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1 Tensores
1.1 Introduccin
Muchos fenmenos fsicos se representan matemticamente mediante Tensores, los cuales, por necesidad son representados en un sistema de referencia, de este modo surge el concepto de componentes del tensor. Si bien los tensores son independientes del sistema de referencia, las componentes sern dependientes y variarn con ste. Los tensores pueden ser clasificados segn su orden como: Escalar (Tensor de orden 0): Cantidad que tiene magnitud pero no direccin (ejemplo: densidad de masa, temperatura, presin). Los escalares pueden ser funciones del espacio y del tiempo y no necesariamente han de ser constantes. Vector (Tensor de orden 1): Cantidad que tiene magnitud y direccin (ejemplo: velocidad, aceleracin, fuerza). Ser simbolizado por una letra en negrita con una flecha en la parte superior del tensor, i.e.: r . Tensor de segundo orden (Tensor de orden 2): Cantidad que tiene magnitud y dos direcciones (ejemplo: tensin, deformacin). Ser simbolizado por una letra en negrita. Para los tensores de rdenes superiores tambin usaremos letras en negrita. Este captulo trata del estudio detallado de los tensores (escalar, vector, tensor de segundo orden, y de orden superior), y de algunas herramientas matemticas que darn soporte al desarrollo de las teoras que se exponen en los captulos posteriores. Primeramente, revisaremos algunas operaciones de vectores independientemente del sistema de coordenadas. A continuacin, introduciremos el sistema de coordenadas rectangulares para expresar las componentes de un vector en dicho sistema. Una vez definido el sistema de referencia, podremos expresar las operaciones con vectores tan slo
Tensores
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MECNICA DEL MEDIO CONTINUO: CONCEPTOS BSICOS
Mecnica del Medio Continuo: Conceptos Bsicos (3 Edicin) Por: Eduardo W.V. Chaves
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en funcin de sus componentes. Por ltimo, expondremos la notacin indicial por su simplicidad y fcil manipulacin matemtica. Posteriormente estudiaremos los tensores de orden superior, poniendo especial nfasis en los tensores de segundo orden. Para finalizar, plantearemos los campos de tensiones y los sistemas de coordenadas cilndricas y esfricas.
1.2 Vectores
A continuacin presentamos algunas operaciones entre vectores en el espacio vectorial tridimensional Euclidiano ( )E .
Suma: Sean los vectores ar
y br
pertenecientes al espacio de vectores. La suma de los mismos, ver Figura 1.1(a), ser otro vector (c
r) dado por:
abbacrrrrr
+=+= (1.1)
Figura 1.1: Suma y resta de vectores.
Resta: La resta de dos vectores (ar
, br
), ver Figura 1.1(b), ser otro vector (dr
) dado por:
badrrr
= (1.2)
Para los vectores ar
, br
y cr
, pertenecientes al espacio de vectores, se cumplen las siguientes relaciones:
cbacbacbarrrrrrrrr
++=++=++ )()( (1.3)
Producto por un escalar : Sea el vector ar
, el producto ar
ser un vector con la misma direccin de a
r, mientras que su mdulo y sentido dependern del valor del escalar , tal y
como se indica en la Figura 1.2.
Producto Escalar
Sean los vectores ar
y br
, se define el Producto Escalar de ambos vectores como un escalar de valor:
== cos babarrrr
(1.4)
cr
ar
br
cr
ar
br
b
r
dr
a) b)

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Mecnica del Medio Continuo: Conceptos Bsicos (3Edicin) Por: Eduardo W.V. Chaves
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siendo el ngulo formado por los dos vectores, y es el mdulo (o magnitud) de , ver
Figura 1.3(a). Podemos concluir tambin que abbarrrr = .
Para el caso en que barr
= obtenemos que:
aaaaaaaaaaarrrrrrrrrrr == = = cos 0 (1.5)
Figura 1.2: Producto de un vector por un escalar.
Vector Unitario (versor)
Dado un vector ar
, el versor (vector unitario) asociado a esta direccin ser un vector a con la misma direccin y sentido de a
r, definido por:
aaa rr
= (1.6)
donde ar
es el mdulo del vector ar
. Si a es un vector unitario, entonces debe cumplir que:
1 =a (1.7)
Vector Nulo
El vector nulo viene representado por: r0 (1.8)
Vector Proyeccin
El vector proyeccin del vector ar
sobre el vector br
(Figura 1.3(b)) ser un vector con la direccin de b
r y con mdulo de valor a
b
rrproj dado por:
= r r rba a bproj (1.9)
donde b es el versor segn la direccin de br
, luego se cumple que:
= rrr
rrba bab
proj (1.10)
ar
1> 0

