informe n3

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

(Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA)

FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA, ELÉCTRICA Y TELECOMUNICACIONES

CURSO : PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

PROFESOR : ING. FLAVIO CARRILLO

TRABAJO : INFORME DE LABORATORIO N° 3

TEMA : ECUACIONES EN DIFERENCIA CON COEFICIENTES CONSTANTES.

ALUMNO : ROA VALLADARES JORDAN WILMER

N° MATRÍCULA : 11190223

LIMA - 2014

I. INTRODUCCIÓN

Una clase importante de sistemas discretos es aquella en la cual la entrada y la salida están relacionadas a través de una Ecuación de Diferencias Lineal con Coeficientes Constantes. Las ecuaciones de este tipo se utilizan para describir el comportamiento secuencial de procesos muy diferentes, como por ejemplo, las ecuaciones de diferencias surgen de la descripción de la acumulación de ahorros en una cuenta de ahorros en una cuenta de ahorros y se pueden utilizar también para describir una simulación digital de un sistema continuo descrito por una ecuación diferencial. Las ecuaciones surgen con frecuencia en la especificación de sistemas discretos diseñados para realizar operaciones particulares en la señal de entrada. Por ejemplo, el sistema que calcula la diferencia entre valores sucesivos de entrada y el sistema que calcula el valor promedio de la entrada sobre un intervalo, son descritos mediante ecuaciones de diferencias.

II. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

* ACTIVIDADES

- RESPUESTA AL IMPULSO UNITARIO

Ejercicio 3.1

- Analíticamente hallar la respuesta impulsional h[n] del siguiente sistema SLDIT descrito por la ecuación de diferencias siguiente:

(3.10)en el intervalo -10≤n≤100.

- Luego utilizando Matlab, graficar y comparar con los resultados obtenidos analíticamente para h[n].

- SISTEMAS RECURSIVOS

Ejercicio No. 3.2

Utilizando, Scilab 4.1 o Matlab 6.0 crea los vectores b y a que contengan respectivamente los coeficientes de x[n] e y[n], de la siguiente ecuación de diferencias:

(3.11)

Tomando en consideración la función de y[n] caracterizada por la ecuación (3.11), desarrollar los siguientes ejercicios:

a) Sabiendo que este sistema es un SDLIT, calcular 20 muestras de sus muestras impulsionales para α = 1, h1[n], y para α = 0.5, h2[n]. represente dichas respuestas impulsionales y a la vista de estas gráficas discuta las propiedades de causalidad y estabilidad de ambos sistemas.

b) Calcular analíticamente y[n], asumiendo condiciones iniciales cero, y 50 muestras para:

Ahora utilizando Matlab crear un vector x[n] para los casos (I) y (II) de acuerdo a 3.11, para 0≤n≤49. Genere los puntos dentro del intervalo propuesto para obtener la respuesta de cada uno de los casos, luego representarlos gráficamente y compararlos con la solución obtenida en forma analítica.Para el caso (III) crear un vector n[n] para TS=500 mseg, f = 1KHz, 2KHz, 4KHz, 5KHz, 8KHz y 10 KHz y 0≤n≤100 muestras. Luego obtenga los puntos de respuesta dentro del intervalo propuesto para cada uno de los casos, representarlos gráficamente, compare los resultados obtenidos tanto en forma gráfica como analítica.

c)Ahora en el caso (IV), fijar la condición inicial al filtro en 0.5 y asignar el valor de α = 0.5. Evalué y represente la salida del sistema. Comente las diferencias del resultado obtenido.

- SISTEMAS NO RECURSIVOS

Ejercicio No. 3.3

Sea un sistema descrito por la ecuación:

(3.12)

1. Calcular su respuesta impulsional a mano. Utilizando la función

obtenga dicha respuesta y dibuje con el correcto eje de tiempos.

2. ¿Es causal dicho sistema? ¿Es estable?

