])a
= [bij + cij]a
= [(bij + cij)a]
= [bija + cija]
= [bija] + [cija]
= [bij]a + [cij]a
= Ba + Ca.
ii.
B(a + d) = [bij](a + d)
= [bij(a + d)]
= [bija + bijd]
= [bija] + [bijd]
= [bij]a + [bij]d
= Ba + Bd.
24
iii.
B(ad) = [bij](ad)
= [bij(ad)]
= [(bija)d]
= [bija]d
= ([bij]a)d
= (Ba)d.
iv.
B1 = [bij]1
= [bij1]
= [bij]
= B.
v.
(Bλ)a = ([bijλ])a
= [bijλ]a
= [(bijλ)a]
= [bij(aλ)]
= [(bija)λ]
= [bija]λ
= ([bij]a)λ
= (Ba)λ.
Así Mn(A) es un A-módulo. El subconjunto Tn(K) es un submódulo de Mn(K). Enefecto, sean A ∈ Tn(K) y α ∈ K, entonces
A =
a11 0 · · · 0a21 a22 · · · 0...
......
an1 an2 · · · ann
25
Aα =
a11 0 · · · 0a21 a22 · · · 0...
......
an1 an2 · · · ann
α
=
a11α 0 · · · 0a21α a22α · · · 0
......
...an1α an2α · · · annα
,
luego Aα ∈ Tn(K). Y por lo tanto Tn(K) es un submódulo de Mn(k).
Definición 2.1.3. Sean A y B dos K-álgebras. Un A-B-bimódulo es una tripla AMB = (M, ∗, ·),donde AM = (M, ∗) es un A-módulo a izquierda, MB = (M, ·) es un B-módulo a derecha, y(a ∗m) · b = a ∗ (m · b) para todo m ∈ M, a ∈ A, b ∈ B.
Un homomorfismo de A-B-bimódulo es un A-homomorfismo a izquierda de A-móduloy un B-homomorfismo a derecha de B-módulo.
Definición 2.1.4. Un A-módulo a derecha M se dice que es generado por los elementos m1, . . . , msde M si cualquier elemento m ∈ M es de la forma m = m1a1 + · · · + msas para algunosa1, . . . , as ∈ A. Se escribe M = m1A + · · ·+ ms A. Un módulo M se dice que es finitamentegenerado si es generado por un subconjunto finito de elementos de M.
Definición 2.1.5. Sean M1, . . . , Ms submódulos de un A-módulo a derecha M. Se define M1 +· · · + Ms como el submódulo de M que consiste de todas las sumas m1 + · · · + ms, dondem1 ∈ M1, . . . , ms ∈ Ms y es llamado el submódulo generado por M1, . . . , Ms.
2.2. Homomorfismos de módulos
Definición 2.2.1. Sean M y N A-módulos a derecha, donde A es una K-álgebra. Una aplicaciónK-lineal f : M −→ N es un homormofismo de A-módulos si f (aλ) = f (a)λ, para todoa ∈ M y λ ∈ A. Se dice que f es un monomorfismo si es inyectiva. f es un epimorfismo si essobreyectiva. Si f es biyectivo se dice que es un isomorfismo. Los A-módulos M y N a derechase dicen que son isomorfos si existe un isomorfismo de A-módulos h : M −→ N y se nota porM ∼= N. Un homomorfismo de A-módulo h : M −→ M se dice que es un endomorfismo.
Definición 2.2.2. Sea h : M −→ N un homomorfismo de A-módulos. Se define:
1. El Kernel de h como Kerh = {m ∈ M|h(m) = 0}.
26
2. La imagen de h como Imh = {h(m)|m ∈ M}.
3. El cokernel de h como Cokerh = N/Imh.
Proposición 2.2.1. El kernel, la imagen y el cokernel de h son submódulos.
Demostración. i. Sea m ∈ Kerh y a ∈ A. Así se tiene que
h(ma) = h(m)a = 0a = 0,
luego ma ∈ Kerh. Por lo tanto Kerh es un submódulo de M.
ii. Sean n ∈ Imh, entonces existe m ∈ M tal que h(m) = n. Luego para a ∈ A se tiene
na = h(m)a = h(ma),
así na ∈ Imh. por lo tanto Imh es un submódulo de N.
iii. Como Imh es un submódulo de N, entonces Cokerh = N/Imh es un submódulode N.
Definición 2.2.3. La suma directa de M1, . . . , Ms de A-módulos a derecha es definida comoel K-espacio vectorial de suma directa M1 ⊕ · · · ⊕ Ms equipado con estructura de A-módulodefinida por (m1, . . . , ms)a = (m1a, . . . , msa) para m1 ∈ M1, . . . , ms ∈ Ms y a ∈ A.
Ms = M⊕ · · · ⊕M (s copias)
Definición 2.2.4. UnA-módulo M a derecha se dice indescomponible si M es diferente de ceroy no tiene descomposición en suma directa M ∼= N ⊕ L, donde L y N son A-módulos diferentesde cero.
Ejemplo 13. Sea A una K-álgebra y sea Mn(A) el conjunto de todas las matrices detamaño n× n con entradas en A. El producto
Ba = [bij]a = [bija]
donde B = [bij] ∈ Mn(A) y a ∈ A da a Mn(A) estructura de A-módulo. En efecto, seaC = [cij] ∈Mn(A), d ∈ A y λ ∈ K. Entonces
27
1.
(B + C)a = ([bij] + [cij])a
= [bij + cij]a
= [(bij + cij)a]
= [bija + cija]
= [bija] + [cija]
= [bij]a + [cij]a
= Ba + Ca.
2.
B(a + d) = [bij](a + d)
= [bij(a + d)]
= [bija + bijd]
= [bija] + [bijd]
= [bij]a + [bij]d
= Ba + Bd.
3.
B(ad) = [bij](ad)
= [bij(ad)]
= [(bija)d]
= [bija]d
= ([bij]a)d
= (Ba)d.
4.
B1 = [bij]1
= [bij1]
= [bij]
= B.
28
5.
(Bλ)a = ([bijλ])a
= [bijλ]a
= [(bijλ)a]
= [bij(aλ)]
= [(bija)λ]
= [bija]λ
= ([bij]a)λ
= (Ba)λ.
Así Mn(A) es un A-módulo. El subconjunto Tn(K) es un submódulo de Mn(K). Enefecto, sean A ∈ Tn(K) y α ∈ K, entonces
A =
a11 0 · · · 0a21 a22 · · · 0...
......
an1 an2 · · · ann
Aα =
a11 0 · · · 0a21 a22 · · · 0...
......
an1 an2 · · · ann
α
=
a11α 0 · · · 0a21α a22α · · · 0
......
...an1α an2α · · · annα
.
