identificacion y control del sistema tras

DEPARTAMENTO DE ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

INGENIERÍA ELECTRÓNICA, AUTOMATIZACIÓN Y CONTROL

IDENTIFICACIÓN Y CONTROL ADAPTATIVO

IDENTIFICACIÓN Y CONTROL DEL SISTEMA TRAS

INTEGRANTES:

MARCELO ÁLVAREZ

DIEGO RODRIGUEZ

FECHA:

15 DE MARZO DEL 2015

SISTEMA TRAS

ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 2

INDICE:

1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................... 4

SISTEMA TRAS ................................................................................................................. 4

MODELO Y PARÁMETROS ............................................................................................. 4

2. IDENTIFICACIÓN DEL SISTEMA TRAS ............................................................. 5

2.1. AZIMUTH ................................................................................................................ 5

2.1.1. SEÑAL PSEUDOALEATORIA ......................................................................................... 5

2.1.2. MMC ARX NO RECURSIVO .............................................................................................. 7

2.1.3. DESCOMPOSICIÓN QR ................................................................................................... 10

2.2. PITCH .................................................................................................................... 14

2.2.1. SEÑAL PSEUDOALEATORIA ....................................................................................... 14

2.2.2. MMC ARX NO RECURSIVO ............................................................................................ 15

2.2.3. DESCOMPOSICIÓN QR ................................................................................................... 18

2.3. DISEÑO DE CONTROLADORES ......................................................................... 20

2.3.1. CONTROLADOR POR ASIGNACIÓN DE POLOS PARA EL AZIMUTH ................ 20

2.3.2. CONTROLADOR POR ASIGNACIÓN DE POLOS PARA EL PITCH ...................... 24

2.3.3. CONTROLADOR DE MÍNIMA VARIANZA DE AZIMUTH ...................................... 26

2.3.4. CONTROLADOR DE MÍNIMA VARIANZA DE PITCH............................................. 31

2.3.5. MODELO DE REFERENCIAS PITCH .......................................................................... 35

3. CONCLUSIONES: ................................................................................................ 39

4. BIBLIOGRAFIA: .................................................................................................. 39

SISTEMA TRAS


ILUSTRACIONES:

Ilustración 1 Conexión del Sistema TRAS .........................................................................................4

Ilustración 2 Partes del sistema TRAS ...............................................................................................5

Ilustración 3 Obtencion de datos TRAS .............................................................................................5

Ilustración 4 Señal Pseudoaleatoria ....................................................................................................7

Ilustración 5 Identificación del sistema TRAS .................................................................................14

Ilustración 6 Respuesta del controlador ante una entrada escalón ....................................................23

Ilustración 7 Controlador por ubicación de polos .............................................................................23

Ilustración 8 Respuesta controlador por ubicacion de polos Simulink .............................................24

Ilustración 9 Respuesta de Pitch .......................................................................................................26

Ilustración 10 Controlador de Mínima Varianza Azimuth................................................................28

Ilustración 11 Controlador de Mínima Varianza por seguimiento de Referencias Azimuth .............29

Ilustración 12 Respuesta al escalón del controlador de Mínima varianza Azimuth ..........................30

Ilustración 13 Respuesta al escalón del controlador de Mínima varianza por Referencias Azimuth 30

Ilustración 14 Controlador de Mínima Varianza Pitch .....................................................................33

Ilustración 15 Controlador de Mínima Varianza por seguimiento de Referencias de Pitch ..............34

Ilustración 16 Respuesta al escalón del controlador de Mínima varianza en Pitch ...........................34

Ilustración 17 Respuesta al escalón del controlador de Mínima varianza por Referencias en Pitch .35

Ilustración 18 Configuración por controlador por modelo de Referencia .........................................38

Ilustración 19 Gráfica de control de referencia.................................................................................38

Ilustración 20 Control de Referencias con la Tarjeta STM32 ...........................................................39

SISTEMA TRAS


1. INTRODUCCIÓN

SISTEMA TRAS

El sistema aerodinámico de dos rotores TRAS es un laboratorio de experimentos de control.

En ciertos aspectos este comportamiento se asemeja a un helicóptero. Desde el punto de

vista de control, es un sistema MIMO no lineal de grado superior.

En la figura a continuación se presenta un diagrama esquemático de la configuración del

laboratorio, donde se puede apreciar que el sistema cuenta con una viga articulada en la

base de tal manera que puede girar libremente al mismo tiempo en el plano vertical y

horizontal. En ambos extremos de la viga hay dos rotores, el principal y el de la cola, estos

son impulsados por motores de corriente continua.

Consta además con un brazo de contrapeso, con un peso en su extremo, fijo a la viga en el

punto de pivote.

El estado de la viga es descrito por cuatro variables de proceso: ángulos horizontales y

verticales medidos por sensores instalados en la posición de pivote y dos correspondientes a

las velocidades angulares. Las dos últimas variables de estado son las velocidades

angulares de los rotores, medidos por taco generadores acoplados a los motores.

Ilustración 1 Conexión del Sistema TRAS

MODELO Y PARÁMETROS

En ambos extremos de la viga hay dos hélices impulsadas por motores de corriente

continua, unida en su base a una articulación. Esta articulación permite girar de

forma tal que sus extremos se mueven sobre la superficie esférica. Hay un contrapeso fijo

en medio de la viga que determina una posición de equilibrio estable. El sistema es

equilibrado de tal manera que, cuando los motores se apagan, el rotor principal de la viga

se cae. El control del sistema es la tensión de suministro del motor. Las señales medidas

SISTEMA TRAS


son: la posición de la viga en el espacio, que es un ángulo de posición y la

velocidad angular del rotor principal.

