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Valores y vectores propios.Diagonalización por semejanza.
• Introducción
• Valores y vectores propios:
– Definición
– Cálculo y propiedades
– Caso particular: valores y vectores propios de matrices simétricas reales
– Aplicaciones
• Diagonalización de matrices:
– Planteamiento y resolución del problema
– Caso particular: diagonalización de matrices simétricas reales.
– Aplicaciones
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU
Los valores y vectores propios están presentes en gran parte de nuestra vida
Pueden buscarse por sus efectos beneficiosos o perjudiciales.
Su cálculo es complicado salvo en sistemas simples o especiales.
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU
Valores y vectores propios.
Diagonalización por semejanza.
• Introducción
• Valores y vectores propios:
– Definición
– Cálculo y propiedades
– Caso particular: matrices simétricas reales
– Aplicaciones
• Diagonalización de matrices:
– Planteamiento y resolución
– Caso particular: matrices simétricas reales.
– Aplicaciones
Ejemplo:
1 2 1 3 13
2 1 1 3 1
es un autovector de A asociado a = 3, ya que1
1x
1 2
2 1A
Cualquier otro vector αx también será autovector de A asociado a = 3 Dem
K es autovalor de A x ≠ 0 Kn / A x = x
x Kn es autovector de A K / A x = x
Valores y vectores propios.
Diagonalización por semejanza.
• Introducción
• Valores y vectores propios:
– Definición
– Cálculo y propiedades
– Caso particular: matrices simétricas reales
– Aplicaciones
• Diagonalización de matrices:
– Planteamiento y resolución
– Caso particular: matrices simétricas reales.
– Aplicaciones
Sea A Mnxn (K)
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Obtener los valores propios de A es equivalente a obtener los valores propios de f
Ejemplo: simetría respecto al eje OX
Los vectores del eje OX son vectores propiosasociados a = 1, ya que f(y) = 1· y
Los vectores del eje OY son vectores propiosasociados a = -1, ya quef(z) = -1· z
x
f(y)
z
f(z)
f(x)
y
Utilizando la matriz A2x2 que representa esta simetría se obtiene el mismo resultado Ver
Valores y vectores propios.
Diagonalización por semejanza.
• Introducción
• Valores y vectores propios:
– Definición
– Cálculo y propiedades
– Caso particular: matrices simétricas reales
– Aplicaciones
• Diagonalización de matrices:
– Planteamiento y resolución
– Caso particular: matrices simétricas reales.
– Aplicaciones
Anxn representa una aplicación lineal f: Rn → Rn
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>0 alarga o encoje cualquier vector propio x asociado a
y también cualquier combinación lineal de vectores propios asociados a
Los valores propios nos dan la llave para entender cómo funcionaun operador.
Valores y vectores propios.
Diagonalización por semejanza.
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– Definición
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– Caso particular: matrices simétricas reales
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• Diagonalización de matrices:
– Planteamiento y resolución
– Caso particular: matrices simétricas reales.
– Aplicaciones
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Ax x ( ) 0A I x sol trivial
0A I
Después, para cada valor propio i obtenido, se calcula el subespacio propio:
V(i) = {xKn / (A-iI) x = 0}
Primero se obtienen los valores propios: i
(polinomio de grado n en )
Ecuación característica: pA()=0
Polinomio característico: pA()
K es autovalor de AMnxn(K) es solución de la ecuación característica
Si K= C A posee exactamente n autovalores
Si K= R A posee a lo sumo n autovalores
Valores propios: ejemplos de cálculo Ejs. 1, 2 y 3 Vectores propios: ejemplos de cálculo Ej. 1 Ej. 2 Ej. 3
Valores y vectores propios.
Diagonalización por semejanza.
• Introducción
• Valores y vectores propios:
– Definición
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– Caso particular: matrices simétricas reales
– Aplicaciones
• Diagonalización de matrices:
– Planteamiento y resolución
– Caso particular: matrices simétricas reales.
– Aplicaciones
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Se llama multiplicidad algebraica, mi, de un autovalor i, a la multiplicidad
de i como raíz de la ecuación característica.
