álgebra abstracta unidandes

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Notas para un curso de ´ Algebra Abstracta I Camilo Sanabria y Mario Valencia-Pabon Universidad de los Andes Departamento de Matem´ aticas Bogot´ a - Colombia.

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Notas para un curso de AlgebraAbstracta I

Camilo Sanabria y Mario Valencia-Pabon

Universidad de los Andes

Departamento de Matematicas

Bogota - Colombia.

Page 2: áLgebra abstracta unidandes

II

Page 3: áLgebra abstracta unidandes

Indice general

1. Grupos 1

1.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Tabla de operacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4. Grupos Cıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5. Grupos generados y producto directo . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6. Grupos de permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7. Coconjuntos y el Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Homomorfismos 17

2.1. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Propiedades de Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3. Subgrupos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4. Isomorfismos y el Teorema de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5. Grupo Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6. Teorema Fundamental del Homomorfismo . . . . . . . . . . . . . 23

2.7. Calculo de Grupo Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.8. Grupos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.9. El centro y el conmutador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3. Conjugacion 33

3.1. Elementos y subgrupos conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2. An para n ≥ 5 es simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4. Accion de grupo sobre un conjunto 37

4.1. G-conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2. Subgrupo estabilizador y orbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3. La formula de Burnside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Page 4: áLgebra abstracta unidandes

IV INDICE GENERAL

5. Teoremas de Isomorfismos y Series de Grupos 435.1. Teoremas de Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2. Series de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3. Cadena Central Ascendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6. Teoremas de Sylow y Grupos libres 536.1. Teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.2. Aplicaciones de la teorıa de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.3. Grupos abelianos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.4. Teorema fundamental de los grupos abelianos . . . . . . . . . . . 596.5. Grupos libres y representaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Page 5: áLgebra abstracta unidandes

Indice de figuras

1.1. Subgrupos de Z8 y de Z12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. transformaciones del cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3. retıculo de subgrupos de D4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1. Fibras y Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2. Teorema Fundamental del Homomorfismo . . . . . . . . . . . . . 24

4.1. Rotaciones del cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.1. Primer Teorema de Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2. Tercer Teorema de Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3. Lema de la Mariposa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.4. Teorema de Schreier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.1. Grupo abeliano libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.2. Grupo libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Page 6: áLgebra abstracta unidandes

VI INDICE DE FIGURAS

Page 7: áLgebra abstracta unidandes

Capıtulo 1

Grupos

1.1. Grupos

1.1 Definicion (Grupo): Una estructura < G, ·, e >, que consta de unconjunto G, una operacion binaria ·, y un elemento distintivo e, es un grupo,si satisface los siguientes axiomas:

G1: · es asociativa

∀x, y, z ∈ G(x · (y · z) = (x · y) · z)

G2: e es neutro en ·

∀x ∈ G(x · e = x ∧ e · x = x)

G3: existencia de inversa

∀x ∈ G ∃y ∈ G(x · y = e ∧ y · x = e)

Teorema 1.2 (Unicidad del neutro y de las inversas) Sea < G, ·, e > ungrupo, entonces:

i) Si e′ es tal que para todo x ∈ G, x · e′ = e′ · x = x, entonces e′ = e.

ii) Dado un x ∈ G, si y, y′ ∈ G son tales que x · y = y · x = e = x · y′ = y′ · x,entonces y′ = y.

Demostracion: Por hipotesis e · e′ = e y por G2, e · e′ = e′, luego e = e′.Por hipotesis x · y′ = e y por G2, y = y · e, luego y = y · (x · y′), ası por G1,y = (y · x) · y′, pero y · x = e por hipotesis, entonces por G2 y = y′. F

1.3 Notacion y observacion. En general, a < G, ·, e >, la denotaremossimplemente G, excepto cuando se deba especificar para evitar confusiones. Sino especificamos un nombre diferente para el elemento distintivo, lo denotaremos

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2 Capıtulo 1. Grupos

e. A x · y, lo denotaremos xy, cuando sea claro el contexto, ademas dado que laoperacion binaria es asociativa, x(yz) o (xy)z lo denotaremos xyz.Por otro lado el teorema anterior, justifica la siguiente definicion.

1.4 Definicion (el neutro, la inversa) y notacion: Sea < G, ·, e > ungrupo,

i) a e lo llamamos el elemento neutro o la identidad.

ii) Dado g ∈ G, al elemento g′ ∈ G tal que gg′ = g′g = e, lo llamamos lainversa, o el inverso, de g,y lo notamos g−1.

1.5 Ejemplos: Las siguientes estructuras son grupos, cuya demostracion sedeja al lector.

i) < Z,+, 0 >, < Q,+, 0 >, < R,+, 0 >, < C,+, 0 >.

ii) < Q∗, ·, 1 >, < R∗, ·, 1 >, < C∗, ·, 1 >.

iii) < Zn,+n, [0]=n >, donde a =n b si n|a− b y Zn = Z/ =n.

iu) < GLn(R), ·, In >, donde GLn(R) es el conjunto de matrices invertiblesde dimension n× n.

u) < S1, ·, 1 >, donde S1 = z ∈ C : |z| = 1.

ui) Si V es un espacio vectorial, el conjunto de las transformaciones linealesuno a uno, con la composicion como la operacion y la identidad como elneutro.

Teorema 1.6 (ley cancelativa) Sea G un grupo. Si x, y, z ∈ G son tales quexz = yz, entonces x = y.

Demostracion: Si xz = yz, entonces x = xe = (xz)z−1 = (yz)z−1 = ye = y. F

1.7 Notacion y observacion. Si x ∈ G y n ∈ N, notamos:

xn =

e si n = 0x · xn−1 de lo contrario

Dado que xn(x−1)n = xn(xn)−1 = e, entonces extendemos la notacion a todo Z

con x−n = (x−1)n. Cuando la operacion se denote aditiva (ver ejemplo 1.5 i)),notaremos xn por nx, y x−1 por −x.Observe que xnxm = xn+m, para todo n,m ∈ Z, pero (xy)n no es necesaria-mente igual a xnyn, por ejemplo:

Teorema 1.8 (xy)−1 = y−1x−1

Demostracion: (xy)(y−1x−1) = e. F

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Subgrupos 3

1.9 Posiblemente ya se habra dado cuenta de cual es la condicion para que(xy)n = xnyn para todo x, y ∈ G. En honor al noruego Niels Henrik Abel(1802-1829):

1.10 Definicion (Grupo abeliano): Un grupo G, en el cual la operacionsea conmutativa (i.e. ∀a, b ∈ G(ab = ba)), se dice abeliano.

1.11 En el ejemplo 1.5, los grupo de i), ii), iii) y u) son abelianos, los de iu)y u) no lo son. Si V = Rn estos dos ultimos grupos son bastante parecidos (yaformalizaremos eso).

1.12 Ejercicios:

1. Pruebe que si G es un grupo finito con identidad e y con un numero par deelementos, entonces existe un elemento a ∈ G, con a 6= e, tal que a2 = e.

2. Pruebe que todo grupo G con identidad e y tal que a2 = e para todoa ∈ G, es abeliano.

3. Sea G un grupo finito y sea x un elemento de G cuyo orden es n, donde nes impar. Pruebe que existe k ∈ N tal que x = (x2)k.

1.2. Subgrupos

1.13 Definicion (Subgrupo): Si < G, ·, e > es un grupo, diremos que< H, •, e′ > es un subgrupo de G, y lo notaremos H ≤ G, si:

i) H ⊆ G

ii) < H, •, e′ > es grupo

iii) • = · H×H

1.14 Observacion a la definicion 1.13. Sea H ≤ G y h ∈ H , como h =h•e′ = h ·e′, y h = h ·e entonces por la ley cancelativa, e = e′. Ası un subgrupoesta unıvocamente determinado por el conjuntoH , pues la identidad es la mismaque en G y la operacion es la restriccion. Esto justifica nuestra notacion H ≤ G.Por otro lado < e, · e×e, e > es subgrupo de G.

1.15 Definicion (Grupo trivial, subgrupo propio)

i) Al grupo < e, ·, e >, lo llamamos grupo trivial.

ii) Si H ≤ G y H 6= G, decimos que H es subgrupo propio de G, y lonotamos H < G.

1.16 Cada grupo de 1.5 i) es subgrupo del siguiente. Lo mismo sucede en1.5 ii). Demostrar que un grupo es subgrupo de otro puede ser bastante en-gorroso bajo nuestra definicion, afortunadamente existen caracterizaciones masadecuadas para esto:

Page 10: áLgebra abstracta unidandes

4 Capıtulo 1. Grupos

Teorema 1.17 Sea < G, ·, e > un grupo. Las siguientes afirmaciones son equi-valentes:

i) H ≤ G

ii) H no es vacıo, es cerrado mediante la operacion de G, y mediante inver-sion. Esto es:

H 6= ∅, ∀x, y ∈ H(xy ∈ H), ∀x ∈ H(x−1 ∈ H)

iii) H 6= ∅, ∀x, y ∈ H(xy−1 ∈ H)

Demostracion:i) ⇒ ii): Como H ≤ G, e ∈ H luego H no es vacıo. Las otras dos condicionesse siguen inmediatamente del hecho que H sea grupo y que la operacion en Hes la restriccion de la G.ii) ⇒ iii): Si x, y ∈ H , y−1 ∈ H luego xy−1 ∈ H .iii) ⇒ i): Tomemos • = · H×H , veamos que • es una operacion binaria enH . Sea x ∈ H , el cual existe pues H no es vacıo. Entonces e = x · x−1 ∈ H , yası x−1 = e·x−1 ∈ H . Luego si x, y ∈ H , y−1 ∈ H y x•y = x·y = x·(y−1)−1 ∈ H ,entonces • es una operacion binaria en H , ası se cumple G1. Ademas, e ∈ H ytambien se cumple G2 pues • = · H×H . Por esto ultimo vemos tambien que secumple G3 pues dado x ∈ H , x−1 ∈ H . F

1.3. Tabla de operacion

1.18 Dado un grupoG finito podemos representar completamente la operaciongracias a una tabla, al igual que solıamos hacer tablas de multiplicacion enlos numeros naturales. Esto es, en la primera entrada (la superior izquierda),ponemos el signo de la operacion, en el resto de la primera columna de la tablaponemos los elementos de G y hacemos lo mismo, y en el mismo orden, en laprimera fila. Luego llenamos el resto de la tabla como indica la operacion.Por el axioma G3 sabemos que en cada fila debe aparecer e una vez, y por launicidad de la inversa, una unica vez. Segun la ley cancelativa, lo mismo sucedecon cada elemento. Este mismo fenomeno se repite con las columnas. Si el grupoes abeliano la tabla sera simetrica. Estas pautas nos permiten generar gruposnuevos (ver el cuadro 1.3).

Z4

+4 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2

4-grupo de Klein V

· e a b ce e a b ca a e c bb b c e ac c b a e

Cuadro 1.1: Los dos unicos grupos de cuatro elementos

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Grupos Cıclicos 5

1.4. Grupos Cıclicos

1.19 Definicion (Orden de un grupo, orden de un elemento):

i) el orden de un grupo G, que notamos ord(G) (o simplemente |G|), es elnumero de elementos de G, si G es infinito notamos ord(G) = +∞,

ii) el orden de un elemento g ∈ G, que notamos ord(g), es el mınimo n ∈ N∗

tal que gn = e. Si dicho n no existe notamos ord(g) = +∞.

Lema 1.20 Si am = e, ord(a) | m.

Demostracion: Sea n = ord(a). Por definicion, n es el menor entero positivotal que an = e y por lo tanto m ≥ n. Usando el algoritmo de la division,podemos escribir a m como m = qn + r, donde q ≥ 1 y 0 ≤ r < n. Ahora,e = am = aqn+r = (an)qar = eqar = ar. Si r 6= 0, entonces se tiene unacontradiccion a la minimalidad de n. Luego r = 0 y ası n | m. F

Teorema 1.21 Sea a ∈ G, y H = ann∈Z. Entonces H ≤ G y ord(H) =ord(a).

Demostracion: Como e = a0 ∈ H , anam = an+m ∈ H y (an)−1 = a−n, por elteorema 1.17, H ≤ G.Suponga que ord(a) = +∞. Si i, j ∈ Z con i ≤ j son tales que ai = aj , aj−i = eluego j − i = 0. Entonces si i 6= j, ai 6= aj , luego ord(H) = +∞.Ahora sea n = ord(a). Si i, j ∈ 0, 1, . . . , n−1 con i ≤ j, son tales que ai = aj ,por el lema anterior n|j − i, luego j − i = 0, esto es i = j. Entonces n ≤ |H |. Ysi m ≥ n, y m = qn+ r, con 0 ≤ r < n, am = ar, luego |H | = n. F

1.22 Definicion (Grupo generado por un elemento, grupo cıclico):Sea G un grupo.

i) Dado a ∈ G, llamamos a ann∈Z, el grupo generado por a, y lo notamos< a >.

ii) Decimos que G es cıclico si es un grupo generado por un elemento.

1.23 Ejemplos.

i) Z =< 1 >, es un grupo cıclico de orden infinito.

ii) Zn =< 1 >, es un grupo cıclico de orden n.

Ya veremos que todo grupo cıclico tiene esta forma.

1.24 Ahora nos interesaremos en la estructura de los grupos cıclicos, estoes, estudiaremos como son sus subgrupos. Estos grupos, fuera de tener unaestructura bastante visualisable e intuitiva, son supremamente importantes.

Teorema 1.25 Todo grupo cıclico es abeliano.

Page 12: áLgebra abstracta unidandes

6 Capıtulo 1. Grupos

Demostracion: Sea G =< a >. Ası dos elementos elementos arbitrarios en G,son de la forma am, y an, con m,n ∈ Z. Pero como vimos en 1.7, aman =am+n = anam. Luego G es abeliano. F

Teorema 1.26 Un subgrupo de un grupo cıclico es cıclico.

Demostracion: Sea G =< a > y H ≤ G. Si H es el grupo trivial, H =< e >, escıclico. Suponga que H no es trivial, es decir, H contiene al menos un elementodiferente de e. Como H ≤ G y G =< a >, entonces todos los elementos de Hson potencias de a. Sea m el menor entero positivo tal que am ∈ H . Se probaraentonces que b = am genera H , es decir, H =< b >. Para ello, tomemos unelemento arbitrario c ∈ H y probemos que c es una potencia de b. Como c ∈ H ,H ≤ G y G =< a >, entonces c = an para algun n entero positivo. Por laminimalidad de m, podemos usar el algoritmo de la division, y escribir n comon = qm + r, donde q > 0 y 0 ≤ r < m. Entonces, an = aqm+r = (am)qar.Por lo tanto, como an ∈ H y (am)−q ∈ H puesto que am ∈ H , entonces,ar = (am)−qan ∈ H , puesto que H es grupo. Si r 6= 0, entonces se tiene unacontradiccion a la minimalidad de m. Por lo tanto, r = 0, y n = qm, obteniendosi que c = an = aqm = (am)q = bq, es decir, c es una potencia de b, lo cualimplica que H =< b > y por lo tanto H es cıclico. F

Corolario 1.27 Si G =< a > es de orden infinito todo subgrupo de G es deorden infinito.

1.28 Observacion. Todo subgrupo de Z es de la forma < n >= nZ = nk :k ∈ Z, para algun n. Aquı usamos la notacion aditiva.

Teorema 1.29 Sea G =< a > de orden n. Entonces:

i) Si s | n, entonces < as >= e, as, a2s, . . . , an−1

s s tiene tamano n/s.

ii) Todo subgrupo de G es de la forma < ar >, con r ∈ Z, | < ar > | = n(n,r)

y < ar >=< a(n,r) >.

iii) Todo subgrupo de G es de la forma < as > donde s | n.

iu) El orden de todo subgrupo de G divide el orden de G.

u) Por cada divisor s de n, existe exactamente un subgrupo de G de tamanos, que es < a

ns >.

ui) si H,K ≤ G entonces, H ≤ K si y solo si |H | | |K|.

Demostracion: Note que una vez probado ii); i), iii) y iu) son consecuenciasinmediatas, tomando s = (n, r) y recordando el teorema 1.21.Probemos entonces ii). Ya vimos en el teorema 1.26 que todo subgrupo, de Ges de la forma < ar >. Ahora sea s = (n, r), entonces existe q tal que r = qs.Ası ar = (as)q , luego < ar >≤< as >. Por otro lado existen u, v ∈ Z tales queun+ vr = s luego as = (an)u(ar)v = (ar)v , y ası < as >≤< ar >. Es claro que

Page 13: áLgebra abstracta unidandes

Grupos Cıclicos 7

enunciado de i) que | < a(n,r) > | = n(n,r)

Probemos ahora la unicidad que se afirma en u). Por lo que acabamos de versi s | n, (n, n/s) = n/s y ası | < a

ns > | = n

n/s = s. Ahora, si < ar > es un

subgrupo de G de orden s, entonces por ii) s = n/(n, r), luego (n, r) = n/s yası, < ar >=< a

ns >.

Finalmente veamos ui). Suponga que K =< ak > y H =< ah > con k, hdivisores de n, suponsicion valida en vista de u). Ası si H ≤ K por iu), poniendoK como G, |H | | |K|. Ahora, si |H | | |K|. existe q tal que ord(ah)q = ord(ak),pero por u), ord(ah) = n/h y ord(ak) = n/k, luego kq = h, ası (ak)q = ah,entonces < ah >≤< ak >. F

1.30 Observaciones.

i) Dado un grupo G, como todo grupo tiene por subgrupo el trivial, pode-mos representar sus cadenas de subgrupos por un retıculo (i.e. lattice, eningles).

ii) El resultado 1.29 iu) se pueden generalizar a todos los grupos de ordenfinito como se vera en el Teorema de Lagrange. Con el teorema anteriorquedan completamente caracterizados los grupos cıclicos (ver figura 1.1),en este momento el lector ya se puede hacer la idea de porque todo grupocıclico es de la forma de Z, o de Zn.

PSfrag replacements

Z8

< 2 >

< 4 >

0

Z12

< 3 > < 2 >

< 6 > < 4 >

0

Figura 1.1: Subgrupos de Z8 y de Z12

1.31 Ejercicios:

1. Pruebe que si H y K son subgrupos de un grupo abeliano G, entoncesHK = hk : n ∈ H y k ∈ K es un subgrupo de G.

2. Pruebe que un grupo cıclico con unicamente un generador puede tener alos sumo dos elementos.

3. Pruebe que si G es un grupo abeliano con identidad e, entonces todos loselementos x ∈ G tales que x2 = e forman un subgrupo de G. Generaliceal caso donde n ≥ 1 es un entero fijo y H = x ∈ G : xn = e.

Page 14: áLgebra abstracta unidandes

8 Capıtulo 1. Grupos

4. Sea G un grupo y sea a un elemento de fijo de G. Pruebe que Ha = x ∈G : xa = ax es un subgrupo de G. Sea S ⊆ G, y sea HS = x ∈ G :xs = sx para todo s ∈ S. Pruebe que HS ≤ G. Si S = G, entonces HG

es llamado el centro de G. Pruebe que HG es un grupo abeliano.

5. Pruebe que un grupo sin subgrupos propios no triviales es cıclico.

6. Pruebe que un grupo que tiene un numero finito de subgrupos es finito.

7. Pruebe que Zp no tiene subgrupos propios no triviales si p es primo.

8. Sea G un grupo abeliano y sean H y K subgrupos cıclicos finitos con|H | = r y |K| = s.

(a) Pruebe que si (r, s) = 1, entonces G contiene un subgrupo cıclico deorden rs.

(b) Pruebe que G contiene un subgrupo cıclico de orden [r, s] (recuerdeque [r, s] denota al maximo comun multiplo de r y s).

1.5. Grupos generados y producto directo

1.32 Dado que los subgrupos de un grupo forman un retıculo, podemos buscarlos mınimos subgrupos, en la relacion ser subgrupo, que contienen un subcon-junto de los elementos del grupo.

Teorema 1.33 Sea Hii∈J una coleccion indexada de subgrupos de G, enton-ces: ⋂

i∈J

Hi ≤ G

Demostracion: Como cada Hi contiene e,⋂i∈J Hi 6= ∅. Ahora sean x, y ∈⋂

i∈J Hi, como y ∈ Hi, y−1 ∈ Hi, para cada i ∈ J . Ası xy−1 ∈ Hi, para

todo i ∈ J , esto es xy−1 ∈⋂i∈J Hi, luego por el teorema 1.17

⋂i∈J Hi ≤ G. F

Corolario 1.34 Sea A ⊆ G, con A 6= ∅ y H = H ≤ G : A ⊆ H. Entonces⋂H∈H

H ≤ G.

Teorema 1.35 Sea A ⊆ G, con A 6= ∅ y H = H ≤ G : A ⊆ H. Si HA ∈ H

es tal que, si H ∈ H, HA ≤ H entonces HA =⋂H∈H

H ≤ G.

Demostracion: Esto es trivial, pues HA ∈ H, luego⋂H∈H

H ⊆ HA. Por otrolado como A ⊆

⋂H∈H

H , entonces⋂H∈H

H ∈ H ası HA ≤⋂H∈H

H , y HA =⋂H∈H

H ≤ G. F

1.36 Observacion. Los dos teoremas anteriores justifican nuestra proximadefinicion, el teorema que le sigue la explica. Note como se extiende el conceptode 1.22

1.37 Definicion (grupo generado, grupo finitamente generado):

Page 15: áLgebra abstracta unidandes

Grupos generados y producto directo 9

i) Dado A ⊆ G, con A 6= ∅. Al mınimo subgrupo que contiene A lo llamamosel grupo generado por A, y lo notamos < A >.

ii) Decimos que un grupo G es finitamente generado si G =< A > paraalgun A ⊂ G finito.