Ilustración 2 Partes del sistema TRAS

2. IDENTIFICACIÓN DEL SISTEMA TRAS

Para la identificación del sistema TRAS se utilizó el método ARX no recursivo por

descomposición QR.

Para la obtención de datos para la identificación del sistema se utilizó el siguiente esquema:

Ilustración 3 Obtencion de datos TRAS

2.1. AZIMUTH

2.1.1. SEÑAL PSEUDOALEATORIA

Se empieza generando una señal pseudoaleatorio con m=7 con la cual identificaremos el

sistema.

SISTEMA TRAS


Para la señal pseudoaleatoria se tiene que m=7 y una amplitud de -0.4 < a < -0.425

Para la obtención de estas muestras se realizará la operación XOR entre el bit 5 y 7 con un

desplazamiento hacia la derecha por cada operación realizada.

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7

1 1 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1

0 0 0 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1

1 0 0 0 0 1 1

1 1 0 0 0 0 1

1 1 1 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0

1 0 0 1 1 0 0

1 1 0 0 1 1 0

0 1 1 0 0 1 1

1 0 1 1 0 0 1

0 1 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 1 0

0 1 0 1 0 1 1

0 0 1 0 1 0 1

1 0 0 1 0 1 0

1 1 0 0 1 0 1

1 1 1 0 0 1 0

Nuestra matriz de entradas tiene la siguiente forma:

-0,425000000000000

-0,425000000000000

-0,425000000000000

-0,425000000000000

-0,425000000000000

-0,425000000000000

-0,425000000000000

-0,425000000000000

-0,425000000000000

-0,425000000000000

-0,425000000000000

-0,400000000000000

-0,400000000000000

-0,400000000000000

-0,400000000000000

SISTEMA TRAS


-0,400000000000000

-0,400000000000000

-0,400000000000000

-0,400000000000000

-0,400000000000000

-0,425000000000000

-0,425000000000000

-0,400000000000000

-0,400000000000000

-0,400000000000000

-0,400000000000000

….

Ilustración 4 Señal Pseudoaleatoria

2.1.2. MMC ARX NO RECURSIVO

En esta sección se determina el desarrollo de las matrices de mediciones, parámetros.

𝑌𝑇(𝑘) = [𝑦(𝑛) , 𝑦(𝑛 + 1),… , 𝑦(𝑁)]

SISTEMA TRAS


𝑍𝑇(𝑘)

= [

−𝑦(𝑘 − 1) −𝑦(𝑘 − 2)… −𝑦(𝑘 − 𝑛) 𝑢(𝑘 − 1) 𝑢(𝑘 − 2) … 𝑢(𝑘 − 𝑛)

−𝑦(𝑘 − 1) −𝑦(𝑘 − 2)… −𝑦(𝑘 − 𝑛) 𝑢(𝑘 − 1) 𝑢(𝑘 − 2)… 𝑢(𝑘 − 𝑛)

−𝑦(𝑘 − 1) −𝑦(𝑘 − 2)… −𝑦(𝑘 − 𝑛) 𝑢(𝑘 − 1) 𝑢(𝑘 − 2)… 𝑢(𝑘 − 𝑛)]

Los valores de u(n) son los valores de la pseudoaleatoria y los valores de y(n) son los

valores de respuesta de la planta ante la entrada u(n), es decir, ante una entrada

pseudoaleatoria.

-0,425000000000000 2,31170904734366

-0,425000000000000 2,31170904734366

-0,425000000000000 2,31170904734366

-0,425000000000000 2,31170904734366

-0,425000000000000 2,31170904734366

-0,425000000000000 2,31170904734366

-0,425000000000000 2,31170904734366

-0,425000000000000 2,31170904734366

-0,425000000000000 2,31170904734366

-0,425000000000000 2,31170904734366

-0,425000000000000 2,31170904734366

-0,400000000000000 2,31170904734366

-0,400000000000000 2,31170904734366

-0,400000000000000 2,31170904734366

-0,400000000000000 2,31017506655578

-0,400000000000000 2,31017506655578

-0,400000000000000 2,31017506655578

-0,400000000000000 2,31017506655578

-0,400000000000000 2,31017506655578

-0,400000000000000 2,31017506655578

-0,425000000000000 2,31017506655578

… …

Dimensiones:

N= 380;

n=2;

Y=(N-n+1)x1

Y=1998x1

Z= (N-n+1)x2n

Z=1998x4

Calculamos la matriz Z^T (k), tenemos las respectivas dimensiones de las matrices

MATRIZ Z

-2,31170904734366 -2,31170904734366 -

0,425000000000000

-

0,425000000000000

-2,31170904734366 -2,31170904734366 -

0,425000000000000

-

0,425000000000000

-2,31170904734366 -2,31170904734366 -

0,425000000000000

-

0,425000000000000

-2,31170904734366 -2,31170904734366 -

0,425000000000000

-

0,425000000000000

-2,31170904734366 -2,31170904734366 -

0,425000000000000

-

0,425000000000000

-2,31170904734366 -2,31170904734366 -

0,425000000000000

-

0,425000000000000

-2,31170904734366 -2,31170904734366 -

0,425000000000000

-

0,425000000000000

-2,31170904734366 -2,31170904734366 -

0,425000000000000

-

0,425000000000000

-2,31170904734366 -2,31170904734366 -

0,425000000000000

-

0,425000000000000

-2,31170904734366 -2,31170904734366 -

0,425000000000000

-

0,425000000000000

-2,31170904734366 -2,31170904734366 -

0,400000000000000

-

0,425000000000000

-2,31170904734366 -2,31170904734366 -

0,400000000000000

-

0,400000000000000

-2,31170904734366 -2,31170904734366 -

0,400000000000000

-

0,400000000000000

-2,31017506655578 -2,31170904734366 -

0,400000000000000

-

0,400000000000000

-2,31017506655578 -2,31017506655578 -

0,400000000000000

-

0,400000000000000

… … …. ….

