EXAMEN FINAL DE GRADO

ESPECIALIDAD: TUTOR: ESTUDIANTE:

MATEMTICA PROFE. FTIMA TORREJN ROLANDO SUREZ MORN

Canasmoro Tarija Bolivia

Introduccin Las inecuaciones son expresiones donde dos trminos se comparan por medio de smbolos particulares, por esto tambin desigualdades. Para este tema, se va a estudiar inicialmente los intervalos; ya que la solucin de una desigualdad se da por un intervalo. Tambin analizaremos las propiedades que gobiernan las desigualdades, demostrando algunas de ellas. Al igual que se hizo en las ecuaciones, vamos a estudiar las clases de inecuaciones tales como: lineales con una y dos variables, cuadrticas con una variable y mixta; que pueden ser lineal y cuadrtica con una incgnita. Las desigualdades son la base para abordar temticas ms avanzadas como la programacin lineal y la investigacin de operaciones en general, rea de las matemticas muy importante para la optimizacin en problemas de ingeniera, administracin, economa y otras. Para desarrollar la temtica de inecuaciones, es importante tener en cuenta el concepto de comparacin entre dos expresiones algebraicas. o igual respectivamente. estrictas. Un trabajo juicioso y sistemtico para el desarrollo de desigualdades permitir adquirir conocimientos slidos que conllevan a resolver problemas del mundo real en donde se necesitan las desigualdades. Dichos signos son , , , . Que indica mayor, menor, mayor o igual y menor A las dos primeras se les llama desigualdades las inecuaciones se le llama

Antecedentes La primera fase, que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracteriz por la invencin gradual de smbolos y la resolucin de ecuaciones. Dentro de esta fase encontramos un lgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada lgebra geomtrica, rica en mtodos geomtricos para resolver ecuaciones algebraicas. La introduccin de la notacin simblica asociada a Vite (1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notacin. En este momento, el lgebra se convierte en la ciencia de los clculos simblicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teora de los "clculos con cantidades de distintas clases" (clculos con nmeros racionales enteros, fracciones ordinarias, races cuadradas y cbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones). Para llegar al actual proceso de resolucin de la ecuacin ms de 3.000 aos. Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. de C- y el de Mosc -1.850 a, de C.-) multitud de problemas matemticos resueltos. La mayora de ellos son de tipo aritmtico y respondan a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningn objeto concreto. En stos, de una forma retrica, obtenan una solucin realizando operaciones con los datos de forma anloga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones. Las ecuaciones ms utilizadas por los egipcios eran de la forma:

ax + b = c han pasado

x + ax = b x + ax + bx = 0Generalmente, el clculo de la solucin correcta no era tan fcil como en este caso e implicaba numerosas operaciones con fracciones unitarias (fracciones con numerador la unidad), cuyo uso dominaban los egipcios. En cuanto el simbolismo, solamente en algunas ocasiones utilizaban el dibujo de un par de piernas andando

en direccin de la escritura o invertidas, para representar la suma y resta, respectivamente. Los babilonios (el mayor nmero de documentos corresponde al periodo 600 a. de C. a 300 d. de C.) casi no le prestaron atencin a las ecuaciones lineales, quizs por considerarlas demasiado elementales, y trabajaron ms los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundo grado. Entre las pocas que aparecen, tenemos la ecuacin 5x = 8. En las tablas en base sexagesimal hallaban el recproco de cinco que era 12/60 y en la tabla de multiplicar por 8, encontramos 8 12/60 = 1 36/60. El problema de la resolucin de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Joseph Fourier, despus de quien nace el mtodo de eliminacin de Fourier-Motzkin. La programacin lineal se plantea como un modelo matemtico desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejrcito y aumentar las prdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificacin diaria. Los fundadores de la tcnica son George Dantzig, quien public el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarroll la teora de la dualidad en el mismo ao, y Leonid Kantorvich, un matemtico ruso, que utiliza tcnicas similares en la economa antes de Dantzig y gan el premio Nobel en economa en 1975. En 1979, otro matemtico ruso, Leonid Khachiyan, dise el llamado Algoritmo del elipsoide, a travs del cual demostr que el problema de la programacin lineal es resoluble de manera eficiente, es decir, en tiempo polinomial.2 Ms tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo mtodo del punto interior para resolver problemas de programacin lineal, lo que constituira un enorme avance en los principios tericos y prcticos en el rea. El ejemplo original de Dantzig de la bsqueda de la mejor asignacin de 70 personas a 70 puestos de trabajo es un ejemplo de la utilidad de la programacin lineal. La potencia de computacin necesaria para examinar todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor asignacin es inmensa (factorial de 70, 70!) ; el nmero de posibles configuraciones excede al nmero de partculas en

