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INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

Llamamos inecuación de primer grado con dos incógnitas es una desigualdad algebraica que se puede

transformar en otra equivalente a una de las siguientes formas:

ax + by > c ax + by c ax + by < c ax + by c

Los pasos a seguir para encontrar las soluciones son los siguientes:

1º.- Se considera la función: b

cx

b

ay asociada a la inecuación y se dibuja su gráfica, que es una

recta.

2º.- Las soluciones buscadas son los infinitos puntos de uno de los dos semiplanos que determina esa

recta. Para decidir cuál de los dos semiplanos es la solución, se toma un punto P cualquiera que no

pertenezca a la recta, y se sustituyen sus coordenadas en la inecuación; si la verifican, el semiplano al

que pertenece P es la solución. En caso contrario la solución será el otro semiplano.

3º.- Estudiamos la inclusión o no de la recta o frontera en la solución (dependerá de si tenemos o no los

signos y ).

Ejemplo: Resolvamos la inecuación: x + y < 2

Representemos la ecuación asociada x + y = 2

y = 2 – x.

Todo punto de esta recta puede escribirse de la

forma (x,2-x). Puntos de la recta son: (-2,4), (-

1,3) (0,2), (1,1) y (2,0).

Si tomamos los puntos (-1,4), (0,3), (0,4), (1,2),

…, que están situados por encima de la recta,

ninguno de ellos cumple la inecuación x + y < 2.

Los puntos (-1,1), (0,0), (0,1), (1,0) (1,-1), …,

situados por debajo de la recta x + y = 2,

cumplen todos ellos la inecuación x + y < 2.

Por tanto, las soluciones de la inecuación x + y <

2 son todos los puntos del semiplano situado por

debajo de la recta.

Ejercicio:

Encuentra el conjunto de soluciones de las inecuaciones siguientes:

a) 07 yx b) 032 yx c) 3y d) 5x

SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es el conjunto de dos o más inecuaciones de

primer grado, que deben satisfacerse a la vez. Para su resolución, se procede de la manera siguiente:

- Se resuelve cada inecuación por separado.

- El conjunto solución del sistema, también llamado región factible, está formado por las

soluciones comunes a todas las inecuaciones.

Ejemplo: resolvamos el sistema lineal con dos incógnitas:

105

034

yx

xy

4

3034

xyxy . El semiplano solución es el marcado arriba y a la izquierda.

105105 xyyx . El semiplano solución es el marcado a la derecha.


La intersección de ambos semiplanos es la solución del sistema.

Ejercicio:

Dibuja las regiones factibles de los siguientes sistemas:

a)

2,11,02,0

9,04,03,0

yx

yx b)

0116

073

xy

xy

Ejercicio:

Encuentra el conjunto de puntos del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones:

202

306

10025

306

yx

yx

yx

y

Ejercicio:

Representa la región factible solución del sistema de inecuaciones:

10

102

50

0

yx

yx

y

x

. Encuentra los

vértices de la misma.

PROGRAMACIÓN LINEAL. DEFINICIONES

A veces, un problema de producción, financiero, de estrategia militar, etc, puede tener distintas

soluciones. En este caso, hemos de investigar la solución más conveniente. Este es un problema que se

presenta con frecuencia en las empresas. Se puede planificar la producción de diversas formas,

minimizando costes o maximizando beneficios.

La programación lineal es un conjunto de técnicas que pretende optimizar (maximizar o minimizar) una

función lineal de varias variables llamada función objetivo sujeta a una serie de restricciones

expresadas por medio de ecuaciones o inecuaciones lineales.

En todo problema de programación lineal se trata de hallar los posibles valores óptimos de una función

de la forma:

z = z1x1 + z2x2 + .......... + znxn

condicionada a que se cumplan las ecuaciones o inecuaciones:


mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

............................................

...

...

2211

22222121

11212111

Con el signo se indica uno de éstos símbolos: =, <, >, , .

Si el valor óptimo buscado es el máximo, se dice maximizar la función, si es el mínimo, minimizar la

función.

La función z se llama función objetivo. Las ecuaciones o inecuaciones condicionantes son las

restricciones. El conjunto de puntos del recinto plano que delimitan las rectas representativas del

sistema constituyen la llamada región factible.

Ejemplo 1:

Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 kg de chocolate, 100 kg de almendras y 85 kg de

frutas. Produce dos tipos de cajas: la de tipo A contiene 3 kg de chocolate, 1 kg de almendras y 1 kg de

frutas; la de tipo B contiene 2 kg de chocolate, 1,5 kg de almendras y 1 kg de frutas. Los precios de las

cajas de tipo A y B son 13 € y 13,50 €, respectivamente. ¿Cuántas cajas debe fabricar de cada tipo

para maximizar su venta?

Primero simplificamos el problema construyendo una tabla:

A B TOTAL (kg)

CHOCOLATE 3 2 500

ALMENDRA 1 1,5 100

FRUTAS 1 1 85

PRECIO 13 € 13,50 €

Expresamos con ecuaciones e inecuaciones la información descrita:

Sea x = nº de cajas de tipo A

Sea y = nº de cajas de tipo B

Entonces, z=13x+13,50y, representa la cantidad de pesetas obtenida por la venta de cajas y, por lo

tanto, es la que debemos maximizar (función objetivo).

Las restricciones del problema vienen dadas por las siguientes inecuaciones:

3x + 2y 500

x + 1,5y 100

x + y 85 y, lógicamente, x 0 e x 0.

La región factible del ejemplo anterior sería:


PROGRAMACIÓN LINEAL PARA DOS VARIABLES.

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN.

Método analítico:

Teorema fundamental:

“Si existe una solución única que maximice o minimice una función lineal objetivo, esta debe hallarse en

uno de los vértices de la región factible”.

Ejemplo 1:

Evaluamos la función z=13x+13,50y en cada vértice, para ver en cuál de ellos se obtiene el valor máximo:

z(P) = 13·85 + 0 = 1105 €

z(Q) = 13·55 + 13,5·30 = 715 + 405 = 1120 €

z( R) = 0 + 13,5·100/1,5 = 900 €

z(O) = 0 €

Por tanto, la función z alcanza su valor máximo en el punto Q=(55,30). Consecuentemente, el fabricante

deberá producir 55 cajas del tipo A y 30 del tipo B.

Un problema de programación lineal tiene infinitas soluciones cuando dos vértices de la región factible

son solución óptima. En este caso, todos los puntos que están situados sobre el segmento que une los

dos vértices son también soluciones óptimas.