MATRIZ Y

2.31170904734366

2.31170904734366

2.31170904734366

2.31170904734366

SISTEMA TRAS


2.1.3. DESCOMPOSICIÓN QR

A partir de nuestra matriz Z se obiene la descomposición QR

1. Encontramos el vector X

𝑖 = 2 𝑦 𝑗 = 1

𝑋 = (𝑅𝑗𝑗

𝑅𝑖𝑗) = (

𝑅11

𝑅21) = (

−0.0018−0.0056

)

2. Para obtener el número 0 en el vector X se debe multiplicar por los coeficientes s y

c. Entonces:

(𝑐 𝑠

−𝑠 𝑐) ∗ (

𝑥1

𝑥2) = (

∗0)

(𝑐𝑥1 + 𝑠𝑥2

−𝑠𝑥1 + 𝑐𝑥2) = (

∗0)

𝑡 =𝑥1

𝑥2=

−0.0073

−0.0026= 0.42414

2.31170904734366

2.31170904734366

2.31170904734366

2.31170904734366

2.31170904734366

2.31170904734366

2.31170904734366

2.31017506655578

2.31017506655578

2.31017506655578

2.31017506655578

SISTEMA TRAS


𝑠 =1

√1 + 𝑡2=

1

√1 + (0.4114)2= 0.8720

𝑐 = 𝑠𝑡 = (0.8720)(0.4114) = 0.3245

3. Obtenidos los valores de s y c se obtiene los valores de R por filas:

𝑅𝑗: = 𝑅1: = 𝑐𝑅𝑗: + 𝑠𝑅𝑖: = 𝑐𝑅1: + 𝑠𝑅2:

𝑅𝑖: = 𝑅2: = −𝑠𝑅𝑗: + 𝑐𝑅𝑖: = −𝑠𝑅1: + 𝑐𝑅2:

Por lo tanto se obtiene:

47.4239209312922 47.4732443571654 -5.81911345257576 -5.81832744137268

0 -

0.140374986297458

-11.2053774465169 -11.2067404269019

0 0 13.4500208143758 13.4261306044101

0 0 0 0.787830427400875

0 0 0 0

0 0 0 0

𝑅 =

(

47.423 47.423 −5.819 −5.8190 −0.1403 −11.20 −11.200 0 13.450 13.4500 0 0 0.7870 0 0 0… … … … )

4. Para los valores de Q se obtendrá los valores por columnas:

𝑄:𝑗 = 𝑄:1 = 𝑐𝑄:𝑗 + 𝑠𝑄:𝑖 = 𝑐𝑄:1 + 𝑠𝑄:2

𝑄:𝑖 = 𝑄:2 = −𝑠𝑄:𝑗 + 𝑐𝑄:𝑖 = −𝑠𝑄:1 + 𝑐𝑄:2

SISTEMA TRAS


Aquí se utilizan las columnas 𝑄:1 y 𝑄:2 para realizar las operaciones:

𝑄:1 = (−0.017)

(

1000…)

+ (−0.017)

(

0100…)

𝑄:1 =

(

−0.017000… )

+

(

0−0.017

00… )

𝑄:1 =

(

−0.017−0.017

00… )

𝑄:2 = (−0.048)

(

1000…)

+ (0.048)

(

0100…)

𝑄:2 =

(

−0.048000… )

+

(

00.048

00… )

𝑄:2 =

(

−0.0480.048

00… )

SISTEMA TRAS


Por lo tanto Q será:

-

0.0487456330465139

-

0.0171277068804324

-

0.0669574271915856

…

-

0.0487456330465139

-

0.0171277068774743

-

0.0669574271891130

…

-

0.0487456330465139

-

0.0171277068774743

-

0.0669574271891183

…

-

0.0487456330465139

-

0.0171277068774743

-

0.0669574271891184

…

… … … …

𝑄 = (

−0.048 −0.017 −0.0669 …−0.048 −0.017 −0.0669 …−0.048

…−0.017

…−0.0669

…

……

)

La ecuación de Parámetros por descomposición QR está dado por:

𝑃 = 𝑅−1𝑄𝑇𝑌

Realizando la operación se obtiene que:

P=

-1.9240 »» a1

0.0.9242 »»a2

0.0008 »»b1

-0.0004 »»b2

Donde Gp(𝑧−1) está dado por:

𝐺𝑝(𝑧−1) =𝑏1𝑧−1 + 𝑏2𝑧−2

1 + 𝑎1𝑧−1 + 𝑎2𝑧−2


SISTEMA TRAS


𝑮𝒑(𝒛−𝟏) =𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟕𝟗𝟔𝟕 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟗𝟖𝟐𝒛−𝟐

𝟏 − 𝟏. 𝟗𝟐𝟒𝒛−𝟏 + 𝟎. 𝟗𝟐𝟒𝟐𝒛−𝟐

𝐺𝑝(𝑧) =0.0007967𝑧 + 0.0003982

𝑧2 − 1.924𝑧 + 0.9242

Ilustración 5 Identificación del sistema TRAS

2.2.PITCH

2.2.1. SEÑAL PSEUDOALEATORIA

Se empieza generando una señal pseudoaleatorio con m=7 con la cual identificaremos el

sistema.

Para la señal pseudoaleatoria se tiene que m=7 y una amplitud de -0.4 < a < -0.425

Para la obtención de estas muestras se realizará la operación XOR entre el bit 5 y 7 con un

desplazamiento hacia la derecha por cada operación realizada.

