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CAPITULO 2NOTACIÓN INDICIAL O TENSORIALEn el capítulo 1 los vectores se introdujeron en términos de un segmento de recta. El uso de un sistema de coordenadas es muy conveniente para definir los componentes de un vector; pero los vectores en si existen independientemente de cualquier sistema de coordenadas en particular. Muchos sistemas de coordenadas diferentes pueden ser utilizados para describir un mismo vector. El más importante es el rectangular o sistema de coordenadas rectangulares utilizado en el capítulo 1. Otros sistemas de coordenadas comunes son las cilíndricas y las esféricas, los que se describen en el capítulo IV. Sistemas de coordenadas más generales se discuten en el capítulo 8 y 9.

Para aplicaciones del análisis vectorial, incluyendo la derivación de importantes ecuaciones vectoriales en ingeniería y ciencia. El sistema de coordenadas cartesiano es totalmente adecuado. La introducción de una notación indicial para describir las componentes cartesianas de un vector simplifica muchas expresiones, hacen claro el significado de otros, permite proceder con gran facilidad la derivación de vectores, y nos lleva directamente a la generalización de los tensores cartesianos de orden superior descritos en el capítulo 3. Los elementos básicos de la notación indicial se describen en este capítulo. Después de completar el capítulo el estudiante será capaz de escribir cualquier ecuación vectorial algebraica en la notación simbólica vectorial o en la

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notación indicial y debe ser capaz de probar fácilmente cualquier identidad involucrando el producto punto y cruz. El estudiante será capaz de probar cualquier identidad vectorial incluyendo expresiones del cálculo vectorial que después completaremos en el capítulo 6. Ningún prerrequisito que no sea conocido en el capítulo 1 se requiere para el desarrollo de este capítulo.

COMPONENTES CARTESIANOS DE UN VECTOR

En el capítulo anterior encontramos que podemos describir el vector A en términos de sus componentes cartesianas referidas al sistema de coordenadas x , y y z con los vectores unitarios U x ,U y y U z.

A=A xU x+A yU y+A zU z

Algunas veces es concerniente identificar al vector A listando sus tres componentes cartesianas entre paréntesis, así:

A=(Ax , A y , A z)

Es usual renombrar x , y y z por x1 , x2 y x3 como se muestra en la figura 1. Los tres vectores unitarios son designados como U 1 ,U 2 y U 3. Los componentes de los vectores unitarios son dados por:

U ( 1)=(1,0,0)U ( 2)=(0,1,0)U ( 3)=(0,0,1)

Como hemos escrito

A=A xU x+A yU y+A zU z

U ( 3)

U ( 2)

U ( 3)

U ( 2)

U ( 1)

FIGURA 1

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Podemos escribirlo como:

A=A1U (1)+A2U (2 )+A3U (3 )

En la expresión, los subíndices de A denotan las componentes del vector A, mientras que los subíndices de los vectores U no denotan componentes pero denotan al vector completo. Esta distinción se nota encerrando los subíndices de las U entre paréntesis. El término general del lado derecho de la expresión dada arriba es de la forma AiU (i ) donde i es 1,2, ó 3, podemos por tanto escribir el vector A como

A=∑i=1

3

A iU(i)

Para simplificar la notación introducimos la siguiente convención de sumatoria:

Cuando un índice (i) es repetido (ocurre dos veces) en cualquier termino, se establece que los índices indican una suma de 1 a 3 a menos que se indique lo contrario.

Usando esta convención la expresión para A dada arriba podemos escribirlo como:

A=A iU (i)

Ejemplo:

x i yi=x1 y

1+ x2 y2+x3 y

3

xn yn=x1 y1+x2 y2+x3 y3

La forma final de la notación indicial no contiene a los vectores unitarios U (i). Nosotros solo usaremos ello como un paso intermedio para llegar de la notación simbólica dada en el capítulo previo a la notación indicial. En esta forma final la notación indicial solo contiene

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cantidades tales como Ai, las cuales son las componentes cartesianas del vector A.