Teorema 1.38 Dado A ⊆ G, < A >= am1

1 am2

2 . . . amnn : ai ∈ A,mi ∈ Z.

Demostracion: Sea HA = am1

1 am2

2 . . . amnn : ai ∈ A,mi ∈ Z. Como A 6=

∅, HA 6= ∅. Si x, y ∈ HA, x = am1

1 am2

2 . . . amnn e y = bp11 b

p22 . . . b

pqq , para

algunos ai, bj ∈ A y mi, pi ∈ Z. Ası, y−1 = b−pqq . . . bq22 b

q11 , luego xy−1 =

am1

1 am2

2 . . . amnn b

−pqq . . . b−q22 b−q11 ∈ HA. EntoncesHA ≤ G. Ahora comoA ⊆ HA,

< A >≤ HA. Por otro lado un elemento arbitrario de HA es de la forma dex, pero cada ai ∈ A, luego como un subgrupo es cerrado por multiplicacion,x ∈< A >. Ası HA ⊆< A > y HA =< A >. F

Teorema 1.39 Sea Gii∈1,2,...,n una coleccion de grupos. G1×G2× . . .×Gnbajo la operacion ((x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn)) 7→ (x1y1, x2y2, . . . , xnyn) esun grupo.

Demostracion: La operacion es asociativa, pues la operacion de cada Gi lo es.Si ei es el neutro de Gi, (e1, e2, . . . , en) es el neutro para nuestra operacion. Fi-nalmente (x1, x2, . . . , xn)(x−1

1 , x−12 , . . . , x−1

n ) = (e1, e2, . . . , en), luego cada ele-mento tiene inversa. Esto completa la demostracion. F

1.40 Definicion (Producto directo): Dada Gii∈1,2,...,n una coleccionde grupos. Al grupo G1 ×G2 × . . .×Gn bajo la operacion:((x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn)) 7→ (x1y1, x2y2, . . . , xnyn)lo llamamos el producto directo (externo) de G1, G2, . . . , Gn.

1.41 Cuando decıamos que dos grupos tienen la misma forma, formalmentenos referıamos a lo siguiente (a esto volveremos luego con mas detalle):

1.42 Definicion (Isomorfismo, isomorfo): Sean < G, ·, e >, < G′, •, e′ >dos grupos dados. Una biyeccion φ : G → G′ es un isomorfismo si φ(x · y) =φ(x) • φ(y), para todo x, y ∈ G. Dos grupos se dicen isomorfos si existe unisomorfismo entre ellos.

1.43 Ejemplo: φ : R → R∗+ definida por φ(x) = ex, es un isomorfismo entre

< R,+, 0 > y < R∗+, ·, 1 > pues ex+y = exey.

Teorema 1.44 Sea G =< a >. Si ord(G) = +∞, G es isomorfo a Z, siord(G) = n, G es isomorfo a Zn.

Demostracion: Si ord(G) = +∞, defina φ : Z → G, por φ(k) = ak y si ord(G) =n, defina φ : Zn → G, por φ(k) = ak. Es claro que φ es sobreyectiva, ahorasi φ(m1) = φ(m2), entonces am1−m2 = e. Ası si +∞ = ord(G) = ord(a),m1 −m2 = 0 o m1 = m2. Si n = ord(a), por el lema 1.20, n | m1 −m2 luegom1 = m2. De esto concluimos que φ es biyectiva. Finalmente como ak1ak2 =ak1+k2 , φ es isomorfismo. F

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10 Capıtulo 1. Grupos

Teorema 1.45 Sean m,n ∈ Z. Existe un isomorfismo entre Zm×Zn y Zmn siy solo si (m,n) = 1.

Demostracion: Por el teorema 1.44, basta ver que Zm × Zn es cıclico de ordenmn si y solo si (m,n) = 1. Suponga primero (m,n) = 1 y sea k = ord((1, 1)).Ası (1, 1)k = (0, 0) luego m | k y n | k pero si k′ ∈ Z es tal que m | k′ y n | k′,(1, 1)k

= (0, 0) luego k es el mınimo comun multiplo de m y n, este es mn.Entonces Zm × Zn =< (1, 1) >Ahora suponga que Zm × Zn es cıclico de orden mn con Zm × Zn =< (a, b) >.Entonces en particular Zm =< a > y Zn =< b >. Ası, si k es el mınimo comunmultiplo de m y n, (a, b)k = (0, 0) luego por el lema 1.20, mn | k. Ası k = mny (m,n) = 1. F

Corolario 1.46 Zm1× Zm2

× . . .× Zmn es isomorfo a Zm1m2...mn si y solo si(m1,m2, . . . ,mn) = 1

1.47 Los grupos abelianos finitamente generados tienen una estructura par-ticular. El siguiente teorema los caracteriza y nos dice que los Zpn , con p primo,son como los ladrillos para construirlos. Su demostracion la pospondremos paracuando tengamos un poco mas de experiencia, y esta nos parezca mas natu-ral. Dicho teorema se conoce como el Teorema Fundamental de los gruposabelianos finitamente generados, y al cual nos referiremos como al teoremaTFGAFG por comodidad.

Teorema 1.48 (TFGAFG) Todo grupo abeliano finitamente generado es iso-morfo a un unico grupo de la forma Zpr1

1× Zpr2

2× . . . × Zprn

n× Z × . . . × Z,

con los pi, para i ∈ 1, . . . , n, primos tales que pi ≤ pi+1, y los ri naturales nonulos tales que ri ≤ ri+1 si pi = pi+1.

1.49 Ejemplos:

i) Si∏ni=1 p

ri

i es la expresion de m en potencias de primos con pi < pi+1,Zm es isomorfo a

∏ni=1 Zpri

i.

ii) El 4-grupo de Klein V es isomorfo a Z2 × Z2.

1.50 Ejercicios:

1. Encuentre el orden del elemento (3, 10, 9) en el grupo Z4 × Z12 × Z15.

2. Pruebe que un grupo abeliano finito no es cıclico si y solo si este contieneun subgrupo isomorfo a Zp × Zp para algun primo p.

3. Pruebe que si un grupo abeliano finito tiene orden una potencia de unprimo p, entonces el orden de cada elemento en el grupo es una potenciade p.

4. Sean G, H , y K grupos abelianos finitamente generados. Pruebe que siG×K es isomorfo a H ×K, entonces G es isomorfo a H .

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Grupos de permutaciones 11

1.6. Grupos de permutaciones

1.51 Definicion (Permutacion): Sea A un conjunto. Una permutacionde A es una funcion biyectiva de A en A. Al conjunto de las permutaciones deA lo notamos SA. Si A = 1, 2, . . . , n, SA lo notamos Sn.

1.52 Observaciones.

i) |Sn| = n!

ii) La composicion de dos permutaciones es una permutacion. La identidades una permutacion y la inversa de un permutacion es una permutacion.En resumen, se tiene lo siguiente:

1.53 Definicion (Grupo de Permutacion). Sea A un conjunto. Al grupo< SA, , id >, donde es la composicion, lo llamamos el grupo de permuta-ciones de A.

Teorema 1.54 Si A = aii∈1,...,n, SA y Sn son isomorfos.

Demostracion: Defina φ : Sn → SA por φ(τ) : τ(i) 7→ aτ(i). Sea α ∈ SA ydefina σ : 1, . . . , n → 1, . . . , n por σ(i) = j si α(ai) = aj . Como α esuna permutacion σ tambien y φ(σ) = α, luego φ es sobreyectiva. Verificar quetambien es inyectiva es pura rutina, ası que se lo dejamos al lector. Ahora:φ(σ σ′)(ai) = aσσ′(i) = φ(σ)(aσ′(i)) = φ(σ) φ(σ′)(ai)ası φ(σ σ′) = φ(σ) φ(σ). Luego φ es un isomorfismo. F

1.55 Notacion. A la permutacion σ ∈ Sn, la notamos

(1 2 . . . nσ(1) σ(2) . . . σ(n)

).

1.56 Ejemplo: S3 = id, ρ, ρ2, σ, ρσ, ρ2σ con id =

(1 2 31 2 3

), ρ =

(1 2 32 3 1

),

ρ2 =

(1 2 33 1 2

), σ =

(1 2 32 1 3

), ρσ =

(1 2 33 2 1

), y ρ2σ =

(1 2 31 3 2

). Note

que σρ = ρ2σ.

1.57 Definicion (Orbita): Sea σ ∈ SA y sea a ∈ A. Al conjunto σk(a) :k ∈ Z lo llamamos la orbita de a segun σ.

Teorema 1.58 Sea σ ∈ SA. Las orbitas de σ forman una particion de A.

Demostracion: Defina en A la relacion ∼ por: a ∼ b si existe k ∈ Z tal queσk(a) = b. Ası a ∼ b si y solo si b esta en la orbita de a segun σ. Ahora σ0 = idluego ∼ es reflexiva. Si b = σk(a), entonces a = σ−k(b), luego ∼ es simetrica.Ahora bien si b = σk1(a) y c = σk2(b), c = σk2+k1(a), luego ∼ es transitiva.Ahora como ∼ es relacion de equivalencia, sus clases, que son las orbitas de σforman un particion de A. F

1.59 Definicion (Ciclo, transposicion):

Page 18: áLgebra abstracta unidandes

12 Capıtulo 1. Grupos

i) Una permutacion con a lo mas una orbita de mas de un elemento es unciclo. Si σ ∈ SA es un ciclo tal que la orbita con mas de un elemento esσi(a)i∈0,1,...,n−1, notamos σ por (a σ(a) σ2(a) . . . σn−1(a)), y decimosque σ es un n-ciclo.

ii) Una transposicion es un 2-ciclo.

iii) Dos ciclos se dicen disyuntos si sus orbitas de mas de un elemento sondisyuntas.

1.60 Ejemplo. Continuando con 1.56, en S3, ρ = (1 2 3), ρ2 = (1 3 2),σ = (1 2), ρσ = (1 3) y ρ2σ = (2 3).

Lema 1.61 Todo n-ciclo se puede expresar como producto de n− 1 transposi-ciones.

Demostracion: Sea σ ∈ SA un n-ciclo, con σ = (a1 a2 . . . an). Tenemos entoncesσ = (a1 an)(a1 an−1) . . . (a1a2). F

Teorema 1.62 Toda permutacion en Sn se puede escribir como producto ciclosdisyuntos.

Demostracion: Sea σ ∈ Sn, y Oii∈1,...,m la coleccion de sus orbitas. Seaσi ∈ Sn tal que σi(a) = σ(a) si a ∈ Oi y σi(a) = a de lo contrario. Ası los σi sonciclos disyuntos y σ =

∏i∈1,...,m σi (observe que como los ciclos son disyuntos

no importa el orden en que los multipliquemos, por eso tenemos el derecho deusar la productoria aunque el grupo no sea abeliano). F

Corolario 1.63 Toda permutacion en Sn, con n > 1, se puede expresar comoproducto de transposiciones.

1.64 Veamos ahora que Sn se divide en dos clases disyuntas, las permutacionesque son el producto de un numero par de transposiciones, y las que son elproducto de un numero impar.

1.65 Definicion (Signo) Sea σ ∈ Sn, el signo de σ que notamos sg(σ), estadefinido por:

sg(σ) =∏

1≤i<j≤n

σ(i) − σ(j)

i− j

Lema 1.66 sg(σ) es 1 o −1.

Demostracion: si i − j aparece en el denominador, en el numerador aparece obien σ(σ−1(i)) − σ(σ−1(j)), o bien σ(σ−1(j)) − σ(σ−1(i)). F

Lema 1.67 sg(σρ) = sg(σ)sg(ρ).

Page 19: áLgebra abstracta unidandes

Grupos de permutaciones 13

Demostracion:

sg(σρ) =∏

1≤i<j≤n

σρ(i) − σρ(j)

i− j·ρ(i) − ρ(j)

ρ(i) − ρ(j)

=∏

i≤i<j≤n

σρ(i) − σρ(j)

ρ(i) − ρ(j)

i≤i<j≤n

ρ(i) − ρ(j)

i− j

= sg(σ)sg(ρ)

sg(σ) =∏i≤i<j≤n

σρ(i)−σρ(j)ρ(i)−ρ(j) , pues σρ(i)−σρ(j)

ρ(i)−ρ(j) = σρ(j)−σρ(i)ρ(j)−ρ(i) . F

1.68 Observaciones.

i) Si σ ∈ Sn es una transposicion, sg(σ) = −1.

ii) Si sg(σ) = sg(ρ) = 1, sg(σρ) = 1.

iii) sg(id) = 1, ası sg(σ−1) = sg(σ).

Teorema 1.69 Una permutacion en Sn es el producto de un numero par detransposiciones, o el producto de un numero impar, pero no ambos.

Demostracion: Sea σ ∈ Sn, si σ es un producto par de transposiciones sg(σ) =1, si σ es un producto impar de transposiciones sg(σ) = −1. Luego las dosposibilidades son excluyentes. F

1.70 Definicion (permutacion par, permutacion impar, subgrupo Al-ternador):

i) Una permutacion σ ∈ Sn es par si sg(σ) = 1, impar si sg(σ) = −1.

ii) El conjunto de las permutaciones pares de Sn es el grupo alternador (oalternante), y lo notamos An.

1.71 Considere un polıgono regular de n vertices. Las rotaciones y las simetrıasdel polıgono que caen sobre el mismo, al etiquetar cada vertice con un numerodel 1 al n, se pueden identificar naturalmente con un subgrupo de Sn de 2nelementos (ver figura 1.2).

1.72 Definicion (Subgrupo diedral): Al subgrupo de Sn que se puedeidentificar naturalmente con las rotaciones y simetrıas de un polıgono regularde n vertices en si mismo, se le llama el grupo diedral y se nota Dn.

1.73 Ejemplo: D4 = ρ0, ρ1, ρ2, ρ3, µ1, µ2, δ1, δ2, donde ρ1 = (1 2 3 4),µ1 = (1 2)(4 3), µ2 = (1 4)(2 3), δ1 = (1 3), δ2 = (2 4) y, para i ∈ 0, 2, 3ρi = ρi1 (ver cuadro 1.6 y figura 1.3).

Page 20: áLgebra abstracta unidandes

14 Capıtulo 1. Grupos

1 4 22

34 3

1

2 3 4

1

PSfrag replacements

id

„1 2 3 42 3 4 1

« „1 2 3 42 1 4 3

«

Figura 1.2: transformaciones del cuadrado

ρ0 ρ1 ρ2 ρ3 µ1 µ2 δ1 δ2ρ0 ρ0 ρ1 ρ2 ρ3 µ1 µ2 δ1 δ2ρ1 ρ1 ρ2 ρ3 ρ0 δ1 δ2 µ1 µ2

ρ2 ρ2 ρ3 ρ0 ρ1 µ2 µ1 δ2 δ1ρ3 ρ3 ρ0 ρ1 ρ2 δ2 δ1 µ1 µ2

µ1 µ1 δ2 µ2 δ1 ρ0 ρ2 ρ3 ρ1

µ2 µ2 δ1 µ1 δ2 ρ2 ρ0 ρ1 ρ3

δ1 δ1 µ1 δ2 µ2 ρ1 ρ3 ρ0 ρ2

δ2 δ2 µ2 δ1 µ1 ρ3 ρ1 ρ2 ρ0

Cuadro 1.2: Tabla de operacion de D4

1.74 Ejercicios:

1. Pruebe que Sn no es un grupo abeliano para n ≥ 3.

2. Si A es un conjunto, entonces un subgrupo H de SA es transitivo sobreA , si para cada a, b ∈ A existe σ ∈ H tal que σ(a) = b. Pruebe que si Ano es un conjunto vacıo, entonces existe un subgrupo finito cıclico K deSA que es transitivo sobre A, tal que |H | = |A|.

3. Pruebe que para todo subgrupo H de Sn, con n ≥ 2, se cumple que todaslas permutaciones en H son pares o bien exactamente la mitad de ellasson pares.

1.7. Coconjuntos y el Teorema de Lagrange

1.75 Definicion (Coconjunto): Sea H ≤ G. Definimos el coconjunto iz-quierdo de H determinado por b, que notamos bH , por:

bH := bh : h ∈ H

, y el coconjunto derecho por Hb := hb : h ∈ H.

Teorema 1.76 Sea H ≤ G. Entonces:

i) bHb∈G es una particion de G.

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Coconjuntos y el Teorema de Lagrange 15

PSfrag replacements

ρ0

ρ0, µ1 ρ0, µ2 ρ0, ρ2 ρ0, δ1 ρ0, δ2

ρ0, ρ2, µ1, µ2 ρ0, ρ1, ρ2, ρ3 ρ0, ρ2, δ1, δ2

D4

Figura 1.3: retıculo de subgrupos de D4

ii) Todos los coconjuntos izquierdos de H son equipotentes.

Un resultado similar se tiene para los coconjuntos derechos.

Demostracion: Defina en G la relacion ∼ por a ∼ b si a−1b ∈ H . Como e ∈ H ,∼ es reflexiva. Si a−1b ∈ H , (a−1b)−1 = b−1a ∈ H , luego ∼ es simetrica. Sia−1b, b−1c ∈ H , a−1bb−1c = a−1c ∈ H , luego ∼ es transitiva. Entonces ∼ esrelacion de equivalencia. Suponga a ∈ [b]∼ esto equivale a b−1a = h para algunh ∈ H , o a = bh que es lo mismo que a ∈ bH , luego [b]∼ = bH . Con estoconcluimos i).Ahora defina f : H → bH por f(h) = bh. Es claro que f es sobreyectiva, lainyectividad es consecuencia inmediata de 1.6. Luego f es un biyeccion y ası Hy bH son equipotentes.Para los coconjuntos derechos considere: a ∼ b : ⇐⇒ ab−1 ∈ H . F

1.77 Definicion (Indice): Sea H ≤ G. Definimos el indice de H comonumero de coconjuntos izquierdos de H .

1.78 Observaciones y notacion.

i) bHb∈G lo notamos G/H , Hbb∈G lo notamos H\G

ii) Al ındice de H lo notamos (G : H). Si (G : H) es finito, entonces (G :H) := |G/H |.

iii) Observe que |G/H | = |H\G|.

iu) Si a ∈ bH , entonces aH = bH . De igual forma, si a ∈ Hb, Ha = Hb.

Teorema 1.79 (Teorema de Lagrange) Sea G un grupo de orden finito. SiH ≤ G, entonces |H | | |G|, mas aun |G| = |H |(G : H).

Page 22: áLgebra abstracta unidandes

16 Capıtulo 1. Grupos

Demostracion: Por el teorema 1.76:|G| =

∑bH∈G/H |bH | =

∑bH∈G/H |H | = (G : H)|H | F

1.80 Los coconjuntos son parte fundamental de la teorıa del algebra, tocaentonces entenderlos y sentirlos. De esto se dara cuenta el lector a lo largo desu estudio

1.81 Ejercicios:

1. Sean K ≤ H ≤ G grupos tales que (H : K) y (G : H) son finitos. Probarque (G : K) = (H : K)(G : H).

2. Sean H y K dos subgrupos finitos de un grupo G. SeaHK un subconjunto

de G definido por HK = hk : h ∈ H, k ∈ K. Probar que |HK| = |H||K||H∩K| .

Page 23: áLgebra abstracta unidandes

Capıtulo 2

Homomorfismos

2.1. Homomorfismos

2.1 Definicion (homomorfismo): Sean G y G′ dos grupos. Una funcionφ : G → G′ es un homomorfismo si para todo a, b ∈ G se tiene que:

φ(ab) = φ(a)φ(b) (2.1)

2.2 Observaciones sobre definicion 2.1.

i) Note que en el lado izquierdo de (2.1) la operacion es la de G, mientrasque en el lado derecho la operacion es la de G′.

ii) Para todo par de grupos G,G′, existe al menos un homomorfismo φ : G →G′, denominado el homomorfismo trivial definido por φ(g) = e′, paratodo g ∈ G, donde e′ es el elemento identidad en G′. Sin embargo, estehomomorfismo trivial no nos proporciona mucha informacion estructuralsobre G y G′.

2.3 Ejemplos:

i) Sea r ∈ Z y sea φr : Z → Z definido por φr(k) = rk, para todo k ∈ Z.Entonces para todo m,n ∈ Z se tiene que φr(m + n) = r(m + n) =rm + rn = φr(m) + φr(n). Ası, φr es homomorfismo. Note que φ0 es elhomomorfismo trivial, φ1 es le funcion identidad, y φ−1 es una funcionsobreyectiva de Z en Z. Para r 6= ±1, φr no es sobreyectiva.

ii) Sea G = G1×G2× . . .×Gi× . . .×Gn un producto directo de n grupos. Lafuncion proyeccion πi : G→ Gi, definida por πi : (g1, . . . , gi, . . . , gn) = gies un homomorfismo para cada i ∈ 1, . . . , n.

iii) Sea φ : Z → Zn dado por φ(m) = r, donde r es el residuo de la divisionde m entre n.

