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TENSORES Y P-FORMAS

1

CHAPTER 1

TENSORES Y P-FORMAS

1. Tensores

El material de los dos captulos anteriores es fundamentalmente para estudiarlos tensores. La importancia de los tensores en ciencias exactas e ingeniera, es elhecho de que los tensores son cantidades matematicas que no dependen del sistemacoordenado. El significado de no depende del sistema de coordenadas la daremosen este captulo, pero estas cantidades matematicas han servido bien para modelarcantidades fsicas importantes, como los campos. La idea es que estas cantidadesfsicas realmente no dependen del observador, es decir, las cantidades fsicas no im-porta si el observador las mide con una vara de un metro o una de un centimetro,o con coordenadas catesianas o esfericas. El objeto fsico no se ve afectado por laforma de medirlo o de observarlo. Esta condicion la cumplen los tensores, por esose usan para modelar las cantidades fsicas observables. Desde el punto de vistamatematico, un tensor es una funcion multilineal, es decir, una funcion de variasvariables, pero la funcion es lineal en cada entrada. El dominio es el productocartesiano de un espacio vectorial varias veces, con su dual, tambien varias veces.Nosotros vamos a tomar ese espacio vectorial como el espacio tangente a una var-iedad y su dual como el espacio cotangente a la variedad. Asi, la idea es definirtensores que viven en variedades. Empecemos por la definicion formal de un tensor.

Definicion 1. Sea V espacio vectorial y V su espacio dual. Un tensor deltipo (r, s) es una transformacion multilineal T tal que

T : V V r veces

V V s veces

,(w1, , wr , v1, , vs

) T (w1, , wr, v1, , vs)Es decir, se tiene que si v1, , vs V y w1, , wr V , son transformaciones

lineales en el espacio vectorial V , se sigue que

T(w1, , wr , v + w, v2, , vs

)= T

(w1, , wr, v, v2, , vs

)+

T(w1, , wr , w, v2, , vs

)para cada entrada del tensor.

Notacion 1. Al conjunto de tensores lo denotamos como T V V V V y se le llama producto tensorial.

Con la suma

(T + T )(w1, , wr, v1, , vs

)= T

(w1, , wr, v1, , vs

)+ T

(w1, , wr, v1, , vs

)3

4 1. TENSORES Y P-FORMAS

y el producto por escalar

(T )(w1, , wr, v1, , vs

)= T

(w1, , wr, v1, , vs

),

para todo

T, T V V V V , ,la estructura

(, V V V V ,+, )es un espacio vectorial. A los elementos del espacio tensorial se les denota porX1 Xr 1 s, este elemento denota el tensor tal que

X1 Xr 1 s(w1, , wr, v1, , vs

)= X1

(w1) Xr (wr)1 (v1) s (vs)

=1, X1

r, Xr 1, v1 s, vsdados X1, , Xr V y 1, , s V . Al espacio de tensores lo denotamostambien por

T rs = V V r veces

V V s veces

.

Sean R T rs y S T pq , el producto entre tensores se define entonces como el tensorT r+ps+q tal que

R S (1, , r+p, v1, , vs+q) = R (1, , r, v1, , vs) S(r+1, , r+p, vs+1, , vs+q

)La estructura (T rs ,+, ,,, ) es una algebra llamada Algebra tensorial.

Sea {ea}a=1, ,n y {ea}a=1, ,n bases de V y V , espacios vectoriales de di-mension n y su dual. Entonces podemos escribir tensores T T rs en terminos deesa base como

T =

na1ar,b1bs

T a1arb1bs ea1 ear ebi ebs ,

ya que {ea1 ear ebj ebs

} T rssera una base del espacio tensorial y las componentes de T estan dadas por

T a1arb1bs = T (ea1 , , ear , eb1 , ebs) .

Como se ve, debido a la definicion de tensores, la notacion es muy extensa. Masadelante cambiaremos de notacion por una mas simple, para reducir la escritura,pero por ahora la mantendremos con el objetivo de que no vaya a haber confusion.

La propiedad importante de los tensores es la de no depender del sistema coor-denado. Aqu vamos a ser mas generales, vamos a demostrar que los tensores soninvariates al cambiar la base.

Proposicion 1. Los tensores son invaraintes bajo cambios de base.

Dem. 1. Sean {ea}a=1, ,n y {ea}a=1, ,n bases de V y {ea}a=1, ,n y {ea}a=1, ,nbases de V tal que {ea}a=1, ,n sea dual a {ea}a=1, ,n y {ea}a=1, ,n, sea duala {ea}a=1, ,n. Se sigue que ea =

nb=1

baeb y ea =

nb=1

abeb donde ba y

ab son

1. TENSORES 5

coeficientes de matrices no singulares n n. Por la dualidad de las bases, se sigueque

ba =eb, ea

=eb, ea

=

n

c=1

bcec,

nd=1

daed

n

c=1

nd=1

bcda

cd =

nc=1

bcca.

Es decirn

c=1bc

ca =

ba, por lo que

bc y

ca son una la inversa de otra como matrices.

Ahora escribimos un tensor T rs en terminos de estas bases, esto es

T =

na1bs=1

T a1arb1bs ea1 ear eb1 ebs

=n

a1bs=1

T a1arb1bs

nc1=1

c1a1ec1 n

cr=1

crarecr

n

d1=1

b1d1ed1

nds=1

bsdseds

=

na1bs=1

n

c1=1

ncr=1

nd1=1

n

ds=1

c1a1 crarb1d1 bsdsT a1arb1bs ec1

ecr edr eds

=

nc1ds=1

T c1crd1dsec1 ecr edr eds

donde hemos llamado

(1.1) T c1crd1ds =

na1=1

n

ar=1

nb1=1

n

bs=1

c1a1 crarb1d1 bsdsT a1arb1bs .

Comentario 1. Note que en cada caso se tiene que

T a1arb1bs = T(ea1 , , ear , eb1 , , ebs

)y

T c1crd1ds = T (ec1, ecr , ed1 , , eds) .

Es decir, debido al cambio de base las componentes del tensor cambiaron,pero el tensor mismo se quedo inalterado. Es en este sentido que los tensores soninvariantes ante cambios de base y por tanto de coordenadas. En ciencias fsicaseste hecho se usa continuamente. Una operacion tambien muy usada en cienciasfsicas es la contraccion de tensores. A partir de uno o varios tensores, se construyeotro usando la contraccion. Vamos a definirla.

Definicion 2. Sea T T rs en un espacio vectorial V . La contraccion C11 (T )de un tensor en las bases duales {ea}{ea} es un tensor (r 1, s 1) tal que lascomponentes de C11 (T ) son

na=1

T aa2...arab2bs , i.e. C11 (T ) =

na=1

na2arb2bs=1

T aa2...arab2bs

eas ear eb2 ebsProposicion 2. La contraccion es independiente de las bases.


Dem. 2. Sean {ea}{ea} y {ea}{ea} bases duales de V . Entonces

C11 (T ) =

na=1

na2arb2bs=1

T aa2...arab2bs eas ear eb2 ebs

=

na1=1

n

ar=1

nb1=1

n

bs=1

c2a2 crar b2d2 bsdsn

a=1

T a...arabs ecs

ecr ed2 eds

=n

c1=1

nd1=1

c1d1

nc2crd2ss=1

T c1c2...crd1d2dsecs ecr ed2 eds

= C11 (T )

De la misma forma se pueden definir las contracciones de los demas ndices.Suele llamarse a los ndices superiores de un tensor ndices covariantes y a losinferiores, ndices contravariantes. As la contraccion queda definida entrendices covariantes con indices contravariantes.

Notacion 2. Del mismo modo, se suele llamar a los vectores ea vectorescovariantes o uno-formas y a los ea vectores contravariantes o simplementevectores.

En lo que sigue vamos a estudiar algunos ejemplos simples de tensores usadosen fsica.

Exemplo 1. El tensor de campo electromagnetico es un tensor definido como

A =3

=0

Adx + d

donde es una funcion arbitraria que va de los reales a los reales.

Exemplo 2. El tensor de energia momento es un tensor definido como

T =

3,=0

Tdx dx

en donde las componentes T son basicamente las presiones y la densidad en ladiagonal, y los flujos de energia y momento en las componentes fuera de la diagonal.

Exemplo 3. El tensor metrico es un tensor definido como

g =

3,=0

gdx dx

el cual define una metrica en la variedad, a traves del producto escalar entre vec-tores. Mas adelante daremos los detalles de esta tensor, por el momento vamos adiscutir dos ejemplos simples. Primero tomemos las componentes gij = ij i, j =1, 2, 3, y con las componentes con subindice 0 igual a cero. Lo que se obtiene esuna metrica Euclidiana, esta es:

g = dx dx+ dy dy + dz dz

1. TENSORES 7

Tomemos el vector X = 2 x y y el vector Y = x + 2 z . El producto internoentre X y Y esta dado por:

g(X,Y ) = dx(X) dx(Y ) + dy(X) dy(Y ) + dz(X) dz(Y )= 2 (1) + (1) 0 + 0 2 = 2

Mientras que la norma de los vectores es

g(X,X) = dx(X) dx(X) + dy(X) dy(X) + dz(X) dz(X) = 5 = ||X ||2g(Y, Y ) = dx(Y ) dx(Y ) + dy(Y ) dy(Y ) + dz(Y ) dz(Y ) = 5 = ||Y ||2

La norma de los vectores siempre va a ser positiva. La distancia entre estos vectoressera (X Y = x y + 2 z )

g(X Y,X Y ) == dx(X Y ) dx(X Y ) + dy(X Y ) dy(X Y ) + dz(X Y ) dz(X Y )= ||X Y ||2 = 1 + 1 + 4 = 6Un ejemplo mas interesante es la metrica de Minkowski, esta esta definida por

g = dx dx + dy dy + dz dz dt dtTomemos ahora los vectores X = x t y Y = x + t . El producto interno entreX y Y ahora esta dado por:

g(X,Y ) = dx(X) dx(Y ) + dy(X) dy(Y ) + dz(X) dz(Y ) dt(X) dt(Y )= 1 + 1 = 2

Pero ahora las normas de los vectores es

g(X,X) = dx(X) dx(X) + dy(X) dy(X) + dz(X) dz(X) dt(X) dt(X) = 0g(Y, Y ) = dx(Y ) dx(Y ) + dy(Y ) dy(Y ) + dz(Y ) dz(Y ) dt(Y ) dt(Y ) = 0O sea, estos vectores tienen norma nula, sus tamanos son nulos, a pesar de que losvectores no lo son. Esta es la principal caracteristica de la metrica de Minkowsky,en este espacio existe vectores no nulos con norma nula o negativa. Esta metricapodria ser vista como algo exotico, como una invencion de algun matematico condemasiada imaginacion. Pero no lo es, es el mejor modelo del espacio tiempo quetenemos, es algo muy real.