Luego Aα ∈ Tn(K). Y por lo tanto Tn(K) es un submódulo de Mn(k).
Ejemplo 14. Z visto como módulo es indescomponible. En efecto, Sean 〈m〉 y 〈n〉 sub-módulos de Z tales que Z = 〈m〉 ⊕ 〈n〉. Como mn ∈ 〈m〉 ∩ 〈n〉 = 0 entonces mn = 0.Luego m = 0 o n = 0. Por lo tanto Z es indescomponible.
29
2.3. Módulos simples y semisimples
Definición 2.3.1. Un A-módulo a derecha S es simple si S es diferente de cero y cualquiersubmódulo de S es cero o S
Definición 2.3.2. Un módulo M es semisimple si M es una suma directa de módulos simples
Lema 2.3.1 (Schur). Sea S y S′ módulos a derecha, y f : S→ S′ un homomorfismo diferente decero.
a) Si S es simple, entonces f es un monomorfismo.
b) Si S′ es simple, entonces f es un epimorfismo.
c) Si S y S′ son simples, entonces f es un isomorfismo.
Demostración. Como f : S → S′ es un homomorfismo de A-módulos, entonces Ker f eIm f son A-submódulos de S y S′. Así
a) Si S es simple, por ser f 6= 0 se tiene que Ker f = 0. Luego f es un monomorfismo.
b) Si S′ es simple, por ser f 6== 0 se tiene que Im f = S′. Luego f es un epimorfismo.
c) Por a) y b), f es biyectivo, es decir, es un isomorfismo.
Corolario 2.3.1. Si S es un A-módulo simple, entonces existe un isomorfismo de K-álgebraEndS ∼= K
Demostración. Se sigue del lema de Schur que cualquier elemento no cero en EndS esinvertible y por lo tanto EndS son un anillo de división. Como S es simple, entoncesS es cíclico y por consiguiente dimKS es finita, Lo cual implica que dimKEndS tambiénes finita. Como K es algebraicamente cerrado, para f ∈ EndS, f tiene una valor propioλ ∈ K. Luego f − λidS ∈ EndS, como f − λidS es no invertible entonces f − λidS = 0.Así f = λidS. Luego el homomorfismo de K-álgebra definido por
ϕ : K −→ EndSλ 7−→ λids
es un isomorfismo. Por lo tanto K ∼= EndS.
30
Lema 2.3.2. a) Un A-módulo M a derecha de dimensión finita es semisimple si y sólo si paracualquier A-submódulo N de M existe un submódulo L de M tal que L⊕ N = M.
b) Un submódulo de un módulo semisimple es semisimple.
Demostración. a) Sea M un módulo semisimple, es decir M =⊕
i∈I Si, donde I es unconjunto finito de índices y Si son módulos simples.Sea N un submódulo de M y J un subconjunto de I tal que para j ∈ J, N ∩ Sj = 0.Entonces para t /∈ J se tiene que N ∩ St 6= 0. Como N ∩ St es un submódulo de Stse tiene que N ∩ St = St. Así St ⊆ N. Defina a M∗ = N +
⊕j∈J Sj, esta suma es
directa ya que N ∩⊕j∈J Sj = 0. Se prueba que M∗ = M, para esto se debe probarque Si ⊆ M∗ para todo i ∈ I.Sea i ∈ I, si Si ∩ N = 0 entonces i ∈ J y Si ⊆ M∗. Si Si ∩ N 6= 0 se tiene queSi = Si ∩ N lo cual implica que Si ⊆ N. Luego Si ⊆ M∗.Si L =
⊕j∈J Sj entonces M = N ⊕ L.
Recíprocamente, asúmase que para cualquier A-submódulo n de M existe un sub-módulo L de M tal que M = N⊕ L. Sea N la suma de todos los módulos semisim-ples de M. Si L 6= 0 entonces L contiene un submódulo simple V. Así V esta en N,luego V ⊆ N ∩ L = 0. Lo cual es una contradicción. Por lo tanto L = 0 y M = N.
b) Sea N un submódulo de M y P un submódulo de N. Así existen submódulos P′ yN′ de M tales que
M = N ⊕ N′ = P⊕ P′
Sea Q = P′ ∩ N un submódulo de N. Veamos que N = P + Q y P ∩ Q = 0. Enefecto
i) Sea n ∈ N, luego n ∈ M. Así n = a + b para a ∈ P y b ∈ P′. Como P ⊆ N,a ∈ N. Luego b = n− a ∈ N. Así b ∈ N ∩ P′ = Q. Por lo tanto n ∈ P + Q yasí N = P + Q.
ii) Sea n ∈ P ∩ Q, luego n ∈ Q. Así n ∈ P′ y n ∈ P, es decir, n ∈ P ∩ P′ = 0.Luego n = 0 y por lo tanto P ∪Q = 0.
Luego N = P⊕Q, es decir, N es un módulo semisimple por parte (a).
Ejemplo 15. Dado un campo K, si se considera como K-módulo, se tiene que es simple.
Ejemplo 16. Si se considera Z como un Z-módulo, tenemos que es simple como vimosen el ejemplo 14.
31
Capítulo 3
Descomposición en suma directa
En este capítulo se presentan las definiciones de idempotentes y algunas de sus impli-caciones, ademas se da el concepto de álgebra local y álgebra básica. Este capítulo se habasado en [5] y [6].
3.1. Idempotentes
Definición 3.1.1. Sea A una K-álgebra. Un elemento e ∈ A recibe el nombre de idempotentesi e2 = e. El idempotente e se dice central si ae = ea para todo a ∈ A.
Definición 3.1.2. Sea A una K-álgebra y e1, e2 idempotentes de A. e1, e2 se dicen ortogonalessi e1e2 = e2e1 = 0.
Definición 3.1.3. Sea A una K-álgebra y e un idempotente de A. e se dice primitivo si e nopuede ser escrito como una suma e = e1 + e2, donde e1 y e2 son idempotentes ortogonales de Adiferentes de 0.
Cada K-álgebra A tiene dos idempotentes triviales, a saber, 0 y 1.
Proposición 3.1.1. Si el idempotente e de una K-álgebra A es no trivial, entonces también lo es1− e. Además e y 1− e son idempotentes ortogonales.
Demostración. Para la primera parte se tiene que (1− e)2 = 1− 2e + e = 1− e, comoe 6= 0 y e 6= 1, entonces 1− e 6= 0 y 1− e 6= 1, es decir 1− e es un idempotente no trivialde A. Para la segunda parte se tiene que (1− e)e = e(1− e) = e− e2 = e− e = 0.
32
También se tiene que si e y 1− e son idempotentes no triviales eA y (1− e)A son A-submodulos de AA y por ende existe una descomposición no trivial de A-módulos aderecha
AA = eA⊕ (1− e)A.