Se llama multiplicidad geométrica, μi, de un autovalor i, a la dimensión del
subespacio propio asociado a él: dim V(i)
1 i im
Ejemplos: Ej. 1 Ej. 2 Ej. 3 Ej. 4 Ej. 5
Los autovalores pueden ser repetidos o no.
Valores y vectores propios.
Diagonalización por semejanza.
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– Caso particular: matrices simétricas reales
– Aplicaciones
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– Planteamiento y resolución
– Caso particular: matrices simétricas reales.
– Aplicaciones
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Un autovector de una matriz cuadrada está asociado a un único autovalor
Autovectores asociados a autovalores distintos son linealmente independientes
Matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico y, por lo tanto, los mismos autovalores.
Vectores propios: propiedades
Tr (A) = 1 +2 +3 + … + n
|A|= 1· 2 · 3 · … · nEjs.
Valores propios: propiedades
Valores y vectores propios.
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A tiene n autovalores
Autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales
Sea A M nxn (R) simétrica; entonces:Valores y vectores propios.
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– Aplicaciones
• Diagonalización de matrices:
– Planteamiento y resolución
– Caso particular: matrices simétricas reales.
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Ej.
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Resolución de ecuaciones diferenciales (evolución de sistemas continuos)
Valores y vectores propios.
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– Caso particular: matrices simétricas reales
– Aplicaciones
• Diagonalización de matrices:
– Planteamiento y resolución
– Caso particular: matrices simétricas reales.
– Aplicaciones
Pero las ecs. diferenciales no son algo puramente matemático. Surgen en todos los campos de las Ciencias:
• Vibraciones (libres y forzadas)
• Estructuras (cargas críticas)
• Problemas de mezclas
• Problemas de crecimiento y competición de poblaciones
• Transmisión de fotografías
Aplicaciones:
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A M nxn (K) es diagonalizable D diagonal semejante a A
P regular / D = P-1 ·A· P siendo D diagonal
O considerando el endomorfismo representado por A:
E
B
fE
B
B’ B’
A
DAlgunas ventajas y aplicaciones.
Cálculo de la inversa: A-1 = ( P ·D· P-1)-1 = (P ·D· P-1)-1 = P ·D-1· P
Si A es diagonalizable A = P ·D· P-1
Cálculo de potencias: AK = ( P ·D· P-1)K = (P ·D· P-1) · (P ·D· P-1)· … · (P ·D· P-1) = P ·DK· P-1
Valores y vectores propios.
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– Definición
– Cálculo y propiedades
– Caso particular: matrices simétricas reales
– Aplicaciones
• Diagonalización de matrices:
– Planteamiento y resolución
– Caso particular: matrices simétricas reales.
– Aplicaciones un endomorfismo es diagonalizable una base en la que la matriz del endomorfismo es diagonal
Diagonalización por semejanza:
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Diagonalización:
Condición necesaria: Si A es diagonalizable A tiene n valores propios
Condición necesaria y suficiente: A es diagonalizable tiene n vectores propios lin. independientes
Condición suficiente: Si A tiene n valores propios distintos A es diagonalizable
1 2 3 nv v v v
P
1
2
3
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 n
D
V( 1
)V
( 2)
V( n
)
n vectores propios de A l.i
Valores propios de A
¡No todas las matrices son diagonalizables!
Las matrices no diagonalizables se dice que son defectivas
D es única, salvo permutaciones de los valores propios P no es única
Valores y vectores propios.
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– Cálculo y propiedades
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– Aplicaciones
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– Aplicaciones
Si A es diagonalizable
Ejemplos: Ej.1 Ej.2 Ej.4 Ej.5
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Caso particular: diagonalización de matrices simétricas reales por semejanza ortogonal
A M nxn (R) es diagonalizable ortogonalmente
es semejante a una matriz diagonal por medio de una matriz ortogonal
P ortogonal (P-1 = PT) / D = P-1 ·A· P = PT ·A· P
Ej.
A M nxn (R) es simétrica es diagonalizable ortogonalmente
Valores y vectores propios.