Vamos a tomar las componentes del ejemplo de la pelota ??. Tomemos a lametrica para una pelota como

g = dw1 dw1 + dw2 dw2 = r2 (d d + sin2()d d)Se suele denotar (abusando de la notacion) a una metrica tambien como

g = d2 = r2(d2 + sin2()d2

)el cual puede ser confuso, pues los elementos d2 y d2 no son el cuadrado de unadiferencial, sino el producto tensorial de dos formas. Hay que tomar esto siempreen cuenta.


2. p-Formas

En esta seccion hablaremos de las p-formas. Las formas son productos tensori-ales de uno-formas antisimetrizados. Su importancia tambien viene de la fsica y delas ciencias naturales. Con las p-formas es posible hacer oparaciones con mucha massincillez y en muchos casos, las cantidades que se estudian adquieren un significadomas claro y presiso. En esta seccion estudiaremos algunos ejemplos en la fsica, conaplicaciones directas a la ingeniera. Vamos primero a definir las p-formas.

Definicion 3. Sea V el conjunto de uno-formas. Al conjunto de tensores(0, p) antisimetricos en cada entrada se llama p-formas.

Vamos a ser mas explcitos, sean w1, w2, w3 V , entonces las p-formas seconstruyen como en los ejemplos siguientes.

Exemplo 4. Una dos-forma se escribe como w = 12(w1 w2 w2 w1)

Exemplo 5. Una tres-forma w = 16 (w1w2w3 +w3w1w2 +w2w3w1

w3 w2 w1 w1 w3 w2 w2 w1 w3), etc.En lo que sigue vamos a construir el algebra de las p-formas. Primero vamos a

construir un producto entre p-formas, llamado el producto wedge. Su definicion escomo sigue.

Definicion 4. Sean w y una p y q-formas respectivamente. El productow es una (p+ q)-forma, donde es antisimetrico i.e.

w = (1)pq wEsto quiere decir, que si {ea} es base de las uno-formas, entonces una 2-forma

se escribe como

w =

na1a2=1

wa1a2 ea1 ea2 donde ea1 ea2 = 1

2(ea1 ea2 ea2 ea1)

Analogamente, una tres forma se escribe como

w =

na1a2a3=1

wa1a2a3ea1ea2ea3donde ea1ea2ea3 = 1

6

[P ]

(1)[P ] ea1ea2ea3

donde [P ] significa permutacion de (a1, a2,a3). De esta forma, se pueden construir(np

)p-formas en un espacio V n-dimensional. Al conjunto de las p-formas se

denota como p.Proposicion 3. Toda (n+k)-forma en un espacio n-dimensional es identicamente

cero, para k > 1.

Dem. 3. Sean V un espacio n-dimensional y V una n + 1 forma.Entonces

= aiajakan+1eai eaj eak ean+1 pero algun kj se repite. As

que intercambiandolos = aiajakan+1eai eak eaj ean+1 = por lo tanto = 0.

3. DIFERENCIACION E INTEGRACION EN VARIEDADES 9

As como construimos el campo de las uno-formas y de los vectores, se puedeconstruir el campo de los tensores, simplemente definiendo los tensores en cadapunto de la variedad. Formalmente se tiene:

Definicion 5. Un tensor T del tipo (r, s) sobre una variedad Mn, es un tensorconstruido sobre el espacio tangente TMn y el espacio cotangente T Mn de Mn.

3. Diferenciacion e integracion en variedades

Para evitar un poco la notacion de los indices con sumandos y factores extensos,a partir de esta seccion usaremos la convencion de suma sobre ndices repetidos deEinstein, es decir, si dos indices se repiten en un tensor, es que estos indices seestan sumando, a menos que se especifique lo contrario. En esta seccion vamos adefinir la diferencial y la integral de p-formas y tensores sobre la variedad. Vamosa definir tres tipos de operadores diferenciales y la integracion de estos, en especialveremos el teorema de Stokes. Para iniciar vamos a introducir la notacion sobre lasdiferenciales, as todo sera mas compacto.

Notacion 3. En esta seccion denotaremos la derivada por una coma, es decir

f

xk= f,k

2f

xkxl= f,kl

etc.

Primero vamos a definir la diferencial de p-formas, la cual es la mas usada y lamas simple de los operadores diferenciales que veremos.

Definicion 6. Sea Mn variedad y w una p-forma sobre Mn. La diferencialexterior d es un mapeo d : p p+1 tal que a

w = wi1ipdxi1 dxip dw

= d(wi1ip

) dxi1 dxippara

{dxi

}i=1, ,n

base coordenada de T Mn = 1. Se tiene quedw = wi1ip,kdx

k dxij dxip.

La primera propiedad importante de este operador es que la diferencial de ladiferencial de una p-forma, es cero. Como veremos esta propiedad es muy impor-tante.

Proposicion 4. d (dw) = 0 para toda p-forma w p, y para toda p Z+.Dem. 4. Tenemos dw = wi1ip,kdx

k dxi1 dxip, entoncesd (dw) = wi1ip,kdx

dxk dxi1 dxipdonde se estan sumando ndices simetricos k, , con ndices antisimetricos dxdxk,por tanto d (dw) = 0.

Para calcular la diferencial de p-formas se aplica la siguiente formula.

Proposicion 5. Sean w y una p y q-formas respectivamente. Se sigue qued (w ) = dw + (1)pw d.


Dem. 5. Sean w = wi1ipdxi1 dxip y = jijqdxj1 dxjq

Entonces

d(wi1ipdx

i1 dxip j1jqdxj1 dxjq)

= wi1ip,kdxk dxi1 dxip j1jqdxj1 dxjq +

+wi1ipj1jq,dx dxi1 dxip dxj1 dxjq

= dw + (1)p w d

Ejercicio 1. Muestre que dw (X,Y ) = X (w (Y )) Y (w (X)) w ([X,Y ])En el captulo anterior introdujimos el concepto de full-back. Ahora vamos a

introducir un concepto similar, pero no hay que confudirlos, con el que podemostrasladar formas o tensores covarientas de una variedad a otra. Vamos a escribir ladefinicion y luego daremos una breve explicacion.

Definicion 7. Sea :Mm Nn, y Mm, Nn variedades. Entonces: El pull-back de tensores covariantes se define como

T (v1, , vs) |p = T (v1, , vs) |(p) ,v1, , vs TMm, p Mm donde y T T 0s . Analogamente para tensores contravariantes se tiene

T(w1, , wr) |(p) = T (w1, , wr) |p

para T T r0 y w1, , wr T NnVamos a ver primero el pull-back de una uno-forma.

Exemplo 6. Sea w T Nn y v TMm. Y sea : Mm Nn. Entonces elpull-back de w esta dado por

w : TMm tal quev w(v) = w(d(v)).

Esto quiere decir que es una funcion tal que

: T Nn T Mm,ya que w T Mm y w T Nn. Recordemos que d = : TM TN , veanla figura 1.

Con el ejemplo anterior ya se puede proceder a encontrar el pull-back de untensor covariante en general. Y con este el de un tensor contravariante. Vamos ademostrar ahora que el pull-back y la diferencial conmutan.

Proposicion 6. Sea Mm y Nn variedades y :Mm Nn y el pull-back.La diferencial exterior conmuta con el pull-bak.

Dem. 6. Sea w p y f : Mn suave. Entonces, por la regla de la cadenad (f ) = d (f) = df d

= df = (df) i.e.d (f) = (df)

De la misma manera para 1-formas:

d (w) = d (w ) = d (w d) = dw = (dw)


Figure 1. Representacion de la funcion , del pull-back y dela diferencial de la funcion , d = .

y analogamente para p -formas.

El rotacional de un vector es un concepto matematico muy utilizado en cienciasexactas. En si es definido como la diferencial totalmente antisimetrica de un vector.Vamos a introducir el tensor de Levi-Civita, que nos va a servir para trabajar conla antisimetrizacion de vectores y tensores. Es de hecho la generalizacion de laantisimetrizacion que se usa en algabra de vectores. Aqui lo podemos introducirpara cualquier variedad de dimension arbitraria.

Definicion 8. El tensor totalmente antisimetrico de Levi-Civita i1, ,in sedefine como

i1, ,in =

1 si i1, , in es permutacion par de (1, 2, , n)-1 si i1, , in es permutacion impar de (1, 2, , n)0 cualquier otro caso

Con el tensor de Levi-Civita podemos definir el operador de Hodge. Esteoperador es muy usado para poder simplificar la notacion. Vamos a escribir sudefinicion y luego estudiaremos algunos ejemplos de su uso.

Definicion 9. El operador * de Hodge o transformacion de dualidades una funcion que mapea : p np tal que

(dxij dxip) = 1(n p)!i1ipip+1indx

ip+1 dxin

donde i1, ,in es el tensor de Levi-Civita


Esta definicion es posible gracias a la dualidad que existe entre los espaciosvectoriales de uno-formas p y np, ambas son de la misma dimension. Es poreso que la aplicacion del operador de Hodge dos veces a una p-forma, es proporcionala la p-forma, es decir, se regresa al lugar de origen.

Proposicion 7. wp = (1)p(np) wp donde wp pDem. 7. Por substitucion directa.

Veamos algunos ejemplos simples.

Exemplo 7. Sea w = fdx dy + g dy dz donde g, f : 3 en 3.Entoncees, n = 3 y w 2

dw = f,zdz dx dy + g,xdx dy dz = (f,z + g,x) dx dy dzw = f dx dy + g dy dz

= f1

1!123dz + g

1

1!231dx

= fdz + gdx

dw = f,z + g,xEs decir, la aplicacion del operador de Hodge a una p-forma, consiste en quitar

todos los elementos de la base que tiene la p-forma y poner todos los restantes, losque no se usan, en el orden que nos da el tensor de Levi-Civita. Las funciones quevan enfrente de la base no son afectadas por el operador de Hodge. Con este oper-ador se define otro operador diferencial muy importante, llamado la codiferencial.