SISTEMA TRAS


a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7

1 1 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1

0 0 0 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1

1 0 0 0 0 1 1

1 1 0 0 0 0 1

1 1 1 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0

1 0 0 1 1 0 0

1 1 0 0 1 1 0

0 1 1 0 0 1 1

1 0 1 1 0 0 1

0 1 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 1 0

0 1 0 1 0 1 1

0 0 1 0 1 0 1

1 0 0 1 0 1 0

1 1 0 0 1 0 1

1 1 1 0 0 1 0

2.2.2. MMC ARX NO RECURSIVO

En esta sección se determina el desarrollo de las matrices de mediciones, parámetros.

𝑌𝑇(𝑘) = [𝑦(𝑛) , 𝑦(𝑛 + 1),… , 𝑦(𝑁)]

𝑍𝑇(𝑘)

= [

−𝑦(𝑘 − 1) −𝑦(𝑘 − 2)… −𝑦(𝑘 − 𝑛) 𝑢(𝑘 − 1) 𝑢(𝑘 − 2) … 𝑢(𝑘 − 𝑛)

−𝑦(𝑘 − 1) −𝑦(𝑘 − 2)… −𝑦(𝑘 − 𝑛) 𝑢(𝑘 − 1) 𝑢(𝑘 − 2)… 𝑢(𝑘 − 𝑛)

−𝑦(𝑘 − 1) −𝑦(𝑘 − 2)… −𝑦(𝑘 − 𝑛) 𝑢(𝑘 − 1) 𝑢(𝑘 − 2)… 𝑢(𝑘 − 𝑛)]

Los valores de u(n) son los valores de la pseudoaleatoria y los valores de y(n) son los

valores de respuesta de la planta ante la entrada u(n), es decir, ante una entrada

pseudoaleatoria.

-0,425000000000000 2,31170904734366

SISTEMA TRAS


-0,425000000000000 2,31170904734366

-0,425000000000000 2,31170904734366

-0,425000000000000 2,31170904734366

-0,425000000000000 2,31170904734366

-0,425000000000000 2,31170904734366

-0,425000000000000 2,31170904734366

-0,425000000000000 2,31170904734366

-0,425000000000000 2,31170904734366

-0,425000000000000 2,31170904734366

-0,425000000000000 2,31170904734366

-0,400000000000000 2,31170904734366

-0,400000000000000 2,31170904734366

-0,400000000000000 2,31170904734366

-0,400000000000000 2,31017506655578

-0,400000000000000 2,31017506655578

-0,400000000000000 2,31017506655578

-0,400000000000000 2,31017506655578

-0,400000000000000 2,31017506655578

-0,400000000000000 2,31017506655578

-0,425000000000000 2,31017506655578

… …

Dimensiones:

N= 380;

n=2;

Y=(N-n+1)x1

Y=1998x1

Z= (N-n+1)x2n

Z=1998x4

Calculamos la matriz Z^T (k), tenemos las respectivas dimensiones de las matrices

MATRIZ Z

0,190213617697820 0,190213617697820 0 0

0,190213617697820 0,190213617697820 0 0

0,190213617697820 0,190213617697820 0 0

0,190213617697820 0,190213617697820 0 0

0,190213617697820 0,190213617697820 0 0

0,190213617697820 0,190213617697820 0 0

0,190213617697820 0,190213617697820 0 0

0,190213617697820 0,190213617697820 0 0

SISTEMA TRAS


0,190213617697820 0,190213617697820 0 0

0,190213617697820 0,190213617697820 0 0

0,190213617697820 0,190213617697820 0 0

0,190213617697820 0,190213617697820 0 0

0,190213617697820 0,190213617697820 0 0

0,190213617697820 0,190213617697820 0 0

0,190213617697820 0,190213617697820 0 0

… … … …

MATRIZ Y

-0,190213617697820

-

0,190213617697820

-

0,190213617697820

-

0,190213617697820

-

0,190213617697820

-

0,190213617697820

-

0,190213617697820

-

0,190213617697820

-

0,190213617697820

-

0,190213617697820

-

0,190213617697820

-

0,190213617697820

-

0,190213617697820

-

0,190213617697820

….

SISTEMA TRAS


2.2.3. DESCOMPOSICIÓN QR

𝑅 =

(

−10.1185 −10.1185 13.9218 13.93310 −0.0538 −4.9406 −4.93950 0 −8.3315 −8.27010 0 0 −0.59670 0 0 0… … … … )

Por lo tanto Q será:

-

0,0187985224293599

-

0,00192532598271000

-

0,0302702601971873

…

-

0,0187985224293599

-

0,00192532598007582

-

0,0302702601987773

…

-

0,0187985224293599

-

0,00192532598007580

-

0,0302702601987863

…

-

0,0187985224293599

-

0,00192532598007580

-

0,0302702601987864

…

… … … …

La ecuación de Parámetros por descomposición QR está dado por:

𝑃 = 𝑅−1𝑄𝑇𝑌

Realizando la operación se obtiene que:

P=

-1.8636 »» a1

0.8642 »»a2

0.0002 »»b1

SISTEMA TRAS


-0.0006 »»b2

Donde Gp(𝑧−1) está dado por:

𝐺𝑝(𝑧−1) =𝑏1𝑧−1 + 𝑏2𝑧−2

1 + 𝑎1𝑧−1 + 𝑎2𝑧−2


𝑮𝒑(𝒛−𝟏) =𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟐 − 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟔𝒛−𝟐

𝟏 − 𝟏. 𝟖𝟔𝟑𝟔𝒛−𝟏 + 𝟎. 𝟖𝟔𝟒𝟐𝒛−𝟐

𝐺𝑝(𝑧) =0.0002𝑧 − 0.0006

𝑧2 − 1.8636𝑧 + 0.8642

SISTEMA TRAS


2.3.DISEÑO DE CONTROLADORES

2.3.1. CONTROLADOR POR ASIGNACIÓN DE POLOS PARA EL AZIMUTH

Para el desarrollo del controlador por asignación de polos se utilizan parámetros conocidos

y luego estos parámetros son sustituidos por los estimados que se van a calcular.