Proposición 3.1.2. Si AA = M1 ⊕ M2 es una descomposición no trivial de A-módulos y1 = e1 + e2, e1 ∈ M1 y e2 ∈ M2, entonces:
i) e1 y e2 son una pareja de idempotentes ortogonales de A.
ii) Mi = ei A es indescomponible si y sólo si ei es primitivo para i ∈ {1, 2}.
Demostración. i) Se tiene que:
1 = (e1 + e2)2 = e2
1 + 2e1e2 + e22
de donde e1e2 = e2e1 = 0, es decir, e1 y e2 son ortogonales. Por otra parte
e21 = e1e1 = e1(1− e2) = e1 − e1e2 = e1
los cual indica que e1 es un idempotente, de forma similar se prueba para e2.
ii) Sea Mi = ei A indescomponible. Supóngase que ei no es primitivo, es decir, ei =n1 + n2 con n1 y n2 idempotentes ortogonales de A. Así ei A = n1(ei A)⊕ n2(ei A) esuna descomposición no trivial de A-módulos, lo cual es contradictorio. Ahora seaei primitivo y asúmase que Mi = ei A no es indescomponible, es decir, Mi = N1 ⊕N2, de donde, ei = n1 + n2 con n1 ∈ N1 y n2 ∈ N2 así por i) esto es contradictorio.
Si e es un idempotente central de A, también lo será 1− e. Además eA y (1− e)A sonideales y estos tienen estructura de K-álgebra con elemento identidad e y 1− e, respec-tivamente. En este caso la descomposición AA = eA⊕ (1− e)A es una descomposiciónen producto directo del álgebra A.
Se tiene además que en un álgebra A de dimensión finita, y siguiendo los resultados an-teriores. El módulo AA admite una descomposición en suma directa AA = P1⊕ · · ·⊕ Pn,donde P1, . . . , Pn son ideales a derecha indescomponibles de A, además se tiene queP1 = e1A, . . . , Pn = en A, donde e1, . . . , en son idempotentes primitivos ortogonales dosa dos de A tal que 1 = e1 + · · ·+ en. De igual manera cada conjunto {e1, . . . , en} de idem-potentes primitivos ortogonales de A tal que 1 = e1 + · · ·+ en induce una descomposi-ción AA = P1⊕ · · · ⊕ Pn de ideales a derecha indescomponibles P1 = e1A, . . . , Pn = en A.Tal descomposición recibe el nombre de una descomposición indescomponible de A.
33
Definición 3.1.4. El conjunto {e1, . . . , en} tomado como se hizo previamente se llama un con-junto completo de idempotentes primitivos ortogonales de A.
Definición 3.1.5. Se dice que un álgebra A es conexa (o indescomponible) si A no es productodirecto de dos álgebras, o equivalentemente, si 0 y 1 son los únicos idempotentes centrales de A.
Ejemplo 17. Considere la K-subálgebra
A =
K 0 00 K 0K K K
de M3(K) dada en el ejemplo 4. Esta K-subálgebra es conexa, pues sus únicos idempo-tentes centrales son
1A =
1 0 00 1 00 0 1
y 0 =
0 0 00 0 00 0 0
También se tiene que dimk A = 5 y además AA tiene una descomposición indescompo-nible AA = e1A⊕ e2A⊕ e3A, donde
e1 =
1 0 00 0 00 0 0
, e2 =
0 0 00 1 00 0 0
y e3 =
0 0 00 0 00 0 1
son idempotentes primitivos ortogonales de A tal que 1A = e1 + e2 + e3.
Lema 3.1.1. Sea A una K-álgebra, e ∈ A un idempotente, y eA un A-módulo a derecha. Laaplicación K-lineal
θeA : End eA −→ eAeφ 7−→ φ(e) = φ(e)e
para φ ∈ End eA, es un isomorfismo de eAe-módulos a derecha e induce un isomorfismo deK-álgebras.
Demostración. Se tiene que θeA es un homomorfismo de eAe-módulos, en efecto, seam = eae ∈ eAe, con a ∈ A y φ ∈ End eA así
34
θeA(φm) = (φm)(e)= φ(e)m= φ(e)(eae)= φ(e)e(eae)= θeA(φ)m.
También es un isomorfismo de eAe-módulos, sea
θ′eA : eAe −→ End eAm −→ θ′eA(me)(eb) = meb
con b ∈ A, así se tiene que θ′eA es inversa de θeA, pues
θ′eA ◦ θeA(φ) = θ′eA(θeA(φ))
= θ′eA(φ(e)e)= φ(e)e= φ,
θeA ◦ θ′eA(m) = θeA(θ′eA(eae))
= θ′eA(eae)(e)= (eae)e= m.
Resta ver que θeA es un homomorfismo de K-álgebras, es decir, θeA es un homomorfismode anillos, así
θeA(φ + ψ) = (φ + ψ)(e)= φ(e) + ψ(e)= θeA(φ) + θeA(ψ),
35
θeA(φψ) = (φψ)(e)= φ(e)ψ(e)= θeA(φ)θeA(ψ),
θeA(id) = id(e) = id(e)e = e.
Luego se tiene el resultado esperado.
3.2. Álgebras locales
Definición 3.2.1. Un álgebra A se dice que es local si A tiene un único ideal maximal a derecha,o equivalentemente, si tiene un único ideal maximal a izquierda.
Lema 3.2.1. Sea A una K-álgebra de dimensión finita. A es local, entonces A tiene solo dosidempotentes, 0 y 1.
Demostración. Supóngase que existe un idempotente e de A tal que e no es 0 ni 1. Asíexiste una descomposición no trivial A = eA ⊕ (1 − e)A. Como eA y (1 − e)A sonideales de A, deben estar contenidos en I, el ideal maximal de A. Como es único I =radA. Asi e ∈ radA. Luego 1− e tiene inverso a derecha b, por el lema 1.3.1. Luego
0 = e(1− e)0b = [e(1− e)]b0 = e[(1− e)b]0 = e,
lo cual es una contradicción.
Un ejemplo de un álgebra de dimensión infinita, la cuale solo tiene dos idempotentes, 0y 1 y aún así no es local, es el álgebra de polinomios K[t].
Corolario 3.2.1. Un idempotente e ∈ A es primitivo si y solo si el álgebra eAe ∼= End eA tienesólo dos idempotentes 0 y e.
36
Demostración. ⇒ Sea e un idempotente primitivo. Sea e′ un idempotente en eAe, asíe′ = eae, para a ∈ A. Entonces (e− e′) es un idempotente también, y e′(e− e′) = 0.Más aún, e = e′ + (e− e′), y como e es primitivo, se debe tener e′ = 0 o e− e′ = 0.Luego e′ es un ideal idempotente. Por lo tanto todos los idempotentes de eAe sontriviales.