Ejemplo 2:

Calcula la solución que hace mínima la función z=x+y, sujeta a las restricciones siguientes. ¿Cuántas

soluciones hay?

x 0

y 0

x + y 10

4x + 3y 60

Los vértices de la región factible son: A=(10,0); B=(15,0); C=(0,20); D=(0,10).

Probamos en la función objetivo cada uno de los vértices:

z(A) = 10 + 0 =10

z(B) = 15 + 0 =15

z( C) = 0 + 20 =20

z(D)= 0 + 10 = 10

El valor mínimo se obtiene en los vértices A y D. Por tanto, el problema tiene infinitas soluciones: los

puntos A=(10,0), D=(0,10) y todos los que pertenecen al segmento AD .

Un problema de programación lineal puede que no tenga solución debido a dos razones:

- porque la región factible sea vacía.

- porque la región factible no esté acotada y no se alcance nunca el valor óptimo.


Método gráfico:

Para hallar gráficamente la solución de un problema de programación lineal de dos variables es

conveniente seguir los siguientes pasos:

1. Se representa la recta mx + ny = 0, obtenida de la función objetivo f(x,y) = mx + ny.

2. Se dibuja la región factible.

3. Se desplaza paralelamente la recta mx + ny = 0 hacia la derecha y/o izquierda, hasta que pase por

los puntos más alejados de la región factible. El punto común con la región factible más alejado

hacia la derecha es el óptimo máximo, el más alejado hacia la izquierda es el óptimo mínimo. Si en

algún caso nos ocurriera que dos vértices alcanzasen el máximo valor de la función objetivo,

entonces los alcanzarían también todos los puntos del segmento que los une.

Por tanto, las soluciones se encuentran sobre vértices o lados de la región factible.

Ejemplo 3:

Una empresa dedicada a la reparación de componentes eléctricos recibe el encargo de reparar

ordenadores y consolas de videojuegos. La empresa dispone de dos talleres de reparación. El primero

puede emplear 300 horas de trabajo, y necesita emplear 6 horas para cada ordenador y 5 para cada

consola. El segundo dispone de 200 horas y necesita 2 horas para reparar cada ordenador y 5 para cada

consola. Las ganancias netas que obtiene la empresa son de 100 € por ordenador y 100 € por consola. La

empresa desea una ganancia máxima. Responde a las cuestiones siguientes:

A. Formula algebraicamente el programa lineal correspondiente.

B. Encuentra, si existe, la región factible de soluciones.

C. Obtén, utilizando el método gráfico, las cantidades idóneas que deben repararse de cada artículo

para maximizar la ganancia de la empresa.

D. Responde a la cuestión anterior, utilizando el método analítico.

Simplificamos el problema construyendo una tabla:

Ordenadores Consolas Recursos

Taller 1 (h) 6 5 300

Taller 2 (h) 2 5 200

BENEFICIOS 100 € 100 €

Llamamos x al número de ordenadores que puede reparar cada taller e y al número de consolas que

puede reparar cada uno de los talleres.

A. El programa lineal

correspondiente al problema

es:

Maximizar: z = 100x + 100y

Sujeto a las restricciones:

6x + 5y 300

2x + 5y 200

x 0

y 0


B. La región factible de soluciones está limitada por los vértices:

O=(0,0); P=(50,0); Q=(25,30); R=(0,40).

C. Desplazando la recta 100x + 100y, se obtiene el beneficio máximo para el punto Q=(25,30) de

la región factible.

D. Obtenemos el mismo resultado si evaluamos la función objetivo en cada uno de los vértices de

la región de soluciones. En estos puntos, la función objetivo toma los siguientes valores:

z(O) = 0

z(P) = 5000

z(Q) = 5500

z( r)= 4000

Luego el máximo beneficio obtenido por la empresa es de 5500 €, siempre que repare 25 ordenadores y

30 consolas.

Ejercicio:

Calcula el valor máximo y el mínimo de la función yxyxf 2, , sometida a las restricciones:

4y 3x 3 yx 0 yx

Ejercicio:

Maximiza la función yxz 23 , en el dominio definido por las inecuaciones siguientes:

02 xy 13 xy 20 x

Ejercicio:

Representa el conjunto definido por las siguientes inecuaciones y calcula sus vértices:

12

4

2

yx

yx

yx

a) Calcula el valor máximo y mínimo que alcanza la función yxyxf 24, en este

conjunto.

b) Determina en qué puntos alcanza dichos valores.


Ejercicio:

Maximiza la función 1, yxyxf , sujeta a las restricciones:

y0 100 x yx 62 xy 2443 yx

Ejercicio:

Encuentra el mínimo de la función yxz 43 , cuando se verifican las siguientes desigualdades:

82 yx 1232 yx 6 yx 0x 0y

TRES PROBLEMAS CLÁSICOS.

El problema de producción

Una fábrica se dedica a producir distintos objetos, para los que utiliza distintos productos que posee

en cuantía limitada. Deseamos averiguar, conociendo los precios de venta de cada uno de los objetos,

qué cantidad ha de producir de cada uno de ellos para maximizar los ingresos por ventas.

Ejemplo 4:

En una bollería deseamos fabricar para el día de la fiesta local dos tipos de bollos A y B. El bollo de tipo

A tiene 500 gramos de masa y 250 gramos de crema. El bollo de tipo B tiene 250 gramos de masa y 250

gramos de crema. Si disponemos de 20 kg de masa y 15 kg de crema y el precio de venta lo fijamos en 2

€ el bollo A y 1,50 € el bollo B, ¿cuántos bollos de cada tipo tenemos que fabricar para que el beneficio

sea máximo?

Bollo A Bollo B Disponible

Variable x y

gr de masa 500x 250y 20000

gr de crema 250x 250y 15000

Ingresos 2x 1,5y z=2x+1,5y

Las restricciones son:

x 0

y 0

500x + 250y 20000

250x + 250y 15000

Los vértices de la región factible son: A=(0,0); B=(40,0); C=(0,60); D=(20,40).

Resolución analítica:

z(A) = 0

z(B) = 80 €

z( C) = 90 €

z(D)= 100 €

La producción óptima la obtenemos en el vértice D=(20,40), para 20 bollos del tipo A y 40 bollos del

tipo B.


El problema de la dieta

Una granja se dedica a la cría de una determinada clase de animales que se alimentan de varias clases

de piensos que contienen distintas clases de nutrientes (vitaminas, grasas, proteínas, …). El problema

consiste en determinar la cantidad de cada uno de los alimentos que han de constituir la dieta diaria de

los animales, teniendo en cuenta que, en la misma, debe haber unas cantidades mínimas de los citados

nutrientes y de forma que el coste sea mínimo.

Ejemplo 5:

Un ganadero debe suministrar un mínimo de 30 mg de vitamina A y de 35 mg de tipo B por kg de pienso

a sus animales. Dispone de dos clases de pienso R y S cuyos contenidos en mg de las vitaminas A y B por

kg de pienso vienen dados en la siguiente tabla:

R S

A 6 6

B 5 10

El pienso R vale 40 €/kg y el S vale 60 €/kg. ¿Cuántos kg de cada clase debe mezclar para suministrar

el pienso de coste mínimo?

Pienso R Pienso S Disponible

Variable (kg) x y

Vitamina A 6x 6y 30

Vitamina B 5x 10y 35

Coste 40x 60y Z=40x+60y Minimizar


x 0

y 0

6x + 6y 30 x + y 5

5x + 10y 35 x + 2y 7


La región factible no está acotada superiormente, pero como tenemos que minimizar la función, si

existe solución.

Los vértices de la región factible son: A=(7,0); B=(0,5); C=(3,2).


z(A) = 280 €

z(B) = 300 €

z( C) = 240 €

La producción óptima la obtenemos en el vértice C=(3,2), para 3 kg de pienso del tipo R y 2 kg de pienso

del tipo S.

El problema del transporte

Una empresa posee fábricas en varias ciudades en las que produce un determinado producto. Este

producto lo comercializa en distintos puntos de venta. Cada fábrica posee una capacidad de producción

de un determinado número de unidades y cada uno de los puntos de venta ha de recibir un determinado

número de unidades. ¿Cuántas unidades de cada producto hay que producir en cada fábrica para que el

coste del transporte sea mínimo?

Ejemplo 6:

Dos fábricas de coches A y B producen 4000 y 5000 coches de un determinado modelo que se

distribuyen en tres ciudades R, S y T que admiten 2000, 3000 Y 4000 coches. El coste del transporte

en euros viene dado en la siguiente tabla:

R S T

A 10000 15000 20000

B 15000 12000 18000

¿Cómo deben distribuirse los coches para que el coste del transporte sea mínimo?

En euros, el planteamiento es el siguiente:

R S T Disponible

Reciben 2000 3000 4000

A x y 4000-x-y 4000

B 2000-x 3000-y x+y 5000

Coste 300000-50x 360000-30y 800000-20x-20y z=-70x+10y+1460000 Minimizar


x 0

y 0

4000 - x - y 0 x + y 4000

2000 - x 0 x 2000

3000 - y 0 y 3000

x + y 0

Los vértices de la región factible son: A=(0,0); B=(2000,0); C=(0,3000); D=(2000,2000);

E=(1000,3000).



z(A) = 1460000 €

z(B) = 1320000 €

z(C) = 1490000 €

z(D) = 1340000 €

z(E) = 1420000 €

La producción óptima la obtenemos en el vértice B=(2000,0), es decir, para la siguiente distribución:

R S T

A 2000 0 2000

B 0 3000 2000

EJERCICIOS

1.- Para abonar una parcela de huerta se necesitan, por lo menos, 8 kg de nitrógeno y 12 kg de fósforo.

Se dispone de un producto M cuyo precio es de 30 céntimos de €/kg y que contiene un 10 % de

nitrógeno y un 30 % de fósforo. Existe en el mercado otro producto N que contiene un 20 % de

nitrógeno y un 20 % de fósforo, y cuyo precio es de 40 céntimos de €/kg. ¿Qué cantidades se deben

tomar de M y N para abonar la parcela con el menor gasto posible?

2.- Dos yacimientos de oro, A y B, producen al año 2000 y 3000 kg de mineral de oro, respectivamente,

que deben distribuirse a tres puntos de elaboración: C, D y E, que admiten 500, 3500 y 1000 kg de

mineral, respectivamente, al año. El coste del transporte, en euros por kg, es el que vemos en la tabla:

COSTE C D E

A 10 20 30

B 15 17,50 20

¿Cómo ha de distribuirse el mineral para que el transporte sea lo más económico posible?

3.- Halla los valores de x e y que hacen máxima la función z = 8x +5y, sujeta a las siguientes

restricciones:

x e y deben ser números naturales

x + y 7

3x + y 12

x 3

4.- Con 80 kg de acero y 120 de aluminio se quieren fabricar bicicletas de paseo y de montaña que se

venderán a 200 y 150 € respectivamente. Para la de paseo son necesarios 1 kg de acero y 3 de aluminio

y para la de montaña 2 kg de cada uno de los metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y cuántas de

montaña se deben fabricar para obtener el beneficio máximo?

5º.- Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dólares

por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería produce

0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0,3 barriles de

combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G,

0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinería ha contratado el suministro de 900000 barriles de G,

800000 barriles de C y 500000 barriles de T. Halla las cantidades de crudo ligero y pesado que debe

comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo.


6.- Un comerciante desea comprar dos tipos de frigoríficos, F1 y F2. Los de tipo F1 cuestan 300 € y los

de tipo F2, 500 €. Sólo dispone de sitio para 20 frigoríficos y de 7000 € para hacer las compras.

¿Cuántos frigoríficos debe comprar de cada tipo para obtener beneficios máximos con su venta

posterior, sabiendo que en cada frigorífico gana el 30 % del precio de compra?

7.- En una fábrica de piensos se utilizan tres ingredientes, A, B y C, para la elaboración de alimento

para el ganado. Se dispone de 90 toneladas de A, 90 de B y 70 de C, y se desea fabricar dos tipos de

pienso M1 y M2. Una tonelada de pienso M1 requiere 2 toneladas de A, 1 de B y 1 de C, y una tonelada de

M2 requiere 1 tonelada de A, 2 de B y 1 de C. Sabiendo que cada tonelada de M1 se vende a 120 € y cada

una de M2 a 100 €, ¿cuántas toneladas de cada pienso deben facturarse para obtener un beneficio

máximo?

8.- Una casa empacadora de alimentos recibe diariamente 700 kg de café de tipo C y 800 kg de café de

tipo K. Hace de ellos dos mezclas: la de tipo A, que consta de dos partes de café de tipo C y 1 de tipo K,

en la que gana 22 céntimos de €/kg, y la de tipo B, que consta de una parte de tipo C y dos del tipo K, en

la que gana 26 céntimos de €/kg. Halla la cantidad de mezcla que la casa debe preparar de cada clase

para que la ganancia sea máxima.

9.- Una ganadería desea proporcionar a su ganado una dieta que contenga un mínimo de 24 unidades del

pienso A y un mínimo de 25 unidades del pienso B. En el mercado se comercializan dos tipos de

compuestos, C1 y C2, elaborados con ambos piensos. El paquete de C1 contiene 1 unidad de A y 5 de B,

siendo su precio de 1 €, y el de C2 contiene 4 unidades de A y 1 de B, siendo su precio 3 €. ¿Qué

cantidades de C1 y C2 deberá emplear la ganadería para preparar su dieta con el mínimo coste?

10.- Se quiere elaborar una dieta diaria para ganado que satisfaga unas condiciones mínimas de

contenidos vitamínicos al día: 2 mg de vitamina A, 3 mg de vitamina B, 30 de la C y 2 de la D. Para ello

se van a mezclar piensos de dos tipos, P y Q, cuyo precio por kg es para ambos de 30 céntimos de €, y

cuyo contenido vitamínico por kg se recoge en la tabla adjunta. ¿Cómo deben mezclarse los piensos para

que el gasto sea mínimo? ¿Cuál es este gasto mínimo?

A B C D

P 1 mg 1 mg 20 mg 2 mg

Q 1 mg 3 mg 7,5 mg 0 mg

11.- Para abastecer de madera a tres aserraderos A1, A2, y A3 hay dos bosques B1 y B2 que producen 26

toneladas y 30 toneladas, respectivamente. Las necesidades de cada aserradero son: 20, 22 y 14

toneladas, respectivamente. Si los costes de transporte por tonelada de los bosques a los aserraderos

son, en euros, los que se indican en la siguiente tabla, propón el transporte con el coste mínimo.

A1 A2 A3

B1 10 30 10

B2 20 10 10

12.- Desde dos almacenes, A y B, se tiene que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad. El almacén

A dispone de 10 toneladas de fruta diarias y el B de 15 toneladas, que se reparten en su totalidad. Los

dos primeros mercados necesitan, diariamente, 8 toneladas de fruta, mientras que el tercero necesita

9 toneladas diarias. El coste del transporte desde cada almacén a cada mercado viene dado por los

datos del cuadro. Planifica el transporte para que el coste sea mínimo.


Mercado 1 Mercado 2 Mercado 3

A 10 15 20

B 15 10 10

13.- Halla los vértices del recinto plano formado por las soluciones del sistema de inecuaciones:

x 0

y 0

x 4

x + 2y 2

2y x + 2

14.- Determina los valores máximo y mínimo de la función z = 2x – 8y sometida a las restricciones:

3x – 2y 12 x – 4y -20 3x + 2y 24

x + 2y 4 x 0 y 0

15.- Determina los valores máximo y mínimo de la función z = 5x – 3y sujeta a las restricciones:

x + y 3 2x + y 8 x 0 y 0

16.- Determina los valores máximo y mínimo de la función z = 2x + y sometida a las restricciones:

0 x 6 0 y 10 8 2x + y 16

17.- Una empresa construye en dos factorías (F1 y F2) tres tipos de barcos deportivos (A, B, C). La

factoría F1 construye en un mes: 1 barco de tipo A, 5 de tipo B y 1 de tipo C, siendo su coste de

mantenimiento mensual de 60.000 €, y F2 construye en un mes: 1 barco de tipo A, 1 de tipo B y 2 de tipo

C, siendo su coste mensual de 30.000 €. La empresa se ha comprometido a entregar anualmente, a

cierto club náutico, 3 barcos de tipo A, 15 de tipo B y 12 de tipo C. ¿Cuántos meses al año deberá

trabajar cada factoría con objeto de que la empresa cumpla su compromiso con el mínimo coste?

18.- En un almacén se guarda aceite de girasol y de oliva. Para atender a los clientes se ha de tener

almacenado un mínimo de 20 bidones de aceite de girasol y 40 de aceite de oliva y, además, el número

de bidones de aceite de oliva no debe ser inferior a la mitad del número de bidones de aceite de

girasol. La capacidad total del almacén es de 150 bidones. Sabiendo que el gasto de almacenaje de un

bidón de aceite de oliva es de 1 € y de uno de girasol de 0,50 €, ¿cuántos bidones de cada tipo habrá

que almacenar para que el gasto sea mínimo? ¿Y para que el gasto sea máximo?

19.- Una empresa elabora dos productos, cada uno de ellos en una cantidad que es múltiplo de 1000.

Conoce que la demanda, de ambos productos conjuntamente, es mayor que 3000 unidades y menor que

6000 unidades. Asimismo, sabe que la cantidad que se demanda de un producto es mayor que la mitad y

menor que el doble que la del otro. Si la empresa desea vender toda la producción:

a) ¿De cuántos modos puede organizar la producción?

b) Para obtener los máximos beneficios, ¿cuánto ha de ser la producción de cada uno de ellos

si uno se vende a un precio que es el triple que el del otro?


20.- Una conservera dispone diariamente de 350 kg de almejas que debe envasar en latas de dos

tamaños: normal y familiar. Las latas de tamaño normal llevan 140 gr de almejas y suponen un beneficio

de 30 céntimos de € por lata. Las latas de tamaño familiar llevan 440 gr de almejas y su beneficio es de

100 céntimos de € por lata. Por razones de producción, al menos el 70 % de las latas debe ser de

tamaño familiar. ¿Cuál debe ser la producción diaria para que el beneficio sea máximo?

21.- Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2 de

algodón y 3 m2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m2 de cada una de las telas. Calcula el número

de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un

vestido se venden por el mismo precio.

22.- Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 600.000 € y el coste de una

casa de tipo A es de 130.000 €, y 80.000 € el de una de tipo B. El número de casas de tipo A ha de ser

al menos el 40 % del total y el de B, el 20 %, por lo menos. Si cada casa del tipo A se vende en 160.000

€ y cada una del tipo B en 90.000 €, ¿cuántas casas de cada tipo ha de construir para obtener un

beneficio máximo?

23.- Una persona tiene 500.000 € para invertir en dos tipos de acciones, A y B. El tipo A tiene bastante

riesgo, con un interés anual del 10 %, y el tipo B es bastante seguro, con un interés anual del 7 %.

Decide invertir como máximo 300.000 € en A y, como mínimo, 100.000 € en B, e invertir en A por lo

menos tanto como en B. ¿Cómo deberá invertir sus 500.000 € para maximizar sus intereses anuales?

24.- Un taller artesano produce sillas y butacas. Para su construcción tiene que pasar por las secciones

de carpintería y tapicería, que funcionan durante un máximo de 9 y 8 horas diarias respectivamente.

Las butacas necesitan una hora de trabajo en carpintería y dos en tapicería. En cambio, las sillas

requieren 3 horas de carpintería y 1 de tapicería. Sabiendo que el beneficio que se obtiene de las sillas

es el doble de lo obtenido con las butacas, calcula la producción diaria de cada tipo para maximizar el

beneficio.

25.- Un productor tabaquero posee 85 hectáreas de terreno para plantar dos variedades de tabacos,

VIRGINIA y PROCESADO. La variedad VIRGINIA tiene un rendimiento de 9600 €/ha, pero necesita 3

horas/ha de uso de maquinaria y 80 horas/ha de mano de obra. Además, el Estado limita su explotación

a 30 ha por plantación.

La variedad PROCESADO produce un rendimiento de 7500 €/ha, y utiliza 2 horas/ha de uso de

maquinaria y 60 horas/ha de mano de obra.

La cooperativa local le ha asignado 190 horas de uso de maquinaria, pero sólo se dispone de 5420 horas

de mano de obra a 12 €/hora. ¿Cuántas hectáreas debe dedicar a cada variedad de tabaco?

26.- Don Elpidio decide emplear como máximo 30.000 € de su patrimonio en la adquisición de acciones

de dos sociedades de inversión: BLL e ISSA. El precio de cada acción es de 100 € en ambos casos.

BLL dedica el 35 % de su actividad al sector seguros, el 45 % al sector inmobiliario y el 20 % al

industrial.

ISSA dedica el 30 % de sus recursos al sector seguros, el 25 % al inmobiliario y el 45 % al industrial.

Don Elpidio no quiere invertir más del 40 % de su capital en el sector industrial ni más del 35 % en el

inmobiliario. ¿Cuántas acciones debe adquirir de cada sociedad si BLL prevé entregar un dividendo de

12 €/acción e ISSA de 10 €/acción?


27.- En unos grandes almacenes se ha iniciado una campaña de venta de lavadoras y de televisores. Se

ha calculado que un vendedor invierte 8 minutos en la venta de una lavadora y 10 en la venta de un

televisor, mientras que un instalador dedica 12 minutos a una lavadora y 5 minutos a un televisor.

Se dispone de 4 vendedores y 3 instaladores, cada uno de los cuáles dedica 5 horas diarias a la venta o

a la instalación de los electrodomésticos durante los 16 días que dura la campaña. Si se sabe que se

obtiene un beneficio de 450 € por televisor y de 500 € por lavadora vendidos, ¿cuántas lavadoras y

cuántos televisores conviene poner a la venta para obtener máximo beneficio?

28.- Las autoridades sanitarias de una determinada región planifican la puesta en marcha de centros de

asistencia médica primaria. En la región hay dos zonas claramente diferentes: El Valle y La Montaña,

que, debido a sus peculiaridades, necesitan una dotación específica distinta. Cada centro asistencial de

El Valle requiere 3 médicos, 3 asistentes técnicos sanitarios (ATS) y una inversión de 300000 euros. En

La Montaña, cada centro necesita 2 médicos y 4 ATS, más una inversión de 100000 euros. Para llevar a

cabo tal proyecto se cuenta con un total de 30 médicos, 48 ATS y 2400000 euros.

1) ¿Cuál es el número máximo de centros asistenciales que pueden ponerse en funcionamiento?

¿Cuántos en cada zona?

2) Ahora cambiamos los recursos: disponemos de 37 médicos, 58 ATS y 3000000 euros. Las

restricciones siguen siendo las mismas. ¿Cuál es la solución que maximiza el número de

centros?

3) ¿Cuál es la solución que maximiza el número de personas atendidas?

29.- Para dotar de mobiliario urbano a cierta zona de la ciudad, se quieren colocar al menos 20 piezas

entre farolas y jardineras. Hay 40 farolas y 12 jardineras disponibles. Se pretende que el número de

jardineras colocadas no sea superior a una tercera parte del de farolas colocadas, pero de forma que

por lo menos un 20 % de las piezas que se coloquen sean jardineras.

1) ¿Qué combinaciones de piezas de cada tipo se pueden colocar? Plantea el problema y

representa gráficamente el conjunto de soluciones.

2) ¿Qué combinación hace que la diferencia entre el número de farolas y de jardineras

colocadas sea mayor? ¿Es la combinación donde más piezas de mobiliario se colocan?

Comienza construyendo una tabla con los datos, para simplificar el problema.

Escribe la función objetivo y las restricciones.

Encuentra la región factible y halla la posición de los vértices.

Evalúa el valor de la función objetivo en los vértices.

Compara tus resultados siguiendo el protocolo de la construcción.

Utiliza el deslizador para valorar lo que sucede.


EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Una empresa se dedica a la fabricación de piensos para perros. Durante el año 2001 pretende

elaborar un pienso que contenga como mínimo: 2 gramos de proteínas de tipo A, 3 del tipo B, 30 del tipo

C y 2 del tipo D. Para conseguir este contenido en proteínas deciden mezclar dos preparados, P1 y P2,

cuyo precio por kg es de 30 euros en ambos casos.

El contenido en proteínas de estos dos preparados es el que refleja la siguiente tabla:

A B C D

P1 1 gr 1 gr 20 gr 2 gr

P2 1 gr 3 gr 7,5 gr 0 gr

A la vista de estos datos, indica la forma en que se debe mezclar ambos preparados para que el coste

del pienso resultante sea mínimo.

2.- Un fabricante de coches lanza una oferta especial de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un

precio de 15 miles de euros y el modelo B en 20 miles de euros. La oferta está limitada por las

existencias, que son 20 coches del modelo A y 10 del B, queriendo vender, al menos, tantas unidades del

modelo A como del modelo B. Por otra parte, para cubrir los gastos de esta compañía, los ingresos

obtenidos con ella deben ser, al menos, de 60.000 euros.

a) ¿Cuántas unidades de cada modelo puede vender? Plantea el problema y representa su

conjunto de soluciones.

b) ¿Cuántos coches deberá vender de cada modelo para maximizar sus ingresos? ¿Cuál es su

importe?