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– Cálculo y propiedades
– Caso particular: matrices simétricas reales
– Aplicaciones
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– Caso particular: matrices simétricas reales.
– Aplicaciones
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Valores y vectores propios.
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– Cálculo y propiedades
– Caso particular: matrices simétricas reales
– Aplicaciones
• Diagonalización de matrices:
– Planteamiento y resolución
– Caso particular: matrices simétricas reales.
– Aplicaciones
Ecuaciones en diferencias (evolución de sistemas discretos)
Diagonalización de formas cuadráticas
Desacoplar sistemas de ecuaciones
Aplicaciones:
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x
f(y)
z
f(z)
f(x)
y
1 0 1 1 11
0 1 0 0 0
1 0 0 0 01
0 1 1 1 1
La matriz que representa esta simetría en la base canónica es:1 0
0 1A
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2 2
1 2;
2 1xA
21 2( ) 2 3 ;
2 1Ap A I
( ) 0Ap
1 = -1
2 = 3
3 3
1 0 2
1 2 4 ;
2 0 1xA
3 2
1 0 2
( ) 1 2 4 4 11 24;
2 0 1Ap A I
( ) 0Ap 1 = -1
2 = 23 = 3
3 3
1 0 1
0 4 0 ;
1 0 2xA
3 2
1 0 1
( ) 0 4 0 7 15 12;
1 0 2Ap A I
( ) 0Ap 1 = 4
2
3 3
2 2i
3
3 3
2 2i
¡Si A(R) → un único valor propio!
Si A(C) → tres valores propios
2 valores propios
3 valores propios
pA() = 0Cálculo de valores propios: ejemplos
Ej. 1
Ej. 2
Ej. 3
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( ) 0A I x
2 2
1 2;
2 1xA
( ) 0Ap 1 = -1
2 = 3
1 = -1 V(-1)={xK2 / A·x = -1·x } ={xK2 / (A+1·I)·x = 0}
1
2
2 2 0
2 2 0
x
x
1 2
1 2
2 2 0
2 2 0
x x
x x
Resolviendo: 2 1x x
1 1( 1)T
x V x x x ( 1) 1 1T
VB Obsérvese que dim V(-1) = dim K2 - nº ecs. l.i== 2 - 1 = 1
rg (A+1·I) 2 = 3 V(3)={xK2 / A·x = 3·x } ={xK2 / (A-3·I)·x = 0}
1
2
2 2 0
2 2 0
x
x
Resolviendo: 2 1x x
1 1(3)T
x V x x x (3) 1 1T
VB Obsérvese que dim V(3) = dim K2 - nº ecs. l.i== 2 - 1 = 1
rg (A-3·I)
1 2
1 2
2 2 0
2 2 0
x x
x x
Cálculo de vectores propios: Ej. 1
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1 = -1 V(-1)={xK3 / A·x = -1·x } ={xK3 / (A+1·I)·x = 0}
1
2
3
2 0 2 0
1 3 4 0
2 0 2 0
x
x
x
1 3
1 2 3
1 3
2 2 0
3 4 0
2 2 0
x x
x x x
x x
Resolviendo:3 1
2 1
5
3
x x
x x
1 1 1
5( 1)
3
T
x V x x x x
( 1)
51 1
3
T
VB
dim V(-1) = dim K3 - nº ecs. l.i== 3 - 2 = 1
rg (A+1·I)
3 3
1 0 2