Page 24: áLgebra abstracta unidandes

18 Capıtulo 2. Homomorfismos

2.2. Propiedades de Homomorfismos

2.4 Definicion (Imagen, rango, imagen inversa): Sea φ : X → Y unafuncion del conjunto X al conjunto Y . Sean A ⊆ X y B ⊆ Y .

i) La imagen φ[A] de A en Y bajo φ es el conjunto φ(a) : a ∈ A.

ii) El conjunto φ[X ] es el rango de φ.

iii) La imagen inversa φ−1[B] de B en X es el conjunto x ∈ X : φ(x) ∈ B.

Teorema 2.5 Sea φ : G→ G′ un homomorfismo de grupos. Entonces:

i) Si e es la identidad en G entonces φ(e) es la identidad e′ de G′.

ii) Si a ∈ G, entonces φ(a−1) = φ(a)−1.

iii) Si H es un subgrupo de G, entonces φ[H ] es un subgrupo de G′.

iv) Si K ′ es un subgrupo de G′, entonces φ−1[K ′] es un subgrupo de G.

Demostracion: Como a = ae, para todo a ∈ G, entonces φ(a) = φ(ae) =φ(a)φ(e). Ahora multiplicando a ambos lados por φ(a)−1 a derecha, se tieneque e′ = φ(e), que es lo que dice i).Para ver ii), e′ = φ(e) = φ(aa−1) = φ(a)φ(a−1), y multiplicando a ambos ladospor φ(a)−1 a derecha se tiene φ(a)−1 = φ(a−1).SeaH ≤ G y sean φ(a) y φ(b) dos elementos en φ[H ]. Entonces φ(a)φ(b) = φ(ab),luego φ(a)φ(b) ∈ φ[H ] pues ab ∈ H , esto es φ[H ] es cerrado bajo operacion deG′. Ahora, como e′ = φ(e) y φ(a)−1 = φ(a−1) entonces φ[H ] ≤ G′, verificandoiii).Sea K ′ ≤ G′ y sean a, b ∈ φ−1[K ′]. Entonces φ(a)φ(b) ∈ K ′, puesto que K ′

es grupo. Ahora, la ecuacion (2.1) prueba que ab ∈ φ−1[K ′]. Ası, φ−1[K ′] escerrado bajo la operacion de G. Ademas, e′ ∈ K ′ luego como e′ = φ(e), entoncese ∈ φ−1[e′] ⊆ φ−1[K ′]. Y finalmente si a ∈ φ−1[K ′], entonces φ(a) ∈ K ′ yφ(a)−1 ∈ K ′. Pero φ(a)−1 = φ(a−1) y ası a−1 ∈ φ−1[K ′]. Lo que completa lademostracion de iv). F

2.6 Definicion (Fibra): Sea φ : G → G′ un homomorfismo y sea a′ ∈ G′.La imagen inversa φ−1[a′] es la fibra sobre a′ bajo φ. De ahora en adelantenotaremos φ−1[a′] por φ−1(a′).

2.7 Nota. Como e′ es un subgrupo de G′, el teorema 2.5 muestra quela fibra φ−1(e′) bajo un homomorfismo φ : G → G′ es un subgrupo de G.Demostraremos a continuacion que las fibras de G bajo φ son los coconjuntosdel grupo φ−1(e′). Ası las fibras de G bajo φ forman una particion de G (verfigura 2.1).

Page 25: áLgebra abstracta unidandes

Propiedades de Homomorfismos 19

PSfrag replacements

G

G′

e

e′

a

φ(a)

b

φ(b)

φ−1(x′)

x′

Ker(φ)

φ

Figura 2.1: Fibras y Kernel

2.8 Definicion (Kernel): Sea φ : G → G′ un homomorfismo, y e′ el neutroen G. El kernel de φ es la fibra sobre e′ bajo φ, y lo notamos Ker(φ). Formal-mente:

Ker(φ) := g ∈ G : φ(g) = e′

Teorema 2.9 Sean φ : G → G′ un homomorfismo, H = Ker(φ) y a ∈ G.Entonces la fibra sobre φ(a) bajo φ es el coconjunto izquierdo aH de H, y es elcoconjunto derecho Ha de H. Como consecuencia, las dos particiones de G encoconjuntos izquierdos y derechos de H son la misma.

Demostracion: Se desea probar que g ∈ G : φ(g) = φ(a) = aH .Suponga que a, g ∈ G son tales que φ(g) = φ(a). Entonces φ(a)−1φ(g) = e′,donde e′ es la identidad en G′. Por el teorema 2.5, sabemos que φ(a)−1 =φ(a−1), y entonces se tiene φ(a−1)φ(g) = e′. Ademas, como φ es homomorfis-mo, φ(a−1)φ(g) = φ(a−1g), luego φ(a−1g) = e′. Esto es a−1g ∈ H , o a−1g = h,para algun h ∈ H , luego g = ah ∈ aH . Ası g ∈ G : φ(g) = φ(a) ⊆ aH .Para comprobar la inclusion opuesta, considere g ∈ aH , entonces g = ah pa-ra algun h ∈ H . Esto implica φ(g) = φ(ah) = φ(a)φ(h) = φ(a)e′ = φ(a).Ası g ∈ g ∈ G : φ(g) = φ(a), luego aH ⊆ g ∈ G : φ(g) = φ(a).Una demostracion similar demuestra el mismo resultado para coconjuntos de-rechos. F

Corolario 2.10 Un homomorfismo φ : G→ G′ es inyectivo si y solo si Ker(φ) =e.

Demostracion: Suponga que Ker(φ) = e, entonces si a, g ∈ G son tales queφ(a) = φ(g), g ∈ aKer(φ). Pero aKer(φ) = ae = a. Luego g = a.Para demostrar la implicacion inversa, suponga que φ es inyectiva. Por el teore-ma 2.5 φ(e) = e′, la identidad de G′. Pero φ es inyectiva, luego el unico elementoenviado a e′ por φ es e, luego Ker(φ) = e. F

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20 Capıtulo 2. Homomorfismos

2.3. Subgrupos normales

2.11 Definicion (Subgrupo normal): Un subgrupo H de G es normal sisus coconjuntos derechos e izquierdos coinciden, lo que notaremos por H C G.Es decir:

H C G : ⇐⇒ ∀g ∈ G, gH = Hg

2.12 Observacion. Todo subgrupo de un grupo abeliano es normal.

Corolario 2.13 (al Teorema 2.9) Ker(φ) C G para cualquier homomorfis-mo φ con dominio G.

Teorema 2.14 H C G ⇐⇒ ∀(h, g) ∈ H ×G, ghg−1 ∈ H

Demostracion: Suponga que H C G. Sea h ∈ H y g ∈ G. Como gh ∈ gH y pordefinicion gH = Hg, entonces gh = h′g, para algun h′ ∈ H . Luego ghg−1 = h′,esto implica ghg−1 ∈ H .Ahora suponga que para todo h ∈ H y para todo g ∈ G, ghg−1 ∈ H . Considerealgun g ∈ G. Sea gh ∈ gH , con h ∈ H , ası ghg−1 ∈ H , o ghg−1 = h′, para algunh′ ∈ H , luego gh = h′g ∈ Hg. Ası gH ⊆ Hg. De forma similar establecemosHg ⊆ gH . Luego gH = Hg. F

Corolario 2.15 H C G ⇐⇒ ∀g ∈ G, gHg−1 = H

2.16 Nota. Frecuentemente consideraremos la caracterizacion del teorema2.14 y de su corolario 2.15 para hacer demostraciones.

2.17 Ejemplo: Sea S3 el grupo simetrico sobre 1, 2, 3 y sea H el subgrupoque consiste de la permutacion identidad y de la transposicion (1 2). EntoncesH no es normal pues (2 3)−1(1 2)(2 3) = (2 3)(1 2)(2 3) = (1 3) y (1 3) /∈ H .

Lema 2.18 Sea H C G y sean g1, g2 ∈ G. Entonces g1Hg2H = (g1g2)H.

Demostracion: g2H = Hg2 ası:g1Hg2H = g1(Hg2)H = g1(g2H)H = (g1g2)H . F

Teorema 2.19 Sea H C G. Entonces el conjunto de todos los coconjuntos deH en G es un grupo bajo la operacion que a (g1H, g2H) le asocia (g1g2)H.El elemento identidad de este grupo es H, y el inverso de gH es g−1H, paracualquier g ∈ G.

Demostracion: Por el lema anterior el conjunto de los coconjuntos es cerradobajo la operacion. Sea g ∈ G. El subgrupo H es un coconjunto de H pues H =eH . Ademas, gHH = gHeH = (ge)H = gH , HgH = eHgH = (eg)H = H ,gHg−1H = (gg−1)H = eH = H y finalmente g−1HgH = (g−1g)H = eH = H .Ası, el conjunto de todos los coconjuntos de H es un grupo. F

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Isomorfismos y el Teorema de Cayley 21

2.20 Observacion. Es interesante en este momento observar que el resultadoanterior es otra forma de caracterizar los grupos normales, es decir un subgru-po es normal si y solo la operacion del teorema anterior resulta bien definida.Formalmente: Sea B = Bii∈I una particion de G tal que (Bi, Bj) 7→ BiBj esuna operacion bien definida de B × B en B. Entonces B0, la clase de e es unsubgrupo normal de G, B = G/B0 y la operacion es (g1B0, g2B0) 7→ (g1g2)B0

(ver ejercicio ??).

Teorema 2.21 Sean K,N ≤ G, con N C G. Entonces:

i) N ∩K C K

ii) N C< N ∪K >

iii) NK =< N ∪K >= KN

iv) si K C G y N ∩K = e. Entonces: nk = kn, ∀(n, k) ∈ K ×N

Demostracion: Como N C G entonces por la caracterizacion 2.14, gng−1 ∈ N ,para todo n ∈ N y g ∈ G. Luego si n ∈ N ∩ K ⊆ N y k ∈ K, knk−1 ∈ N .Ası knk−1 ∈ N ∩K, pues knk−1 ∈ K, de donde i) es verificado.Como N ≤< N ∪K >, ii) es trivialmente concluido segun el teorema 2.14.Para demostrar iii), observe primero que NK ⊆< N ∪K >, con lo cual unica-mente debemos ver que < N ∪K >⊆ NK. Ahora, un elemento h ∈< N ∪K >es un producto de la forma n1k1n2k2 . . . nrkr, con ni ∈ N y ki ∈ K, parai ∈ 1, . . . , r. Como N C G, entonces, como se vio en la demostracion de 2.14,si k ∈ K y n ∈ N , kn = n′k para algun n′ ∈ N . En terminos practicos esto es,podemos correr los kis hacia la izquierda y ası h = n(k1k2 . . . kr), para algunn ∈ N , luego h ∈ NK, de forma similar h ∈ KN . Y ası la inclusion que faltabaes verificada.Suponga las hipotesis adicionales para iv), y sean k ∈ K y n ∈ N . Entoncesnkn−1 ∈ K y kn−1k−1 ∈ N , luego (nkn−1)k−1 ∈ K y n(kn−1k−1) ∈ N , peroN ∩K = e luego nkn−1k−1 = e o nk = kn. F

Teorema 2.22 Sean H,K ≤ G, entonces |HK| · |H ∩K| = |H | · |K|, y ası (H :H ∩K) = |HK|/|K| si H y K son finitos.

Demostracion: Defina la relacion de equivalencia ∼ enH×K por (h, k) ∼ (h′, k′)si hk = h′k′, esto es si (h′)−1h = k′k−1, o mas aun si (h′, k′) = (gh, gk−1)para algun g ∈ H ∩ K. Entonces cada una de las |HK| clases de equivalenciaes de tamano |H ∩ K|. Ahora considere f : H × K/∼ → HK definida porf([(h, k)]∼) = hk. Ası, f es biyectiva y |HK| · |H ∩K| = |H | · |K|. F

2.4. Isomorfismos y el Teorema de Cayley

2.23 Definicion (Isomorfismo): Un isomorfismo es un homomorfismobiyectivo.

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22 Capıtulo 2. Homomorfismos

Teorema 2.24 Sea C una coleccion de grupos, y defina la relacion ' en C porG ' G′ si existe un isomorfismo φ : G → G′. Tenemos que ' es una relacionde equivalencia sobre C.

Demostracion: La identidad es un isomorfismo, luego ' es reflexiva.Si φ : G → G′ es un isomorfismo, su inversa tambien, luego ' es simetrica.La composicion de dos isomorfismos es un isomorfismo, luego ' es transitiva.F

2.25 Observaciones.

i) Toda coleccion de grupos se puede particionar mediante la relacion '.

ii) La estructura de dos grupos isomorfos es la misma, luego podemos iden-tificarlos como uno solo, pues su unica diferencia es el nombre de los ele-mentos.

2.26 Para probar que dos grupos G y G′ son isomorfos debemos:

i. Definir una funcion φ : G → G′

ii. Probar que φ es un homomorfismo.

iii. Probar que φ es biyectiva.

Note lo util que puede resultar el corolario 2.10 al teorema 2.9 para probar iii..

Teorema 2.27 Todo grupo cıclico infinito es isomorfo a < Z,+ >.

Demostracion: Sea a un generador de G, ası G = an : n ∈ Z. Defina φ :G → Z por φ(an) = n. Ahora φ(anam) = φ(an+m) = n+m = φ(an) + φ(am).Finalmente observe que φ(an) = 0 si y solo si n = 0, luego φ es inyectiva, yademas dado n ∈ Z, φ(an) = n, luego φ es sobreyectiva. F

Teorema 2.28 (Teorema de Cayley) Todo grupo es isomorfo a un subgrupode un grupo de permutaciones.

Demostracion: Sea G un grupo y SG es grupo simetrico sobre G. Si a ∈ G definaλa : G → G por λa(g) = ag. Ahora si λa(g) = λa(g

′) entonces ag = ag′ luegog = g′, y λa(a

−1g) = g, ası vemos que λa es una permutacion, pues es unabiyeccion.Sea G′ = λa : a ∈ G, como λ−1

a = λa−1 y λe = Id entonces G′ ≤ SG. Yası mismo vemos que g 7→ λg es un isomorfismo. F

2.29 Observacion. El teorema de Cayley parece decir algo bastante general.Pero en la teorıa que estamos estudiando aca no es de mucha utilidad.

Page 29: áLgebra abstracta unidandes

Grupo Factor 23

2.5. Grupo Factor

2.30 En el teorema 2.19 vimos que si H C G entonces el conjunto de loscoconjuntos de H bajo la operacion (aH, bH) 7→ abH es un grupo. Esto motivala siguiente:

2.31 Definicion (Grupo factor): Sea G un grupo. Dado H C G el grupo delos coconjuntos de H bajo la operacion (aH, bH) 7→ abH es el grupos factorde G modulo H . Lo notaremos G/H .

2.32 Observacion. Segun el corolario 2.13 dado un homomorfismo con ker-nel H , podemos definir el grupo factor de G modulo H . Este grupo factorjugara un rol supremamente importante en el resto de la teorıa, como empe-zaremos viendolo en el teorema fundamental del homomorfismo (ver teorema2.36).

2.33 Ejemplo: Z4 ×Z2 es abeliano, luego todos sus subgrupos son normales,en particular 0 × Z2. Entonces (Z4 × Z2)/(0 × Z2), es un grupo y ademases tambien abeliano, y ası lo podemos clasificar de acuerdo al teorema de losgrupos abelianos finitamente generados (teorema 1.48). Ahora,

Z4 × Z2 = (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1), (3, 0), (3, 1)

y0 × Z2 = (0, 0), (0, 1)

si podemos G = Z4 × Z2 y

H = 0 × Z2

H1 = H + (1, 0) = (1, 0), (1, 1)H2 = H + (2, 0) = (2, 0), (2, 1)H3 = H + (3, 0) = (3, 0), (3, 1)

tenemos G/H = H,H1, H2, H3, ası como G/H tiene cuatro elementos, solohay dos alternativas: G/H ' Z2 × Z2 o G/H ' Z4. Pero G/H =< H1 > luegoes cıclico, y ası es isomorfo Z4.

2.6. Teorema Fundamental del Homomorfismo

Lema 2.34 Si H C G, ρ : G → G/H definida por ρ(g) = gH es un homomor-fismo con kernel H.

Demostracion: Es consecuencia directa del teorema 2.19. F

2.35 Definicion (proyeccion canonica): Si H C G, a ρH : G → G/Hdefinida por ρ(g) = gH la llamamos proyeccion canonica, o homomorfismocanonico, de kernel H .

Page 30: áLgebra abstracta unidandes

24 Capıtulo 2. Homomorfismos

Teorema 2.36 (Teorema Fundamental del Homomorfismo) Sea φ : G→G′ un homomorfismo con kernel H. Entonces la funcion µ : G/H → φ[G] talque φ = µ ρH , es un isomorfismo.

Demostracion Sean g, g′ ∈ G tales que gH = g′H , ası g−1g′ ∈ H esto equivalea φ(g)−1φ(g′) = φ(g−1g′) = e′. Esto es φ(g) = φ(g′), entonces podemos definirµ por µ(gH) := φ(g). Pero ρH(g) = gH , luego φ = µ ρH .Ahora por el teorema 2.19 µ es un homomorfismo. Es evidente que µ es sobre-yectivo, y la inyectividad la podemos deducir de la equivalencia entre gH = g′Hy φ(g) = φ(g′). Ası µ es isomorfismo.Su unicidad es evidente, pues si µ : G/H → φ[G] es tal que φ = µ ρH ,µ(gH) = φ(g). F

Corolario 2.37 Si φ : G → G′ es un homomorfismo sobreyectivo con kernelH, G/H ' G′.

2.38 Observacion. El teorema fundamental del homomorfismo nos habla dela dinamica del grupo G: si tenemos un homomorfismo sobreyectivo de G enG′ con kernel H , podemos descomponer la operacion de G en dos partes unaprimera que tiene la dinamica de H con consecuencias en otra despues que tienela de G′. Por ejemplo sea a, c ∈ G, b ∈ aH con b = ah′ y d ∈ cH con d = ch,entonces bd ∈ acH y si h′′ ∈ H es tal que ch′′ = h′c, bd = ac(h′′h) (ver figura2.2). Una visualizacion de esto es la operacion de suma en los reales que sepuede descomponer en una parte decimal y en otra entera (1, 75 ∈ 0, 75 + Z,2, 43 ∈ 0, 43 + Z, 4, 18 = 1, 75 + 2, 43 ∈ 1, 18 + Z = 0, 18 + Z).

PSfrag replacements

G G′

H

cH

aH

acH

h

h′′

h′′h

d = ch

b = ah′

bd = ac(h′′h)

e′

v

u

uv

φ

.

.

.

.

.

.

Figura 2.2: Teorema Fundamental del Homomorfismo

Page 31: áLgebra abstracta unidandes

Calculo de Grupo Factor 25

2.7. Calculo de Grupo Factor

2.39 Ejemplos:

i) El subgrupo trivial 0 de Z es un subgrupo normal. Calculemos Z/0.Como N = 0 tiene unicamente un elemento, todo coconjunto de N tieneun solo elemento. Es decir, los coconjuntos son de la forma m para algunm entero. Ası Z/0 ' Z

ii) Sea n ∈ N∗. El conjunto nR = nr : r ∈ R es un subgrupo de R conla adicion. nR es normal puesto que R es abeliano. Calculemos R/nR.Note que cada x ∈ R es de la forma n( xn ) con x

n ∈ R. De ahı que paracualquier x ∈ R tenemos que x ∈ nR. Entonces nR = R y en consecuenciaR/nR consta de un unico elemento, a saber, nR. A nR/R no le queda masalternativa que ser el grupo trivial.

2.40 Observacion. Por el teorema fundamental del homomorfismo, podemospensar en el grupo factor G/H como un grupo en el cual cada coconjunto deH colapsa a un solo elemento. En particular H colapsa a un neutro. Comoacabamos de ver el colapso puede variar de inexistente (cuando H = e), a“catastrofico” (cuando H = G). Es claro que estos dos tipos de colapsos no nosproporcionan mayor informacion sobre la dinamica en G.

2.41 Ejemplos:

i) Comencemos observando lo siguiente: Si G es un grupo finito y G/N tienesolo dos elementos, entonces |G| = 2|N |. Note ademas que cualquier sub-grupo conteniendo la mitad de los elementos de G es forzosamente normal,puesto que dado a ∈ G, a esta en H o no esta en H . En el primer caso setendrıa a ∈ H, aH = H = Ha, y en el segundo a /∈ H, aH = Ha forzo-samente. Ahora bien, como sabemos que |Sn| = 2|An|, entonces el grupoalternante An es un subgrupo normal de Sn y el grupo cociente tiene doselementos. Sabiendo que cualquier grupo de orden dos es isomorfo a Z2

conocemos completamente la operacion en Sn/An. Tomando σ /∈ An unapermutacion impar y si renombramos σAn por “impar” y An por “par”verificamos la siguiente propiedad de la dinamamica de Sn:

(par)(par) = par (impar)(par) = impar(par)(impar) = impar (impar)(impar) = par

Vemos como conocimiento acerca de la operacion en el grupo factor Sn/Anrefleja una propiedad de la operacion en Sn.

ii) El recıproco del teorema de Lagrange no es cierto. Veamos queno es cierto que k | |G| implique que exista algun H ≤ G tal que |H | =k. Mostraremos que A4 no tiene subgrupos de orden seis. Suponga porcontradiccion que H es un subgrupo de A4 de orden seis. Como |A4| = 12,H es normal. Ası A4/H tiene solo dos elementos H y σH para algun

Page 32: áLgebra abstracta unidandes

26 Capıtulo 2. Homomorfismos

σ /∈ H . Como en un grupo de orden dos el cuadrado de todo elementoes la identidad, entonces HH = H y σHσH = H . Ahora, el productoen el grupo factor se puede lograr mediante el producto de elementosrepresentativos de los los coconjuntos, luego tenemos que para cualquierα ∈ A4, α

2 ∈ H . Pero en A4 se tiene (123) = (132)2 y (132) = (123)2 luego(123) y (132) estan en H . De la misma forma se verifica que (124), (142),(134), (143), (234) estan todos en H . Esto muestra que H tiene al menosocho elementos, contradiciendo la hipotesis de que H tenia seis elementos.

iii) Calculemos el grupo factor Z4 × Z6/ < (0, 1) >. Sea H =< (0, 1) >,ası H = (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5)Como H tiene 6 elementos,todos los coconjuntos de H tambien deben tener 6 elementos y |(Z4 ×Z6)/H | = 4. Como Z4 ×Z6 es abeliano, entonces Z4 ×Z6/H tambien. Loscoconjuntos de H en Z4 × Z6 son:

H = (0, 0) +HH1 = (1, 0) +HH2 = (2, 0) +HH3 = (3, 0) +H

Ası Z4 × Z6/ < (0, 1) > es cıclico, luego es isomorfo a Z4.