3. Si la entrada es x[n]=3(u[n] – u[n-10]), obtenga la salida y dibújela.

En el cálculo de la respuesta de un sistema descrito por una ecuación en diferencias puede resultar tedioso. El objetivo de esta sección no es, por lo tanto, presentar un procedimiento eficiente para el cálculo de esa respuesta, sino mostrar la relación entre las propiedades de linealidad, invarianza en el tiempo, causalidad y estabilidad de un sistema discreto en función de los coeficientes y condiciones iniciales que lo describen. En el tema correspondiente al estudio de la Transformada Z se presentará un procedimiento mucho más sencillo para determinar la respuesta requerida.

- ESTABILIDAD DE UN SISTEMA SDLIT

Para determinar la estabilidad SDLIT, lo podemos realizar conociendo h[n] para todo n y aplicar la condición de estabilidad calculando S utilizando la siguiente expresión:

El sistema será estable si S es un valor finito o dicho de otra manera la suma converge a un valor finito.

Ejercicio 3.4

Evaluar la estabilidad para los sistema SDLIT de las Ec(3.10), (3.11) y (3.12) utilizando las respuestas impulsionales de cada una de ellas.

III.Resultados

Ejercicio No. 3.1

a=[1,-1.8*cos(pi/16),0.81];b=[1,0.5];x= [zeros(1,10) 1 zeros(1,100)];n=[-10:100];y = filter(b,a,x);stem(n,y)title('Respuesta Impulsional h[n]');ylabel('h[n]'),xlabel('n')

Figura 3.1.Ejercicio No. 3.2

a)

a1=[1,- 1];b1=[1];x= [zeros(1,10) 1 zeros(1,10)];n=[-10:10];y1 = filter(b1,a1,x); a2=[1,- 0.5];b2=[1];y2= filter(b2,a2,x); figure(1)stem(n,y1);title('Respuesta Impulsional h1[n], cuando alfa=1')ylabel('h1[n]'), xlabel('n') figure(2)stem(n,y2)title('Respuesta Impulsional h2[n], cuando alfa=0.5')ylabel('h2[n]'), xlabel('n')

Figura 3.2.a.A.

Figura 3.2.a.B.

b)

% (I)

%Ejercicio 3.2.b cuando alfa=1 y x(n)=impulso unitarioa=[1,-1];b=[1];x= [zeros(1,0) 1 zeros(1,49)];n=[0:49];figure(1)y = filter(b,a,x);stem(n,y)title('Respuesta impulsional h[n], cuando alfa=1');ylabel('h[n]'), xlabel('n') %Ejercicio 3.2.b cuando alfa=0.5 y x(n)=impulso unitarioa=[1,-0.5];b=[1];x= [zeros(1,0) 1 zeros(1,49)];n=[0:49];figure(2)y = filter(b,a,x);stem(n,y)title('Respuesta impulsional h[n], cuando alfa=0.5');ylabel('h[n]'), xlabel('n')

Figura 3.2.b.I.A.

Figura 3.2.b.I.B.

% (II) %Ejercicio 3.2.b cuando alfa=1 y x(n)= escalón unitarioa=[1,-1];b=[1];x= [zeros(1,10) ones(1,41)];n=[-10:40];y = filter(b,a,x);figure(1)stem(n,y)title('Respuesta impulsional h[n], cuando alfa=1');ylabel('h[n]'), xlabel('n') %Ejercicio 3.2.a. cuando alfa=0.5 y x(n)= escalón unitarioa=[1,-0.5];b=[1];x= [zeros(1,10) ones(1,41)];n=[-10:40];y = filter(b,a,x);

figure(2)stem(n,y)title('Respuesta impulsional h[n], cuando alfa=0.5');ylabel('h[n]'), xlabel('n')

Figura 3.2.b.II.A.

Figura 3.2.b.II.B.

% (III) %Ejercicio 3.2.b cuando alfa=1 y x[n]= cos(pi*f*Ts*n)a=[1,-1];b=[1];n=0:100;F=[1000 2000 4000 5000 8000 10000]x1= cos(pi*F(1)/200000*n).*[ones(1,101)];x2= cos(pi*F(2)/200000*n).*[ones(1,101)];x3= cos(pi*F(3)/200000*n).*[ones(1,101)];x4= cos(pi*F(4)/200000*n).*[ones(1,101)];x5= cos(pi*F(5)/200000*n).*[ones(1,101)];x6= cos(pi*F(6)/200000*n).*[ones(1,101)];