3.- En una región se dispone de un área máxima de 600 Ha para cultivo de trigo y algodón. Las

disponibilidades de agua en la zona son, sin embargo, limitadas, calculándose que el consumo global

dedicado a estos cultivos no puede exceder en el presente año los 3.000.000 de m3. Razones de

regulación de los precios obligan a una asignación mínima de 200 Ha de trigo y 100 de algodón y se

estima que cada Ha cultivada de trigo precisa de 6.000 m3 por año, siendo 4.000 m3 los precisados por

la de algodón. Las ganancias que se espera obtener por hectárea cultivada de trigo son de 25000 euros,

mientras que la de algodón producirá 20000 euros. ¿Cuántas hectáreas deberán dedicarse a cada

cultivo para obtener la máxima ganancia?

4.- La capacidad de producción de una factoría permite elaborar diariamente 120 artículos del tipo A y

360 del tipo B. Las reglamentaciones existentes obligan a que, al menos, el 80% de la producción total

se destine a exportación, pero la capacidad de inspección aduanera es de sólo 200 artículos diarios. El

precio de los artículos del tipo A es cuatro veces el de los de tipo B. Planifica la producción diaria para

maximizar los beneficios.


EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

1º.- Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 kg de chocolate, 100 kg de almendras y 85 kg de

frutas. Produce dos tipos de cajas: la de tipo A contiene 3 kg de chocolate, 1 kg de almendras y 1 kg de

frutas; la de tipo B contiene 2 kg de chocolate, 1,5 kg de almendras y 1 kg de frutas. Los precios de las

cajas de tipo A y B son 13 € y 13,50 €, respectivamente. ¿Cuántas cajas debe fabricar de cada tipo

para maximizar su venta?

2º.- Calcula la solución que hace mínima la función z=x+y, sujeta a las restricciones siguientes. ¿Cuántas

soluciones hay?

x 0 y 0 x + y 10 4x + 3y 60

3º.- Una empresa dedicada a la reparación de componentes eléctricos recibe el encargo de reparar

ordenadores y consolas de videojuegos. La empresa dispone de dos talleres de reparación. El primero

puede emplear 300 horas de trabajo, y necesita emplear 6 horas para cada ordenador y 5 para cada

consola. El segundo dispone de 200 horas y necesita 2 horas para reparar cada ordenador y 5 para cada

consola. Las ganancias netas que obtiene la empresa son de 100 € por ordenador y 100 € por consola. La

empresa desea una ganancia máxima. Responde a las cuestiones siguientes:

E. Formula algebraicamente el programa lineal correspondiente.

F. Encuentra, si existe, la región factible de soluciones.

G. Obtén, utilizando el método gráfico, las cantidades idóneas que deben repararse de cada artículo

para maximizar la ganancia de la empresa.

H. Responde a la cuestión anterior, utilizando el método analítico.

El problema de producción

Una fábrica se dedica a producir distintos objetos, para los que utiliza distintos productos que posee

en cuantía limitada. Deseamos averiguar, conociendo los precios de venta de cada uno de los objetos,

qué cantidad ha de producir de cada uno de ellos para maximizar los ingresos por ventas.

4º.- En una bollería deseamos fabricar para el día de la fiesta local dos tipos de bollos A y B. El bollo de

tipo A tiene 500 gramos de masa y 250 gramos de crema. El bollo de tipo B tiene 250 gramos de masa y

250 gramos de crema. Si disponemos de 20 kg de masa y 15 kg de crema y el precio de venta lo fijamos

en 2 € el bollo A y 1,50 € el bollo B, ¿cuántos bollos de cada tipo tenemos que fabricar para que el

beneficio sea máximo?

El problema de la dieta

Una granja se dedica a la cría de una determinada clase de animales que se alimentan de varias clases

de piensos que contienen distintas clases de nutrientes (vitaminas, grasas, proteínas, …). El problema

consiste en determinar la cantidad de cada uno de los alimentos que han de constituir la dieta diaria de

los animales, teniendo en cuenta que, en la misma, debe haber unas cantidades mínimas de los citados

nutrientes y de forma que el coste sea mínimo.


5º.- Un ganadero debe suministrar un mínimo de 30 mg de vitamina A y de 35 mg de tipo B por kg de

pienso a sus animales. Dispone de dos clases de pienso R y S cuyos contenidos en mg de las vitaminas A

y B por kg de pienso vienen dados en la siguiente tabla:

R S

A 6 6

B 5 10

El pienso R vale 40 €/kg y el S vale 60 €/kg. ¿Cuántos kg de cada clase debe mezclar para suministrar

el pienso de coste mínimo?

El problema del transporte

Una empresa posee fábricas en varias ciudades en las que produce un determinado producto. Este

producto lo comercializa en distintos puntos de venta. Cada fábrica posee una capacidad de producción

de un determinado número de unidades y cada uno de los puntos de venta ha de recibir un determinado

número de unidades. ¿Cuántas unidades de cada producto hay que producir en cada fábrica para que el

coste del transporte sea mínimo?

6º.- Dos fábricas de coches A y B producen 4000 y 5000 coches de un determinado modelo que se

distribuyen en tres ciudades R, S y T que admiten 2000, 3000 Y 4000 coches. El coste del transporte

en euros viene dado en la siguiente tabla:

R S T

A 10000 15000 20000

B 15000 12000 18000

¿Cómo deben distribuirse los coches para que el coste del transporte sea mínimo?


EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL.HOJA 2

1.- Para abonar una parcela de huerta se necesitan, por lo menos, 8 kg de nitrógeno y 12 kg de fósforo.

Se dispone de un producto M cuyo precio es de 30 céntimos de €/kg y que contiene un 10 % de

nitrógeno y un 30 % de fósforo. Existe en el mercado otro producto N que contiene un 20 % de

nitrógeno y un 20 % de fósforo, y cuyo precio es de 40 céntimos de €/kg. ¿Qué cantidades se deben

tomar de M y N para abonar la parcela con el menor gasto posible?

3.- Halla los valores de x e y que hacen máxima la función z = 8x +5y, sujeta a las siguientes

restricciones:

x e y deben ser números naturales

x + y 7

3x + y 12

x 3

4.- Con 80 kg de acero y 120 de aluminio se quieren fabricar bicicletas de paseo y de montaña que se

venderán a 200 y 150 € respectivamente. Para la de paseo son necesarios 1 kg de acero y 3 de aluminio

y para la de montaña 2 kg de cada uno de los metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y cuántas de

montaña se deben fabricar para obtener el beneficio máximo?