Se tiene la siguiente forma del controlador:

𝐺𝑐(𝑧) =𝑄(𝑧−1)

𝑃(𝑧−1)=

𝑞0 + 𝑞1𝑧−1 + ⋯𝑞𝑣𝑧

−𝑣

1 + 𝑝1𝑧−1 + ⋯𝑝𝑢𝑧−𝑢

Y la planta tendría la forma:

𝐺𝑝(𝑧) =𝑏1𝑧

−1 + ⋯ 𝑏𝑚𝑧−𝑚

1 + 𝑎1𝑧−1 + ⋯𝑎𝑚𝑧−𝑚

SISTEMA TRAS


Partiendo de nuestra planta se obtienen los siguientes parámetros:

𝐺𝑝(𝑧) =0.0007967𝑧 + 0.0003982

𝑧2 − 1.924𝑧 + 0.9242

Siendo

𝑎1 = −1.924

𝑎2 = −0.9242

𝑏1 = 0.0007967

𝑏2 = −0.0003982

Ahora se debe generar una matriz del siguiente tipo

[

𝑝1

⋮𝑝𝑚+𝑑𝑞0𝑞1

⋮𝑞𝑚 ]

=

[ 1𝑎1𝑎𝑚

01

01𝑎1

𝑎𝑚

1

000

𝑎𝑚

1

0𝑏1

𝑏2

𝑏𝑚

0

00𝑏1

𝑏2

0 ]

∗

[ 𝛼1 − 𝑎1

𝛼2 − 𝑎2𝛼𝑚 − 𝑎𝑚

…−1 ]

Para nuestro caso se tiene los siguientes valores:

𝑑 = 0

𝑣 = 𝑚

𝑢 = 𝑚 + 𝑑

𝑚 = 2

𝑣 = 2

𝑢 = 2

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = 𝑙 + 1 = 5

Se obtiene la siguiente matriz:

[ 𝑝1

𝑝2𝑞0𝑞1

𝑞2]

=

[ 1𝑎1𝑎201

01𝑎1𝑎21

0𝑏1𝑏200

00𝑏100

000𝑏20 ]

−1

∗

[ 𝛼1 − 𝑎1

𝛼2 − 𝑎2𝛼3 − 𝑎3

𝛼4 − 𝑎4

−1 ]

SISTEMA TRAS


[ 𝑝1

𝑝2𝑞0𝑞1

𝑞2]

=

[

1−1.9240.9242

01

01

−1.9240.9242

1

00.0008

−0.000400

00

0.000800

000

−0.0040 ]

−1

∗

[

−11.9241

−0.92430.0001

−1 ]

[ 𝑝1

𝑝2𝑞0𝑞1

𝑞2]

=

[

−10

0.13810.0012

−0.1367]

Se tiene el siguiente controlador:

𝑮𝒄(𝒛) =𝟎. 𝟏𝟑𝟖𝟏𝒛𝟐 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟐𝟐𝟗𝒛 − 𝟎. 𝟏𝟑𝟔𝟕

𝒛𝟐 − 𝒛

El controlador junto con la planta presenta la siguiente forma:

SISTEMA TRAS


Ilustración 6 Respuesta del controlador ante una entrada escalón

El diagrama de bloques utilizado en simulink se obtiene los siguientes resultados:

Ilustración 7 Controlador por ubicación de polos

SISTEMA TRAS


Ilustración 8 Respuesta controlador por ubicacion de polos Simulink

2.3.2. CONTROLADOR POR ASIGNACIÓN DE POLOS PARA EL PITCH

Para el desarrollo del controlador por asignación de polos se utilizan parámetros conocidos

y luego estos parámetros son sustituidos por los estimados que se van a calcular.

Se tiene la siguiente forma del controlador:

𝐺𝑐(𝑧) =𝑄(𝑧−1)

𝑃(𝑧−1)=

𝑞0 + 𝑞1𝑧−1 + ⋯𝑞𝑣𝑧

−𝑣

1 + 𝑝1𝑧−1 + ⋯𝑝𝑢𝑧−𝑢

Y la planta tendría la forma:

𝐺𝑝(𝑧) =𝑏1𝑧

−1 + ⋯ 𝑏𝑚𝑧−𝑚

1 + 𝑎1𝑧−1 + ⋯𝑎𝑚𝑧−𝑚

Partiendo de nuestra planta se obtienen los siguientes parámetros:

𝐺𝑝(𝑧) =0.0002𝑧 − 0.0006

𝑧2 − 1.8636𝑧 + 0.8642

Siendo

𝑎1 = −1.8636

𝑎2 = −0.8642

𝑏1 = 0.0002

𝑏2 = −0.0006

Ahora se debe generar una matriz del siguiente tipo

SISTEMA TRAS


[

𝑝1

⋮𝑝𝑚+𝑑𝑞0𝑞1

⋮𝑞𝑚 ]

=

[ 1𝑎1𝑎𝑚

01

01𝑎1

𝑎𝑚

1

000

𝑎𝑚

1

0𝑏1

𝑏2

𝑏𝑚

0

00𝑏1

𝑏2

0 ]

∗

[ 𝛼1 − 𝑎1

𝛼2 − 𝑎2𝛼𝑚 − 𝑎𝑚

…−1 ]

Para nuestro caso se tiene los siguientes valores:

𝑑 = 0

𝑣 = 𝑚

𝑢 = 𝑚 + 𝑑

𝑚 = 2

𝑣 = 2

𝑢 = 2

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = 𝑙 + 1 = 5

Se obtiene la siguiente matriz:

[ 𝑝1

𝑝2𝑞0𝑞1

𝑞2]

=

[ 1𝑎1𝑎201

01𝑎1𝑎21

0𝑏1𝑏200

00𝑏100

000𝑏20 ]

−1

∗

[ 𝛼1 − 𝑎1

𝛼2 − 𝑎2𝛼3 − 𝑎3

𝛼4 − 𝑎4

−1 ]

[ 𝑝1

𝑝2𝑞0𝑞1

𝑞2]

=

[

1−1.9240.9242

01

01

−1.9240.9242

1

00.0008

−0.000400

00

0.000800

000

−0.0040 ]

−1

∗

[

−11.9241

−0.92430.0001

−1 ]

[ 𝑝1

𝑝2𝑞0𝑞1

𝑞2]

=

[

−10

203.1−402.8

200 ]

Se tiene el siguiente controlador:

SISTEMA TRAS


𝑮𝒄(𝒛) =𝟐𝟎𝟑. 𝟏𝒛𝟐 − 𝟒𝟎𝟐. 𝟖𝒛 + 𝟐𝟎𝟎

𝒛𝟐 − 𝒛

El controlador junto con la planta presenta la siguiente forma:

Ilustración 9 Respuesta de Pitch

2.3.3. CONTROLADOR DE MÍNIMA VARIANZA DE AZIMUTH

Dado la identificación por ARMAX se obtiene los siguientes parámetros:

𝐴(𝑧−1) = 1 − 1.996 𝑧−1 + 0.9965𝑧−2

𝐵(𝑧−1) = 0.0003877𝑧−1 − 0.0003606𝑧−2

𝐶(𝑧−1) = 1 − 1.625𝑧−1 + 0.686𝑧−2

Donde los coeficientes A. B y C están dados por la fórmula:

𝐴(𝑧−1) = 1 + 𝑎1𝑧−1 + 𝑎2𝑧−2 …… . .+𝑎𝑚𝑧−𝑚

𝐵(𝑧−1) = 𝑏1𝑧−1 + 𝑏2𝑧−2 …… . . +𝑏𝑚𝑧−𝑚

SISTEMA TRAS


𝐶(𝑧−1) = 1 + 𝑐1𝑧−1 + 𝑐2𝑧−2 …… . .+𝑐𝑚𝑧−𝑚

Siendo 𝐺𝑝(𝑧−1) 𝑦 𝐺𝑣(𝑧−1) de la forma:

𝐺𝑝(𝑧−1) =0.0003877𝑧−1 − 0.0003606𝑧−2

1 − 1.996 𝑧−1 + 0.9965𝑧−2=

𝐵(𝑧−1)

𝐴(𝑧−1) 𝑧−𝑑

𝐺𝑣(𝑧−1) =1 − 1.625𝑧−1 + 0.686𝑧−2

1 − 1.996 𝑧−1 + 0.9965𝑧−2=

𝐶(𝑧−1)

𝐴(𝑧−1)

Se obtiene que d=1 y m=2;

De la fórmula

𝐶(𝑧−1) = 𝐴(𝑧−1)𝐹(𝑧−1) + 𝑧−(𝑑+1)𝐺(𝑧−1)

Donde 𝐹(𝑧−1) y 𝐺(𝑧−1) es igual a:

𝐹(𝑧−1) = 1 + 𝑓1𝑧−1 + 𝑓2𝑧−2 …… . . +𝑓𝑑𝑧−𝑑

𝐺(𝑧−1) = 𝑔0 + 𝑔1𝑧−1 + 𝑔2𝑧−2 …… . . +𝑔𝑚 − 1𝑧−(𝑚−1)

Entonces:

𝐹(𝑧−1) = 1 + 𝑓1𝑧−1

𝐺(𝑧−1) = 𝑔0 + 𝑔1𝑧−1

Por lo tanto la formula total es:

1 − 1.625𝑧−1 + 0.686𝑧−2 = (1 − 1.996𝑧−1 + 0.9965𝑧−2)(1 + 𝑓1𝑧−1) + 𝑧−2(𝑔0 +

𝑔1𝑧−1)

1 − 1.625𝑧−1 + 0.686𝑧−2

= 1 + 𝑧−1(−1.996 + 𝑓1) + 𝑧−2(−1.996𝑓1 + 0.9965 + 𝑔0)

+ 𝑧−3(0.9965𝑓1 + 𝑔1)

Obteniendo el sistema de ecuaciones

{

𝑓1 − 1.996 = −1.625𝑔0 + 0.9965 − 1.996𝑓1 = 0.686

𝑔1 + 0.9965𝑓1 = 0

SISTEMA TRAS


Por lo tanto los coeficientes serán:

{𝑓1 = 0.371

𝑔0 = 0.430016𝑔1 = −0.3697015

El controlador de mínima varianza presenta la siguiente estructura:

Cambiando la estructura se obtiene:

Ilustración 10 Controlador de Mínima Varianza Azimuth

𝐺

𝑧𝐹𝐵

𝐵

𝐴𝑧−𝑑

𝐶

𝐴 v

y u

SISTEMA TRAS


Igualmente para el controlador de mínima varianza con seguimiento de referencia presenta

la siguiente estructura:

Cambiando los valores se obtiene:

Ilustración 11 Controlador de Mínima Varianza por seguimiento de Referencias

Azimuth

Al realizar la simulación se obtiene que si funciona el controlador en ambos casos ante una

entrada escalón de 0.4 de amplitud.