Las tres componentes se encuentran haciendo que i tome independientemente los valores 1, 2 y 3. Así Ai establece los tres componentes escalares (A1 , A2 , A3). Como tal, Ai es estrictamente una cantidad escalar. Es esta propiedad que hace que la notación indicial sea poderosa (y fácil). Además nos referiremos a Ai como un vector y a los escalares por T . No debemos olvidar que lo que queremos decir es que Ai representa tres escalares a lo largo de tres ejes mutuamente perpendiculares (independientes). Cuando estos escalares son multiplicados por los tres vectores unitarios y sumados, ello representa al vector A. (nota sobre el futuro material: nos encontraremos con cantidades tales como M ij que tienen dos subíndices diferentes y así representan nueve cantidades separadas. Estas nueve componentes son llamadas las componentes cartesianas de un tensor de segundo orden. Nos referimos a M ij simplemente como el tensor de segundo orden, recordando que estas son realmente las componente de este tensor que se ha mencionado).

Observaciones:

AiB i=Bi A i es válida, puesto que en la notación indicial los elementos en un término dado puede ser escritos en cualquier orden.

La convención de suma es muy importante y es fundamental en la notación indicial. Esta se cumple siempre que el mismo índice se repite en un término dado. Así

AiB iC j=A1B1C j+A2B2C j+A3B3C j=( A1B1+A2B2+A3B3 )C j

Y

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AiB jCi=A1B jC1+A2B jC2+A3B jC3

De acuerdo a la convención de suma no es posible tener más de dos subíndices idénticos en cualquier término simple. Si esto ocurriera, entonces se ha cometido un error.

Puesto que los subíndices repetidos indican suma, ellos se llaman subíndices mudos y tiene la propiedad que cualquier par de letras indican lo mismo.

Así podemos escribir:A=A iU (i)=A jU ( j)=A rU (r )

También AiB iC j=AqBqC j

En esta expresión la subíndice j en C j no se repite en un término simple y por lo tanto es llamado un subíndice flotante o subíndice libre.Si un subíndice es un subíndice flotante, la misma letra se usara para el subíndice en cada término de la ecuación.

Ejemplo: en las siguientes cuatro expresiones, identificar los subíndices mudos y los subíndices flotantes.

B j δ ij ; EijkC k ; E ijkE irs ; EijkB jCk

Solución:

B j δ ij j mudo, i flotante

EijkC k kmudo, i , j flotante

Eijk Eirs i mudo, j , k , r , s flotante

Eijk B jC k j , k mudo, i flotante

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Ejemplo: indicar cuáles de las siguientes ecuaciones son expresiones válidas.

AiCi B j ¿M j

AiCi Bi=T

ε ijkC k=N ij

AkC ik=B j

Solución:

AiCi B j=M j Válido

AiCi Bi=T No válido: el subíndice i se repite tres veces en un término simple.

EijkC k=N ij Válido

AkC ik¿B j No válido: el subíndice flotante debe ser el mismo en ambos lados de la ecuación.

Observación: Si S=A iBi y queremos escribir SCi no podemos escribir SCi=A iBiCi puesto que existen ahora más de dos subíndices en un término simple. Las i´ s en S=A iBi son subíndices mudos, por lo que pueden ser cambiados por cualquier otra letra. Así por ejemplo, podemos escribir S=A jB j y tener SCi=A jB jCi que es una igualdad válida.

Ejemplo: si α=RiCi y β=U iV i , escribir α A iB jC k β en términos de Ri , S i ,U i , y V i .

Solución:

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α A iB jC k β=RmCm A iB jC kU lV l Donde se cambian los índices mudos i por m y por i por l en α y β respetivamente.

LA DELTA DE KRONECKER

El símbolo δ ij es llamado la delta de kronecker y se define como sigue:

δ ij={ 1 si i= j0 si i ≠ j

Puesto que i y j pueden tomar los valores 1, 2 y 3 independientemente, existe nueve componentes de δ ij tal que pueden escribirse en un arreglo matricial en la forma:

δ ij=[ δ11 δ 12 δ13

δ 21 δ 22 δ23

δ 31 δ 32 δ33]

De la definición de δ ij esta matriz puede ser escrita en términos de unos y ceros como

δ ij=[1 0 00 1 00 0 1]

Ejemplo: Considere el término Ai δ ij. El subíndice i es un subíndice mudo puesto que esta repetido. Esta por lo tanto indicando una suma de 1 a 3. Escribir esta suma explícitamente.

