lgebra I

lgebra ICampus de ciencias exactas e ingenieras

IntroduccinEn el principio estuvo la palabra, pero para poder marcar cuando fue el principio necesitamos de los nmeros, haciendo de las matemticas una parte tan grande en nuestra vida como el lenguaje, aunque no tan grande como la televisin. Al principio las matemticas parecan tan complicadas que les tena miedo, pero cuando me puse a estudiar no fueron tan temibles, lo que prueba que el conocimiento y la experiencia son las mejores armas contra el miedo.Sabrina SpellmanIntroduccinMatemticasAritmticalgebraGeometraClculoEstadsticaProbabilidad

IntroduccinlgebraSe vale de letras para denotar nmeros arbitrarios y considera expresiones generales.

Es importante porque:Abrevia y simplifica expresiones largas y complicadas.Generaliza expresiones especficas (frmulas).Induccin matemticaDefinicin

Se emplea para demostrar proposiciones o relaciones que dependan de una variable, la cual solo puede tomar valores positivos.Induccin matemticaEn los axiomas de Giusseppe Peano se establece la esencia de los nmeros naturalesque corresponde a la idea intuitiva que tenemos de ellos: empiezan en algn momento (existe el primero) y van en fila (uno enseguida deotro). Induccin matemticaSi S es una coleccin de nmeros naturales que cumple:

0 es un elemento de S, es decir 0 E S;cada vez que un nmero natural est en S, tambin el siguiente de l est en S,

entonces S es el conjunto de todos los naturales.Induccin matemticaPasosComprobar que la relacin es vlida para n=1 para el primer valor admisible n.

Partiendo de la hiptesis de que la relacin es vlida para un cierto valor de n, digamos k, demostraremos que tambin es verdadera para n=k+1.Induccin matemticaDel primer paso se concluye que la relacin es vlida para n=1 y del paso 2 se deduce que lo ser para n=2. Si la proposicin es vlida para n=2, tambin lo ser para n=3, y as sucesivamente.Induccin matemticaTeorema del binomioUna suma a+b se denomina binomio. Algunas veces es necesario considerar (a+b)n, en la que n es un entero positivo grande.

Proporciona una frmula general para desarrollar (a+b)n como una suma.

Teorema del binomioConsideremos:

Teorema del binomioPropiedades a distinguir:Hay n+1 trminos, siendo el primero an y el ltimo bn.Al pasar de cualquier trmino al siguiente, la potencia de a decrece en 1 y la potencia de b aumenta en 1. La suma de los exponentes de a y b es siempre n.Cada trmino es de la forma C an-k bkTeorema del binomioNotacin factorialSi n es un entero positivo, el smbolo n! se define de la siguiente manera:

Teorema del binomioLos coeficientes binomiales se pueden representar son la siguiente notacin:

Teorema del binomioEntonces el teorema del binomio puede enunciarse de la siguiente manera:

Nmeros complejosEl conjunto de los nmeros reales est constituido por diferentes clases de nmeros.Nmeros naturales (N)Nmeros enteros (Z)Nmeros racionales (Q)Nmeros irracionales (X)Nmeros complejos

Nmeros complejosDefinicin de un nmero complejoDefnase primero lo que se conoce como unidad imaginaria.

Sea x2 = -1Entonces si hacemos :

Representa una solucin de la ecuacin x2 + 1 = 0.

Nmeros complejosDefinicin de un nmero complejoUn nmero complejo r es una expresin de la forma binmica:

a + bi

a = Elemento real de rbi = Elemento imaginario de r

Nmeros complejosPropiedadesDados los nmeros complejos:

z1 = a + biz2 = c + di

z1 = z2 si y slo si a = c y b = d.

Nmeros complejosPropiedadesSi en el nmero complejo z = a + bi se tiene que a = 0, entonces el nmero z = bi recibe el nombre de nmero imaginario puro.

Nmeros complejosPropiedadesEl conjugado de un nmero complejo r = a + bi sera el nmero a bi. Es decir que los nmeros complejos conjugados solamente difieren en el signo de la parte imaginaria.

Nmeros complejosPropiedadesEl inverso de un nmero complejo r = a + bi est definido por el nmero complejo -a bi.