figure(1)y1 = filter(b,a,x1);stem(n,y1);title('Respuesta Impulsional h[n], cuando f=1KHz')xlabel('n'),ylabel('h[n]') figure(2)y2 = filter(b,a,x2);stem(n,y2);title('Respuesta Impulsional h[n], cuando f=2KHz')xlabel('n'),ylabel('h[n]') figure(3)y3 = filter(b,a,x3);stem(n,y3);title('Respuesta Impulsional h[n], cuando f=4KHz')xlabel('n'),ylabel('h[n]') figure(4)y4 = filter(b,a,x4);stem(n,y4);title('Respuesta Impulsional h[n], cuando f=5KHz')xlabel('n'),ylabel('h[n]') figure(5)y5 = filter(b,a,x5);stem(n,y5);title('Respuesta Impulsional h[n], cuando f=8KHz')xlabel('n'),ylabel('h[n]') figure(6)y6 = filter(b,a,x6);stem(n,y6);title('Respuesta Impulsional h[n], cuando f=10KHz')xlabel('n'),ylabel('h[n]')

Figura 3.2.b.III.A.

%Ejercicio 3.2.b cuando alfa=0.5 y x[n]= cos(pi*f*Ts*n)a=[1,-0.5];b=[1];n=0:100;F=[1000 2000 4000 5000 8000 10000]x1= cos(pi*F(1)/200000*n).*[ones(1,101)];x2= cos(pi*F(2)/200000*n).*[ones(1,101)];x3= cos(pi*F(3)/200000*n).*[ones(1,101)];x4= cos(pi*F(4)/200000*n).*[ones(1,101)];x5= cos(pi*F(5)/200000*n).*[ones(1,101)];x6= cos(pi*F(6)/200000*n).*[ones(1,101)]; figure(1)y1 = filter(b,a,x1);stem(n,y1);title('Respuesta Impulsional h[n], cuando f=1KHz')xlabel('n'),ylabel('h[n]') figure(2)y2 = filter(b,a,x2);stem(n,y2);title('Respuesta Impulsional h[n], cuando f=2KHz')

xlabel('n'),ylabel('h[n]') figure(3)y3 = filter(b,a,x3);stem(n,y3);title('Respuesta Impulsional h[n], cuando f=4KHz')xlabel('n'),ylabel('h[n]') figure(4)y4 = filter(b,a,x4);stem(n,y4);title('Respuesta Impulsional h[n], cuando f=5KHz')xlabel('n'),ylabel('h[n]') figure(5)y5 = filter(b,a,x5);stem(n,y5);title('Respuesta Impulsional h[n], cuando f=8KHz')xlabel('n'),ylabel('h[n]') figure(6)y6 = filter(b,a,x6);stem(n,y6);title('Respuesta Impulsional h[n], cuando f=10KHz')xlabel('n'),ylabel('h[n]')

Figura 3.2.b.III.B.

c)% (IV) %Ejercicio 3.2.c cuando alfa=0.5 y x(n)= exp(-0.5n)*u[n]a=[1,-0.5];b=[1];n=0:100;x= exp(-0.5*n).*[ones(1,101)];y = filter(b,a,x);stem(n,y);title('Respuesta Impulsional h[n]');xlabel('n'),ylabel('h[n]')

Figura 3.2.c.

Ejercicio No. 3.3

1.a1=[1];b1=[-2,0,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20];x= [zeros(1,30) 1 zeros(1,30)];

n=[-30:30];y1 = filter(b1,a1,x); stem(n,y1);title('Respuesta Impulsional h[n] - Sistema no Recursivo')ylabel('h[n]'), xlabel('n')

Figura 3.3.1.

2. El sistema no es causal, pues extiendo el sistema tenemos:

Y[n] + 2x[n+2] – 20x[n-20] = x[n-1] + 2x[n-2] + 3x[n-3] + 4x[n-4] + 5x[n-5] + 6x[n-6] + 7n[n-7] + 8n[n-8] + 9x[n-9] + 10x[x-10] + 11x[n-11] + 12x[n-12] + 13x[n-13] + 14x[n-14] + 15x[n-15] + 16x[n-16] + 17n[n-17] + 18n[n-18] + 19x[n-19]

Y observamos que los valores de la entrada del sistema, depende de los valores pasados y futuros, y el concepto de un sistema causal, es que sólo dependa de presentes y pasados, lo cual no es el caso cuando observamos la entrada: x[n-1], y de las demás.