1 2 4 ;
2 0 1xA
( ) 0Ap 1 = -1
2 = 23 = 3
2 = 2 V(2)={xK3 / A·x = 2·x } ={xK3 / (A-2·I)·x = 0}
2(2) 0 0T
x V x x (2) 0 1 0T
VB dim V(-1) = dim K3 - nº ecs. l.i== 3 -2 = 1
3 = 3 V(3)={xK3 / A·x = 3·x } ={xK3 / (A-3·I)·x = 0}
1 1 1(3) 3T
x V x x x x (3) 1 3 1T
VB dim V(-1) = dim K3 - nº ecs. l.i== 3 -2 = 1
rg (A+2·I)
rg (A-3·I)
Cálculo de vectores propios: Ej. 2 ( ) 0A I x
Resolviendo:
Resolviendo:
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3
3 3
2 2i
V(2)={xK3 / A·x = 2 ·x } ={xK3 / (A- 2·I)·x = 0}
1
2
3
1 30 1
2 20
5 30 0 0
2 20
1 31 0
2 2
ix
xi
xi
Res:1 3
2
1 3
2 2
0
x i x
x
3 3
3 3 1 3( ) 02 2 2 2
T
x V i x i x x
2( )
1 30 1
2 2
T
VB i
3 3
1 0 1
0 4 0 ;
1 0 2xA
1 = 4 V(4)={xK3 / A·x = 4·x } ={xK3 / (A-4·I)·x = 0} (4) 0 1 0
T
VB
( ) 0Ap 1 = 4
2
3 3
2 2i
3
3 3
2 2i
2
3 3
2 2i
V(3)={xK3 / A·x = 3 ·x } ={xK3 / (A- 3·I)·x = 0}
3 3
3 3 1 3( ) 02 2 2 2
T
x V i x i x x
3( )
1 30 1
2 2
T
VB i
2(4) 0 0T
x V x x Res:
Res:
Cálculo de vectores propios: Ej. 3 ( ) 0A I x
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μ1 = 1 = m1
m1 = 1
m2 = 1
( ) 0A I x
2 2
1 2;
2 1xA
( ) 0Ap 1 = -1
2 = 3
1 = -1 V(-1)={xK2 / A·x = -1·x } ={xK2 / (A+1·I)·x = 0}
1
2
2 2 0
2 2 0
x
x
1 2
1 2
2 2 0
2 2 0
x x
x x
Resolviendo: 2 1x x
1 1( 1)T
x V x x x ( 1) 1 1T
VB Obsérvese que dim V(-1) = dim K2 - nº ecs. l.i== 2 - 1 = 1
rg (A+1·I) 2 = 3 V(3)={xK2 / A·x = 3·x } ={xK2 / (A-3·I)·x = 0}
1
2
2 2 0
2 2 0
x
x
Resolviendo: 2 1x x
1 1(3)T
x V x x x (3) 1 1T
VB Obsérvese que dim V(3) = dim K2 - nº ecs. l.i== 2 - 1 = 1
rg (A-3·I)
1 2
1 2
2 2 0
2 2 0
x x
x x
Cálculo de vectores propios: Ej. 1
μ2 = 1 = m2
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m1 = 1
1 = -1 V(-1)={xK3 / A·x = -1·x } ={xK3 / (A+1·I)·x = 0}
1
2
3
2 0 2 0
1 3 4 0
2 0 2 0
x
x
x
1 3
1 2 3
1 3
2 2 0
3 4 0
2 2 0
x x
x x x
x x
Resolviendo:3 1
2 1
5
3
x x
x x
1 1 1
5( 1)
3
T
x V x x x x
( 1)
51 1
3
T
VB
dim V(-1) = dim K3 - nº ecs. l.i== 3 - 2 = 1
rg (A+1·I)
3 3
1 0 2
1 2 4 ;
2 0 1xA
( ) 0Ap 1 = -1
2 = 23 = 3
2 = 2 V(2)={xK3 / A·x = 2·x } ={xK3 / (A-2·I)·x = 0}
2(2) 0 0T
x V x x (2) 0 1 0T
VB dim V(-1) = dim K3 - nº ecs. l.i== 3 -2 = 1
3 = 3 V(3)={xK3 / A·x = 3·x } ={xK3 / (A-3·I)·x = 0}
1 1 1(3) 3T
x V x x x x (3) 1 3 1T
VB dim V(-1) = dim K3 - nº ecs. l.i== 3 -2 = 1
rg (A+2·I)
rg (A-3·I)
Cálculo de vectores propios: Ej. 2 ( ) 0A I x