⇐ Suponga que e = e′+ e′′, donde e′ y e′′ son idempotentes ortogonales en A. Enton-ces
(ee′e)(ee′e) = ee′ee′e = ee′(e′ + e′′)e′e = ee′e + ee′e′′e′e = ee′e
de la última ecuación se sigue que e′e′′ = 0. Así (ee′e) es un idempotente de A yde eAe. Luego ee′e = 0 o ee′e = e. En el primer caso, se tiene que
0 = ee′e = (e′ + e′′)e′(e′ + e′′) = e′
por ser e′ y e′′ ortogonales.
En el segundo caso, se tiene que
e′ + e′′ = e = ee′e = (e′ + e′′)e′(e′ + e′′) = e′
Así e′′ = 0. Por lo tanto e no puede ser escrito como la suma de dos idempotentesortogonales no triviales. Luego e es primitivo.
3.3. Álgebras básicas
Definición 3.3.1. Sea A una K-álgebra con un conjunto completo de idempotentes primitivosortogonales {e1, . . . , en}. El álgebra A se llama básica si ei A � ej A, para todo i 6= j.
Definición 3.3.2. Sea A una K-álgebra con un conjunto completo de idempotentes primitivosortogonales {e1, . . . , en}. Un álgebra básica asociada a A es la álgebra
Ab = eA AeA
donde eA = ej1 + · · ·+ eja , y ej1 , . . . , eja son escogidos tales que eji A � ejt A para i 6= t y cadamódulo es A es isomorfo a uno de los módulos ej1 A, . . . , eja A
37
Capítulo 4
Quivers y Álgebras
En este capítulo se introduce la noción de quiver y sus propiedades, además se ve ladefinición de el álgebra de caminos siguiendo el orden de [5] y algunos detalles de [1].Para concluir con el teorema que relaciona el álgebra de caminos con las álgebras dematrices triangulares.
4.1. Quivers y Álgebras de Caminos
Definición 4.1.1 (Quiver). Un quiver Q = (Q0, Q1, s, t) es una cuádrupla que consiste dedos conjuntos: Q0, cuyos elementos se llaman puntos o vértices y Q1, cuyos elementos sonllamados flechas; y dos aplicaciones s, t : Q1 → Q0 las cuales asocian a cada flecha α ∈ Q1 suorigen s(α) ∈ Q0 y su llegada t(α) ∈ Q0, respectivamente.
Una flecha α ∈ Q1 de origen a = s(α) y llegada b = t(α) es usualmente denotada porα : a → b. Un quiver Q = (Q0, Q1, s, t) es usualmente denotado por Q(Q0, Q1) o deforma más simple, solamente por Q.
La manera usual de representarlos es por medio de un dibujo, en el cual, los puntos sonrepresentados por un círculo abierto y cada flecha está apuntando hacía su objetivo. Asílos siguientes son ejemplos de quivers.
38
◦
◦
__
// ◦ // ◦
◦
??
◦ // ◦ // ◦oo
◦ // ◦oo ee
◦99 ee
Definición 4.1.2 (Subquiver). [[5], pp. 42] Un subquiver de un quiver Q = (Q0, Q1, s, t)es un quiver Q′ = (Q′0, Q′1, s′, t′) tal que Q′0 ⊆ Q0, Q′1 ⊆ Q1 y las restricciones s|Q′1 , t|Q′1 des, t a Q′1 son respectivamente iguales a s′ y t′, es decir, si α : a → b es una flecha en Q1 tal queα ∈ Q′1 y a, b ∈ Q′0, entonces s′(α) = a y t′(α) = b.
Un subquiver se dice pleno si Q′1 es igual al conjunto de todas las flechas en Q1 cuyoorigen y llegada pertenecen a Q′0, esto es
Q′1 = {α ∈ Q1|s(α) ∈ Q′0 y t(α) ∈ Q′0}
En particular un subquiver pleno esta unicamente determinado por su conjunto de pun-tos.
39
Un quiver Q se dice que es finito si Q0 y Q1 son conjuntos finitos. El grafo subyacenteQ de un quiver Q es obtenido de Q olvidando la orientación delas flechas. El quiver Qse dice que es conexo si Q es un grafo conexo.
Definición 4.1.3. Sea Q = (Q0, Q1, s, t) un quiver y a, b ∈ Q0. Un camino de longitudl ≥ 1 con origen a y llegada b es una sucesión
(a|α1, α2, . . . , αl|b)
donde αk ∈ Q1 para 1 ≤ k ≤ l, donde además s(α1) = a, t(αk) = s(αk+1) para cada 1 ≤ k ≤ ly t(αl) = b. Estos caminos son notados como α1α2 . . . αl o de manera visual como
a = a0α1 // a1
α2 // a2 // · · · αl // al = b.
Se nota Ql el conjunto de todos los caminos en Q de longitud l. También asociamos a cada puntoa ∈ Q0 un camino de longitud l = 0, el cual se llama camino trivial o camino estacionarioen a y se nota mediante
εa = (a||a)
De acuerdo a la definición anterior, se puede ver que por cada punto de Q0 existe uncamino de longitud l = 0, es decir existe una correspondencia biunívoca entre los cami-nos de longitud 0 y Q1. Además si se consideran los caminos de longitud l = 1, se veque cada camino se corresponde con exactamente una flecha de Q1.
Definición 4.1.4. Un camino de longitud l ≥ 1 es llamado un ciclo siempre que su origen ydestino coincidan. Un ciclo de longitud 1 es llamado un lazo. Un quiver es llamado acíclico sino contiene ciclos.
También es necesaria una noción de un camino no orientado, o una caminata. A cadaflecha α : a → b en un quiver Q, se le asocia un inverso formal dado por α−1 : b → a,con origen s(α−1) = b y llegada t(α−1) = a.
Definición 4.1.5. Una caminata de longitud l ≥ 1 de a a b en Q es una sucesión ω =
αε11 αε2
2 . . . αε ll con ε j = {−1, 1}, s(αε1
1 ) = a, t(αε ll ) = b y t(α
ε jj ) = s(α
ε j+1j+1 ), para todo j tal que
1 ≥ j ≥ l.
Si existe en Q un camino de a a b, entonces a suele llamarse el predecesor de b, y bel sucesor de a. En particular, si existe una flecha α : a → b, entonces a se llama elpredecesor directo (o inmediato) de b y b el sucesor directo (o inmediato) de a.
40
Definición 4.1.6. Para a ∈ Q0, se asigna como a− el conjunto de todos los predecesores directosde a y como a+ el conjunto de todos los sucesores directos. Los elementos de a+ ∪ a− se llamanlos vecinos de a.