Teorema 2.42 Sea G = H × K el producto de dos grupos H y K. EntoncesH = (h, e) : h ∈ H es un subgrupo normal de G. Ademas, G/H es isomorfoa K. Similarmente, G/K ' H

Demostracion: Considere el homomorfismo π2 : H ×K → K, donde π2(h, k) =k. Como Ker(π2) = H y π2 es sobreyectiva, el teorema 2.36 nos dice queH ×K/H ' K. F

Teorema 2.43 Un grupo factor de un grupo cıclico es cıclico.

Demostracion: Sea G =< a >, y N ≤ G. Ası N C G, y como a genera todo G,aN genera todo G/N . Luego G/N =< aN > es cıclico. F

2.44 Observacion. Ya vimos que un grupo factor de un grupo no cıclico bienpodra ser cıclico (por ejemplo, Sn/An, para n ≥ 3). El teorema 2.42 nos muestracomo algunos grupos factor colapsan separadamente, este no siempre es el casocomo lo veremos ahora mismo.

2.45 Ejemplos:

i) Calculemos Z4×Z6/ < (0, 2) >. Sea H =< (0, 2) >= (0, 0), (0, 2), (0, 4).En primera instancia note que Z4 × Z6 es abeliano, luego el grupo factortambien es abeliano, y como |H | = 3, es de orden 8. Usando el teoremafundamental de los grupos abelianos finitamente generados, sabemos que

Page 33: áLgebra abstracta unidandes

Grupos simples 27

el grupo factor debe ser isomorfo a uno de los siguientes grupos: Z8, Z4×Z2

o Z2 × Z2 × Z2. Con un poco de paciencia calculamos los coconjuntos:

H = (0, 0) +H = (0, 0), (0, 2), (0, 4) H4 = (2, 0) +H = (2, 0), (2, 2), (2, 4)H1 = (0, 1) +H = (0, 1), (0, 3), (0, 5) H5 = (2, 1) +H = (2, 1), (2, 3), (2, 5)H2 = (1, 0) +H = (1, 0), (1, 2), (1, 4) H6 = (3, 0) +H = (3, 0), (3, 2), (3, 4)H3 = (1, 1) +H = (1, 1), (1, 3), (1, 5) H7 = (3, 1) +H = (3, 1), (3, 3), (3, 5)

y los subgrupos generados son:

< H1 >= H,H1< H2 >= H,H2, H4, H6< H3 >= H,H3, H4, H7< H4 >= H,H4< H5 >= H,H5< H6 >=< H2 >< H7 >=< H3 >

Como no hay ningun elemento de orden 8, entonces no puede ser isomorfo aZ8. Como no todo elemento tiene orden 2, entonces tampoco lo puede ser aZ2×Z2×Z2. Entonces no quedendo mas alternativa, es isomorfo a Z4×Z2.Este es un ejemplo de como los coconjuntos colapsan separadamente.

ii) Calculemos el grupo factor (Z4 ×Z6)/ < (2, 3) >. Sea H =< (2, 3) >, en-tonces H = (0, 0), (2, 3). Como H es de orden 2, entonces (Z4 × Z6)/Hes de orden 12. Se podrıa cometer el error de pensar que Z4 y Z6 sepa-radamente colapsan en grupos isomorfos a Z2 y que y entonces el grupofactor serıa isomorfo a Z2 × Z2. De esta manera el grupo factor tendrıaorden 4 y no 12 como de hecho es. Tenga cuidado en no pensar que los fac-tores siempre colapsan separadamente!! Ahora bien, los grupos abelianosde orden 12 son: Z4 ×Z3 (que es isomorfo a Z12), Z6 ×Z2 y Z2 ×Z2 ×Z3.Ademas Z4×Z3 es el unico que tiene un elemento de orden 4. Probaremosque el coconjunto (1, 0) + H es un elemento de orden 4. Para encontrarla potencia mas pequena de un coconjunto que de la identidad, basta es-coger la potencia mas pequena del representante que este en H . Ahora,4(1, 0) = (1, 0) + (1, 0) + (1, 0) + (1, 0) = (0, 0). Por lo tanto (Z4 × Z6)/Htiene un elemento de orden 4 y ası es isomorfo a Z4 × Z3.

2.8. Grupos simples

Teorema 2.46 Sea φ : G→ G′ un homomorfismo. Si N C G, φ[N ] C φ[G]. SiN ′ C φ[G], φ−1[N ′] C G.

Demostracion: Sean N C G y N ′ C φ[G]. φ[N ] ≤ φ[G] y φ−1[N ′] ≤ G por elteorema 2.5. Ahora si (φ(g), φ(n)) ∈ φ[G] × φ[N ], gng−1 ∈ N y φ(gng−1) =φ(g)φ(n)φ(g)−1 ∈ φ[N ], luego φ[N ] C φ[G]. Por otro lado si g, n ∈ G×φ−1[N ′],φ(gng−1) = φ(g)φ(n)φ(g)−1 ∈ N ′ y gng−1 ∈ φ−1[N ′], luego φ−1[N ′] C G. F

Page 34: áLgebra abstracta unidandes

28 Capıtulo 2. Homomorfismos

2.47 Ejemplo: En S3 considere µ = (2 3). Defina el homomorfismo φ : Z2 →S3 por φ(0) = 0 y φ(1) = µ. Ahora bien Z2 C Z2, pero id, µ = φ[Z2] no essubgrupo normal de S3, como ya se vio previamente.

2.48 Observaciones.

i) Como lo muestra el ejemplo anterior, aun si N C G, φ[N ] puede no sersubgrupo normal de G′.

ii) Sabiendo que construir grupos factor nos ilustra sobre la dinamica delgrupo, podemos preguntarnos en que condiciones un grupo no admite sinocolapsos triviales.

2.49 Definiciones (Grupo simple, subgrupo normal maximal):

i) Un grupo G es llamado simple si su unico subgrupo propio normal es e.

ii) Un subgrupo propio normal M de G es llamado maximal, si:

N C G ∧M < N ⇒ N = G

2.50 Observaciones a la definicion 2.49.

i) Semejante a los numeros primos, el grupo trivial no es simple.

ii) Un subgrupo es normal maximal si y solo si el unico subgrupo normal quelo contiene propiamente es todo el grupo.

Teorema 2.51 M es un subgrupo normal maximal de G si y solo si G/M essimple.

Demostracion: Sea M un subgrupo normal maximal de G. Considere la proyec-cion canonica ρM , y tome N ′ C G/M . Ahora, por el teorema 2.46, ρ−1[N ′] C G.Entonces si N ′ = M, ρ−1[N ′] = Ker(ρM ) = M , de lo contrarioM < ρ−1(N ′)lo cual implica ρ−1(N ′) = G, y ası N ′ = G/M . Ası el unico subgrupo propionormal de G/M es M.Para verificar el converso, suponga que G/M es simple, y tome N C G tal queM < N . Ası ρM [N ] C G/M y N 6= M, luego ρM [N ] = G/M . Entonces N esun subgrupo de G que contiene a M y a un representante de cada coconjuntode M , luego N = G. Ası M es normal maximal. F

2.9. El centro y el conmutador

2.52 Todo grupo tiene dos subgrupos normales importantes, el centro y elconmutador, que nos indican de cierto modo “que tan abeliano” es G. Porun lado nos podemos preguntar que elementos conmutan en G, y por otro,como podriamos “abelianizar” G (i.e encontrar un grupo factor de G abelianoy parecido a G).

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El centro y el conmutador 29

2.53 Notacion. Dados a, b ∈ G notaremos aba−1b−1 por [a : b] y lo llamare-mos conmutador de a y b.

Teorema 2.54 K = z ∈ G : zg = gz, ∀g ∈ G y H =< [a : b] : a, b ∈ G >son subgrupos normales de G.

Demostracion: Comencemos con K, si g ∈ G, eg = ge, luego e ∈ K. Ahorasi k1, k2 ∈ K y g ∈ G, k1g = gk1, ası multiplicando a izquierda y derechapor k−1

1 obtenemos, gk−11 = k−1

1 g, luego k−11 ∈ K, y k1k2g = k1gk2 = gk1k2,

ası k1k2 ∈ K. Entonces K ≤ G.Ahora sea (g, k) ∈ G × K. Entonces si g′ ∈ G, (gkg−1)g′ = kg′ = g′k =g′(gkg−1), luego gkg−1 ∈ K. Ası K C G.Ahora preocupemonos por H . H ≤ G por definicion. Si a, b ∈ G, e = [a : a] ∈ H ,[a : b]−1 = [b : a] ∈ H . Luego por el teorema 1.38, H consiste de todos los pro-ductos finitos de conmutadores.Si x, y, g ∈ G, gxyg−1 = (gxg−1)(gyg−1), entonces concluiremos que H es nor-mal si g[x : y]g−1 es un producto de conmutadores. Pero,

g[x : y]g−1 = gxyx−1y−1g−1

= gxyx−1(g−1y−1yg)y−1g−1

= ((gx)y(gx)−1y−1)(ygy−1g−1)

= [gx : y][y : g]

luego H C G. F

2.55 Definiciones (Centro y conmutador):

i) El centro de G es el subgrupo Z(G) definido por:

Z(G) := z ∈ G : zg = gz, ∀g ∈ G

ii) El conmutador de G es el subgrupo C(G) definido por:

[G : G] :=< [a : b] : a, b ∈ G >

2.56 Observacion: En el caso en que G es abeliano, su centro es todo G ysu conmutador es e. Bajos estas condiciones estos subgrupos, como se podıaesperar, no son de mucha utilidad.

2.57 Ejemplo: Por verificacion (continuando el ejemplo 1.56), vemos queZ(S3) = id

Teorema 2.58 Sea G un grupo:

i) G/[G : G] es abeliano.

ii) G/N es abeliano si y solo si [G : G] ≤ N

Page 36: áLgebra abstracta unidandes

30 Capıtulo 2. Homomorfismos

Demostracion: Sean a, b ∈ G, como [a : b] ∈ [G : G], ab(ba)−1[G : G] = [G : G],luego ab[G : G] = ba[G : G]. Ası G/[G : G] es abeliano.Ahora suponga que G/N es abeliano, esto equivale a: para todo a, b ∈ G, abN =baN ; que sucede si y solo si [a : b] = ab(ba)−1 ∈ N para todo a, b ∈ G, que es[G : G] ≤ N . F

2.59 Ejemplo: S3/A3 es abeliano luego [G : G] ≤ A3. Con la notacion de1.56, [ρ : σ] = ρσρ2σ = ρσσρ = ρ2 y [ρ2 : σ] = ρ2σρσ = σρ2σ = σσρ = ρ. LuegoA3 ≤ [G : G]. Concluimos que [G : G] = A3.

2.10. Ejercicios

1. Sea φ : G → G′ un homomorfismo de grupos. Pruebe que:

(a) Si |G| es finito, entonces |φ[G]| es finito y es un divisor de |G|.

(b) Si |G′| es finito, entonces |φ[G]| es finito y es un divisor de |G′|.

2. Pruebe que todo homomorfismo φ : G → G′ donde |G| es un primo debeser o bien el homomorfismo trivial o bien un homomorfismo inyectivo.

3. Sea G un grupo y sea g un elemento fijo de G. Pruebe que la aplicacionig : G → G definida por ig(x) = gxg−1 es un isomorfismo de grupos. (Unisomorfismo de un grupo G en si mismo es llamado un automorfismo deG. El automorfismo ig es llamado el automorfismo interno de G porg).

4. Sea H un subgrupo de un grupo G. Pruebe que H C G si y solo siig [H ] = H , para todo g ∈ G. (Es decir, H es normal en G si y solo si Hes invariante bajo todos los automorfismos internos de G).

5. Un subgrupo H es dicho conjugado con un subgrupo K de un grupoG si existe un automorfismo interno ig de G tal que ig[H ] = K. Pruebeque la conjugacion es una relacion de equivalencia sobre la coleccion desubgrupos de G.

6. Sea H un subgrupo normal de un grupo G, y sea m = (G : H). Pruebeque am ∈ H para todo a ∈ G.

7. Pruebe que la interseccion de subgrupos normales de un grupo G es unsubgrupo normal de G.

8. Pruebe que si un grupo G tiene exactamente un solo subgrupo H de unorden dado, entonces H C G.

9. Pruebe que si H y N son subgrupos de un grupo G, donde N es normalen G, entonces H ∩N es normal en H . Pruebe con un ejemplo que H ∩Nno es necesariamente normal en todo G.

Page 37: áLgebra abstracta unidandes

Ejercicios 31

10. Pruebe que el conjunto de todos los automorfismos de un grupo G formanun grupo bajo la operacion de composicion.( Dicho grupo se denota porAUT(G)).

11. Pruebe que los automorfismos internos de un grupo G forman un subgruponormal de AUT(G). (Pruebe primero que el conjunto de los automorfismosinternos de G es un subgrupo de AUT(G)).

12. Sean G y G′ dos grupos y sean H y H ′ subgrupos normales de G y G′

respectivamente. Sea φ un homomorfismo de G en G′ tal que φ[H ] ⊆ H ′.Pruebe que φ induce un homomorfismo natural φ∗ : G/H → G′/H ′.

13. Pruebe que si un grupo finito G contiene un subgrupo propio de ındice 2en G, entonces G no es simple.

14. Pruebe que si un grupo G no es abeliano, entonces el grupo factor G/Z(G)no es cıclico.

15. Use el ejercicio anterior para probar que un grupo G no abeliano de ordenpq, donde p y q son primos, tiene un centro trivial.

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32 Capıtulo 2. Homomorfismos

Page 39: áLgebra abstracta unidandes

Capıtulo 3

Conjugacion

3.1. Elementos y subgrupos conjugados

3.1 Definicion (Elementos conjugados): Dos elementos k, h de un mismogrupo G son conjugados si k = ghg−1 para algun g ∈ G.

3.2 Observaciones a la definicicion 3.1.

i) La relacion ser conjugados es una relacion de equivalencia en el grupo, laverificacion de esta trivialidad se le deja al lector. Las clases de equiva-lencia de esta relacion las denominaremos clases de conjugacion y lanotaremos [h].

ii) La clase de conjugacion de la identidad contiene solamente a la identidad.Ademas es la unica clase de conjugacion que es un grupo, ya que las otrasno contienen a la identidad.

iii) Un grupo es abeliano si y solo si todas sus clases de conjugacion sonconjuntos unipuntuales (ejercicio).

3.3 Definicion (Centralizador): Sea G un grupo y h ∈ G. El Centraliza-dor de h, que notaremos C(h), esta definido por:

C(h) := g ∈ G : hg = gh

3.4 Ejemplo: Considere S3, el grupo de permutaciones sobre el conjunto1, 2, 3. Sea h = (1 2). Entonces, el centralizador de h es C(h) = id, (1 2). Cla-ramente C(h) ≤ S3, pero C(h) no es subgrupo normal en S3 pues (1 3)(1 2)(1 3)−1 =(2 3).

3.5 Observacion. El Centralizador de h son justamente los elementos de Gque conmutan con h. Evidentemente e ∈ C(h), ahora si g, g′ ∈ C(h) entonceshgg′ = ghg′ = gg′h, esto es gg′ ∈ C(h). Lo anterior muestra que C(h) ≤ G. El

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34 Capıtulo 3. Conjugacion

centralizador “tiene apariencia” de ser un subgrupo normal, aunque el ejemploanterior muestra que no siempre es el caso. Pero, aunque C(h) no es subgruponormal, si podemos definir las siguientes aplicaciones que seran de gran utilidaden el futuro:

3.6

κh : G −→ G

g 7−→ hgh−1

Note que si hgh−1 = hg′h−1 entonces g = g′ y si g′ = h−1gh entonces hg′h−1 =g, luego κh es una biyeccion. Ademas para g, g′ ∈ G arbitrarios hgg′h−1 =(hgh−1)(hg′h−1), luego κh es isomorfismo de G en G (es decir, κh es un auto-morfismo de G).Ahora bien, si b ∈ gC(h) entonces b = gk para algun k ∈ C(h) ası bhb−1 =gkh(gk)−1 = gkhk−1g−1 = ghg−1. Luego:

fh : G/C(h) −→ G

gC(h) 7−→ κg(h)

esto es fh(gC(h)) = ghg−1, esta bien definida. Note que fh no es necesariamen-te un homomorfismo pues G/C(h) no tiene porque tener estructura de grupo,puesto que C(h) no es necesariamente normal en G.

Teorema 3.7 Sea G un grupo finito, y h ∈ G. Entonces: |[h]| = (G : C(h)).

Demostracion: Es claro que para demostrar esto basta ver que la aplicacionfh definida en 3.6 es biyectiva, ya que cuando g recorre G, fh(g) recorre [h].Suponga que fh(aC(h)) = fh(bC(h)), esto es aha−1 = bhb−1 o b−1ah = hb−1a,luego b−1a ∈ C(h) lo que equivale a aC(h) = bC(h). Ahora sea a ∈ [h] ası a =ghg−1 para algun g ∈ G, luego κg(h) = a o fh(gC(h)) = a. F

3.8 El hecho que κg sea un isomorfismo, implica que si H ≤ G entoncesgHg−1 ≤ G, lo que nos sugiere expandir nuestra relacion de ser conjugados a lasiguiente, que tambien es de equivalencia:

3.9 Definicion (Subgrupos conjugados): Dos subgrupos H,K de un mis-mo grupo G son conjugados si K = gHg−1 para algun g ∈ G.

3.2. An para n ≥ 5 es simple

3.10 Recordemos los siguientes resultados ya obtenidos:

i) Toda permutacion de un conjunto finito es la permutacion identidad, unciclo, o un producto de dos o mas ciclos disyuntos.

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An para n ≥ 5 es simple 35

ii) Toda permutacion de un conjunto finito con mas de un elemento puedeexpresarse como un producto finito de transposiciones.

iii) Una permutacion de un conjunto finito es un producto o bien de un numeropar de transposiciones o bien de un numero impar de transposiciones, perono las dos.

iu) Un n-ciclo es, par si n− 1 es par; impar si n− 1 es impar.

u) Toda permutacion par de un conjunto finito con al menos tres elementospuede expresarse como un producto de 3-ciclos.((a b)(a c) = (a b c), (a b)(c d) = (a c b)(a c d))

Lema 3.11 Si k ≤ n − 2 es impar, todos los k-ciclos en An pertenecen a unamisma clase de conjugacion.

Demostracion: Sea k como en las hipotesis. Demostraremos que todo k-cicloes conjugado de h = (1 2 . . . k). Considere un ciclo k = (m1 m2 . . .mk) enAn. Sea g ∈ An tal que g(i) = mi (¿Por que existe un tal elemento en An?).Ası g−1(mi) = i. Ahora si i ≤ k − 1, ghg−1(mi) = gh(i) = g(i + 1) = mi+1

y ghg−1(mk) = gh(k) = g(1) = m1. Pero si d ∈ 1, . . . , n es tal que d 6= mi,para todo i ∈ 1, . . . , k, g−1(d) ≥ k + 1, y ası hg−1(d) = g−1(d) entoncesghg−1(d) = d. Luego ghg−1 = k, esto es k y h son conjugados. F

3.12 Observacion: A4 no es simple. Considere

V4 := id, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)

Sea g ∈ A4, entonces g(1 2)(3 4)g−1 = (g(1) g(2))(g(3) g(4)) es un elementode V4 y algo similar sucede con las otras dos permutaciones de V4 diferentes ala identidad. Luego V4 C A4. (Ejercicio: pruebe que V4 es el unico subgruponormal propio no trivial de A4).

Lema 3.13 Sea n ≥ 5 y N C An no trivial. Entonces, existen g ∈ N\id ya ∈ 1, 2, . . . , n, tales que g(a) = a.