Definicion 10. La codiferencial exterior o derivada exterior adjunta

se define por = (1)np+n+1 d para espacios n-dimensionales y para p-formas.Se tiene que = d en espacios de dimension par y = (1)p d en espaciosde dimension impar.

Como en el caso de la diferencial, la doble aplicacion de la codiferencial tambienes cero.

Proposicion 8. (wp) = 0

Dem. 8. (1)np+n+1 d wp = (1)2(np+n+1) d d = (1)2(np+n+1) (1)p(np) dd wp

Comentario 2. Se tiene entonces que

d : p p+1 : p p1

Utilizando la definicion de la diferencial y la codiferencial se puede definir otrooperador diferencial que llamaremos Laplaciano. En ciertos casos este operador esel Laplaciano que se conoce en algebra vectorial, pero de hecho es una generalizacionde este para cualquier variedad de cualquier dimension.

Definicion 11. El Laplaciano sobre una variedad, es una funcion :p p definida por = d + d

Vamos a mostrar algunos ejemplos con todos los operadores diferenciales quehemos definido, por facilidad lo haremos en 2, que es donde el calculo nos es masfamiliar, con ellos estas definiciones adquiriran mas sentido.


Exemplo 8. Sea M = 2. Entonces una base para 0 {1}. Analogamentepara 1 {dx, dy} , y para 2 {dx dy}. Tambien podemos obtener la aplicacion, esta nos da:

1 = dx dy; dx = dy; dy = dx; dx dy = 1.Para las diferenciales obtenemos:

df (x, y) = f,x dx+ f,y dy

ddf = f,xy dy dx+ f,yx dx dy = 0d (udx+ vdy) = (v,xu,y ) dx dy

Analogamente, para las codiferenciales se obtiene:

f (x, y) = d f (x, y) = d (f (x, y) dx dy) = 0 (udx+ vdy) = d (udx+ vdy) = d (udy vdx)

= (u,x dx dy v,y dy dx) == ((u,x+v,y ) dx dy) = (u,x+v,y )

(dx dy) = d (dx dy) = d () = (,x dx+ ,y dy) == (,x dy ,y dx) = ,x dy + ,y dx

Y para los Laplacianos obtenemos:

f = (d + d) f = d (0) + (f,x dx+ f,y dy) = (f,xx+f,yy )(udx+ vdy) = d [ (u,x+v,y )] + [(v,xu,y ) dx dy]

= [u,xx dx+ v,xy dx+ u,yx dy + v,yy dy] [(v,xxu,yx )dx + (v,xy u,yy )dy]= [(u,xx+v,xy )dx+ (v,yy +u,xy )dy] [(v,xxu,yx )dy (v,xyu,yy )dx]= [(u,xx+u,yy )dx+ (v,xx+v,yy )dy]

Estos ultimos ejemplos justifican el nombre del operador como Laplaciano.Para el caso de M = 3 las bases respectivamente estan dadas como 0 {1},

1 {dx, dy, dz} , para 2 {dx dy, dx dz, dy dz} y para 3 {dx dy dz}.Igualmente podemos obtener la aplicacion , esta nos da:

1 = dx dy dz; dx = dy dz; dy = dx dz; dz = dx dy;dx dy = dz; dy dz = dx; dz dx = dy; dx dy dz = 1.

Ejercicio 2. Muestren que

d (v1dx + v2dy + v3dz) = v dx ,

donde v = (v1, v2, v3) y dx = (dx, dy, dz) es el radio vector.


(v1dx+ v2dy + v3dz) = v,donde v = (v1, v2, v3)


(v1dx+ v2dy + v3dz) = 2 v

xkxk dx = 2 v d

xdonde v = (v1, v2, v3).


El espacio tiempo se modela generalmente como una variedad 4-dimensional.Los ejemplos en fsica son hechos en esta dimension, aunque hay teoras modernas deunificacion que utilizan dimensiones mas altas. Por eso para trabajar en el espaciotiempo debemos trabajar en el espacio M = 4, donde las bases respectivamenteestan dadas por

para 0 {1}para 1 {dx, dy, dz, dt} ,para 2 {dx dy, dx dz, dy dz, dx dt, dy dt, dz dt}para 3 {dx dy dz, dx dy dt, dx dz dt, dy dz dt}para 4 {dx dy dz dt}

Igualmente podemos obtener la aplicacion , esta nos da:1 = dx dy dz dtdx = dy dz dt dy = dx dz dt dz = dx dy dt dt = dx dy dzdx dy = dz dt dy dz = dx dt dz dx = dy dtdx dt = dy dz dy dt = dx dz dz dt = dx dydy dz dt = dx dx dz dt = dy dx dy dt = dz dx dy dz = dtdx dy dz dt = 1Exemplo 9. Sea F = Fidx

i dt 12ijkHidxj dxk = Fxdx dt + Fydy dt + Fzdz dt Hxdy dz +Hydx dz Hzdx dy, donde ijk es el tensor deLevi-Civita y Hi = Hi para i = 1, 2, 3. Podemos calcular su diferencial

dF = [(Fz,y Fy,z) dy dz + (Fz,x Fx,z) dx dz + (Fy,x Fx,y) dx dy] dt (Hx,x +Hy,y +Hz,z) dx dy dz [Hx,tdy dz Hy,tdx dz +Hz,tdx dy] dt

Usando las expresiones anteriores, podemos calcular dFdF = [(Fz,y Fy,z) dx (Fz,x Fx,z) dy + (Fy,x Fx,y) dz]

(Hx,x +Hy,y +Hz,z) dt [Hx,tdx+Hy,tdy +Hz,tdz]

Si ahora definimos los vectores F = (Fx, Fy, Fz) y H = (Hx, Hy, Hz) obtenemosdF en representacion vectorial como

dF = F dx Hdt

tH d

xla cual es una expresion vectorial muy interesante que usaremos mas adelante.

En funcion de la accion de los operadores sobre las p-formas, podemos clasificarlas p-formas de la siguiente forma.

Definicion 12. Una p-forma wp pse dice: Armonica si wp = 0 Cerrada si dwp = 0 Cocerrada si wp = 0 Exacta si wp = dp1 p1 p1 Coexacta si wp = p+1 p+1 p+1


La integracion de p-formas tiene dos teoremas que hacen de las p-formas objetosfacil de manipular. Vamos a presentar dos teoremas sin demostracion, el teorema deHodge, que dice que cualquier p-forma es la superposicion de una p-forma exacta,una mas coexata o otra amonica. As es posible escribir las p-formas en terminos deestas p-formas con caracteristicas muy especiales. Este teorema es de gran ayudacomo veremos. Y el segundo teorema es el teorema de Stokes, que como veremosen los ejemplos, es la generalizacion de una gran cantidad de teoremas matematicossobre integracion puestos todos en el mismo contexto. Empecemos por el teoremade Hodge, el cual estudiaremos sin demostrarlo.

Teorema 9 (Hodge). Sea Mn variedad compacta y sin frontera y p el con-junto de p-formas sobre Mn. Entonces

wp = dp1 + p+1 + p

para toda wp p, con p1 p1, p+1 p+1 y p p armonica.Y el teorema de Stokes, que tampoco demostraremos aqu.

Teorema 10 (Stokes). Sea Mn variedad con frontera no vaca. Sea wp1 p1 una p 1-forma sobre Mn. Entonces

M

dwp1 =

M

wp1

Para ver este teorema, es mejor ver la manera de trabajar con el. Para famil-iarizarnos con el teorema de Stokes vamos a estudiar algunos ejemplos en variosespacios.

Exemplo 10. En , n = 1, solo hay dos espacio de formas, las 0- y las 1-formas, es decir 0 y 1. Sea f 0 y df 1. Entonces se tiene

M

df =

f

M

.

Sea M = (a, b), entonces el teorema de Stokes es simplementea

b

df = f |ba = f (b) f (a)

que es el teorema fundamental del calculo.

Exemplo 11. En 2 hay tres espacios de formas, las 0-, 1-, y 2-formas, esdecir, 0,1 y 2. Sea w = w1dx + w2dy una 1-forma en 2. Entonces dw =w1,ydy dx+w2,xdx dy. La aplicacion del teorema de Stokes en este espacio nosda

M

dw =

M

w.

Sea M una superficie, su frontera es una curvaM

(w2,x w1,y) dx dy =

(w1dx+ w2dy) ,

Que es el teorema de Stokes en el plano, vean la figura 2


Figure 2. Region de integracion. M es una superficie y l es su contorno.

Exemplo 12. En 3 podemos definir 0-, 1-, 2- y 3-formas. Sea w una 1-forma en 3, su diferencial esta dada por dw = d (w1dx+ w2dy + w3dz). Vamos aescribir esta diferencial explicitamente, veamos

dw = w1,ydy dx+ w1,zdz dx+w2,xdx dy + w2,zdz dy+w3,xdx dy + w3,ydy dz

= (w2,x w1,y) dx dy+ (w3,x w1,z) dx dz+ (w3,y w2,z) dy dz=

1

2(wi,j wj,i) dxi dxj

=1

2ijkBkdx

i dxj

Si denotamos w = (w1, w2, w3), obtenemos que B =rot w, siendo B = (B1, B2, B3) .La aplicacion del teorema de Stokes

M

dw =M

w implica queM

rot w dS =M

B dS =M

w d x =

w d x

donde hemos usado el vector dS = (dy dz,dx dz, dx dy). Esta es la formuladel flujo magnetico sobre una superficie o ley de Gauss.

Vamos a estudiar algunos ejemplos utilizando parte del material desarrolladohasta ahora.