Definición 4.1.7 (Álgebra de caminos). Sea Q un quiver. El álgebra de caminos KQ de Qes la K-álgebra cuyo K-espacio vectorial subyacente tiene como su base el conjunto de todos loscaminos (a|α1, α2, . . . , αl|b) de longitud l ≥ 0 en Q y tal que el producto de dos vectores de labase (a|α1, α2, . . . , αl|b) y (c|β1, β2, . . . , βk|d) de KQ está definido por
(a|α1, α2, . . . , αl|b)(c|β1, β2, . . . , βk|d) = δbc(a|α1, α2, . . . , αl, β1, β2, . . . , βk|d)
donde δbc denota el delta de Kronecker. En otras palabras, el producto de dos caminos α1, α2, . . . , αly β1, β2, . . . , βk es igual a cero si t(αl) 6= s(β1) y es igual a la composición de caminos α1, α2, . . . ,αl, β1, β2, . . . , βk si t(αl) = s(β1). El producto de elementos de la base es entonces extendido aelementos arbitrarios de KQ por distributividad.
Además KQ se puede ver como una descomposición en suma directa, es decir
KQ = KQ0 ⊕ KQ1 ⊕ KQ2 ⊕ · · · ⊕ KQl ⊕ · · ·
donde KQl es el subespacio vectorial de KQ generado por el conjunto Ql de todos loscaminos de longitud l. Se puede ver que (KQn) · (KQm) ⊆ KQn+m para todo n, m ≥ 0,debido a que el producto en KQ de un camino de longitud n por un camino de longitudm es cero o es un camino de longitud n + m. Esto se expresa algunas veces diciendo quela descomposición define un grado en KQ o que KQ es una K-álgebra graduada.
Ejemplo 18. Sea Q el quiver
1◦ αgg
Consistente de de un punto y un lazo. La base definida por el álgebra de caminos KQes {ε1, α, α2, . . . , αl, . . . } y la multiplicación de los vectores de la base está dada por
ε1αl = αlε1 = αl para todo l ≥ 0, yαlαk = αl+k para todo l, k ≥ 0
Donde α0 = ε1. Así KQ es isomorfo al álgebra de polinomios K[t] en una indeterminadat, el isomorfismo ϕ es inducido por la aplicación K-lineal tal que
ε1 7→ 1 y α 7→ t
41
. ϕ es biyectivo. En efecto
i Sean γ, β ∈ KQ, así γ = k0ε1 + ∑i=1 kiαi y β = k′0ε1 + ∑i=1 k′iα
i y ϕ(γ) = ϕ(β), así
ϕ(γ) = ϕ(β)
ϕ(k0ε1 + ∑i=1
kiαi) = ϕ(k′0ε1 + ∑
i=1k′iα
i)
k01 + ∑i=1
kiti = k′01 + ∑i=1
k′iti,
como ambos son polinomios en K[t], se tiene que Ki = k′i para cada i ≥ 0, luegoγ = β.
ii Sea p(t) ∈ K[t], así p(t) = ∑i=0 kiti = k0 + ∑i=1 kiti, luego si tomamos β = k0ε +∑i=1 kiα
i, ϕ(β) = p(t).
Ejemplo 19. Sea Q el quiver
◦1α 66 βhh
que consiste de un único punto y dos lazos α y β. Por definición la base de KQ es elconjunto de todas las concatenaciones de α, β, con el camino estacionario ε1, el cual esla identidad del álgebra de caminos KQ. Así KQ es isomorfo al álgebra libre asociativaen dos indeterminadas no conmutativas K < t1, t2 >, el isomorfismo está dado por laaplicación K-lineal tal que
ε1 7−→ 1, α 7−→ t1 y β 7−→ t2.
Más generalmente, sea Q = (Q0, Q1) un quiver tal que Q0 tiene sólo un elemento, en-tonces cada β ∈ Q1 es un lazo y se tiene de manera similar que KQ es isomorfo alálgebra libre asociativa en las indeterminadas (Xβ)β∈Q1 .
Lema 4.1.1. Sea Q un quiver y KQ su álgebra de caminos. Entonces
i. KQ es un álgebra asociativa.
ii. KQ tiene un elemento identidad si y sólo si Q0 es finito.
iii. KQ es de dimensión finita si y sólo si Q es finito y acíclico.
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Demostración. i. Se tiene de la definición de multiplicación, pues el producto de loselementos de la base es la concatenación de caminos, la cual es asociativa.
ii. Cada camino estacionario εa = (a||a) es un idempotente de KQ, en efecto, εna =
(a||a)...(a||a) = (a||a) = εa. Así, si Q0 es finito, ∑a∈Q0εa es un elemento identidad
para KQ; sea α = ∑i kiwi ∈ KQ, con wi caminos de Q, así(∑
a∈Q0
εa
)α =
(∑
a∈Q0
εa
)(∑
ikiwi
)= ∑
a∈Q0
∑i
kiεawi
como para cada wi existe un único a ∈ Q0 que es el inicio del camino, se tiene queεawi = wi y εbwi = 0 para b 6= a, así(
∑a∈Q0
εa
)α = ∑
ikiwi = α.
Para la otra implicación, sea Q0 es infinito y supóngase que 1 = ∑mi=1 λiwi es una
identidad de KQ donde λi son escalares diferentes de cero y wi caminos en Q. SeaQ′0 el conjunto de los orígenes de los wi, así Q′0 tiene a lo sumo m elementos y esfinito, si tomamos a ∈ Q0 −Q′0, se tendría que εa1 = 0, lo cual es contradictorio.
iii. Si Q es infinito, entonces también lo es la base de KQ, la cual es por lo tanto dedimensión infinita. Si w = α1α2...αl es un ciclo en Q entonces, para cada t ≥ 0se tiene un elemento de la base wt = (α1α2...αl)
t, así que KQ es de nuevo dedimensión infinita. Inversamente, si Q es finito y acíclico, este contiene sólo unnúmero finito de caminos y así KQ es de dimensión finita.
Corolario 4.1.1. Sea Q un quiver finito. El elemento 1 = ∑a∈Q0εa es la identidad de KQ y el
conjunto {εa|a ∈ Q0} de todos los caminos estacionarios εa = (a||a) es un conjunto completode idempotentes primitivos ortogonales para KQ
Demostración. Claramente se sigue de la definición de multiplicación que los elementosεa son idempotentes ortogonales para KQ. Como Q0 es finito, el elemento 1 = ∑a∈Q0
εaes la identidad de KQ. Resta mostrar que los εa son primitivos, o que el álgebra εa(KQ)εatiene solo dos idempotentes los cuales son 0 y εa (Corolario 3.2.1). En efecto, cualquieridempotente ε de εa(KQ)εa puede ser escrito de la forma ε = λεa + ω, donde λ ∈ K y ωes una combinación lineal de ciclos a través de a de longitud ≥ 1. Así se tiene
0 = ε2 − ε = (λ2 − λ)εa + (2λεa − 1)ω + ω2
43
de la anterior igualdad se tiene que ω = 0 y λ2 = λ, así λ = 0, en cuyo caso ε = 0 oλ = 1, en cuyo caso ε = εa.
