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Valores yVectoresPropios

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Multiplicidades

Algebra Lineal:Valores y Vectores Propios

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IntroduccionLos valores y vectores propios son muy importantes en elanalisis de sistemas lineales. En esta presentacion veremos sudefinicion y como se calculan.

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Valores y vectores propiosSea A una matriz cuadrada, un numero real λ se dice que esun valor propio o un eigenvalor o un valor caracterıstico de A siexiste un vector, diferente del vector cero, xo tal que:

Axo = λ xo

Es decir, es un vector que al transformarlo mediante lamultiplicacion por A el vector resultante mantiene la direccion,posiblemente solo su longitud y/o sentido se modifique. Elvector xo se llama vector propio o eigenvector o vectorcaracterıstico asociado al valor propio λ.

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Para la matriz A

A =

[1 22 1

]Indique cuales vectores son vectores propios:

v1 =

(11

), v2 =

(23

), v3 =

(−1

1

), v4 =

(02

)Solucion:Veamos si v1 es vector propio de A:

Av1 =

[1 22 1

](11

)=

(33

)Ahora veamos si Av1 es un multiplo de v1:

Av1 =

(33

)= 3

(11

)= 3 v1

Por tanto, v1 sı es vector propio de A y esta asociado al valorpropio 3.

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Veamos si v2 es vector propio de A:

Av2 =

[1 22 1

](23

)=

(87


Av2 =

(87

)6= k

(23

)Por tanto, v2 no es vector propio de A.El calculo para v1 y para v2 se realizan en la calculadora comose ilustra en la siguiente figura.

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Veamos si v3 es vector propio de A:

Av3 =

[1 22 1

](−1

1

)=

(1−1


Av3 =

(1−1

)= −1

(−1

1

)Por tanto, v3 sı es un vector propio de A y esta asociado alvalor propio -1.Veamos si v4 es vector propio de A:

Av4 =

[1 22 1

](02

)=

(42


Av4 =

(42

)6= k

(02

)por tanto, v4 no es vector propio de A �

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Multiplicidades

Indique cuales de los siguientes valores

λ1 = −1, λ2 = 1, λ3 = −2, λ4 = 2

son valores propios de la matriz A:

A =

[5 −36 −4

]Solucionλ1 es valor propio ssi existe un vector x diferente de cero talque:

A x = λ1x

Es decir, ssi

(A− λ1 I) x = A x− λ1I x = A x− λ1 x = 0

no tiene solucion unica:

[A− λ1 I|0] =

[5− (−1) −3 0

6 −4− (−1) 0

]→[

1 −1/2 00 0 0

]

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Como el sistema tiene una variable libre, el sistema tieneinfinitas soluciones: por tanto ademas de la solucion x = 0,existen muchos vectores x diferentes del vector cero tales queAx = λ1 x. Por tanto, λ1 sı es valor propio de la matriz A. Dehecho, podemos encontrar la solucion general al sistemaanterior:[

1 −1/2 00 0 0

]→ {x − 1/2y = 0 →

{x = 1/2 yy = y

Por tanto, todos los vectores propios asociados a λ1 seobtienen:

x = y

(1/2

1

), con y 6= 0

Veamos si λ2 es valor propio de A:

[A− λ2 I|0] =

[5− (1) −3 0

6 −4− (1) 0

]→[

1 0 00 1 0

]

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Como el sistema tiene solucion unica x = 0, por tanto no existeun vector diferente de cero x que cumpla A x = λ2 x. Portanto, λ2 no es un vector propio de A.La regla es :

λ es valor propio de A ssi al reducir [A− λ I|0] setiene al menos una variable libre.


[A− λ3 I|0] =

[5− (2) −3 0

6 −4− (2) 0

]→[

1 −1 00 0 0

]Una variable libre; por tanto, λ3 sı es valor propio de A.


[A− λ4 I|0] =

[5− (−2) −3 0

6 −4− (−2) 0

]→[

1 0 00 1 0

]Ninguna variable libre; por tanto, λ4 no es valor propio de A �

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Cuando se tiene una calculadora que puede calcular valores yvectores propios es mas facil. Basta comparar lo numerosdados con los obtenidos por la calculadora.

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Determinacion de Valores PropiosSea λo un valor propio de la matriz cuadrada A, esto seracierto si y solo si existe un vector xo (xo 6= 0) tal que:

Axo = λoxo = λo In xo

Por tanto:

Axo − λoInxo = (A− λoIn) xo = 0

Si B = A− λoIn, esto sera cierto si y solo si el sistemahomogeneo n × n

Bx = 0

tiene, ademas de la solucion trivial, otra solucion (x = xo 6= 0).Es decir, si y solo si no tiene solucion unica.