5.- Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: ligero y pesado. Cada barril de crudo

ligero cuesta 35 dólares y con él la refinería produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de

combustible de calefacción (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T). Cada barril de crudo

pesado cuesta 30 dólares y produce 0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T.

La refinería ha contratado el suministro de 900000 barriles de G, 800000 barriles de C y 500000 de

T. Halla las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades

con un coste mínimo.

6.- Un comerciante desea comprar dos tipos de frigoríficos, F1 y F2. Los de tipo F1 cuestan 300 € y los

de tipo F2, 500 €. Sólo dispone de sitio para 20 frigoríficos y de 7000 € para hacer las compras.

¿Cuántos frigoríficos debe comprar de cada tipo para obtener beneficios máximos con su venta

posterior, sabiendo que en cada frigorífico gana el 30 % del precio de compra?

7.- En una fábrica de piensos se utilizan tres ingredientes, A, B y C, para la elaboración de alimento

para el ganado. Se dispone de 90 toneladas de A, 90 de B y 70 de C, y se desea fabricar dos tipos de

pienso M1 y M2. Una tonelada de pienso M1 requiere 2 toneladas de A, 1 de B y 1 de C, y una tonelada de

M2 requiere 1 tonelada de A, 2 de B y 1 de C. Sabiendo que cada tonelada de M1 se vende a 120 € y cada

una de M2 a 100 €, ¿cuántas toneladas de cada pienso deben facturarse para obtener un beneficio

máximo?

8.- Una casa empacadora de alimentos recibe diariamente 700 kg de café de tipo C y 800 kg de café de

tipo K. Hace de ellos dos mezclas: la de tipo A, que consta de dos partes de café de tipo C y 1 de tipo K,

en la que gana 22 céntimos de €/kg, y la de tipo B, que consta de una parte de tipo C y dos del tipo K, en

la que gana 26 céntimos de €/kg. Halla la cantidad de mezcla que la casa debe preparar de cada clase

para que la ganancia sea máxima.

9.- Una ganadería desea proporcionar a su ganado una dieta que contenga un mínimo de 24 unidades del

pienso A y un mínimo de 25 unidades del pienso B. En el mercado se comercializan dos tipos de

compuestos, C1 y C2, elaborados con ambos piensos. El paquete de C1 contiene 1 unidad de A y 5 de B,

siendo su precio de 1 €, y el de C2 contiene 4 unidades de A y 1 de B, siendo su precio 3 €. ¿Qué

cantidades de C1 y C2 deberá emplear la ganadería para preparar su dieta con el mínimo coste?


10.- Se quiere elaborar una dieta diaria para ganado que satisfaga unas condiciones mínimas de

contenidos vitamínicos al día: 2 mg de vitamina A, 3 mg de vitamina B, 30 de la C y 2 de la D. Para ello

se van a mezclar piensos de dos tipos, P y Q, cuyo precio por kg es para ambos de 30 céntimos de €, y

cuyo contenido vitamínico por kg se recoge en la tabla adjunta. ¿Cómo deben mezclarse los piensos para

que el gasto sea mínimo? ¿Cuál es este gasto mínimo?

A B C D

P 1 mg 1 mg 20 mg 2 mg

Q 1 mg 3 mg 7,5 mg 0 mg

13.- Halla los vértices del recinto plano formado por las soluciones del sistema de inecuaciones:

x 0

y 0

x 4

x + 2y 2

2y x + 2

14.- Determina los valores máximo y mínimo de la función z = 2x – 8y sometida a las restricciones:

3x – 2y 12 x – 4y -20 3x + 2y 24

x + 2y 4 x 0 y 0

15.- Determina los valores máximo y mínimo de la función z = 5x – 3y sujeta a las restricciones:

x + y 3 2x + y 8 x 0 y 0

16.- Determina los valores máximo y mínimo de la función z = 2x + y sometida a las restricciones:

0 x 6 0 y 10 8 2x + y 16

17.- Una empresa construye en dos factorías (F1 y F2) tres tipos de barcos deportivos (A, B, C). La

factoría F1 construye en un mes: 1 barco de tipo A, 5 de tipo B y 1 de tipo C, siendo su coste de

mantenimiento mensual de 60.000 €, y F2 construye en un mes: 1 barco de tipo A, 1 de tipo B y 2 de tipo

C, siendo su coste mensual de 30.000 €. La empresa se ha comprometido a entregar anualmente, a

cierto club náutico, 3 barcos de tipo A, 15 de tipo B y 12 de tipo C. ¿Cuántos meses al año deberá

trabajar cada factoría con objeto de que la empresa cumpla su compromiso con el mínimo coste?

18.- En un almacén se guarda aceite de girasol y de oliva. Para atender a los clientes se ha de tener

almacenado un mínimo de 20 bidones de aceite de girasol y 40 de aceite de oliva y, además, el número

de bidones de aceite de oliva no debe ser inferior a la mitad del número de bidones de aceite de

girasol. La capacidad total del almacén es de 150 bidones. Sabiendo que el gasto de almacenaje de un

bidón de aceite de oliva es de 1 € y de uno de girasol de 0,50 €, ¿cuántos bidones de cada tipo habrá

que almacenar para que el gasto sea mínimo? ¿Y para que el gasto sea máximo?

19.- Una empresa elabora dos productos, cada uno de ellos en una cantidad que es múltiplo de 1000.

Conoce que la demanda, de ambos productos conjuntamente, es mayor que 3000 unidades y menor que

6000 unidades. Asimismo, sabe que la cantidad que se demanda de un producto es mayor que la mitad y

menor que el doble que la del otro. Si la empresa desea vender toda la producción:

a) ¿De cuántos modos puede organizar la producción?

b) Para obtener los máximos beneficios, ¿cuánto ha de ser la producción de cada uno de

ellos si uno se vende a un precio que es el triple que el del otro?


21.- Una conservera dispone diariamente de 350 kg de almejas que debe envasar en latas de dos

tamaños: normal y familiar. Las latas de tamaño normal llevan 140 gr de almejas y suponen un beneficio

de 30 céntimos de € por lata. Las latas de tamaño familiar llevan 440 gr de almejas y su beneficio es de

100 céntimos de € por lata. Por razones de producción, al menos el 70 % de las latas debe ser de

tamaño familiar. ¿Cuál debe ser la producción diaria para que el beneficio sea máximo?