3.

a1=[1];b1=[-2,0,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20];n=[-40:40];x=zeros(size(n));x(n>=0 & n<=10)=3;y1 = filter(b1,a1,x);stem(n,y1);title('Respuesta Impulsional h[n], cuando x[n]=3(u[n]-u[n-10]')ylabel('h[n]'), xlabel('n')

Figura 3.3.3.

Ejercicio 3.4

Ec.(3.10)

Figura 3.4.1

Tabla 1

Tabla 2

Como se observa en el gráfico y en las tablas, el sistema está acotado por la izquierda pero no por la derecha, esto quiere decir que el sistema no es estable.

Ec.(3.11)

Figura 3.4.2

Tabla 3

La respuesta impulsional h1[n]=u[n], cuando α = 1, la cual no es acotada por la derecha y al no serlo, es un sistema no estable.

Figura 3.4.3

Tabla 4

La respuesta impulsional h2[n]=( 12 )

n

u[n] , cuando α = 0.5, del mismo modo no es acotada

por la derecha, es un sistema no estable.

Lo mismo obtenemos al variar x[n], los nuevos sistemas no son estables, pues no están acotados por un extremo.

Ec.(3.12)

Figura 3.4.4

Este último sistema si es estable, ya que está acotado por la derecha e izquierda, lo cual se aprecia en las tablas, por lo tanto es estable.

Acotación por la izquierda:

Tabla 4Acotación por la derecha:

Al variar x[n]=3(u[n] – u[n-10]), el sistema sigue siendo estable, acotada por izquierda y derecha.

Ejercicio 3.5

Reproducción de Audio

clear all;

close all;clc Fs=16000;y = wavrecord(3*Fs,Fs,2);plot(y);wavwrite(y,Fs,16,'vocalu.wav');y1= wavread(vocal.wav)title('Reproducción de la vocal u')

Figura 3.5.1

clear all;close all;clc %Leer un wav.close allclear allclcy1= wavread('modificado.wav')sound(y1,16000);plot(y1);title('Reproducción de voz modificada')

Figura 3.5.2

IV. Discusión de los Resultados

Ejercicio No. 3.1

Para un Sistema Recursivo, donde N > 0, la respuesta impulsional será aquella que nos dé a conocer las características del sistema, ya sea casual, lineal o estable, como se puede apreciar en la Figura 3.1., el sistema del Problema No. 3.1 no es estable pues, no es acotado por la derecha, además no es causal, pues depende sólo de sus valores futuros y presentes.

Ejercicio No. 3.2

a) La respuesta impulsional h1[n], cuando α = 1, es la función h1[n]=u[n] y la

respuesta impulsional h2[n], cuando α = 0.5, es la función h2[n]=( 12 )

n

u[n].

b) Para los cuatros sistemas propuestos al variar la función de x[n], se observa en las gráficas que todas son acotadas por la izquierda mas no por la derecha, en consecuencia tenemos sistemas no estables.

c) De manera similar que en la parte b) se observa en (IV).

Ejercicio No. 3.3

1. Es un Sistema No Recursivo, donde N = 0, se observa a través del gráfico de la Figura 3.3.1., que es un sistema estable, acotado por derecha e izquierda.

2. Extendiendo el Sistema se aprecia que estamos tratando a un sistema no causal y estable.

3. Dándole otro valor a x[n], se aprecia que este nueva asignación es estable, por lo cual al sistema completo también le dará un carácter estable.

Ejercicio No. 3.4

En esta parte del laboratorio se estudió la estabilidad de los sistemas propuestos mediante sus gráficas y las tablas de valores de los puntos del sistema se pude concluir eso.

VI. Cuestionario

Para los sistemas discretos propuestos utilizando la gráfica de respuesta impulsional y de frecuencia de cada uno de ellos, analizar las propiedades de linealidad, invarianza en el tiempo, causalidad y estabilidad.