Solución:

Ai δ ij=A1δ1 j+A2δ 2 j+A3δ3 j

Como esta expresión tiene un subíndice flotante ( j), es un vector (componentes cartesianas), lo cual puede llamarse X j. Así, X j=Ai δ ij

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Ejemplo: Del ejemplo previo podemos escribir

X j ¿A iδ ij=A1δ1 j+A2δ2 j+A3δ 3 j

Ahora X j tiene tres componentes, X j=( X1, X2 , X3 ), que se encuentran haciendo j=1,2,3 independientemente. Si hacemos esto usamos la definición de δ ij, y obtenemos:

¿

Así, el vector X j es igual al vector A j.

El resultado del ejemplo previo puede ser escrito como

X j ¿A iδ ij=A j

e ilustra una importante propiedad de la delta de kronecker. Cuando la delta de kronecker aparece en un término de una ecuación con índices en la cual uno (o ambos) de estos índices es (esta) repetida en el otro símbolo del mismo término; entonces la delta de kronecker puede ser eliminada si el índice repetido en el otro símbolo es reemplazado con el índice restante de la delta de kronecker. Por ejemplo,

Cqδrq=C r

M ijB j δ ik=M kjB j

Ar BsC t δ sq=Ar BqCt

Eijk δ kr=Eijr

δ ijδ jk=δ ik

Si ambos subíndices de la delta de kronecker se repiten en un término, entonces uno o el otro (pero no ambos) puede ser eliminado. Por ejemplo,

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Ar BsC t δ st=A rBtC t (Eliminamos s)

Ar BsC t δ st=A rB sC s (Eliminamos t)

Estos resultados son claramente idénticos puesto que t y s son ambos subíndices mudos. Así, ambos resultados son realmente

Ar (B1C1+B2C2+B3C3 )

Un término puede contener más de una delta de kronecker. Por ejemplo,

A sB jC k δrj δ sk=A sB rCs=AkB rCk

B jC k A s δrk δ sj=B jC r A j=BsCr A s

Ejemplo: Si el índice repetido en δ ii indica suma, se encuentra que δ ii=δ11+δ22+δ 33=1+1+1=3.

Ejemplo: Eliminar la delta de kronecker de las siguientes

expresiones: N ij δij ,E ijk δ jk , δij δij.

Solución:N ij δij=N ii=N jj

Eijk δ jk=E ijj=E ikk

δ ijδ ij=δ ii=δ jj=3.

EL PRODUCTO ESCALAR

Del capítulo I conocemos que el producto punto o escalar de dos vectores A y B es A .B=ABcosθ donde θ es el ángulo más pequeño entre A y B. Si los dos vectores son ortogonales

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(perpendiculares), el producto punto es cero; mientras que si dos vectores son paralelos, el producto punto es igual a, AB.

Recordando que podemos escribir los vectores A y B como A=A iU (i) y B=B jU ( j). Pero i y j son índices mudos y subíndices diferentes entonces pueden usarse cuando se forme el producto punto

A .B=AiU (i ).B jU ( j)

Donde no hay más de dos índices repetidos en un término.

Ahora puesto que Ai y B j representan a los componentes de los vectores A y B, ellos en realidad son escalares y pueden moverse en la expresión. Por lo que podemos escribir

A .B=AiB jU (i) .U ( j)

Recordemos que U (i).U ( j)=1 si i= j y U (i ) .U ( j)=0 si i≠ j. Por lo que podemos escribir U (i).U ( j)=δij .Así:

A .B=AiB j δij=A iBi=A jB j

Así en la notación indicial el producto escalar A .B se escribe como AiB i. Es claro por consiguiente que A .B=AiB i=A1B1+A2B2+A3B3

La cantidad Ai se refiere como el vector Ai, que significa que Ai representa a las tres componentes cartesianas del vector

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A, los cuales pueden encontrarse explícitamente haciendo i=1 ,2 y 3 respectivamente.

Ejemplos:

La expresión indicial Pr SrT qR r es incorrecta puesto que contiene más de dos índices idénticos.