22.- Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2 de

algodón y 3 m2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m2 de cada una de las telas. Calcula el número

de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un

vestido se venden por el mismo precio.

23.- Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 600.000 € y el coste de una

casa de tipo A es de 130.000 €, y 80.000 € el de una de tipo B. El número de casas de tipo A ha de ser

al menos el 40 % del total y el de B, el 20 %, por lo menos. Si cada casa del tipo A se vende en 160.000

€ y cada una del tipo B en 90.000 €, ¿cuántas casas de cada tipo ha de construir para obtener un

beneficio máximo?

24.- Una persona tiene 500.000 € para invertir en dos tipos de acciones, A y B. El tipo A tiene bastante

riesgo, con un interés anual del 10 %, y el tipo B es bastante seguro, con un interés anual del 7 %.

Decide invertir como máximo 300.000 € en A y, como mínimo, 100.000 € en B, e invertir en A por lo

menos tanto como en B. ¿Cómo deberá invertir sus 500.000 € para maximizar sus intereses anuales?

25.- Un taller artesano produce sillas y butacas. Para su construcción tiene que pasar por las secciones

de carpintería y tapicería, que funcionan durante un máximo de 9 y 8 horas diarias respectivamente.

Las butacas necesitan una hora de trabajo en carpintería y dos en tapicería. En cambio, las sillas

requieren 3 horas de carpintería y 1 de tapicería. Sabiendo que el beneficio que se obtiene de las sillas

es el doble de lo obtenido con las butacas, calcula la producción diaria de cada tipo para maximizar el

beneficio.

26.- Un productor tabaquero posee 85 hectáreas de terreno para plantar dos variedades de tabacos,

VIRGINIA y PROCESADO. La variedad VIRGINIA tiene un rendimiento de 9600 €/ha, pero necesita 3

horas/ha de uso de maquinaria y 80 horas/ha de mano de obra. Además, el Estado limita su explotación

a 30 ha por plantación.

La variedad PROCESADO produce un rendimiento de 7500 €/ha, y utiliza 2 horas/ha de uso de

maquinaria y 60 horas/ha de mano de obra.

La cooperativa local le ha asignado 190 horas de uso de maquinaria, pero sólo se dispone de 5420 horas

de mano de obra a 12 €/hora. ¿Cuántas hectáreas debe dedicar a cada variedad de tabaco?

27.- Don Elpidio decide emplear como máximo 30.000 € de su patrimonio en la adquisición de acciones

de dos sociedades de inversión: BLL e ISSA. El precio de cada acción es de 100 € en ambos casos.

BLL dedica el 35 % de su actividad al sector seguros, el 45 % al sector inmobiliario y el 20 % al

industrial.

ISSA dedica el 30 % de sus recursos al sector seguros, el 25 % al inmobiliario y el 45 % al industrial.

Don Elpidio no quiere invertir más del 40 % de su capital en el sector industrial ni más del 35 % en el

inmobiliario. ¿Cuántas acciones debe adquirir de cada sociedad si BLL prevé entregar un dividendo de

12 €/acción e ISSA de 10 €/acción?

28.- En unos grandes almacenes se ha iniciado una campaña de venta de lavadoras y de televisores. Se

ha calculado que un vendedor invierte 8 minutos en la venta de una lavadora y 10 en la venta de un

televisor, mientras que un instalador dedica 12 minutos a una lavadora y 5 minutos a un televisor.

Se dispone de 4 vendedores y 3 instaladores, cada uno de los cuáles dedica 5 horas diarias a la venta o

a la instalación de los electrodomésticos durante los 16 días que dura la campaña. Si se sabe que se

obtiene un beneficio de 450 € por televisor y de 500 € por lavadora vendidos, ¿cuántas lavadoras y

cuántos televisores conviene poner a la venta para obtener máximo beneficio?


EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Una empresa se dedica a la fabricación de piensos para perros. Durante el año 2001 pretende

elaborar un pienso que contenga como mínimo: 2 gramos de proteínas de tipo A, 3 del tipo B, 30 del tipo

C y 2 del tipo D. Para conseguir este contenido en proteínas deciden mezclar dos preparados, P1 y P2,

cuyo precio por kg es de 30 euros en ambos casos.

El contenido en proteínas de estos dos preparados es el que refleja la siguiente tabla:

A B C D

P1 1 gr 1 gr 20 gr 2 gr

P2 1 gr 3 gr 7,5 gr 0 gr

A la vista de estos datos, indica la forma en que se debe mezclar ambos preparados para que el coste

del pienso resultante sea mínimo.

2.- Un fabricante de coches lanza una oferta especial de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un

precio de 15 miles de euros y el modelo B en 20 miles de euros. La oferta está limitada por las

existencias, que son 20 coches del modelo A y 10 del B, queriendo vender, al menos, tantas unidades del

modelo A como del modelo B. Por otra parte, para cubrir los gastos de esta compañía, los ingresos

obtenidos con ella deben ser, al menos, de 60.000 euros.

c) ¿Cuántas unidades de cada modelo puede vender? Plantea el problema y representa su

conjunto de soluciones.

b) ¿Cuántos coches deberá vender de cada modelo para maximizar sus ingresos? ¿Cuál es su

importe?

3.- En una región se dispone de un área máxima de 600 Ha para cultivo de trigo y algodón. Las

disponibilidades de agua en la zona son, sin embargo, limitadas, calculándose que el consumo global

dedicado a estos cultivos no puede exceder en el presente año los 3.000.000 de m3. Razones de

regulación de los precios obligan a una asignación mínima de 200 Ha de trigo y 100 de algodón y se

estima que cada Ha cultivada de trigo precisa de 6.000 m3 por año, siendo 4.000 m3 los precisados por

la de algodón. Las ganancias que se espera obtener por hectárea cultivada de trigo son de 25000 euros,

mientras que la de algodón producirá 20000 euros. ¿Cuántas hectáreas deberán dedicarse a cada

cultivo para obtener la máxima ganancia?

4.- La capacidad de producción de una factoría permite elaborar diariamente 120 artículos del tipo A y

360 del tipo B. Las reglamentaciones existentes obligan a que, al menos, el 80% de la producción total

se destine a exportación, pero la capacidad de inspección aduanera es de sólo 200 artículos diarios. El

precio de los artículos del tipo A es cuatro veces el de los de tipo B. Planifica la producción diaria para

maximizar los beneficios.

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