tensores y p-formas -...
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TENSORES Y P-FORMAS
1 Tensores
El material de los dos capitulos anteriores es fundamentalmente para estudiarlos tensores. La importancia de los tensores en ciencias exactas e ingenierıa, esel hecho de que los tensores son cantidades matematicas que no dependen delsistema coordenado. El significado de “no depende” del sistema de coordenadasla daremos en este capitulo, pero estas cantidades matematicas han servidobien para modelar cantidades fısicas importantes, como los campos. La ideaes que estas cantidades fısicas realmente no dependen del observador, es decir,las cantidades fısicas no importa si el observador las mide con una vara de unmetro o una de un centimetro, o con coordenadas catesianas o esfericas. Elobjeto fısico no se ve afectado por la forma de medirlo o de observarlo. Estacondicion la cumplen los tensores, por eso se usan para modelar las cantidadesfısicas observables. Desde el punto de vista matematico, un tensor es una funcionmultilineal, es decir, una funcion de varias variables, pero la funcion es linealen cada entrada. El dominio es el producto cartesiano de un espacio vectorialvarias veces, con su dual, tambien varias veces. Nosotros vamos a tomar eseespacio vectorial como el espacio tangente a una variedad y su dual como elespacio cotangente a la variedad. Asi, la idea es definir tensores que viven envariedades. Empecemos por la definicion formal de un tensor.
Definicion 1 Sea V espacio vectorial y V ∗ su espacio dual. Un tensor deltipo (r, s) es una transformacion multilineal T tal que
T : V ∗ × · · · × V ∗︸ ︷︷ ︸
r veces
× V × · · · × V︸ ︷︷ ︸s veces
→ <,
(w1, · · · , wr, v1, · · · , vs
) → T(w1, · · · , wr, v1, · · · , vs
)
Es decir, se tiene que si v1, · · · , vs ∈ V y w1, · · · , wr ∈ V ∗, son transforma-ciones lineales en el espacio vectorial V , se sigue que
T(w1, · · · , wr, αv + βw, v2, · · · , vs
)= αT
(w1, · · · , wr, v, v2, · · · , vs
)+ βT
(w1, · · · , wr, w, v2, · · · , vs
)para cada entrada del tensor.
Notacion 2 Al conjunto de tensores lo denotamos como T ∈ V ⊗ · · · ⊗ V ⊗V ∗ ⊗ · · · ⊗ V ∗ y se le llama producto tensorial.
Con la suma (T + T ′)(w1, · · · , wr, v1, · · · , vs
)= T
(w1, · · · , wr, v1, · · · , vs
)+
T ′(w1, · · · , wr, v1, · · · , vs
)y el producto por escalar (αT )
(w1, · · · , wr, v1, · · · , vs
)= αT
(w1, · · · , wr, v1, · · · , vs
)para todo T, T ′ ∈ V ⊗· · ·⊗V ⊗V ∗⊗· · ·⊗V ∗, α ∈
<, la estructura (<, V ⊗ · · · ⊗ V ⊗ V ∗ ⊗ · · · ⊗ V ∗, +, ·) es un espacio vectorial.A los elementos del espacio tensorial se les denota por X1⊗· · ·⊗Xr⊗µ1⊗· · ·⊗µs,este elemento denota el tensor tal que
1
X1⊗ · · ·⊗Xr ⊗µ1⊗ · · ·⊗ µs(w1, · · · , wr, v1, · · · , vs
)= X1
(w1
) · · ·Xr (wr)µ1 (v1) · · ·µs (vs) =
⟨µ1, X1
⟩ · · · 〈µr, Xr〉⟨µ1, v1
⟩ · · · 〈µs, vs〉 dados X1, · · · , Xr ∈V y µ1, · · · , µs ∈ V ∗. Al espacio de tensores lo denotamos tambien por
T rs = V ⊗ · · · ⊗ V︸ ︷︷ ︸
r veces
⊗V ∗ ⊗ · · · ⊗ V ∗︸ ︷︷ ︸
s veces
. Sean R ∈ T rs y S ∈ T p
q , el producto entre
tensores se define entonces como el tensor T r+ps+q tal que R⊗S
(µ1, · · · , µr+p, v1, · · · , vs+q
)
= R(µ1, · · · , µr, v1, · · · , vs
) · S (µr+1, · · · , µr+p, vs+1, · · · , vs+q
)
La estructura (T rs , +, ·,⊗,<, ·) es una algebra llamada Algebra tensorial.
Sea eaa=1,··· ,n y eaa=1,··· ,n bases de V y V ∗, espacios vectoriales dedimension n y su dual. Entonces podemos escribir tensores T ∈ T r
s en terminos
de esa base como T =n∑
a1···ar,b1···bs
T a1···ar
b1···bsea1 ⊗ · · · ⊗ ear ⊗ebi ⊗ · · · ⊗ ebs , ya
queea1 ⊗ · · · ⊗ ear
⊗ ebj ⊗ · · · ⊗ ebs ⊂ T r
s sera una base del espacio tensorialy las componentes de T estan dadas por T a1···ar
b1···bs= T (ea1 , · · · , ear , eb1 , · · · ebs
)Como se ve, debido a la definicion de tensores, la notacion es muy extensa.
Mas adelante cambiaremos de notacion por una mas simple, para reducir laescritura, pero por ahora la mantendremos con el objetivo de que no vaya ahaber confusion.
La propiedad importante de los tensores es la de no depender del sistemacoordenado. Aquı vamos a ser mas generales, vamos a demostrar que los tensoresson invariates al cambiar la base.
Proposicion 3 Los tensores son invaraintes bajo cambios de base.
Demostracion. Sean eaa=1,··· ,n y e′aa=1,··· ,n bases de V y eaa=1,··· ,ny e′aa=1,··· ,n bases de V ∗ tal que eaa=1,··· ,n sea dual a eaa=1,··· ,n y
e′aa=1,··· ,n, sea dual a e′aa=1,··· ,n. Se sigue que e′a =n∑
b=1
Λbaeb y e′a =
n∑b=1
Λabeb
donde Λba y Λa
b son coeficientes de matrices no singulares n×n. Por la dualidad
de las bases, se sigue que δba =
⟨eb, ea
⟩=
⟨e′b, e′a
⟩=
⟨n∑
c=1Λb
cec,
n∑d=1
Λdaed
⟩n∑
c=1
n∑d=1
ΛbcΛ
daδc
d =n∑
c=1Λb
cΛca. Es decir
n∑c=1
ΛbcΛc
a = δba, por lo que Λb
c y Λca son una la inversa de otra
como matrices. Ahora escribimos un tensor T rs en terminos de estas bases, esto
2
es
T =n∑
a1···bs=1
T ′a1···ar
b1···bse′a1
⊗ · · · ⊗ e′ar⊗ e′b1 ⊗ · · · ⊗ e′bs
=n∑
a1···bs=1
T ′a1···ar
b1···bs
n∑c1=1
Λc1a1
ec1 ⊗ · · · ⊗n∑
cr=1
Λcrar
ecr
⊗n∑
d1=1
Λb1d1
ed1 ⊗ · · · ⊗n∑
ds=1
Λbs
dseds
=n∑
a1···bs=1
n∑· · ·
c1=1
n∑cr=1
n∑
d1=1
· · ·n∑
ds=1
Λc1a1· · ·Λcr
arΛb1
d1· · ·Λbs
dsT ′a1···ar
b1···bsec1
⊗ · · · ⊗ ecr⊗ edr ⊗ · · · ⊗ eds
=n∑
c1···ds=1
T c1···cr
d1···dsec1 ⊗ · · · ⊗ ecr
⊗ edr ⊗ · · · ⊗ eds
donde hemos llamado
T c1···cr
d1···ds=
n∑a1=1
· · ·n∑
ar=1
n∑
b1=1
· · ·n∑
bs=1
Λc1a1· · ·Λcr
arΛb1
d1· · ·Λbs
dsT ′a1···ar
b1···bs. (1)
Comentario 4 Note que en cada caso se tiene que
T ′a1···ar
b1···bs= T
(e′a1 , · · · , e′ar , e′b1 , · · · , e′bs
)
yT c1···cr
d1···ds= T (ec1 , · · · ecr , ed1 , · · · , eds) .
Es decir, debido al cambio de base las componentes del tensor cambiaron,pero el tensor mismo se quedo inalterado. Es en este sentido que los tensoresson invariantes ante cambios de base y por tanto de coordenadas. En cienciasfısicas este hecho se usa continuamente. Una operacion tambien muy usada enciencias fısicas es la contraccion de tensores. A partir de uno o varios tensores,se contruye otro usando la contraccion. Vamos a definirla.
Definicion 5 Sea T ∈ T rs en un espacio vectorial V . La contraccion C1
1 (T ) deun tensor en las bases duales eaea es un tensor (r − 1, s − 1) tal que las
componentes de C11 (T ) son
n∑a=1
T aa2...ar
ab2···bs, i.e. C1
1 (T ) =n∑
a=1
n∑a2···arb2···bs=1
T aa2...ar
ab2···bs
eas ⊗ · · · ⊗ ear ⊗ eb2 ⊗ · · · ⊗ ebs
Proposicion 6 La contraccion es independiente de las bases.
3
Demostracion. Sean eaea y e′ae′a bases duales de V . Entonces
C ′11 (T ) =n∑
a=1
n∑
a2···arb2···bs=1
T ′aa2...ar
ab2···bse′as
⊗ · · · ⊗ e′ar⊗ e′b2 ⊗ · · · ⊗ e′bs
=n∑
a1=1
· · ·n∑
ar=1
n∑
b1=1
· · ·n∑
bs=1
Λc2a2· · · ∧cr
ar∧b2
d2· · · ∧bs
ds
n∑a=1
T ′a...ar
a···bsecs
⊗ · · · ⊗ ecr⊗ ed2 ⊗ · · · ⊗ eds
=n∑
c1=1
n∑
d1=1
δc1d1
n∑
c2···crd2···ss=1
T c1c2...cr
d1d2···dsecs ⊗ · · · ⊗ ecr ⊗ ed2 ⊗ · · · ⊗ eds
= C ′11 (T )
De la misma forma se pueden definir las contracciones de los demas ındices.Suele llamarse a los ındices superiores de un tensor ındices covariantes y a losinferiores, ındices contravariantes. Ası la contraccion queda definida entreındices covariantes con indices contravariantes.
Notacion 7 Del mismo modo, se suele llamar a los vectores ea vectores co-variantes o uno-formas y a los ea vectores contravariantes o simplementevectores.
En lo que sigue vamos a dar algunos ejemplos simples de tensores usados enfısica.
Ejemplo 8 El tensor de campo electromagnetico es un tensor definido como
A =3∑
µ=0
Aµdxµ + dΛ
donde Λ es una funcion arbitraria que va de los reales a los reales.
Ejemplo 9 El tensor de energia momento es un tensor definido como
T =3∑
µ,ν=0
Tµνdxµ ⊗ dxν
en donde las componentes Tµν son basicamente las presiones y la densidad enla diagonal, y los flujos de energia y momento en las componentes fuera de ladiagonal.