Demostracion: Dividimos la prueba en dos casos: uno, todo elemento h ∈ N estal que h2 = id; dos, el caso en que no.Suponga que primero que no, y sean h ∈ N y a ∈ 1, 2, . . . , n tales que h2(a) 6=a. Sea b = h(a), c = h(b), ası a, b y c son distintos. Ahora como n ≥ 5, existenotros dos elementos d, e distintos a los tres anteriores. Sea h′ = (c d e)h(c d e)−1

ası h′ ∈ N y h′(a) = b, h′(b) = d. Luego h′ 6= h y si g = h−1h′, entonces g ∈ N ,donde g no es la identidad y g(a) = a.Ahora suponga el otro caso, y sea h ∈ N\id y a ∈ 1, 2, . . . , n tal queh(a) 6= a. Sea b = h(a). Ahora como h es par h 6= (a b) y ası existen doselementos mas c y d, distintos, tales que h(c) = d. Sea e un quinto elementodistinto de a, b, c, y d, y sea h′ = (c d e)h(c d e)−1. Entonces h′ ∈ N es tal queh′(a) = b y h′(d) = e luego h′ 6= h y si g = h−1h′, entonces g ∈ N , donde g noes la identidad y g(a) = a. F

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36 Capıtulo 3. Conjugacion

Lema 3.14 Sea n ≥ 5 y N C An. Si N contiene un 3-ciclo, N = An.

Demostracion: Por el lema 3.11 si N contiene un 3-ciclo, al ser normal tambiencontiene los dem’as 3-ciclos. Ahora por 3.10 u), estos generan An. F

Teorema 3.15 Si n ≥ 5, An es simple.

Demostracion: Procederemos por induccion sobre n.Sea N C A5 no trivial. Por el lema 3.13, existen g ∈ N \ id y a ∈ 1, . . . , 5tales que g(a) = a. Sea h ∈ A5 tal que h(a) = 5, y g′ = hgh−1, luego g′(5) = 5y g′ ∈ N \ id. Defina H = g ∈ A5 : g(5) = 5, ası H ≤ G y H 'A4. Luego N ∩ H C H , y g′ ∈ N ∩ H , y como el unico subgrupo propiono trivial normal de A4 es V4, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3) ⊂ N ∩ H .Ahora (1 2)(4 5) = (3 4 5)(1 2)(3 4)(3 4 5)−1, luego (1 2)(4 5) ∈ N . Ademas(3 4 5) = (1 2)(3 4)(1 2)(4 5), ası (3 4 5) ∈ N . Entonces por el lema 3.14,N = A5.Sea n > 5. Suponga que An−1 es simple. Sea N C An no trivial y H = g ∈An : g(n) = n. Por el lema 3.13, existen g ∈ N \ id y a ∈ 1, . . . , n talesque g(a) = a. Sea h ∈ An tal que h(a) = n, y g′ = hgh−1, luego g′(n) = n yg′ ∈ N \ id. Luego N ∩ H C H , y g′ ∈ N ∩ H , entonces N ∩ H = H , puesH ' An−1 y An−1 es simple, ası N contiene un 3-ciclo y entonces por el lema3.14, N = An. F

3.16 Observaciones.

i) Actualmente debe ser claro para el lector lo elegante de la conjugacionen los grupos de permutaciones. Si h =

∏ni=1(ai bi), entonces ghg−1 =∏n

i=1(g(ai) g(bi)). Es impreciso hablar de una productoria en un grupono abeliano, para que la identidad sea cierta se requiere que se considereel mismo orden en el producto que expresa ghg−1 que el que se uso parah. Lo anterior, evidentemente, no es lo unico impresionante en todo esto.

ii) Uno de los objetivos de los primeros cursos en Algebra Abstracta es de-mostrar la insolubilidad de los polinomios de grado mayor o igual a cinco(“la insolubilidad de la quintica”). Por extrano que nos parezca actual-mente, el hecho que An sea simple para n ≥ 5 es una de las razones paraello. Elegante, ¿no?. Sigamos entonces con nuestro estudio.

3.3. Ejercicios

1. Pruebe que un grupo G es abeliano si y solo si todas sus clases de conju-gacion contienen exactamente un elemento de G.

2. Sea H un subgrupo de un grupo G. Para cada g ∈ G, el subconjuntogHg−1 es un conjugado de H . Probar que cada conjugado de H es unsubgrupo de G y que la interseccion de los conjugados deH es un subgruponormal de G.

Page 43: áLgebra abstracta unidandes

Capıtulo 4

Accion de grupo sobre un

conjunto

4.1. G-conjuntos

4.1 Definicion (Accion de Grupo y G-conjunto): Sea X un conjunto yG un grupo. Una accion de G sobre X es una aplicacion ∗ : G ×X → X talque:

i) e ∗ x = x, ∀x ∈ X

ii) (g1g2) ∗ x = g1 ∗ (g2 ∗ x), ∀x ∈ X, ∀g1, g2 ∈ G

Bajo estas condiciones,X es un G-conjunto. Cuando no halla lugar a confucionnotaremos g ∗ x por gx.

4.2 Nota. Aquı definimos la accion “actuando por la izquierda”, algunoslibros la prefieren “actuando por la derecha”. Por lo general esto ultimo se hacecuando tambien se prefiere la composicion por derecha (i.e. f g(x) = g(f(x))).

4.3 Ejemplo: Sea X un conjunto, y H un subgrupo de SX . Entonces X esun H-conjunto, donde la accion de H sobre X es la definida por gx = g(x). Lacondicion ii) de la definicion 4.1, es una consecuencia inmediata de la definicionde multiplicacion de permutaciones vista como composicion, y la condicion i),de la definicion de la permutacion identidad como la funcion identidad. Noteque en particular, 1, . . . , n es un Sn-conjunto.

4.4 El siguiente teorema muestra que para cada G-conjunto X, dado un g ∈ Gla aplicacion σg : X → X definida por σg(x) = gx es una permutacion de X ,y que existe un homomorfismo Φ : G → SX tal que la accıon de G sobre Xes basicamente la descrita en el ejemplo 4.3 con H = Φ[G]. Por lo tanto, lasacciones de los subgrupos de SX sobreX describen todas las posibles acciones deun grupo G sobreX . Ası al momento de estudiar el conjuntoX , acciones usando

Page 44: áLgebra abstracta unidandes

38 Capıtulo 4. Accion de grupo sobre un conjunto

subgrupos de SX seran suficientes. Sin embargo, algunas veces, un conjunto Xes usado para estudiar G vıa una accion de grupo G sobre X .

Teorema 4.5 Sea X un G-conjunto. Para cada g ∈ G, la funcion σg : X → Xdefinida por σg(x) = gx es una permutacion de X. Ademas, la aplicacion Φ :G → SX definida por Φ(g) = σg es un homomorfismo. Ası Φ(g)(x) = gx, estoes:

Φ : G −→ SX

g 7−→ σg : X → X

x 7→ gx

Demostracion: Dado g ∈ G, demostremos que x 7→ gx es una biyeccion. Seanx, y ∈ X , tales que gx = gy. Ası por 4.1 ii), ex = g−1gx = g−1gy = ey, luegopor 4.1 i), x=y. Ahora, sea x ∈ X , tome x′ = g−1x, ası gx′ = gg−1x = ex = x.Visto entonces que x 7→ gx es una biyeccion, tiene sentido nuestra funcion Φ,pues x 7→ gx es una permutacion.Ahora, de la condicion ii) de la definicion 4.1 se sigue inmediatamente que Φ esun homomorfismo. F

4.6 Definiciones (Accion fiel, accion transitiva): Sea X un G-conjunto.

i) Decimos que G actua fielmente sobre X si: dado un g ∈ G tal que gx = xpara todo x, implica g = e.

ii) Decimos que G actua transitivamente sobre X si: para cada x1, x2 ∈ X ,existe un g ∈ G tal que gx1 = x2.

4.7 Observacion. Sea X un G-conjunto. Segun el teorema 4.5 y el corolario2.13, el subconjunto N de G que deja todo elemento de X fijo es un subgruponormal. Ahora, por el teorema fundamental del homomorfismo, a X lo podemosver como un G/N -conjunto, donde gNx = gx. Ası G/N actua fielmente sobreX .

4.8 Ejemplos:

i) Considere λg : G → G definida por λg(g′) = gg′. Ahora λe = id y λg1

λg2 = λg1g2 , luego si definimos g ∗ x = λg(x), G es un G-conjunto. SiH ≤ G, de misma forma podemos ver a G como un H-conjunto. Note quecon las ρg : G → G, definidas por ρg(g

′) = g′g podemos definir un acciona derecha pero no a izquierda.

ii) Recuerde κg : G → G definida por κg(g′) = gg′g−1. Entonces, κe = id y

κg1 κg2 = κg1g2 , luego si definimos g ∗ x = λg(x), G es un G-conjunto.

iii) Sea V un espacio vectorial sobre R, los axiomas 1~v y (rs)~v = r(s~v), mues-tran que V se puede ver como un R∗-conjunto, con el grupo < R∗, ., 1 >.

Page 45: áLgebra abstracta unidandes

Subgrupo estabilizador y orbitas 39

iu) Sea Sn = x ∈ Rn+1 : ‖x‖ = 1 la esfera n-dimensional. ConsidereSOn+1(R) = U ∈ Mn+1×n+1 : det(U) = 1 ∧ UU t = I el conjuntode matrices ortonormales de dimension n + 1 × n + 1. Ası bajo la accionU ∗ x = Ux, Sn es un SOn+1(R)-conjunto.

u) Sea H ≤ G y LH el conjunto de los coconjuntos izquierdos de H en G.Bajo la accion g ∗xH = (gx)H , LH es un G-conjunto. Esta accion sera degran utilidad (cf. Capıtulo 6).

4.2. Subgrupo estabilizador y orbitas

4.9 Notacion. Sea X un G-conjunto, notaremos:Xg := x ∈ X : gx = x, y Gx := g ∈ G : gx = x

Teorema 4.10 Sea X un G-conjunto. Entonces, Gx ≤ G, para todo x ∈ X.

Demostracion Sea x ∈ X . ex = x luego e ∈ Gx, si g ∈ Gx, g−1x = g−1gx = x,

luego g−1 ∈ Gx, y finalmente si g1, g2 ∈ Gx, g1g2x = g1x = x, entonces g1g2 ∈Gx. F

4.11 Definicion (Subgrupo estabilizador): Dado X un G-conjunto. A Gxlo llamamos el subgrupo estabilizador de x.

Teorema 4.12 Sea X un G-conjunto. La relacion ∼ definida por x1 ∼ x2 siexiste un g ∈ X tal que gx1 = x2, es de equivalencia.

Demostracion: ex = x, para todo x ∈ X , luego la relacion es reflexiva.Seax1, x2, x3 ∈ X . Si gx1 = x2, x1 = g−1x2, entonces la relacion es simetrica.Ahora si g1x1 = x2 y g2x2 = x3, tenemos que g2g1x1 = x3, luego la relacion estambien transitiva. F

4.13 Definicion (Orbitas): A la clase de equivalencia de x de la relaciondefinida en 4.12, la llamamos orbita de x, y la notaremos Gx. Ası:Gx := a ∈ X | ∃g ∈ G : gx = a

4.14 Aunque la notacion de la orbita y del estabilizador se parecen, no hay queconfundirlos. Existen otras notaciones para estos conjuntos pero esta nos parecebastante descriptiva. Ahora bien, un lector prudente que ya se desenvuelva enesta teorıa, le parecera el siguiente resultado muy natural.

Teorema 4.15 |Gx| = (G : Gx)

Demostracion: Si x′ ∈ Gx, con x′ = g1x = g2x entonces g−11 g2 ∈ Gx, luego

g1Gx = g2Gx. Ası podemos definir ψ : Gx → gGxg∈G por ψ(gx) = gGx.Veamos que ψ es una biyeccion. Sea x1, x2 ∈ Gx, tales que ψ(x1) = ψ(x2).Ahora, suponga que x1 = g1x y x2 = g2x, ası g1Gx = g2Gx luego existe ung ∈ Gx tal que g2 = g1g, entonces x2 = g1gx = g1x = x1. La sobreyectividad esevidente, dado g ∈ G, ψ(gx) = gGx. F

Page 46: áLgebra abstracta unidandes

40 Capıtulo 4. Accion de grupo sobre un conjunto

4.3. Aplicaciones de G-conjuntos en combinato-

ria: La formula de Burnside

4.16 Suponga que queremos saber de cuantas maneras se puede marcar undado cubico de forma que cada marcada sea distinguible de las otras, sin impor-tarnos que lados opuestos sumen siete. Para marcar la primera cara disponemosde 6 numeros, para la segunda de 5, y ası sucesivamente vemos que tenemos6! = 720 formas de marcarlos, pero varias de estas marcadas no son distinguiblespues algunas se pueden obtener de otras mediante rotacion. Ası si consideramoslas diferentes rotaciones del cubo como un grupo, y las 720 marcadas como unconjunto, dos de estas no son distinguibles si estan en la misma orbita de laaccion “rotar el cubo”. Aquı es donde el problema se une con nuestra teorıa, ypara resolverlo usamos la formula de Burnside.

Teorema 4.17 (La formula de Burnside) Sea G un grupo finito y X un G-conjunto. Si r es el numero de orbitas en X, entonces: r|G| =

∑g∈G |Xg|.

Demostracion: Considere todos los pares (g, x) tales que gx = x, y sea N elnumero de dichos pares. Para cada g ∈ G, hay |Xg| pares teniendo a g comoprimer elemento. Entonces:

N =∑

x∈X

|Xg | (4.1)

Por otro lado, para cada x ∈ X , hay |Gx| pares teniendo a x como segundoelemento. Entonces:

N =∑

x∈X

|Gx| (4.2)

Ahora, por el teorema 4.15, |Gx| = (G : Gx), y por el teorema de Lagrange(G : Gx) = |G|/|Gx|, ası |Gx| = |G|/|Gx|, y remplazando en (4.2):

N =∑

x∈X

|G|

|Gx|= |G|

x∈X

1

|Gx|(4.3)

Ahora |Gx| es el mismo para todo x′ ∈ Gx, luego∑x′∈Gx 1/|Gx| = 1, ası de

(4.3), N = |G|r, y combinando esto con (4.1) obtenemos el resultado buscado.F

Corolario 4.18 Si G es un grupo finito y X un G-conjunto, entonces:

(numero de orbitas en X bajo G) =1

|G|

g∈G

|Xg|

4.19 Ejemplo: Continuemos con el problema del dado. Estabamos en quedos marcadas son distinguibles si y solo si pertenecen a orbitas distintas, luegonuestro problema se reduce a contar el numero de estas. Formalicemos la idea deactuar por “rotacion del cubo”. Primero note que hay 24 posibles posiciones parael cubo mediante rotaciones: cada cara se puede poner abajo (6 posibilidades),

Page 47: áLgebra abstracta unidandes

La formula de Burnside 41

y despues, la posicion del cubo queda completamente determinada por la caraque se ponga al frente (4 posibilidades). Estas rotaciones, si etiquetamos cadavertice del cubo, se pueden identificar naturalmente con un subgrupo G de S8

de 24 elementos (ver figura 4.1). Ası |G| = 24, y ademas, dado g ∈ G con g 6= e,se tiene |Xg| = 0, pues toda rotacion diferente a la identidad cambia de posicionel dado. Sin embargo |Xe| = 720. Entonces por el corolario 4.18, el numero deorbitas es 1

24720 = 30. Luego el numero de marcadas distinguibles es 30.

1 2

34

5

6 7

8

1

2

4

3

5 6

78

12

3 4

5

67

8

1

2 3

4

56

7 8PSfrag replacements

id

1 2 3 4 5 6 7 82 3 4 1 6 7 8 5

« „

1 2 3 4 5 6 7 83 4 1 2 7 8 5 6

« „

1 2 3 4 5 6 7 84 1 2 3 8 5 6 7

«

Figura 4.1: Rotaciones del cubo

Teorema 4.20 Sea G un grupo. Sea A un G-conjunto y B un conjunto, ambosfinitos. BA es un G-conjunto bajo g ∗ f definida por gf(x) = f(g−1x). Ademas,si dado un k ∈ N∗, denotamos Ck(G) el conjunto de permutaciones en Φ[G],donde Φ es el homomorfismo del teorema 4.5, teniendo exactamente k ciclos ensu descomposicion cıclica. Entonces:

(numero de orbitas en BA bajo G) =1

|G|

+∞∑

k=1

|Ck(G)||B|k

Demostracion: Como ef(x) = f(e−1x) = f(x) y (g1g2)f(x) = f((g1g2)−1x) =

f(g−12 g−1

1 x) = g2f(g−11 x) entonces vemos que lo que se definio en el enunciado

del teorema es una accion.Ahora bien, por la formula de Burnside, es suficiente demostrar que para unk ∈ N∗ dado:

|Ck(G)||B|k =∑

g∈Ck(G)

|Xg|

Note que si σ es una permutacion en A, como en la descomposicion los cıclosson disyuntos, f(σ(a)) = f(a) para todo a ∈ A si y solo si f es constante sobrecada cıclo de σ. Suponga que g ∈ Ck(g), entonces BAg = f ∈ BA : gf = f, y

BAg esta compuesta por todas las aplicaciones que son constantes en cada uno

de los k cıclos de Φ(g−1), y estas son |B|k. F

4.21 Ejemplo: Sean n cırculos iguales dispuestos en cırculo. Queremos vercual es el numero de coloraciones distinguibles que se logran con c colores. Note

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42 Capıtulo 4. Accion de grupo sobre un conjunto

que si consideramos los n cırculos como los vertices de un polıgono convexoregular con n lados, entonces podemos usar el grupo diedralDn para representarlas distintas configuraciones de los cırculos.Sean entonces A el conjunto de los n cırculos, G = Dn (|G| = 2n) y B elconjunto de los c colores. Ahora cada coloracion se puede ver como un elementode BA, luego si el numero de coloraciones distinguibles es N , tenemos N =12n

∑nk=1 |Ck(G)|ck .

El numero de rotaciones que son k nk -ciclos es el numero de elementos en Zn

que generan un subgrupo de orden nk , esto es |Nk| donde Nk = a ∈ 1, . . . , n :

(a, n) = k. Ahora si n es impar, cada una de las n simetrıas pasa por un vertice,luego es n−1

2 2-ciclos y un 1-ciclo. Y si n es par, cada una de las n/2 simetrıasque pasan por un vertice es n−2

2 2-ciclos y dos 1-ciclos, y cada una de las n/2simetrıas que no pasan por algun vertice es n

2 2-ciclos. Esto abarca todos loselementos de Dn. Entonces:

N =

12n (

∑k|n |Nk|c

k + cn+1

2 ) si n es impar

12n (

∑k|n |Nk|c

k + n2 (c

n2 + c

n2+1)) si n es par.

4.4. Ejercicios

1. Sea X un G-conjunto, y sean x1, x2 ∈ X tales que x1 y x2 se encuentranen la misma orbita. Probar que los estabilizadores Gx1

y Gx2de x1 y x2

respectivamente, son subgrupos conjugados en G. Deducir que Gx1y Gx2

tienen el mismo orden.

2. Sea X un G-conjunto, donde G es un grupo de permutaciones. Sea O unaorbita de X bajo la accion de G. Si x, y ∈ O, entonces pruebe que elconjunto de permutaciones en G que envıan x a y (es decir, el conjuntoσ ∈ G : σ(x) = y) es un coset derecho de Gx. Contrariamente, pruebeque todos los elementos de un coset derecho de Gx envıan x al mismopunto en O.

3. Sea G un grupo de permutaciones actuando transitivamente sobre un con-junto X . Entonces, G actua sobre X ×X , y una orbita de X ×X bajo laaccion de G es llamada un orbital (para diferenciarla de una orbita de Xbajo G). Sea x ∈ X . Pruebe que existe una biyeccion entre los orbitales deX×X bajo G y las orbitas de X bajo la accion del subgrupo estabilizadorGx.

Page 49: áLgebra abstracta unidandes

Capıtulo 5

Teoremas de Isomorfismos y

Series de Grupos

5.1. Teoremas de Isomorfismos

Teorema 5.1 (Primer Teorema de Isomorfismo) Sea φ : G → G′ un ho-momorfismo con kernel K, y sea ρK : G → G/K la proyeccion canonica (i.e.ρK(g) = gK). Entonces, hay un unico isomorfismo ψ : G/K → φ[G] tal queφ = ψ ρK (ver figura 5.1).

PSfrag replacements

G φ[G] ≤ G′

G/K

φ

ρK

ψ

Figura 5.1: Primer Teorema de Isomorfismo

5.2 Definicion (join): Sean H,N ≤ G. Se define el join H ∨N de H y deN por:

H ∨N :=< HN >

5.3 Observacion. H∨N es el subgrupo mas pequeno de G que contiene HN .Ademas H ∨N es el subgrupo mas pequeno de G conteniendo tanto a H comoa N , puesto que cada uno de tales subgrupos debe contener HN . En general,HN no es un subgrupo de G.

Lema 5.4 Si N C G, y H ≤ G, entonces H ∨ N = HN = NH. Ademas, siH C G, entonces HN C G.

Page 50: áLgebra abstracta unidandes

44 Capıtulo 5. Teoremas de Isomorfismos y Series de Grupos

Demostracion: La primera parte del lema no es sino una reformulacion del teo-rema 2.21 iii).Ahora, supongamos ademas que H C G, y sea h ∈ H,n ∈ N y g ∈ G, luegoghng−1 = (ghg−1)(gng−1) ∈ HN , y ası HN C G. F

Teorema 5.5 (Segundo Teorema de Isomorfismo) Si H ≤ G y N C G,entonces HN/N ' H/(H ∩N).