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Y esto sera cierto, si y solo si el determinante de la matriz B escero:

det(B) = det (A− λoIn) = 0

es decir, que todo escalar λo es valor propio de A si y solo si esraız del polinomio caracterıstico asociado a A:

pA(λ) = det (A− λIn)

y un vector propio asociado a λo debe ser solucion al sistemahomogeneo

(A− λoIn) x = 0

Note al ser pA(t) un polinomio de grado igual que n, habra a lomas n valores propios.

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Multiplicidades

Determine los valores y los vectores propios correspondientes ala matriz:

A =

[1 22 1

]Solucion en la TILa TI tiene el comando eigVl para obtener los valores propiosde una matriz. Pero usando el comando kernelbasis de la TINspire CAS se pueden obtener en forma directa losgeneradores para los vectores propios de cada valor propio.Esto se ilustra en la siguiente figura.

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Multiplicidades

Solucion analıticaDeterminemos el polinomio caracterıstico de A:

pA(λ) = det (A− λI2) = det

([1 22 1

]− λ

[1 00 1

])

pA(λ) = det

([1 22 1

]−[λ 00 λ

])= det

([1− λ 2

2 1− λ

])pA(λ) =

∣∣∣∣ 1− λ 22 1− λ

∣∣∣∣ = (1− λ)2 − 4

pA(λ) = λ2 − 2λ− 3 = (λ− 3) (λ+ 1)

Por tanto, los unicos valores propios son λ1 = 3 y λ2 = −1.

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Multiplicidades

Vector propio para λ1 = 3

Debe ser solucion al sistema homogeneo:

(A− λI2) x = 0

Es decir: ([1 22 1

]− (3)

[1 00 1

])x = 0

Desarrollando y finalmente aplicando Gauss-Jordan:[1− 3 2

2 1− 3

]x = 0→

[−2 2 0

2 −2 0

]→[

1 −1 00 0 0

]Convirtiendo en ecuacion y poniendo en la notacion vectorial:

x − y = 0→ x = y →(

xy

)= y

(11

), y 6= 0

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Multiplicidades

Lo anterior indica que cualquier vector de la forma:

y

(11

), y 6= 0

es un vector propio asociado a λ1 = 3. Es importante senalarque la variable libre y no puede ser cero, pues de otra manerael vector que obtendrıamos serıa el vector cero, el cual pordefinicion no puede ser vector propio. Nosotros nosconformaremos con un vector propio: digamos el que se obtienepara y = 1: (

11

)

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Multiplicidades

Vector propio para λ2 = −1Debe ser solucion al sistema homogeneo:

(A− λI2) x = 0

Es decir: ([1 22 1

]− (−1)

[1 00 1

])x = 0

Desarrollando y finalmente aplicando Gauss-Jordan:[1 + 1 2

2 1 + 1

]x = 0→

[2 2 02 2 0

]→[

1 1 00 0 0

]Convirtiendo en ecuacion y poniendo en la notacion vectorial:

x + y = 0→ x = −y →(

xy

)= y

(−11

), y 6= 0

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Multiplicidades

Lo anterior indica que cualquier vector de la forma:

y

(−1

1

), y 6= 0

es un vector propio asociado a λ2 = −1; nosotros nosconformaremos con uno: digamos el que se obtiene para y = 1:(

−11

)�

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Multiplicidad AlgebraicaSea A una matriz cuadrada y λo un valor propio. Como hemosvisto λ debe ser raız del polinomio caracterıstico de A pA(λ)ası:

(λ− λo) | pA(λ)

Al mayor exponente m que cumple

pA(λ) = (λ− λo)mq(λ)

le llamaremos la multiplicidad algebraica o dimension algebraicade λo .

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Multiplicidades

Un resultado importante es que el conjunto de vectoresinvariantes asociados a un escalar es un espacio lineal:

Sea A una matriz cuadrada n × n y λ un escalarcualquiera entonces

Eλ = {x ∈ Rn|Ax = λx}

es un espacio lineal de Rn.

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Demostracion• Eλ 6= ∅

Efectivamente, como A 0 = 0 = λ 0, entonces 0 ∈ Eλ.• Eλ es cerrado bajo la suma

Sean x1 y x2 en Eλ. Por tanto, A x1 = λ x1 y A x2 = λ x2.Por consiguiente,

A (x1 + x2) = A x1 + A x2= λ x1 + λ x2= λ (x1 + x2)

Por tanto, x1 + x2 ∈ Eλ.• Eλ es cerrado bajo el producto

Sean x en Eλ y c ∈ R. Por tanto, A x = λ x. Porconsiguiente,

A (c x) = c · A x= c · λ x= λ (c x)

Por tanto, c x ∈ Eλ.