Exemplo 13. Vamos a iniciar de nuevo con el tensor electromagnetico delejemplo 1. Sea de nuevo el tensor A = Adx

+ d. Tomemos su diferencialF = dA = A,dx

dx, ya que dd = 0. Debido a la antisimetria del operador, el nuevo tensor F es antisimetrico, es el tensor de Faraday. En componentes


este tensor se escribe como F = Fdx dx, donde las componentes F estan

dadas por

F =1

2

0 Ax,t At,x Ay,t At,y Az,t At,z (Ax,t At,x) 0 Ay,x Ax,y Az,x Ax,z (Ay,t At,y) (Ay,x Ax,y) 0 Az,y Ay,z (Az,t At,z) (Az,x Ax,z) (Az,y Ay,z) 0

Por lo general tambien se escriben las componentes del tensor de Faraday en

terminos de las componentes del campo electrico y magnetico como

F =1

2

0 Ex Ey EzEx 0 Bz ByEy Bz 0 BxEz By Bx 0

As que

F = Eidxi dt+ ijkBidxj dxk= (Exdx dt+ Eydy dt+ Ezdz dt)+ Bxdy dz Bydx dz +Bzdx dy.

Comparando las componentes de las matrices, se puede ver que

E =At

+B = A

donde claramente se ha definido el vector A = (Ax, Ay, Az), y dos vectores mas, elvector electrico E = (Ex, Ey, Ez) y el vector magnetico B = (Bx, By, Bz), de talforma que las componentes del tensor electromagnetico son A =

(, A

). Como

se sigue que dF = ddA = 0, esto implica que dF = 0. Usando el resultado delejercicio 9 se tiene que

dF = E dx + Bdt+

tB d

x = 0

Esta identidad implica que

E+

tB = 0

B = 0las cuales son la ecuacion de Faraday y la ecuacion de Gauss para el campo magnetico,respectivamente. Analogamente, se puede obtener una expresion para F . Paraesto, vamos a obtener primero FF = Bxdx dt+Bydy dt+Bzdz dt (Exdy dz Eydx dz + Ezdx dy)Si ahora usamos el resultado del ejercicio 9 obtenemos que

d F = B dx + Edt+

tE d

x


de donde claramente se ven la ley de Ampere y la ley de Gauss para el campoelectrico, es decir

B

tE = 4 j

E = 4de donde concluimos que las ecuaciones de Maxwell en terminos de formas son

dF = 0

F = 4J(3.1)donde J = dt+ j d

x

Ejercicio 5. Muestre que la norma de Lorentz se puede representar comoA = 0

Exemplo 14 (Monopolo de Dirac). Ahora vamos a ver un ejemplo ya no en unespacio plano, sino en una variedad no trivial, por ejemplo sobre la pelota. Dada lageneralidad de las formas, podemo incluso resolver las ecuaciones de Maxwell 3.1sobre la pelota. Sea M = S2, y ya sabemos que unas bases de T S2 estan dadaspor

dx1 =dx

1 z +xdz

(1 z)2

dx2 =dy

1 z +ydz

(1 z)2

Cualquier 1-forma en T S2 se escribe entonces como A = A1dx1 + A2dx

2 y

su diferencial se obtiene como dA = (A2,2A1,1 ) dx1 dx2. Una expresionequivalente para este resultado es que F = ddA = 0. Analogamente, la aplicaciondel operador de Hodge a la 1-forma A nos da A = A1dx2 A2dx1. Deaqui podemos obtener la diferencial de esta ultima forma, obtenemos d A =(A1,1+A2,2 ) dx

1 dx2. Para obtener la segunda ecuacion de Maxwell, vamos

a obtener la aplicacion del operador se obtiene entonces

dA = (A1,2A2,1 ) dx1 dx2A = A1,1+A2,2 .

Si ahora usamos la Norma de Lorentz A = 0, podemos reducir las ecuacioneselectromagneticas sobre la esfera sustancialmente. Vamos a escribir la segundaecuacion de Maxwell. Se tiene que

F = d F = d (A1,2A2,1 )= (A1,21 dx1 +A1,22 dx2 A2,11 dx1 A2,12 dx2)= [ (A2,22+A2,11 ) dx1 + (A1,22+A1,11 ) dx2]= (A1,11+A1,22 ) dx

1 + (A2,11+A2,22 ) dx

2

donde ya hemos usado la norma de Lorentz para simplificar las ecuaciones. Unasolucion de las ecuaciones de Maxwell en el vacio F = 0 sobre la esfera es:

A1 = A0x2, A2 = A0x1


donde A0 es una constante. Observe que x1 = r

1 (p) = x/(1 z) and x2 =r2 (p) = y/(1 z). La solucion entoces es

A = A0(x2dx

1 x1dx2

)=

A0

(1 z)2 (ydx xdy)A0

(1 z)3 (xy yx) dz

Si ahora cambiamos las coordenadas a coordenadas esfericas ??, las cuales son masconvenientes para analizar este caso, se obtiene:

A =A0

(1 z)2 (ydx xdy) = A0(1 cos())(1 cos())d

A+ = A0 1 cos()1 + cos()

d

A = A0 1 + cos()1 cos()d

la cual es una solucion a las ecuaciones de Maxwell en el vacio sobre la pelota.

Exemplo 15. Vamos a tomar alguna solucion con fuentes. Supongamos quetenemos un tensor de corrientes dado por

J =x1

(x12 + x22 + 1)3dx1 +

x2

(x12 + x22 + 1)3dx2

(vamos a quitar en este ejemplo los subindices por comodidad). Igualando laecualcion F = 4J se llega a un sistema de ecuaciones

A1,11+A1,22 =4x1

(x12 + x22 + 1)3

A2,11+A2,22 =4x2

(x12 + x22 + 1)3

Este sistema tiene una solucion dada por

A1 =x1

2(x12 + x22 + 1)

A2 =x2

2(x12 + x22 + 1)

En terminos de las coordenadas de 3, la solucion (regresando a la notacion con) es

A =A0

(1 z) (ydx xdy) = A0 (1 cos()) dA+ = A0 (1 cos()) dA = A0 (1 cos()) d

Es decir A+ = A 2A0d. Por lo tanto A es solamente un campo de norma.A se llama el monopolo de Dirac

En la siguiente seccion vamos a introducir otros dos operadores diferenciales,uno es llamado derivada de Lie y el otro la derivada covariante. Ambos tienensu esfera de interes y se utilizan para diferentes objetivos. La derivada de Lie esmuy importante para encontrar simetrias en alguna variedad. Con ella es posibleencontrar los vectores de Killing, que son asociados a simetrias del espacio. Con la


derivada covariante se construye el tensor de curvatura, que es un tensor con el quepodemos medir esta en todo punto del espacio. Para poder introducir la derivadade Lie es necesario introducir algunos conceptos previos. Para esto necesitamosprimero algunas definiciones.

Definicion 13. Sea Mn variedad, U Mn y (, ) . Un grupo uni-parametrico de transformacion es una funcion suave : (, )U Mn talque

1) (0, x) = x2) (t+ s, x) = (t, (s, x)) para toda t, s , x Mn

Comentario 3. Observe que (t+ s, x) = (s+ t, x) = (s, (t, x))

El nombre de grupo es porque con esta funcion efectivamente se puede formarun grupo, de un solo parametro, esto se hace en la siguiente proposicion.

Proposicion 9. Sea : Mn Mn un grupo uniparametrico de transfor-maciones y

= {t :Mn Mn, x t (x) = (t, x)} .Entonces (, ) es un subgrupo del grupo de difeomorfismos.

Dem. 11. Se tiene que

t s (x) = t+s (x) = (t+ s, x) = (t, (s, x)) = t (s (x)) .Entonces es cerrado. t+s = s+t implica que es abeliano, 0 es la identidady t =

1t , ya que t t = 0

Como el grupo uniparametrico de transformaciones es una funcion de los realesa la variedad, se puede construir una curva. Entonces con la curva se puede construirla tangente a esta curva que a su vez define un vector. Entonce se dice que esta curvaes la curva integral del vector tangente a la curva. Vamos a hacer esto formalmente.

Definicion 14. Sea Mn variedad. Una curva integral de X TMn es uncamino suave : (a, b)Mn tal que (s) = X(s), s (a, b) vean la figura 3.

Figure 3. La curva integral del vector X , es el camino suaverepresentado en la figura.

Vamos a aclarar esta definicion un poco. Sea c = (U,, v) una carta y X TU .Entonces la funcion : (a, b) U es una curva que cumple con la propiedad

d : Ts T(s)Mn


tal que explicitamente se cumple la siguiente igualdad

d

(d

dt

s

)= X(s) :=

(s) =

d

dt .

donde hemos definido la funcion(s). Esto es, para una funcion cualquiera de la

variedad a los reales f :Mn se tiene que esta funcion cumple con las siguientesigualdades

(f) = d

(d

dt

s

)(f) =

d

dt

s

(f ) = X(s) (f) .

Vamos a tomar una funcion muy particular, sea f = xi, entonces se tiene lo sigu-iente:

(xi)

= d

(d

dt

s

)(xi)=

d

dt

s

(xi )

=d

dt

(xi ) (s) = Xj(s) xj

(s)

(xi)

= X(s)(xi)= X

(xj)( (s)) .

As es que se cumple ddt(xi ) = X (xj) . Esto quiere decir que, dado un

vector X en la variedad, para encontrar una curva integral, hay que resolver elsistema de ecuaciones diferenciales

(3.2)d

dt

(xi ) = X (xi)

Exemplo 16. Vamos a encontra la curva integral del vector

X = x2

x1 x1

x2

Entonces, de la ecuacion (3.2), las ecuaciones a resolver son (recuerden que r1 =x1 , r2 = x2 )

dr1

dt= X(x1) = r2

dr2

dt= X(x2) = r1

Una solucion a este sistema es r1 = r sin(t), r2 = r cos(t). Es facil ver que la curva

integral es un crculo de radio r, ya que r12+ r2

2= r2

Exemplo 17. Veamos ahora la curva integral del vector del ejemplo ??

X = (cos() 1)(cos()

+

sin()

sin()

)Entonces, de la ecuacion (3.2), las ecuaciones a resolver son

dr1

dt= X() = (cos(r1) 1) cos(r2)

dr2

dt= X() = (cos(r1) 1) sin(r2)

sin(r1)

Si dividimos la primera ecuacion entre la segunda y separamos las variables, pode-mos integrar este sistema de ecuaciones. El resultado es que (csc(r1) cot(r1)) =


c sin(r2). Una parametrizacion de esta curva esta dada por r1 = , r2 = 1/c arcsin(csc()cot()). La curva es graficada en la figura 4

Figure 4. Curva integral del vector del ejemplo 17. Como estevector corresponde a uno de los vectores base de la pelota, estacurva esta sobre la pelota y hay que imaginarsela dando vueltaalrededor de ella y con los extremos que se juntan.

