Variación del movimiento de un sistema a causa de una fuerza externa

H. Cortés, M. Sánchez, M. Téllez

Universidad del Atlántico

05/06/2013

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RESUMEN

En el siguiente informe se analizara el efecto de aplicar una fuerza F a un sistema de masa M constante y además las implicaciones de variar la masa de este mismo sistema manteniendo constante la fuerza, haciendo uso de un montaje que consta de un deslizador, portapesas, un carril de aire y dos fotoceldas, tomando como datos los tiempos que registra el deslizador al pasar por las fotoceldas.

Palabras claves: Dinámica, aceleración, fuerza, masa, leyes de Newton, segunda ley de Newton, proporcionalidad, movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.__________________________________________________________________________________________________

1. Introducción

La dinámica es quizá una de las más importantes ramas de la física, además de ser la base de la mecánica clásica, que comprende el estudio del movimiento de los cuerpos y su evolución a través del tiempo a velocidades muy pequeñas comparadas con la de la luz. Contrario a la cinemática, la dinámica se enfoca en el estudio del movimiento y las causas que lo provocan; este análisis está basado en las leyes de Newton, las cuales presentan las condiciones bajo las cuales una fuerza aplicada a un cuerpo o sistema de cuerpos lo hace realizar un movimiento. Éstas son, la primera ley (principio de inercia, que trata sobre el estado de los cuerpos en reposo), la segunda ley (el principio fundamental de la dinámica, que expone el cambio del movimiento al aplicársele una fuerza a una partícula) y la tercera ley (el principio de acción y reacción, que describe las fuerzas de dos cuerpos que interaccionan entre sí).

El poder de estos tres postulados es tal que, por ejemplo, al compararlos con la ley de Gravitación Universal se pueden explicar las leyes de Kepler del movimiento planetario, de lo cual se deduce que a partir de los mismos se pueden describir todos los fenómenos físicos de la naturaleza.

Para esta experiencia se trabajará con la segunda ley de Newton para el estudio del movimiento de un cuerpo cuando se le ha aplicado una fuerza, lo que implica que éste sufre una aceleración, la cual es directamente proporcional a dicha fuerza, donde la constante de proporcionalidad en ese caso es la masa del cuerpo.

2. Discusión teórica

DINÁMICA: Es la parte de la física que estudia la relación entre la fuerza y el movimiento, cuya esencia es es el estudio de los movimientos de los cuerpos y sus causas, sin dejar de lado los conceptos de la cinemática. El estudio de la dinámica fue iniciado por Aristóteles en torno a 384 a. de C., quien desarrolló una teoría en un intento de explicar los movimientos de los cuerpos. Esta teoría siguió siendo válida hasta la Edad Media, más precisamente en la época del Renacimiento.

Aristóteles es considerado hoy el precursor de Galileo Galilei, teniendo sus ideas una de las más relevantes descubiertas por el antiguo pensador, la cual es: el movimiento puede existir sin la existencia de las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo. Por ejemplo, un disco de hockey cae sobre una superficie completamente lisa y en la ausencia de resistencia del aire, puede mantener su estado de movimiento de forma indefinida.

SEGUNDA LEY DE NEWTON: También denominada ley de la fuerza o principio fundamental de la dinámica, establece que la aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre éste:

a∝F (1)

E inversamente proporcional a la masa del cuerpo:

a∝ 1m

(2)

De igual forma se puede definir la fuerza como la variación del momento lineal de un sistema con respecto al tiempo:

F⃗=d P⃗dt

(3)

Teniendo en cuenta que P⃗=mV⃗ se obtiene:

F⃗=d (mV⃗ )dt

F⃗=m d V⃗dt

(4)

Y como d V⃗dt

= a⃗ se hace el cambio en (4) y queda:

F⃗=m a⃗ (5)

La cual es la relación fundamental entre la fuerza, la masa y la aceleración en forma vectorial. Ahora bien, en un sistema no actúa una única fuerza, por lo cual se puede considerar que la suma de todas las

fuerzas aplicadas a ese sistema es distinta de cero e igual al producto entre la masa del sistema y la aceleración que éste lleve en ese momento.