Lema 4.1.2. Sea A un álgebra asociativa con identidad y asuma que {e, . . . , en} es un conjuntofinito completo de idempotentes primitivos ortogonales. Entonces A es un álgebra conexa si ysólo si no existe una partición no trivial I∪J de el conjunto {1, 2, . . . , n} tal que i ∈ I y j ∈ Jimplica ei Aej = 0 = ej Aei
Demostración. Sea A un álgebra asociativa conexa. Supóngase que existe una particiónno trivial I∪J.
Sea c = ∑j∈J ej. Como la partición es no trivial c 6= 0 y c 6= 1. Como los ej son idempo-tentes ortogonales entonces c es idempotente. Además ce1 = ec = 0 para cada i ∈ I ycej = ejc = ej, para j ∈ J. Ahora sea a ∈ A arbitrario, por hipótesis
eiaej = 0 = ejaej
para cualquier i ∈ I y j ∈ J. Así
ca =
(∑j∈J
ej
)a
=
(∑j∈J
eja
)1
=
(∑j∈J
eja
)(∑i∈I
ei + ∑k∈J
ek
)= ∑
j,k∈Jejaek
= ∑j∈J
ej
(a ∑
k∈Jek
)+ ∑
i∈Iei
(a ∑
k∈Jek
)
=
(∑j∈J
ej + ∑i∈I
ei
)a
(∑k∈J
ek
)= ac.
Así c es un idempotente central y A = cA⊕ (1− c)A es una descomposición no trivialen producto directo de A, lo cual es contradictorio.
44
Por otra parte, si A es no conexa, contiene un idempotente central c 6= 0 y c 6= 1. Se tieneque
c = 1c1 =
(n
∑i=1
ei
)c
(n
∑j=1
ej
)=
n
∑i,j=1
eicej =n
∑i=1
eicei
ya que c es central. Sea ci = eicei ∈ ei Aei entonces
c2 = (eicei)(eicei) = eic2ei = ci;
así ci es un idempotente de ei Aei. Como ei es primitivo, ci = 0 o ci = ei. Sea I = {i|ci =0} y J = {j|cj = ej}, como c 6= 0 y c 6= 1 esto induce una partición no trivial delconjunto {1, 2, . . . , n}. Más aún, si i ∈ I, se tiene que eic = cei = 0 y si j ∈ J, se tiene queejc = cej = ej. Luego si i ∈ I y j ∈ J, entonces
ei Aej = ei Acej = eicAej = 0.
De manera similar se tiene ej Aei = 0.
Lema 4.1.3. Sea Q un quiver finito. El álgebra de caminos KQ es conexa si y solo si Q es unquiver conexo.
Demostración. Supóngase que Q no es conexo y sea Q′ una componente conexa de Q.Sea Q′′ el subquiver pleno de Q que tiene el conjunto de puntos Q′′0 = Q0 − Q′0. Porhipótesis, ni Q′ ni Q′′ son vacíos. Sean a ∈ Q′0 y b ∈ Q′′0 . Como Q no es conexo, uncamino arbitrario ω en Q esta enteramente contenido en Q′ o en una componente conexade Q′′. En el primer caso se tiene que ωεb = 0 y por tanto εaωεb = 0. Esto muestra queεa(KQ)εb = 0, de forma análoga εb(KQ)εa = 0. Así por 4.1.2 KQ es no conexa.
Ahora asuma que Q es conexo pero KQ no lo es. Por 4.1.2 existe una partición Q0 =Q0∪Q′′0 tal que si x ∈ Q′0 y y ∈ Q′′0 , entonces εx(KQ)εy = 0 = εy(KQ)εx. Como Q esconexo, existe a ∈ Q′0 y b ∈ Q′′0 que son vecinos. Sin perdida de generalidad podemossuponer que existe una flecha α : a −→ b, pero se tiene que
α = εaαεb ∈ εa(KQ)εb = 0
Lo cual es contradictorio, con lo cual se completa la demostración.
Definición 4.1.8. Sea Q un quiver finito y conexo, el ideal del álgebra de caminos KQ gene-rado por las flechas de Q recibe el nombre de el ideal flecha de KQ y es denotado por RQ osimplemente R.
45
Se puede ver que existe una descomposición en suma directa
RQ = KQ1 ⊕ KQ2 ⊕ · · · ⊕ KQl · · ·
de K-espacios vectoriales RQ, donde KQl es el subespacio de KQ generado por Ql detodos los caminos de longitud l. En particular, el K-espacio vectorial subyacente de RQes generado por todos los caminos en Q de longitud l ≥ 1. Esto implica que para l ≥ 1
RlQ =
⊕m≥l
KQm.
Además RlQ es un ideal de KQ generado por el conjunto de caminos de longitud mayor
o igual a l. También se tiene que
RlQ/Rl+1
Q =⊕m≥l
KQm/⊕
m≥l+1
KQm = KQl
luego RlQ/Rl+1
Q∼= KQl.
Proposición 4.1.1. Sea Q un quiver finito conexo, R el ideal flecha de KQ y εa = (a||a) paraa ∈ Q0. El conjunto {εa = εa +R|a ∈ Q0} es un conjunto completo de idempotentes primitivosortogonales para KQ/R, y KQ/R ∼= K × · · · × K. Si adicionalmente, Q es acíclico, entoncesradKQ = R y KQ es un álgebra básica de dimensión finita.
Demostración. Se muestra que el conjunto {εa = εa +R|a ∈ Q0} es un conjunto completode idempotentes primitivos ortogonales.
i. Los εa son idempotentes, en efecto
(εa)2 = (εa)(εa)
= (εa + R)(εa + R)
= ε2a + R
= εa + R= εa.
ii. Son ortogonales
(εa)(εb) = (εa + R)(εb + R)= εaεb + R= εa.
46
iii. Son primitivos. Por el corolario 3.2.1, se muestra que εa (KQ/R) εa solo tiene dosidempotentes, R y εa. Así, supongamos que εaωεa es idempotente. Luego
(εaωεa)2 = εaω2εa + R = εaωεa + R
de donde (εawεa)2 = εawεa, pero se sabe que en εa(KQ)εa solo hay dos idempo-tentes, εa y 0 así ω = εa u ω = 0 con lo cual εaωεa = εa o εaωεa = R. Luego los εason primitivos.