Demostracion: Como N C G entonces H ∩N C H . Sean h, h1 ∈ H y n, n1 ∈ N ,y suponga que h1n1 = hn. Eso es equivalente a h−1h1 = nn−1

1 , ası h−1h1 esta enH y en N , es decir, h−1h1 ∈ H ∩N que es lo mismo que h(H ∩N) = h1(H ∩N)elemento de H/(H ∩ N). Luego podemos definir φ : HN → H/(H ∩ N) porφ(hn) = h(H ∩N).Veamos que φ es un homomorfismo. Sean n1, n2 ∈ N y h1, h2 ∈ H . Como en ellema 5.4, se puede escribir n1h2 = h2n3 para algun n3 ∈ N , puesto que N C G.Entonces:φ((h1n1)(h2n2)) = φ((h1h2)(n3n2)) = h1h2(H ∩N) = h1(H ∩N)h2(H ∩N) =φ(h1n1)φ(h2n2).Luego φ es homomorfismo, y es evidente que es sobreyectivo. Ahora, si hn ∈ HNes tal φ(hn) = N , esto es hnN = N o hN = N luego h ∈ H ∩N . Ası Ker(φ) =(H ∩ N)N = N , y ademas φ[HN ] = H/(H ∩ N), luego por el teorema 5.1HN/N ' H(H ∩N). F

5.6 Ejemplos:

i) Sea G = Z × Z × Z, H = Z × Z × 0, y N = 0 × Z × Z. Ası HN = Gy H ∩N = 0× Z ×0. Se tiene entonces que (HN)/N ' Z y tambienque H/(H ∩N) ' Z.

ii) Si H,K C G y K ≤ H , entonces H/K C G/K (compruebelo).

Teorema 5.7 (Tercer Teorema de Isomorfismo) Sean H,K C G, con K ≤H, entonces G/H ' (G/K)(H/K).

Demostracion: Sea φ : G → (G/K)(H/K) dada por φ(a) = (aK)(H/K), paraa ∈ G. Claramente, φ es sobreyectiva, y para a, b ∈ G, se tiene que:φ(ab) = [(ab)K](H/K) = [(aK)(bK)](H/K) = [(aK)(H/K)][(bK)(H/K)] =φ(a)φ(b)Entonces φ es homomorfismo. Ahora, si x ∈ G es tal que φ(x) = H/K, x ∈ H ,luego por el teorema 5.1 se tiene que G/H ' (G/K)(H/K). F

5.8 Nota. Una buena manera de ver el teorema 5.7 es mirando la aplicacioncanonica ρH : G → G/H siendo factorizada por un subgrupo normal K de G,obteniendose ρH = ρH/K ρK , como se ilustra en 5.2

Page 51: áLgebra abstracta unidandes

Series de Grupos 45

PSfrag replacements

G G/H

G/K (G/K)(H/K)

ρH

ρK

ρH/K

Homomorfismo natural

Figura 5.2: Tercer Teorema de Isomorfismo

5.2. Series de Grupos

5.9 Definiciones (Series normales y subnormales):

i) Una serie subnormal de un grupoG es una secuencia finitaH0, H1, . . . , Hn

de subgrupos de G tal que Hi < Hi+1, para todo i ∈ 0, 1, . . . , n − 1, ytal quee = H0 C H1 C H2 C · · · C Hn−1 C Hn = G

ii) Una serie normal es una serie subnormal donde ademas:Hi C G, ∀i ∈ 0, 1, . . . , n.

5.10 Observaciones.

i) Para un grupo abeliano, las nociones de series subnormales y normalescoincide, puesto que todo subgrupo es normal.

ii) Una serie normal es siempre subnormal. Pero lo contrario no es cierto (ver5.11).

5.11 Ejemplos:

i) 0 C 8Z C 4Z C Z, y 0 C 9Z C Z, son series subnormales (y normalesa la vez).

ii) Considere D4, el grupo de isometrıas del cuadrado (el grupo diedral). Laserie ρ0 C ρ0, µ1 C ρ0, ρ2, µ1, µ2 C D4 es subnormal, pero no esnormal, puesto que ρ0, µ1 no es normal en D4.

5.12 Definicion (Refinamiento): Una serie subnormal (normal) Kjj∈0,1,...,m

es un refinamiento de una serie subnormal (normal) Hii∈0,1,...,n deun grupo G si Hii∈0,1,...,n ⊂ Kjj∈0,1,...,m (i.e. cada Hi es uno de los Kj)

5.13 Ejemplo: La serie 0 C 72Z C 24Z C 8Z C 4Z C Z es un refinamientode la serie 0 C 72Z C 8Z C Z (note que los subgrupos 4Z y 24Z han sidoinsertados).

5.14 Para estudiar le estructura de un grupo G, los grupos factor Hi+1/Hi

son de mucha utilidad.

Page 52: áLgebra abstracta unidandes

46 Capıtulo 5. Teoremas de Isomorfismos y Series de Grupos

5.15 Definicion (Series isomorfas): Dos series subnormales (normales)Hii∈0,1,...,n y Kjj∈0,1,...,n de un mismo grupo G son isomorfas si existeuna correspondencia biunıvoca entre las colecciones de grupos factores, estoes entre Hi+1/Hii∈0,1,...,n−1 y Kj+1/Kjj∈0,1,...,n−1 tal que los gruposcorrespondientes son isomorfos

5.16 Observacion. Claramente dos series subnormales (normales) isomorfasdeben contener el mismo numero de grupos.

5.17 Ejemplo: Las dos series de Z15: 0 C< 5 >C Z15 y 0 C< 3 >C Z15,son isomorfas. Tanto Z15/ < 5 > como < 3 > /0 son isomorfos a Z5, yZ15/ < 3 > es isomorfo a < 5 > /0, o a Z3.

Teorema 5.18 (Lema de Zassenhaus (mariposa)) Sean H y K dos sub-grupos de un grupo G y sean H∗ y K∗ subgrupos normales de H y K respecti-vamente. Entonces (ver figura 5.3):

i) H∗(H ∩K∗) C H∗(H ∩K)

ii) K∗(H∗ ∩K) C K∗(H ∩K)

iii) H∗(H ∩K)H∗(H ∩K∗) ' K∗(H ∩K)/K∗(H∗ ∩K)' (H ∩K)/[(H ∩K∗)(H∗ ∩K)]

PSfrag replacements H K

H∗ K∗

H∗ ∩K H ∩K∗

H∗(H ∩K∗) K∗(H∗ ∩K)

H∗(H ∩K) K∗(H ∩K)

H ∩K

(H ∩K∗)(H∗ ∩K)

Figura 5.3: Lema de la Mariposa

Demostracion: H∗ C H y H ∩K es un subgrupo tanto de H como de K, luegopor el lema 5.4 H∗(H∩K) es grupo. De manera analoga vemos que H∗(H∩K∗),K∗(H ∩K), y K∗(H∗ ∩K) tambien lo son.Ahora si r∗ ∈ H∗ ∩K y s ∈ H ∩K, entonces sr∗s−1 esta en H∗ y en K, peroesto es sr∗s−1 ∈ H∗ ∩K. Luego H∗ ∩K C H ∩K. Con un mismo argumento

Page 53: áLgebra abstracta unidandes

Series de Grupos 47

vemos que H ∩ K∗ C H ∩ K. Y ası por el lema 5.4 (H∗ ∩ K)(H ∩ K∗) =(H ∩K∗)(H∗ ∩K) =: L C H ∩K.Veamos ahora que las tres inclusiones marcadas con negrita en la figura 5.18son normales y sus grupos factores isomorfos, con eso habremos probado ellema. Para eso nos valdremos de un homomorfismo adecuadamente definido ydel primer teorema de isomorfismo.Sean h1, h2 ∈ H∗ y x1, x2 ∈ H ∩ K tales que h1x1 = h2x2, esto es h−1

2 h1 =x2x

−11 ∈ H∗∩(H ∩K) = H∗∩L ⊂ L. Luego x1L = x2L. Luego podemos definir

φ : H∗(H ∩K) → (H ∩K)/L por φ(h∗x) = xL donde h∗ ∈ H∗ y x ∈ H ∩K.Sean h1, h2 ∈ H∗ y x1, x2 ∈ H ∩K, como H∗ C H , entonces existe h ∈ H∗ talque x1h2 = hx1. Ası φ((h1x1)(h2x2) = φ((h1h)(x1x2)) = (x1x2)L = x1Lx2L =φ(h1x1)φ(h2x2). Entonces φ es homomorfismo. Claramente φ es sobreyectivo.Ahora si h ∈ H∗, y x ∈ H ∩ K, son tales que φ(hx) = L, la condicion esequivalente a x ∈ L o a hx ∈ H∗L = H∗(H∗ ∩ K)(H ∩ K∗) = H∗(H ∩K). Luego Ker(φ) = H∗(H ∩K). Entonces como φ es sobreyectivo con kernelH∗(H ∩K), por el teorema 5.1 H∗(H ∩K)/H∗(H ∩K) ' (H ∩K)/L y ademasKer(φ) C Dom(φ). Y con un homomorfismo similar deK∗(H∩K) en (H∩K)/Ldemostramos lo que falta de la prueba. F

5.19 Suponga que tiene dos cadenas de subgrupos de un mismo grupo G:Hi−1 C Hi C Hi+1 y Kj C Kj+1. Teniendo en mente el lema 5.18, note Hm,n :=Hm(Hm+1∩Kn) yKm,n := Km(Km+1∩Hn). Ası, tendremos unas cadenas comolas que se muestran en la figura 5.4 donde los grupos factor formados por losgrupos unidos por lineas de mismo espesor son isomorfos. Vale la pena notar queen caso de tener series y no simples cadenas, las lineas en negrita de cada ladode la figura estarıan conectadas, ya que las series empiezan en e y terminanen G. Esto es lo que se explica formalmente en el Teorema 5.20.

Teorema 5.20 (Teorema de Schreier) Dos series subnormales (normales)de un mismo grupo tienen refinamientos isomorfos.

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

""""""""""""""""""""""""

######

$$$$$$

PSfrag replacements

Hi+1

Hi

Hi−1

Hi,j+1

Hi,j

Hi−1,j+1

Hi−1,j

Kj+1

Kj

Kj,i+1

Kj,i

Kj,i−1

Figura 5.4: Teorema de Schreier

Page 54: áLgebra abstracta unidandes

48 Capıtulo 5. Teoremas de Isomorfismos y Series de Grupos

Demostracion: Sea G un grupo y sean:

e = H0 C H1 C . . . C Hn = G (5.1)

e = K0 C K1 C . . . C Km = G (5.2)

dos series subnormales para G. Para i ∈ 0, 1, . . . , n − 1 forme la cadena degrupos:Hi = Hi(Hi+1 ∩ K0) C Hi(Hi+1 ∩ K1) C Hi(Hi+1 ∩ K2) C . . . C Hi(Hi+1 ∩Km) = Hi+1.Despues de hacer todas estas cadenas para cada i ∈ 0, 1, . . . , n− 1 y notandoHi,j := Hi(Hi+1 ∩Kj), se obtendra la siguiente cadena de grupos:

e = H0,0 C H0,1 C H0,2 C . . . C H0,m−1 C H1,0

C H1,1 C H1,2 C . . . C H1,m−1 C H2,0

C H2,1 C H2,2 C . . . C H2,m−1 C H3,0

...

C Hn−1,1 C Hn−1,2 C . . . C Hn−1,m−1 C Hn−1,m = G

(5.3)

Esta cadena 5.3 contiene nm + 1 grupos, no necesariamente distintos, dondeHi,0 = Hi, para cada i ∈ 0, 1, . . . , n− 1. Por el lema de Zassenhaus, la cadena5.3 es una subnormal, es decir, cada grupo es normal en el siguiente grupo (loque justifica el uso del signo C en lo que sabemos ahora que es una serie).Entonces la cadena 5.3 es un refinamiento de la cadena 5.1.En forma simetrica, si Kj,i = Kj(Kj+1 ∩ Ki), para j ∈ 0, 1, . . . , ,m − 1 ei ∈ 0, 1, . . . , , n, tenemos la siguiente serie subnormal:

e = K0,0 C K0,1 C K0,2 C . . . C K0,n−1 C K1,0

C K1,1 C K1,2 C . . . C K1,n−1 C K2,0

C K2,1 C K2,2 C . . . C K2,n−1 C K3,0

...

C Km−1,1 C Km−1,2 C . . . C Km−1,n−1 C Km−1,n = G

(5.4)

La cadena 5.4 contiene tambien mn + 1 grupos, no necesariamente distintos,donde Kj,0 = Kj , para cada j ∈ 0, 1, . . . ,m− 1. Entonces por un argumentosimilar, la cadena 5.4 es un refinamiento de la cadena 5.2.Por el lema de Zassenhaus, se tiene que: Hi(Hi+1 ∩ Kj+1)/Hi(Hi+1 ∩ Kj) 'Kj(Kj+1 ∩Hi+1)/Kj(Kj+1 ∩Hi) o lo que es equivalente:

Hi,j+1/Hi,j ' Kj,i+1/Kj,i, ∀(i; j) ∈ 0, . . . , n− 1 × 0, . . . ,m− 1 (5.5)

La relacion 5.5 de isomorfismo, proporciona una correspondencia biunıvoca degrupos factor isomorfos entre las series subnormales 5.3 y 5.4. Para verificar esta

Page 55: áLgebra abstracta unidandes

Series de Grupos 49

correspondencia note que Hi,0 = Hi y Hi,m = Hi+1, mientras que Kj,0 = Kj

y Kj,n = Kj+1. Cada cadena en 5.3 y 5.4 contiene un arreglo rectangular demn sımbolos C. Cada C produce un factor. Los grupos factor inducidos por C

en la i-esima fila en 5.3 corresponden a los grupos factor inducidos por C enla misma columna en 5.4. Eliminando subgrupos repetidos de las cadenas 5.3y 5.4, se obtiene series subnormales de grupos distintos que son refinamientosisomorfos de las cadenas 5.1 y 5.2, con lo que se pruebe el teorema para seriessubnormales.Para series normales, donde los Hi’s y los Kj ’s son normales en G, se tiene quetodos los grupos Hi,j y Kj,i formados anteriormente son normales en G, por lotanto, el teorema tambien se cumple para estas series. La normalidad de Hi,j yKj,i se obtiene por el lema 5.4 y por el hecho que la interseccion de subgruposnormales de un grupo, es tambien subgrupo normal. F

5.21 Definicion (Serie compuesta y serie principal)

i) Una serie subnormal Hii∈0,1,...,n de un grupo G es una serie com-puesta si todos los grupos factor Hi+1/Hi son simples.

ii) Una series normal Hii∈0,1,...,n de G es una serie principal si todoslos grupos factor Hi+1/Hi son simples

5.22 Observaciones.

i) Hi+1/Hi es simple si y solo si Hi es normal maximal en Hi+1.

ii) En los grupos abelianos, los conceptos de serie compuesta y serie principalcoinciden.

iii) Como cada serie normal es subnormal, cada serie principal es una seriecompuesta para todo grupo, abeliano o no.

5.23 Ejemplos:

i) Z no tiene serie compuesta ni serie principal: Sea 0 = H0 C H1 C

. . . C Hn−1 C Hn = Z una serie subnormal. H1 debe ser de la forma rZpara algun r ∈ Z+. Pero H1/H0 ' Z, es un grupo cıclico infinito conmuchos subgrupos normales no triviales, por ejemplo 2rZ. Entonces Z nocontiene series compuestas, ni tampoco principales.

ii) id C An C Sn, con n ≥ 5, es una serie compuesta y tambien principalde Sn, puesto que An/id ' An, es simple para n ≥ 5, y Sn/An ' Z2

tambien.

5.24 Observaciones.

i) Como se observo anteriormente, en una serie compuesta, cada Hi debeser normal maximal en Hi+1. Entonces, para formar una serie compuestade un grupo G, se debe tratar de encontrar un subgrupo normal maximal

Page 56: áLgebra abstracta unidandes

50 Capıtulo 5. Teoremas de Isomorfismos y Series de Grupos

Hn−1 de G, despues Hn−2 subgrupo normal maximal de Hn−1 y ası su-cesivamente. Si el proceso anterior termina en un numero finito de pasos,se tiene una serie compuesta. De la misma forma, se puede construir unaserie principal de G con la restriccion que cada i, Hi C G.

ii) Ademas, como “Hi es normal maximal en Hi+1 si y solo si Hi+1/Hi essimple” (ver teorema 2.51), una serie compuesta, no puede tener ningunrefinamiento.

Teorema 5.25 (Teorema de Jordan-Holder) Cualquier par de series com-puestas (principales) de un grupo G son isomorfas.

Demostracion Sean Hii∈0,...,n y Kii∈0,...,m dos series compuestas (prin-cipales) de G. Por el Teorema de Schreier (5.20), estas series tienen refinamientosisomorfos. Pero como todos los grupos factor son simples, entonces por el teore-ma 2.51, estas series no pueden ser refinadas, lo cual implica que Hii∈0,...,n

y Kii∈0,...,m son isomorfas (y por lo tanto n = m). F

5.26 En el caso de grupos finitos, se puede ver una serie compuesta como unafactorizacion de un grupos en grupos factor simples, analoga a la factorizacion deun entero positivo en primos. En ambos casos, la factorizacion es unica moduloel orden de los factores. No hace entonces falta enfatizar mas en la importanciadel teorema de Jordan-Holder.

Teorema 5.27 Si G tiene una serie compuesta (principal), y si N es un sub-grupo normal propio de G, entonces existe una serie compuesta (principal) con-teniendo a N .

Demostracion: La serie e C N C G es una serie tanto subnormal como normalde G. Como G tiene una serie compuesta Hii∈0,...,n, entonces por el teoremade Schreier (5.20), existe un refinamiento de e C N C G en una serie subnor-mal isomorfa al refinamiento de Hii∈0,...,n. Pero como Hii∈0,...,n es unaserie compuesta esta no se puede refinar mas. Por lo tanto, la serie e C N C Gpuede refinarse a una serie subnormal donde todos sus grupos factores son sim-ples, esto es a una serie compuesta. Un argumento similar se tiene en el caso enque Hii∈0,...,n sea principal. F

5.28 Ejemplo: Una serie compuesta (tambien principal) de Z4 × Z9 conte-niendo al subgrupo < (0, 1) > es:(0, 0) C< (0, 3) >C< (0, 1) >C< 2 > × < 1 >C< 1 > × < 1 >= Z4 × Z9

A continuacion se define la solubilidad de un grupo. Se daran dos definicionesde solubilidad: “solubilidad fuerte” usada por Fraleigh, y la “solubilidad clasica”la cual llamaremos simplemente “solubilidad”.

5.29 Definicion (Grupo soluble fuerte): Un grupo se dice soluble fuer-te si tiene una serie compuesta Hii∈0,...,n tal que todos los grupos factor

Page 57: áLgebra abstracta unidandes

Cadena Central Ascendente 51

Hi+1/Hi son abelianos.

Definicion (Grupo soluble): Un grupo se dice soluble si tiene una seriesubnormal Hii∈0,...,n tal que todos los grupos factor Hi+1/Hi son abelianos.

5.30 Observacion. Por el teorema de Jordan-Holder (5.25), se tiene que paraun grupo soluble fuerte, toda serie compuesta Hii∈0,...,n debe tener gruposfactor Hi+1/Hi abelianos.

5.31 Ejemplos:

i) S3 es soluble fuerte, puesto que la serie compuesta e C A3 C S3 tienegrupos factor A3/e ' Z3 y S3/A3 ' Z2, los cuales son abelianos.

ii) S5 no es soluble fuerte, puesto que A5 es simple y la serie e C A5 C S5

es compuesta, pero A5/e ' A5 no es abeliano.

5.3. Cadena Central Ascendente

5.32 Recordemos que el centro de un grupo G es: Z(G) := z ∈ G : zg =gz, ∀g ∈ G. Sabemos que Z(G) C G, entonces G/Z(G) es un grupo fac-tor. Ahora, se podrıa encontrar el centro del grupo factor G/Z(G), es decir,Z(G/Z(G)). Como Z(G/Z(G)) C G/Z(G), entonces si ρG/Z(G) : G → G/Z(G)

es el homomorfismo canonico, ρ−1G/Z(G)[Z(G/Z(G))] =: Z1(G) es un subgrupo

normal G. Se puede entonces formar el grupo factor G/Z1(G) y encontrar sucentro, y si ρG/Z1(G) : G → G/Z1(G) es el homomorfismo canonico, tomando

ρ−1G/Z1(G) de dicho centro obtener Z2(G), y ası sucesivamente.

5.33 Definicion (Cadena central ascendente): Sean:

Z0 := e

Zn+1 := ρ−1n [Z(G/(Zn(G)))], donde ρn : G→ G/Zn(G) es el homomorfis-

mo canonico

La cadena e ≤ Z1(G) ≤ Z2(G) ≤ . . . es la cadena central ascendente.(Noteque Z1(G) = Z(G))

5.34 Ejemplos:

i) Z(S3) = id, entonces la cadena central ascendente de S3 es: id ≤id ≤ . . .

ii) Z(D4) = id, (1 3)(2 4), entonces la cadena central ascendente de D4 es:id ≤ id, (1 3)(2 4) ≤ D4

Page 58: áLgebra abstracta unidandes

52 Capıtulo 5. Teoremas de Isomorfismos y Series de Grupos

5.4. Ejercicios

1. Sea H C G y sea K = a ∈ G : ax = xa, para todo x ∈ H. Sea A elgrupo de automorfismos de H y sea I el grupo de automorfismos internosde H . Para cada a ∈ G, sea ϕa el automorfismo de H tal que para todox ∈ H , ϕa(x) = axa−1. Denote por ϕ : G→ A la aplicacion definida por:a 7→ ϕa.

a) Determinar Ker(ϕ).

b) Probar que HK es un subgrupo normal de G.

c) Probar que existe un homomorfismo inyectivo de G/HK en A/I.

d) Probar que HK/K ∼= I.