∑ F⃗=ma⃗ (6)

Si se descompone la fuerza en sus componentes horizontal y vertical (considerando el movimiento del sistema en dos dimensiones, con lo que se trabajará en la experiencia) la relación queda de esta forma:

∑ Fx=max (6)’

∑ Fy=ma y (6)’’

A partir de lo cual se pueden encontrar las relaciones dinámicas del sistema adecuado para esta práctica, como sigue:

En la figura anterior se muestra un montaje similar del sistema utilizado y los diagramas de cuerpo libre de cada uno de los cuerpos que intervienen en él. Considerando que la cuerda que sujeta el carrito es inexistente y carente de masa, se tiene que la fuerza total del sistema (tensión) es uniforme para el mismo. Con lo cual se establecen las relaciones siguientes:

Para el carro: ∑ F x=T=Ma (7)

Para el bloque: ∑ F y=T−mg=−ma (8)

Como la tensión es uniforme en el sistema, se puede igualar (7) con (8):

Ma=mg−ma

Ma+ma=mg

a (M+m)=mg

a=mg

(M+m)

(9)

Utilizando el mismo supuesto anterior se puede sustituir a en (7) u (8) para obtener, finalmente:

T=( MmM+m ) g (10)

La cual describe la fuerza del sistema en función de las masas de los cuerpos del mismo.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO: Es aquel en el cual un cuerpo describe una trayectoria de acuerdo a la aceleración a la que está sometido, la cual se considera constante. En mecánica clásica el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) presenta tres características fundamentales:

1. La aceleración y la fuerza resultante sobre la partícula son constantes.

2. La velocidad varía linealmente respecto del tiempo.3. La posición varía según una relación cuadrática respecto del

tiempo.

El MRUA, como su propio nombre indica, tiene una aceleración constante, cuyas relaciones dinámicas y cinemáticas, respectivamente, son:

a (t )=a= Fm

=d2 xd t2

(12)

La velocidad v para un instante t dado es:

v (t )=at+v0 (13)

siendo v0 la velocidad inicial. En el movimiento rectilíneo acelerado, la aceleración instantánea es representada como la pendiente de la recta tangente a la curva que representa gráficamente la función v(t).

Finalmente la posición x en función del tiempo se expresa por:

x (t )=12a t2+v 0t+ x0

(14)

donde  x0 es la posición inicial.

Además de las relaciones básicas anteriores, existe una ecuación que relaciona entre sí el desplazamiento y la rapidez de un cuerpo, la cual puede obtenerse siguiendo estos pasos:

Se despeja t en (8):

t=v−v0

a

(13)’

Se sustituye (8)’ en (9) y se resuelven las operaciones:

x=12a ( v−v0

a )2

+v0( v−v0

a )+x0

x=12a

(v−v0 )2

a2 +v0 v−v0

2

a+x0

x−x0=v2−2v0 v+v0

2

2a+v0 v−v0

2

a

x−x0=v2−2v0 v+v0

2

2a+

2v0 v−2v02

2a

x−x0=v2−2v0 v+v0

2+2 v0 v−2v02

2a

x−x0=v2−v0

2

2a

2a (x−x0 )=v2−v02

(15)

Al despejar a se tiene:

a=v2−v0

2

2(x−x0)

(16)

La ecuación anterior será de mucha utilidad para el desarrollo de la práctica, ya que al conocer la aceleración se le puede comparar con la

masa y comprobar que éstas sean inversamente proporcionales, lo cual es afirmado por la segunda ley de Newton.

3. Método experimental.

Para la realización de esta experiencia fue necesario utilizar un montaje que permitiera analizar el efecto de variar la masa y la fuerza de un sistema.

El sistema empleado para la experiencia contó con un deslizador conectado a través de un hilo con un portapesas, dicho hilo pasaba por una pequeña polea al final del carril de aire, dos fotoceldas separadas a una distancia de 50 cm los cuales registrarían los tiempos al pasar la placa de ancho de 2 cm que se encontraba en la parte superior del deslizador.

En una primera parte de la experiencia se hizo variar la masa del sistema colocando pesas sobre el deslizador analizando el movimiento de este a través del carril de aire registrando varios tiempos por cada masa agregada al deslizador, manteniendo la tensión constante en el hilo que lo arrastraría.