Resolviendo:
Resolviendo:
m2 = 1 m3 = 1
μ1 = 1 = m1
μ2 = 1 = m2
μ3 = 1 = m3
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3
3 3
2 2i
V(2)={xK3 / A·x = 2 ·x } ={xK3 / (A- 2·I)·x = 0}
1
2
3
1 30 1
2 20
5 30 0 0
2 20
1 31 0
2 2
i
x
xi
xi
Res:1 3
2
1 3
2 2
0
x i x
x
3 3
3 3 1 3( ) 02 2 2 2
T
x V i x i x x
2( )
1 30 1
2 2
T
VB i
3 3
1 0 1
0 4 0 ;
1 0 2xA
1 = 4 V(4)={xK3 / A·x = 4·x } ={xK3 / (A-4·I)·x = 0} (4) 0 1 0
T
VB
( ) 0Ap 1 = 4
2
3 3
2 2i
3
3 3
2 2i
2
3 3
2 2i
V(3)={xK3 / A·x = 3 ·x } ={xK3 / (A- 3·I)·x = 0}
3 3
3 3 1 3( ) 02 2 2 2
T
x V i x i x x
3( )
1 30 1
2 2
T
VB i
2(4) 0 0T
x V x x Res:
Res:
Cálculo de vectores propios: Ej. 3 ( ) 0A I x
m1 = 1
m3 = 1
μ1 = 1 = m1
μ2 = 1 = m2
μ3 = 1 = m3
m2 = 1
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3 2 2( ) 6 32 ( 2) ( 4) 0Ap 1 = -2 , m1 = 1
2 = 4 , m2 = 2
1 = -2 V(-2)={xK3 / A·x = -2·x } ={xK3 / (A+2·I)·x = 0} 2 2 2( 2) 6 6
Tx V x x x x
Res: ( 2) 6 1 6
T
VB
2 = 4 V(4)={xK3 / A·x = 4·x } ={xK3 / (A-4·I)·x = 0}
1
2
3
4 0 2 0
1 0 0 0
4 0 2 0
x
x
x
Resolviendo: 3 1 0x x
2(4) 0 0T
x V x x (4) 0 1 0T
VB dim V(4) = dim K3 - nº ecs. l.i== 3 - 2 = 1
rg (A-4·I)
1 3
1
1 3
4 2 0
0
4 2 0
x x
x
x x
μ1 = 1= m1
μ2 = 1< m2
3 3
0 0 2
1 4 0 ;
4 0 2xA
Ej. 4
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2 3 6 3
0 5 6 6;
6 3 10 3
6 6 0 7
A
4 3 2 2 2( ) 10 33 40 16 ( 1) ( 4) 0Ap 1 = 1 , m1 = 2
2 = 4 , m2 = 2
1 = 1 V(1)={xK3 / A·x = 1·x } ={xK3 / (A-1·I)·x = 0}
2 = 4 V(4)={xK3 / A·x = 4·x } ={xK3 / (A-4·I)·x = 0}
3 3 4 3 4(1)T
x V x x x x x x
(1) 0 1 0 1 , 1 1 1 0T T
VB
dim V(1) = dim K4 - nº ecs. l.i= 4 – rg (A-1 I)= 4 – 2= 2
1
2
3
4
3 3 6 3 0
0 6 6 6 0
6 3 9 3 0
6 6 0 6 0
x
xA
x
x
μ1 = 2 = m1
3 4 3 4 3 4
2 1 2 2(4)
3 6 3 3
T
x V x x x x x x x
dim V(4) = dim K4 - nº ecs. l.i= 4 – rg (A-4 I)= 4 – 2= 2
1
2
3
4
6 3 6 3 0
0 9 6 6 0
6 3 6 3 0
6 6 0 3 0
x
xA
x
x
(4)
2 2 1 21 0 , 0 1
3 3 6 3
T T
VB
μ2 = 2 = m2
Res:
Res:
Ej. 5
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Tr(A) = 2 = -1+3
|A| = -3 = -1·3
Tr(A) = 4 = -1+2+3
|A| = -6 = -1·2·3
2 2
1 2;
2 1xA
21 2( ) 2 3 ;
2 1Ap A I
( ) 0Ap
1 = -1
2 = 3
3 3
1 0 2
1 2 4 ;
2 0 1xA
3 2
1 0 2
( ) 1 2 4 4 11 24;
2 0 1Ap A I
( ) 0Ap 1 = -1
2 = 23 = 3
3 3
1 0 1
0 4 0 ;
1 0 2xA
3 2
1 0 1
( ) 0 4 0 7 15 12;
1 0 2Ap A I
( ) 0Ap 1 = 4
2
3 3
2 2i
3
3 3
2 2i
¡Si A(R) → un único valor propio!