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Figura 1.3: Producto escalar.
Podemos obtener el vector ab
rrproj como su mdulo a
b
rrproj multiplicado por el versor
segn la direccin de br
:
escalar
= = rr r rr r rrr r r r
14243
b
a b b a ba bb b b b
proj (1.11)
Ortogonalidad de dos vectores:
Dos vectores son ortogonales entre s cuando se cumple la siguiente condicin:
0=barr
(1.12)
Producto Vectorial
El producto vectorial de dos vectores ar
y br
da como resultado un tercer vector cr
que se caracteriza por ser perpendicular a estos dos vectores (Figura 1.4), y que posee las siguientes caractersticas:
Representacin:
abbacrrrrr
== (1.13)
Dado que cr
es perpendicular a ar
y a br
, se cumple entonces que:
0== cbca rrrr
(1.14)
El mdulo de cr
es por definicin:
= sinbacrrr
(1.15)
siendo el menor ngulo formado entre los vectores ar
y br
, ver Figura 1.4. El mdulo del producto vectorial es el rea (A ) del paralelogramo formado por estos dos vectores, ver Figura 1.4(a):
barr
=A (1.16)
y como consecuencia el rea del triangulo formado por los puntos OCD (Figura 1.4(b)) ser:
barr
=21
TA (1.17)
ar
br
ar
br
.
ab
rrproj
a) b)
0

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Si ar
y br
son colineales (linealmente dependiente, i.e. barr
= , donde es un escalar), el producto vectorial entre ellos resultar el vector nulo, 0
r.
Figura 1.4: Producto vectorial.
Triple Producto Escalar
Dados tres vectores ( cbarrr
,, ) se denomina el triple producto escalar a:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )abccabbca
bacacbcbarrrrrrrrr
rrrrrrrrr
===
===
V
V (1.18)
El resultado de esta operacin es el volumen del paraleleppedo (V ) formado por estos tres vectores, tal y como se muestra en la Figura 1.5.
Luego, para vectores cualesquiera ar
, br
se cumple que:
( ) 0aba rrrr = (1.19)Dados los vectores a
r, br
, cr
, dr
, y , escalares, la siguiente propiedad es vlida:
)()()()( dcbdcadcbarrrrrrrrrr
+=+ (1.20)NOTA: Algunos autores representan el triple producto escalar por la siguiente nomenclatura, ( )cbacba rrrrrr ],,[ , ( )acbacb rrrrrr ],,[ , ( )bacbac rrrrrr ],,[ , y as sucesivamente.
Figura 1.5: Triple producto escalar.
ar
br
ar b
r
. .
V cr
V Triple producto escalar
bacrrr
=
ar
br
abc rrr=
. . ar
br
. .
A TA
O C
D
a) b)
cr
O C
D

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Triple Producto Vectorial
Dados tres vectores ar
, br
y cr
, el triple producto vectorial resulta un vector wr
dado por ( )cbaw rrrr = , siendo vlidas las siguientes relaciones:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )cbabcaabcbaccbaw rrrrrrrrrrrrrrrr ==== (1.21) Observemos que el vector w
r es un vector contenido en el plano 1 , formado por los vectores
br
y cr
, segn se muestra en la Figura 1.6.
Figura 1.6: Triple producto vectorial.
Ejemplo 1.1: Probar que si ar
y br
son vectores se cumple que: ( ) ( ) ( )( ) ( )2babbaababa rrrrrrrrrr =
Solucin:
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( )( ) ( )2222222
222222
22
22222
cos
cos cos1
sin sin
babbaa
babababa
bababa
bababababa
rrrrrr
rrrrrrrr
rrrrrr
rrrrrrrrrr
=
==
==
===
donde hemos considerado que 2aaarrr
= y 2
bbbrrr
= .
Transformacin Lineal
Decimos que una transformacin F es una transformacin lineal cuando dados dos vectores u
r y v
r y un escalar se cumplen que:
)()()( vuvurrrr
FFF +=+
)()( uurr
FF =
1
2
ar
br
cr
cbrr
1 - plano formado por br
y cr
2 - plano formado por ar
y cbrr
wr
wr
contenido en el plano 1

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Ejemplo 1.2: Verificar si para las siguientes transformaciones = E)( y 221)( = E
son transformaciones lineales. Solucin: [ ] )()()( 21212121 +=+=+=+ EEE (transformacin lineal)
La transformacin 221)( = E se demuestra fcilmente que no es una tran

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