La ecuación vectorial AiB jC j=Rk S pT p es incorrecta pues el índice flotante del primer miembro es diferente al índice flotante del segundo miembro, es decir los subíndices flotantes no son los mismos en ambos lados de la ecuación.

La expresión AiB jC j se escribe en notación simbólica vectorial como A (B .C ) y esta es una cantidad vectorial.

La expresión AiB jCk D jEi se escribe en notación simbólica vectorial como C ( A . E ) (B .D )=(A .E ) (B . D )C.

La expresión (R .S ) (U .V ) puede ser escrito en notación indicial como RiS iU jV j

Note que los subíndices repetidos en R y S son diferentes de los de U y V .

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Eliminar las deltas de kronecker de las siguientes expresiones:

(a) Ai δ ip

(b) R jkS pq δ pj

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(c) AiB jCk Dqδ ikδ jq

(d) C ijklδ jl

(e) AiB iδ rs

(f) RiS jT kδ rk δsj

2. Escribir las siguientes expresiones en notación simbólica vectorial.(a) ApCqBp

(b) RiS iT jQ j

(c) AiB j δij

(d) M iN jP jQkRi

3. Escriba las siguientes expresiones en notación indicial.(a) R .S

(b) A (B .C )

(c) (F .G ) (A .B )C

EL TENSOR UNITARIO ALTERNANTELos tres enteros 1, 2, y 3 se dice que están en orden cíclico si se produce el orden 1 2 3 siguiendo el camino anti horario mostrado abajo. Orden cíclico: 1⃗23 2⃗313⃗12

El orden inverso se denomina no cíclico o anti cíclico, ello puede encontrarse siguiendo los enteros 1, 2 y 3 en el camino horario. Así Orden no cíclico: ´321 ´132 ´213 .

Ejemplo: Si ab c están en orden cíclico, indicar cuales de las siguientes están en orden cíclico y no cíclico.

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c babc aa cb

Solución:

´c ba no cíclicob⃗ ca cíclico

´a cb no cíclico

Con la finalidad de utilizar toda la potencia de la notación indicial, debemos escribir el vector o producto cruz en esta notación. Esto requiere la introducción del nuevo símbolo Eijk, llamado el tensor unitario alternamente (algunas veces llamado el tensor alternante, el símbolo E, el símbolo de permutación, o el tensor de Levi-civita), el cual se define como sigue:

Eijk={+1 , si i , j , k están en orden cíclico (123,231,312) −1 , si i , j , k están en orden no cíclico (321,132,213)

0 , si cualquier par de subíndices se repite.

Por ejemplo, E132=−1 ; E221=0 ; E312=+1.

Note que intercambiando dos subíndices adyacentes cambia el signo del tensor unitario alternante. El signo sigue siendo el mismo siempre y cuando el orden cíclico (o no-cíclico) se mantiene. Elimine el signo incorrecto en las siguientes expresiones.

Eijk=± E jki=±Ekji=±E jik=± Ekij=± Eikj

Resulta:

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Eijk=+E jki=−Ekji=−E jik=+Ekij=−Eikj.

Con la finalidad de investigar las propiedades de Eijk, consideremos la expresión Rij=EijkT k.

Existen dos subíndices flotantes i , j en ambos lados de la igualdad, lo cual significa que existen nueve componentes que podemos escribirlo como una matriz 3×3. El subíndice k en el lado derecho de la igualdad es un subíndice mudo. Vamos a sumar en k de 1 a 3 para obtener

Rij=Eij 1T 1+Eij 2T 2+Eij3T 3

Ahora en la expresión

Rij=EijkT k=E ij1T1+Eij 2T 2+Eij 3T 3

Alguno de los términos en el lado derecho son cero para ciertas componentes de Rij.

Consideremos R11. Puesto que E11 k=0 para todo k, entonces R11=0. En el caso de R12, el único término que sobrevive en el lado derecho es E123T 3=T 3 puesto que E121=E122=0 y E123=+1. Continuando de esta forma podemos completar la matriz Rij y escribir

Rij=EijkT k=[ 0 T3 −T2

−T3 0 T1

T2 −T1 0 ]R13=E131T1+E132T 2+E133T 3=−T 2,

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R21=E211T 1+E212T 2+E213T3=−T3,

R22=0,

R23=E231T1+E232T 2+E233T 3=T 1 ,

R31=E311T 1+E312T2+E313T3=T2 ,

R32=E321T 1+E322T 2+E323T 3=−T 1,

R33=0.

Consideremos la expresión Eijk Ai B jC k. Los subíndices i , j y k son todos subíndices mudos que al sumarse desaparecen. Así el resultado es una cantidad escalar. Puesto que i , j y k serán de 1 a 3 independientemente, el resultado es la suma de 27 términos. La mayoría de estos términos se anulan, puesto que Eijk=0 para cualquier par de subíndices iguales. Solo los términos que sobreviven en la expresión son aquellos en los cuales ijk está en orden cíclico o no-cíclico. Existen solo seis de estos; estos son,

E123=E231=E312=+1

E321=E132=E213=−1

Por lo tanto podemos escribir la suma:

Eijk Ai B jC k=A1B2C3+A2B3C1+A3B1C2−A3B2C1−A1B3C2−A2B1C3

Evaluando el determinante

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|A1 A2 A3

B1 B2 B3

C1 C2 C3|=A1B2C3+A2B3C1+A3 B1C2−A3B2C1−A1B3C2−A2B1C3

Se observa que

Eijk Ai B jC k=|A1 A2 A3

B1 B2 B3

C1 C2 C3|

EL PRODUCTO VECTORIAL

El producto vectorial C=A×B se usa en el capítulo I. utilizando los ejes x1 x2 x3 en vez de x y z, podemos escribir los componentes cartesianos de C=(C1 ,C2 ,C3) en términos de las componentes de A y B como:

C1=¿A2B3−A3B2

C2=¿A3B1−A1B3

C3=¿ A1B2−A2B1

Considerando la expresión C i=Eijk A jBk. Esta es una cantidad vectorial caracterizada por un solo subíndice flotante i. Los subíndices j y k son ambos índices mudos y desaparecen al sumarse. Las tres componentes C1,C2, y C3 se encuentran haciendo que i tome los valores 1,2 y 3 independientemente. Por ejemplo, para encontrar C1, hacemos i=1. Entonces para que Eijk no sea cero, los subíndices jk deben tomar los valores 23 o 32.

Como E123=+1 y E132=−1 podemos escribir C1=A2B3−A3B2. De manera similar C2 y C3 pueden encontrarse, escribiendo:

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C1=¿A2B3−A3B2

C2=¿A3B1−A1B3

C3=¿ A1B2−A2B1

Comparando este resultado con lo visto previamente vemos que Eijk A jBk da las componentes del producto vectorial A×B. Así en notación indicial el producto cruz A×B se escribe como Eijk A jBk.

Expresiones tales como Eijk Ai Bk pueden siempre escribirse en notación simbólica rotando los subíndices en orden cíclico hasta que el subíndice flotante (en este caso j) aparezca primero. Así

Eijk Ai Bk=E jki A iBk=E jkiBk Ai=−E jik A iBk

Lo cual es la notación indicial para B× A=−A ×B.

Ejemplo: Escribir la expresión Erst A s Br en notación simbólica.

Solución:

Erst A s Br=EtrsA s Br=EtrsB r A s=−Etsr A sBr lo cual indica B× A=−A ×B.

Observación: Para escribir (B× A ) . D en notación indicial, sea C=B× A o E jkiBk A i. Entonces C . D= (B× A ) . D, lo cual en notación indicial es C jD j=E jkiB k AiD j.

Ejemplo: Escribir las siguientes expresiones en la notación indicial, R×S ,T . R×S , (C . A )B .

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Solución: utilizaremos ¿̇ para indicar la equivalencia entre las dos notaciones.

R×S ¿̇Eij kR jSk

T . R×S ¿̇Eijk R jSkT i

(C . A )B ¿̇C i A iB j

Ejemplo: Escribir las siguientes expresiones en la notación simbólica,

Eijk Ai B jC k ; Eijk FkG j ;B j A i A j; B jC i A j

Solución:

Eijk Ai B jC k ¿̇ A .B×C.Como Eijk=Ekij=E jki

Eijk Ai B jC k ¿̇ A .B×C=C . A ×B=B .C × A

Eijk FkG j ¿̇G×F=−F ×G

B j Ai A j ¿̇ (B . A ) A

B jCi A j ¿̇ (B . A )C

Supongamos que queremos escribir F=A× (B×C ) en la notación indicial. Como esto es igual a F=A×D donde D=B×C, escribimos Di=E ijkB jC k por D=B×C y F ¿̇ E rsiA s EijkB jCk=ErsiEijk A sB jC k. Note que todos los subíndices son mudos excepto el r al escribir F r=E rsiA sDi, la elección del subíndice i fue determinada por que se había escrito Di=E ijkB jC k. Cualquier otro subíndice se pudo haber usado para r y s excepto j y k puesto que se ha utilizado en Di y resultarían más de dos

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índices repetidos en la expresión final para F r. Recordemos que siempre podemos elegir libremente los nombres de los índices mudos.

Ejemplo: Escribir las siguientes expresiones en la notación indicial, ( A×B )×C y R× (S×T )

Solución:( A×B )×C ¿̇E rst (E slm Al Bm )Ct

¿ Erst Eslm A lBmC t.

R× (S×T ) ¿̇ErsiRs (Eijk S jT k )

¿ ErsiE ijkR sS jTk

¿ ErsiE ijk S jTk Rs .

Ejemplo: Escriba las siguientes expresiones en la notación

simbólica: EirsE ijkB jC k A s, EirsE ijkB sC k A j.

Solución:

EirsE ijkB jC k A s=E rsiA s (Eijk B jC k ) ¿̇A× (B×C ).

EirsE ijkB sC k A j=E rsiB s Eijk A jC k ¿̇B× ( A×C ).

IDENTIDADES VECTORIALES

Uno de los muchos beneficios de la notación indicial es que hace innecesario recordar las decenas de identidades vectoriales que se requiere para llevar a cabo el análisis

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vectorial. En vez de ello solo tenemos que conocer una sola relación simple entre el tensor unitario alternamente y la delta de Kronecker. Esta relación es la siguiente

Eijk Eirs=δ jr δ ks−δ jsδ kr

Note que en esta expresión existen cuatro subíndices flotantes no repetidos ( j , k , r , s). Puesto que cada uno de estos cuatro subíndices flotantes toma los valores 1,2 y 3 independientemente, la expresión de arriba realmente representa 81 igualdades separadas.

La prueba de esta identidad consiste en mostrar que esta es válida para cada una de los 81 casos. Esto no es tan malo como aparece pues bloques grandes de casos pueden considerarse en conjunto. Consideraremos la prueba un poco después.

La identidad es muy fácil de recordar. Los subíndices utilizados en particular carecen de importancia; sin embargo, uno de los subíndices en cada uno de los tensores unitarios alternantes debe ser el mismo. Los subíndices deben rotarse en orden cíclico hasta que ambos índices repetidos estén primeros. Realizado esto, los subíndices de las cuatro deltas de Kronecker pueden ser leídos directamente de los subíndices no repetidos de los dos tensores unitarios alternantes. Ellos son, respectivamente,

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1. Los segundos subíndices2. Los terceros subíndices3. Un segundo y un tercer subíndice4. El otro segundo y el otro tercer subíndice.

Ejemplo: Utilizando esta identidad, escriba las siguientes expresiones en términos de las deltas de Kronecker: E kijEipq ; EmnpE rps

Solución:

E kijEipq=Eijk E ipq=δ jpδ kq−δ jq δkp

Emnp Erps=EpmnE psr=δms δnr−δmr δns

Como un ejemplo de la utilización de la relación de arriba, consideremos la prueba de la identidad vectorial

A× (B×C )=(C . A )B− (B . A )C

Escribamos A× (B×C ) en notación indicial

A× (B×C ) ¿̇E rsiA s Eijk B jC k=ErsiE ijk A sB jC k

¿ EirsE ijk A sB jC k=(δrj δ sk−δ rkδ sj )B jC k A s

Podemos eliminar la delta de Kronecker cambiando los índices repetidos y escribir

¿δ rjδ sk B jC k A s−δrk δ sjB jC k A s=BrC k Ak−BsCr A s

¿C k AkBr−B s A sCr ¿̇ (C . A )B− (B . A )C.

Con lo cual en notación simbólica tenemos:

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A× (B×C )=(C . A )B− (B . A )C

Esto completa la prueba.

Ejemplo: Probar la identidad vectorial

(A×B ¿×C=B (A .C )−A (B .C )

Y así verificar que

( A×B )×C≠ A× (B×C )

Solución:( A×B )×C ¿̇E ijk (E jlmA lBm )C k=Eijk E jlm AlBmC k

¿ E jkiE jlmA lBmC k=(δkl δℑ−δkm δil ) A lBmC k

¿δ klδℑ Al BmCk−δ kmδil A lBmC k=Ak BiC k−A iBkCk

¿̇ B (A .C )−A (B .C ) y se ve que ( A×B )×C≠ A× (B×C ).

Ejemplo: Mostrar que Eijr E ijs=2δ rs

Solución:

Eijr E ijs=¿ δ jj δrs−δ jsδ rj=3δrs−δrs=2δ rs.

Ejemplo: Demostrar que Eijk Eijk=6.

Solución:Eijk Eijk=δ jj δkk−δ jk δkj=3 (3 )−δkk=9−3=6.

Ahora consideraremos la prueba de la identidad:

Eijk Eirs=δ jr δ kr−δ js δkr

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Para cada uno de los 81 casos los valores en cada lado son +1,-1, o 0. El desglosamiento de los 81 casos se lista abajo. Indica la lista el valor de cada lado de la ecuación para todos los casos. Por ejemplo, existen 27 casos cuando j=k y bajo estas condiciones el valor de ambos lados de la ecuación es cero.

Número de casos Valor de ambos ladosde la ecuación

1 j=k 27 02 r=s j≠ k 18 03 j=r k=s 6 +14 j=s r=k 6 -15 j ≠ r j≠ s 12 06 r ≠ k s≠ k 12 0

Total 81

Una propiedad importante del tensor unitario alternante es que si esta multiplica una expresión que es simétrica en dos de sus subíndices, el resultado es cero. Por ejemplo, en la expresión Eijk A j Ak la cantidad A j Ak=Ak A j es simétrica con respecto a los subíndices j y k. Por lo tanto Eijk A j Ak=0. Para probar este resultado, note que j y k son ambos subíndices mudos y por lo tanto pueden ser cambiados. En particular, renombremos la j con k y renombremos k con j. Así

Eijk A j Ak=Eikj Ak A j

Ahora como Ak A j=A j Ak en el lado derecho de la ecuación de arriba, y escribimos

Eijk A j Ak=Eikj A j Ak

Ahora intercambiando la k y j en Eikj en el lado derecho de la igualdad previa. Esto introduce el signo menos tal que

Eijk A j Ak=−E ijk A j Ak

Simetrica en sus dos subíndices

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De esto resulta que Eijk A j Ak es idénticamente cero, pues esta es la condición bajo la cual una expresión puede ser igual a su propio negativo. Así, concluimos que

Eijk A j Ak=0

Esta expresión puede escribirse en notación simbólica como A ×A=0.

Observaciones1. El tensor alternante unitario Eijk tiene la propiedad de que

E112=0E231=+1E321=−1

2. La cantidad Eijk R jSk es un vector, que es el vector, que es el producto cruz que se escribe en notación simbólica vectorial como R×S.

3. La expresión Eijk δ jk=0

O de otra forma Eijk δ jk=E ikk=0.

EJERCICIOS PROPUESTOS1. Escribir las siguientes expresiones en la notación simbólica

vectorial.a. Eijk Rk Si

b. Epqr A r BqCp

c. Eijk EirsM jN r P s

d. Epqr Eqst A pB rC t

2. Escriba los siguientes expresiones en notación indiciala. M×N

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b. A .S×T

c. X × (Y ×Z )

d. (X ×Y )×Z

3. Probar las siguientes identidades vectoriales.a. A . (B×C )=B . (C× A )=C . ( A×B )

b. A . (A ×C )=0

c. R× (S×T )=S (R .T )−T (R .S )

d. (R×S )×T=S (R .T )−R (S .T )

e. ( A×B )× (C×D )=B (A .C×D )−A (B .C×D )

¿C ( A . B× D )−D ( A .B×C )