2. Sean G1 y G2 dos grupos no isomorfos de centros Z(G1) y Z(G2) respec-tivamente. Pruebe que Z(G1 ×G2) es isomorfo a Z(G1) × Z(G2).

3. Sea H un subgrupo de un grupo G. Sea Ω = aH : a ∈ G el conjunto decosets izquierdos de H en G. Defina la accion de G sobre Ω por traslacion,es decir, para cada g ∈ G y para cada aH ∈ Ω, g(aH) = (ga)H .

a) Determine el subgrupo estabilizador GaH para el elemento fijo aH ∈Ω.

b) Sea ϕ la aplicacion de G en el conjunto de permutaciones de Ω defi-nida por: ∀g ∈ G, ∀a ∈ G, ϕ(g)(aH) = (ga)H . Entonces, (i) pruebeque ϕ es un homomorfismo de grupos; (ii) Pruebe que Ker(ϕ) =⋂

a∈G

aHa−1.

c) Sea N un subgrupo normal de G tal que N es un subgrupo propio de

H . Pruebe que N ⊂⋂

a∈G

aHa−1. Deduzca que el grupo⋂

a∈G

aHa−1

es el subgrupo normal mas grande de G contenido en H .

Page 59: áLgebra abstracta unidandes

Capıtulo 6

Teoremas de Sylow y

Grupos libres

6.1. Teoremas de Sylow

6.1 Teniendo ya completamente caracterizados los grupos abelianos, podemosbuscar un estudio mas general de los no-abelianos. Sabiendo que el recıprocodel teorema de Lagrange no es cierto, es natural preguntarnos de que ordentiene subgrupos (normales o no) un grupo dado , y que relacion hay entre ellos.Nuestro objetivo inmediato es ver que por cada potencia de un primo que dividael orden de un grupo dado, ese grupo tiene un subgrupo de orden esa potencia.En toda esta seccion p es primo.

6.2 Observacion. Sea X un G-conjunto finito. Sea r es el numero de orbitasen X y XG := ∩g∈GXg el conjunto de los elementos de orbitas unipuntua-les. Si xii∈1,...,r es un conjunto de representantes de las orbitas de X conxii∈1,...,|XG| = XG entonces:

|X | = |XG| +r∑

i=|XG|+1

|Gxi| (6.1)

Teorema 6.3 Si G es un grupo de orden pn y X un G-conjunto finito, |X | ≡|XG|(mod p).

Demostracion: Por el teorema 4.15, |Gx| | |G| = pn, luego |Gx| = pm, paraalgun m ∈ 0, 1, . . . , n. Ası en (6.1), p |

∑ri=|XG|+1 |Gxi|, de donde |X | ≡

|XG|(mod p). F

6.4 Definicion (p-grupo, p-subgrupo): Sea p primo. Un grupo en el cualtodos los elementos tienen orden una potencia de p, es un p-grupo. Un subgrupoque es un p-grupo, lo llamamos p-subgrupo.

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54 Capıtulo 6. Teoremas de Sylow y Grupos libres

Teorema 6.5 (Teorema de Cauchy) Si G es un grupo finito y p | |G|, en-tonces G tiene un elemento de orden p y por lo tanto, un subgrupo de ordenp.

Demostracion: SeaX = (g1, g2, . . . , gp) ∈ Gp| g1g2 . . . gp = e. Sean g1, . . . , gp−1,p − 1 elementos en G, ası (g1, g2, . . . , gp) ∈ X si y solo si gp = (g1 . . . gp−1)

−1,vemos entonces que |X | = |G|p−1, luego p tambien divide |X |. Sea σ el ciclo(1 2 . . . p) en Sp. Si (g1, g2, . . . , gp) ∈ X , gσ(1)gσ(2) . . . gσ(p) = g2 . . . gpg1 = e,

luego bajo la accion σk ∗ (g1, g2, . . . , gp) = gσk(1)gσk(2) . . . gσk(p), X es un < σ >-conjunto.Ahora, | < σ > | = p y ası por el teorema 6.3, 0 ≡ |X | ≡ |X<σ>|(mod p), estoes p | |X<σ>|. Pero como los elementos de X<σ> son de la forma (g, g, . . . , g),y (e, e, . . . , e) ∈ X<σ> entonces |X<σ>| > 1 y ası existe a 6= e tal que ap = e.| < a > | = ord(a) = p. F

Corolario 6.6 Sea G un grupo finito. G es p-grupo si y solo si |G| = pn paraalgun n ∈ N.

Demostracion: Suponga G p-grupo y pnqr11 . . . qrss una descomposicion de |G|

en potencias de primos distintos. Suponga por contradiccion que ri > 0 paraalgun i ∈ 1, . . . , s, por el teorema de Cauchy, existe b ∈ G tal que ord(b) = qi,lo cual contradice la hipotesis de G p-grupo. El converso es una consecuenciainmediata del teorema de Lagrange. F

6.7 Definicion (Normalizador): Sea H ≤ G, el normalizador de H es elsubgrupo N [H ] definido por:

N [H ] := g ∈ G| gHg−1 = H

6.8 Observacion: Es facil ver que N [H ] es el subgrupo de G mas grande enel cual H es normal.

Lema 6.9 Si H un p-subgrupo de un grupo finito G, entonces (N [H ] : H) ≡(G : H)(mod p).

Demostracion: Considere (G/H) el conjunto de los coconjuntos izquierdos deH en G. Bajo h ∗ gH = (hg)H , G/H es un H-conjunto. Sea gH ∈ (G/H)H ,esto es (hg)H = gH para todo h ∈ H , o g−1hg ∈ H . Entonces gH ∈ (G/H)Hsi y solo si g ∈ N [H ]. Luego |(G/H)H | = (N [H ] : H). Ahora el orden de H ,por ser p-subgrupo, es una potencia de p, luego por el teorema 6.3 |(G/H)H | ≡|(G/H)|(mod p), que es lo que querıamos establecer. F

Corolario 6.10 Si H es un p-subgrupo de un grupo finito G tal que p | (G : H),entonces N [H ] 6= H.

Demostracion: 0 ≡ (G : H) ≡ (N [H ] : H)(mod p), luego (N [H ] : H) 6= 1, dedonde N [H ] 6= H . F

Page 61: áLgebra abstracta unidandes

Teoremas de Sylow 55

Teorema 6.11 (Primer teorema de Sylow) Sea G un grupo tal que |G| =pnm, donde n ≥ 1, p primo y p 6 | m. Tenemos que:

i) G contiene un subgrupo de orden pi, para cada i ∈ 1, . . . , n.

ii) Todo subgrupo de G de orden pi es normal en un subgrupo de orden pi+1,para i ∈ 1, . . . , n− 1.

Demostracion: Haremos induccion en i. Por el teorema de Cauchy, G contieneun subgrupo de orden p. Ahora suponga que H es un subgrupo de orden pi−1,con i ≤ n, ası como |G| = pnm, p | (G : H), entonces por el lema 6.9, p | (N [H ] :H) = |N [H ]/H |. Luego N [H ]/H contiene un subgrupo K de orden p. ConsidereρH la proyeccion canonica con dominio N [H ], ası ρ−1

H [K] es subgrupo de G deorden p.ord(H) = pi en el cual H es normal. F

6.12 Definicion (p-subgrupo de Sylow): Un p-subgrupo es de Sylow si esmaximal (i.e. Ningun otro p-subgrupo lo contiene).

6.13 Observacion y nota. Por el teorema 6.11, todos los p-subgrupos deSylow de un grupo dado, tienen el mismo cardinal. Esta teorıa fue desarrolladapor el noruego Ludvig Mejdell Sylow (1832-1918).

Teorema 6.14 (Segundo teorema de Sylow) Si P1 y P2 son dos p-subgruposde Sylow de un grupo finito G, entonces P1 y P2 son conjugados.

Demostracion: Considere la accion de P2 sobre (G/P1) definida por y ∗ xP1 =(yx)P1. Ası por el teorema 6.3, |(G/P1)P2

| ≡ |(G/P1)|(mod p). Ahora por elteorema 6.11, |G/P1| = (G : P1) no es divisible por p, pues de lo contrario P1 noseria maximal. Luego |(G/P1)P2

| 6= 0. Si xP1 ∈ (G/P1)P2entonces yx ∈ P1 =

x P1, o x−1yx ∈ P1, para todo y ∈ P2, luego x−1P2x ⊆ P1. Pero |P2| = |P1|,entonces x−1P2x = P1. F

Teorema 6.15 (Tercer teorema de Sylow) Si G es un grupo finito y p ||G|, entonces el numero de p-subgrupos de Sylow es congruente con 1 modulo py divide |G|.

Demostracion: Sea P un p-subgrupo de Sylow y L el conjunto de p-subgruposde Sylow en G. Considere P actuando por conjugacion sobre L. Ası |LP | ≡|L|(mod p).Ahora si T ∈ LP , entonces xTx−1 = T , para todo x ∈ P , ası P ≤ N [T ] (verobservacion 6.8). T ≤ N [T ], entonces T y P son p-subgrupos de Sylow, luego,por el segundo teorema de Sylow, son conjugados en N [T ]. Pero T C N [T ],entonces T = P . De donde, LP=P. Entonces 1 ≡ |LP | ≡ |L|(mod p).Si ponemos a G actuar por conjugacion, como todos los p-subgrupos de Sylowson conjugados, bajo esta accion hay una unica orbita en L. Para P ∈ L, suestabilizador es N [P ], luego por el teorema 4.15 |L| = (G : N [P ]), (G : N [P ]) ||G|, luego |L| | |G|. F

Page 62: áLgebra abstracta unidandes

56 Capıtulo 6. Teoremas de Sylow y Grupos libres

6.2. Aplicaciones de la teorıa de Sylow

6.16 Ejemplo: Veamos que ningun grupo G de orden 15 = 3 · 5 es simple.Por el primer teorema de Sylow, G tiene un 5-subgrupo, ¿cuantos mas?, segunel tercer teorema de Sylow estos son, 1, 6 o 11, pero de estas opciones la unicaque divide 15 es 1. Luego G tiene un unico 5-subgrupo, que es de Sylow. Suconjugado tambien es otro 5-subgrupo de Sylow, pero como hay uno solo, estees normal. Luego G no es simple.

Teorema 6.17 Todo grupo G con orden potencia de un primo p, es fuertementesoluble.

Demostracion: Si |G| = pn, G es un p-grupo y entonces por el primer teoremade Sylow, tiene una serie normal con factores de orden p. Ası los factores sonabelianos y simples (¿por que?). Luego la serie es compuesta y sus factoresabelianos, esto es G es fuertemente soluble. F

6.18 Definicion (Ecuacion de clase): Sea X el G-conjunto donde G estaactuando por conjugacion sobre X = G. Si tomamos c = |Z(G)| = |XG| yni = |Gxi| como en (6.1), tenemos:

|G| = c+ nc+1 + nc+2 + . . .+ nr

que es lo que llamamos la ecuacion de clase de G.

6.19 Observacion a la definicion 6.18. Como ni = (G : Gxi) entonces porel teorema de Lagrange ni | |G|. La ecuacion de clase nos dice algo muy natural:el cardinal de G es la suma de los cardinales de sus clases de conjugacion.

6.20 Ejemplo: Las clases de conjugacion de S3 son ρ0, ρ1, ρ2 y µ1, µ2, µ3.Su ecuacion de clase es entonces |S3| = 1 + 2 + 3.

Teorema 6.21 El centro de un p-grupo no trivial es no trivial.

Demostracion: Sea G un p-grupo no trivial y |G| = c +∑

i ni su ecuacion declase. Como cada ni | |G| y |G| = pn para algun n ∈ N∗ entonces c ≡ 0(mod p).Ahora, e ∈ Z(G) luego c ≥ p pues |Z(G)| ≥ 1 y p | c. Como p ≥ 2, Z(G) es notrivial. F

Lema 6.22 Sea G un grupo. Si G tiene dos subgrupos normales H y K talesque H ∩K = e y H ∨K = G entonces G ' H ×K.

Demostracion: Defina φ : H ×K → G por φ(h, k) = hk. Por el teorema 2.21iu), φ((h, k)(h′, k′)) = φ(hh′, kk′) = hh′kk′ = hkh′k′ = φ(h, k)φ(h′, k′). Ahorasuponga que hk = e, luego h = k−1 ∈ H∩K, ası h = k = e, luego φ es inyectivo.Y como HK = H ∨K, φ es tambien sobreyectivo. F

6.23 Observacion. Dadas las hipotesis del lema anterior, decimos que G esel producto interno de H y K. Aunque este concepto no lo usaremos mucho aca,es valido observar que algo semejante se tiene en el algebra lineal.

Page 63: áLgebra abstracta unidandes

Grupos abelianos libres 57

Teorema 6.24 Sea p un primo. Todo grupo de orden p2 es abeliano.

Demostracion: SeaG un grupo de orden p2. Suponga que G no es cıclico, ası todoelemento de G excepto la identidad tiene orden p. Luego, si a ∈ G es distinto dela identidad, < a > no es todo G, y si b /∈< a >, < b > ∩ < a >= e. Por otrolado por el primer teorema de Sylow, < a > y < b > son subgrupos normalesde G, ademas | < a > ∨ < b > | = p2 (¿Por que?), entonces por el lema 6.22,G '< a > × < b >. Luego G es abeliano. F

Teorema 6.25 Si p y q son primos con p < q, entonces todo grupo de orden pqtiene un unico subgrupo de orden q. Mas aun el subgrupo de orden q es normal,luego G no es simple y si q 6≡ 1(mod p), G es cıclico.

Demostracion: Por los teoremas de Sylow, G contiene un numero n de q-subgrupos de Sylow que es congruente a 1 modulo q y que divide a pq. Deesto ultimo n|p, pero p < q luego n = 1. Ası por el segundo teorema de Sylow,si Q es el q-subgrupo de Sylow de G, Q C G.De la misma forma, el numero m de p-subgrupos de Sylow divide a q y es con-gruente a 1 modulo p. Ası m ∈ 1, q. Entonces si q 6≡ 1(mod p), m = 1. Ası siP es el p-subgrupo de Sylow de G, P C G, y Q ∩ P = e. Ası G ' P ×Q 'Zp × Zq ' Zpq . F

6.3. Grupos abelianos libres

6.26 Imaginemonos que quisieramos sumar entidades sin ninguna relacionentre ellas, diga usted cuadrados y triangulos. Probablemente no querrıamosque la suma de un cuadrado, un triangulo, y otro cuadrado diera algo diferen-te a dos cuadrados y un triangulo. Estamos sumando triangulos y cuadradosformalmente, y algo ası es lo que ahora consideraremos.

6.27 Definicion (Grupo abeliano libre, base): Una terna (G,A, i) queconsta de un grupo abeliano G, un conjunto A y un funcion i : A → G, se llamaun grupo abeliano libre si para todo grupo abeliano H y toda funcion def : A → H , existe un unico homomorfismo f : G → H tal que (ver figura 6.1):

f i = fEl conjunto A es la base de G.

PSfrag replacements

G H

A

i

ef

f

Figura 6.1: Grupo abeliano libre

Page 64: áLgebra abstracta unidandes

58 Capıtulo 6. Teoremas de Sylow y Grupos libres

Teorema 6.28 Si (G,A, i) es un grupo abeliano libre, entonces:

i) i es inyectiva.

ii) G =< i[A] >

iii) si (G′, A, j) es grupo abeliano libre, G ' G′

iu) (G, i[A], j) es grupo abeliano libre, donde j es la inclusion.

Demostracion: Suponga que i no es inyectiva, y sean a, b ∈ A tales que i(a) =

i(b) pero a 6= b. Defina f : A → Z2 por f(a) = 0 y f(b) = 1, y sea f : G → Z2

homomorfismo tal que f i = f . Entonces f(a) = f i(a) = f i(b) = f(b).Contradiccion, i es inyectiva.Suponga que G 6=< i[A] >, luego G/ < i[A] > es un grupo abeliano no trivial.Ahora si define f : A → G/ < i[A] >, por f(a) = 0 para todo a ∈ A, elhomomorfismo trivial, 0, y la proyeccion canonica con kernel < i[A] >, ρ<i[A]>

son homomorfismos diferentes tales que 0 i = ρ<i[A]> i = f . Contradiccion,G =< i[A] >.

Ahora, considere i : G → G′ y j : G′ → G tales que i i = j y j j = i.Entonces i j j = j, por un lado, y por otro, idG′ , la identidad en G′, es elunico homomorfismo tal que idG′ j = j, luego i j = idG′ . De la misma formaj i = idG, luego G ' G′.Sean j : i[A] → G, la inclucion,H un grupo abeliano y f : i[A] → H una funcion.

Considere g : A → H definida por g = f i, y f : G → H homomorfismo talque f i = g. Ası, como i es inyectiva, f j = f (i i −1

i[A]) = g i −1i[A]= f . f

es el homomorfismo buscado. F

6.29 Nota. En vista del teorema anterior, si (G,A, i) es grupo abeliano libre,podemos considerar A ⊆ G e i como la inclusion. En este caso decimos que Ges un grupo abeliano libre sobre A.

Teorema 6.30 Sea G un grupo abeliano y A = aii∈1,...,n subconjunto deG. Las siguientes aserciones son equivalentes:

i) G es libre sobre A, con |A| <∞.

ii) Todo elemento g en G se puede expresar de forma unica como g =∑n

i=1 niai,con cada ni ∈ Z

iii) G =< A > y∑ni=1 niai = 0 si y solo si cada ni = 0.

Demostracion:ii) ⇒ i) : Sean j : A → G la inclusion y H grupo abeliano. Dada f : H → A

defina f : G→ H por f(∑ni=1 niai) =

∑ni=1 nif(ai), ası f j = f . De donde G

es abeliano libre sobre A.i) ⇒ iii) : en el teorema 6.28 ya vimos G =< A >. Ahora suponga que 0 =∑n

i=1 niai, defina para k ∈ 1, . . . , n, fk : A → Z por fk(x) = 0 si x 6= ak y

Page 65: áLgebra abstracta unidandes

Teorema fundamental de los grupos abelianos 59

fk(ak) = 1 y considere fk : G → Z tal que fk j = f , donde j : A → G es la

inclusion. Entonces 0 = fk(0) =∑n

i=1 nifk(ai) = nk.iii) ⇒ ii) : Como G =< A >, lo unico que hace falta demostrar es la unicidadde la expresion. Si g =

∑ni=1 niai =

∑ni=1miai entonces

∑ni=1(ni −mi)ai = 0

y ası ni = mi para cada i ∈ 1, . . . , n. F

6.31 Ejemplo (existencia de grupos abelianos libres): Sea A un con-junto y defina G = ZA e i : A → G por i(a)(x) = 0 si x 6= a e i(a)(a) = 1.< G,+, 0 > donde la suma es la usual entre funciones y 0 es la funcion queenvıa todo al 0, es un grupo abeliano. Ahora si H es un grupo abeliano, da-da f : A → H , defina f : G → H por f(

∑a∈A nai(a)) =

∑a∈A naf(a),

ası f i = f . (G,A, i) es entonces grupo abeliano libre. Observe que si |A| <∞,y A = aii∈1,...,n, bajo el isomorfismo que envıa g ∈ G al elemento cuyak-esima entrada es g(ak), G ' Z × Z × . . .× Z︸ ︷︷ ︸

|A|

.

Teorema 6.32 Sea (G,A, i) grupo abeliano libre. Si (G,B, j) es grupo abelianolibre entonces |A| = |B|.

Demostracion: ZB y ZA son equipotentes si y solo si |A| = |B|. Teniendo enmente lo que se acaba de decir en el ejemplo 6.31, el teorema se sigue entoncesdel teorema 6.28 iii). F

6.33 Definicion (Rango): Sea (G,A, i) un grupo abeliano libre. Definimosel rango de G como la cardinalidad de A.

6.34 Nota. En vista de lo ultimo que se probo, de ahora en adelante cuandohablamos de un grupo abeliano libre omitiremos la referencia a la base A y ala funcion i, que por lo general la tomaremos como la inclusion. Para cualquierlector en este momento ya debe ser claro lo similar que es un grupo abelianolibre a un espacio vectorial.

Teorema 6.35 Dos grupos abelianos libres son isomorfos si y solo si tienenmismo rango.

Demostracion: Los mismos argumentos que se usaron para demostrar el teorema6.32, sirven para este. F

6.4. Teorema fundamental de los grupos abelia-

nos finitamente generados

6.36 Ya tenemos las herramientas necesarias para demostrar el teorema 1.48,lo que haremos en general es dado un grupo abeliano G finitamente generado,factorizaremos un grupo abeliano libre hasta obtener G. Comencemos.

Page 66: áLgebra abstracta unidandes

60 Capıtulo 6. Teoremas de Sylow y Grupos libres

6.37 Definicion (Subgrupo de torsion, grupo libre de torsion): Sea Gun grupo abeliano. El subgrupo de torsion de G, T , esta definido por:

T := g ∈ G : ord(g) < +∞

Decimos que G es libre de torsion si T es trivial.