En una segunda parte se hizo variar la fuerza aplicada al sistema; esto se obtuvo trasladando las pesas que anteriormente se habían agregado al deslizador en el primer análisis al portapesas. De esta manera se mantenía la masa del sistema constante registrando varios tiempos por cada masa colocada en el

portapesas, analizando el movimiento del deslizador a través del carril.

4. ANÁLISIS DE RESULTADOS Y DISCUSIONES

Tabla 1. Datos del sistema para una fuerza constante y masa variable.

Mdeslizador = 0,1890±0,0001kg mportapesas = 0,0496±0,0001kg d = 0,020±0,001m

M (kg) m (kg) Msist (kg) t1 (s) t2 (s) a (ms2 )0,1890 0,04960 0,2386 0,0234 0,0128 0,0234 0,0128 1,71

0,2090 0,04960 0,2586 0,0243 0,0132 0,0243 0,0132 1,60

0,2290 0,04960 0,2786 0,0252 0,0136 0,0252 0,0136 1,53

0,2490 0,04960 0,2986 0,0259 0,0139 0,0256 0,0139 1,48

0,2690 0,04960 0,3186 0,0262 0,0144 0,0264 0,0144 1,33

Tabla 2. Datos del sistema para una masa constante y fuerza variable.

Mdeslizador = 0,1890±0,0001kg mportapesas = 0,0496±0,0001kg d = 0,020±0,001m

M (kg) m (kg) Msist (kg) t1 (s) t2 (s)a (ms2 )

0,2490 0,06960 0,3186 0,0225 0,0122 0,0223 0,0121 1,90

0,2290 0,08960 0,3186 0,0201 0,0107 0,0201 0,0107 2,51

0,2090 0,1096 0,3186 0,0182 0,0097 0,0182 0,0097 3,04

0,1890 0,1296 0,3186 0,0175 0,0091 0,0169 0,0090 3,49

Tabla 3. Msist-1 vs a (sistema 1)

Msist-1 (kg-1) Aceleración (m/s2)

3,14 1,33

3,35 1,48

3,59 1,53

3,87 1,60

4,19 1,71

Tabla 4. a vs F (T) (sistema 2)

Aceleración (m/s2) Tensión (N)

1,90 0,53

2,51 0,63

3,04 0,7

3,49 0,75

Gráfica 1. Msist-1 vs. a (tabla 3)

3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Msist-1 vs a

A

Gráfica 2. A vs. F (tabla 4)

1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

a vs F

F

En la tabla 1 se muestran los resultados obtenidos al realizar el experimento para el caso donde la masa del sistema variaba y la fuerza se mantenía constante. La aceleración fue hallada utilizando la ecuación (16), donde V0 y V son las razones entre la longitud del deslizador y el tiempo en el cual éste pasó a través de la primera y segunda fotocelda, repectivamente, y (x – x0) es la distancia entre las fotoceldas. Se puede observar que a medida que la masa del sistema aumentaba la aceleración iba disminuyendo, con lo cual se podía prever que, al tabular y graficar los inversos multiplicativos de las masas contra las aceleraciones (tabla 3 y gráfica 1) se obtendría una línea recta, lo cual es sinónimo de variación directamente proprocional. La ecuación obtenida para estos datos, a través de la linealización, fue la siguiente:

y=0,3341x+0,3250 (17)

A partir de esto se tiene la siguiente relación:

a∝M sist−1

(18)

De lo cual podemos obtener:

a=k M sist−1

(19)

Haciendo un análisis dimensional de la constante de proporcionalidad que se ha obtenido se observa que las unidades de k son kg • m/s2 (N), lo cual corresponde a la fuerza aplicada al sistema, y se tiene que k = F.

F=(M sist )a (20)

Se puede advertir entonces que, para las condiciones de trabajo del primer sistema, en éste último la masa del mismo es inversamente proporcional a la aceleración del sistema para cada masa determinada cuando la fuerza es constante, el cual es uno de los supuestos de la segunda ley de Newton. Ahora, teniendo en cuenta las relaciones (5) y (20), el producto de cada masa del sistema por su aceleración correspondiente va a dar como resultado la fuerza que actúa sobre ese sistema (la fuerza externa, esto es, el peso del portapesas), el cual debería ser un valor constante. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que ésta es una situación real, por lo tanto, debido a la incertidumbre de medida, al comparar los valores del producto entre cada masa del sistema por su aceleración con el peso del portapesas se podrían obtener valores cercanos entre sí, pero no exactamente el mismo, lo que podría esperarse en una situación ideal. Comprobando esto en la tabla, por ejemplo, se toman datos de la primera fila y se hace el

cálculo: la masa del sistema por la aceleración ((0,2386 kg )(1,71m

s2 )) da

como resultado, aproximadamente, 0,41 N. Realizando la misma

operación para el peso del portapesas ((0,04960 kg )(9,78m

s2 )) se obtiene

0,49 N, lo cual confirma esta estimación.