Ejemplo 10 El tensor metrico es un tensor definido como
g =3∑
µ,ν=0
gµνdxµ ⊗ dxν
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el cual define una metrica en la variedad, a traves del producto escalar entrevectores. Mas adelante daremos los detalles de esta tensor, por el momentovamos a discutir dos ejemplos simples. Primero tomemos las componentes gij =δij i, j = 1, 2, 3, y con las componentes con subindice 0 igual a cero. Lo que seobtiene es una metrica Euclidiana, esta es:
g = dx⊗ dx + dy ⊗ dy + dz ⊗ dz
Tomemos el vector X = 2 ∂∂x − ∂
∂y y el vector Y = − ∂∂x + 2 ∂
∂z . El productointerno entre X y Y esta dado por:
g(X, Y ) = dx(X)⊗ dx(Y ) + dy(X)⊗ dy(Y ) + dz(X)⊗ dz(Y )= 2 · (−1) + (−1) · 0 + 0 · 2 = −2
Mientras que la norma de los vectores es
g(X, X) = dx(X)⊗ dx(X) + dy(X)⊗ dy(X) + dz(X)⊗ dz(X) = 5 = ||X||2g(Y, Y ) = dx(Y )⊗ dx(Y ) + dy(Y )⊗ dy(Y ) + dz(Y )⊗ dz(Y ) = 5 = ||Y ||2
La norma de los vectores siempre va a ser positiva. La distancia entre estosvectores sera (X − Y = ∂
∂x − ∂∂y + 2 ∂
∂z )
g(X − Y,X − Y ) == dx(X − Y )⊗ dx(X − Y ) + dy(X − Y )⊗ dy(X − Y ) + dz(X − Y )⊗ dz(X − Y )= ||X − Y ||2 = 1 + 1 + 4 = 6
Un ejemplo mas interesante es la metrica de Minkowski, esta esta definidapor
g = dx⊗ dx + dy ⊗ dy + dz ⊗ dz − dt⊗ dt
Tomemos ahora los vectores X = ∂∂x − ∂
∂t y Y = ∂∂x + ∂
∂t . El producto internoentre X y Y ahora esta dado por:
g(X,Y ) = dx(X)⊗ dx(Y ) + dy(X)⊗ dy(Y ) + dz(X)⊗ dz(Y )− dt(X)⊗ dt(Y )= 1 + 1 = 2
Pero ahora las normas de los vectores es
g(X,X) = dx(X)⊗ dx(X) + dy(X)⊗ dy(X) + dz(X)⊗ dz(X)− dt(X)⊗ dt(X) = 0g(Y, Y ) = dx(Y )⊗ dx(Y ) + dy(Y )⊗ dy(Y ) + dz(Y )⊗ dz(Y )− dt(Y )⊗ dt(Y ) = 0
O sea, estos vectores tienen norma nula, sus tamanos son nulos, a pesar deque los vectores no lo son. Esta es la principal caracteristica de la metrica deMinkowsky, en este espacio existe vectores no nulos con norma nula o negativa.Esta metrica podria ser vista como algo exotico, como una invencion de algunmatematico con demasiada imaginacion. Pero no lo es, es el mejor modelo delespacio tiempo que tenemos, es algo muy real.
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Vamos a tomar las componentes del ejemplo de la pelota ??. Tomemos a lametrica para una pelota como
g = dw1 ⊗ dw1 + dw2 ⊗ dw2 = r2(dθ ⊗ dθ + sin2(θ)dϕ⊗ dϕ
)
Se suele denotar (abusando de la notacion) a una metrica tambien como
g = dΩ2 = r2(dθ2 + sin2(θ)dϕ2
)
el cual puede ser confuso, pues los elementos dθ2 y dϕ2 no son el cuadrado deuna diferencial, sino el producto tensorial de dos formas. Hay que tomar estosiempre en cuenta.
2 p-Formas
En esta seccion hablaremos de las p-formas. Las formas son productos tensori-ales de uno-formas antisimetrizados. Su importancia tambien viene de la fısicay de las ciencias naturales. Con las p-formas es posible hacer oparaciones conmucha mas sincillez y en muchos casos, las cantidades que se estudian adquierenun significado mas claro y presiso. En esta seccion daremos algunos ejemplosen la fısica, con aplicaciones directas a la ingenierıa. Vamos primero a definirlas p-formas.
Definicion 11 Sea V ∗ el conjunto de uno-formas. Al conjunto de tensores(0, p) antisimetricos en cada entrada se llama p-formas.
Vamos a ser mas explıcitos, sean w1, w2, w3 ∈ V ∗, entonces las p-formas secontruyen como en los ejemplos siguientes.
Ejemplo 12 Una dos-forma se escribe como w = 12
(w1 ⊗ w2 − w2 ⊗ w1
)
Ejemplo 13 Una tres-forma w = 16 (w1⊗w2⊗w3 +w3⊗w1⊗w2 +w2⊗w3⊗w1
−w3 ⊗ w2 ⊗ w1 −w1 ⊗ w3 ⊗ w2 − w2 ⊗ w1 ⊗ w3), etc.
En lo que sigue vamos a construir el algebra de las p-formas. Primero vamos aconstruir un producto entre p-formas, llamado el producto wedge. Su definiciones como sigue.
Definicion 14 Sean w y µ una p y q-formas respectivamente. El producto w∧µes una (p + q)-forma, donde ∧ es antisimetrico i.e.
w ∧ µ = (−1)pqµ ∧ w
Esto quiere decir, que si ea es base de las uno-formas, entonces una 2-formase escribe como
w =n∑
a1a2=1
wa1a2 ea1 ∧ ea2 donde ea1 ∧ ea2 =12
(ea1 ⊗ ea2 − ea2 ⊗ ea1)
6
Analogamente, una tres forma se escribe como
w =n∑
a1a2a3=1
wa1a2a3ea1∧ea2∧ea3donde ea1∧ea2∧ea3 =
16
∑
[P ]
(−1)[P ]ea1⊗ea2⊗ea3
donde [P ] significa permutacion de (a1, a2,a3). De esta forma, se pueden con-
struir(
np
)p-formas en un espacio V ∗ n-dimensional. Al conjunto de las
p-formas se denota como ∧p.
Proposicion 15 Toda (n+k)-forma en un espacio n-dimensional es identicamentecero, para k > 1.
Demostracion. Sean V ∗ un espacio n-dimensional y α ∈ V ∗ una n + 1forma. Entonces
α = αai···ajak···an+1eai∧· · ·∧eaj∧eak∧· · ·∧ean+1 pero algun kj se repite. Ası
que intercambiandolos α = −αai···ajak···an+1eai∧· · ·∧eak∧eaj ∧· · ·∧ean+1 = −α
por lo tanto α = 0.Ası como construimos el campo de las uno-formas y de los vectores, se puede
construir el campo de los tensores, simplemente definiendo los tensores en cadapunto de la variedad. Formalmente se tiene:
Definicion 16 Un tensor T del tipo (r, s) sobre una variedad Mn, es un tensorconstruido sobre el espacio tangente TMn y el espacio cotangente T ∗Mn de Mn.
3 Diferenciacion e integracion en variedades
Para evitar un poco la notacion de los indices con sumandos y factores extensos,a partir de esta seccion usaremos la convencion de suma sobre ındices repetidosde Einstein, es decir, si dos indices se repiten en un tensor, es que estos indices seestan sumando, a menos que se especifique lo contrario. En esta seccion vamosa definir la diferencial y la integral de p-formas y tensores sobre la variedad.Vamos a definir tres tipos de operadores diferenciales y la integracion de estos,en especial veremos el teorema de Stokes. Para iniciar vamos a introducir lanotacion sobre las diferenciales, ası todo sera mas compacto.
Notacion 17 En esta seccion denotaremos la derivada por una coma, es decir
∂f
∂xk= f,k
∂2f
∂xk∂xl= f,kl
etc.
Primero vamos a definir la diferencial de p-formas, la cual es la mas usaday la mas simple de los operadores diferenciales que veremos.
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Definicion 18 Sea Mn variedad y w una p-forma sobre Mn. La diferencialexterior d es un mapeo d : ∧p → ∧p+1 tal que a w = wi1···ip
dxi1 ∧ · · · ∧ dxip →dw = d
(wi1···ip
)∧dxi1∧· · ·∧dxip paradxi
i=1,··· ,n base coordenada de T ∗Mn =
∧1. Se tiene que dw = wi1···ip,kdxk ∧ dxij ∧ · · · ∧ dxip
La primera propiedad importante de este operador es que la diferencial dela diferencial de una p-forma, es cero. Como veremos esta propiedad es muyimportante.
Proposicion 19 d (dw) = 0 para toda p-forma w ∈ ∧p, y para toda p ∈ Z+.
Demostracion. Tenemos dw = wi1···ip,kdxk ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxip, entoncesd (dw) = wi1···ip,k`dx` ∧ dxk ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxip donde se estan sumando ındicessimetricos k, `, con ındices antisimetricos dx` ∧ dxk, por tanto d (dw) = 0.
Para calcular la diferencial de p-formas se aplica la siguiente formula.
Proposicion 20 Sean w y µ una p y q-formas respectivamente. Se sigue qued (w ∧ µ) = dw ∧ µ + (−1)p
w ∧ dµ.
Demostracion. Sean w = wi1···ipdxi1∧· · ·∧dxip y µ = µji···jqdxj1∧· · ·∧dxjq
Entonces
d(wi1···ipdxi1 ∧ · · · ∧ dxip ∧ µj1···jqdxj1 ∧ · · · ∧ dxjq
)
= wi1···ip,kdxk ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxip ∧ µj1···jqdxj1 ∧ · · · ∧ dxjq +
+wi1···ipµj1···jq,`dx` ∧ dxi1 · · · ∧ dxip ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjq
= dw ∧ µ + (−1)pw ∧ dµ
Ejercicio 21 Muestre que dw (X, Y ) = X (w (Y ))− Y (w (X))− w ([X, Y ])
En el capitulo anterior introdujimos el concepto de full-back. Ahora vamos aintroducir un concepto similar, pero no hay que confudirlos, con el que podemostrasladar formas o tensores covarientas de una variedad a otra. Vamos a escribirla definicion y luego daremos una breve explicacion.
Definicion 22 Sea φ : Mm → Nn, y Mm, Nn variedades. Entonces:· El pull-back de tensores covariantes se define como
φ∗T (v1, · · · , vs) |p = T (φ∗v1, · · · , φ∗vs) |φ(p) ,
v1, · · · , vs ∈ TMm, p ∈ Mm donde y T ∈ T 0s .
· Analogamente para tensores contravariantes se tiene
φ∗T(w1, · · · , wr
) |φ(p) = T(φ∗w1, · · · , φ∗wr
) |ppara T ∈ T r
0 y w1, · · · , wr ∈ T ∗Nn
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Vamos a ver primero el pull-back de una uno-forma.
Ejemplo 23 Sea w ∈ T ∗Nn y v ∈ TMm. Y sea ϕ : Mm → Nn. Entonces elpull-back de w esta dado por ϕ∗w : TMm → < tal que v → w(ϕ∗v) = w(dϕ(v)).Esto quiere decir que ϕ∗ es una funcion tal que ϕ∗ : T ∗Nn → T ∗Mm, ya queφ∗w ∈ T ∗Mm y w ∈ T ∗Nn. Recordemos que dϕ = ϕ∗ : TM → TN , ver figura1.
Figure 1: Representacion de la funcion ϕ, del pull-back ϕ∗ y de la diferencialde la funcion ϕ , dϕ = ϕ∗.
Con el ejemplo anterior ya se puede proceder a encontrar el pull-back de untensor covariante en general. Y con este el de un tensor contravariante. Vamosa demostrar ahora que el pull-back y la diferencial conmutan.
Proposicion 24 Sea Mm y Nn variedades y φ : Mm → Nn y φ∗ el pull-back.La diferencial exterior conmuta con el pull-bak.
Demostracion. Sea w ∈ ∧p y f : Mn → < suave. Entonces, por la regla dela cadena d (f φ) = d (φ∗f) = df dφ = df φ∗ = φ∗ (df) i.e. d (φ∗f) = φ∗ (df).Analogamente para 1-formas: d (φ∗w) = d (w φ∗) = d (w dφ) = dw φ∗ =φ∗ (dw) y analogamente para p -formas.
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El rotacional de un vector es un concepto matematico muy utilizado enciencias exactas. En si es definido como la diferencial totalmente antisimetricade un vector. Vamos a introducir el tensor de Levi-Civita, que nos va a servirpara trabajar con la antisimetrizacion de vectores y tensores. Es de hecho lageneralizacion de la antisimetrizacion que se usa en algabra de vectores. Aquilo podemos introducir para cualquier variedad de dimension arbitraria.
Definicion 25 El tensor totalmente antisimetrico de Levi-Civita εi1,··· ,in sedefine como
εi1,··· ,in=
1 si i1, · · · , in es permutacion par de (1, 2, · · · , n)-1 si i1, · · · , in es permutacion impar de (1, 2, · · · , n)0 cualquier otro caso
Con el tensor de Levi-Civita podemos definir el operador de Hodge. Esteoperador es muy usado para poder simplificar la notacion. Vamos a escribir sudefinicion y luego daremos algunos ejemplos de su uso.
Definicion 26 El operador * de Hodge o transformacion de dualidades una funcion que mapea ∗ : ∧p → ∧n−p tal que
∗ (dxij ∧ · · · ∧ dxip
)=
1(n− p)!
εi1···ipip+1···indxip+1 ∧ · · · ∧ dxin
donde εi1,··· ,in es el tensor de Levi-Civita
Esta definicion es posible gracias a la dualidad que existe entre los espaciosvectoriales de uno-formas ∧p y ∧n−p, ambas son de la misma dimension. Espor eso que la aplicacion del operador de Hodge dos veces a una p-forma, esproporcional a la p-forma, es decir, se regresa al lugar de origen.
Proposicion 27 ∗ ∗ wp = (−1)p(n−p)wp donde wp ∈ ∧p
Demostracion. Por substitucion directa.Veamos algunos ejemplos simples.
Ejemplo 28 Sea w = fdx ∧ dy + g dy ∧ dz donde g, f : <3 → < en <3.Entoncees, n = 3 y w ∈ ∧2
dw = f,zdz ∧ dx ∧ dy + g,xdx ∧ dy ∧ dz = (f,z + g,x) dx ∧ dy ∧ dz
∗w = f ∗ dx ∧ dy + g ∗ dy ∧ dz
= f11!
ε123dz + g11!
ε231dx
= fdz + gdx
∗dw = f,z + g,x
Es decir, la aplicacion del operador de Hodge a una p-forma, consiste enquitar todos los elementos de la base que tiene la p-forma y poner todos losrestantes, los que no se usan, en el orden que nos da el tensor de Levi-Civita.Las funciones que van enfrente de la base no son afectadas por el operador deHodge. Con este operador se define otro operador diferencial muy importante,llamado la codiferencial.
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Definicion 29 La codiferencial exterior o derivada exterior adjunta sedefine por δ = (−1)np+n+1 ∗ d∗ para espacios n-dimensionales y para p-formas.Se tiene que δ = − ∗ d∗ en espacios de dimension par y δ = (−1)p ∗ d∗ enespacios de dimension impar.
Como en el caso de la diferencial, la doble aplicacion de la codiferencialtambien es cero.
Proposicion 30 δ (δwp) = 0
Demostracion. δ (−1)np+n+1∗d∗wp = (−1)2(np+n+1)∗d∗∗d∗ = (−1)2(np+n+1)∗(−1)p(n−p)
dd ∗ wp
Comentario 31 Se tiene entonces que
d : ∧p → ∧p+1
δ : ∧p → ∧p−1
Utilizando la definicion de la diferencial y la codiferencial se puede definirotro operador diferencial que llamaremos Laplaciano. En ciertos casos esteoperador es el Laplaciano que se conoce en algebra vectorial, pero de hecho esuna generalizacion de este para cualquier variedad de cualquier dimension.
Definicion 32 El Lapaciano ∆ sobre una variedad, es una funcion ∆ : ∧p →∧p definida por ∆ = dδ + δd
Vamos a hacer algunos ejemplos con todos los operadores diferenciales quehemos definido, por facilidad lo haremos en <2, que es donde el calculo nos esmas familiar, con ellos estas definiciones adquiriran mas sentido.
Ejemplo 33 Sea M = <2. Entonces una base para ∧0 ⊃ 1. Analogamentepara ∧1 ⊃ dx, dy , y para ∧2 ⊃ dx ∧ dy. Tambien podemos obtener laaplicacion ∗, esta nos da:
∗1 = dx ∧ dy; ∗dx = dy; ∗dy = −dx; ∗dx ∧ dy = 1.Para las diferenciales obtenemos:
df (x, y) = f,x dx + f,y dy
ddf = f,xy dy ∧ dx + f,yx dx ∧ dy = 0d (udx + vdy) = (v,x−u,y ) dx ∧ dy
Analogamente, para las codiferenciales se obtiene:
δf (x, y) = − ∗ d ∗ f (x, y) = − ∗ d (f (x, y) dx ∧ dy) = 0δ (udx + vdy) = − ∗ d ∗ (udx + vdy) = − ∗ d (udy − vdx)
= − ∗ (u,x dx ∧ dy − v,y dy ∧ dx) == − ∗ ((u,x +v,y ) dx ∧ dy) = − (u,x +v,y )
δ (φdx ∧ dy) = − ∗ d ∗ (φdx ∧ dy) = − ∗ d (φ) = − ∗ (φ,x dx + φ,y dy) == − (φ,x dy − φ,y dx) = −φ,x dy + φ,y dx
11
Y para los Laplacianos obtenemos:
∆f = (dδ + δd) f = d (0) + δ (f,x dx + f,y dy) = − (f,xx +f,yy )∆(udx + vdy) = d [− (u,x +v,y )] + δ [(v,x−u,y ) dx ∧ dy]
= − [u,xx dx + v,xy dx + u,yx dy + v,yy dy]− ∗ [(v,xx−u,yx )dx + (v,xy −u,yy )dy]= − [(u,xx +v,xy )dx + (v,yy +u,xy )dy]− [(v,xx−u,yx )dy − (v,xy −u,yy )dx]= − [(u,xx +u,yy )dx + (v,xx +v,yy )dy]
Estos ultimos ejemplos justifican el nombre del operador ∆ como Laplaciano.Para el caso de M = <3 las bases respectivamente estan dadas como ∧0 ⊃
1, ∧1 ⊃ dx, dy, dz , para ∧2 ⊃ dx ∧ dy, dx ∧ dz, dy ∧ dz y para ∧3 ⊃dx ∧ dy ∧ dz. Igualmente podemos obtener la aplicacion ∗ , esta nos da:
∗1 = dx ∧ dy ∧ dz; ∗dx = dy ∧ dz; ∗dy = −dx ∧ dz; ∗dz = dx ∧ dy;∗dx ∧ dy = dz; ∗dy ∧ dz = dx; ∗dz ∧ dx = dy; ∗dx ∧ dy ∧ dz = 1.
Ejercicio 34 Muestre que ∗d (v1dx + v2dy + v3dz) = −∇× v−→·d−→x , donde v−→ =(v1, v2, v3) y d−→x = (dx, dy, dz) es el radio vector.
Ejercicio 35 Muestre que δ (v1dx + v2dy + v3dz) = −∇· v−→, donde v−→ = (v1, v2, v3)
Ejercicio 36 Muestre que ∆ (v1dx + v2dy + v3dz) = − ∂2 v−→∂xk∂xk · d−→x = −∇2 v−→ ·
d−→x donde v−→ = (v1, v2, v3).
El espacio tiempo se modela generalmente como una variedad 4-dimensional.Los ejemplos en fısica son hechos en esta dimension, aunque hay teorıas mod-ernas de unificacion que utilizan dimensiones mas altas. Por eso para trabajaren el espacio tiempo debemos trabajar en el espacio M = <4, donde las basesrespectivamente estan dadas por
para ∧0 ⊃ 1para ∧1 ⊃ dx, dy, dz, dt ,
para ∧2 ⊃ dx ∧ dy, dx ∧ dz, dy ∧ dz, dx ∧ dt, dy ∧ dt, dz ∧ dtpara ∧3 ⊃ dx ∧ dy ∧ dz, dx ∧ dy ∧ dt, dx ∧ dz ∧ dt, dy ∧ dz ∧ dtpara ∧4 ⊃ dx ∧ dy ∧ dz ∧ dt
Igualmente podemos obtener la aplicacion ∗ , esta nos da:
∗1 = dx ∧ dy ∧ dz ∧ dt
∗dx = dy ∧ dz ∧ dt ∗ dy = −dx ∧ dz ∧ dt ∗ dz = −dx ∧ dy ∧ dt ∗ dt = dx ∧ dy ∧ dz
∗dx ∧ dy = dz ∧ dt ∗ dy ∧ dz = dx ∧ dt dz ∧ dx = dy ∧ dt
∗dx ∧ dt = dy ∧ dz ∗ dy ∧ dt = dx ∧ dz ∗ dz ∧ dt = dx ∧ dy
∗dy ∧ dz ∧ dt = dx ∗ dx ∧ dz ∧ dt = −dy ∗ dx ∧ dy ∧ dt = dz ∗ dx ∧ dy ∧ dz = dt
∗dx ∧ dy ∧ dz ∧ dt = 1
12
Ejemplo 37 Sea F = Fidxi ∧ dt− εijkHidxj ∧ dxk = Fxdx ∧ dt + Fydy ∧ dt +Fzdz ∧ dt − Hxdy ∧ dz + Hydx ∧ dz − Hzdx ∧ dy, donde εijk es el tensor deLevi-Civita y Hi = Hi para i = 1, 2, 3. Podemos calcular su diferencial
dF = [(Fz,y − Fy,z) dy ∧ dz + (Fz,x − Fx,z) dx ∧ dz + (Fy,x − Fx,y) dx ∧ dy] ∧ dt
− (Hx,x + Hy,y + Hz,z) dx ∧ dy ∧ dz
− [Hx,tdy ∧ dz −Hy,tdx ∧ dz + Hz,tdx ∧ dy] ∧ dt
Usando las expresiones anteriores, podemos calcular ∗dF
∗dF = [(Fz,y − Fy,z) dx− (Fz,x − Fx,z) dy + (Fy,x − Fx,y) dz]− (Hx,x + Hy,y + Hz,z) dt
− [Hx,tdx + Hy,tdy + Hz,tdz]
Si ahora definimos los vectores F−→ = (Fx, Fy, Fz) y H−→ = (Hx,Hy,Hz) obtenemos∗dF en representacion vectorial como
∗dF = −∇× F−→ · d−→x −∇ · H−→dt− ∂
∂tH−→ · d−→x
la cual es una expresion vectorial muy interesante que usaremos mas adelante.
En funcion de la accion de los operadores sobre las p-formas, podemos clasi-ficar las p-formas de la siguiente forma.
Definicion 38 Una p-forma wp ∈ ∧pse dice:· Armonica si ∆wp = 0· Cerrada si dwp = 0· Cocerrada si δwp = 0· Exacta si wp = dαp−1 αp−1 ∈ ∧p−1
· Coexacta si wp = δαp+1 αp+1 ∈ ∧p+1
La integracion de p-formas tiene dos teoremas que hacen de las p-formasobjetos facil de manipular. Vamos a presentar dos teoremas sin demostracion,el teorema de Hodge, que dice que cualquier p-forma es la superposicion de unap-forma exacta, una mas coexata o otra amonica. Ası es posible escribir lasp-formas en terminos de estas p-formas con caracteristicas muy especiales. Esteteorema es de gran ayuda como veremos. Y el segundo teorema es el teoremade Stokes, que como veremos en los ejemplos, es la generalizacion de una grancantidad de teoremas matematicos sobre integracion puestos todos en el mismocontexto. Empecemos por el teorema de Hodge.
Teorema 39 (Hodge) Sea Mn variedad compacta y sin frontera y ∧p el con-junto de p-formas sobre Mn. Entonces
wp = dαp−1 + δβp+1 + γp
para toda wp ∈ ∧p, con αp−1 ∈ ∧p−1, βp+1 ∈ ∧p+1 y γp ∈ ∧p armonica.
13
Demostracion. Sin Dem.Y el teorema de Stokes.
Teorema 40 (Stokes) Sea Mn variedad con frontera no vacıa. Sea wp−1 ∈∧p−1 una p− 1-forma sobre Mn. Entonces
∫
M
dwp−1 =∫
∂M
wp−1
Demostracion. Sin Dem.Para ver este teorema, es mejor ver la manera de trabajar con el. Para
familiarizarnos con el teorema de Stokes vamos a dar algunos ejemplos en variosespacios.
Ejemplo 41 En <, n = 1, solo hay dos espacio de formas, las 0- y las 1-formas,es decir ∧0 y ∧1. Sea f ∈ ∧0 y df ∈ ∧1. Entonces se tiene
∫
M
df =∫
f
∂M
.
Sea M = (a, b), entonces el teorema de Stokes es simplemente
∫
a
b
df = f |ba = f (b)− f (a)
que es el teorema fundamental del calculo.
Ejemplo 42 En <2 hay tres espacios de formas, las 0-, 1-, y 2-formas, esdecir, ∧0,∧1 y ∧2. Sea w = w1dx + w2dy una 1-forma en <2. Entonces dw =w1,ydy ∧ dx + w2,xdx ∧ dy. La aplicacion del teorema de Stokes en este espacionos da ∫
M
dw =∫
∂M
w.