Ejercicio 6. Encuetre la curva integral de los vectores

1) X =

x1+m

x2sobre 2

2) X = sin()

sobre S2

Otra propiedad importente del grupo unimarametrico de transformaciones esque induce dos importantes funciones. Con ellas vamos a poder construir la derivadade Lie. Vamos a definir estas funciones.

4. DERIVADA DE LIE Y DERIVADA COVARIANTE 23

Definicion 15. Sea : Mn Mn un grupo uniparametrico de transfor-maciones sobre Mn variedad. induce dos funciones

t :Mn Mnx t (x) = (t, x)

x : Mnt x (t) = (t, x) .

Entonces {t} es un subgrupo abeliano del grupo de difeomorfismos y x induce elvector X =

x.

Observe que el conjunto {x|x(t) = (t, x)} cumple que x y 6= y x engeneral, por lo que

d (x y)(

d

dt

s

)= dx dy

(d

dt

s

)= X Y 6= Y X= d (y x)

(d

dt

s

).

Esto es, la funcion x induce un producto que en general es un producto no con-mutativo entre los vectores de la variedad.

4. Derivada de Lie y Derivada Covariante

Debido a la rica estructura que tienen los tensores, es posible definir varios oper-adores diferenciales. En esta seccion vamos a introducir dos operadores diferencialesmuy importantes y utilizados en fsica, son operadores que generalizan la derivadanormal. La derivada de Lie es conveniente para espacios que tinen isometrias osimetrias especiales. Con la derivada de Lie, como veremos, es posible encontrarestas simetrias. La derivada covariante es un operador que convierte a un tensoren otro tensor, por eso su importancia como operador diferencial. A la derivadade Lie la vamos a introducir sin demostraciones, pero para la derivada covariantedaremos las demostraciones mas importantes. Ahora estamos listos para definir laderivada de Lie.

Definicion 16. Sea Mn variedad y T T rs tensor sobre Mn. Sea en grupouniparametrico de transformaciones sobre Mn, X =

x. La derivada de Lie de

T a lo largo de X se define como

LXT |p= limt0

1

t(T |p tT |p)

donde x y t son las funciones inducidas por .

La derivada de Lie tiene varias propiedades, que aqu vamos a poner sin de-mostracion, y que podemos resumir en la siguiente proposicion.

Proposicion 10. Sea LX derivada de Lie del vector X, entonces se cumple:1) LX preserva el tipo de tensor, es decir mapea LX : T

rs T rs

2) LX es lineal y preserva la contraccion3) Si S y T son tensores arbitarios, se cumple LX (S T ) = (LXS)T +S

(LXT )4) LXf = X (f) para f :M

n


5) LXY = LYX = [X,Y ] para toda X,Y TMn6) d (LXw) = LX(dw)

Finalmente, como dijimos, vamos a introducir otro operador diferencial, laderivada covariante. Para esto necesitamos introducir una nueva estructura llamadala conexion, y que vamos a denotar por . La idea de la conexon es dar una formade conectar un vector que es trasladado paralelamente a traves de la variedad. As,si el vector base ea es traslado paralelamente a lo largo de la curva , que tienecomo vector tangente al vector eb, el vector final trasladado paralelamente seraebea, vean la figura 5. Vamos a desarrolar esta idea con cuidado. Formalmentela definicion de conexion es:

Definicion 17. Una conexion para algun p Mn, variedad, es un mapeoque le asocia a cada tensor del tipo T T rs un tensor del tipo T rs+1 : T rs T rs+1tal que

1) es una derivacion en el algebra tensorial, i.e. (T + T ) = T + T y (S T ) = S T + S T2) f = df para toda f : Mn 3) = eaeb donde {ea}a=1, ,n y {eb}b=1, ,n son bases duales de T Mn y

TMn respectivamente.4) X es lineal, i.e. X+Y = X + Y .No hay una manera unica de definir la conexion en una variedad. La mas comun

es la conexion que hace que la derivada covariante haga cero al tensor metrico, lacual introduciremos mas adelante. Pero en general, la forma de definir la conexiones usando la siguiente regla.

Sea {ea}a=1,...,n una base de TMn no necesariamente coordinada, es decirea = e

ia

xi . Entonces

ebea = cabec TMndonde los coeficientes cab son funciones suaves, vean la figura 5, que se obtienendel producto cab = ec,ebea, donde

{eb}b=1, ,n

es la base dual a {ea}a=1, ,n,es decir eb = ebjdx

j y se cumple que

(4.1)eb, ea

= ebje

ja

dxj ,

xj

= ba.

De hecho, definir la conexion es equivalente a dar los valores de las funciones cabsobre la variedad. Para una base coordenada, los coeficientes de la conexion son

xj

xi= kij

xk

nosotros vamos a tomar siempre conexiones simetricas, es decir, para las basescoordenadas se cumple que

kij = kji

Ejercicio 7. Estudien como se comportan los coeficientes cab bajo un cambiode base (de coordenadas).

Conociendo la conexion en la variedad, se puede conocer la derivada covariantede un vector. La forma de hacerlos se ve en la siguiente proposicion.


Figure 5. El desplazamiento paralelo de un vector. Este de-splazamiento en una variedad define los coeficientes de la derivadacovariante entre bases dadas.

Proposicion 11. Las componentes de la derivada covariante del vector Y a lolargo del vector X, se ven como

XY =(Y a|bX

b)ea

donde {ea}a=1, ,n es una base de TMn y Y a|b = eb(Y a) + acbXc

Dem. 12. Tomemos X = Xbeb Y = Yaea, entonces

ebY = eb (Y aea)= (ebY a) ea + Y a (ebea)= eb (Y

a) ea + cabecY

a

= (eb (Ya) + acbY

c) ea

= Y a|bea

por la linearidad del operador ea se obtiene el resultado deseado. Notacion 4. En el caso que la base sea una base coordenada {dxi}, se acos-

tumbra denotar a la derivada covariante no por el simbolo |, sino por ; entonces:

xj

Y =(Y i,j +

ikjY

k) xi

= Y i;j

xi

Por supuesto Y = dxjY i;j xi no depende de las bases.De hecho, la definicion de la conexion o del transporte paralelo es equivalente.

Si se define una, se puede definir la otra. En este caso hemos definido a la conexion,entonces el trasporte paralelo se define como:

Definicion 18. Sea un camino en la variedad M , y sea X = el vectortangente a lo largo de . Se dice que el vector Y ha sido trasladado paralelamentea traves de X, si

XY = 0


Supongamos por facilidad que X = Xj xj , y que Y = Yi xi . Si desarrollamos

la formula de la definicion 18, se tiene

0 = XY = Xj xj

Y = Xj xj

Y =(XjY i,j +

ikjX

jY k) xi

que puede escribirse de la forma equivalente(X(Y i) + ikjX

jY k) = d (Y i )

dt+ ikjX

jY k = 0donde hemos usado la formula de la cuarva integral de la ecuacion (3.2) de X en laigualdad.

Exemplo 18. Vamos a discutir un ejemplo simple, para iniciar, vamos asuponer que la conexion es cero. Supongamos que tenemos el vector Y = Y 1 x1 +

Y 2 x2 el cual queremos desplazar paralelamente a lo largo de una curva. Ahoraveamos la ecuacion del desplazamiento paralelo, se tiene

dY 1 dt

= 0,dY 2

dt= 0

cuya solucion es Y 1 = Y 10 , Y2 = Y 20 , donde ya hemos puesto las condiciones

iniciales a la solucion, es decir, el valor del vector Y |t=t0 en el punto donde seinicia el desplazamiento. Este vector sera siempre Y |t=t0 , es decir, si la conexiones cero, un vector se desplaza paralelamente sin cambiar.

Exemplo 19. Ahora vamos a estudiar un ejemplo donde la conexion no escero. Sea la variedad M 2-dimensional, con coordenadas , y con la conexion

=sin()

cos() 1 = sin()

=

=

1

sin()

y vamos a transportar paralelamente un vector sobre esta variedad a lo largo delvector X dado por

X = sin()

cuya curva integral es un desplazamiento solo en la direccion y esta dada por laparametrizacion = 0 constante y = 0t. Entonces encontremos el desplaza-miento paralelo de un vector en M a lo largo de este vector, obtenemos

0 =d(Y )dt

+ XY + XY

=dy1

dt+ sin2(0)y

2

0 =d (Y )

dt+ X

Y + XY

=dy2

dt y1

Para obtener el desplazamiento paralelo de Y , hay que resolver este sistema de ecua-ciones con las condiciones iniciales correspondientes al punto inicial. La soluciondel sistema esta dada por

y1 (t) = C1 sin (sin (0) t) + C2 cos (sin (0) t)

y2 (t) =C2

sin (0)sin (sin (0) t) C1

sin (0)cos (sin (0) t)


Dado el valor inicial de y1 y y2, se fijan las constantes y se puede encontrar elvector desplazado paralelamente en otro punto, para algun valor de t.

De la misma forma podemos calcular la derivada covariante de una 1-forma,dado que ya conocemos la conexion en la variedad. Esto se ve en la proposicionsiguiente.

Proposicion 12. Sea conexion en Mn. Si ebea = cabec entonces ebea =acbec.

Dem. 13. Sea Y = Y aea TMn y w = wcec T Mn. Usemos el hecho que y por lo tanto eb son derivaciones, entonces

eb (wcY c) = wc|bY c + wcY c|b Y como wcY c es una funcion, se tiene:= eb (wc) Y

c + wceb (Yc) Por otro lado, se sigue que:

= (eb (wc) acbwa)Y c + wa (eb (Y a) + acbY c)Por lo que entonces ebw = wc|bec = (eb (wc) acbwa) ec

Ejercicio 8. Demuestre que las componentes de la derivada covariante ebT ,aplicada a un tensor T = T b1bra1aseb1 ebr ea1 eas estan dadas por

T b1bra1as|b = eb(Tb1bra1as) +

ri=1

bicb Tb1cbra1as

sj=1

cajb Tb1bra1cas

Existe una relacion entre todas los operadores diferenciales que hemos definido,la diferencial de p-formas, la derivada de Lie y la derivada covariante. Entre ladiferencial de p-formas y la derivada covariante la relacion es que la diferencial sepuede facilmente generalizar a espacios con conexion . La diferencial exterior,definicion 6, en espacios con conexion es

dw = xj

(wi1, ,ip

) dxi1 dxip ,que, por ejemplo, para una 1-forma w = wi dx

i se obtiene

dw = xj

(wi)dxi = (wi,j kijwk)dxi dxj .