Si A(C) → tres valores propios
2 valores propios
3 valores propios
pA() = 0Cálculo de valores propios: ejemplos
Ej. 1
Ej. 2
Ej. 3
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU
1 2 2 0 0
2 1 2 0 0
2 2 1 0 0
0 0 0 5 0
0 0 0 0 5
A
( ) 0Ap 1 = -1
2 = 5
1 = -1 V(-1)={x5 / A·x = -1·x } ={xR5 / (A+1·I)·x = 0}
( 1) 1 0 1 0 0 , 1 1 0 0 0T T
VB
2 = 5 V(5)={x5 / A·x = 5·x } ={xR5 / (A-5·I)·x = 0}
(5) 0 0 0 0 1 , 0 0 0 1 0 , 1 1 1 0 0T T T
VB
m1 = 2
m2 = 3
μ1 = 2 = m1
μ2 = 3 = m2
Valores y vectores propios de matrices simétricas reales: ejemplo
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU
μ1 = 1 = m1
m1 = 1
m2 = 1
2 2
1 2;
2 1xA
( ) 0Ap 1 = -1
2 = 3
1 = -1 V(-1)={xK2 / A·x = -1·x } ={xK2 / (A+1·I)·x = 0}
1 1( 1)T
x V x x x ( 1) 1 1T
VB
2 = 3 V(3)={xK2 / A·x = 3·x } ={xK2 / (A-3·I)·x = 0}
1 1(3)T
x V x x x (3) 1 1T
VB
Diagonalización: Ej. 1
μ2 = 1 = m2
A diagonalizable
1 0
0 3D
1 1
1 1P
V( 1
)V
( 2)
1
2
D = P-1 · A · P
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU
1 = -1 V(-1)={xK3 / A·x = -1·x } ={xK3 / (A+1·I)·x = 0}
1 1 1
5( 1)
3
T
x V x x x x ( 1)
51 1
3
T
VB
3 3
1 0 2
1 2 4 ;
2 0 1xA
( ) 0Ap 1 = -1
2 = 23 = 3
2 = 2 V(2)={xK3 / A·x = 2·x } ={xK3 / (A-2·I)·x = 0}
2(2) 0 0T
x V x x (2) 0 1 0T
VB
3 = 3 V(3)={xK3 / A·x = 3·x } ={xK3 / (A-3·I)·x = 0}
1 1 1(3) 3T
x V x x x x (3) 1 3 1T
VB
Diagonalización: Ej. 2
m1 = 1
m3 = 1 m2 = 1 A diagonalizable
μ1 = 1 = m1
μ2 = 1 = m2
μ3 = 1 = m3
1 0 0
0 2 0
0 0 3
D
1 0 1
51 3
31 0 1
P
V( 1
)V
( 2)
1 2 3
V( 3
)
D = P-1 · A · P
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU
( ) 0Ap 1 = -2 , m1 = 1
2 = 4 , m2 = 2
1 = -2 V(-2)={xK3 / A·x = -2·x } ={xK3 / (A+2·I)·x = 0} 2 2 2( 2) 6 6
Tx V x x x x
Res: ( 2) 6 1 6
T
VB
2 = 4 V(4)={xK3 / A·x = 4·x } ={xK3 / (A-4·I)·x = 0}
2(4) 0 0T
x V x x (4) 0 1 0T
VB
μ1 = 1= m1
3 3
0 0 2
1 4 0 ;
4 0 2xA
Diagonalización: Ej. 4
μ2 = 1< m2
A diagonalizable dim V(4)=2
¡A no es diagonalizable!