Sea M una superficie, su frontera es una curva∫
M
(w2,x − w1,y) dx ∧ dy =∮
`
(w1dx + w2dy) ,
Que es el teorema de Stokes en el plano, ver figura 2
Ejemplo 43 En <3 podemos definir 0-, 1-, 2- y 3-formas. Sea w una 1-formaen <3, su diferencial esta dada por dw = d (w1dx + w2dy + w3dz). Vamos a
14
Figure 2: Region de integracion. M es una superficie y l es su contorno.
escribir esta diferencial explicitamente, veamos
dw = w1,ydy ∧ dx + w1,zdz ∧ dx
+w2,xdx ∧ dy + w2,zdz ∧ dy
+w3,xdx ∧ dy + w3,ydy ∧ dz
= (w2,x − w1,y) dx ∧ dy
+ (w3,x − w1,z) dx ∧ dz
+ (w3,y − w2,z) dy ∧ dz
=12
(wi,j − wj,i) dxi ∧ dxj
=12εijkBkdxi ∧ dxj
Si denotamos w−→ = (w1, w2, w3), obtenemos que B−→ =rot w−→, siendo B−→ =(B1, B2, B3) .
La aplicacion del teorema de Stokes∫M
dw =∫
∂M
w implica que
∫
M
rot w−→ · dS−→ =∫
M
B−→ · dS−→ =∫
∂M
w−→ · d x−→ =∮
w−→ · d x−→
donde hemos usado el vector dS−→ = (dy ∧ dz,−dx ∧ dz, dx ∧ dy). Esta es laformula del flujo magnetico sobre una superficie o ley de Gauss.
Vamos a dar algunos ejemplos utilizando parte del material desarrolladohasta ahora.
15
Ejemplo 44 Vamos a iniciar de nuevo con el tensor electromagnetico del ejem-plo 8. Sea de nuevo el tensor A = Aµdxµ + dΛ. Tomemos su diferencialF = dA = Aµ,νdxν ∧ dxµ, ya que ddΛ = 0. Debido a la antisimetria deloperador ∧, el nuevo tensor F es antisimetrico, es el tensor de Faraday. Encomponentes este tensor se escribe como F = Fµνdxν ∧ dxµ, donde las compo-nentes Fµν estan dadas por
Fµν =12
0 Ax,t −At,x Ay,t −At,y Az,t −At,z
− (Ax,t −At,x) 0 Ay,x −Ax,y Az,x −Ax,z
− (Ay,t −At,y) − (Ay,x −Ax,y) 0 Az,y −Ay,z
− (Az,t −At,z) − (Az,x −Ax,z) − (Az,y −Ay,z) 0
Por lo general tambien se escriben las componentes del tensor de Faradayen terminos de las componentes del campo electrico y magnetico como
Fµν =12
0 −Ex −Ey −Ez
Ex 0 Bz −By
Ey −Bz 0 Bx
Ez By −Bx 0
Ası que F = −Eidxi∧dt+εijkBidxj∧dxk = − (Exdx ∧ dt + Eydy ∧ dt + Ezdz ∧ dt)+Bxdy∧dz−Bydx∧dz+Bzdx∧dy. Comparando las componentes de las matrices,se puede ver que
−E−→ =∂ A−→∂t
+∇Φ
B−→ = ∇× A−→donde claramente se ha definido el vector A−→ = (Ax, Ay, Az), y dos vectores mas,el vector electrico E−→ = (Ex, Ey, Ez) y el vector magnetico B−→ = (Bx, By, Bz), de
tal forma que las componentes del tensor electromagnetico son Aµ =(−Φ, A−→
).
Como se sigue que dF = ddA = 0, esto implica que ∗dF = 0. Usando elresultado del ejercicio 37 se tiene que
∗dF = ∇× E−→ · d−→x +∇ · B−→dt +∂
∂tB−→ · d−→x = 0
Esta identidad implica que
∇× E−→+∂
∂tB−→ = 0
∇ · B−→ = 0
las cuales son la ecuacion de Faraday y la ecuacion de Gauss para el campomagnetico, respectivamente. Analogamente, se puede obtener una expresion paraδF . Para esto, vamos a obtener primero ∗F
∗F = Bxdx∧dt+Bydy∧dt+Bzdz∧dt− (Exdy ∧ dz − Eydx ∧ dz + Ezdx ∧ dy)
16
Si ahora usamos el resultado del ejercicio 37 obtenemos que
∗d ∗ F = −∇× B−→ · d−→x +∇ · E−→dt +∂
∂tE−→ · d−→x
de donde claramente se ven la ley de Ampere y la ley de Gauss para el campoelectrico, es decir
∇× B−→− ∂
∂tE−→ = 4π j−→
∇ · E−→ = 4πρ
de donde concluimos que las ecuaciones de Maxwell en terminos de formas son
dF = 0δF = −4πJ (2)
donde J = ρdt + j−→ · d−→x
Ejercicio 45 Muestre que la norma de Lorentz se puede representar como δA =0
Ejemplo 46 (Monopolo de Dirac) Ahora vamos a ver un ejemplo ya no enun espacio plano, sino en una variedad no trivial, por ejemplo sobre la pelota.Dada la generalidad de las formas, podemo incluso resolver las ecuaciones deMaxwell 2 sobre la pelota. Sea M = S2, y ya sabemos que unas bases de T ∗S2
estan dadas por
dx1± =
dx
1∓ z+
xdz
(1∓ z)2
dx2± =
dy
1∓ z+
ydz
(1∓ z)2
Cualquier 1-forma en T ∗S2 se escribe entonces como A± = A1±dx1±+A2±dx2
± ysu diferencial se obtiene como dA± = (A2±,2−A1±,1 ) dx1
±∧dx2±. Una expresion
equivalente para este resultado es que F = ddA = 0. Analogamente, la apli-cacion del operador de Hodge a la 1-forma A± nos da ∗A± = A1±dx2
±−A2±dx1±.
De aqui podemos obtener la diferencial de esta ultima forma, obtenemos d∗A± =(A1±,1 +A2±,2 ) dx1
± ∧ dx2±. Para obtener la segunda ecuacion de Maxwell, va-
mos a obtener la aplicacion del operador δ se obtiene entonces
dA± = (A1±,2−A2±,1 ) dx1± ∧ dx2
±δA± = A1±,1 +A2±,2 .
Si ahora usamos la Norma de Lorentz δA = 0, podemos reducir las ecua-ciones electromagneticas sobre la esfera sustancialmente. Vamos a escribir la
17
segunda ecuacion de Maxwell. Se tiene que
δF = − ∗ d ∗ F = − ∗ d (A1±,2−A2±,1 )= − ∗ (
A1±,21 dx1± + A1±,22 dx2
± −A2±,11 dx1± −A2±,12 dx2
±)
= − ∗ [− (A2±,22 +A2±,11 ) dx1± + (A1±,22 +A1±,11 ) dx2
±]
= (A1±,11 +A1±,22 ) dx1± + (A2±,11 +A2±,22 ) dx2
±
donde ya hemos usado la norma de Lorentz para simplificar las ecuaciones. Unasolucion de las ecuaciones de Maxwell en el vacio δF = 0 sobre la esfera es:
A1± = A0x2±, A2± = −A0x
1±
donde A0 es una constante. Observe que x1± = r1 σ±(p) = x/(1 ∓ z) and
x2± = r2 σ±(p) = y/(1∓ z). La solucion entoces es
A± = A0
(x2±dx1
± − x1±dx2
±)
=A0
(1∓ z)2(ydx− xdy)∓ A0
(1∓ z)3(xy − yx) dz
Si ahora cambiamos las coordenadas a coordenadas esfericas ??, las cuales sonmas convenientes para analizar este caso, se obtiene:
A± =A0
(1∓ z)2(ydx− xdy) = A0
(∓1− cos(θ))(±1− cos(θ))
dϕ
A+ = −A01− cos(θ)1 + cos(θ)
dϕ
A− = −A01 + cos(θ)1− cos(θ)
dϕ
la cual es una solucion a las ecuaciones de Maxwell en el vacio sobre la pelota.
Ejemplo 47 Vamos a tomar alguna solucion con fuentes. Supongamos quetenemos un tensor de corrientes dado por
J =x1
(x12 + x22 + 1)3dx1 +
x2
(x12 + x22 + 1)3dx2
(vamos a quitar en este ejemplo los subindices ± por comodidad). Igualando laecualcion δF = −4πJ se llega a un sistema de ecuaciones
A1,11 +A1,22 =−4πx1
(x12 + x22 + 1)3
A2,11 +A2,22 =−4πx2
(x12 + x22 + 1)3
Este sistema tiene una solucion dada por
A1 =πx1
2(x12 + x22 + 1)
A2 =πx2
2(x12 + x22 + 1)
18
En terminos de las coordenadas de <3, la solucion (regresando a la notacioncon ±) es
A± =A0
(1∓ z)(ydx− xdy) = A0 (∓1− cos(θ)) dϕ
A+ = A0 (−1− cos(θ)) dϕ
A− = A0 (1− cos(θ)) dϕ
Es decir A+ = A− − 2A0dϕ. Por lo tanto A± es solamente un campo denorma. A± se llama el monopolo de Dirac
En la siguiente seccion vamos a introducir otros dos operadores diferenciales,uno es llamado derivada de Lie y el otro la derivada covariante. Ambos tienensu esfera de interes y se utilizan para diferentes objetivos. La derivada de Lie esmuy importante para encontrar simetrias en alguna variedad. Con ella es posibleencontrar los vectores de Killing, que son asociados a simetrias del espacio. Conla derivada covariante se construye el tensor de curvatura, que es un tensor conel que podemos medir esta en todo punto del espacio. Para poder introducirla derivada de Lie es necesario introducir algunos conceptos previos. Para estonecesitamos primero algunas definiciones.
Definicion 48 Sea Mn variedad, U ⊂ Mn y (−ε, ε) ⊂ <. Un grupo uni-parametrico de transformacion es una funcion suave ϕ : (−ε, ε)×U → Mn
tal que1) ϕ (0, x) = x2) ϕ (t + s, x) = ϕ (t, ϕ (s, x)) para toda t, s ∈ <, x ∈ Mn
Comentario 49 Observe que ϕ (t + s, x) = ϕ (s + t, x) = ϕ (s, ϕ (t, x))
El nombre de grupo es porque con esta funcion efectivamente se puede formarun grupo, de un solo parametro, esto se hace en la siguiente proposicion.
Proposicion 50 Sea ϕ : <×Mn → Mn un grupo uniparametrico de transfor-maciones y Ψ = ϕt : Mn → Mn, x → ϕt (x) = ϕ (t, x). Entonces (Ψ, ) es unsubgrupo del grupo de difeomorfismos.
Demostracion. Se tiene que ϕt ϕs (x) = ϕt+s (x) = ϕ (t + s, x) =ϕ (t, ϕ (s, x)) = ϕt (ϕs (x)). Entonces ϕ es cerrado. ϕt+s = ϕs+t implica que Ψes abeliano, ϕ0 es la identidad y ϕ−t = ϕ−1
t , ya que ϕt ϕ−t = ϕ0
Como el grupo uniparametrico de transformaciones es una funcion de losreales a la variedad, se puede construir una curva. Entonces con la curva sepuede contruir la tangente a esta curva que a su vez define un vector. Entoncese dice que esta curva es la curva integral del vector tangente a la curva. Vamosa hacer esto formalmente.
Definicion 51 Sea Mn variedad. Una curva integral de X ∈TMn es uncamino suave γ : (a, b) → Mn tal que
·γ (s) = Xγ(s), s ∈ (a, b) ver figura 3.
19
Figure 3: La curva integral del vector X, es el camino suave representado en lafigura.
Vamos a aclarar esta definicion un poco. Sea c = (U,ψ, v) una carta yX ∈ TU . Entonces la funcion γ : (a, b) → U es una curva que cumple con
dγ : Ts< → Tγ(s)Mn tal que explicitamente se cumple que dγ
(ddt
∣∣s
)=
Xγ(s) :=·γ(s) = d
dt γ∗. Esto es, para una funcion cualquiera de la variedad a losreales f : Mn → < se tiene que
·γ (f) = dγ
(ddt
∣∣s
)(f) = d
dt
∣∣s(f γ) = Xγ(s) (f).