Todas las proposiciones y teoremas que se aplican a la derivada exterior se siguenigualmente con la definicion extendida. Por lo general, los coeficientes de conexonen un sistema coordenado {dxi} son simetricos, es decir kij = kji, en tal caso ladefinicion anterior es exactamente la definicion 6.

La relacion entre la derivada de Lie y la derivada covariante, la cual veremossin demostracion, se sigue de la siguiente proposicon.

Proposicion 13. Sea

T = T b1bra1aseb1 ebr ea1 eastensor. Entonces la derivada de Lie a lo largo del vector X = Xc ec de este tensoresta dada por

(4.2) LXTb1bra1as = X

cT b1bra1as|c r

n=1

T b1cbra1as Xbn|c +

sm=1

T b1bra1casXc|am

Vamos a ver algunos ejemplos de como usar la formula (4.2).


Exemplo 20. Vamos a encontrar la derivada de Lie de un vector Y = Y beb alo largo del vector X = Xcec. Usando la formula (4.2) se tiene

LXYb = XcY b|c Y cXb|c = [X,Y ]b DbcdXcY d

donde Dbcd = bdcbcd. Si las componentes de la conexion son simetricas Dbcd = 0,

la ultima igualdad fue dada en la proposcion 10 sobre las propiedades de la derivadade Lie. Vamos a encontrar ahora la derivada de Lie de una uno forma w = wae

a

a lo largo del mismo vector X = Xcec. Usando la formula (4.2) se tiene

LXwa = Xcwa|c + wcX

c|a

Si {ej} = { xj }, {ei} = {dxi} son bases coordenadas, entoces solo hay que cambiarel simbolo | por ; y Dijk = 0 generalmente.

Exemplo 21. Ahora vamos a buscar la derivada de Lie a lo largo del vectorX = Xcec de un tensor T = Tabe

aeb. De nuevo, usando la formula (4.2) se tieneLXTab = X

cTab|c + TcbXc|a + TacX

c|b

Este resultado lo usaremos mas adelante.

El interes de la derivada de Lie radica en lo siguiente. Supongamos que esuna isometria (ver captulo 9 definicion ??). Es decir, esta funcion deja invariatela metrica (X,Y ) = ((X), (Y )) = (X,Y ). La presencia de isometriases comun en problemas reales, por ejemplo, si un prblema tiene simetria axial, lametrica del problema permanece inalterada alrededor del eje z, o si el prblema atratar es periodico, la metrica (Lorentziana) del problema tiene una isometria enel tiempo. Ahora bien, si es una isometria, la derivada de Lie de la metrica alo largo de su vector tangente = X es cero, lo cual se ve de la definicion 16.Es decir, las simetrias de un problema conducen siempre a derivadas de Lie de lametrica a lo largo del vector de la isometria igual a cero. A los vectores tangentegenerados por una isometria se les llama vectores de Killing. Su definicion formales la siguiente.

Definicion 19. Sea un grupo uniparametrico de trasformaciones que a suvez es una isomentria t g = g. Entonces el vector generado por x = X se llamavector de Killing

La manera de encontrar los vectores de Killing de una variedadM , es utilizandoel ejmplo 21. Para esto, supongamos que se tiene una metrica como la definida enel ejemplo 3. Entonces se sigue que

Proposicion 14. Un vector de Killing X = X i xi cumple con la ecuaciondiferencial

LXgij = Xkgij;k + gkjX

k;i + gikX

k;j = 0

donde la metrica esta dada como g = gijdxi dxj .

Dem. 14. Por sustitucion directa en el ejercicio 21

Comentario 4. Mas adelante veremos que una metrica es compatible con laconexion si su derivada covariante es cero, es decir, g = 0. Para estas metricas,las que mas nos interesan a nosotros, la ecuacion anterior se reduce a

Xj;i +Xi;j = 0


donde hemos definido Xk;i = gkjXk;i. A esta ecuacion se le llama la ecuacion de

Killing

Existen varias propiedades de los tensores cuando se les aplican los operadoresdiferenciales que hemos visto. En lo que sigue, vamos a deducir solo algunas de laspropiedades mas importantes. Vamos a iniciar con la siguiente proposicion.

Proposicion 15. Sean {ea = eai dxi} 1-formas base del espacio cotangenteT M y la derivada covariante en M , tal que abc es su conexion asociada. En-tonces se sigue que

dea = abceb ec

Dem. 15. Sea {eb = ekb xk } la base dual a {ea = eai dxi} en TM . De ladefinicion de la conexion abc, se sigue que

abc = ea,ceb = eai dxi, ekb;jejc

xk = eakejcekb;j

De una forma analoga se puede ver que

abc = cea, eb = eai;jejcdxi, ekb

xk = eak;jejcekb

Donde hemos usado para simplificar, la notacion ec = c. Si juntamos los dosresultados anteriores se tiene

abc = eake

jce

kb;j = eak;jejcekb

De la definicion de diferencial exterior se sigue que

dea = eak;idxi dxk

= eak;iij

kl dx

j dxl= eak;ie

bje

ibe

cl e

kcdx

j dxl= eak;ieicekb eb ec= abce

b ec

Esta es la llamada primera forma fundamental de Cartan.

Notacion 5. Es conveniente definir la 1-forma de conexon por

ab = abce

c

de tal forma que

dea + ab eb = 0

Para terminar esta seccion, vamos a definir las curvas geodesicas. Una curvageodesica es aquella que transporta paralelamente su vector tangente. Es decir:

Definicion 20. Sea una trayectoria en una variedad M y X su vector tan-gente, = X. Se dice que la curva descrita por esta trayectoria es una geodesicasi

XX = 0


Comentario 5. La ecuacion geodesica tambien puede escribirse usando laformula (3.2) de la curva integral del vector X.

(4.3)dX i

dt+ ijkX

jXk = d2ri

dt2+ ijk

drj

dt

drk

dt= 0

donde hemos usado la formula dri/dt = X i de la curva integral de X.Vamos a estudiar un ejemplo sencillo.

Exemplo 22. Vamos a estudiar un ejemplo donde la conexion es de la variedadM 2-dimensional, con coordenadas , del ejemplo 19. Recordando las ecuacionesdel desplazamiento paralelo, podemos escribir las ecuaciones para las geodesicas eneste espacio como

d2r

dt2+

sin()

cos() 1(dr

dt

)2+ sin()

(dr

dt

)2= 0

d2r

dt2 2

sin()

dr

dt

dr

dt= 0

La resolucion de este sistema no es simple y en algunos casos se pueden dar solu-ciones parciales o se resuelven estos sistemas numericamente.

5. El Tensor Metrico y el Tensor de Curvatura

La definicion de la conexion es, en general totalmente independiente de lametrica de la variedad. En esta seccion vamos a definir al tensor de curvaturaen terminos de la conexion. Eso quiere decir que la curvatura de la variedad es,en general, totalmente independiente de la metrica. El transporte paralelo, equiv-alente a la conexion, asi como la curvatura, son cantidades que no dependen, engeneral, de la metrica de la variedad. Estrictamente hablando, no hay forma defijar la conexion de una manera universal. En fsica, y mas concretamente en rela-tividad general, la conexion se fija utilizando las ecuaciones de Einstein. La razonpor la que introducimos al tensor metrico y al tensor de curvatura en la mismaseccion, es porque hay una manera particular de fijar la conexon conociendo el ten-sor metrico, que es la manera canonica utilzada en fsica para relacionar a los dostensores. As, las ecuaciones de Einstein son ecuaciones diferenciales para las com-ponentes del tensor metrico, que a la vez fija la conexion y con ello a la curvatura.Esta conexion es la que mas nos va a interesar aqu. Sin embargo, empezaremosintroduciendo al tensor de curvatura sin relacion con el tensor metrico, y despuesdiscutiremos el caso especial en el que si estan relacionados. Este ultimo caso es demucho interes porque la metrica fija la conexion y la curvatura de manera unica ynos limitaremos a estudiar las propiedades del tensor de curvatura solo para estecaso. Vamos a iniciar introduciendo el tensor metrico.

Definicion 21. Sea Mn una variedad n-dimensional y {wa}a=1, ,n una basede T M . Un tensor del tipo (0, 2) simetrico tal que

g = abwa wb

donde ()ab = ab = diag(1, ,1), es un tensor metrico de M .Notacion 6. A la matriz ab se le llama la signatura de la variedad. Si

es la matriz identidad, se dice que la variedad es Euclidiana. Si hay solo ununo con signo diferente a los demas, se dice que la variedad es Riemanniana.

5. EL TENSOR METRICO Y EL TENSOR DE CURVATURA 31

Sin embargo, en algunos libros (de matematicas) lo que aqu llamamos variedadEuclidiana lo llaman variedad Riemanniana y lo que aqui llamamos Riemannianalo llaman variedad Pseudoriemanniana o variedad Lorenziana.