1

𝑧𝐹𝐵

𝐵

𝐴𝑧−𝑑

𝐶

𝐴 v

y

u

G

C

SISTEMA TRAS


Ilustración 12 Respuesta al escalón del controlador de Mínima varianza Azimuth

Ilustración 13 Respuesta al escalón del controlador de Mínima varianza por

Referencias Azimuth

SISTEMA TRAS


Como se observa en las ilustraciones. la salida es prácticamente igual en ambos casos. En

estas salidas se observa que el filtro modifica un poco la salida ante un ruido gaussiano.

2.3.4. CONTROLADOR DE MÍNIMA VARIANZA DE PITCH

Dado la identificación por ARMAX se obtiene los siguientes parámetros:

𝐴(𝑧−1) = 1 − 1.993 𝑧−1 + 0.9932𝑧−2

𝐵(𝑧−1) = −0.0002691𝑧−1 + 0.0003302𝑧−2

𝐶(𝑧−1) = 1 − 1.318𝑧−1 + 0.5163𝑧−2

Donde los coeficientes A. B y C están dados por la fórmula:

𝐴(𝑧−1) = 1 + 𝑎1𝑧−1 + 𝑎2𝑧−2 …… . .+𝑎𝑚𝑧−𝑚

𝐵(𝑧−1) = 𝑏1𝑧−1 + 𝑏2𝑧−2 …… . . +𝑏𝑚𝑧−𝑚

𝐶(𝑧−1) = 1 + 𝑐1𝑧−1 + 𝑐2𝑧−2 …… . .+𝑐𝑚𝑧−𝑚

Siendo 𝐺𝑝(𝑧−1) 𝑦 𝐺𝑣(𝑧−1) de la forma:

𝐺𝑝(𝑧−1) =−0.0002691𝑧−1 + 0.0003302𝑧−2

1 − 1.993 𝑧−1 + 0.9932𝑧−2=

𝐵(𝑧−1)


𝐺𝑣(𝑧−1) =1 − 1.318𝑧−1 + 0.5163𝑧−2

1 − 1.993 𝑧−1 + 0.9932𝑧−2=

𝐶(𝑧−1)

𝐴(𝑧−1)

Se obtiene que d=1 y m=2;

De la fórmula

𝐶(𝑧−1) = 𝐴(𝑧−1)𝐹(𝑧−1) + 𝑧−(𝑑+1)𝐺(𝑧−1)

Donde 𝐹(𝑧−1) y 𝐺(𝑧−1) es igual a:

𝐹(𝑧−1) = 1 + 𝑓1𝑧−1 + 𝑓2𝑧−2 …… . . +𝑓𝑑𝑧−𝑑

𝐺(𝑧−1) = 𝑔0 + 𝑔1𝑧−1 + 𝑔2𝑧−2 …… . . +𝑔𝑚 − 1𝑧−(𝑚−1)

Entonces:

𝐹(𝑧−1) = 1 + 𝑓1𝑧−1

𝐺(𝑧−1) = 𝑔0 + 𝑔1𝑧−1

SISTEMA TRAS


Por lo tanto la formula total es:

1 − 1.318𝑧−1 + 0.5163𝑧−2 = (1 − 1.993 𝑧−1 + 0.9932𝑧−2)(1 + 𝑓1𝑧−1) + 𝑧−2(𝑔0 +

𝑔1𝑧−1)

1 − 1.318𝑧−1 + 0.5163𝑧−2

= 1 + 𝑧−1(−1.993 + 𝑓1) + 𝑧−2(−1.993𝑓1 + 0.9932 + 𝑔0)

+ 𝑧−3(0.9932𝑓1 + 𝑔1)

Obteniendo el sistema de ecuaciones

{

𝑓1 − 1.993 = −1.318𝑔0 + 0.9932 − 1.993𝑓1 = 0.5163

𝑔1 + 0.9932𝑓1 = 0

Por lo tanto los coeficientes serán:

{𝑓1 = 0.675𝑔0 = 0.8683𝑔1 = −0.675

El controlador de mínima varianza presenta la siguiente estructura:

Cambiando la estructura se obtiene:

𝐺

𝑧𝐹𝐵

𝐵

𝐴𝑧−𝑑

𝐶

𝐴 v

y u

SISTEMA TRAS


Ilustración 14 Controlador de Mínima Varianza Pitch

Igualmente para el controlador de mínima varianza con seguimiento de referencia presenta

la siguiente estructura:

Cambiando los valores se obtiene:

1

𝑧𝐹𝐵

𝐵

𝐴𝑧−𝑑

𝐶

𝐴 v

y

u

G

C

SISTEMA TRAS


Ilustración 15 Controlador de Mínima Varianza por seguimiento de Referencias de

Pitch

Al realizar la simulación se obtiene que si funciona el controlador en ambos casos ante una

entrada escalón de 0.4 de amplitud.