En la tabla 2 se observan los datos recogidos de la segunda configuración del montaje, para la cual se mantuvo la masa del sistema constante, variando esta vez la fuerza del mismo. La fuerza, en este caso, la tensión de la cuerda, fue hallada con la ecuación (10), donde M es la masa del deslizador y m la masa del portapesas. En esta ocasión se puede apreciar que, contrario a lo sucedido con la configuración 1, la aceleración del sistema iba aumentando conforme se cambiaba la posición de las pesas entre el deslizador y el portapesas. En la tabla 4 y la gráfica 2 se muestran los datos de la gráfica de aceleración contra fuerza, con la cual haciendo la respectiva linealización se obtiene la siguiente ecuación:

y=0,1385x+0,2736 (21)

Ahora bien, según la gráfica, la fuerza de tensión aumenta conjuntamente con la aceleración y considerando que para esta configuración del montaje la masa permanece constante, tenemos:

T∝a (22)

Lo que implica:

T=ka (23)

Con lo cual se puede afirmar que la constante de proporcionalidad es la masa del sistema; en este orden de ideas, se tiene que la pendiente obtenida en la ecuación experimental, 0,1385, es igual a la constante de proporcionalidad, es decir, la masa total del sistema, la cual por incertidumbre es un valor no exactamente igual al anteriormente calculado. Así pues, se cumple otro de los supuestos de la segunda ley de Newton.

A partir de todo lo anterior se puede encontrar una relación entre la fuerza, la masa y la aceleración de un sistema mecánico. Comparando las relaciones (18) y (22) se tiene:

a∝T M sist−1

(24)

a∝ TM sist

a=kTM sist

k=(M sist )aT

(25)

Si se realiza un análisis dimensional a esta constante se puede ver que

ésta es adimensional (considerando que la unidad de (M sist )a es N y la de

T también es N). Además, de (25) también se tiene:

T=(M sist ) ak

(26)

La cual es muy similar al postulado de la segunda ley de Newton, con la diferencia de que ahora aparece la constante k dividiendo el producto entre la masa por la aceleración, lo cual no afecta el postulado de la segunda ley ni modifica las unidades de la fuerza, por lo que podría considerarse a (26) como la relación fundamental entre fuerza, masa y aceleración. Ahora, usando la relación (25) y reemplazando datos correspondientes a masa, aceleración y fuerza se observa que esta constante da un valor igual a 1, pudiéndose confirmar con el siguiente ejemplo (tomado de la primera columna de la tabla 2):

k=

(0,3186kg )(1,90m

s2 )0,60534

kg•ms2

k=1 (27)

5. CONCLUSIONES

A través de la experiencia se demostró que las afirmaciones de la segunda ley de Newton eran válidas: se encontró, a través de la primera configuración del sistema, que su aceleración es inversamente

proporcional a la masa total del mismo, además, en la segunda configuración, también se verificó que la fuerza del sistema (la tensión de la cuerda) era directamente proporcional a la aceleración de éste; se pudo observar también que esta tensión variaba de acuerdo a la fuerza externa (el peso del portapesas) aplicada al mismo. Por último, se encontró una relación entre las tres variables que dio como resultado la relación primordial entre ellas, la segunda ley de Newton.

6. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS.

http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sica

YOUNG, HUGH D. y ROGER A. FREEDMAN. Física Universitaria, volumen 1. Decimosegunda edición. Pearson educación, México, 2009. ISBN: 978-607-442-288-7. Área: Ciencias. Formato: 21 x 27 cm. Páginas: 760.

http://fisica.laguia2000.com/dinamica-clasica/fisica-dinamica

http://www.usc.edu.co/laboratorios/files/SEGUNDA%20LEY%20DE%20NEWTON.pdf

https://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_rectilineo_uniformemente_acelerado