Nmeros complejosSe puede pensar como la suma de dos nmeros complejos: (a + 0i) + (0 + bi)

Operaciones con nmeros complejosLa unidad imaginaria i = -1 solamente es vlida para nmeros complejos. De manera que:

i2 = (-1 )2 = -1i3 =i2 (i) = -i = - -1 i4 = (i2)(i2) = (-1)(-1) = 1i5 = i4 (i) = (1) (-1 ) = -1 Operaciones con nmeros complejosSUMA

(a + bi) + (c + di) = (a + c) +(bi +di)(a + bi) + (c + di) = (a + c) +(b +d)i

a, b, c, d = Nmeros realesi = Nmero imaginarioOperaciones con nmeros complejosRESTA

(a + bi) - (c + di) = (a - c) +(bi -di)(a + bi) + (c + di) = (a - c) + (b -d)i

a, b, c, d = Nmeros realesi = Nmero imaginarioOperaciones con nmeros complejosMULTIPLICACIN

(a + bi) (c + di) = =(a + bi)(c)+(a +bi)(di)=ac + (bi)c + a(di) + (bi)(di)=ac + (bd)(-1) + (ad)i + (bc)i=(ac bd) + (ad + bc)i

a, b, c, d = Nmeros realesi = Nmero imaginarioOperaciones con nmeros complejosDIVISIN

a, b, c, d = Nmeros realesi = Nmero imaginario

Forma polar o trigonomtrica de los nmeros complejosLos nmeros complejos se pueden representar geomtricamente mediante un sistema de ejes coordenados, considerando el eje de las abscisas para la parte real del nmero complejo y el eje de las ordenadas para la parte imaginaria del mismo.

Forma polar o trigonomtrica de los nmeros complejosRIEl nmero complejo r = a + bi quedara representado geomtricamente como:baPForma polar o trigonomtrica de los nmeros complejosRILa distancia del origen al punto P, recibe el nombre de magnitud de r y se denota mediante |r|, que a su vez est definido por:baP

AOForma polar o trigonomtrica de los nmeros complejosRIForma polar o trigonomtrica de los nmeros complejosRIPor trigonometra en el tringulo OAP se tiene:baP

AOrForma polar o trigonomtrica de los nmeros complejosDe la relacin en la diapositiva anterior se tiene que:

La longitud r se llama mdulo o valor absoluto del nmero complejo y es siempre una cantidad no negativa.El ngulo se llama amplitud o argumento del nmero complejo (0 0.A tiene la misma direccin y sentido opuesto que A si < 0.

Vectores unitariosConsiderando un sistema de ejes rectangulares, los vectores unitarios i, j, k son aquellos correspondientes al sentido positivos de los ejes x,y,z. Vectores unitariosxyjziki (1,0,0)j (0,1,0)k (0,0,1)Vectores unitariosDado un vector A, es posible encontrar un vector unitario en la misma direccin y sentido que A, tal que:

Vectores de posicinSea P(x,y,z) un punto en el espacio, el vector OP, donde O es el origen, recibe el nombre de vector e posicin del punto P.

Vectores de posicinxyyjzxizk

P (x,y,z)Vectores de posicinSi un vector tiene su origen en el punto A (ax,ay,az) y su extremo en el punto B (bx, by, bz) , entonces el vector AB quedara definido por:

Cosenos directoresSean ,, los ngulos que forma un vector A (ax,ay,az) con los ejes positivos x,y,z, entonces los nmeros cos , cos y cos reciben el nombre de cosenos directores del vector A.

Cosenos directoresxyyjzxizk

A (x,y,z)Cosenos directoresxyyjzxizk

A (x,y,z)Cosenos directores

Cosenos directores

Producto escalarTambin llamado producto punto o producto interno, como su nombre lo indica el resultado es un escalar, no un vector.

ABProducto escalar

Proyeccin de B sobre la lnea de accin de A (o vector unitario de A).105Producto escalar

Si = 0o por lo tanto A || B

Si = 90o por lo tanto A B

Vectores unitarios

106Componentes de un vector

ABB II AB AProducto vectorialTambin llamado producto cruz o producto externo, como su nombre lo indica el resultado es un vector.

ABNSentido anti-horarioProducto vectorial

Sentido horarioAB-NProducto vectorialMtodo de Sarrus

Ecuacin de una lneaAVA(Ax, Ay, Az)xyzEcuacin de una lneaAVA(Ax, Ay, Az)xyzEcuacin de una lneaAVA(Ax, Ay, Az)xyzP(x, y, z)Ecuacin de una lnea

Ecuacin paramtrica de una lnea recta114Ecuacin de una lnea

Ecuacin continua de una lnea recta115Ecuacin de un planoNP(x, y, z)A(Ax, Ay, Az)Ecuacin de un plano

NP(x, y, z)A(Ax, Ay, Az)r P/A

Ecuacin de un plano