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU
2 3 6 3
0 5 6 6;
6 3 10 3
6 6 0 7
A
2 2( ) ( 1) ( 4) 0Ap 1 = 1 , m1 = 2
2 = 4 , m2 = 2
1 = 1 V(1)={xK3 / A·x = 1·x } ={xK3 / (A-1·I)·x = 0}
2 = 4 V(4)={xK3 / A·x = 4·x } ={xK3 / (A-4·I)·x = 0}
3 3 4 3 4(1)T
x V x x x x x x (1) 0 1 0 1 , 1 1 1 0T T
VB
μ1 = 2 = m1
3 4 3 4 3 4
2 1 2 2(4)
3 6 3 3
T
x V x x x x x x x
(4)
2 2 1 21 0 , 0 1
3 3 6 3
T T
VB
μ2 = 2 = m2
A diagonalizable dim V(1)=2 ^ dim V(4)=2
A es diagonalizable
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 4 0
0 0 0 4
D
1
1
2
2 2 10 1
3 62 2
1 13 3
0 1 1 0
1 0 0 1
P
V(2)V(2
)V( 1)
V( 1)
D = P-1 · A · P
Diagonalización: Ej. 5
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU
1 2 2 0 0
2 1 2 0 0
2 2 1 0 0
0 0 0 5 0
0 0 0 0 5
A
1 = -1
2 = 5
1 = -1 V(-1)={x5 / A·x = -1·x } ={xR5 / (A+1·I)·x = 0}
( 1) 1 0 1 0 0 , 1 1 0 0 0T T
VB
1 = 5 V(5)={x5 / A·x = 5·x } ={xR5 / (A-5·I)·x = 0}
(5) 0 0 0 0 1 , 0 0 0 1 0 , 1 1 1 0 0T T T
VB
m1 = 2
m2 = 3
μ1 = 2 = m1
μ2 = 3 = m2
v1 v2
v3 v4 v5
A diagonalizable
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 5 0 0
0 0 0 5 0
0 0 0 0 5
D
1 1 0 0 1
0 1 0 0 1
1 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
P
D = P-1 · A · P
1
1 2
2
2
V( 1
)
V( 1
)
V( 2
)
V( 2
)V
( 2)
Pero además, A es diagonalizable ortogonalmente; es decir, podemos conseguiruna matriz P ortogonal tal que D= P-1 · A · P = PT · A · P.
Diagonalización de matrices simétricas por semejanza ortogonal: ejemplo
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU
Para ello se necesita una base de vectores propios ortonormada. Por ser A simétrica estetipo de base existe.
( 1) 1 0 1 0 0 , 1 1 0 0 0T T
VB
v1 v2
(5) 0 0 0 0 1 , 0 0 0 1 0 , 1 1 1 0 0T T T
VB
v3 v4 v5
Teníamos: B= {v1, v2, v3, v4, v5} base de vectores propios
2º Normalizando cada vector, se obtiene B’’= {v’’1, v’’2, v’’3, v’’4, v’’5} base ortonormada de vectores propios
D = P-1 · A · P = PT · A · P
Para cada subespacio propio se puede conseguir una base ortogonal
Además, todos los vectores pertenecientes a V(-1) son ortogonales a los vectores pertenecientes a V(5), por ser A simétrica.
( 1)
1 1' 1 0 1 0 0 , 1 0 0
2 2
TT
VB
V’1 V’2
En este caso BV(5) ya era ortogonal
(5) (5)' 0 0 0 0 1 , 0 0 0 1 0 , 1 1 1 0 0T T T
V VB B
V’3 V’4 V’5
1º Buscamos una base ortogonal de vectores propios: B’= {v’1, v’2, v’3, v’4, v’5}
1 2 1 1 1'' 1 0 1 0 0 , 1 0 0 , 0 0 0 0 1 , 0 0 0 1 0 , 1 1 1 0 0
3 2 22 3
TT T T T
B
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 5 0 0
0 0 0 5 0
0 0 0 0 5
D
1 1 10 0
62 3
2 10 0 0
3 3
1 1 10 0
62 30 0 0 1 0
0 0 1 0 0
P
1
1
2 2
2
V( 1
)
V( 1
)
V( 2
)
V( 2
)
V( 2
)
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU