matemáticas avanzadas para ingeniería: transformada z...

MatematicasAvanzadas

paraIngenierıa:

TransformadaZ Inversa

Departamentode

Matematicas

X−1(z)

MFP

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Referencias

Matematicas Avanzadas para Ingenierıa:Transformada Z Inversa

Departamento de Matematicas

MA3002


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X−1(z)

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Transformada z InversaLa transformada Z inversa de una funcion de variable complejaX (z) se define como

x(n) =1

2π i

∮CX (z) zn−1 dz

donde la integral se calcula sobre una curva cerrada simple Cpostivamente orientada que encierra el origen y que cae en laregion de convergencia (ROC) de X (z). A pesar de ladefinicion, es mas conveniente calcular la transformada Zinversa buscando la senales que tienen como transformada Z ala expresion X (z). Veremos tales metodos.


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Metodo de Fracciones ParcialesEn la mayorıa de las aplicaciones el problema consiste endeterminar la transformada Z inversa de una funcion racionalX (z). Es decir, de la division entre dos polinomios. El Metodode Fracciones Parciales la expresion se convierte en unacombinacion lineal de transformadas de funciones basicas comoδ(n), an u(n) y n an u(n). De ser posible tal descomposicion,entonces es sencillo encontrar la transformada inversa mediantela aplicacion de una tabla. En muchos casos, sera masconveniente primero desarrollar X (z)/z en fracciones parciales,y despues despejar X (z) multiplicando por z . Ello porque elcaballito de batalla es Z {an u(n)} = z/(z − a) y cuandomultipliquemos por z los factores lineales quedaran a modo.


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Metodo Rapido de Fracciones Parciales IEs practico que recuerde el metodo rapido para el calculo defracciones parciales en el caso de terminos lineales NOREPETIDOS: En el desarrollo de fracciones parciales cuandoz = a NO es un cero de Q(z)

P(z)

(z − a)Q(z)=

A

z − a+

R(z)

Q(z)

el valor de A puede calcularse en forma independiente de R(z)mediante la formula

A =P(a)

Q(a)


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Metodo Rapido de Fracciones Parciales IIEs tambien practico que recuerde el metodo rapido para elcalculo de fracciones parciales en el caso de terminos linealesREPETIDOS: En el desarrollo de fracciones parciales cuandoz = a NO es un cero de Q(z)

P(z)

(z − a)2Q(z)=

A

(z − a)2+

B

(z − a)+

R(z)

Q(z)

el valor de A puede calcularse en forma independiente de R(z)mediante la formula

A =P(a)

Q(a)

mientras que el valor de B se calcula como

B =P ′(a)− A · Q ′(a)

Q(a)


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Metodo Rapido de Fracciones Parciales IIICuando en el denominador se tiene un cero de orden tres:

P(z)

(z − a)3Q(z)=

A

(z − a)3+

B

(z − a)2+

C

(z − a)+

R(z)

Q(z)

(Se supone que Q(a) 6= 0). Entonces los coeficientes puedencalcularse por las formulas:

A =P(a)

Q(a)

B =P ′(a)− A · Q ′(a)

Q(a)

C =P ′′(a)− A · Q ′′(a)− 2B Q ′(a)

2!Q(a)


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Ejemplo 1Calcule la transformada Z inversa de

X (z) =z

(z − 15)(z − 1

4)

SolucionTrabajamos mejor con

X (z)

z=

1

(z − 15)(z − 1

4)=

A

z − 15

+B

z − 14

=−20

z − 15

+20

z − 14

Para a = 1/5: P(z) = 1, Q(z) = z − 1/4, P(a) = 1,Q(a) = 1/5− 1/4 = −1/20 y ası A = −20. Para a = 1/4:P(z) = 1, Q(z) = z − 1/5, P(a) = 1,Q(a) = 1/4− 1/5 = 1/20 y ası B = 20. Ası

X (z) = −20· z

z − 15

+20· z

z − 14

: x(n) =

(−20 · 1

5n+ 20 · 1

4n

)u(n)


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TI: Fracciones parciales para el ejemplo 1

El unico inconveniente sera que debemos hacer un poco dearitmetica para que el coeficiente en la z del denominador sea1: por ejemplo, en la primera fraccion debemos dividirnumerador y denominador entre 4, mientras que en el segundoentre 5.


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X (z) =z2

(z − 12)(z + 1

3)


X (z)

z=

z

(z − 12)(z + 1

3)=

A

z − 13

+B

z + 13

=35

z − 12

+25

z + 13

AsıX (z) = 3

5 ·z

z− 12

+ 25 ·

zz−(− 1

3)→

x(n) =

(3

5·(

1

2

)n

+2

5·(−1

3

)n)u(n)


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Ejemplo 2

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Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

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El unico inconveniente sera que debemos hacer un poco dearitmetica para que el coeficiente en la z del denominador sea1: por ejemplo, en la primera fraccion debemos dividirnumerador y denominador entre 15, mientras que en el segundoentre 10.


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X (z) =z

z2 − 2 z + 2=

z

(z − (1 + i))(z − (1− i))


X (z)

z=

A

z − (1 + i)+

B

z − (1− i)=

−12 i

z − (1 + i)+

12 i

z − (1− i)

Ası

X (z) = −12 i · z

z−(1+i) + 12 i · z

z−(1−i) →

x(n) =

(−1

2i · (1 + i)n +

1

2i · (1− i)n

)u(n)


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TI: Fracciones parciales para el ejemplo 3Es un poco mas enredado, pero no tanto: debemos pensar laexpresion como:

p

f1 · f2

En este caso calculamos directamente los coeficientes de lasfracciones.


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X (z) =z2 − 2 z + 2

z2 − 712 z + 1

12

=z2 − 2 z + 2

(z − 13)(z − 1

4)

SolucionTrabajamos mejor con X (z)/z y aplicamos fracciones parciales:

X (z)

z=

A

z+

B

z − 13

+C

z − 14

=24

z+

52

z − 13

− 75

z − 14

Ası

X (z) = 24 · 1 + 52 · z

z − 13

− 75 · z

z − 14

→

x(n) = 24 · δ(n) +

(52 ·

(1

3

)n

− 75 ·(

1

4

)n)u(n)


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Nuevamente debemos hacer un poco de aritmetica para que elcoeficiente en la z de cada denominador sea 1: por ejemplo, enla primera fraccion debemos dividir numerador y denominadorentre 4, mientras que en el segundo entre 3.


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X (z) =z2(

z − 13

)2 (z − 1

2

)

SolucionTrabajamos mejor con X (z)/z y aplicamos fracciones parciales:

X (z)

z=

z(z − 1

3

)2 (z − 1

2

) =A(

z − 13

)2 +B(

z − 13

) +C(

z − 12

)Para calcular A y B: tenemos que a = 1/3, P(z) = z yQ(z) = z − 1/2, por tanto

A =P(a)

Q(a)=

13

13 −

12

= −2

yB =

P ′(a)− AQ ′(a)

Q(a)=

1− (−2)(1)

−16

= −18


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X (z) =z2(

z − 13

)2 (z − 1

2

)Solucion

Trabajamos mejor con X (z)/z y aplicamos fracciones parciales:

X (z)

z=

z(z − 1

3

)2 (z − 1

2

) =A(

z − 13

)2 +B(

z − 13

) +C(

z − 12

)Para calcular A y B: tenemos que a = 1/3, P(z) = z yQ(z) = z − 1/2, por tanto

A =P(a)

Q(a)=

13

13 −

12

= −2

yB =

P ′(a)− AQ ′(a)

Q(a)=

1− (−2)(1)

−16

= −18


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Ejemplo 5 (continuacion)

Para calcular C : tenemos que a = 1/2, P(z) = z yQ(z) = (z − 1/3)2, por tanto:

C =12(

12 −

13

)2 = 18

Ası

X (z) = −2 · z(z − 1

2

)2 − 18 · z

z − 13

+ 18 · z

z − 12

y por tanto

x(n) =

(−2 · n

(1

3

)n−1− 18 ·

(1

3

)n

+ 18 ·(

1

2

)n)

u(n)


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Nuevamente debemos hacer un poco de aritmetica para que elcoeficiente en la z de cada denominador sea 1: por ejemplo, enla primera fraccion debemos dividir numerador y denominadorentre 3, el segundo entre 9 (pues el factor es 3 y el exponentees 2) y el tercero entre 2.


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X (z) =z2 + 1

z2(z − 13)

Trabajamos mejor con X (z)/z y aplicamos fraccionesparciales:

X (z)

z=

z2 + 1

z3(z − 13)

=A

z3+

B

z2+

C

z+

D

z − 13

Aplicando los metodos de fracciones parciales descritos tenemosque: A = −3, B = −9, C = −30 y D = 30 y por tanto

X (z) = −3 · 1

z2− 9 · 1

z− 30 · 1 + 30 · z

z − 13

x(n) = −3 · δ(n − 2)− 9 · δ(n − 1)− 30 · δ(n) + 30 ·(

1

3

)n

u(n)


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Nuevamente debemos hacer un poco de aritmetica para que elcoeficiente en la z de cada denominador sea 1: por ejemplo, enla primera fraccion debemos dividir numerador y denominadorentre 3.


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Ejemplo 7Considere una senal gobernada por la ecuacion en diferencias:

y(n) = 2 x(n)− x(n − 1) + 3 x(n − 2)+9

20y(n − 1)− 1

20y(n − 2)

con condiciones iniciales y(−1) = 3 y y(−2) = 2 para unaentrada x(n) = u(n), la funcion escalon unitario.

Aplicaremos la transformada Z en ambos miembros utilizandolas propiedades:

Z {x(n)} = zz−1 ; Z {x(n − 1)} = 1

z−1 ; Z {x(n − 2)} = 1z(z−1)

Z {y(n)} = Y (z);Z {y(n − 1)} = y(−1) + z−1 Y (z) = 3 + z−1 Y (z)Z {y(n − 2)} = y(−2) + z−1 y(−1) + z−2 Y (z)

= 2 + 3 z−1 + z−2 Y (z)


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Ejemplo 7Considere una senal gobernada por la ecuacion en diferencias:

y(n) = 2 x(n)− x(n − 1) + 3 x(n − 2)+9

20y(n − 1)− 1

20y(n − 2)

con condiciones iniciales y(−1) = 3 y y(−2) = 2 para unaentrada x(n) = u(n), la funcion escalon unitario.Aplicaremos la transformada Z en ambos miembros utilizandolas propiedades:

Z {x(n)} = zz−1 ; Z {x(n − 1)} = 1

z−1 ; Z {x(n − 2)} = 1z(z−1)

Z {y(n)} = Y (z);Z {y(n − 1)} = y(−1) + z−1 Y (z) = 3 + z−1 Y (z)Z {y(n − 2)} = y(−2) + z−1 y(−1) + z−2 Y (z)

= 2 + 3 z−1 + z−2 Y (z)


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Aplicando en ambos miembros la transformada Z y obtenemos

Y (z) = 2 zz−1 −

1z−1 + 3

z(z−1)+920(3 + z−1 Y (z))− 1

20 (2 + 3 z−1 + z−2 Y (z))

Despues de multiplicar por z2 tenemos:

z2 Y (z) =z (2 z2 − z + 3)

z − 1+

(5

4z2 − 3

20z

)+

(9

20z − 1

20

)Y (z)

De donde:(z2 − 9

20z +

1

20

)Y (z) =

z (2 z2 − z + 3)

z − 1+

(5

4z2 − 3

20z

)Ası:

Y (z)

z=

(2 z2−z+3)z−1(

z2 − 920 z + 1

20

) +

(54 z −

320

)(z2 − 9

20 z + 120

)


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Factorizando denominadores:

Y (z)

z=

2 z2 − z + 3

(z − 1)(z − 1

5

) (z − 1

4

) +

(54 z −

320

)(z − 1

5

) (z − 1

4

)de donde:

y(n) =20

3+ 72

(1

5

)n

− 230

3

(1

4

)n

−2

(1

5

)n

+13

4

(1

4

)n

=20

3+ 70

(1

5

)n

− 881

12

(1

4

)n

valida para , n = 0, 1, 2, . . .


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Referencias


y(n) =20

3+ 72

(1

5

)n

− 230

3

(1

4

)n

−2

(1

5

)n

+13

4

(1

4

)n

=20

3+ 70

(1

5

)n

− 881

12

(1

4

)n

Particular Con entrada cero

Transitoria

Estado estable


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Referencias

• Capıtulo 10 de: D. Sundararajan: A practical approachto Signals and Systems. 2008. John Wiley and Sons.www.wiley.com/go/sundararajan

http://www.wiley.com/go/sundararajan

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