Con el tensor metrico, la variedad y su espacio tangente adquieren varias es-tructuras. Si Mn es una variedad con metrica, entonces g es un producto internoentre vectores g(X,Y ). El espacio (TM, g) es un espacio Euclidiano y g su pro-ducto interno. Con este producto se define una norma tal que la norma del vectorX es ||X || =

g(X,X). Entoces (TM, || ||) es un espacio normado. Con la norma

definimos la metrica sobre TM como

(X,Y ) = ||X Y || =g(X Y,X Y ),

entoces (TM, ) es un espacio metrico (vea el captulo 9). Sin embargo, debe quedarclaro que solo si la sigatura corresponde a una variedad Euclidiana (y solo en estecaso), este tensor define un espacio Euclidiano. En el caso de la signatura Loren-ziana, el espacio (TM, g) se llama espacio pseudoeuclidiano, (TM, ||||), ||X || =g(X,X) es un espacio pseudonormado y (TM, ), (X,Y ) = ||X Y || es unespacio pseudometrico o Riemanniano en la variedad. Claramente, si tomamosuna base {eb} dual a {wa}, se tiene que ab = g(ea, eb). El caso mas interesanteen fsica es el de signatura Lorenziana, ya que corresponde al modelo del espaciotiempo. El espacio tiempo es una variedad Riemanniana 4-dimensional, en estecaso a los 4 vectores base del espacio cotangente se le llama tetrada. En espacioscon signatura Lorenziana entonces los vectores pueden tener normas no positivas.Se clasifica a los vectores segun su norma, si la norma es positiva se dice que elvector es tipo tiempo, si su norma es nula, el vector es tipo nulo y si tienenorma negativa, se dice que el vector es tipo espacio. Para signaturas Loren-zianas podemos usar la signatura = diag(1, 1, 11). Sin embargo, es posible usarsignaturas no diagonales, como

=

0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 0

Esta signatura define una base del espacio muy particular llamada tetrada nula, yaque g(ea, ea) = 0 (no sumatoria!) para todo a = 1, 2, 3, 4. Esto es, los vectores basedel espacio tangente tienen norma (magnitud) nula. Es mas, el producto internode los vectores e1 y e2 es g(e1, e2) = 1, y de los vectores e3 y e4 es g(e3, e4) = 1.Claramente, en este caso la norma y por tanto la distancia, no cumplen con elaxioma de ser definidas positivas. Esta signatura es de gran interes en relatividadgeneral.

En una base arbitraria, {wa = wai dxi}, el tensor metrico se escribe comog = gabw

a wb = gabwai wbjdxi dxj = gijdxi dxj

donde hemos definido la cantidad gij = gabwai w

bj . En ocaciones se acostumba

designar por el simbolo ds2 a la metrica, es decir ds2 = gijdxi dxj . Ahora vamos

a definir la metrica compatible con la conexion.

Definicion 22. Sea M variedad con conexion y metrica g. Se dice que g esuna metrica compatible con la conexion si

cg = 0, ec(gab) bac abc


para todo vector ec, donde hemos utilizado el resultado del ejercicio 8 y hemosdefinido la cantidad abc = gad

dbc.

De aqui se desprende inmediatamente que si la conexion y la metrica g soncompatibles, se sigue entonces una relacion para las componentes de la metricadada por

(5.1) dgab = ba + ab

ya que si multiplicamos la relacion de la definicion 22 por los duales ec de losvectores base ec, se llega a la relacion anterior, recordemos que

cb =

cbde

d.Esta definicion tambien trae como consecuencia que un tensor metrico compat-

ible con la conexion, define la univocamente la conexion en la variedad. Esto se veen la siguiente proposicion.

Proposicion 16. Sea Mn variedad n-dimensional con conexion y metricag compatible con la conexion. Entonces las componentes de la conexion son deter-minadas univocamente por las componentes del tensor metrico.

Dem. 16. Sea { xi }i=1, ,n una base coordenada de la variedad Mn. Dela definicion de compatibilidad para esta base coordenada entre la metrica y laconexion, se tiene que

gij,k + jik + ijk = 0gki,j ikj kij = 0gkj,i jki kji = 0

Si sumamos estas tres ecuaciones, obtenemos

kij =1

2(gki,j + gkj,i gij,k)

ya que kij es simetrica en los indices ij. Asi mismo podemos definir analogamentelos coeficientes de conexion

kij =1

2gkl (gli,j + glj,i gij,l)

donde gkl es la matriz inversa a gij, es decir gklglj =

kj .

Notacion 7. A los coeficientes de conexion kij de una base coordenada se lesllama simbolos de Christoffel.

Para poder obtener los coeficiente de conexion en otra base, observemos queea

abce

b ec no depende de las bases, asi que

abcea eb ec = abceia

xi ebjeckdxj dxk = ijk

xi dxj dxk

donde se ha definido la cantidad

ijk = eia

abce

bje

ck

Claramente hemos usado las bases duales {ea} y {eb}. Para escribir los coeficientesabc en terminos de los

ijk, se usan las relaciones de dualidad e

iae

bi =

ab y e

ibe

bj =

ij ,

de donde obtenemosabc = e

ai

ijke

jbe

kc

Ahora vamos a introducir la dos forma de curvatura. La curvatura se define enun espacio con conexion, no necesariamente con metrica. Formalmente su definiciones


Definicion 23. Sea Mn variedad y una conexion en Mn. Entonces la dosforma de curvatura o segunda forma fundamental de Cartan, se definecomo

ab = dab +

ac cb

En termino de sus componentes, podemos escribir a la dos forma de curvaturacomo ciertos coeficientes por la base de las 2-formas, es decir

ab =1

2Rabcde

c ed

donde claramente {ea} es una base de T Mn. A las componentes Rabcd se les conocecomo tensor de curvatura, ya que a su vez son las componentes de un tensor quese puede escribir como R = Rabcdea eb ec ed. Tambien podemos obtener lascomponentes de la dos forma de curvatura en terminos de las componentes de laconexion. Observemos que de su definicion se sigue

ab =(abc|d ecdabe

)ed ec + aecebdec ed

=1

2

(abc|d abd|c

)ed ec + 1

2(aec

ebd aedebc) ec ed

+1

2(ecdabe + edcabe) ed ec

=1

2

(abd|c abc|d + aecebd aedebc +Decdabe

)ec ed

de donde obtenemos que las componentes estan dadas por

Rabcd = abd|c abc|d + aecebd aedebc +Decdabe

En un sistema coordenado, las componentes del tensor de curvatura estan dadaspor una expresion un poco mas simple

Rijkl = ijl,k ijk,l + inknjl inlnjk

El tensor de curvatura tiene una interpretacion geometrica doble. Por un lado,es una medida de la diferencia que existe entre un vector y el mismo al ser trans-portado paralelamente a lo largo de una curva cerrada. El tensor de curvatura nosda una medida de cuanto se diferencia el vector inicial y el final, despues de sertransportado. Si la curvatura es cero, esa diferencia tambien es cero. Y tambiennos da la separacion que experimentan dos geodesicas al propagarse paralelamente.Si se trata de un espacio de curvatura cero, las geodesicas no se separan o se juntan,se propagan paralelamente. Pero si la curvatura no es cero, estas suelen separarseo juntarse. El tensor de curvatura es una medida de esta separacion.

El tensor de curvatura cumple con varias identidades y relaciones que sirvenpara simplificar su calculo. Vamos a derivar las mas importantes, empecemos poruna relacion que aplica a la segunda derivada de un vector y al tensor de curvatura.

Proposicion 17. Sea Mn variedad y la conexion en la variedad. Sea w =widx

i una 1-forma en Mn. Entonces se sigue que

wi;j;k wi;k;j = Rlijkwl


Dem. 17. La demostracion es por calculo directo, se tiene que wi;j = wi,j lijwl, entonces se sigue

wi;j;k =(wi,j lijwl

),k nik

(wn,j lnjwl

) njk (wi,n linwl)Recordemos que las componentes de la conexion en un sistema coordenado sonsimetricas, asi que

wi;j;k = wi,jk lij,kwl lijwl,k likwl,j niklnjwl njk(wi,n linwl

)wi;k;j = wi,jk lik,jwl likwl,j lijwl,k nijlnkwl njk

(wi,n linwl

) wi;j;k wi;k;j = lik,jwl lij,kwl + nijlnkwl niklnjwl = Rlijkwl

Ejercicio 9. Sea Mn variedad y X = X i xi . Demuestre que

X i;j;k X i;k;j = RiljkX l

Ejercicio 10. SeaMn variedad y T = T j1jri1is

xj1 xjr dxi1 dxis

un tensor en Mn. Demuestre por induccion que

T j1jri1is;j;k Tj1jri1is;k;j

=

sl=1

RniljkTj1jri1nis

r

l=1

RjlnjkTj1njri1is

Observen que de la proposicion 17 y del ejercicio 9 se desprenden la relacionpara las componentes del tensor de curvaturaRijkl = Rijlk. Si aplicamos la relaciondel ejercicio 8 al tensor de curvatura, obtenemos

gnm;j;k gnm;k;j = Rlnjkglm +Rlmjkgnlde donde se desprende que para una conexion compatible con la metrica g, se sigueque Rmnjk = Rnmjk, donde Rmnjk = Rlnjkglm.

Otra relacion que debemos explorar es las consecuencias sobre la curvatura dela realcion ddw = 0 para una 1-forma w. Dado que dw = wi;jdx

j dxi, se sugueque

ddw =(wi,j nijwn

);kdxk dxj dxi

=((wi,j nijwn

),k lik

(wl,j nljwn

) ljk (wi,l nilwn)) dxk dxj dxi=

(nij,kwn nijwn,k likwl,j liknljwn) dxk dxj dxi=

(nij,k liknlj)wndxk dxj dxi= Rnijkwndx

k dxj dxi = 0de donde se sigue la relacion

(5.2) Rnijk +Rnkij +R

njki = 0.

Una relacion que es muy importante para entender la teora general de la rela-tividad, son las identidades de Bianchi. Estas identidades se obtienen en la siguienteproposicion.


Proposicion 18 (Identidades de Bianchi). Sea Mn variedad con conexion y tensor de curvatura Rnijk. Entonces se sigue que

Rnijk;l +Rnikl:j +R

nilj;k = 0

Dem. 18. Sea w = wldxl una 1-forma en Mn. Si usamos la formula del

ejercicio 10 para el tensor wi;l, se obtiene

wi;l;j;k wi;l;k;j = Rnijkwn;l +Rnljkwi;nAhora aplicamos la derivada covariante al resultado de la proposicion 17, se obtiene

wi;j;k;l wi;k;j;l = Rnijk;lwn +Rnijkwn;lAhora usamos el mismo procedimiento anterior, sumamos ambos resultados ante-riores cambiando los indices j, k, l circularmente. Se obtiene

wi;l;j;k wi;l;k;j = Rnijkwn;l +Rnljkwi;nwi;k;l;j wi;k;j;l = Rniljwn;k +Rnkljwi;nwi;j;k;l wi;j;l;k = Rniklwn;j +Rnjklwi;n

wi;j;k;l wi;k;j;l = Rnijk;lwn +Rnijkwn;lwi;k;l;j wi;l;k;j = Rnikl;jwn +Rniklwn;jwi;l;j;k wi;j;l;k = Rnilj;kwn +Rniljwn;k

y restamos las 3 identidades de arriba menos los 3 identidades de abajo, se obtiene

0 =(Rnljk +R

nklj +R

njkl

)wi;n

(Rnijk;l +R

nikl;j +R

nilj;k

)wn

pero lo que esta entre el primer parentesis es cero, por la relacion (5.2) que enco-tramos anteriormente, asi que se sigue lo que buscamos.