Se tiene que existe la descomposición en suma directa
KQ/R =⊕
a,b∈Q0
εa(KQ)εb
como K-espacio vectorial. Como R consiste de todos los caminos de longitud l ≥ 1, setiene
KQ/R =⊕
a∈Q0
εa(KQ)εa
Entonces KQ/R es generado por las clases residuales de los caminos de longitud cero,es decir, es generado por el conjunto {εa = ε + R|a ∈ Q0}. Además, para cada a ∈ Q0, elálgebra εa(KQ/R)εa es generada por εa y por lo tanto, vista como K-espacio vectorial,es isomorfa a K. Por lo tanto KQ/R es isomorfo a |Q0| copias de K.
Si Q es acíclico, entonces KQ es un álgebra de dimensión finita. Además, existe l ≥ 1, elcual es el más grande tal que Q contiene un camino de longitud l, pero esto implica quecualquier producto de l + 1 flechas es cero, esto es
Rl+1 =⊕
m≥l+1
KQm = 0
es decir R es nilpotente y por el corolario 1.3.1 R ⊆ radKQ, como KQ/R ∼= K× · · · × K,|Q0| copias de K se sigue que radKQ = R y KQ es un álgebra básica.
Ejemplo 20. No siempre se cumple que radKQ = RQ, si Q no es acíclico. Para ello seconsidera el quiver
1◦ αgg
Como se vio KQ ∼= K[t], así radKQ = 0, pues como el campo K es algebraicamente ce-rrado y además infinito, el conjunto {t−λ|λ ∈ K} es un conjunto infinito de polinomiosirreducibles, el cual genera un conjunto infinito de ideales maximales cuya intersecciónes cero. Por otra parte, se tiene que
RQ =⊕l>0
Kαl
como un K-espacio vectorial y por tanto es diferente de cero.
47
Corolario 4.1.2. Sea Q un quiver finito, conexo y acíclico. El álgebra de caminos KQ es una K-álgebra asociativa,básica y conexa de dimensión finita con una identidad que tiene el ideal flechacomo radical y el conjunto {εa = (a||a)|a ∈ Q0} como un conjunto completo de idempotentesprimitivos ortogonales.
Demostración. Los resultado del corolarios se tienen del lema 4.1.1, el corolario 4.1.1, ellema 4.1.3 y la proposición 4.1.1.
Un álgebra como la del corolario 4.1.2 puede ser vista como el álgebra de matrices trian-gulares inferiores. Para ello, se da la construcción para el álgebra generalizada de ma-trices.
Sea (Ai)1≤i≤n una familia de K-álgebras y (Mij)1≤i,j≤n una familia de Ai−Aj-bimódulostal que Mii = Ai para cada i. Además, asuma que se tiene para cada tripla (i, j, k) unhomomorfismo de Ai − Ak-bimódulos
ϕjik : Mij ⊗Mjk −→ Mik
que satisface, para cada cuádrupla (i, j, k, l), la condición de asociatividad
ϕkil(ϕ
jik ⊗ 1) = ϕ
jil(1⊗ ϕk
jl)
esto es, el siguiente cuadrado es conmutativo:
Mij ⊗Mjk ⊗Mkl1⊗ϕk
jl //
ϕjik⊗1
��
Mij ⊗Mjl
ϕjil
��Mik ⊗Mkl
ϕkil // Mil
Luego el K-espacio vectorial Mn(Mi,j) de matrices de tamaño n× n
A =
M11 M12 · · · M1nM21 M22 · · · M2n
...... . . . ...
Mn1 Mn2 · · · Mnn
= {[xij]|xij ∈ Mij para todo 1 ≤ i, j ≤ n}
tiene estructura de K-álgebra si se define su multiplicación por la fórmula[xij] [
yij]=[∑n
k=1 ϕkij(xik ⊗ ykj)
].
48
En efecto, se sabe que (Mn(Mij),+) es un grupo abeliano con la suma + usual de matri-ces, esto debido a que componente a componente son elementos del mismo bimódulo.
Se muestra a continuación que Mn(Mij) es un anillo con el producto anteriormentedefinido.
Sean A, B, C ∈M(Mij) de manera que A = [αij], B = [βij] y C = [γij], entonces
(AB)C = ([αij][βij])[γij]
=
([n
∑k=1
ϕkij(αik ⊗ βkj)
])[γij]
=
[n
∑k=1
ϕkij
(n
∑r=1
ϕrik(αir ⊗ βrj)
)⊗ γkj
]
=
[n
∑k=1
ϕkij
(n
∑r=1
ϕrik(αir ⊗ βrj)⊗ γkj
)]
=
[n
∑k=1
n
∑r=1
ϕkij(
ϕrik(αir ⊗ βrj)⊗ γkj
)]
=
[n
∑k=1
n
∑r=1
ϕrij
(αir ⊗ ϕk
rj(βrk ⊗ γkj))]
=
[n
∑r=1
n
∑k=1
ϕrij
(αir ⊗ ϕk
rj(βrk ⊗ γkj))]
=
[n
∑r=1
ϕrij
n
∑k=1
(αir ⊗ ϕk
rj(βrk ⊗ γkj))]
=
[n
∑r=1
ϕrij
(αir ⊗
n
∑k=1
ϕkrj(βrk ⊗ γkj)
)]= [αij]([βij][γij])
= A(BC);
49
A(B + C) = [αij][βij + γij]
=
[n
∑k=1
ϕkij(αik ⊗ (βkj + γkj))
]
=
[n
∑k=1
ϕkij(αik ⊗ βkj + αik ⊗ γkj)
]
=
[n
∑k=1
ϕkij(αik ⊗ βkj) +
n
∑k=1
ϕkij(αik ⊗ γkj)
]
=
[n
∑k=1
ϕkij(αik ⊗ βkj)
]+
[n
∑k=1
ϕkij(αik ⊗ γkj)
]= AB + AC.
Por último, se muestra que es una K-álgebra. Sea λ ∈ K
λ(AB) = λ
[n
∑k=1
ϕkij(αik ⊗ βkj)
]
=
[λ
n
∑k=1
ϕkij(αik ⊗ βkj)
]
=
[n
∑k=1
λϕkij(αik ⊗ βkj)
]
=
[n
∑k=1
ϕkij(λαik ⊗ βkj)
]
=
[n
∑k=1
ϕkij(αik ⊗ λβkj)
]
=
[n
∑k=1
ϕkij(αik ⊗ βkj)λ
]
=
[n
∑k=1
ϕkij(αik ⊗ βkj)
]λ
= (AB)λ.
50
Se tiene que en un quiver Q, finito y acíclico con n = |Q0|, se puede asignar un ordena los puntos de Q numerándolos de 1 a n tal que, si existe un camino de i a j entoncesj ≤ i.