VII. Desarrollo del Cuestionario

1)Respuesta Impulsional:

a1=[1,0.13,0.52,0.3];b1=[0.16,-0.48,0.48,-0.16];x= [zeros(1,30) 1 zeros(1,30)];n=[-30:30];

y1 = filter(b1,a1,x);stem(n,y1);title('Respuesta Impulsional h1[n]')ylabel('h1[n]'), xlabel('n')

Respuesta en Frecuencia:

a=[1,0.13,0.52,0.3];b=[0.16,-0.48,0.48,-0.16];n=-30:30;ts=0.5;f=5000;x=cos(pi*f*ts.*n);y = filter(b, a, x);stem(n,y);title('Respuesta en frecuencia g1[n]');ylabel('g1[n]'), xlabel('n')


a1=[1,0,-0.268];b1=[0.634,0,-0.634];x= [zeros(1,30) 1 zeros(1,30)];n=[-30:30];y1 = filter(b1,a1,x);stem(n,y1);title('Respuesta Impulsional h2[n]')ylabel('h2[n]'), xlabel('n')


a=[1,0,-0.268];b=[0.634,0,-0.634];n=-30:30;ts=0.5;f=5000;x=cos(pi*f*ts.*n);y = filter(b, a, x);stem(n,y);title('Respuesta en frecuencia g2[n]');ylabel('g2[n]'), xlabel('n')


a1=[1,0,0.268];b1=[0.634,0,0.634];x= [zeros(1,30) 1 zeros(1,30)];n=[-30:30];y1 = filter(b1,a1,x);stem(n,y1);title('Respuesta Impulsional h3[n]')ylabel('h3[n]'), xlabel('n')


a=[1,0,0.268];

b=[0.634,0,0.634];n=-30:30;ts=0.5;f=5000;x=cos(pi*f*ts.*n);y = filter(b, a, x);stem(n,y);title('Respuesta en frecuencia g4[n]');ylabel('g4[n]'), xlabel('n')


a1=[10,-5,1];b1=[1,-5,10];x= [zeros(1,30) 1 zeros(1,30)];n=[-30:30];y1 = filter(b1,a1,x);stem(n,y1);title('Respuesta Impulsional h4[n]')ylabel('h4[n]'), xlabel('n')


a=[10,-5,1];b=[1,-5,10];n=-30:30;ts=0.5;f=5000;x=cos(pi*f*ts.*n);y = filter(b, a, x);stem(n,y);title('Respuesta en frecuencia g4[n]');ylabel('g4[n]'), xlabel('n')


a=[1,-0.833,1.67];b=[0,0.33];x= [zeros(1,30) 1 zeros(1,30)];n=[-30:30];y1 = filter(b,a,x);stem(n,y1);title('Respuesta Impulsional h5[n]')ylabel('h5[n]'), xlabel('n')


a=[1,-0.833,1.67];b=[0,0.33];n=-30:30;ts=0.5;f=5000;x=cos(pi*f*ts.*n);y = filter(b, a, x);stem(n,y);title('Respuesta en frecuencia g5[n]');ylabel('g5[n]'), xlabel('n')

6)

Con T=10;

Respuesta Impulsional:

a=[1];T=input('ingrese el valor del vector T : ');fs = 2;tmax=100;tmin=0;w = (1/fs);ts = [tmin:1/fs:-w 0 w:1/fs:tmax];x =[zeros(1,(abs(tmin)*fs)) 1 zeros(1,(abs(tmax)*fs))]; n=0:100;r=T.*n+2*T;m=T.*n-5*T;k=length(m);b=zeros(k);b=r;y = filter(b, a, x); stem(y);title('Respuesta Impulsional h6[n]');ylabel('h6[n]'),xlabel('n')


a=[1];T=input('ingrese el valor del vector T : '); n=0:100;ts=0.5;f=1000;r=T.*n+2*T;m=T.*n-5*T;x=cos(pi*f*ts.*n); k=length(m);b=zeros(k);b=r;y = filter(b, a, x); stem(y);title('Respuesta en frecuencia g6[n]');ylabel('h6[n]'),xlabel('n')


a=[1];b=[2];x= [zeros(1,30) 1 zeros(1,30)];n=[-30:30];y1 = filter(b,a,x);stem(n,y1);title('Respuesta Impulsional h7[n]')ylabel('h7[n]'), xlabel('n')


a=[1];b=[2];n=-30:30ts=0.5;f=5000;x=cos(pi*f*ts.*n);y = filter(b, a, x);stem(n,y);title('Respuesta en frecuencia g7[n]');ylabel('g7[n]'), xlabel('n')