Lo anterior prueba que Eλ es un espacio lineal �

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Multiplicidad GeometricaSiendo λ un valor propio, el anterior conjunto que se llama elespacio invariante o espacio propio o eigenespacio asociado a λy es un espacio lineal diferente de {0} ası tiene dimensionmayor que cero: la dimension del espacio anterior se llamaramultiplicidad geometrica o dimension geometrica del valorpropio λ. Note que Eλ corresponde al espacio nulo de la matrizA− λ I. Ası pues la dimension geometrica de λ es el numero decolumnas sin pivote en la matriz reducida que se obtiene deA− λ I.

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Multiplicidades

Determine los valores propios y sus multiplicidades geometricaspara la matriz:

A =

−1 1 −3 −7

0 −3 4 40 −2 3 20 0 0 1

SolucionPrimeramente determinemos el polinomio caracterıstico:

pA(t) = det(A− t I)= 1− 2 t2 + t4

= (t − 1)2(t − (−1))2

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Multiplicidades

De lo anterior concluimos que los unicos valores propios sont1 = −1 y t2 = 1 y que ambos tienen multiplicidad algebraica2. Determinemos ahora sus multiplicidades geometricas:Para t1 = −1Al resolver [A− t1 I|0] tenemos:

[A− t1 I|0]→

0 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 0

Al haber una columna sin pivote hay una variable libre,concluimos que la dimension geometrica de t1 = −1 es 1.

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Para t2 = 1

Al resolver [A− t2 I|0] tenemos:

[A− t2 I|0]→

1 0 1 3 00 1 −1 −1 00 0 0 0 00 0 0 0 0

Al haber dos columnas sin pivote hay dos variables libres,concluimos que la dimension geometrica de t2 = 1 es 2 �

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Multiplicidades

Determine la multiplicidad algebraica y geometrica de cada unode los valores propios de la siguiente matriz

A =

3 −1 5 5 0 00 4 −5 −5 0 0−1 −2 0 −4 0 0

1 2 −1 3 0 02 4 −2 8 −1 03 6 −3 12 0 −1

SolucionEl polinomio caracterıstico de A es:

pA(t) = det(A−t I) = −48−104 t−35 t2+40 t3+10 t4−8 t5+t6

y sus raıces son

t1 = 3, t2 = 4, t3 = 4, t4 = −1, t5 = −1, t6 = −1

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Multiplicidades

Analisis de t = 3Como t = 3 aparece como raız una sola vez, entonces sumultiplicidad algebraica es 1. Para determinar su multiplicidadgeometrica analicemos

[A− (3) I|0]→

1 0 0 0 0 1/3 00 1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 1/3 00 0 0 1 0 −1/3 00 0 0 0 1 −2/3 00 0 0 0 0 0 0

de donde todos los vectores propios asociados a t = 3 son de laforma:

c · < −1/3, 0,−1/3, 1/3, 2/3, 1 >′, c 6= 0

Por tanto, la multiplicidad geometrica de t = 3 es 1.

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Analisis de t = 4Como t = 4 aparece como raız dos veces, entonces sumultiplicidad algebraica es 2. Para determinar su multiplicidadgeometrica analicemos

[A− (4) I|0]→

1 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 1/3 00 0 0 1 0 −1/3 00 0 0 0 1 −2/3 00 0 0 0 0 0 0

de donde todos los vectores propios asociados a t = 4 son de laforma:

c < 0, 0,−1/3, 1/3, 2/3, 1 >′, c 6= 0

Por tanto, la multiplicidad geometrica de t = 4 es 1.

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Multiplicidades

Analisis de t = −1Como t = −1 aparece como raız tres veces, entonces sumultiplicidad algebraica es 3. Para determinar su multiplicidadgeometrica analicemos

[A− (−1) I|0]→

1 0 1 0 0 0 00 1 −1 0 0 0 00 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

de donde todos los vectores propios asociados a t = −1 son dela forma:

c1 < −1, 1, 1, 0, 0, 0 >′ +c2 < 0, 0, 0, 0, 1, 0 >′ +c3 < 0, 0, 0, 0, 0, 1 >′, c1, c2, c3 6= 0

Por tanto, la multiplicidad geometrica de t = −1 es 3.�

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