Vamos a tomar una funcion muy particular, sea f = xi, entonces se tiene que·γ
(xi
)= dγ
(ddt
∣∣s
) (xi
)= d
dt
∣∣s
(xi γ
)= d
dt
(xi γ
)(s) = Xj
γ(s)∂
∂xj
∣∣γ(s)
(xi
)=
Xγ(s)
(xi
)= X
(xj
)(γ (s)).
Ası es que se cumple ddt
(xi γ
)= X
(xj
) γ. Esto quiere decir que, dadoun vector X en la variedad, para encontrar una curva integral, hay que resolverel sistema de ecuaciones diferenciales
d
dt
(xi γ
)= X
(xi
) γ (3)
.
Ejemplo 52 Vamos a encontra la curva integral del vector
X = x2 ∂
∂x1− x1 ∂
∂x2
Entonces, de la ecuacion (3), las ecuaciones a resolver son (recuerden que r1 =x1 γ, r2 = x2 γ)
dr1
dt= X(x1) γ = r2
dr2
dt= X(x2) γ = −r1
Una solucion a este sistema es r1 = r sin(t), r2 = r cos(t). Es facil ver que lacurva integral es un cırculo de radio r, ya que r12 + r22 = r2
20
Ejemplo 53 Veamos ahora la curva integral del vector del ejemplo ??
X = (cos(θ)− 1)(
cos(ϕ)∂
∂θ+
sin(ϕ)sin(θ)
∂
∂ϕ
)
Entonces, de la ecuacion (3), las ecuaciones a resolver son
dr1
dt= X(θ) γ =
(cos(r1)− 1
)cos(r2)
dr2
dt= X(ϕ) γ =
(cos(r1)− 1
) sin(r2)sin(r1)
Si dividimos la primera ecuacion entre la segunda y separamos las variables,podemos integrar este sistema de ecuaciones. El resultado es que (csc(r1) −cot(r1)) = c sin(r2). Una parametrizacion de esta curva esta dada por r1 =λ, r2 = 1/c arcsin(csc(λ)− cot(λ)). La curva es graficada en la figura 4
Ejercicio 54 Encuetre la curva integral de los vectores
1) X =∂
∂x1+ m
∂
∂x2sobre <2
2) X = sin(θ)∂
∂ϕsobre S2
Otra propiedad importente del grupo unimarametrico de transformacioneses que induce dos importantes funciones. Con ellas vamos a poder contruir laderivada de Lie. Vamos a definir estas funciones.
Definicion 55 Sea ϕ : < × Mn → Mn un grupo uniparametrico de transfor-maciones sobre Mn variedad. ϕ induce dos funciones
ϕt = Mn → Mn x → ϕt (x) = ϕ (t, x)ϕx = < → Mn t → ϕx (t) = ϕ (t, x)Entonces ϕt es un subgrupo abeliano del grupo de difeomorfismos y ϕx
induce el vector X =·ϕx.
Observe que el conjunto ϕx|ϕx(t) = ϕ (t, x) cumple que ϕx ϕy 6= ϕy ϕx
en general, por lo que d (ϕx ϕy)(
ddt
∣∣s
)= dϕx dϕy
(ddt
∣∣s
)= X Y 6= Y X =
d (ϕy ϕx)(
ddt
∣∣s
). Esto es, la funcion ϕx induce un producto que en general es
un producto no conmutativo entre los vectores de la variedad.
4 Derivada de Lie y Derivada Covariante
Debido a la rica estructura que tienen los tensores, es posible definir variosoperadores diferenciales. En esta seccion vamos a introducir dos operadoresdiferenciales muy importantes y utilizados en fısica, son operadores que gener-alizan la derivada normal. La derivada de Lie es conveniente para espacios que
21
Figure 4: Curva integral del vector del ejemplo 53. Como este vector corre-sponde a uno de los vectores base de la pelota, esta curva esta sobre la pelota yhay que imaginarsela dando vuelta alrededor de ella y con los extremos que sejuntan.
tinen isometrias o simetrias especiales. Con la derivada de Lie, como veremos,es posible encontrar estas simetrias. La derivada covariante es un operador queconvierte a un tensor en otro tensor, por eso su importancia como operadordiferencial. A la derivada de Lie la vamos a introducir sin demostraciones, peropara la derivada covariante daremos las demostraciones mas importantes. Ahoraestamos listos para definir la derivada de Lie.
Definicion 56 Sea Mn variedad y T ∈ T rs tensor sobre Mn. Sea ϕ en grupo
uniparametrico de transformaciones sobre Mn, X =·ϕx. La derivada de Lie
de T a lo largo de X se define comoLXT |p= lim
t→0
1t (T |p −ϕt∗T |p)
donde ϕx y ϕt son las funciones inducidas por ϕ.
22
La derivada de Lie tiene varias propiedades, que aquı vamos a poner sindemostracion, y que podemos resumir en la siguiente proposicion.
Proposicion 57 Sea LX derivada de Lie del vector X, entonces se cumple:1) LX preserva el tipo de tensor, es decir mapea LX : T r
s → T rs
2) LX es lineal y preserva la contraccion3) Si S y T son tensores arbitarios, se cumple LX (S ⊗ T ) = (LXS)⊗ T +
S ⊗ (LXT )4) LXf = X (f) para f : Mn → <5) LXY = −LY X = [X,Y ] para toda X, Y ∈ TMn
6) d (LXw) = LX(dw)
Demostracion. Sin Dem.Finalmente, como dijimos, vamos a introducir otro operador diferencial, la
derivada covariante. Para esto necesitamos introducir una nueva estructura lla-mada la conexion, y que vamos a denotar por ∇. La idea de la conexon es daruna forma de conectar un vector que es trasladado paralelamente a traves de lavariedad. Ası, si el vector base ea es traslado paralelamente a lo largo de la curvaγ, que tiene como vector tangente al vector eb, el vector final trasladado parale-lamente sera ∇eb
ea, ver figura 5. Vamos a desarrolar esta idea con cuidado.Formalmente la definicion de conexion es:
Definicion 58 Una conexion ∇ para algun p ∈ Mn, variedad, es un mapeoque le asocia a cada tensor del tipo T ∈ T r
s un tensor del tipo T rs+1 ∇ : T r
s →T r
s+1 tal que1) ∇ es una derivacion en el algebra tensorial, i.e. ∇ (αT + βT ′) = α∇T +
β∇T ′ y ∇ (T ⊗ S) = ∇S ⊗ T + S ⊗∇T2) ∇f = df para toda f : Mn → <3) ∇ = ea∇eb
donde eaa=1,··· ,n y ebb=1,··· ,n son bases duales de T ∗Mn
y TMn respectivamente.4) ∇X es lineal, i.e. ∇αX+βY = α∇X + β∇Y .
No hay una manera unica de definir la conexion en una variedad. La mascomun es la conexion que hace que la derivada covariante haga cero al tensormetrico, la cual introduciremos mas adelante. Pero en general, la forma dedefinir la conexion es usando la siguiente regla.
Sea eaa=1,...,n una base de TMn no necesariamente coordinada, es decirea = ei
a∂
∂xi . Entonces
∇ebea = Γc
abec ∈ TMn
donde los coeficientes Γcab son funciones suaves, ver figura 5, que se obtienen del
producto Γcab = 〈ec,∇eb
ea〉, dondeeb
b=1,··· ,n es la base dual a eaa=1,··· ,n,
es decir eb = ebjdxj y se cumple que
⟨eb, ea
⟩= eb
jeja
⟨dxj ,
∂
∂xj
⟩= δb
a. (4)
23
De hecho, definir la conexion es equivalente a dar los valores de las funcionesΓc
ab sobre la variedad. Para una base coordenada, los coeficientes de la conexionson
∇ ∂
∂xj
∂
∂xi= Γk
ij
∂
∂xk
nosotros vamos a tomar siempre conexiones simetricas, es decir, para las basescoordenadas se cumple que
Γkij = Γk
ji
Figure 5: El desplazamiento paralelo de un vector. Este desplazamiento en unavariedad define los coeficientes de la derivada covariante entre bases dadas.
Ejercicio 59 Estudiar como se comportan los coeficientes Γcab bajo un cambio
de base (de coordenadas).
Conociendo la conexion en la variedad, se puede conocer la derivada covari-ante de un vector. La forma de hacerlos se ve en la siguiente proposicion.
Proposicion 60 Las componentes de la derivada covariante del vector Y a lolargo del vector X, se ven como
∇XY =(Y a|bX
b)
ea
donde eaa=1,··· ,n es una base de TMn y Y a|b = eb(Y a) + Γa
cbXc
Demostracion. Tomemos X = Xbeb Y = Y aea, entonces
∇ebY = ∇eb
(Y aea) = (∇ebY a) ea + Y a (∇eb
ea)= eb (Y a) ea + Γc
abecYa = (eb (Y a) + Γa
cbYc) ea = Y a
|bea
por la linearidad del operador ∇ea se obtiene el resultado deseado.
24
Notacion 61 En el caso que la base sea una base coordenada dxi, se acos-tumbra denotar a la derivada covariante no por el simbolo |, sino por ; entonces:
∇ ∂
∂xjY =
(Y i,j +Γi
kjYk) ∂
∂xi= Y i
;j
∂
∂xi
Por supuesto ∇Y = dxjY i;j
∂∂xi no depende de las bases.
De hecho, la definicion de la conexion o del transporte paralelo es equivalente.Si se define una, se puede definir la otra. En este caso hemos definido a laconexion, entonces el trasporte paralelo se define como:
Definicion 62 Sea γ un camino en la variedad M , y sea X = γ el vectortangente a lo largo de γ. Se dice que el vector Y ha sido trasladado paralelamentea traves de X, si
∇XY = 0
Supongamos por facilidad que X = Xj ∂∂xj , y que Y = Y i ∂
∂xi . Si desarrol-lamos la formula de la definicion 62, se tiene
0 = ∇XY = ∇Xj ∂
∂xjY = Xj∇ ∂
∂xjY =
(XjY i,j +Γi
kjXjY k
) ∂
∂xi
que puede escribirse de la forma equivalente
(X(Y i) + Γi
kjXjY k
) γ =d
(Y i γ
)
dt+ Γi
kjXjY k γ = 0
donde hemos usado la formula de la cuarva integral de la ecuacion (3) de X enla igualdad.
Ejemplo 63 Vamos a discutir un ejemplo simple, para iniciar, vamos a suponerque la conexion es cero. Supongamos que tenemos el vector Y = Y 1 ∂
∂x1 +Y 2 ∂∂x2
el cual queremos desplazar paralelamente a lo largo de una curva. Ahora veamosla ecuacion del desplazamiento paralelo, se tiene
dY 1 γ
dt= 0,
dY 2 γ
dt= 0
cuya solucion es Y 1 = Y 10 , Y 2 = Y 2
0 , donde ya hemos puesto las condicionesiniciales a la solucion, es decir, el valor del vector Y |t=t0 en el punto dondese inicia el desplazamiento. Este vector sera siempre Y |t=t0 , es decir, si laconexion es cero, un vector se desplaza paralelamente sin cambiar.
Ejemplo 64 Ahora vamos a estudiar un ejemplo donde la conexion no es cero.Sea la variedad M 2-dimensional, con coordenadas θ, ϕ y con la conexion
Γθθθ =
sin(θ)cos(θ)− 1
Γθϕϕ = sin(θ) Γϕ
θϕ = Γϕϕθ = − 1
sin(θ)
y vamos a transportar paralelamente un vector sobre esta variedad a lo largo delvector X dado por
25
X = sin(θ)∂
∂ϕ
cuya curva integral es un desplazamiento solo en la direccion ϕ y esta dadapor la parametrizacion θ = θ0 constante y ϕ = θ0t. Entonces encontremos eldesplazamiento paralelo de un vector en M a lo largo de este vector, obtenemos
0 =d
(Y θ γ
)
dt+ Γθ
θθXθY θ γ + Γθ
ϕϕXϕY ϕ γ
=dy1
dt+ sin2(θ0)y2
0 =d (Y ϕ γ)
dt+ Γϕ
θϕXθY ϕ γ + ΓϕϕθX
ϕY θ γ
=dy2
dt− y1
Para obtener el desplazamiento paralelo de Y , hay que resolver este sistema deecuaciones con las condiciones iniciales correspondientes al punto inicial. Lasolucion del sistema esta dada por
y1 (t) = C1 sin (sin (θ0) t) + C2 cos (sin (θ0) t)
y2 (t) =C2
sin (θ0)sin (sin (θ0) t)− C1
sin (θ0)cos (sin (θ0) t)
Dado el valor inicial de y1 y y2, se fijan las constantes y se puede encontrar elvector desplazado paralelamente en otro punto, para algun valor de t.
De la misma forma podemos calcular la derivada covariante de una 1-forma,dado que ya conocemos la conexion en la variedad. Esto se ve en la proposicionsiguiente.
Proposicion 65 Sea ∇ conexion en Mn. Si ∇ebea = Γc
abec entonces ∇ebea =
−Γacbe
c.
Demostracion. Sea Y = Y aea ∈ TMn y w = wcec ∈ T ∗Mn. Usemos el
hecho que ∇ y por lo tanto ∇ebson derivaciones, entonces
∇eb(wcY
c) = wc|bY c + wcYc|b Y como wcY
c es una funcion, se tiene:= eb (wc)Y c + wceb (Y c) Por otro lado, se sigue que:= (eb (wc)− Γa
cbwa)Y c + wa (eb (Y a) + ΓacbY
c)
Por lo que entonces ∇ebw = wc|bec = (eb (wc)− Γa
cbwa) ec
Ejercicio 66 Demuestre que las componentes de la derivada covariante ∇ebT ,
aplicada a un tensor T = T b1···bra1···as
eb1 ⊗ · · · ⊗ ebr ⊗ ea1 ⊗ · · · ⊗ eas estan dadas por
T b1···br
a1···as|b = eb(T b1···bra1···as
) +r∑
i=1
Γbi
cb T b1···c···bra1···as
−s∑
j=1
Γcajb T b1···br
a1···c···as
26
Existe una relacion entre todas los operadores diferenciales que hemos definido,la diferencial de p-formas, la derivada de Lie y la derivada covariante. Entre ladiferencial de p-formas y la derivada covariante la relacion es que la diferencial sepuede facilmente generalizar a espacios con conexion ∇. La diferencial exterior,definicion 18, en espacios con conexion es dw = ∇ ∂
∂xj
(wi1,··· ,ip
)∧dxi1∧· · ·∧dxip ,
que, por ejemplo, para una 1-forma w = wi dxi se obtiene dw = ∇ ∂
∂xj(wi)dxi =
(wi,j − Γkijwk)dxi ∧ dxj . Todas las proposiciones y teoremas que se aplican a la
derivada exterior se siguen igualmente con la definicion extendida. Por lo gen-eral, los coeficientes de conexon en un sistema coordenado dxi son simetricos,es decir Γk
ij = Γkji, en tal caso la definicion anterior es exactamente la definicion
18.La relacion entre la derivada de Lie y la derivada covariante, la cual daremos
sin demostracion, se sigue de la siguiente proposicon.
Proposicion 67 Sea T = T b1···bra1···as
eb1⊗· · ·⊗ebr⊗ea1⊗· · ·⊗eas tensor. Entonces
la derivada de Lie a lo largo del vector X = Xc ec de este tensor esta dada por
LXT b1···bra1···as
= XcT b1···br
a1···as|c −r∑
n=1
T b1···c···bra1···as
Xbn
|c +s∑
m=1
T b1···bra1···c···as
Xc|am
(5)
Demostracion. Sin Dem.Vamos a ver algunos ejemplos de como usar la formula (5).
Ejemplo 68 Vamos a encontrar la derivada de Lie de un vector Y = Y beb alo largo del vector X = Xcec. Usando la formula (5) se tiene
LXY b = XcY b|c − Y cXb
|c = [X,Y ]b −DbcdX
cY d
donde Dbcd = Γb
dc − Γbcd. Si las componentes de la conexion son simetricas
Dbcd = 0, la ultima igualdad fue dada en la proposcion 57 sobre las propiedades
de la derivada de Lie. Vamos a encontrar ahora la derivada de Lie de una unoforma w = waea a lo largo del mismo vector X = Xcec. Usando la formula (5)se tiene
LXwa = Xcwa|c + wcXc|a
Si ej = ∂∂xj , ei = dxi son bases coordenadas, entoces solo hay que
cambiar el simbolo | por ; y Dijk = 0 generalmente.
Ejemplo 69 Ahora vamos a buscar la derivada de Lie a lo largo del vectorX = Xcec de un tensor T = Tabe
a ⊗ eb. De nuevo, usando la formula (5) setiene
LXTab = XcTab|c + TcbXc|a + TacX
c|b
Este resultado lo usaremos mas adelante.
El interes de la derivada de Lie radica en lo siguiente. Supongamos queϕ es una isometria (ver capitulo 9 definicion ??). Es decir, esta funcion deja
27
invariate la metrica ρ ϕ(X,Y ) = ρ(ϕ(X), ϕ(Y )) = ρ(X, Y ). La presenciade isometrias es comun en problemas reales, por ejemplo, si un prblema tienesimetria axial, la metrica del problema permanece inalterada alrededor del ejez, o si el prblema a tratar es periodico, la metrica (Lorentziana) del problematiene una isometria en el tiempo. Ahora bien, si ϕ es una isometria, la derivadade Lie de la metrica a lo largo de su vector tangente ϕ = X es cero, lo cual seve de la definicion 56. Es decir, las simetrias de un problema conducen siemprea derivadas de Lie de la metrica a lo largo del vector de la isometria igual acero. A los vectores tangente generados por una isometria se les llama vectoresde Killing. Su definicion formal es la siguiente.
Definicion 70 Sea ϕ un grupo uniparametrico de trasformaciones que a su vezes una isomentria ϕ∗t g = g. Entonces el vector generado por ϕx = X se llamavector de Killing
La manera de encontrar los vectores de Killing de una variedad M , es uti-lizando el ejmplo 69. Para esto, supongamos que se tiene una metrica como ladefinida en el ejemplo 10. Entonces se sigue que
Proposicion 71 Un vector de Killing X = Xi ∂∂xi cumple con la ecuacion difer-
encialLXgij = Xkgij;k + gkjX
k;i + gikXk
;j = 0
donde la mıetrica esta dada como g = gijdxi ⊗ dxj.
Demostracion. Por sustitucion directa en el ejercicio 69
Comentario 72 Mas adelante veremos que una metrica es compatible con laconexion si su derivada covariante es cero, es decir, ∇g = 0. Para estasmetricas, las que mas nos interesan a nosotros, la ecuacion anterior se reducea
Xj;i + Xi;j = 0
donde hemos definido Xk;i = gkjXk;i. A esta ecuacion se le llama la ecuacion
de Killing
Existen varias propiedades de los tensores cuando se les aplican los oper-adores diferenciales que hemos visto. En lo que sigue, vamos a deducir soloalgunas de las propiedades mas importantes. Vamos a iniciar con la siguienteproposicion.
Proposicion 73 Sean ea = eai dxi 1-formas base del espacio cotangente T ∗M
y ∇ la derivada covariante en M , tal que Γabc es su conexion asociada. Entonces
se sigue quedea = Γa
bceb ∧ ec
28
Demostracion. Sea eb = ekb
∂∂xk la base dual a ea = ea
i dxi en TM . De ladefinicion de la conexion Γa
bc, se sigue que
Γabc = 〈ea,∇ceb〉 = 〈ea
i dxi, ekb;je
jc
∂
∂xk〉 = ea
kejce
kb;j
De una forma analoga se puede ver que
−Γabc = 〈∇ce
a, eb〉 = 〈eai;je
jcdxi, ek
b
∂
∂xk〉 = ea
k;jejce
kb
Donde hemos usado para simplificar, la notacion ∇ec= ∇c. Si juntamos los dos
resultados anteriores se tiene
Γabc = ea
kejce
kb;j = −ea
k;jejce
kb
De la definicion de diferencial exterior se sigue que
dea = eak;idxi ∧ dxk
= eak;iδ
ijδ
kl dxj ∧ dxl
= eak;ie
bje
ibe
cl e
kcdxj ∧ dxl
= −eak;ie
ice
kb eb ∧ ec
= Γabce
b ∧ ec
Esta es la llamada primera forma fundamental de Cartan.
Notacion 74 Es conveniente definir la 1-forma de conexon por
Γab = Γa
bcec
de tal forma quedea = Γa
b ∧ eb
Para terminar esta seccion, vamos a definir las curvas geodesicas. Una curvageodesica es aquella que transporta paralelamente su vector tangente. Es decir:
Definicion 75 Sea γ una trayectoria en una variedad M y X su vector tan-gente, γ = X. Se dice que la curva descrita por esta trayectoria es una geodesicasi
∇XX = 0
Comentario 76 La ecuacion geodesica tambien puede escribirse usando la formula(3) de la curva integral del vector X.
dXi γ
dt+ Γi
jkXjXk γ =d2ri
dt2+ Γi
jk
drj
dt
drk
dt= 0 (6)
donde hemos usado la formula dri/dt = Xi γ de la curva integral de X.
29
Vamos a estudiar un ejemplo sencillo.
Ejemplo 77 Vamos a estudiar un ejemplo donde la conexion es de la var-iedad M 2-dimensional, con coordenadas θ, ϕ del ejemplo 64. Recordando lasecuaciones del desplazamiento paralelo, podemos escribir las ecuaciones para lasgeodesicas en este espacio como
d2rθ
dt2+
sin(θ)cos(θ)− 1
(drθ
dt
)2
+ sin(θ)(
drϕ
dt
)2
= 0
d2rϕ
dt2− 2
sin(θ)drθ
dt
drϕ
dt= 0
La resolucion de este sistema no es simple y en algunos casos se pueden darsoluciones parciales o se resuelven estos sistemas numericamente.
5 El Tensor Metrico y el Tensor de Curvatura
La definicion de la conexion es, en general totalmente independiente de lametrica de la variedad. En esta seccion vamos a definir al tensor de curvaturaen terminos de la conexion. Eso quiere decir que la curvatura de la variedades, en general, totalmente independiente de la metrica. El transporte paralelo,equivalente a la conexion, asi como la curvatura, son cantidades que no depen-den, en general, de la metrica de la variedad. Estrictamente hablando, no hayforma de fijar la conexion de una manera universal. En fısica, y mas concre-tamente en relatividad general, la conexion se fija utilizando las ecuaciones deEinstein. La razon por la que introducimos al tensor metrico y al tensor decurvatura en la misma seccion, es porque hay una manera particular de fijarla conexon conociendo el tensor metrico, que es la manera canonica utilzadaen fısica para relacionar a los dos tensores. Ası, las ecuaciones de Einstein sonecuaciones diferenciales para las componentes del tensor metrico, que a la vezfija la conexion y con ello a la curvatura. Esta conexion es la que mas nos va ainteresar aquı. Sin embargo, empezaremos introduciendo al tensor de curvaturasin relacion con el tensor metrico, y despues discutiremos el caso especial enel que si estan relacionados. Este ultimo caso es de mucho interes porque lametrica fija la conexion y la curvatura de manera unica y nos limitaremos aestudiar las propiedades del tensor de curvatura solo para este caso. Vamos ainiciar introduciendo el tensor metrico.
Definicion 78 Sea Mn una variedad n-dimensional y waa=1,··· ,n una basede T ∗M . Un tensor del tipo (0, 2) simetrico tal que
g = ηabwa ⊗ wb
donde (η)ab = ηab = diag(±1, · · · ,±1), es un tensor metrico de M .
30
Notacion 79 A la matriz ηab se le llama la signatura de la variedad. Si ηes la matriz identidad, se dice que la variedad es Euclidiana. Si hay solo ununo con signo diferente a los demas, se dice que la variedad es Riemanniana.Sin embargo, en algunos libros (de matematicas) lo que aquı llamamos variedadEuclidiana lo llaman variedad Riemanniana y lo que aqui llamamos Riemanni-ana lo llaman variedad Pseudoriemanniana o variedad Lorenziana.
Con el tensor metrico, la variedad y su espacio tangente adquieren variasestructuras. Si Mn es una variedad con metrica, entonces g es un productointerno entre vectores g(X, Y ). El espacio (TM, g) es un espacio Euclidiano y gsu producto interno. Con este producto se define una norma tal que la normadel vector X es ||X|| =
√g(X,X). Entoces (TM, || · ||) es un espacio normado.
Con la norma definimos la metrica sobre TM como ρ(X, Y ) = ||X − Y || =√g(X − Y, X − Y ), entoces (TM, ρ) es un espacio metrico (vea el capitulo 9).
Sin embargo, debe quedar claro que solo si la sigatura corresponde a una var-iedad Euclidiana (y solo en este caso), este tensor define un espacio Euclidiano.En el caso de la signatura Lorenziana, el espacio (TM, g) se llama espacio pseu-doeuclidiano, (TM, || ¦ ||), ||X|| = g(X, X) es un espacio pseudonormadoy (TM, ρ), ρ(X, Y ) = ||X−Y || es un espacio pseudometrico o Riemannianoen la variedad. Claramente, si tomamos una base eb dual a wa, se tieneque ηab = g(ea, eb). El caso mas interesante en fısica es el de signatura Loren-ziana, ya que corresponde al modelo del espacio tiempo. El espacio tiempo esuna variedad Riemanniana 4-dimensional, en este caso a los 4 vectores base delespacio cotangente se le llama tetrada. En espacios con signatura Lorenzianaentonces los vectores pueden tener normas no positivas. Se clasifica a los vec-tores segun su norma, si la norma es positiva se dice que el vector es tipotiempo, si su norma es nula, el vector es tipo nulo y si tiene norma negativa,se dice que el vector es tipo espacio. Para signaturas Lorenzianas podemosusar la signatura η = diag(1, 1, 1− 1). Sin embargo, es posible usar signaturasno diagonales, como
η =
0 1 0 01 0 0 00 0 0 −10 0 −1 0
Esta signatura define una base del espacio muy particular llamada tetradanula, ya que g(ea, ea) = 0 (no sumatoria!) para todo a = 1, 2, 3, 4. Esto es, losvectores base del espacio tangente tienen norma (magnitud) nula. Es mas, elproducto interno de los vectores e1 y e2 es g(e1, e2) = 1, y de los vectores e3 y e4
es g(e3, e4) = −1. Claramente, en este caso la norma y por tanto la distancia,no cumplen con el axioma de ser definidas positivas. Esta signatura es de graninteres en relatividad general.
En una base arbitraria, wa = wai dxi, el tensor metrico se escribe como
g = gabwa ⊗ wb = gabw
ai wb
jdxi ⊗ dxj = gijdxi ⊗ dxj
donde hemos definido la cantidad gij = gabwai wb
j . En ocaciones se acostumbadesignar por el simbolo ds2 a la metrica, es decir ds2 = gijdxi ⊗ dxj . Ahora
31
vamos a definir la metrica compatible con la conexion.
Definicion 80 Sea M variedad con conexion ∇ y metrica g. Se dice que g esuna metrica compatible con la conexion ∇ si
∇cg = 0, ⇔ ec(gab)− Γbac − Γabc
para todo vector ec, donde hemos utilizado el resultado del ejercicio 66 y hemosdefinido la cantidad Γabc = gadΓd
bc.
De aqui se desprende inmediatamente que si la conexion ∇ y la metrica g soncompatibles, se sigue entonces una relacion para las componentes de la metricadada por
dgab = Γba + Γab (7)
ya que si multiplicamos la relacion de la definicion 80 por los duales ec de losvectores base ec, se llega a la relacion anterior, recordemos que Γc
b = Γcbde
d.Esta definicion tambien trae como consecuencia que un tensor metrico com-
patible con la conexion, define la univocamente la conexion en la variedad. Estose ve en la siguiente proposicion.
Proposicion 81 Sea Mn variedad n-dimensional con conexion ∇ y metricag compatible con la conexion. Entonces las componentes de la conexion sondeterminadas univocamente por las componentes del tensor metrico.
Demostracion. Sea ∂∂xi i=1,··· ,n una base coordenada de la variedad Mn. De
la definicion de compatibilidad para esta base coordenada entre la metrica y laconexion, se tiene que
−gij,k + Γjik + Γijk = 0gki,j − Γikj − Γkij = 0gkj,i − Γjki − Γkji = 0
Si sumamos estas tres ecuaciones, obtenemos
Γkij =12
(gki,j + gkj,i − gij,k)
ya que Γkij es simetrica en los indices ij. Asi mismo podemos definir analogamentelos coeficientes de conexion
Γkij =
12gkl (gli,j + glj,i − gij,l)
donde gkl es la matriz inversa a gij , es decir gklglj = δkj .
Notacion 82 A los coeficientes de conexion Γkij de una base coordenada se les
llama simbolos de Christoffel.
32
Para poder obtener los coeficiente de conexion en otra base, observemos queeaΓa
bceb ⊗ ec no depende de las bases, asi que
Γabcea ⊗ eb ⊗ ec = Γa
bceia
∂
∂xi⊗ eb
jeckdxj ⊗ dxk = Γi
jk
∂
∂xi⊗ dxj ⊗ dxk
donde se ha definido la cantidad
Γijk = ei
aΓabce
bje
ck
Claramente hemos usado las bases duales ea y eb. Para escribir los coefi-cientes Γa
bc en terminos de los Γijk, se usan las relaciones de dualidad ei
aebi = δa
b
y eibe
bj = δi
j , de donde obtenemos
Γabc = ea
i Γijkej
bekc
Ahora vamos a introducir la dos forma de curvatura. La curvatura se defineen un espacio con conexion, no necesariamente con metrica. Formalmente sudefinicion es
Definicion 83 Sea Mn variedad y ∇ una conexion en Mn. Entonces la dosforma de curvatura o segunda forma fundamental de Cartan, se definecomo
Θab = dΓa
b + Γac ∧ Γc
b
En termino de sus componentes, podemos escribir a la dos forma de cur-vatura como ciertos coeficientes por la base de las 2-formas, es decir
Θab =
12Ra
bcdec ∧ ed
donde claramente ea es una base de T ∗Mn. A las componentes Rabcd se les
conoce como tensor de curvatura, ya que a su vez son las componentes deun tensor que se puede escribir como R = Ra
bcdea ⊗ eb ⊗ ec ⊗ ed. Tambienpodemos obtener las componentes de la dos forma de curvatura en terminos delas componentes de la conexion. Observemos que de su definicion se sigue
Θab =
(Γa
bc|d − ΓecdΓ
abe
)ed ∧ ec + Γa
ecΓebde
c ∧ ed
=12
(Γa
bc|d − Γabd|c
)ed ∧ ec +
12
(ΓaecΓ
ebd − Γa
edΓebc) ec ∧ ed
+12
(−ΓecdΓ
abe + Γe
dcΓabe) ed ∧ ec
=12
(Γa
bd|c − Γabc|d + Γa
ecΓebd − Γa
edΓebc + De
cdΓabe
)ec ∧ ed
de donde obtenemos que las componentes estan dadas por
Rabcd = Γa
bd|c − Γabc|d + Γa
ecΓebd − Γa
edΓebc + De
cdΓabe
33
En un sistema coordenado, las componentes del tensor de curvatura estan dadaspor una expresion un poco mas simple
Rijkl = Γi
jl,k − Γijk,l + Γi
nkΓnjl − Γi
nlΓnjk
El tensor de curvatura tiene una interpretacion geometrica doble. Por unlado, es una medida de la diferencia que existe entre un vector y el mismo alser transportado paralelamente a lo largo de una curva cerrada. El tensor decurvatura nos da una medida de cuanto se diferencia el vector inicial y el final,despues de ser transportado. Si la curvatura es cero, esa diferencia tambienes cero. Y tambien nos da la separacion que experimentan dos geodesicas alpropagarse paralelamente. Si se trata de un espacio de curvatura cero, lasgeodesicas no se separan o se juntan, se propagan paralelamente. Pero si lacurvatura no es cero, estas suelen separarse o juntarse. El tensor de curvaturaes una medida de esta separacion.
El tensor de curvatura cumple con varias identidades y relaciones que sirvenpara simplificar su calculo. Vamos a derivar las mas importantes, empecemospor una relacion que aplica a la segunda derivada de un vector y al tensor decurvatura.
Proposicion 84 Sea Mn variedad y ∇ la conexion en la variedad. Sea w =widxi una 1-forma en Mn. Entonces se sigue que
wi;j;k − wi;k;j = Rlijkwl
Demostracion. La demostracion es por calculo directo, se tiene que wi;j =wi,j − Γl
ijwl, entonces se sigue
wi;j;k =(wi,j − Γl
ijwl
),k− Γn
ik
(wn,j − Γl
njwl
)− Γnjk
(wi,n − Γl
inwl
)
Recordemos que las componentes de la conexion en un sistema coordenado sonsimetricas, asi que
wi;j;k = wi,jk − Γlij,kwl − Γl
ijwl,k − Γlikwl,j − Γn
ikΓlnjwl − Γn
jk
(wi,n − Γl
inwl
)
wi;k;j = wi,jk − Γlik,jwl − Γl
ikwl,j − Γlijwl,k − Γn
ijΓlnkwl − Γn
jk
(wi,n − Γl
inwl
)
⇒ wi;j;k − wi;k;j = Γlik,jwl − Γl
ij,kwl + ΓnijΓ
lnkwl − Γn
ikΓlnjwl = Rl
ijkwl
Ejercicio 85 Sea Mn variedad y X = Xi ∂∂xi . Demuestre que
Xi;j;k −Xi
;k;j = −RiljkX l
34
Ejercicio 86 Sea Mn variedad y T = T j1···jr
i1···is
∂∂xj1 ⊗· · ·⊗ ∂
∂xjr ⊗dxi1⊗· · ·⊗dxis
un tensor en Mn. Demuestre por induccion que
T j1···jr
i1···is;j;k − T j1···jr
i1···is;k;j =s∑
l=1
RniljkT j1···jr
i1···n···is−
r∑
l=1
Rjl
njkT j1···n···jr
i1···is
Observen que de la proposicion 84 y del ejercicio 85 se desprenden la relacionpara las componentes del tensor de curvatura Ri
jkl = −Rijlk. Si aplicamos la
relacion del ejercicio 66 al tensor de curvatura, obtenemos
gnm;j;k − gnm;k;j = Rlnjkglm + Rl
mjkgnl
de donde se desprende que para una conexion compatible con la metrica g, sesigue que Rmnjk = −Rnmjk, donde Rmnjk = Rl
njkglm.Otra relacion que debemos explorar es las consecuencias sobre la curvatura
de la realcion ddw = 0 para una 1-forma w. Dado que dw = wi;jdxj ∧ dxi, sesugue que
ddw =(wi,j − Γn
ijwn
);k
dxk ∧ dxj ∧ dxi
=((
wi,j − Γnijwn
),k− Γl
ik
(wl,j − Γn
ljwn
)− Γljk (wi,l − Γn
ilwn))
dxk ∧ dxj ∧ dxi
=(−Γn
ij,kwn − Γnijwn,k − Γl
ikwl,j − ΓlikΓn
ljwn
)dxk ∧ dxj ∧ dxi
=(−Γn
ij,k − ΓlikΓn
lj
)wndxk ∧ dxj ∧ dxi
= Rnijkwndxk ∧ dxj ∧ dxi = 0
de donde se sigue la relacion
Rnijk + Rn
kij + Rnjki = 0. (8)
Una relacion que es muy importante para entender la teorıa general de larelatividad, son las identidades de Bianchi. Estas identidades se obtienen en lasiguiente proposicion.
Proposicion 87 (Identidades de Bianchi) Sea Mn variedad con conexion∇ y tensor de curvatura Rn
ijk. Entonces se sigue que
Rnijk;l + Rn
ikl:j + Rnilj;k = 0
Demostracion. Sea w = wldxl una 1-forma en Mn. Si usamos la formula delejercicio 86 para el tensor wi;l, se obtiene
wi;l;j;k − wi;l;k;j = Rnijkwn;l + Rn
ljkwi;n
Ahora aplicamos la derivada covariante al resultado de la proposicion 84, seobtiene
wi;j;k;l − wi;k;j;l = Rnijk;lwn + Rn
ijkwn;l
35
Ahora usamos el mismo procedimiento anterior, sumamos ambos resultadosanteriores cambiando los indices j, k, l circularmente. Se obtiene
wi;l;j;k − wi;l;k;j = Rnijkwn;l + Rn
ljkwi;n
wi;k;l;j − wi;k;j;l = Rniljwn;k + Rn
kljwi;n
wi;j;k;l − wi;j;l;k = Rniklwn;j + Rn
jklwi;n
wi;j;k;l − wi;k;j;l = Rnijk;lwn + Rn
ijkwn;l
wi;k;l;j − wi;l;k;j = Rnikl;jwn + Rn
iklwn;j
wi;l;j;k − wi;j;l;k = Rnilj;kwn + Rn
iljwn;k
y restamos las 3 identidades de arriba menos los 3 identidades de abajo, seobtiene
0 =(Rn
ljk + Rnklj + Rn
jkl
)wi;n −
(Rn
ijk;l + Rnikl;j + Rn
ilj;k
)wn
pero lo que esta entre el primer parentesis es cero, por la relacion (8) que enco-tramos anteriormente, asi que se sigue lo que buscamos.
Notacion 88 A las relaciones anteriores se les llama las Identidades deBianchi.
Resumen 89 Vamos a resumir las identidades salidas del tensor de curvatura.
1.− Rijkl = −Ri
jlk
2.− Rnljk + Rn
klj + Rnjkl = 0
3.− Rnijk;l + Rn
ikl;j + Rnilj;k Identidades de Bianchi
4.− Rmnjk = −Rnmjk Conexiones Compatibles con la metrica
En lo que sigue veremos algunos ejemplos de curvatura, por supuesto, siconocemos la conexion, es sencillo calcular la curvartura usando su definiciono la segunda forma fundamental de Cartan. Pero nosotros vamos a utilizarsolo conexiones que son compatibles con la metrica. Asi que para calcular laconexion conociendo la metrica, puede usarse la definicion de los simbolos deChristoffel o la primera forma fundamental de Cartan. Vamos a resumir todasestas definciones en este espacio.
Resumen 90 Sea Mn variedad con metrica g = ηabdwa ⊗ dwb = gijdxi ⊗ dxj,donde w = widxi es una base y dxi es una base coordenada del espaciocontangente T ∗Mn. Entonces, la conexion y la curvatura estan determinadas
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por
1.− dwa = Γab ∧ wb
2.− Θab = dΓa
b + Γac ∧ Γc
b Para una base no coordenada
3.− Γijk =
12gil (glj,k + glk,j − gjk,l)
4.− Rijkl = Γi
jl,k − Γijk,l + Γi
nkΓnjl − Γi
nlΓnjk Para una base coordenada
Ejemplo 91 En este ejemplo vamos a utilizar la notacion convencional dw ⊗dw → dw2. Vamos a buscar la metrica de la pelota S2. Como la pelota estainmersa en <3, la forma mas simple de encotrar la metrica de la pelota essubstituyendo la ecuacion de la pelota de radio a, x2 + y2 + z2 = a2, en lametrica euclidiana de <3, dl2<3 = dx2 + dy2 + dz2. Si substituimos
dz2 =(xdx + ydy)2
a2 − (x2 + y2)
obtenemos
dl2S2 = dx2 + dy2 +(xdx + ydy)2
a2 − (x2 + y2)
Ahora bien, podemos usar coordenadas polares x = R cos(θ), y = R sin(θ) en lametrica, para obtener
dl2S2 = R2dθ2 +a2dR2
a2 −R2
Conviene escribir la metrica de la pelota en terminos del cociente r = R/a,entonces la metrica se ve como
dl2S2 = a2
[dr2
1− r2+ r2dθ2
]
Para finalizar este ejemplo, vamos a escribir la metrica del espacio <3 enterminos de las coordenadas esfericas ?? (vamos a cambiar la r de la definicion?? por a, para denotar el radio de la esfera), se obtiene
dl2<3 = dx2 + dy2 + dz2 = da2 + a2(dθ2 + sin2(θ)dϕ2
)
la cual es la metrica euclidiana, pero ahora escrita en coordenadas esfericas. Silimitamos esta metrica a la pelota, es decir, si hacemos a =constante, obtenemos
dl2S2 = a2(dθ2 + sin2(θ)dϕ2
)= a2dΩ2
que es la metrica de la pelota pero en coordenadas esfericas. Hay que comparalacon la anterior forma que esta en coordenadas polares y con la metrica que seobtiene si g = dw1⊗dw1+dw2⊗dw2, usando las formas de la pelota definidas en
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?? en el ejemplo ??. Esta comparacion es la que justifica el uso de la notacionde este ejemplo.
Ahora vamos a calcular la conexion y la curvatura. Primero lo haremosusando la base coordenada. Usando las formulas del resumen 90, se obtiene
dl2S2 = a2
[dr2
1− r2+ r2dθ2
]
Γrrr =
r
1− r2Γr
θθ = −r(1− r2) sin2(θ), Γθθθ = cot(θ), Γθ
rθ =1r
Rθrrθ = − 1
1− r2, Rr
θrθ = r2 sin2(θ)
y todas las demas componentes igual a cero. Tambien podemos calcular estascantidades de la metrica en coodenadas esfericas, se obtiene
dl2S2 = a2(dθ2 + sin2(θ)dϕ2
)
Γϕθϕ = cot(θ), Γθ
ϕϕ = − sin(θ) cos(θ)
Rθϕθϕ = sin2(θ), Rϕ
θθϕ = −1
Ejercicio 92 Siguiendo el ejemplo anterior, demuestre que la metrica de S3 encoordenadas esfericas esta dada por
dl2S3 = a2
[dr2
1− r2+ r2
(dθ2 + sin2(θ)dϕ2
)]
donde a es el radio de la esfera S3 y r/a → r. Esta es la parte espacial de lametrica de Friedman-Robertson-Waker. Calcule la conexion y el tensorde curvatura de esta metrica.
Ejemplo 93 Sea M4 una variedad con metrica de signatura Lorenziana dadapor g = ηabw
a ⊗ wb, ηab = diag(1, 1, 1, 1− 1), donde la tetrada esta dada por
w1 =t
x√
xdx, w2 =
t
x√
xdy, x > 0
w3 =
√3x
2dz +
√23x
dt, w4 =
√23x
dt
Lo primero que hay que notar, es que se debe cumplir la relacion 7, es decir,dηab = Γab + Γba = 0, entonces la conexion es antisimetrica en los indicesab. Recordemos que Γab = ηadΓd
b . Vamos a calcular la conexion utilizando lasformulas 1 y 2 del resumen 90. Para esto encontremos primero la diferencialde la tetrada, esta es
dw1 = x−3/2dt ∧ dx, dw2 = −32x−5/2t dx ∧ dy + x−3/2dt ∧ dy,
dw3 =12
(√32x−1/2dx ∧ dz −
√23x−3/2dx ∧ dt
)dw4 = −1
2
√23x−3/2dx ∧ dt
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que en terminos de la tetrada, se obtiene
dw1 =√
6x w4 ∧ w1, dw2 = −32√
x w1 ∧ w2 +1t
√6x w4 ∧ w2
dw3 =12√
x w1 ∧ w3 − 2√
x w1 ∧ w4, dw4 = −√x w1 ∧ w4
De aqui podemos entonces leer las componentes de la conexion
Γ14 = −
√6xw1 −√x w4
Γ21 =
32√
xw2, Γ24 = −1
t
√6x w2,
Γ31 = −1
2√
x w3 +√
x w4, Γ34 = −√x w1,
donde hemos tomado en cuenta la antisimetria de la conexion, por ejemplo,agregando terminos convenientes a las componentes Γ1
4 y Γ41. Ahora calculemos
el tensor de curvatura, obtenemos,
Θ14 = −1
2x w1 ∧ w4
Θ21 = x w2 ∧
((−3
4+
6t
)w1 +
√6
tw4
)
Θ24 = x w2 ∧
(√32
(1t− 3
)w1 − 3
(2t2
+12
)w4
)
Θ31 = −1
4x w1 ∧ (
w3 − 2 w4)
Θ34 = x
(−
√32
w1 ∧ w3 +√
6 w1 ∧ w4 +12
w3 ∧ w4
)
de donde se pueden leer las componentes de la curvatura en esta base.
Para terminar este capitulo, vamos a introducir tres tensores mas, estos sonla contraccion del tensor de curvatura, la traza de este tensor y una combinacionmuy adecuada de estos dos. Vamos a iniciar con las contracciones del tensor decurvatura.
Definicion 94 Sea Mn variedad y sea ea una base del espacio tangente condual eb. Sea ∇ conexion en Mn y tensor de curvatura R = Ra
bcdea⊗eb⊗ec⊗ed.Entonces el tensor de Ricci es es la contraccion del tensor de curvatura, talque
R = C12R = Ra
badeb ⊗ ed = Rbde
b ⊗ ed
Analogamente, la traza del tensor de Ricci se llama escalar de Ricci, es decir
R = C11R = Rd
d
donde Rcd = ηcbRbd
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La importancia de estas dos nuevas cantidades radica en el siguiente proposicion
Proposicion 95 Sea Mn variedad y sea ea una base del espacio tangente condual eb. Sea g = ηabw
a ⊗wb una metrica en Mn compatible con la conexion.Sea ∇ conexion en Mn y tensor de curvatura R = Ra
bcdea⊗eb⊗ec⊗ed. Entoncesse sigue que
Gab|b =(
Rab − 12gab R
)
|b= 0
Demostracion. Vamos a demostrar la proposicion en el sistema coordenado,la demostracion en general es exactamente igual. Ecribamos las identidadesBianchi en componentes, contrayendo los indices adecuados para obtener eltensor de Ricci, esto es
0 = Rnink;l+Rn
ikl;n+Rniln;k = Rik;l+gnmRmikl;n−Ril;k = Ri
k;l−gnmRimkl;n−Ri
l;k
Y volvamos a contraer los indices
Rkk;l − gnmRk
mkl;n −Rkl;k = R;l − gnmRml;n −Rk
l;k = R;l − 2gnmRml;n = 0
Si multiplicamos por 1/2 y la inversa de las componentes de la metrica en estaultima expresion, llegamos al resultado deseado.
Este resultado es de suma importancia en fısica, ya que es la ralacion fun-damental para definir las ecuaciones de Einstein.
Notacion 96 Al tensor Gabea ⊗ eb cuyas componentes estan definidas por
Gab = Rab − 12gab R
se le llama tensor de Einstein.
El hecho de que la contraccion del tensor de Einstein con la derivada covariatesea cero, hacen a este tensor el candidato idonea para ser la parte geometricade las ecuaciones fundamentales de la gravitacion. Vamos a ver un ejemplo.
Ejemplo 97 Vamos a calcular el tensor de Ricci de la pelota S2 en coordenadasesfericas. Primero hay que usar las propiedades del tensor de curvatura delresumen 89 para encontrar todas las componentes no cero del tensor. Lo primeroque hay que notar es que la unica componente no cero es Rθϕθϕ = a2 sin2(θ), ycon ellos calcular
Rθθ = Rθθθθ + Rϕ
θϕθ = 1, Rθϕ = Rθθθϕ + Rϕ
θϕϕ = 0,
Rϕθ = Rθϕθθ + Rϕ
ϕϕθ = 0, Rϕϕ = Rθϕθϕ + Rϕ
ϕϕϕ = sin2(θ),
Entonces podemos calcular el escalar de Ricci, haciendo R = Rθθ + Rϕ
ϕ = 2/a2 ycon el finalmente calcular el tensor de Einstein. El resultado es que G = 0.
Ejercicio 98 Calcule el tensor de Ricci, el escalar de Ricci y el tensor de Ein-stein para la metrica de la pelota S2 en coordenadas polares.
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Ejercicio 99 Calcule el tensor de Ricci, el escalar de Ricci y el tensor de Ein-stein para la metrica de la pelota S3 en coordenadas esfericas.
Ejercicio 100 Calcule el tensor de Ricci, el escalar de Ricci y el tensor deEinstein para la metrica del ejemplo 93
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