Notacion 8. A las relaciones anteriores se les llama las Identidades deBianchi.

Resumen 1. Vamos a resumir las identidades salidas del tensor de curvatura.

1. Rijkl = Rijlk2. Rnljk +Rnklj +Rnjkl = 03. Rnijk;l +Rnikl;j +Rnilj;k Identidades de Bianchi4. Rmnjk = Rnmjk Conexiones Compatibles con la metrica

En lo que sigue veremos algunos ejemplos de curvatura, por supuesto, si conoce-mos la conexion, es sencillo calcular la curvartura usando su definicion o la segundaforma fundamental de Cartan. Pero nosotros vamos a utilizar solo conexiones queson compatibles con la metrica. Asi que para calcular la conexion conociendo lametrica, puede usarse la definicion de los simbolos de Christoffel o la primera formafundamental de Cartan. Vamos a resumir todas estas definciones en este espacio.


Resumen 2. Sea Mn variedad con metrica g = abdwa dwb = gijdxi

dxj, donde {w = widxi} es una base y {dxi} es una base coordenada del espaciocontangente T Mn. Entonces, la conexion y la curvatura estan determinadas por

1. dwa + ab wb = 02. ab = dab + ac cb Para una base no coordenada3. ijk =

1

2gil (glj,k + glk,j gjk,l)

4. Rijkl = ijl,k ijk,l + inknjl inlnjk Para una base coordenada

Exemplo 23. En este ejemplo vamos a utilizar la notacion convencional dwdw dw2. Vamos a buscar la metrica de la pelota S2. Como la pelota esta inmersaen 3, la forma mas simple de encotrar la metrica de la pelota es substituyendo laecuacion de la pelota de radio a, x2+ y2+ z2 = a2, en la metrica euclidiana de 3,dl23 = dx

2 + dy2 + dz2. Si substituimos

dz2 =(xdx + ydy)2

a2 (x2 + y2)obtenemos

dl2S2 = dx2 + dy2 +

(xdx + ydy)2

a2 (x2 + y2)Ahora bien, podemos usar coordenadas polares x = R cos(), y = R sin() en lametrica, para obtener

dl2S2 = R2d2 +

a2dR2

a2 R2Conviene escribir la metrica de la pelota en terminos del cociente r = R/a, entoncesla metrica se ve como

dl2S2 = a2

[dr2

1 r2 + r2d2

]Para finalizar este ejemplo, vamos a escribir la metrica del espacio 3 en terminosde las coordenadas esfericas ?? (vamos a cambiar la r de la definicion ?? por a,para denotar el radio de la esfera), se obtiene

dl23 = dx2 + dy2 + dz2 = da2 + a2

(d2 + sin2()d2

)la cual es la metrica euclidiana, pero ahora escrita en coordenadas esfericas. Silimitamos esta metrica a la pelota, es decir, si hacemos a =constante, obtenemos

dl2S2 = a2(d2 + sin2()d2

)= a2d2

que es la metrica de la pelota pero en coordenadas esfericas. Hay que comparala conla anterior forma que esta en coordenadas polares y con la metrica que se obtienesi g = dw1 dw1 + dw2 dw2, usando las formas de la pelota definidas en ?? enel ejemplo ??. Esta comparacion es la que justifica el uso de la notacion de esteejemplo.


Ahora vamos a calcular la conexion y la curvatura. Primero lo haremos usandola base coordenada. Usando las formulas del resumen 2, se obtiene

dl2S2 = a2

[dr2

1 r2 + r2d2

]rrr =

r

1 r2 r = r(1 r2) sin2(), = cot(), r =

1

r

Rrr = 1

1 r2 , Rrr = r

2 sin2()

y todas las demas componentes igual a cero. Tambien podemos calcular estas can-tidades de la metrica en coodenadas esfericas, se obtiene

dl2S2 = a2(d2 + sin2()d2

) = cot(),

= sin() cos()

R = sin2(), R = 1

Ejercicio 11. Siguiendo el ejemplo anterior, demuestre que la metrica de S3

en coordenadas esfericas esta dada por

dl2S3 = a2

[dr2

1 r2 + r2(d2 + sin2()d2

)]donde a es el radio de la esfera S3 y r/a r. Esta es la parte espacial de lametrica de Friedman-Robertson-Waker. Calcule la conexion y el tensor decurvatura de esta metrica.

Exemplo 24. Sea M4 una variedad con metrica de signatura Lorenziana dadapor g = abw

a wb, ab = diag(1, 1, 1, 1 1), donde la tetrada esta dada por

w1 =t

xxdx, w2 =

t

xxdy, x > 0

w3 =

3x

2dz +

2

3xdt, w4 =

2

3xdt

Lo primero que hay que notar, es que se debe cumplir la relacion 5.1, es decir,dab = ab + ba = 0, entonces la conexion es antisimetrica en los indices ab.Recordemos que ab = ad

db . Vamos a calcular la conexion utilizando las formulas

1 y 2 del resumen 2. Para esto encontremos primero la diferencial de la tetrada,esta es

dw1 = x3/2dt dx, dw2 = 32x5/2t dx dy + x3/2dt dy,

dw3 =1

2

(3

2x1/2dx dz

2

3x3/2dx dt

)dw4 = 1

2

2

3x3/2dx dt

que en terminos de la tetrada, se obtiene

dw1 =6x w4 w1, dw2 = 3

2

x w1 w2 + 1

t

6x w4 w2

dw3 =1

2

x w1 w3 2x w1 w4, dw4 = x w1 w4


De aqui podemos entonces leer las componentes de la conexion

14 = 6xw1 x w4

21 =3

2

xw2, 24 =

1

t

6x w2,

31 = 1

2

x w3 +

x w4, 34 =

x w1,

donde hemos tomado en cuenta la antisimetria de la conexion, por ejemplo, agre-gando terminos convenientes a las componentes 14 y

41. Ahora calculemos el tensor

de curvatura, obtenemos,

14 = 1

2x w1 w4

21 = x w2

((34+

6

t

)w1 +

6

tw4

)

24 = x w2

(3

2

(1

t 3

)w1 3

(2

t2+

1

2

)w4

)

31 = 1

4x w1 (w3 2 w4)

34 = x

(

3

2w1 w3 +

6 w1 w4 + 1

2w3 w4

)

de donde se pueden leer las componentes de la curvatura en esta base.

Para terminar este captulo, vamos a introducir tres tensores mas, estos sonla contraccion del tensor de curvatura, la traza de este tensor y una combinacionmuy adecuada de estos dos. Vamos a iniciar con las contracciones del tensor decurvatura.

Definicion 24. Sea Mn variedad y sea {ea} una base del espacio tangente condual {eb}. Sea conexion en Mn y tensor de curvatura R = Rabcdea eb ec ed.Entonces el tensor de Ricci es es la contraccion del tensor de curvatura, tal que

R = C12R = Rabade

b ed = Rbdeb ed

Analogamente, la traza del tensor de Ricci se llama escalar de Ricci, es decir

R = C11R = Rdd

donde Rcd = cbRbd

La importancia de estas dos nuevas cantidades radica en el siguiente proposicion

Proposicion 19. Sea Mn variedad y sea {ea} una base del espacio tangentecon dual {eb}. Sea g = abwawb una metrica en Mn compatible con la conexion.Sea conexion en Mn y tensor de curvatura R = Rabcdea eb ec ed. Entoncesse sigue que

Gab|b =

(Rab 1

2gab R

)|b

= 0


Dem. 19. Vamos a demostrar la proposicion en el sistema coordenado, la de-mostracion en general es equivalente. Ecribamos las identidades Bianchi en com-ponentes, contrayendo los indices adecuados para obtener el tensor de Ricci, estoes

0 = Rnink;l +Rnikl;n +R

niln;k = Rik;l + g

nmRmikl;n Ril;k = Rik;l gnmRimkl;nRil;kY volvamos a contraer los indices

Rkk;l gnmRkmkl;n Rkl;k = R;l gnmRml;n Rkl;k = R;l 2gnmRml;n = 0Si multiplicamos por 1/2 y la inversa de las componentes de la metrica en estaultima expresion, llegamos al resultado deseado.

Este resultado es de suma importancia en fsica, ya que es la ralacion funda-mental para definir las ecuaciones de Einstein.

Notacion 9. Al tensor Gabea eb cuyas componentes estan definidas por

Gab = Rab 12gab R

se le llama tensor de Einstein.

El hecho de que la contraccion del tensor de Einstein con la derivada covariatesea cero, hacen a este tensor el candidato idonea para ser la parte geometrica delas ecuaciones fundamentales de la gravitacion. Vamos a ver un ejemplo.

Exemplo 25. Vamos a calcular el tensor de Ricci de la pelota S2 en coorde-nadas esfericas. Primero hay que usar las propiedades del tensor de curvatura delresumen 1 para encontrar todas las componentes no cero del tensor. Lo primeroque hay que notar es que la unica componente no cero es R = a

2 sin2(), y conellos calcular

R = R +R

= 1, R = R

+R

= 0,

R = R +R

= 0, R = R

+R

= sin

2(),

Entonces podemos calcular el escalar de Ricci, haciendo R = R + R = 2/a

2 ycon el finalmente calcular el tensor de Einstein. El resultado es que G = 0.

Ejercicio 12. Calcule el tensor de Ricci, el escalar de Ricci y el tensor deEinstein para la metrica de la pelota S2 en coordenadas polares.

Ejercicio 13. Calcule el tensor de Ricci, el escalar de Ricci y el tensor deEinstein para la metrica de la pelota S3 en coordenadas esfericas.

Ejercicio 14. Calcule el tensor de Ricci, el escalar de Ricci y el tensor deEinstein para la metrica del ejemplo 24

topo3 tensores y p-formas.pdf

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