Ilustración 16 Respuesta al escalón del controlador de Mínima varianza en Pitch

SISTEMA TRAS


Ilustración 17 Respuesta al escalón del controlador de Mínima varianza por

Referencias en Pitch

2.3.5. MODELO DE REFERENCIAS PITCH

Dado la identificación por ARX se obtiene los siguientes parámetros:

𝐴(𝑧−1) = 1 − 1.8636 𝑧−1 + 0.8642𝑧−2

𝐵(𝑧−1) = 0.0002𝑧−1 − 0.0006𝑧−2

Donde los coeficientes A y B están dados por la fórmula:

𝐴(𝑧−1) = 1 + 𝑎1𝑧−1 + 𝑎2𝑧−2 …… . .+𝑎𝑚𝑧−𝑚

𝐵(𝑧−1) = 𝑏1𝑧−1 + 𝑏2𝑧−2 …… . . +𝑏𝑚𝑧−𝑚

𝐺𝑝(𝑧−1) =0.0002 − 0.0006𝑧−2

1 − 1.8636𝑧−1 + 0.8642𝑧−2=

𝐵(𝑧−1)


Se realiza nuestro modelo de referencia con los siguientes parámetros:

SISTEMA TRAS


ɛ=0.8 y T=12.5 s

Se obtiene los polos

𝑊𝑛 =1

𝜀𝑇=

1

0.8 ∗ 12.5=

0.1𝑟𝑎𝑑

𝑠

𝜃 = 57.3 ∗ 𝑊𝑛 ∗ 𝑇√1 − 𝜀2 = 10.31°

|𝑍| = 𝑒−𝜀𝑊𝑛𝑇 = 0.7866

𝑍 = 0.7739 ± 𝑗0.1408

Por lo que nuestro denominador es 1 − 1.5478𝑧−1 + 0.6187𝑧−2

Para los zeros se realiza la siguiente operación:

𝑏2

𝑏1=

−0.0006

0.0002= −3

Por lo tanto nuestro zero es 𝑧−1(1 − 3𝑧−1)

Finalmente calculamos nuestra ganancia K de la formula

𝐺𝑟(𝑧−1) =𝐾𝑧−1(1 − 3𝑧−1)

1 − 1.5478𝑧−1 + 0.6187𝑧−2= 0

𝐾 = 28.21

Siendo asi nuestro modelo de referencia:

𝐺𝑟(𝑧−1) =28.21 − 84.63𝑧−2

1 − 1.5478𝑧−1 + 0.6187𝑧−2

Para nuestra constante 𝐹(𝑧−1) se calcula:

𝐹(𝑧−1) =𝐾

𝑏1=

28.21

0.0002= 12105

A continuación se realiza las siguientes igualdades de las fórmulas

𝑃(𝑧−1)𝐴(𝑧−1) = (1 + 𝑝0𝑧−1)(1 − 1.8636𝑧−1 + 0.8642𝑧−2)

𝑃(𝑧−1)𝐴(𝑧−1) = 1 + 𝑧−1(𝑝0 − 1.8636) + 𝑧−2(0.8642 − 1.8636𝑝0) + 0.8642𝑝𝑜𝑧−3

SISTEMA TRAS


𝑄(𝑧−1)𝐵(𝑧−1) = (𝑞0 + 𝑞1𝑧−1)(0.0002𝑧−1 − 0.0006𝑧−2)

𝑄(𝑧−1)𝐵(𝑧−1) = 0.0002𝑞0𝑧−1 + (0.0002𝑞1 − 0.0006𝑞0)𝑧−2 − 0.0006𝑞1𝑧−3

{𝑝0 − 1.8636 + 0.0002𝑞0 = −1.5478

0.8642 − 1.8636𝑝0 + 0.0002𝑞1 − 0.0006𝑞0 = 0.61870.8642𝑝0 = −0.0006𝑞1

{𝑝0 = 0.8274

𝑞0 = −2557.94𝑞1 = −1191

Por lo que se obtiene los valores de P y Q

𝑃(𝑧−1) = 1 + 0.8274𝑧−1

𝑄(𝑧−1) = −2557.94 − 1191𝑧−1

La estructura del controlador a referencia es:

𝐹

𝑃

𝐵

𝐴𝑧−𝑑 y

u

𝑄

𝑃

SISTEMA TRAS


Ilustración 18 Configuración por controlador por modelo de Referencia

Al realizar la simulación ante una entrada step de 0.5. se obtiene la siguiente gráfica

Ilustración 19 Gráfica de control de referencia

Para la utilización de la tarjeta STM32 se realiza la siguiente configuración

SISTEMA TRAS


Ilustración 20 Control de Referencias con la Tarjeta STM32

3. CONCLUSIONES:

- Mediante el uso de identificación por algoritmos se ha demostrado que se puede

lograr identificar una planta por medio de cualquier microcontrolador de manera

eficaz.

- Al hacer uso de una tarjeta como la Discovery se ha demostrado que es posible

realizar un control adecuado utilizando como técnica el modelo de referencia.

- El uso de algoritmos de mínimos cuadrados tienen como ventaja el ahorro de carga

al cpu ya que al trabajar con matrices se logra economizar el uso excesivo de

procesamiento.

4. BIBLIOGRAFIA:

[1], kom.aau. (22 de 05 de 2013). Obtenido de

http://kom.aau.dk/~kv/08gr631/08gr631a_rapport.pdf

[2] kom.aau. (22 de 05 de 2013). Obtenido de

http://kom.aau.dk/~kv/08gr631/helikopter.html

SISTEMA TRAS


[3] ebah. (22 de 05 de 2013). Obtenido de

http://www.ebah.com.br/content/ABAAAfKx0AG/rodrigues-t-j-s-twin-rotor-mimo-

system-trms-modelagem-sistema-nao-linear-nao-autonomo-estavel

[4] inteco. (22 de 05 de 2013). Obtenido de

http://www.inteco.com.pl/index.php?option=com_content&view=article&id=25:tw

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[5] navyflightmanuals. (22 de 05 de 2013). Obtenido de

http://navyflightmanuals.tpub.com/P-401/P-4010027.htm

[6], [. (22 de 05 de 2013). Obtenido de

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0952197612000024

[7], [. (2006). Manual de usuario. En inteco, sistema aerodinámico (pág. 70).

identificacion y control del sistema tras

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