Teorema 4.1.1. Sea Q un quiver conexo, finito y acíclico con Q0 = {1, 2, . . . , n} tal que, paracada i, j ∈ Q0, j ≤ i, Siempre que exista un camino de i a j en Q. Entonces el álgebra de caminosKQ es isomorfo al álgebra de matrices triangulares
A =
ε1(KQ)ε1 0 · · · 0ε2(KQ)ε1 ε2(KQ)ε2 · · · 0
......
...εn(KQ)ε1 εn(KQ)ε2 · · · εn(KQ)εn
donde εa = (a||a) para cada a ∈ Q0. La adición es la usual y la multiplicación es inducida desdela multiplicación de KQ.
Demostración. Se tiene que {εa = (a||a) : a ∈ Q0} es un conjunto completo de idempo-tentes de ortogonales para KQ, así se tiene una descomposición del K-espacio vectorialKQ
KQ =⊕
a,b∈Q0
εa(KQ)εb.
Se sigue que si εi(KQ)ε j 6= 0, entonces j ≤ i. Para cada punto i ∈ Q0 la ausencia de ciclosen i implica que el álgebra εi(KQ)εi es isomorfa a K. La definición de multiplicación enKQ implica que, para cada pareja (i, j) tal que i ≤ j, εi(KQ)ε j es un εi(KQ)εi-ε j(KQ)ε j-bimódulo, y para cada tripla (k, j, i) tal que k ≤ j ≤ i existe una aplicación K-lineal
ϕjik : εi(KQ)ε j ⊗ ε j(KQ)εk −→ εi(KQ)εk
donde el producto tensorial es tomado sobre ε j(KQ)ε j. Así ϕjik cumple la condición de
asociatividad
εi(KQ)ε j ⊗ ε j(KQ)εk ⊗ εk(KQ)ε l1⊗ϕk
jl //
ϕjik⊗1
��
εi(KQ)ε j ⊗ εj(KQ)εl
ϕjil
��εi(KQ)εk ⊗ εk(KQ)ε l
ϕkil // εi(KQ)ε l
51
sea ωij ⊗ωjk ⊗ωkl ∈ εi(KQ)ε j ⊗ ε j(KQ)εk ⊗ εk(KQ)ε l, entonces
ϕjil(1⊗ ϕjl)(ωij ⊗ωjk ⊗ωkl) = ϕ
jil((1⊗ ϕjl)(ωij ⊗ωjk ⊗ωkl))
= ϕjil(ωij ⊗ωjl)
= ωil
y
ϕkil(ϕ
jik ⊗ 1)(ωij ⊗ωjk ⊗ωkl) = ϕk
il(ϕjik ⊗ 1ωij ⊗ωjk ⊗ωkl)
= ϕkil(ωik ⊗ωkl)
= ωil
Luego ϕkil(ϕ
jik ⊗ 1) = ϕ
jil(1⊗ ϕjl).
Así se puede construir el álgebra generalizada de matrices como se hizo anteriormente.Además si se asocia a cada camino de i a j en KQ el elemento correspondiente en A,esto es, a elementos de la base del bimódulo εi(KQ)ε j, se tiene un isomorfismo de K-álgebras, así KQ ∼= A. En efecto, las álgebras A y KQ son isomorfas como K-espaciosvectoriales y la biyección entre sus bases es compatible con la multiplicación del álgebrapor definición de ϕ
jik, así el isomorfismo de espacios vectoriales es un isomorfismo de
K-álgebras.
Ejemplo 21. Sea Q el quiver
◦ ◦oo ◦oo · · ·oo ◦oo ◦oo
1 2 3 n− 1 n
se tiene que {εa = (a||a) : a ∈ Q0} está numerado de manera tal que si existe un caminode i a j, j ≤ i para i, j ∈ Q. Así como entre cada i, j existe a lo sumo un solo camino, setiene que dimK(εi(KQ)εj) ≤ 1, aplicando el teorema 4.1.1 tenemos que
A =
K 0 · · · 0K K · · · 0...
......
K K · · · K
así A ∼= Tn(K) ∼= KQ.
52
Ejemplo 22. Sea Q el quiver de Kronecker
◦ ◦β
ooαoo
1 2
Así ε1, ε2 definen una base del álgebra de caminos KQ y la tabla de multiplicación delos elementos de la base es
ε1 ε2 α βε1 ε1 0 0 0ε2 0 ε2 α βα α 0 0 0β β 0 0 0
se tiene que ε1(KQ)ε2∼= K ∼= ε2(KQ)ε2 además ε1(KQ)ε2 = 0. Vemos que ε2(KQ)ε1 =
〈ε2αε1, ε2βε1〉 así ε2(KQ)ε1∼= K× K, luego se tiene que
A =
(K 0K2 K
)es decir KQ ∼= A y el isomorfismo de K-álgebras esta dado por
f : KQ −→ A
entre elementos de la base dado por
f (ε1) =
(1 0
(0, 0) 0
), f (ε2) =
(0 0
(0, 0) 1
),
f (α) =(
0 0(1, 0) 0
), y f (β) =
(0 0
(0, 1) 0
)
53
Capítulo 5
Conclusiones
Mediante las propiedades de los quivers, se pueden concluir propiedades del ál-gebra de caminos, lo cual nos induce a ver esas mismas propiedades vía isomor-fismos, en otras álgebras.
Dado un quiver con determinadas características, se puede caracterizar el álgebrade caminos asociada al quiver con álgebras de matrices triangulares. Además estasálgebras se pueden ver como sumas de módulos indescomponibles.
En los dos casos anteriores se da una caracterización de determinadas álgebras víaquivers, en este sentido la herramienta brindada por estos grafos dirigidos ayudaa concluir propiedades en las álgebras, las cuales no serían de fácil comprobaciónpor otros medios.
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Bibliografía
[1] Kunio Yamagata Andrzej Skoworonski. Frobenius Algebras I. European Mathemati-cal Society, 2012.
[2] Ibrahim Assem. Algèbres et modules, course et exercices. Masson S.A., 1997.
[3] John B. Fraleigh. Álgebra Abstracta. Addison Wesley Iberoamericana, 1987.
[4] Hernán Giraldo. Una introducción a la teoría de representaciones de álgebras. Lec-turas Matemáticas, Volumen 36, 2015.
[5] Daniel Simon Ibrahim Assem and Andrzej Skoworonski. Elements of the Theory ofAssociative Algebras. Cambridge University Press, 2006.
[6] Ralf Schiffler. Quiver Representations. Springer, 2014.
[7] José Dorronsoro y Eugenio Hernández. Números, grupos y anillos. Addison-WesleyIberoamericana, 1996.
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