8)Con: T=10 y s=1


a=[1];T=input('ingrese el valor del vector T : ');s=input('ingrese el valor del vector a enter 0 y 1 : ');%IMPULSOfs = 2;tmax=100;tmin=0;w = (1/fs);ts = [tmin:1/fs:-w 0 w:1/fs:tmax];x =[zeros(1,(abs(tmin)*fs)) 1 zeros(1,(abs(tmax)*fs))];%fin de impulson=0:100;m=n.*T+T;k=length(m);b=zeros(k);

b=s;y = filter(b, a, x);stem(y);title('Respuesta Impulsional h8[n]');ylabel('h8[n]'),xlabel('n')


a=[1];T=input('ingrese el valor del vector T : ');s=input('ingrese el valor del vector a enter 0 y 1 : ');n=0:100;ts=0.5;f=1000;m=T.*n-5*T;x=cos(pi*f*ts.*n);k=length(m);b=zeros(k);b=s;y = filter(b, a, x);stem(y);title('Respuesta en Frecuencia h8[n]');ylabel('h8[n]'),xlabel('n')

9)Con: T=10 y s=0.95


a=[1];T=input('ingrese el valor del vector T : ');s=input('ingrese el valor del vector a enter 0 y 1 : ');w1=T*pi;tm=2*T;fs = 2;tmax=100;tmin=0;w = (1/fs);ts = [tmin:1/fs:-w 0 w:1/fs:tmax];x =[zeros(1,(abs(tmin)*fs)) 1 zeros(1,(abs(tmax)*fs))];%fin de impulson=0:100;s=sin(T.*n*w1*tm);m=n.*T+T;k=length(m);b=zeros(k);b=s;y = filter(b, a, x);stem(y);title('Respuesta Impulsional h9[n]');ylabel('h9[n]'),xlabel('n')


a=[1];T=input('ingrese el valor del vector T : ');s=input('ingrese el valor del vector a enter 0 y 1 : ');w1=T*pi;tm=2*T;n=0:100;ts=0.5;f=1000;m=T.*n-5*T;x=cos(pi*f*ts.*n);s=sin(T.*n*w1*tm);k=length(m);b=zeros(k);b=s;y = filter(b, a, x);stem(y);title('Respuesta en Frecuencia h9[n]');ylabel('h9[n]'),xlabel('n')


a=[1];b=[1,0,0,0,0,0,1,0,0,1];x= [zeros(1,30) 1 zeros(1,30)];n=[-30:30];y1 = filter(b,a,x);stem(n,y1);title('Respuesta Impulsional h10[n]')ylabel('h10[n]'), xlabel('n')


a=[1];b=[1,0,0,0,0,0,1,0,0,1];n=-30:30;ts=0.5;f=5000;x=cos(pi*f*ts.*n);y = filter(b, a, x);stem(n,y);title('Respuesta en frecuencia g10[n]');ylabel('g10[n]'), xlabel('n')

VIII. Conclusiones y Recomendaciones

El estudio de las ecuaciones en diferencias contribuye a que el estudiante aborde con menos dificultad en los sistemas discretos. Además estos sistemas tienen la ventaja de ser modelos más ajustados a la realidad y nos da a conocer las características de los diferentes sistemas, a través de sus respuestas impulsionales y en frecuencia, sus gráficas darán observar si son causales, lineales, estables, etc.

Los sistemas continuos son una alternativa para la solución de los problemas prácticos que no tienen respuesta en sistemas discretos, la investigación que se puede hacer directamente en ecuaciones en diferencias por ejemplo puede permitir encontrar nuevas soluciones comúnmente representadas en modelos continuos.

IX. Bibliografía

Señales y Sistemas. Alan V. Oppenheim y Alan S. Willsky; Prentice Hall, segunda edición. 1997.

informe n3

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