6.38 Nota. Para un grupo cualquiera, se acostumbra decir que es de torsion(o periodico) si todos sus elementos tienen orden finito, y libre de torsion (oaperiodico) si todos sus elementos, menos la identidad, tienen orden infinito.

Lema 6.39 Si G es un grupo abeliano, T su subgrupo de torsion y T⊥ =<T c ∪ 0 >, G ' T × T⊥ y ası G/T ' T⊥ es libre de torsion.

Demostracion: Como T C G, T⊥ C G, T ∩ T⊥ = 0 y T ∨ T⊥ = G, por ellema 6.22, G ' T × T⊥. Ahora si g /∈ T , ng /∈ T para todo n ∈ Z∗, luego G/Tes libre de torsion. F

Lema 6.40 Sea G un grupo abeliano de torsion. Entonces si |G| =∏ni=1 p

ri

i esuna descomposicion en potencias de primos con pi < pi+1 para i ∈ 1, . . . , n−1,G ' Tp1 × Tp2 × . . .× Tpn donde Tpi = g ∈ G : ord(g) = pni , n ∈ N.

Demostracion: Es claro que los Tpi son subgrupos de G, y que Tpi ∩ Tpj = 0,si i 6= j. Ahora bien, si g ∈ G con ord(g) =

∏ni=1 p

si

i , tomando mi = ord(g)/psi

i ,como (m1,m2, . . . ,mn) = 1, existen ki ∈ Z tales que 1 =

∑ni=1 kimi, de esta

forma g =∑n

i=1 ki(mig) =∑ni=1 kigi donde gi = mig. De esta forma como

ord(gi) = psi

i , gi ∈ Tpi y G = Tp1 + Tp2 + . . . + Tpn . Luego, por el lema 6.22,G ' Tp1 × Tp2 × . . .× Tpn . F

Lema 6.41 Si G es un grupo abeliano libre sobre A = aii∈1,...,n, i 6= j yt ∈ Z, B = a1, . . . , ai−1, ai + taj , ai+1, . . . , an, tambien es base para G.

Demostracion: ai = (ai + taj) − taj , luego < B >= G. Ahora si (n1)a1 + . . .+ni−1ai−1 + ni(ai + taj) + ni+1ai+1 + . . .+ nnan = 0, entonces como A es base,nk = 0 si k 6= j y tni + nj = 0. De donde nj = 0 y por el teorema 6.30, B esbase para G. F

Teorema 6.42 Sea G un grupo abeliano libre de rango finito n. Si K ≤ G, K estambien abeliano libre. Mas aun si K es de rango m, existen A = aii∈1,...,n

base para G y dii∈1,...,m ⊆ N∗, tales que di | di+1 y diaii∈1,...,m es unabase para K.

Demostracion: Dada una base A = aii∈1,...,n de G, y g ∈ G con g =∑ni=1 niai, definimos |g|A := mın|ni| : i ∈ 1, . . . , n, ni 6= 0. Ahora si

K ≤ G, definimos |K|A := mın|k|A : k ∈ K \ 0.Tome B1 = bi,1i∈1,...,n base de G tal que |K|B1

sea minimal, con k1 ∈ Ktal que |k1|B1

= |K|B1y k1 =

∑ni=1 ni,1bi,1 donde |n1,1| = |K|B1

. Ahora

Page 67: áLgebra abstracta unidandes

Teorema fundamental de los grupos abelianos 61

si ni,1 = qi,1n1,1 + ri,1, con 0 ≤ ri,1 < |n1,1|, aplicando n − 1 veces el le-ma 6.41, A1 = b1,1 +

∑ni=2 qi,1bi,1, b2,1, . . . , bn,1 es tambien base para G.

Entonces si a1 = b1,1 +∑n

i=2 qi,1bi,1, ai,1 = bi,1 para i ≥ 2, y d1 = n11,

k1 = d1a1 +∑n

i=2 ri,1ai,1 donde ri,1 < |d1|. Ası como d1 = |k1|A1, ri,1 = 0

y k1 = d1a1 ∈ K. Observe ademas que si k ∈ K con k = m1a1

∑ni=2 miai,1,

entonces d1 | m1 (¿Por que?)Si < d1a1 >= K terminamos, de lo contrario escoja B2 = bi,2i∈1,...,n basepara G tal que |K|B2

sea minimal entre las bases que contengan a1. Puede su-poner que k2 =

∑ni=2 ni,2bi,2 es un elemento en el cual este mınimo se alcanza

y que lo alcanza en el coeficiente d2 del segundo elemento de la base (el pri-mero es a1), pues podemos restar (o sumar) cuantas veces sea necesario d1a1

a fin de volver nulo el coeficiente en a1. Ası se define, semejante a lo anterior,a2 = b2,2 +

∑ni=3 qi,2bi,2, donde qi,2 es el cociente de la division de ni,2 por

d2, y ası k2 = d2a2. Entonces A2 = a1, a2, b3,2, . . . , bn,2 es base para G. Peroademas si d2 = qd1 + r, donde 0 ≤ r < |d1|, Y = a1 + qa2, a2, b3,2, . . . , bn,2,es tambien base para G en la cual k = d1a1 + d2a2 = d1(a1 + qa2) + ra2 ∈ K.Entonces si r 6= 0, |k|Y = r < |d1| lo que llevarıa a una contradiccion con laeleccion de B1. Ası d1 | d2.Si < d1a1, d2a2 >= K terminamos, de lo contrario continuamos ası sucesiva-mente. Mostrando una base para K queda de paso demostrado que es abelianolibre por el teorema 6.30. F

Lema 6.43 Si G es un grupo abeliano finitamente generado entonces:

G ' Zm1× Zm2

× . . .× Zmn × Z × . . .× Z

con mi | mi+1, para i ∈ 1, . . . , n− 1.

Demostracion: Suponga que G =< A > donde A = aii∈1,...,n. Considereun grupo abeliano libre (C,A, i) y tome φ : C → G el homomorfismo tal queφ i = idA, donde idA es la inclusion de A en G. φ es sobreyectiva, luego porel teorema fundamental del homomorfismo C/Ker(φ) ' G. Entonces por elteorema 6.42, existe X = xii∈1,...,n base para G con mii∈1,...,m, talesque mi | mi+1 y mixii∈1,...,m es una base de Ker(φ).Ahora como C '< x1 > × . . .× < xn >, K '< d1x1 > × . . .× < dmxm > y< dixi >C< xi >, entonces C/Ker(φ) ' Zm1

×Zm2× . . .×Zmm ×Z× . . .×Z.

Si mi = 1 podemos obviar el factor Zmi , modulo isomorfismo. F

6.44 Ahora sı probaremos el teorema fundamental de los grupos abelianos fi-nitamente generados. La existencia de la descomposicion es consecuencia inme-diata de lo que ya hemos probado. Es frecuente en matematicas que la unicidadse deba a una trivialidad una vez probada la existencia, pero en este teorema noes el caso, por intuitiva que sea. Teoremas que concluyan una clasificacion tanexhaustiva son una rareza en matematicas en general y en la teorıa de gruposen particular.

Page 68: áLgebra abstracta unidandes

62 Capıtulo 6. Teoremas de Sylow y Grupos libres

Teorema 6.45 (Teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados)Si G es un grupo abeliano finitamente generado:

G ' Zpr11

× Zpr22

× . . .× Zprnn

× Z × . . .× Z︸ ︷︷ ︸r

donde los pi, para i ∈ 1, . . . , n, son primos tales que pi ≤ pi+1, y los ri sonnaturales no nulos tales que ri ≤ ri+1 si pi = pi+1. Mas aun los pi, los ri y restan unıvocamente determinados. A r se le llama numero de Betti de G.

Demostracion: Sea G un grupo abeliano finitamente generado. El subgrupo detorsion T de G es finito pues si T =< x1, x2, . . . , xm >, y Ti =< xi >, cadaTi es finito y T = T1 + T2 + . . .+ Tm. Ahora, por los lemas 6.39 y 6.40,

G ' Tp1 × Tp2 × . . .× Tpn × T⊥ (6.2)

donde |T | =∏ni=1 p

si

i , con cada pi primo tal que pi < pi+1, Tpi = g ∈ G :ord(g) = pni , n ∈ N, y T⊥ es libre de torsion.Cada Tpi es de torsion, luego, como |Tpi | < +∞, por el lema 6.43,

Tpi ' Zpr1i

× Zpr2i

× . . .× Zp

rkii

(6.3)

con ri ≤ ri+1. Ahora como T⊥ es libre de torsion, por el lema 6.43, si T⊥ no estrivial,

T⊥ ' Z × . . .× Z (6.4)

Luego T⊥ es abeliano libre y por el teorema 6.35 el numero de Zs en la produc-toria (6.4), es decir el numero de Betti de G, esta unıvocamente determinado(si T⊥ es trivial, r = 0).Cuando probemos la unicidad de la descomposicion en (6.3), habremos termi-nado la demostracion. Defina para p primo, el pn-zocalo Tpi [p

n] de Tpi , porTpi [p

n] := g ∈ Tpi : png = 0. Ası Tpi [pn] ≤ Tpi y cada elemento del pi-zocalo

tiene orden pi o 1. Entonces por el lema 6.43, Tpi [pi] ' Zpi × . . . × Zpi dondeel numero de elementos en la productoria esta unıvocamente determinado porel orden del pi-zocalo. Entonces como (Zpr1

i×Zpr2

i× . . .×Zprk

i)[pi] es isomorfo

al producto directo de ki Zpis, el numero de elementos de la productoria (6.3)esta unıvocamente determinado.Ahora bien dado n ∈ N∗, Tpi [p

ni ] ' Z

pd1,i

× . . . × Zp

dki

, con 0 ≤ di < ri y

n = qiri + di. De donde,

Tpi/(Tpi [pni ]) ' Z

pr1−d1i

× . . .× Zp

rk−dki

(6.5)

Ası el numero de Zp

rji

s en (6.3) para los cuales n ≡ 0(mod rj) esta determinado

por el numero de elementos en la productoria (6.5) que colapsaron en triviales,dado por el numero de elementos no triviales, que ya vimos que es propio de todogrupo abeliano finitamente generado. De esta forma cada rj queda unıvocamentedeterminado cuando se recorre n por 1, . . . , logpi

(ord(Tpi )). F

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Grupos libres y representaciones 63

6.46 Con un estudio mas profundo de los grupos abelianos de torsion, de loslibres de torsion y de los abelianos libres, se puede exponer una demostracionmucho mas corta del teorema fundamental de los grupos abelianos. Pero elenfoque que se le da aca ilustra bien, en un primer (y se espera que no unico)acercamiento, el funcionamiento de los grupos abelianos finitamente generados.

6.5. Grupos libres y representaciones

6.47 Definicion (Grupo libre): Una terna (F,X, i), que consta de un grupoF , un conjunto X y una funcion i : X → F , es un grupo libre si para todogrupo G y toda funcion f : X → G, existe un unico homomorfismo f : F → Gtal que (ver figura 6.2):

f i = fPSfrag replacements

F G

X

i

ef

f

Figura 6.2: Grupo libre

Teorema 6.48 Si (F,X, i) es un grupo libre, entonces:

i) i es inyectiva.

ii) si (F ′, X, j) es grupo libre entonces F ′ ' F .

iii) (F, i[X ], j) es grupo libre, donde j es la inclusion.

Demostracion: Una demostracion similar a la del teorema 6.28 verifica este. F

6.49 Observacion. A diferencia del teorema 6.28, en el 6.48 no esta F =<i[X ] >, en el caso de los grupos libres esto no es tan evidente “a priori”. Por otrolado, nada en la definicion de grupo libre nos indica que existen. Con el siguienteteorema se visualizan los grupos libres, y estos problemas quedan resueltos.

Teorema 6.50 Sea X un conjunto. Existe F grupo e i : X → F funcion, talesque (F,X, i) sea grupo libre con F =< i[X ] >.

Demostracion: Considere otro conjunto equipotente a X , por ejemplo X−1 =x−1 : x ∈ X. El sımbolo −1 no tiene ningun significado, es solo para distin-guirlo de los elementos de X . Por letra enteremos un elemento de X∪X−1 y porpalabra entenderemos una sucesion finita de letras o la palabra vacıa que notare-mos e (si en X esta ese sımbolo se le puede poner otro a la palabra vacıa). Ası si

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64 Capıtulo 6. Teoremas de Sylow y Grupos libres

w es una palabra tenemos w = xe11 xe22 . . . xen

n , donde ei es o bien ningun sımbolo,o bien el sımbolo −1. Sea W el conjunto de todas las palabras. Si w, v ∈ W ,definimos wv como la palabra que se obtiene al concatenar w y v, esto es siw = xe11 x

e22 . . . xen

n y v = ye11 ye22 . . . yem

m , wv = xe11 xe22 . . . xen

n ye11 y

e22 . . . yem

m . Tam-bien definimos w−1 por w−1 = x−en

n . . . x−e22 x−e11 , donde −ei es −1 si ei no essımbolo y ningun sımbolo si ei es −1. Ahora, en W defina la relacion ∼, dondew ∼ v si de w puedo obtener v mediante las operaciones:

(a) agregar entre dos letras xx−1 o x−1x donde x es una letra.

(b) eliminar una ocurrencia de xx−1 o x−1x que suceda en la palabra.

Es claro que ∼ es una relacion de equivalencia. Definimos F = W/ ∼ y [w] =[w]∼. F sera nuestro grupo. Definimos la operacion por [w][v] = [wv], y ası [e]es la identidad y [w−1] = [w]−1. Tambien se puede verificar facilmente que[wv][u] = [w][uv], con lo cual se comprueba que F es un grupo. Y mas aun sii : X → F es tal que i(x) = [x], vemos que F =< i[X ] >.Ahora bien si < G, ·, eG > es un grupo y f : X → G es una funcion, definaφ : W → G por φ(xe11 x

e22 . . . xen

n ) = ge11 · ge22 · . . . · genn donde gi = f(xi) y

φ(e) = eG. Ası pues φ(xx−1) = eG, luego podemos definir f : F → G por

f([xe11 xe22 . . . xen

n ]) = ge11 · ge22 · . . . · genn y f([e]) = eG. Por construccion f es

homomorfismo y f i = f . Por otro lado si g es otro homomorfismo tal queg i = f , como g coincide con f en i[X ], y F =< i[X ] >, f = g. Luego (F,X, i)es grupo libre. F

Teorema 6.51 Sea (F,X, i) un grupo libre. Si (F,X ′, j) es grupo libre, |X | =|X ′|

Demostracion: Considere el conjunto V compuesto por los homomorfismo deF en Z2. V se puede ver canonicamente como un espacio vectorial sobre Z2.Dado ξ ∈ X , defina fξ : X → Z por fξ(x) = 0 si x 6= ξ y fξ(ξ) = 1 y sea

BX = fξξ∈X donde fξ i = fξ. Dado f ∈ V , f =∑ξ∈X f(ξ)fξ , y ademas si

φ =∑ξ∈X aξ fξ es tal que para todo x ∈ F , φ(x) = 0, entonces φ(ξ) = aξ = 0,

luego BX es una base de V . Una base similar BX′ , se puede definir con X ′.Ası |BX | = |BX′ |, pero |BX | = |X | y |BX′ | = |X ′|. F

6.52 Definicion (rango): Si (F,X, i) es un grupo libre a |X | lo llamamosrango de F .

Teorema 6.53 Dos grupos libres son isomorfos si y solo si tienen mismo rango.

Demostracion: Es facil ver que si dos grupos libres son isomorfos tienen mismorango (¿Por que?). Ahora bien considere (F1, X1, i1) y (F2, X2, i2) dos gruposlibres tales que exista f : X1 → X2 biyeccion. Ası existen dos unicas f1 :F1 → F2, y f2 : F2 → F1 tales que f1 i1 = i2 f y f2 i2 = i1 f−1.Ası (f2 f1) i1 = f2 i2 f = i1 f−1 f = i1, pero idF1

i1 = i1 luegoidF1

= f2 f1. De forma similar idF2= f1 f2. Ası F1 ' F2. F

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Grupos libres y representaciones 65

6.54 El gran interes que despierta los grupos libres esta resumido en el si-guiente teorema.

Teorema 6.55 Sea G un grupo tal que G =< X > y (F, Y, i) un grupo libre.Si f : Y → X es sobreyectiva, entonces existe un homomorfismo φ : F → Gsobreyectivo tal que φ i = f . En particular todo grupo es imagen de un grupolibre.

Demostracion: Viendo f con codominio G, existe un unico homomorfismo φ :F → G tal que φ i = f . Ahora bien G =< X >, luego φ es sobreyectiva, pues(F, Y, i) es libre. F

6.56 Observacion. Dadas las condiciones del teorema anterior,G ' F/Ker(φ).Ası todo grupo es de la forma F/K donde K C F . Para generar un grupo en-tonces consideremos un grupo libre (F,X, i), S ⊂ F , y R el mınimo subgruponormal de F que contiene < i[S] > (la clausura normal de S), nuestro grupo esF/R que esta unıvocamente determinado unicamente por X y S. En esto nosconcentramos ahora.

6.57 Definicion (representacion, relacionador): Sea < G, ·, 1 > un gru-po. Un homomorfismo sobreyectivo π : F → G, donde (F,X, i) es grupo libre,es una representacion de G. A los elementos de Ker(π) los llamamos rela-cionadores. Si S ⊆ F es tal que su clausura normal es Ker(π) decimos que(π,X, S) determina un conjunto generador y define los relacionadores para G,que notamos:

G =< X |S >

6.58 Observaciones a la definicion 6.57.

i) Si X = xg : e 6= g ∈ G, (F,X, i) grupo libre, y π : F → G definida porπ(xg) = g, π es la representacion estandar de G.

ii) Ahora bajo el contexto de la definicion 6.57, A = i[X ] es un conjuntogenerador de G, y π(s) = 1 para todo s ∈ S. Luego (6.57) tambien lonotamos:

G =< A|s = 1, s ∈ S >

6.59 Ejemplos:

i) Una representacion de Zn es < a|an = 1 >.

ii) Considere el D∞ =< x, y|x2 = 1, y2 = 1 >, llamado diedral infinito. Sia = xy, D∞ =< a, x >, y x−1ax = yx = a−1, luego otra representaciones < x, a|x2 = 1, x−1ax = a−1 >, pues de x−1ax = a−1 deducimos y2 =(x−1a)2 = 1. Por otro lado x−1 = x, ax = xa−1 y a−1x = xa−1 luego unelemento tıpico de G es de la forma xras. donde r ∈ 0, 1 y s ∈ Z.

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66 Capıtulo 6. Teoremas de Sylow y Grupos libres

iii) Dos representaciones de Dn son < x, y|x2 = y2 = (xy)n = 1 > y< x, a|x2 = an = 1, x−1ax = a−1 >. Se debe sentir porque esto es unarepresentacion del grupo diedral, x representa una reflexion y a la prime-ra rotacion. Los otras rotaciones son am y las otras reflexiones xam. Laprueba formal requiere un poco mas de trabajo.

6.60 El tema de grupos libres y representaciones es bastante mas extenso. Porejemplo en 6.59 mostramos que un grupo puede tener varias representaciones,eso lo llamamos representaciones isomorfas. Tambien podemos preguntarnos sidado S podemos determinar si un elemento de F es o no es un relacionador, enun numero finito de pasos.

6.6. Ejercicios

1. Sea S un Sylow p-subgrupo de un grupo finito G. Pruebe que todo subgru-po de NG(S) de orden una potencia de p es un subgrupo de S. (Recuerdeque NG(S) es el normalizador de S en G, es decir, NG(S) = g ∈ G :gSg−1 = S)

2. Sea G un grupo de orden 12. Cuales son los valores posibles para losnumeros de 2-subgrupos y de 3-subgrupos de Sylow en G? Pruebe queexisten exactamente 5 estructuras de grupos diferentes de orden 12.

3. Sea G un grupo finito y p un primo que divide |G|. Pruebe que si H es unp-subgrupo normal de G, entonces H esta contenido en todo p-subgrupode Sylow de G.

4. SeaG un grupo finito y sea p un primo que divide |G|. Sea P un p-subgrupode Sylow de G. Pruebe que N [N [P ]] = N [P ].

5. SeaG un grupo finito y sea p un primo que divide |G|. Sea P un p-subgrupode Sylow de G y sea H un p-subgrupo de G. Pruebe que existe g ∈ G talque gHg−1 ≤ P .

6. Pruebe que todo grupo de orden (35)3 tiene un subgrupo normal de orden125.

7. Pruebe que no hay grupos simples de orden 255 = (3)(5)(17).

8. Pruebe que un grupo finito de orden pn contiene subgrupos normales Hi,para 0 ≤ i ≤ n, tales que |Hi| = pi y Hi < Hi+1 para 0 ≤ i < n. (Ayuda:recuerde (o pruebe) que el centro de un p-grupo finito no trivial es notrivial, y use este hecho).

9. Pruebe que todo elemento diferente a la identidad de un grupo libre es deorden infinito.

10. Pruebe que si G y G′ son grupos abelianos libres, entonces G × G′ esabeliano libre.

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Ejercicios 67

11. Pruebe que Q bajo la adicion no es un grupo abeliano libre. (Ayuda:pruebe que ningun par de numeros racionales distintos n/m y r/s puedenestar en un conjunto que cumpla con las condiciones de ser base.)

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68 Capıtulo 6. Teoremas de Sylow y Grupos libres