el universo. Sin embargo, toma slo un momento encontrar la solucin ptima mediante el planteamiento del problema como una programacin lineal y la aplicacin del algoritmo simplex. La teora de la programacin lineal reduce drsticamente el nmero de posibles soluciones ptimas que deben ser revisadas. Desigualdad En matemticas una desigualdad es una relacin de falta de igualdad entre dos cantidades o expresiones. En la desigualdad, los trminos estn relacionados por un smbolo de "mayor que" (>) o "menor que" ( b quiere decir que a es mayor que b. Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a b (a es menor o igual a b y a b (a es mayor o igual que b). Si el signo comparativo de la inecuacin es el mismo para cualquier valor que tomen las variables por las que est definida, entonces se hablar de una inecuacin "absoluta" o "incondicional". Si por el contrario, es el mismo slo para ciertos valores de las variables, pero se invierte o destruye en caso de que stos se cambien, ser una inecuacin "condicional". El signo comparativo de una inecuacin no se cambia si a ambos miembros se les suma o resta el mismo nmero, o si se les multiplica o divide por un nmero positivo; en cambio, se invierte si ambos miembros se multiplican o dividen por un nmero negativo.

La notacin a >> b quiere decir que a "es mucho mayor que" b. El significado de esto puede variar, refirindose a una diferencia entre ambos indefinida. Se usa en ecuaciones en las cuales un valor mucho mayor causar que la resolucin de la ecuacin arroje a luz un cierto resultado. Los matemticos suelen usar inecuaciones para aproximarse a cantidades cuyas frmulas exactas no pueden ser fcilmente computadas.

Jean-Baptiste Joseph Fourier

Jean-Baptiste-Joseph Fourier (21 de marzo de 1768 en Auxerre - 16 de mayo de 1830 en Pars), matemtico y fsico francs conocido por sus trabajos sobre la descomposicin de funciones peridicas en series trigonomtricas convergentes llamadas Series de Fourier, mtodo con el cual consigui resolver la ecuacin del calor. La transformada de Fourier recibe su nombre en su honor. Fue el primero en dar una explicacin cientfica al efecto invernadero en un tratado. Se le dedic un asteroide que lleva su nombre y que fue descubierto en 1992. Vida Estudi con los benedictinos en la Escuela Superior de Auxerre, pero abandon su destino monstico para dedicarse al estudio de las ciencias. Particip en la revolucin francesa y, gracias a la cada del poder de Robespierre, se salv de ser guillotinado. Se incorpor a la Escuela Normal Superior de Pars en donde tuvo entre sus profesores a Joseph-Louis Lagrange y Pierre Simon Laplace. Posteriormente, ocup una ctedra en la Escuela Politcnica. Fourier particip en la expedicin de Napolen a Egipto en 1798. Nombrado secretario perpetuo del instituto de Egipto el 22 de agosto de 1798, presenta numerosas memorias y dirige una de las comisiones de exploracin del Alto Egipto. Entre las distintas funciones polticas o administrativas que llev a cabo, destaca la de comisario francs en el Divan. A la muerte del General en Jefe del Ejrcito de Oriente Jean Baptiste Klber a manos de un fantico sirio en su residencia en

El Cairo, Jean-Baptiste Joseph Fourier, amigo y colaborador del General Klber, es quien pronuncia el elogio fnebre, el 17 de junio delante del Instituto de Egipto. A su regreso a Francia en 1801, Napolen lo nombra prefecto de Isre entre 1802 y 1815, Fourier presenta a Jean-Franois Champollion a los veteranos de la expedicin de Egipto. Entr a la Academia de Ciencias Francesa en 1817 y al cabo de cinco aos se convirti en el secretario perpetuo de las secciones de matemticas y fsica. Muere en Pars el 16 de mayo de 1830. Trabajos Fue en Grenoble donde condujo sus experimentos sobre la propagacin del calor que le permiten modelar la evolucin de la temperatura a travs de series trigonomtricas. Estos trabajos mejoraron el modelado matemtico de fenmenos fsicos y contribuyeron a los fundamentos de la termodinmica. Sin embargo, la simplificacin excesiva que proponen estas herramientas fue muy debatida, principalmente por Pierre-Simon Laplace y Joseph-Louis Lagrange. Redacta el prefacio histrico de la obra Description de l'Egypte y publica en 1822 su clebre Thorie Analytique de la Chaleur (Teora Analtica del Calor). Seguidor de la teora matemtica de la conduccin del calor. Estableci la ecuacin diferencial parcial que gobierna la difusin del calor solucionndolo por el uso de series infinitas de funciones trigonomtricas. En esto introduce la representacin de una funcin como una serie de senos y cosenos, ahora conocidas como las series de Fourier. El trabajo de Fourier provee el mpetu para ms tarde trabajar en series trigonomtricas y la teora de las funciones de variables reales. En la obra Thorie analytique de la chaleur (Teora Analtica del calor) (1822) de Fourier, los dos primeros captulos tratan problemas sobre difusin de calor entre cuerpos disjuntos en cantidad finita, es decir el problema discreto. Aqu se deduce adems la ecuacin en derivadas parciales que rige el fenmeno: Donde: V=V(x, y, z, t) designa la temperatura del cuerpo en el punto (x, y, z) en el

momento t; k el coeficiente de difusin del calor, C la constante de capacidad calrica del cuerpo y D la densidad. En el captulo III Difusin del calor en un cuerpo rectangular infinito es donde Fourier introduce su mtodo original de trabajo con series trigonomtricas. Otro trabajo importante de J. Baptiste J. Fourier fue en el mtodo de eliminacin para la solucin de un sistema de desigualdades, teora muy usada actualmente para programacin lineal.

ECUACIONES E INECUACIONES Qu son? Las ecuaciones y las inecuaciones son expresiones matemticas que representan problemas reales, por ejemplo:

Que carero es el to del quiosco!, he salido de casa con 300 pelas , me he comprado dos paquetes de chicles y ya slo me quedan diez duros No os costara mucho saber cunto dinero le queda. (dos horas despus) Efectivamenter cada paquete le cost 125Ptas. Habis resuelto una ecuacin de primer grado.

La ecuacin que representa matemticamente el problema anterior es: 300502=+xPara resolverla de forma matemtica hay que seguir una serie de pasos (que son seguramente los mismos que habis seguido para resolverla mentalmente) .Vamos a recordar dichos pasos un poco ms adelante.

Al valor obtenido (125) se le llama solucin de la ecuacin y es el nico valor posible que concuerda con la ecuacin de primer grado propuesta.

Si la ecuacin fuese de segundo grado la cosa cambia un poco pues hay una frmula que nos da las soluciones, que en el caso de ecuaciones de 2 grado son dos. Es decir, en una ecuacin de 2 grado los valores que concuerdan con lo que dice la ecuacin son dos y slo dos. En una ecuacin de tercer grado hay tres soluciones, en una de cuarto grado hay cuatro soluciones, etc El nmero de soluciones de una ecuacin coincide con el grado de dicha ecuacin Pero, y las inecuaciones? . La diferencia ms clara es que en inecuaciones se usan smbolos del tipo >, 3 , o en forma de intervalo ( 3, +). Segn esto la expresin (x3) es positiva para todos los valores que estn dentro del intervalo (3, +). Vemos que resolver la inecuacin (x3)>0 nos ha dado la informacin que buscbamos, pero no slo eso pues nos ha informado tambin de cundo ( x3) es negativo. Es lgico que ser negativo cuando no sea positivo luego, como x>3 son los valores que hacen positivo (x3), entonces para los x Para resolverlas hay que factorizar el polinomio de segundo grado, es decir, encontrar los valores que permiten escribir el polinomio como producto de factores del tipo (xa). Factorizar un polinomio de 2 grado es muy fcil, basta con saber que los nmeros buscados son las soluciones del polinomio. Por ejemplo, si el polinomio es x26x+8, entonces aplicando

obtenemos que sus soluciones son :x = 2 y x = 4 . Esto quiere decir que: x26x+8 = ( x2 )( x4 ) Supongamos que queremos resolver la inecuacin de 2grado: El problema se puede afrontar desde el siguiente punto de vista qu valores de x hacen que x26x+8 tome un valor negativo o cero( 0 ). Vemos que el problema se puede plantear desde el punto de vista de un estudio de signos .Pero la expresin x26x+8 ,tal cual , no nos permite hacer nada ; por eso la factorizamos, la escribimos de forma ms conveniente para estudiar los signos.

Al factorizarla tenemos que la inecuacin se puede escribir ahora (x - 2) (x - 4)0 Que se puede traducir diciendo el producto de (x2) por (x4) debe ser un nmero negativo o cero. Teniendo en cuenta las reglas de los signos en la multiplicacin sabemos que para que un producto de dos cosas sea negativo estas dos deben tener signos distintos Bien, pues eso es lo que tenemos que hacer para resolver la inecuacin de 2 grado. Estudiamos los signos de los factores por separado (como se explic en la pgina anterior) y luego los comparamos y buscamos aquellas zonas donde los signos de los factores son distintos

Buscamos los valores que hacen (x - 2) (x - 4)0 que son los del intervalo[2 ,4]. Es fcil ver la certeza de este resultado, por ejemplo si tomamos el valor x= 3 que est dentro de [2, 4] . Para este valor es x2>0 ( pues 32 = 1) y ( x4)